Büyük Sayılar Kanunları

12. Ders
Büyük Sayılar Kanunları
Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini
hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,
a n = n n!
, n = 1, 2, 3, . . .
n e −n n
olan dizinin yakınsak olduğunu göstermiş, ancak limitini bulamamış. Daha sonra Stirling,
lim n n!
= 2π
−n
n
n∞ n e
olduğunu göstermiştir. DeMoivre-Stirling formülü, lim ε n = 0 için,
n∞
n! = n
n
−n
2πn e 1 + ε n 
olmak üzere,
n! ≈
1
2π n n+ 2 e −n
ifadesine birinci Stirling yakınlaştırması ve
n! ≈
1
2π n n+ 2 e −n 1 +
1 
2n
ifadesine ikinci Stirling yakınlaştırması denmektedir.
Stirling formülünden faydalanarak, DeMoivre p = 1/2 için ve daha sonra Laplace
0 < p < 1 için,
n p k 1 − p n−k
k
lim
2 = 1
n∞
k
−
np
1
−
2
np1 − p
1
e
2πnp1 − p
olduğunu göstermiştir.
n
∑ X i , bir deneyin bağımsız olarak n kez tekrarlanmasında, p olasılıklı bir olayın
i=1
gerçekleşme sayısı olmak üzere,
n
∑ X i − np
lim P
n∞
i=1
np1 − p
x
≤x
=
1
2π
∫
t2
e − 2 dt
−∞
önermesi DeMoivre-Laplace teoremi olarak bilinmektedir.
Boş zaman buldukça cebine koyduğu iki farklı renkteki toplardan iadeli olarak
çekilişler yapan Jacop Bernoulli, çekilen toplardan belli bir renge sahip olanların sayısını
çekiliş sayısına böldüğünde elde edilen sayıların o renkteki topların oranı etrafında
çıktığını ve çekiliş sayısı arttıkça bu orana yaklaştığını görmüştür. Muhtemelen, Bernoulli
bir çok kişi gibi sezgisel olarak bunu hissetmiş olabilir. Ayrıca, deneysel olarak
desteklemenin yanında matematiksel olarak yerli yerine oturtmak istemiş olabilir. Ancak,
DeMoivre-Laplace tarafından ispatlanan,
k
∑ X i − np
x
<x
i=1
lim P
np1 − p
n∞
∫
1
2π
=
t2
e − 2 dt
−∞
teoreminden sonra,
k
1
n
∑ X i P p
i=1
olduğunu ispatlamak mümkün olmuştur. Gerçekten, seçilen ε > 0 için,
n
∑ X i − np
n
P
1 ∑ Xi − p < ε
n
=P
n
<
p1 − p
−ε
i=1
i=1
np1 − p
<ε
n
p1 − p
olmak üzere, yeterince büyük n ler için yukarıdaki DeMorive-Laplace teoreminden
n
∑ X i − np
lim P
n∞
−ε
n
<
p1 − p
i=1
np1 − p
<ε
n
p1 − p
=1
yani,
k
1
n
∑ Xi  p
p
i=1
elde edilir. Bu sonuç Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu olarak bilinmektedir.
Đçinde 1 beyaz ve 1 siyah top bulunan bir torbadan gelişigüzel.bir top çektiğimizi
düşünelim. Bu çekilişteki rasgeleliği anlatmak (modellemek) için aklımızda,
Ω = b, s, U = PΩ, Pb = Ps = 1
2
gibi bir olasılık uzayı canlanmaktadır. Torbada k tane beyaz ve m tane siyah top
bulunduğunda model olarak,
k , Ps = m
Ω = b, s, U = PΩ, Pb =
k+m
k+m
ve torbadaki topların sayısını bilmediğimizde model olarak,
Ω = b, s, U = PΩ, Pb = p, Ps = 1 − p, p ∈ 0, 1
olasılık uzayını düşünmekteyiz. Torbanın içi bize gösterilmediği müddet-çe "p" sayısını
(parametresini) bilemeyiz. Ancak torbadan iadeli olarak toplar çekilmesine izin
verildiğinde "p" ile ilgili bir şeyler söyleyebiliriz (tahmin, kestirim yapabiliriz). Eğer, çekilen
beyaz top sayısının çekiliş sayısına oranının, çekiliş sayısı sonsuza gittiğinde "p" ye
yakınsadığından da eminsek, o zaman belli sayıda çekiliş sonrasında gözlenen oranı,
"p" için bir tahmin olarak kullanabiliriz. Ancak yakınsamanın olup olmadığından emin
olmak için gerçek dünyada deney mi yapmalıyız, yoksa aklımızın dünyasında teorem mi
ispatlamalıyız, yada her ikisini de mi yapmalıyız?
Büyük Sayılar Kanunu, rasgele değişkenlerin (X n ) gibi bir dizisinde,
S n = X 1 + X 2 +. . . +X n ,
n = 1, 2, 3, . . .
kısmi toplamlarına dayalı,
−
X n = Snn , n = 1, 2, 3, . . .
ortamalarının, X n  dizisi ile ilgili yakınsamadır.
n
−
X n − 1n
∑ EX k  P 0
k=1
oluyorsa, X n  dizisine Zayıf Büyük Sayılar Kanunu (ZBSK) ’na uyar denir.
Teorem: (Chebyshev Teoremi)
X n  dizisi varyansları sınırlı, yani VarX n  ≤ c, c ∈ 0, ∞, n = 1, 2, . . . olan bağımsız
rasgele değişkenlerin bir dizisi ise,
n
−
X n − 1n
∑ EX j  P 0
j=1
dır.
Đspat: (Ödev)
Bu teoremin bir sonucu olarak, X n  dizisi varyansları mevcut, bağımsız ve aynı
dağılımlı rasgele değişkenlerin bir dizisi ise,
− P
X n  μ = EX 1 
olduğu söylenebilir. Özel olarak, aynı şartlarda bağımsız olarak ardarda tekrarlanan bir
olasılık deneyi için, belli bir olayın ortaya çıkma sayısının deneme sayısına (n) oranı, bu
olayın olasılığı olan p sayısına olasılıkta yakınsar, yani
n denemedeki başarı sayısı P
p
n
dır. Bu durum Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu (BBSK) olarak bilinir.
n
∑X i
Bir parayı 1, 2, . . . , n kez atıp
i=1
n
rasgele değişkenin gözlenen değerleri düşey
eksende n e karşılık işaretlenirse, işaretlenen noktaların y = p doğrusu etrafında
oldukları ve gittikçe bu doğruya yaklaştıkları görülür. Bu Bernoulli Büyük Sayılar
Kanununun gerçek dünyada geçerli olduğunun deneysel olarak gözlenmesidir.
Teorem: (Khinchin Teoremi)
X n  , bağımsız ve aynı dağılımlı (dağılımın beklenen değeri μ sonlu) olan rasgele
değişkenlerin bir dizisi ise,
P
Xn  μ
dır.
Đspat. n = 1, 2, 3, . . . için X n nin karakteristik fonksiyonu,
n
Φ X n t = Φ X 1 nt
i 2 EX 2 t 2
iμt
= 1+
+
+. . .
1!n
2!n 2
n
ve
lim Φ X n t = e iμt
−
n∞
olmak üzere, X n  dizisi, dağılımda μ noktasında yoğunlaşmış dağılıma yakınsar.
− P
Xn μ
dir.
P
X n  μ yakınsamasına Zayıf Büyük Sayılar Kanunu denir.
Đspatsız olarak iki teoremin daha ifadesini verelim
Teorem:
X n  dizisi, varyansları sınırlı, yani bir c sayısı için VarX n  ≤ c , n = 1, 2, . . . ve aynı μ
ortalamalı,
|i−j|∞
CovX i , X j   0
olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise
P
Xn  μ
dır.
Teorem:
X n  dizisi aynı μ ortalamalı ve σ 2 varyanslı düzgün sınırlı, yani c ∈ 0, ∞ için
|X n | ≤ c, n = 1, 2, . . .
olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise,
−
n X n −μ
σ
P
lim sup
≤1
2 log log n
=1
dır.
Problemler
1.
n
a) 0 ≤ p ≤ 1 için, ∑
k=0
1−p
n n − s ∫ 1 − t s t n−s−1 dt
s
n p k 1 − p n−k =
k
b) Büyük n ler için n! 
olduğunu gösteriniz.
0
1
2π n n+ 2 e −n
2. r ∈ N olmak üzere aşağıdaki
Γ r+1
− r+1
2
n
2
1 + xn
, −∞ < x < ∞
fx; r =
rπ Γ r
2
fonksiyonunun bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ve
2
lim fx; r = 1 e −x /2
r∞
2π
olduğunu gösteriniz.
3. X n  bağımsız ve aynı
f X n x = p x 1 − p 1−x , x = 0, 1
olasılık fonksiyonuna sahip rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun. Chebyshev eşitsizliğini
kullanarak Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu yani,
n
X n = 1n
∑ X i P p
i=1
olduğunu ispatlayınız.
4. X n  dizisi bağımsız, aynı dağılımlı ve VarX n  = σ 2 , n = 1, 2, . . . olan rasgele
değişkenlerin bir dizisi olsun.
n
∑ EX i − X n  2
i=1
olduğunu gösteriniz.
P
n
 σ2