Bazı Eşitsizlikler
advertisement
11. Ders Bazı Eşitsizlikler Bu kısımda Markov, Chebyshev, Schwartz ve Jensen eşitsizliklerine değinilecektir. Teorem: (Markov Eşitsizliği) Y negatif değerler almayan bir rasgele değişken olmak üzere, her c > 0 için, EY PY ≥ c ≤ c dır. Đspat: Đspatı kesikli hal için verelim. EY = ∑ yfy = ∑ yfy + ∑ yfy y<c y y≥c ve Y negatif değerler almadığından, EY ≥ ∑ yfy ≥ ∑ cfy = cPY ≥ c y≥c y≥c dır. Markov eşitsizliği c nin büyük değerleri c > EY için önem kazanmaktadır. c < Ey için eşitsizliğin sağ tarafı olasılık açısından bir bilgi sağlamamaktadır. Teorem: (Chebyshev Eşitsizliği) X, varyansı var olan bir rasgele değişken olsun. c > 0 olmak üzere, VarX P|X − EX|≥ c ≤ c2 dır. Đspat: Y = X − EX 2 olsun. Y negatif değerler almamaktadır. EY = VarX olmak üzere, Markov eşitsizliğinden, P|X − EX|≥ c = PY ≥ c 2 ≤ EY VarX = 2 c c2 elde edilir. c = kσ X alınırsa Chebyshev eşitsizliği, P|X − EX|≥ kσ X ≤ 12 k biçimini alır. Eşitsizliği −1 ile çarpar ve her iki tarafına 1 eklersek, 1 − P|X − EX|≥ kσ X ≥ 1 − 12 k veya P|X − EX|< kσ X ≥ 1 − 12 k yazılır. Bu eşitsizliklerde 0 < k ≤ 1 olması durumunda, eşitsizliklerin sağ tarafları bir bilgi sağlamamaktadır. Markov eşitsizliği ve onun bir özel hali olan Chebyshev eşitsizliği rasgele değişkenlerin dağılımına bakmaksızın beklenen değer ve varyanslara bağlı olarak bazı olasılıklar hakkında sınır değerleri belirlemektedir. Örnek: X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu, 1 e −x/2 , x > 0 2 0 , d.y. fx = olsun. EX = 2 , VarX = 4 olmak üzere, k ≥ 1, için 2+2k P|X − 2|< 2k = ∫ 1 e −x/2 dx = 1 − e −1+k 2 0 dır. k nın bazı değerleri için bu olasılıklar ve Chebyshev eşitsizliğinin belirlediği sınırlar aşağıdadır. P|X − EX|≤ kσ X Chebyshev sınırı k 1 0, 8647 0 3/2 0. 9179 0. 5556 2 0. 9502 0. 7500 5/2 0. 9698 0. 8400 3 0. 9817 0. 8889 7/2 0. 9889 0. 9184 4 0. 9933 0. 9375 5 0. 9975 0. 9600 Örnek 4.6.2 X 1 , X 2 , … , X n bağımsız aynı dağılımlı rasgele değişkenler ve EX i = μ, VarX i = σ 2 , i = 1, 2, … , n olsun. n E 1 ∑ Xi n i=1 n = 1n ∑ EX i = μ i=1 n n 2 Var 1n ∑ X i = 12 ∑ VarX i = σn n i=1 i=1 olmak üzere, a > 0 için n P 1 ∑ Xi − μ < a n i=1 n 2 ≥ 1− σ a n dır. Görüldüğü gibi n değeri arttığı zaman 1n ∑ X i rasgele değişkenin olasılık dağılımı μ i=1 etrafında yoğunlaşmaktadır. Teorem: (Schwartz Eşitsizliği) EX 2 < ∞ ve EY 2 < ∞ olan X ile Y rasgele değişkenleri için, EXY 2 ≤ EX 2 EY 2 dır. Eşitlik olması için gerek ve yeter şart X = aY , (a ∈ R, PX ≠ aY = 0) olmasıdır. Đspat: t ∈ R için ht = EX − tY 2 = EX 2 − 2tEXY + t 2 EY 2 olmak üzere, her t ∈ ℝ için ht ≥ 0 dır. Dolayısıyla, EY 2 t 2 − 2EXYt + EX 2 = 0 denklemin diskriminantı, 4EXY 2 − 4EX 2 EY 2 ≤ 0 dır. Buradan, EXY 2 ≤ EX 2 EY 2 dır. Eğer EXY 2 = EX 2 EY 2 ise EX − tY 2 = 0 olacak şekilde bir t ∈ R vardır. O zaman Markov Eşitsizliğinden her c > 0 için PX − tY 2 ≥ c ≤ EX − tY 2 =0 c yani PX − tY 2 < c = 1 ve PX − tY 2 = 0 = 1 ⇒ PX = tY = 1 dır. Schwartz eşitsizliğinin bir sonucu olarak, EX − μ X Y − μ Y 2 ≤ EX − μ X 2 EY − μ Y 2 EX − μ X Y − μ Y 2 ≤ σ 2X σ 2Y yazılır. Eğer μ x = μ y = 0 ve VarX = VarY = 1 ise EXY 2 ≤ 1 dır. Yine Schwartz eşitsizliğinin bir sonucu olarak, EX − μ X Y − μ Y ρ X,Y = σXσY korelasyon katsayısı için, ρ 2X,Y = EX − μ X Y − μ Y 2 ≤1 σ 2X σ 2Y yani, − 1 ≤ ρ X,Y ≤ 1 elde edilir. Eşitliğin sağlanması için gerek ve yeter şart X ve Y arasında lineer ilişki olmasıdır. Örnek: a) X, Y rasgele değişkenleri için EX = EY = 0 , VarX = VarY = 1 ve aralarındaki korelasyon katsayısı ρ olsun. 2 maxX 2 , Y 2 = |X 2 − Y 2 |+X 2 + Y 2 ve Schwartz Eşitliğinden E|X 2 − Y 2 | 2 ≤ E|X − Y| 2 E|X + Y| 2 = EX − Y 2 EX + Y 2 olmak üzere, EmaxX 2 , Y 2 = 1 E|X 2 − Y 2 |+EX 2 + EY 2 2 = 1 E|X 2 − Y 2 |+2 2 ≤ 1 + 1 EX − Y 2 EX + Y 2 2 yazılır. EX − Y 2 EX + Y 2 = EX 2 − 2EXY + EY 2 EX 2 + 2EXY + EY 2 = 2 − 2ρ2 + 2ρ = 41 − ρ 2 olduğundan, EmaxX 2 , Y 2 ≤ 1 + 1 − ρ 2 elde edilir. b) X, Y aralarındaki korelasyon katsayısı ρ olan herhangi iki rasgele değişken olsun. λ > 0 için, P|X − μ X |≥ λσ X veya|Y − μ Y |≥ λσ Y = X−μ Y−μ = P σ X X 2 ≥ λ 2 veya σ Y Y 2 ≥ λ 2 = Pmax olmak üzere Markov eşitsizliğinden, X − μX 2 Y − μY 2 2 σ X , σY ≥ λ P max X − μX 2 Y − μY 2 2 σX , σY ≥ λ X−μ Y−μ ≤ 12 E max σ X X 2 , σ Y Y 2 λ ≤ 12 1 − 1 − ρ 2 λ ve böylece, P|X − μ X |≥ λσ X veya |Y − μ Y |≥ λσ Y ≤ 12 1 − 1 − ρ 2 λ elde edilir. Bu eşitsizliğe iki boyutlu hale genelleştirilmiş Chebyshev eşitsizliği denir. Bu eşitsizlikte Y yerine X yazılır ve ρ X,X = 1 olduğu gözönüne alınırsa, P|X − μ X |≥ λσ X ≤ 12 λ elde edilir. Jensen Eşitsizliği: Jensen eşitsizliğini ifade etmeden önce konveks fonksiyon kavramını hatırlatalım. Bir u : R → R fonksiyonu ile ilgili, her x 0 ∈ R için x 0 , ux 0 noktasından geçen bir doğru bulunabilir, öyleki fonksiyonun grafiği bu doğrunun üst tarafında kalıyorsa bu fonksiyona konveks fonksiyon denir. Başka bir ifade ile, seçilen her x 0 ∈ R için bir m ∈ R bulunabilir, öyleki ux ≥ ux 0 + mx − x 0 , x ∈ R dır. Buradaki m sayısı sözü edilen doğrunun eğimidir. Şimdi Jensen eşitsizliğini elde edelim. u : R → R konveks bir fonksiyon ve bir Y rasgele değişkeni için, E|Y| < ∞ , E|uY| < ∞ olsun. O zaman u fonksiyonu için, x 0 = EY olmak üzere, ux ≥ uEY + mx − EY , x ∈ R yazılabilir. Buradaki m sayısı x 0 = EY sayısına bağlıdır, x değerine bağlı değildir. x yerine Y yazılmasıyla, uY ≥ uEY + mY − EY ve her iki tarafın beklenen değerinin alınmasıyla, EuY ≥ uEY eşitsizliği elde edilir. Reel Sayı Dizileri ve Yakınsama Rasgele değişkenlerin dizilerinde yakınsama kavramına geçmeden önce reel sayıların dizileri ile reel sayı değerli fonksiyonların dizileri için yakınsama kavramlarını hatırlatalım. Tanım: a n reel sayıların bir dizisi olmak üzere, her > 0 için sayısına bağlı olan bir m pozitif tamsayısı var, öyle ki n m için |a n − a| < oluyorsa a n dizisi a sayısına yakınsar denir. Bir a n dizisinin bir a sayısına yakınsaması genellikle lim a n = a veya a n a n∞ biçiminde gösterilir. Buradaki yakınsamanın reel sayılardaki mutlak değer metriğine göre olduğunu belirtelim. Tanım: A ⊂ R olmak üzere, tanım kümesi A olan g n : A R, n = 1, 2, . . . . fonksiyonlarının g n dizisini ve bir g : A R fonksiyonunu gözönüne alalım. t 0 ∈ A için g n t 0 sayı dizisi gt 0 sayısına yakınsıyorsa g n fonksiyon dizisine t 0 noktasında g fonksiyonuna yakınsar denir. Eğer g n fonksiyon dizisi her t ∈ A noktası için g fonksiyonuna yakınsıyor, yani her t ∈ A için lim g n t = gt n∞ ise g n fonksiyon dizisi A kümesinde noktasal olarak g fonksiyonuna yakınsar denir. g n fonksiyon dizisinin A kümesinde noktasal olarak g ye yakınsaması demek her t ∈ A ve her > 0 için ve t ye bağlı bir m, t pozitif tamsayısı var, öyle ki n m, t olduğunda |g n t − gt|< olması demektir. g n fonksiyon dizisinin g fonksiyonuna A kümesinde noktasal olarak yakınsamasını gn biçiminde göstereceğiz. Özetlersek, g n A da noktasal A da noktasal g g gösterimi , ∀t ∈ A için lim g n t = gt n∞ demektir. Şimdi fonksiyon dizilerinde düzgün yakınsaklık kavramını hatırlatalım. Tanım: Her t ∈ A ve > 0 için na bağlı bir m pozitif tamsayısı var, öyle ki n m için |g n t − gt|< oluyorsa g n fonksiyon dizisine A kümesinde düzgün olarak g fonksiyonuna yakınsar denir. g n dizisinin g ye A kümesinde düzgün olarak yakınsamasını gn A da düzgün g biçiminde göstereceğiz. g n dizisinin A kümesinde g ye düzgün yakınsaması durumunda, seçilen her > 0 sayısına karşılık belli bir m sayısından sonraki n ler için g n fonksiyonlarının grafikleri g fonksiyonunun etrafındaki 2 genişliğindeki bir şeridin içindedir. Düzgün yakınsak bir fonksiyon dizisinin noktasal yakınsak olduğu açıktır. Noktasal yakınsak bir fonksiyon dizisi düzgün yakınsak olmayabilir. Örnek: g n : 0, 1 R t g n t = n 2 te −nt olmak üzere, g n dizisini ve g : 0, 1 R t gt = 0 foksiyonunu gözönüne alalım. ∀t ∈ 0, 1 için 2 lim g n t = lim n ntt = 0 = gt n∞ n∞ e olduğundan g n dizisi noktasal olarak g fonksiyonuna yakınsar. Diğer taraftan, g n fonksiyonları t = 1n için maksimum değerleri olan g n 1n = ne değerlerini almaktadırlar. n sayısı arttıkça g n foksiyonlarının grafikleri g nin grafiği etrafındaki bir şeridin içinde kalamayacakları açıktır. Rasgele Değişkenlerin Dizileri ve Yakınsama Ω, U, P bir olasılık uzayı, Xn : Ω R , n = 1, 2, . . . ω X n ω ve X:ΩR ω Xω bu uzayda tanımlı rasgele değişkenler olsun. Rasgele değişkenlerin X n dizisinin bir fonksiyon dizisi olduğunu vurgulayalım. Bundan sonraki kısımlarda kısalık olması bakımından olasılık uzayı bazen belirtilmeyecektir. Bu durumlarda X n dizisindeki rasgele değişkenlerle X rasgele değişkeninin aynı olasılık uzayında tanımlı olduğunu düşüneceğiz. X n dizisindeki rasgele değişkenlere karşılık gelen dağılım fonksiyonlarını sırasıyla F 1 , F 2 , . . . , F n , . . . ve X in dağılım fonksiyonunu F ile göstereceğiz. Tanım: Ω, U, P bir olasılık uzayı, X n rasgele değişkenlerin bir dizisi ve X bir rasgele değişken olmak üzere her > 0 için lim Pω : X n ω − Xω|≥ = 0 n∞ ise X n dizisine olasılıkta (olasılık ölçüsünde) X e yakınsar denir. Tanımdaki limit ifadesi kısaca, lim P|X n − X|≥ = 0 n∞ veya P|X n − X|≥ 0 olarak yazılabilir ya da eşdeğeri olan, lim P|X n − X|< = 1 n∞ veya P|X n − X|< 1 ifadesi kullanılabilir. X n dizisinin olasılıkta X e yakınsamasını Xn olasılıkta P X , X n X veya p lim X n = X biçiminde göstereceğiz. Tanım: r pozitif bir reel sayı, n = 1, 2, . . . için E|X n | r < ∞ ve E|X| r < ∞ olmak üzere, lim E|X n − X| r = 0 n∞ ise X n dizisine r. ortalamada X ’e yakınsar denir. X n dizisinin r. ortalamada X e yakınsamasını, r Xn X biçiminde göstereceğiz. Bundan sonra belli bir ortalamada yakınsama söz konusu olduğunda tanımdaki momentlerin sınırlı olması şartının sağlandığını varsayacağız. Tanım: X n dizisindeki rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonlarının dizisi F n ve X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F olmak üzere, F in sürekli olduğu her x ∈ R noktasında, lim F n x = Fx n∞ ise X n dizisine dağılımda X e yakınsar veya X n dizisi F dağılım fonksiyonu ile limit dağılıma sahiptir denir. X n dizisinin dağılımda X e yakınsamasını, d Xn X biçiminde göstereceğiz. Dağılımda yakınsama için rasgele değişkenlerin aynı uzayda tanımlı olmaları gerekmez. Teorem 5.1.3 Ω, U, P bir olasılık uzayı, X n rasgele değişkenlerin bir dizisi ve X bir rasgele değişken olmak üzere : P d Xn X ⇒ Xn X dır. Đspat: X n dizisi olasılıkta X e yakınsasın. X e karşılık gelen F dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu bir nokta x x ∈ R olsun. > 0 için u, v sayıları u < x < v ve Fu > Fx − /2, Fv < Fx + /2 olacak şekilde seçilsin. PX n x = PX n ≤ x = PX n ≤ x ve X ≤ v + PX n ≤ x ve X > v ≤ PX ≤ v + P|X n − X| ≥ v − x ve P|X n − X| ≥ v − x 0 olması sebebiyle, belli bir m 1 vardır, öyleki n ≥ m 1 için PX n ≤ x ≤ PX ≤ v + /2 dır. Benzer biçimde PX ≤ u ≤ PX n ≤ x + P|X n − X|≥ x − u ve P|X n − X| ≥ x − u 0 dan, belli bir m 2 vardır, öyle ki n ≥ m 2 için PX n ≤ x ≥ PX ≤ u − 2 dır. Böylece n ≥ maxm 1 , m 2 için PX ≤ u − ≤ PX n ≤ x ≤ PX ≤ v + 2 2 Fu − ≤ F n x ≤ Fv + 2 2 ve Fx − < F n x < Fx + yani, lim F n x = Fx n∞ dır. X n dizisi dağılımda X e yakınsar. Örnek: Ω = a, b, U σ −cebiri Ω nın kuvvet kümesi, Pa = Pb = 1 olmak üzere 2 n = 1, 2, . . . için Xn : Ω R 1 , ω=a 0 , ω=b ω X n ω = ve X:ΩR 1 , ω=b 0 , ω=a ω Xω = olsun. n = 1, 2, . . . için 0 F n x = x<0 , 1/2 , 0 x < 1 1 x≥1 , ve Fx = 0 , x<0 1/2 , 0x<1 1 , x≥1 olduğundan her x ∈ R için, F n x = Fx yani X n dizisi dağılımda X e yakınsar. Ancak, > 0, < 1 için P|X n − X| ≥ , n = 1, 2, . . . olduğundan X n dizisi olasılıkta X e yakınsamaz. Görüldüğü gibi dağılımda yakınsama olasılıkta yakınsamayı gerektirmez. Ancak X n dizisinin yakınsadığı X rasgele değişkeni bir noktada yoğunlaşmış dağılıma sahipse, dağılımda yakınsama, olasılıkta yakınsamayı gerektirir. Teorem: X n , rasgele değişkenlerin bir dizisi ve X, c c ∈ R noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip bir rasgele değişken olmak üzere, d P d P Xn X Xn X yani, Xn c Xn c dır. Đspat: X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu, 0 , x<c 1 , x≥c Fx = x = c dışındaki her noktada süreklidir. X n dizisi X e dağılımda yakınsasın, yani her x ∈ R ve x ≠ c için lim F n x = Fx n∞ olsun. Bu durumda, > 0 için P|X n − X| ≥ = P|X n − c| ≥ = PX n ≤ c − + PX n ≥ c + ≤ PX n ≤ c − + PX n ≥ c + 1 2 1 = F n c − + 1 − F n c + 2 olmak üzere, F n c − + 1 − F n c + 1 2 = 0 + 1 − 1 lim P|X n − X| ≥ ≤ lim n∞ n∞ =0 olduğundan, X n dizisi olasılıkta c noktasında yoğunlaşmış X rasgele değişkenine (c sabitine) yakınsar. Bu ve Teorem 5.1.1 in g) şıkkından, d P Xn c ⇔ Xn c sonucu çıkmaktadır. Örnek: Y n , bağımsız ve aynı dağılma sahip rasgele değişkenlerin bir dizisi ve bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu, fy = 1 b−a , a<y<b 0 , d. y. olsun. X n dizisi X n = maxY 1 , Y 2 , . . . , Y n , n = 1, 2, . . . olarak tanımlansın. 0 F X n x = x−a b−a 1 ve n , x<a , a≤x<b , x≥b n x−a b−a f X n x = n−1 1 b−a 0 , a<x<b , d. y. olmak üzere, dağılım fonksiyonlarının F X n dizisi için, 0 , x<b 1 , x≥b lim F X n x = n∞ yani, d Xn b dır. X n dizisi dağılımında b noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip rasgele değişkene yakınsar. Başka bir ifade ile n sonsuza giderken X n nin limit dağılımı b noktasında yoğunlaşmış dağılımdır. Yukarıdaki teoremden X n dizisinin olasılıkta da b noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip rasgele değişkene yakınsadığını söyleyebiliriz. Şimdi bu yakınsamayı doğrudan olasılıkta yakınsamanın tanımından görelim. > 0, < b − a için, lim P|X n − b|≥ = lim P|X n ≤ b − = lim F X n b − n∞ n∞ b− ∫ n∞ = lim a = lim n∞ n∞ n x−a b−a n−1 b−−a b−a n 1 dx b−a =0 dır. Örnek: X n (n = 1, 2, . . . ) rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X n x = nx 2 n e− 2 2π , −∞ < x < ∞ olsun. x F X n x = ∫ −∞ nx 2 n e − 2 dx = 2π nx ∫ −∞ t2 1 e − 2 dt 2π ve 0 lim F X n x = n∞ , x<0 1/2 , x = 0 1 , x>0 olmak üzere, X n dizisi dağılımda, dağılım fonksiyonu 0 , x<0 Fx = 1 , x≥0 olan X rasgele değişkenine yakınsar, yani d Xn X dır. Ancak, X sıfır noktasında yoğunlaşmış dağılıma sahip olduğu için P Xn 0 dır. Başka bir ifade ile her > 0 için lim P|X n |< = 1 dır. Bununla birlikte, n∞ PX n < 0 = 1/2 , n = 1, 2, . . . PX < 0 = 0 ve PX n ≤ 0 = 1/2 PX ≤ 0 = 1 olmak üzere, PX n < 0 olasılığı n ∞ için PX < 0 olasılığına ve PX n ≤ 0 olasılığı n ∞ için PX ≤ 0 olasılığına yakınsamamaktadır. Đlgi çekici bu durumun sebebi x = 0 noktasında F fonksiyonunun sürekli olmamasıdır. Teorem: X n , Y n rasgele değişken dizileri ve g : ℝ 2 ℝ sürekli bir fonksiyon olmak üzere, P P P X n X, Y n Y fX n , Y n fX, Y dır. P P Đspatsız olarak verilen bu teoremin, bir sonucu olarak, eğer X n X ve Y n Y ise P a) X n + Y n X + Y p b) X n Y n XY c) p X Xn , PY n ≠ 0 = 1 n = 1, 2, . . . Yn Y dır. Aşağıda ispatsız olarak bazı teoremler ifade edilecek ve bunlarla ilgili bazı örnekler verilecektir. Teorem: X bir rasgele değişken X n rasgele değişkenlerin bir dizisi ve φ X n karşılık gelen karakteristik fonksiyonların bir dizisi olmak üzere, d X n X φ X n t φ X t , t ∈ R dır. Moment çıkaran fonksiyonların var olması halinde, d X n X M X n t M X t , −h < t < h Örnek: n = 1, 2, . . . için X n rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu, p n ∈ 0, 1 ve lim np n = λ λ > 0 olmak üzere, n∞ f X n x = nx p xn 1 − p n n−x , x = 0, 1, 2, . . . , n olsun. X n nin karakteristik fonksiyonu, φ X n t = 1 − p n + p n e it n , t ∈ R olmak üzere, lim φ X n t = e λe it −1 n∞ , t∈R dır. Bu karakteristik fonksiyon, olasılık fonksiyonu −λ x fx = e λ x! , x = 0, 1, 2, . . . olan X rasgele değişkenine karşılık gelmek üzere, d Xn X dır. Problemler 1. a) X negatif değerler almayan bir rasgele değişken olsun. PX ≥ 10 = 1/5 ise EX ≥ 2 b) EX = 10, PX ≤ 7 = 0. 2, PX ≥ 13 = 0. 3 ise VarX ≥ 9/2 olduğunu gösteriniz. 2. X rasgele değişkenin olsılık yoğunluk fonksiyonu, a) fx = 1 10 , 0 < x < 10 0 , d.y. b) fx = 1 , 10 c) fx = d) fx = e) fx = f) fx = g) fx = x = 1, 2, . . , 10 x 25 , 0<x≤5 10 − x 5 , 5 < x < 10 0 , d.y. 1 1024 10 , x x = 0, 1, 2, … , 10 1 e −x/θ θ , x > 0, θ > 0 0 , d.y. 3 x2 128 , −4 < x < 4 0 , d.y. 3 16 − x 2 265 , −4 < x < 4 0 , d.y. olsun. k = 3/2, 2, 3 değerleri için P|X − μ X |≥ kσ X olasılıklarını hesaplayınız ve Chebyshev eşitsizliğinin belirlediği sınırla karşılaştırınız. 3. Düzgün bir zar ard arda 10 kez atılsın i = 1, 2, . . , 10 için X 1 i. atışta üste gelen sayı olsun. X i lerin bağımsız olduğu varsayımı altında gelen sayılar toplamının 25, 45 aralığı içinde olması olasılığı için bir alt sınırı Chebyshev eşitsizliği yardımıyla belirleyiniz. 4. X 1 , X 2 , … , X n bağımsız ve aynı dağılımlı (beklenen değeri μ ve varyansı σ 2 ) olan rasgele değişkenler olmak üzere her ε > 0 için n ∑ Xi −μ < ε i=1 lim P n n∞ =0 olduğunu gösteriniz. 5. X n , bağımsız ve aynı dağılımlı ikinci momenti sınırlı rasgele değişkenlerin bir dizisi olmak üzere n ∑ Xi 2 EX 1 i=1 n olduğunu gösteriniz. 6. n = 1, 2, . . . için X n rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X n x = n n x n−1 e −nx , x > 0 Γn 0 , d. y. P olsun. X n 1 olduğunu gösteriniz. 7. n = 1, 2, . . . için X n rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X n x = − 1 e 2π σ n x−μ n 2 2σ 2n , −∞ < x < ∞ ve X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f X x = 1 e− 2π σ x−μ 2 2σ 2 , −∞ < x < ∞ olsun. d X n X lim μ = μ , lim σ2 = σ2 n→∞ n n→∞ n olduğunu gösteriniz.
