Yaklaşık Hesaplamalar Bölüm ki

Bölüm II
Yaklaşık Hesaplamalar
Bölüm İki
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 18
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 19
2.1 Ardışık Yaklaşımlar
Bilimsel araştırmalardan elde edilen neticeler genellikle fonksiyonlar ya da sayılarla
takdim edilir, fakat bunlar sadece birkaç durum için tam olarak çözülebilir. Bu sebeple
elde edilen denklemlerin istenilen hassaslıkta çözümü pratik öneme sahiptir. Bu hedefe
ulaşmak için ardışık yaklaşımlar metodu tavsiye edilen metotlar arasında en güçlü
metottur.
Denklemlerin kat sayıları kullanılarak sonlu sayıda işlemler yoluyla dördüncü
dereceden daha büyük dereceli cebrik denklemler için analitik bir çözüm elde
edilemeyeceği iyi bilinmektedir. Yine de aşağıda anlatılan prosedür kullanılarak belirli bir
hassasiyetle denklemlerin reel kökü hesaplanabilir.
Tek dereci denklemlerin en az bir reel kökü olduğu bilindiğinden mesela, aşağıdaki
beşinci dereceden denklemi ele alalım
32 x 5 − 64 x + 31 = 0
Bu denklemi,
x=
32 x 5 + 31
64
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 20
şeklinde yazıp, x0 = 0 başlangıç değerini vererek,
x0 = 0
x1 =
32 x05 + 31 32 ⋅ 0 + 31 31
=
=
= 0.484375
64
64
64
5
32 x15 + 31 32 ⋅ (0.484375) + 31
x2 =
=
= 0.497706
64
64
5
32 x 25 + 31 32 ⋅ (0.497706) + 31
x3 =
=
= 0.499645
64
64
5
32 x35 + 31 32 ⋅ (0.499645) + 31
x4 =
=
= 0.499945
64
64
5
32 x 45 + 31 32 ⋅ (0.499945) + 31
x5 =
=
= 0.499991
64
64
i
0
1
2
3
4
5
6
7
x
0.000000
0.484375
0.497706
0.499645
0.499945
0.499991
0.499999
0.500000
f(x)
0.484375
0.497706
0.499645
0.499945
0.499991
0.499999
0.500000
0.500000
elde edilir. Esasen bu işlem y = x doğrusu ile y = f ( x ) eğrisinin kesim noktasını
aramaktan ibarettir.
Önceki örnekte kullanılan metoda ardışık yaklaşımlara ait iteratif metot denir. (Itare
Latince tekrarlamak demektir). Bu metotla x n+1 , x n kullanılarak,
xn+1 = f ( xn )
yolu ile hesaplanır. İteratif hesaplamalar ardışık iki sonuç dikkate alınarak ve ε önceden
kabul edilen küçük bir hata terimi olmak üzere ε ≤ xn+1 − xn şartı sağlanıncaya kadar
devam eder.
Yaklaşık hesaplamalar bir f ( x ) fonksiyonu seriye açılmak ve sonsuz terimli bu
serinin belirli elemanlarını dikkate almak suretiyle de yapılabilir. Mesela,
f ( x ) = sin ( x ) = x −
x3 x5
x 2 n+1
+ −
+
3! 5!
(2n +1)!
sin (0.5) sırasıyla bir, iki, üç terim dikkate alınarak
f1 = sin (0.5) = 0.5
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 21
f 2 = sin (0.5) = 0.5 −
0.53
= 0.479167
3!
f3 = sin (0.5) = 0.5 −
0.53 0.55
+
= 0.479427  sin (0.5) = 0.479426
3!
5!
Gerçek değer dikkate alındığında üçüncü iterasyonda, son terimde bir birimlik bir hata
meydana gelmektedir.
2.2 Kuvvet Serileri ve Yakınsaklık Aralığı
Kuvvet serileri,
1
2
3
∞
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + + an x + = ∑ an x n
n
n =0
şeklinde yazılan serilerdir. Bu seriler ile işlem yapabilmek için bu serilerin hangi x
değerleri için yakınsak olduğunu yani yakınsaklık aralığını bilmek gerekir. Bir kuvvet
serisinin yakınsaklık aralığını bulmak için oran testi kullanılır.
Sonsuz terimli pozitif bir serinin toplamı,
S = s1 + s2 + s3 + + sn + şeklinde yazılır. Burada S ’serinin toplamını, sn n = 1, 2, 3 ise serinin elemanlarını
temsil eder. Bu serinin yakınsak olup olmadığını tespit amacıyla bazı testler kullanılır. Bu
testlerden birisi oran testidir.
Oran testi,
sn+1
<1
n →∞ s
n
s
lim n+1 > 1
n →∞ s
n
lim
ise seri yakınsak
ise seri ıraksak
sn+1
=1
ise seri hakkında bir şey söylenemez. Başka testler denenmelidir.
n →∞ s
n
Kuvvet serilerine bu testi uygularsak,
lim
lim
n →∞
an+1 x n+1
<1
an x n
an+1
<1
n →∞ a
n
x lim
olmalıdır.
ÖRNEK
y = f ( x ) = e x serisinin yakınsaklık aralığını hesaplayınız.
y = f (x) = e x = 1+ x +
∞
1 2 1 3
1
1
x + x ++ x n + = ∑ x n
2!
3!
n!
n =0 n !
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 22
1
1
x n+1
(n + 1)!
(n +1)!
1
lim
= x lim
= x lim
=0
n →∞
n
→∞
n
→∞
1 n
1
+
1
n
x
n!
n!
−∞ < x < +∞ arası seri yakınsaktır.
ÖRNEK
y = f ( x ) = ln ( x + 1) serisinin yakınsaklık aralığını hesaplayınız.
y = f ( x ) = ln ( x + 1) = 0 + x −
lim
n →∞
x n+1
(n +1)
xn
n
n
n
∞
x2 x3
n +1 x
n +1 x
+ + + (−1)
+ = ∑ (−1)
2
3
n
n
n =1
1
(n +1)
n
= x lim
= x lim
= x <1
n →∞
n →∞ n + 1
1
n
−1 < x < +1 arası seri yakınsaktır. Acaba sınırlar dahil midir?
x = −1 için,
2
y = f (−1) = ln (0) = 0 −1−
(−1)
2
3
+
(−1)
3
n
n +1
+ + (−1)
(−1)
n
+
1 1
1
y = f (−1) = ln (0) = 0 −1− − −− − serisi ıraksak bir seridir.
2 3
n
x = +1 için,
2
y = f (1) = ln (2) = 0 + 1−
(1)
2
3
+
(1)
3
n
n +1
+ + (−1)
(1)
n
+
1 1 1
n +1 1
y = f (1) = ln (1) = 0 + 1− + − + + (−1)
− serisi yakınsak bir seridir.
2 3 4
n
O halde y = f ( x ) = ln ( x + 1) serisini yakınsaklık aralığı −1 < x ≤ +1 olur.
Demek ki, −∞ < x < +∞ aralığında e x için hesaplama yapılabilir. Bu seri bütün x
değerleri için yakınsaktır. Halbuki y = f ( x ) = ln ( x + 1) serisi bütün x değerleri için
yakınsak değildir. Mesela x = 5 için y = f ( x ) = ln (5 + 1) = ln (6) için yukarıdaki seri
kullanılarak
bir
hesap
yapılamaz.
Ama
x = 0. 2
için
için
y = f ( x ) = ln (0.2 + 1) = ln (1.2) için yukarıdaki seri kullanılarak hesaplama yapılabilir.
Burada başka bir soru ortaya çıkar. Hesaplama için sonsuz terim alamayacağımıza göre
kaç tane terim dikkate alırsak ne kadar hata yaparız? Ve ya belirli bir hata mertebesi için
kaç terimi dikkate almalıyız. Bunun için hesaba katılmayan terimlerim toplamı için
yaklaşık bir hesap yapmalıyız. Bu ise kalanlı Taylor ve Maclaurin serisi hesabını gündeme
getirir.
2.3 Taylor ve Maclaurin Serilerinde Hata Hesabı (Kalanlı Taylor ve Maclaurin Serileri)
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 23
Bir f ( x ) fonksiyonu x = a noktasında Taylor serisine açılırsa bu seri,
f ( x ) = f (a ) +
( x − a)
2
f ′′ (a) +
( x − a)
n
2
( x − a)
3
( x − a)
( x − a)
f ′ (a) +
f ′′ (a) +
1!
2!
3!
olarak yazılır. Şimdi Rn değerini hesaplamaya çalışalım.
f ′′′ (a) + +
( x − a)
(n )
(a ) + n!
1!
2!
3!
şeklinde yazılır. Bu sonsuz terimli bir seridir. Rn ilk n terimden sonraki bütün terimlerin
toplamını temsil etmek üzere bu seri sonlu sayıda seri elemanı dikkate alınarak,
f ( x ) = f (a ) +
f ′ (a) +
3
( x − a)
f
n −1
( x − a)
(
)
f ′′′ (a) + +
f n−1 (a) + Rn
(n −1)!
Ortalama değer teoremine göre, bir fonksiyon bir a ve
b aralığında sürekli ve türetilebilir ise, a < x0 < b
olma üzere öyle bir x0 noktası vardır ki
f (b) − f (a)
= f ′( x0 )
b−a
a < x0 < b
yazılabilir. Bu noktadan hareketle ve daha genel bir
ifade ile,
f ( x ) − f (a )
= f ′ ( x0 )
x −a
veya
f
(n−1)
( x ) − f (n−1) (a)
( )
= f n ( x0 )
x −a
a < x0 < x
yazılır. Ancak x0 ’ın yeri belli değildir. Buradan,
f
(n −1)
( x ) = f (n−1) (a) + ( x − a) f (n) ( x0 )
elde ederiz. Bir kere entegre ederek,
2
f
(n −2)
( x ) = ( x − a) f
(n−2)
(a ) +
elde ederiz. x = a için, f
(n−2)
( x − a)
2!
f
(n )
( x0 ) + C
(a) = C elde edilerek,
2
f
(n −2)
( x ) = f (n−2) (a) + ( x − a) f (n−2) (a) +
bulunur. Arka arkaya entegre ederek,
( x − a)
2!
f
(n )
( x0 )
a < x0 < x
Bölüm II
f
(n −3)
f
(n −4)
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 24
( x ) = f (n−3) (a) + ( x − a) f (n−2) (a) +
( x − a)2
2!
f
( n −2 )
f
(n−2)
(a ) +
2
( x ) = f (n−4) (a) + ( x − a) f (n−3) (a) +
( x − a)
2!
( x − a)2
3!
f
(n )
f
(n−2)
( x0 )
3
(a) +
( x − a)
3!
4
(a ) +
( x − a)
4!
2
f ( x ) = f (a ) + ( x − a ) f ′ ( a ) +
( x − a)
2!
3
f ′′ (a) +
( x − a)
3!
n
f ′′′ (a) + +
( x − a)
n!
f
(n)
( x0 )
n
buluruz. Rn =
( x − a)
n!
f
(n )
( x0 ) Buradan anlaşılmaktadır ki,
n
Rn =
( x − a)
f
n!
(n )
( x0 )
olmaktadır. Maclaurin serisi ise Taylor serisinin özel bir halidir. Bu seri için a = 0 dır.
Maclaurin serisi için kalan terim,
x n (n)
f ( x0 ) olup 0 < x0 < x olur. Maksimum hatayı tahmin edebilmek için verilen
n!
fonksiyonun aralık içindeki en büyük değerini yani M ’yi dikkate almak uygun olur.
Taylor serisi için kalan terimlerin toplamı,
Rn =
n
Rn =
( x − a)
n!
M
Maclaurin serisi için kalan terimlerin toplamı,
xn
Rn =
M
n!
ÖRNEK
f ( x ) = e x fonksiyonunu Maclaurin serisine açarak x = 1 için e sayısını virgülden sonra
4 hane doğru olacak şekilde hesaplayınız.
y = f (x) = e x = 1+ x +
y = f (1) = e1 = 1 + 1 +
Rn =
1 2 1 3
1
x + x ++
x n−1 + Rn
(n −1)!
2!
3!
1 1
1
1
+ ++
1 + e x0
(
)
2! 3!
n −1 !
n!
1 x0
e < 0.00005
n!
x0 = 1 alarak, 2 < e < 3 olduğu bilindiğinden
3
= 60000 < 9! = 362880 olduğundan
0.00005
n ≥ 9 alınır
0 < x0 < 1
f
(n )
( x0 )
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 25
İlk 9 terim dikkate alınarak e sayısı hesaplanırsa,
y = f (1) = e1 = 1 + 1 +
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + = 2.71827877
2! 3! 4! 5! 6! 7 ! 8!
elde edilir. e sayısının daha hassas değeri e = 2.71828183 ’dir.
ÖRNEK
f ( x ) = ln ( x ) fonksiyonunu x = 1 noktasında Taylor serisine açarak x = 1.1 için
f ( x ) = ln (1.1) sayısını virgülden sonra 4 hane doğru olacak şekilde hesaplayınız.
2
y = f ( x ) = ln ( x ) = 0 + ( x −1) −
∞
n +1
= ∑ (−1)
( x −1)
3
+
2
+ + (−1)
( x −1)
n
+
( x −1)n
2
( x −1)
y = f ( x ) = ln ( x ) = 0 + ( x −1) −
n +1
( x −1)
n →∞
3
n
n +1
n
n =1
lim
( x −1)
(n +1)
( x −1)n
n
2
3
+
( x −1)
n +1
+ + (−1)
3
n−1
( x −1)
n −1
+ Rn
1
(n + 1)
n
= x −1 lim
= x −1 lim
= x −1 < 1
n →∞
n →∞ n + 1
1
n
0 < x < +2 arası seri yakınsaktır. Acaba sınırlar dahil midir?
x = 0 için,
2
y = f (0) = ln (0) = 0 −1−
(−1)
2
3
+
(−1)
3
n
n +1
+ + (−1)
(−1)
n
+
1 1
1
y = f (0) = ln (0) = 0 −1− − −− − serisi ıraksak bir seridir.
2 3
n
x = +2 için,
2
y = f (2) = ln (2) = 0 + 1−
(1)
2
3
+
(1)
3
n
n +1
+ + (−1)
(1)
n
+
1 1 1
n +1 1
y = f (2) = ln (2) = 0 + 1− + − + + (−1)
− serisi yakınsak bir seridir.
2 3 4
n
n
Rn =
( x −1) (n −1)!
n!
x0n
< 0.00005
1 < x0 < 1.1 aralığında x0 = 1 için
x0 = 1 alarak,
1
en büyük değeri alaır.
x0
Bölüm II
YAKLAŞIK HESAPLAMALAR - 26
n
(1.1−1)
0.1n
=
< 0.00005 olmalıdır.
n
n
n = 3 için,
0.13
= 0.0000333 < 0.00005
3
olduğundan n ≥ 3 alınır.
2
3
(1.1−1)
(1.1−1)
y = f (1.1) = ln (1.1) = 0 + (1.1−1) −
+
= 0.095333
2
3
daha hassas hesaplamayla ln (1.1) = 0.095310 elde edilir