maddesel noktaların dinamiği

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
1
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
GİRİŞ
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
1
Behcet DAĞHAN
Dinamik rijit cisimlerin hareketlerini inceler.
Hareket, konumdaki değişmedir.
Konum, cismin uzaydaki yeridir.
Konum, vektörel bir büyüklüktür.
→
Konum vektörünü r ile göstereceğiz.
Konum vektörü, referans eksen takımının orijini O dan başlar, cismin bulunduğu yerde biter.
Referans eksen takımı, cisimlerin nerede bulunduğunu söyleyebilmek için seçilen bir sistemdir.
Referans eksen takımı, hareketli veya sabit olabilir. Sabit bir eksen takımına göre söylenen konum, mutlak konumdur.
Sabit bir eksen takımına göre tanımlanan harekete mutlak hareket denir.
Mühendislik problemlerinin çözümünde, çoğu zaman, dünya sabit kabul edilir.
Dolayısıyla dünyaya bağlanmış bir eksen takımına göre tanımlanan hareket, mutlak harekettir.
Maddesel nokta
A
Hareketli bir eksen takımına göre söylenen konum, bağıl konumdur.
Hareketli bir eksen takımına göre tanımlanan harekete bağıl hareket denir.
→
r
r
Eğer bir cismin hareketi incelenirken cismin kendi boyutlarının önemi yoksa o cisme
maddesel nokta denir ve cismin kütle merkezinin hareketi incelenir.
Bir maddesel noktanın zaman içerisinde bulunduğu konumların geometrik yerine yörünge denir.
Yörünge, konum vektörlerinin uç noktalarının geometrik yeridir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Yörünge
O
Konum vektörü
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Hız, cismin konumunda
birim zamanda meydana gelen değişmedir.
Behcet DAĞHAN
Hız vektörü →
Hız, vektörel bir büyüklüktür.
→
dy
Hız vektörünü, v ile göstereceğiz.
Hız vektörü, konum vektörünün zamana göre türevine eşittir.
→
v =
→
dr
→
= r
dt
A
A'
t
t + dt
s
s + ds
→
→
r
dt
dy
dx
Hız vektörlerinin uç noktalarının geometrik yerine hodograf denir.
v
A
r
= y'
r
O
→
r+dr
Yörünge üzerinde keyfi olarak seçilen
bir orijinden (s = 0) itibaren
yörünge üzerinden ölçülen konum
ds
s
A
Yön
→
v =
→
dr
dt
:
→
→
→
v // d r
Yönleri aynıdır.
→
Şiddet :
Behcet DAĞHAN
→
r
ds
v = –––
dt
www.makina.selcuk.edu.tr
A'
Yörünge
→
dr
Hız vektörü daima yörüngeye teğettir.
|dr |
ds
v = –––––– = ––– = s
dt
dt
t
teğe
→
v
→
v
Yörünge
= y
→
- Run, Joe, run!
2
Yer değiştirme vektörü
→
| d r | = ds
O
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Behcet
İvme, cisminDAĞHAN
hızında birim zamanda meydana gelen değişmedir.
Behcet DAĞHAN
→ →
v v'
İvme, vektörel bir büyüklüktür.
Aʹ
A
→
İvme vektörünü a ile göstereceğiz.
İvme vektörü, hız vektörünün zamana göre türevine eşittir.
→
ge
rün
dv
→
→
a =
=v = r
dt
→
Yö
İvme vektörü daima hodografa teğettir.
→
dv
→
v
A
A'
t
t + dt
→
→
→
→
→
→
→
→
r
v
3
→
v'
A
r' =r +dr
v' =v +dv
→
a
ge
rün
Yö
→
dv
→
a
- Bas gaza, şoför, bas gaza!
İvme vektörü
→
→
a =
→
dv
dt
→
→
: a // d v
Yön
İvme vektörü daima yörüngenin içbükey tarafına yönelmiştir.
A
Yönleri aynıdır.
→
Şiddet : a =
Behcet DAĞHAN
ge
rün
Yö
→
|dv |
dt
www.makina.selcuk.edu.tr
→
a
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Hız vektörünün
yönü ve/veya şiddeti değişiyorsa ivme vardır.
Behcet
DAĞHAN
4
Behcet DAĞHAN
Hız vektörünün şiddeti değişiyorsa yönü değişmese de ivme vardır.
→
v
A
A
Yörünge
→
v'
→
→
v
A
v'
→
a
v' dv
e
ng
Hız vektörünün yönü de şiddeti de sabit ise ancak o zaman ivme yoktur.
→
v
dv
→
→
v'≠v
v' = v
→
v'
A
v
→
→
dv=0
→
→
v ' = v (sabit)
ng
rü
e
→
a┴v
Behcet DAĞHAN
Yörünge
→
(sabit)
Yö
→
→
→
→
Yönleri aynıdır.
Hız vektörünün yönü değişiyorsa şiddeti sabit olsa da ivme vardır.
A
v
→
rü
a
Yörünge
→
a // d v
Yö
→
.
→
a
v'
→
→
dv
→
dv
A
→
v
e
ng
rü
Yö
A'
→
www.makina.selcuk.edu.tr
→
→
a=0
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
5
Behcet DAĞHAN
Behcet
Kuvvet, bir DAĞHAN
cismin diğer bir cisme yaptığı mekanik etkidir.
Behcet DAĞHAN
Kuvvet, vektörel bir büyüklüktür.
Newton Kanunları
Kanunları
Newton
I. Eylemsizlik prensibi
Sir Isaac Newton
(1642 - 1727)
Bir maddesel nokta, üzerine herhangi bir dengelenmemiş kuvvet etki etmiyorsa hareketsiz kalır
veya düzgün doğrusal hareket yapmaya devam eder.
II. Newton'un ikinci kanunu
Bir maddesel noktanın ivmesi, ona etki eden bileşke kuvvet ile doğru orantılıdır ve aynı yöndedir.
→
→
→
→
ΣF = m a
Yön
:
→
m
→
ΣF // a Yönleri aynıdır.
a
→
a
ma
→
→
Şiddet : | ΣF | = m a
ΣF
III. Etki-tepki prensibi
Birbirine kuvvet uygulayan iki cisim arasındaki etki ve tepki kuvvetleri, birbirine eşit şiddette, zıt yönde ve aynı tesir çizgisindedir.
FB/A = FA/B
Etki
A
Behcet DAĞHAN
B
→
A
→
FB/A
B nin A ya uyguladığı kuvvet
www.makina.selcuk.edu.tr
Tepki
→
B
FA/B
A nın B ye uyguladığı kuvvet
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Behcet
Newton'unDAĞHAN
Çekim Kanunu
Kanunu
Newton'un
Çekim
6
Behcet DAĞHAN
Uzaydaki cisimler birbirlerine çekim kuvveti uygular. Herhangi iki cisim arasındaki çekim kuvvetinin şiddeti
aşağıdaki bağıntıda verilen kadardır.
F=K
F
K
m1, m2
r
:
:
:
:
m1 m2
K = 6.673 · 10−11
r2
m3
kg · s2
iki maddesel noktanın birbirine karşılıklı olarak uyguladığı çekim kuvveti
evrensel çekim sabiti
cisimlerin kütleleri
cisimlerin merkezleri arasındaki uzaklık
Havada sadece yer çekiminin etkisi ile
hareket eden bir cismin
ivmesi g ye eşittir.
Ağırlık kuvveti
kuvveti
Ağırlık
Uzaydaki iki cisimden birisi dünya olsun ve diğeri de dünya yüzeyinde veya dünyaya yakın civarda bulunan bir cisim olsun.
Dünyanın bu cisme uyguladığı çekim kuvvetine ağırlık denir.
m1 : Dünyanın kütlesi
m2 : Dünya yüzeyinde veya yakın civarda bulunan cismin kütlesi
r : Dünya ile diğer cismin merkezleri arasındaki uzaklık, dünyanın yarıçapı
W : Ağırlık
F= K
Ağırlık kuvveti daima düşeydir ve aşağıya doğru yönelmiştir.
m
m1 m2
r2
→
W=gm
→
m
g = 9.81
s2
W=mg
g : Yer çekimi katsayısı
.G
W
a=g
Yer çekimi ivmesi
Evrensel çekim sabiti ve dünyanın kütlesi değişmeyen büyüklüklerdir. Dünyanın yarıçapının da ülkemizin her yerinde aynı olduğu düşünülebilir.
O halde ülkemiz için yer çekimi katsayısı g nin değerinin sabit olduğu kabul edilebilir. Bu dersimizde g nin değerini 9.81 m/s2 olarak alacağız.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
1. Giriş
Dinamik
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
7
Behcet DAĞHAN
Cisimlerin hareketlerini inceler.
DİNAMİK
KİNEMATİK
KİNETİK
Kuvvetleri de göz önüne alır.
Kuvvetleri göz önüne almaz.
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN
DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
RİJİT CİSİMLERİN
DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN