STATİK

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Skalerler ve Vektörler
- Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ
- İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
- Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE
- Düzlemde Denge
- Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR
- Düzlem Kafes Sistemler
- Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
6
Behcet DAĞHAN
STATİK
KÜTLE MERKEZLERİ ve
GEOMETRİK MERKEZLER
www.makina.selcuk.edu.tr
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 1
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Kütle Merkezi
Behcet DAĞHAN
Bir cismin ağırlığı aslında bir tek kuvvet değildir. Ağırlık kuvveti cismin hacmi üzerinde yayılmış olan yayılı bir kuvvettir.
Ama problem çözerken kolaylık olsun diye bu yayılı kuvvetin yerine geçen bir bileşke kuvvet göz önüne alınır.
≡
G
W
Statik dersinde kuvvet vektörünün bir tesir çizgisi vardır. Bileşke ağırlık kuvvetinin de bir tesir çizigisi vardır ve nereden geçtiği bilinmelidir.
Bir cisim herhangi bir noktasından tavana bir iple asılarak ağırlık kuvvetinin tesir çizgisi bulunabilir.
Çünkü ağırlık kuvvetinin tesir çizgisi daima ip ile çakışıktır.
Farklı noktalardan asarak elde edilen farklı tesir çizgilerinin hepsinin aynı bir noktada kesiştiği görülür.
İşte bu noktaya kütle merkezi veya ağırlık merkezi denir.
Kütle merkezini G ile göstereceğiz.
Behcet DAĞHAN
_ _ _
G(x,y,z)
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 2
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
A
B
Behcet DAĞHAN
C
A
G
W
B
G
W
A
W
Kütle merkezinin yerini hesap yaparak bulmak için Varignon teoreminden faydalanılır.
W = ∫ dW
Diferansiyel eleman
dW
→
z
_
zel
_
xel
O
_
_
x W = ∫ xel dW
→
Benzer şekilde:
_
yel
Behcet DAĞHAN
_ _ _
xel yel zel
}
x
W
_ __
G ( x, y, z )
y-eksenine göre moment alarak:
y
Diferansiyel elemanın
kütle merkezinin koordinatları
www.makina.selcuk.edu.tr
_
_ ∫ xel dW
x = –––––––
W
_
_ ∫ yel dW
y = –––––––
W
_
_ ∫ zel dW
z = –––––––
W
W=gm
dW = g dm
→
_
_ ∫ xel dm
x = –––––––
m
_
_ ∫ yel dm
y = –––––––
m
_
_ ∫ zel dm
z = –––––––
m
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 3
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
→
dm = ρ dV
ρ = sb. ise
_
_ ∫ xel ρ dV
x = –––––––
∫ ρ dV
(Homojen cisim)
Si
_
_ ∫ yel ρ dV
y = –––––––
∫ ρ dV
_
_ ∫ xel dV
x = ––––––
V
_
_ ∫ yel dV
y = ––––––
V
Behcet DAĞHAN
ρ : Yoğunluk, birim hacmin kütlesi
_
_ ∫ zel dV
z = ––––––
V
mi
m
etr
i
_
_ ∫ zel ρ dV
z = –––––––
∫ ρ dV
dü
zle
m
i
tri
me
le
üz
d
Si
S
im
et
r
i
d
ü
zl
em
i
G
Homojen bir cismin kütle merkezi,
varsa, simetri düzlemi üzerindedir.
Behcet DAĞHAN
Eğer birbirini kesen
iki tane simetri düzlemi varsa
kütle merkezi simetri düzlemlerinin
kesişme doğrusu üzerindedir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Bu doğruyu da kesen
bir simetri düzlemi daha varsa
o zaman doğrunun düzlemi kestiği nokta
cismin kütle merkezidir.
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 4
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Geometrik
Merkez
Behcet DAĞHAN
Homojen bir cismin kütle merkezi bulunurken cismin sadece geometrisi ile ilgilenmek yeterli olur.
Cismin sedece geometrisi ile ilgilenilerek bulunan merkeze geometrik merkez denir.
Homojen bir cismin kütle merkezi geometrik merkez ile çakışıktır.
Dolayısı ile herhangi bir cismin, cisim homojen kabul edilerek, kütle merkezi bulunursa geometrik merkezi bulunmuş olur.
Geometrik merkezi C harfi ile göstereceğiz.
_ _ _
C(x,y,z)
t = sb. ise
_
_ ∫ yel dV
y = ––––––
V
(Kalınlık sabit)
A = sb. ise
dV = t dA
_
_ ∫ xel dA
x = ––––––
A
_
_ ∫ zel dV
z = ––––––
V
_ _ _
xel yel zel
}
_
_ ∫ xel dV
x = ––––––
V
Diferansiyel elemanın
geometrik merkezinin koordinatları
(Kesit alanı sabit)
dV = A dL
_
_ ∫ yel dA
y = ––––––
A
Behcet DAĞHAN
_
_ ∫ zel dA
z = ––––––
A
_
_ ∫ xel dL
x = ––––––
L
www.makina.selcuk.edu.tr
_
_ ∫ yel dL
y = ––––––
L
_
_ ∫ zel dL
z = ––––––
L
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 5
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/1
Behcet DAĞHAN
Herhangi bir çember parçasının geometrik merkezinin yerini bulunuz.
Verilenler:
ρ = sb.
A = sb.
Çözüm
Bir cismi homojen kabul ederek kütle merkezi bulunursa o cismin geometrik merkezi bulunmuş olur.
Homojen bir cismin kütle merkezi, varsa, simetri ekseni üzerindedir.
Bir çember parçası, kesit alanı sabit olan bir cisim olarak göz önüne alınabilir.
Kesit alanı sabit olan bir cismin geometrik merkezini bulurken sadece boyu ile ilgilenmek yeterli olur.
_ _
Yay parçasının simetri ekseni, x-ekseni ile çakıştırılırsa: OC = x
y
θ=α
dL = r dθ
dθ
Tam çemberin
geometrik merkezi
↑
O
θ
C
↑
Yay parçasının
geometrik merkezi
İstenenler:
_
OC = ?
r
x
_
_
x L = ∫ xel dL
L = 2αr
_
xel = r cosθ
dL = r dθ
θ = −α
}
C
α
_
x (2αr) = ∫ (r cosθ) (r dθ)
−α
α
_
x (2αr) = r 2 (sinθ |
−α
_ r sinα
x = ––––––
α
↑ Bu α nın birimi daima radyandır.
_
r sinα
OC = ––––––
α
Geometrik merkez,
cismin dışında da olabilir.
O
α
α
!
Bu değer, seçilen eksen takımından bağımsızdır.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 6
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/1
Behcet DAĞHAN
Herhangi bir çember parçasının geometrik merkezinin yerini bulunuz.
_
r sin α
OC = ––––––
α
Verilenler:
ρ = sb.
Bu değer, seçilen eksen takımından bağımsızdır.
A = sb.
Yarım çember
Çeyrek çember
y
y
C
α α
O
α = π/ 2
_
r sin α
OC = ––––––
α
İstenenler:
_
OC = ?
}
C
2r
–––
π
α
α
x
O
x
α = π/4
_
r sin α
OC = ––––––
α
_
2r
OC = –––
π
_
_ 2r
x = 0 , y = –––
π
}
_
_
2 √2 r
OC = ––––––
π
_ _ 2r
x = y = –––
π
!
Behcet DAĞHAN
Bu koordinatlar, eksenler yukarıdaki gibi seçilirse geçerlidir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 7
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/2
Behcet DAĞHAN
Herhangi bir üçgenin geometrik merkezinin herhangi bir tabanına uzaklığını bulunuz.
ρ = sb.
t = sb.
h
Çözüm
Verilenler:
Bir üçgen, kalınlığı sabit olan bir cisim olarak göz önüne alınabilir.
Kalınlığı sabit olan bir cismin geometrik merkezini bulurken sadece yüzey alanı ile ilgilenmek yeterli olur.
Üçgenin tabanı, x-ekseni ile çakıştırılırsa:
y
y
_
_
y A = ∫ yel dA
ah
A = ––––
2
_
yel = y
dy
y
x
s
dA = s dy
a
x
!
İstenenler:
_
y=?
Diferansiyel elemanı seçerken
olabildiğince
tek aşamada sonuca gidebilecek şekilde
seçmeye dikkat edilmelidir.
Yukarıdaki gibi bir seçim yapılırsa
sınırlar değişik olduğu için
problemi iki bölümde çözmek gerekecektir.
Behcet DAĞHAN
s
h−y
–– = –––––
a
h
}
a
_ ah h a
y ––– = ∫ y –– (h − y) dy
2 0 h
h
_ ah a
y2
y3
y ––– = –– (h ––– − ––– |
2
3 0
h
2
_ h
y = ––
3
Herhangi bir üçgenin geometrik merkezinin herhangi bir tabanına uzaklığı
o tabandan ölçülen yüksekliğinin üçte biri kadardır.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 8
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/3
Behcet DAĞHAN
r
Herhangi bir daire parçasının geometrik merkezinin yerini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
t = sb.
O
Bir daire parçası, kalınlığı sabit olan bir cisim olarak göz önüne alınabilir.
Kalınlığı sabit olan bir cismin geometrik merkezini bulurken sadece yüzey alanı ile ilgilenmek yeterli olur.
Daire parçasının simetri ekseni, x-ekseni ile çakıştırılırsa:
_ _
Simetri ekseni x-ekseni ile çakıştırıldığı için: OC = x
y
θ=α
Tam dairenin
geometrik merkezi
dθ
↑
O
Daire parçasının
geometrik merkezi
↑
θ
C
θ = −α
}
C
Bu diferansiyel elemanın şekli, her ne kadar bir daire parçası ise de bir üçgen gibi kabul edilebilir.
Herhangi bir üçgenin
_
_
α
_
dθ 2
x A = ∫ xel dA
2
2
geometrik
merkezinin
x (α r ) = ∫ (–– r cos θ ) (––– r )
2
−α 3
herhangi bir tabanına uzaklığı
A = α r2
o tabandan ölçülen
α
3
_
r
x
yüksekliğinin
üçte biri kadardır.
_
2
x (α r 2 ) = –– (sin θ |
xel = –– r cos θ
3
−α
3
↑
ρ = sb.
α
α
dθ
dA = ––– r 2
2
_ 2 r sin α
x = –– ––––––
3
α
!
↑ Bu α nın birimi daima radyandır.
İstenenler:
_
OC = ?
_
2 r sin α
OC = –– ––––––
3
α
Bir daire parçasının geometrik merkezinin O ya uzaklığı,
2 katıdır.
yay parçasınınkinin ––
3
Bu değer, eksen takımından bağımsız olarak daima geçerli olan bir değerdir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 9
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/3
Behcet DAĞHAN
Bir daire parçasının
geometrik merkezinin
O ya uzaklığı,
2 katıdır.
yay parçasınınkinin ––
3
Herhangi bir daire parçasının geometrik merkezinin yerini bulunuz.
_
2 r sinα
OC = –– ––––––
3
α
Verilenler:
ρ = sb.
t = sb.
Bu değer, eksen takımından bağımsız olarak daima geçerli olan bir değerdir.
Yarım daire
Çeyrek daire
y
y
C
4r
–––
3π
α α
O
α = π/ 2
_
2 r sin α
OC = –– ––––––
3
α
İstenenler:
_
OC = ?
α
α
x
O
x
}
C
α = π/4
_
2 r sin α
OC = –– ––––––
3
α
_
4r
2 2r
OC = –– ––– = –––
3π
3 π
}
_
_
4 √2 r
OC = ––––––
3π
_ _ 4r
x = y = –––
3π
_
_ 4r
x = 0 , y = –––
3π
!
Behcet DAĞHAN
Bu koordinatlar, eksenler yukarıdaki gibi seçilirse geçerlidir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 10
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/4
y
Behcet
DAĞHAN
a
Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz.
Verilenler:
Çözüm
y
A (a,b)
ρ = sb.
t = sb.
x = ky2
A noktasında:
dy
x=a
(x,y)
_
xel
dA = x dy
b
a
A = ∫ ––– y 2 dy
2
0 b
İstenenler:
_
x=?
_
y=?
b
x = ky2
ab
A = –––
3
Behcet DAĞHAN
y=b
x
_
_
x A = ∫ xel dA
dA = x dy
_
x
xel = ––
2
ab
A = –––
3
}
}
a = kb2
a
k = –––
b2
x
b
_ ab
x
x ––– = ∫ –– (x dy)
3
2
0
_
_
y A = ∫ yel dA
dA = x dy
_
yel = y
b
_ ab
k2
x ––– = ––– ∫ y 4 dy
3
2 0
b
_ ab
y
a2
x ––– = –––––
(––– |
4
3
5 0
2b
5
_
3
x = ––– a
10
www.makina.selcuk.edu.tr
ab
A = –––
3
}
b
_ ab
y ––– = ∫ y (x dy)
3
0
b
_ ab
y ––– = k ∫ y 3 dy
3
0
b
_ ab
y4
a
y ––– = –––
(–––
|
3
4 0
b2
_
3
y = –– b
4
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 11
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Bileşik Cisimler
ve Şekiller
Behcet DAĞHAN
Kütle merkezi bulunacak olan cismin tamamı basit bir geometriye sahip olmayabilir.
Eğer basit geometrik şekle sahip cisimlerin eklenip çıkarılması ile elde edilebilen bir cisim ise o zaman yine Varignon teoreminden faydalanılabilir.
Eklenen cismin kütlesi pozitif olarak, çıkarılan cismin kütlesi negatif olarak alınır.
_
x3
_
_
_
_
(m1 + m2 + m3) X = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3
_
x2
_ 3
3
_
Σ m i X = Σ m i xi
_
x1
i=1
i=1
G
G2
G1
m2
m1
_
X
Genelleştirme yaparak:
G3
_ Σm x_
X = ––––––
Σm
m3
_ Σm y_
Y = ––––––
Σm
_ Σm z_
Z = ––––––
Σm
Homojen bir cismin,
Üstten görünüş
- kütlesinin yerine hacmi ile,
- kalınlığı da sabit ise yüzey alanı ile,
- veya kesit alanı da sabit ise boyu ile ilgilenmek yeterli olur.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 12
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/5
y
Behcet
DAĞHAN
Şekildeki alanın geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz.
Verilenler:
y
y
ρ = sb.
+
t = sb.
+
π a2
A1 = ––––
4
Behcet DAĞHAN
a/2
_
x
_
a/2
x2 = –––
3
_
a
y2 = ––
3
x
x
_ ΣA x_
X = ––––––
ΣA
(a/2) a a/2
π a2 4 a
–––– –––– + (− ––––––) ––––
_ A x_ + A _x
3
π
4
3
2
1 1
2 2
X = –––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––
2
A1 + A 2
(a/2) a
πa
–––– + (− ––––––)
4
2
_
7a
X = –––––––––
6 (π − 1)
_ ΣA y_
Y = ––––––
ΣA
(a/2) a a
π a2 4 a
–––– –––– + (− ––––––) ––
_ A y_ + A _y
3
π
4
3
2
1 1
2 2
Y = –––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––
A1 + A 2
(a/2) a
π a2
–––– + (− ––––––)
4
2
_
a
Y = ––––––
π−1
(a/2) a
A2 = − ––––––
2
İstenenler:
_
X=?
_
Y=?
a
=
x
_ _
4a
x1 = y1 = ––––
3π
y
Çözüm
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 13
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/6
Behcety DAĞHAN
Şekildeki gibi bükülmüş olan çubuğun geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
ρ = sb.
y
y
y
300 mm
A = sb.
x
C1
+
C2
=
x
_
x1 = − 150 mm
_
y1 = − 150 mm
_
2 r 300
x2 = ––– = ––– mm
π
π
_
y2 = 0
L1 = 300 mm
L2 = 150 π mm
300
300 (− 150) + 150 π ––––
_ L x_ + L x_
π
1 1
2 2
X = –––––––––––– = –––––––––––––––––––––––
L1 + L 2
300 + 150 π
_
X=0
_ ΣL y_
Y = ––––––
ΣL
İstenenler:
_
X=?
_
Y=?
Behcet DAĞHAN
x
x
C
_ ΣL x_
X = ––––––
ΣL
150
mm
_ L y_ + L y_
300 (− 150) + 150 π (0)
1 1
2 2
Y = –––––––––––– = –––––––––––––––––––––
L1 + L 2
300 + 150 π
_
Y = − 58.3 mm
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
6. Kütle Merkezleri ve Geometrik Merkezler 14
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
6/7
Behcet DAĞHAN
Şekildeki gibi kesilmiş ve bükülmüş olan levhanın geometrik merkezinin koordinatlarını bulunuz.
Verilenler:
ρ = sb.
t = sb.
Çözüm
_
x (mm)
1. y-z düzlemindeki dikdörtgen (250x400):
0
2. x-z düzlemindeki dikdörtgen (175x400):
3. y-z düzlemindeki üçgen (100x200):
_
y (mm)
_
z (mm)
A (mm2)
125
200
100 000
87.5
0
200
70 000
0
216.7
66.7
−10 000
_ ΣA x_
X = ––––––
ΣA
İstenenler:
_
X=?
_
Y=?
_
Z=?
_ 100 000 (0) + 70 000 (87.5) + (−10 000) (0)
X = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––
100 000 + 70 000 + (−10 000)
_
_ ΣA y
Y = ––––––
ΣA
_
X = 38.3 mm
_ 100 000 (125) + 70 000 (0) + (−10 000) (216.7)
Y = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
100 000 + 70 000 + (−10 000)
_
Y = 64.6 mm
_ ΣA z_
Z = ––––––
ΣA
_ 100 000 (200) + 70 000 (200) + (−10 000) (66.7)
Z = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
100 000 + 70 000 + (−10 000)
Behcet DAĞHAN
_
Z = 208.3 mm
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN