2. Ders - 80.251.40.59

Düzgün Dağılım
Bir X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu (o.y.f.),
 1

f ( x) = θ 2 − θ1
 0

, θ1 < x < θ 2
, d.y
biçimine olduğunda, X ‘e düzün dağılıma sahiptir denir ve X ∼ U (θ1 , θ 2 ) biçiminde
gösterilir.
Düzgün dağılıma X ∼ U (θ1 , θ 2 ) rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,
 0

 x − θ1
F ( x) = P( X ≤ x) = 
θ 2 − θ1
 1
x < θ1
,
, θ1 ≤ x < θ 2
x ≥ θ2
,
beklenen değeri,
θ2
1
1 x2
E( X ) = ∫ x
dx =
θ 2 − θ1 2
θ1 θ 2 − θ1
θ2
=
θ1
1
(θ 2 − θ12 ) θ1 + θ 2
× 2
=
θ 2 − θ1
2
2
ikinci momenti,
θ2
1
1 x3
E( X ) = ∫ x
dx =
θ 2 − θ1
θ 2 − θ1 3
θ1
2
θ2
=
2
θ1
1
(θ 3 − θ 3 ) θ 2 + θ 2θ1 + θ12
× 2 1 = 2
θ 2 − θ1
3
3
ve varyansı,
Var ( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X ) ) =
2
θ 22 + θ 2θ1 + θ12  θ1 + θ 2 
3
−

2
2
 =

(θ 2 − θ1 )2
12
dır.
Örnek 1
X ∼ U (0,10) rasgele değişkenin olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonu,
1
, 0 < x < 10

f ( x) = 10
 0 ,
d.y
0
x

F ( x) = P( X ≤ x) = 
10
 1
olup grafikleri,
,
x<0
, 0 ≤ x < 10
,
x ≥ 10
f ( x)
1/10
4
P (2 < X < 4) =
∫
f ( x ) dx
2
4
2
x
10
F ( x)
1
P (2 < X < 4) = F (4) − F (2)
x
4
2
10
dır. X ‘in beklenen değeri,
E( X ) =
0 + 10
=5
2
ve varyansı,
Var ( X ) =
(10 − 0)2 100
=
12
12
dır.
Örnek 2 Bir tür böcek 6 gün yaşadıktan sonra iki gün içinde aynı miktarlarda azalıp
ölmektedir. X rasgele değişkeni bir bu türden bir böceğin ömrü olmak üzere, X ∼ U (6,8) dır.
1
, 6< x<8

f ( x) =  2
 0 , d . y
 0
x−6

F ( x) = P( X ≤ x) = 
 2
 1
olup grafikleri,
,
x<6
, 6≤ x<8
,
x≥8
f ( x)
1/2
6
8
x
F ( x)
1
6
8
x
dır. X ‘in beklenen değeri (ortalaması),
E( X ) =
6+8
=7
2
ve varyansı,
Var ( X ) =
(8 − 6) 2 1
=
12
3
dır.
(0,1) Aralığında Düzgün Dağılım
(0,1) aralığı üzerinde düzgün dağılıma sahip olan rasgele değişkeni U harfi ile
gösterelim. U ~ U (0,1) olmak üzere,
1 , 0 < u < 1
f (u ) = 
0 , d . y.
0 , u < 0

F (u ) = u , 0 ≤ u < 1
1 , u ≥ 1

f (u )
1
u
1
F (u )
1
u
1
E (U ) =
1
1
, Var (U ) =
2
12
dır.
QBASIC programlama dilinde RND, Matlab’da rand fonksiyonu U rasgele değişkenin
dağılımından sayı üretmektedir. Bir X rasgele değişkenin dağılımından sayı üretmek için,
F − ( RND ) = inf { x : F ( x) ≥ RND , x ∈ R}
değerleri alınabilir. Sürekli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, değer kümesi
üzerinde birebir olduğunda, X in dağılımından sayı üretmede F −1 (U ) , yani F −1 ( RND )
değerleri alınabilir. Örnek 2 ‘deki dağılımdan sayı üretmek için
F −1 (U ) = 6 + 2U , U = RND ∈ [0,1)
dönüşümü kullanılabilir.
F ( x)
1
U=RND
x
6
−1
F
(U )
8
Kesikli bir X rasgele değişkeninin dağılımından sayı üretmek için (0,1) aralığı
dağılımdaki olasılıklar oranında parçalara ayrılıp U sayısının düştüğü aralığa karşılık gelen
değer X olarak alınabilir. Đstatistik amaçlı bilgisayar paket programlarında U (0,1) ve diğer
dağılımlardan sayı üreten fonksiyonlar hazır halde bulunmaktadır.
Örnek 3 “(0,1) aralığındaki sayılardan restgele biri çekildiğinde” çıkan sayının 0,8 ´den
büyük olması olasılığı nedir?
“(0,1) aralığından rasgele çekilen” sayı U olsun. U ~ U (0,1) olmak üzere,
1
P (U > 0,8) = ∫ 1du = u 0.8 = 1 − 0.8 = 0.2
1
0.8
dır.
>> rand(20,5)
ans =
0.95013
0.23114
0.60684
0.48598
0.8913
0.7621
0.45647
0.018504
0.82141
0.4447
0.19343
0.68222
0.30276
0.54167
0.15087
0.6979
0.37837
0.86001
0.85366
0.59356
0.61543
0.79194
0.92181
0.73821
0.17627
0.40571
0.93547
0.9169
0.41027
0.89365
0.49655
0.89977
0.82163
0.64491
0.81797
0.66023
0.34197
0.28973
0.34119
0.53408
0.057891
0.35287
0.81317
0.0098613
0.13889
0.20277
0.19872
0.60379
0.27219
0.19881
0.72711
0.30929
0.8385
0.56807
0.37041
0.70274
0.54657
0.44488
0.69457
0.62131
0.015274
0.74679
0.4451
0.93181
0.46599
0.41865
0.84622
0.52515
0.20265
0.67214
0.79482
0.95684
0.52259
0.88014
0.17296
0.97975
0.27145
0.25233
0.87574
0.73731
0.83812
0.01964
0.68128
0.37948
0.8318
0.50281
0.70947
0.42889
0.30462
0.18965
0.13652
0.011757
0.8939
0.19914
0.29872
0.66144
0.28441
0.46922
0.064781
0.98833
>> sum(sum(ans>0.8))
ans = 24
Üretilen bu 100 tane sayıdan 24 tanesi 0.8 den büyüktür. “(0,1) aralığından rasgele
çekilen” bir sayının 0.8 den büyük olması olasılığı p=0.2 olup, çekilen n=100 sayı içinde 0.8
den büyük olanların beklenen sayısı np=100x0.2=20 dir. Üretilen 100 tane sayı ile ilgili
histogram,
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
dır. Histogramdaki sınıf aralıklarının he biri için beklenen frekans = 100x0.1=10 dur.
Beklenen frekanslar ( f i b , i = 1, 2,...10 ) ile gözlenen frekanslar ( f i g , i = 1, 2,...10 ) arasındaki
10
farklılığın bir ölçütü olarak
∑
(f
− fi b )
g
i
fi b
i =1
değer,
10
∑
i =1
(f
g
i
− fi b )
fi b
2
=
(7 − 10) 2
10
+
+
(8 − 10) 2
10
2
değeri alınabilir. Üretilen 100 tane sayı için bu
(12 − 10) 2
+
10
+
(11 − 10) 2
10
(8 − 10) 2
+
10
+
(9 − 10) 2
10
(8 − 10) 2
10
+
+
(13 − 10) 2
10
(12 − 10) 2
10
+
(12 − 10) 2
10
= 4.4
dır. Bu değerin büyüklüğünün yorumlanmasını ileride öğreneceğiz.
Örnek 4 U ~ U (0,1) olsun. U sayısını üretip aşağıdaki dönüşümlerden faydalanarak ilgili
dağılımlardan sayı üretebiliriz.
a) X = 10U dönüşümü ile elde edilen X kesikli bir rasgele değişken olup olasılık
fonksiyonu,
1
f ( x) =
, x = 0,1, 2,...,9
10
dır.
b) X = 10U + 1 dönüşümü ile elde edilen X kesikli bir rasgele değişken olup olasılık
fonksiyonu,
1
f ( x) =
, x = 1, 2,...,10
10
dır.
c) a, b ∈ R , a ≠ 0 için X = aU + b dönüşümü ile elde edilen X sürekli bir rasgele
değişken olup,

0
,
x<b

F ( x) = P( X ≤ x) = P(aU + b ≤ x) , b ≤ x < b + a

1
,
x≤b+a

0
,
x <b


x −b
=  P(U ≤
) , b≤ x<b+a

a

1
,
x ≤b+a

 0

 x −b
= 
 a

 1
ve
 1
 , b< x<b+a
f ( x) =  a

d . y.
 0 ,
olmak üzere, X ∼ U (b, b + a ) dır.
,
x <b
, b≤ x<b+a
,
x ≤b+a
1 , U < p
d) p ∈ (0,1) için X = 
dönüşümü ile elde edilen X kesikli bir rasgele

0 , U ≥ p
değişken olup olasılık fonksiyonu,
, x =1
 p
f ( x) = 
= p x (1− p )1− x , x = 0,1
1− p , x = 0
dır. X ∼ b(1, p ) Bernoulli dağılımına sahiptir.
e) X = − ln U dönüşümü ile elde edilen X rasgele değişkeni için,

0

F ( x ) = P ( X ≤ x) = 

 P (− ln U ≤ x )
,
,

0

=

x≥0 
 P (U ≥ e− x )
x<0
,
,
 0

=

x≥0 
1 − e− x
x<0
,
x<0
,
x≥0
ve
e− x , x > 0
f ( x) = 
0 , d . y.
dır. X sürekli bir rasgele değişken olup üstel dağılıma sahiptir. Üstel dağılımı önümüzdeki
derste göreceğiz.