Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15 I Limit Superior ve I Limit Inferior Hafize (Gok)1Gumus ve Fatih Nuray2 1,2 Afyon Kocatepe Üniversitesi, FEF, Matematik. Böl.,03200, Afyonkarahisar e-posta: [email protected], [email protected] Geliş Tarihi: 13 Nisan 2011; Kabul Tarihi: 18Mayıs2011 Özet Bu çalışmada, doğal sayılar kümesinin alt kümelerinin bir ailesi yardımıyla tanımlanmış olan ideal kavramı ile oluşturulmuş olan I-yakınsaklık kavramı ve daha sonra çalışılmış olan I-limit superior ve I-limit inferior kavramları, 1981 de Kızmaz tarafından tanımlanmış olan fark dizi uzaylarına uygulanmıştır. Elde edilen I-limit superior ve I-limit inferior kavramları arasındaki ilişkiler incelenmiştir. Ayrıca bu kavramların sırasıyla x reel sayı dizisinin I-yığılma noktalarının en büyüğü ve en küçüğüne eşit olduğu fakat aynı durumun I-limit noktaları için geçerli olmadığı gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler:Fark dizisi; I-yakınsaklık;I-limit superior;I-limit inferior. I Limit Superiorand I Limit Inferior Abstract In this study, I-convergence which is obtained from an ideal, family of a subset of natural numbers, and also Ilimit superior ve I-limit inferiorareappliedfordifferencesequenceswhichwasintroducedby Kızmaz in 1981. I-limit superiorand I-limit inferiorareobtainedandrelationsbetweenthemareinvastigated. Andalso it is shownthattheseconceptsareequaltothebiggestandsmallest I - clusterpoints of thesequence x but it is not truefor I limit points. Key Words:Difference sequence, I-convergence;I-limit superior;I-limit inferior. d ( A) lim n inf d n( A) 1. Giriş İstatistiksel yakınsaklık kavramı Fast(Fast, 1981) tarafından tanımlandı ve farklı adlar altında Fourieranaliz, ergodik teori ve sayı teorisi alanlarından tartışıldı. Bu kavram daha sonra Šalát (Šalát, 1980), Fridy (Fridy, 1985), Connor (Connor, 1988), Fridy ve Orhan (Fridy ve Orhan, 1997) tarafından çalışıldı. Tanım 1.1. A , n ve A fonksiyonu A kümesinin karakteristik fonksiyonu olmak üzere, d n ( A) 1 n A (k ) n k 1 olarak tanımlansın. ve d ( A) lim n sup d n ( A) ifadeleri sırasıyla A kümesinin alt ve üst asimptotik yoğunluğu olarak adlandırılır. Eğer d ( A) lim n d n ( A) limiti mevcut ise bu limite A kümesinin asimptotik yoğunluğu denir. Tanım 1.2. Reel sayıların bir x ( xk ) dizisi verilmiş olsun. A bir küme ve A ifadesi A kümesinin kardinalitesi olmak üzere 0 için d k n : xk l 0 yani 11 Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15 1 k n : xk l 0 n oluyorsa x dizisi l sayısına istatistiksel lim n yakınsaktır denir. İstatistiksel yakınsak tüm dizilerin kümesi S ile gösterilir. Kostyrko, Mačaj ve Šalát, N doğal sayılar kümesinin alt kümelerinin bir ailesinin I idealini kullanarak reel sayıların I-yakınsaklığını tanımlamışlardır (Kostyrko vd.,2000). Iyakınsaklık, istatistiksel yakınsaklığın genelleştirilmiş hali olarak düşünülebilir. Kostyrko, Šalát ve Wilezyński bu tanımı herhangi bir metrik uzayda çalışmışlar, aynı zamanda Ilimit noktaları ve I-yığılma noktalarını tanımlamışlardır (Kostyrko vd., 2000 ) . Tanım 1.3. N pozitif tamsayılar kümesinin alt kümelerinin boştan farklı bir I ailesi için aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa I ailesine bir ideal denir(Kostyrko vd.,2000). (i) I (ii) Her A, B I için A B I (iii) Her A I ve her B A için B I Eğer I 2 N ideali için I 2 N oluyorsa I idealine gerçek ideal; I gerçek ideali N nin her sonlu alt kümesini içeriyorsa I ya bir uygun ideal adı verilir. Tanım 1.4. N pozitif tamsayılar kümesinin alt kümelerinin boştan farklı bir F ailesi için aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa F ailesine bir süzgeç denir (Kostyrko vd., 2000 ) . (i) F (ii) Her A, B F için A B F (iii) Her A F ve her B A için B F N Önerme 1.1. I 2 bir gerçek ideal olmak üzere, F ( I ) M : M \ A, A I kümesi N de bir süzgeçtir(Kostyrko vd.,2000 ). Yukarıdaki önerme göz önüne alınırsa, süzgeç kavramını idealin duali olarak düşünmek mümkündür. Tanım 1.5. x ( xk ) bir reel sayı dizisi ve I 2 N bir uygun ideal olmak üzere 0 için A( ) k : xk l kümesi I idealinin elemanı oluyorsa x dizisi l sayısına I -yakınsaktır denir. I -yakınsak tüm dizilerin kümesi c I ile gösterilir. I -yakınsaklık, I -limit noktaları ve I -yığılma noktaları ile ilgili çalışmalardan sonra Demirci, I -limit superior ve I -limit inferior kavramlarını tanımlamıştır (Demirci, 2001). Tanım 1.6. x ( xk ) bir reel sayı dizisi ve I 2 N bir uygun ideal olsun. Bx b : k : xk b I ve Ax a : k : xk a I olmak üzere, Bx ise sup Bx , I lim sup x , Bx ise ve inf Ax , I lim inf x , Ax ise Ax ise olarak tanımlanır (Demirci, 2001). l , c ve c0 uzayları sırasıyla sınırlı, yakınsak ve sıfıra yakınsak diziler kümesini göstersin. Kızmaz (Kızmaz 1981), x (xk ) ( xk xk 1 ) olmak üzere X l , c, c0 için X () x ( xk ) : x X dizi uzaylarını x tanımladı x1 x ve bu uzayların normu ile birer BK uzayı olduğunu gösterdi. Bu kavram Et ve Çolak (Et ve Çolak, 1995) tarafından genelleştirildi. Tanım 1.7. x ( xk ) bir reel sayı dizisi ve x (xk ) ( xk xk 1 ) olsun. I 2 N bir uygun ideal olmak üzere 0 için d k n : xk l 0 l sayısına -istatistiksel ise x dizisi yakınsaktır denir. -istatistiksel yakınsak tüm 12 Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15 dizilerin kümesi S () ile gösterilir (Başarır, 1995). Tanım 1.8. Kabul I lim sup x olsun. x ( xk ) sayısı, b olmak üzere reel sayı dizisi İspat: k : xk için 0 verilsin. k : x k l I I -yakınsak tüm dizilerin kümesi c I () ile I f A : A sonlukümesi de bir uygun ideal ve c I f () c() dır. Örnek 1.2. Id A : d ( A) 0 kümesi de bir uygun idealve c I d () S () dır. sayı dizisi ve x (xk ) ( xk xk 1 ) olsun. Bx b : k : xk b I ve Ax a : k : xk a I Bx ise Bx ise ve inf Ax , I lim inf x , Ax ise Ax ise dır. Teorem 2.1. Eğer I lim sup x sonlu ise her ε>0 için, k : xk I ve k : xk I dır. Yani, k : xk I olmak zorundadır. Diğer yandan olduğundan k : x olacak k şekilde b' I bir b ' ( , ) elemanı b' yazılabileceğinden ve ifadenin sağ tarafı ideale ait olmadığından, k : xk I elde edilir. Teorem 2.2. Eğer I lim inf x sonlu ise her ε>0 için, k : xk I ve k : xk I dır. İspat: olarak tanımlanır. Bu durumda, sup Bx , I lim sup x , sağlayan en büyük elemandır. olduğundan (1) şartını sağlayamaz. k : xk k : xk N Tanım 2.1. I 2 bir uygun ideal, x ( xk ) reel b I (1) bulunabilir. 2. I Limit Superior ve I Limit Inferior bir ki şartını ise x dizisi l sayısına I -yakınsaktır denir. gösterilir. Örnek 1.1. edelim Bu durumda Kabul I lim inf x olsun. sayısı, a olmak üzere edelim Bu durumda şartını küçük k : xk ki a I (2) sağlayan en elemandır. olduğundan (2) şartını sağlayamaz. Yani, k : xk I olmak zorundadır. Diğer yandan olduğundan k : x olacak k şekilde a' I bir a ' ( , ) elemanı bulunabilir. k : xk k : xk a' yazılabileceğinden ve ifadenin sağ tarafı ideale ait olmadığından, 13 Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15 k : xk I elde edilir. Bu iki teorem gereğince I lim sup x k : xk I 2 ve I lim inf x noktalarının, x dizisinin ΔI-yığılma noktalarının sırasıyla en büyüğü ve en küçüğü olduğu söylenebilir. Fakat bu durum ΔI-limit noktaları için geçerli değildir. Örnek2.1. I I d ve u dizisi aşağıdaki şekilde tanımlansın. ve dolayısıyla k : xk I yazılabilir. 2 k : xk k : xk 2 1 1 2 1 2 3 u 0,1,0, ,1,0, , ,1,0, , , ,1,0,... 2 3 3 4 4 4 ve ifadenin sol tarafı ideale ait olmadığından sağ tarafı da ideale ait değildir. Bu durumda olur. Ax 0, k tek x dizisini x k u k , k çift inf Ax olduğundan keyfi ε>0 için elde edilir. Bu durumda k : xk olarak seçelim. Tanım 2.2. x ( xk ) dizisi için, 1 I d k : x olduğundan fakat I ( x ) 0 dır. Teorem 2.3. Herhangi bir x dizisi için I lim inf x I lim sup x I lim sup x k B I olacak şekilde bir B sayısı varsa x dizisine ΔIsınırlıdır denir. Teorem 2.4. Bir ΔI-sınırlı x reel sayı dizisinin ΔI-yakınsak olması için gerek ve yeter şart I d lim sup x 1 dir. İspat: İspatı I lim inf x I lim sup x (3) ifadesinin üç durumu için yapacağız. Öncelikle kabul edelim ki I lim sup x olsun. Bu durumda olmasıdır. İspat: Kabul edelim ki I lim x l olsun.x, ΔI-sınırlı olduğundan I lim inf x ve I lim sup x sonludur. I yakınsaklık tanımı gereğince, olacak k : x şekilde bir b sayısı yoktur. O zaman b için ve dolayısıyla, Bx yani k : xk b I k : xk b I dır. b<a için, k : xk a k : xk Ax ve dolayısıyla I lim inf x elde edilir. Şimdi kabul edelim ki I lim sup x olsun. Bu durumda ispat açıktır. Son olarak varsayalım ki I lim sup x ve I lim inf x olsun. Tanımdan dolayı ∀ε>0 için, k l I k : xk l I 2 b olduğundan ifadenin sağ tarafı ideale ait değildir a için k : xk a I dır. yani Böylece ve böylece ve k : xk l I 2 dir. k : xk l k : xk l 2 ve k : xk l k : xk l 2 olduğundan, 14 Gök Gümüş ve Nuray / AKÜ Fen Bilimleri Dergisi 2010-01 11-15 k : xk l I enceandEnginering, 7(2), 1-6. Connor, J., 1988, "Thestatisticalandstrong p-Ce- ve k : xk elde edilir. l l I sároconvergence of sequences", Analysis 8, I lim sup tanımı gereğince l; I lim inf tanımı gereğince l ve dolayısıyla l olduğundan elde edilir. (3) gereğince olduğu bilindiğinden elde edilir. Şimdi kabul edelim ki I lim inf x = ve dolayısıyla 47-63. Demirci,K.,2001,I-limit superiorand limit inferior, Math. Commun. 6, 165-172. Et, M., Çolak, R., 1995,On some generalized difference sequence spaces, Soochow Journal Of Mathematics,Volume 21, No.4, pp. 377386. I lim sup x olsun.Buna göre, Fast, H., 1951, Sur la convergence statistique, Coll. Math.2 , 241-244. k : xk l I 2 Fridy, J.A., 1985,On statistical convergence, Analysis, 5, 301-313. ve k : xk l I 2 dir. Buradan, k : xk l k : xk l 2 ve k : xk l k : xk l 2 bağıntıları düşünülürse ifadelerin sağ tarafları ideale aittir. k : x k l = k : xk l k : xk l olduğundan I lim xk l elde edilir. 6. Sonuç Bu çalışmada, daha önce reel sayı dizileri için tanımlanmış olan I limit supremum ve I limit infimum kavramları, Kızmaz tarafından tanımlanmış olan fark dizilerine uygulanmıştır. Fridy, J. A., Orhan, C., 1997, Statistical limit superior and limit inferior, Proceedings of the American MathematicalSociety Volume 125, Number 12, 3625-3631. (Gök) Gümüş, H., Fark Dizilerinin I-Yakınsaklığı ve Asimptotik I-Denkliği, Doktora Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Afyon Kocatepe Üniversitesi, basımda. Kızmaz, H., 1981,On certain sequence spaces, Canad.Math. Bull. Vol. 24(2). KostyrkoP.,Mačaj, M., Šalát,T.,2000, Statistical convergenceand I-convergence, The International Scientific Conference, 16th Summer School on Real Functionstheory. Kostyrko, P.,Šalát, T.,W.Wilezyński, 2000,IConvergence, Real Analysis Exchange, Vol. 26(2), 2000/2001, pp.669-680. Šalát, T., 1980, "On statistically convergent sequences of real numbers", Math.Slov., 30, 139 150. Kaynaklar Başarır, M., 1995,"On the Δ-Statisticalconvergence ofsequences, Fırat Univ.,Journal of Sci 15