STATİK

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
STATİK
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Skalerler ve Vektörler
- Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ
- İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri
- Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE
- Düzlemde Denge
- Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR
- Düzlem Kafes Sistemler
- Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
3
STATİK
DENGE
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
3.1
STATİK
Düzlemde Denge
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Bir cisme etki eden bütün kuvvetlerin bileşkeleri sıfır ise o cisim dengededir.
3.1. Düzlemde Denge
1
Behcet DAĞHAN
Veya, eğer bir cisim dengede ise o cisme etki eden bütün kuvvetlerin bileşkeleri sıfırdır.
Yani kuvvetlerin toplamı ve kuvvet çiftlerinin momentlerinin toplamı sıfırdır.
İç kuvvetler etki-tepki prensibine göre birbirine eşit şiddette, zıt yönde ve
aynı tesir çizgisinde olduklarından dolayı birbirini sıfırlar.
Dolayısı ile denge problemlerinde sadece dış kuvvetler göz önüne alınır.
Bilinmeyen kuvvetleri bulmaya çalışırken bu denklemler kullanılır.
Bu denklemler denge için gerekli ve yeterli şartlardır.
Serbest Cisim Diyagramı
→ → →
R = ΣF = 0
→ → →
M = ΣM = 0
Yukarıdaki denklemleri uygulamadan önce hangi cismin veya sistemin dengesinin inceleneceği net bir şekilde belirlenmelidir.
Yapılacak ilk iş dengesi incelenecek cismi, hayali olarak diğer cisimlerden ayırıp çizmektir. Bu işleme serbest cisim diyagramı çizmek denir.
Mekanik problemlerinin çözümünde serbest cisim diyagramı çizmek en önemli adımdır.
Serbest cisim diyagramı çizerken, incelenecek cisme etki eden bütün dış kuvvetler diyagram üzerinde gösterilir.
Kuvvetlerin tesir çizgilerinin geçtiği noktalar arasındaki uzaklıklar biliniyorsa onlar da gösterilir.
Dış kuvvetleri gösterirken bilinmeyen kuvvetlerin yönü, eğer tahmin edilemiyorsa, keyfi olarak seçilebilir.
Yapılan hesaplamanın sonucunda seçilen yönün doğru olup olmadığı ortaya çıkacaktır.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Eğer dengedeki bir cisme etki eden kuvvet sistemi iki boyutlu ise o zaman düzlemde dengeden bahsederiz.
2
Behcet DAĞHAN
Düzlemde denge problemlerini çözmek amacı ile serbest cisim diyagramı çizerken faydalanmak üzere aşağıdaki tablo hazırlanmıştır.
Temas cinsi ve kuvvet kaynağı
İncelenecek cisme etkisi
1. Kablo, kayış, zincir veya ip gibi esnek elemanlar
Bir ip, incelediğimiz cisme
yalnızca çekme kuvveti uygulayabilir.
Çekme kuvveti T nin tesir çizgisi ip ile çakışıktır.
T
Hayali ayırma çizgisi
2. Sürtünmesiz yüzeyler
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet daima itme kuvvetidir ve temas noktasında yüzeye diktir.
3. Sürtünmeli yüzeyler
N
et
teğ
al
rm
no
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet daima itme kuvvetidir.
F
R
Behcet DAĞHAN
N
et
teğ
al
m
r
no
R2 = F2 + N2
F : Teğetsel bileşen, sürtünme kuvveti
N : Normal bileşen
Sürtünme kuvveti daima kaymayı önleyici yöndedir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Temas cinsi
ve kuvvet kaynağı
İncelenecek cisme etkisi
4. Tekerlekli mesnet
3
Behcet DAĞHAN
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet daima itme kuvvetidir ve
tekerlekli mesnedin dayandığı yüzeye diktir.
∟
∟
N
Dayanma yüzeyi
N
5. Kayıcı mesnet
N
∟
veya
∟
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir N kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet kayma doğrultusuna diktir.
Kayma doğrultusu
N
6. Sabit mesnet
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvet herhangi bir yönde olabilir.
Rx
R
7. Ankastre mesnet
→
Ankastre = Gömülü
Behcet DAĞHAN
Kaynaklı
Ry
Diğer cisim incelediğimiz cisme bir R kuvveti ve
bir M kuvvet çifti uygulayabilir.
Bu R kuvveti ve M kuvvet çifti herhangi bir yönde olabilir.
M
N
R
R 2 = R x2 + R y2
V
www.makina.selcuk.edu.tr
R2 = N2 + V2
N : Normal kuvvet
V : Kesme kuvveti
M : Eğilme momenti
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek serbest
cisim diyagramları
4
Behcet DAĞHAN
İncelenecek sistem diğer sistemlerden hayali olarak ayrılır.
Ayırma çizgisi: Kapalı bir eğridir. Nereden geçtiği ve nereleri kestiği net bir şekilde belirli olmalıdır.
F
E
G
A
Kafes sistemin tamamının serbest cisim diyagramı
F
D
B
Sadece dış kuvvetler gösterilir.
G
C
Yükleme düşey olduğu için
mesnet tepkisinin yatay bileşeninin doğmasına gerek kalmamıştır.
c
A
A
Etki yoksa tepki de olmaz.
D
a
b
D
Tekerlekli mesnedin uyguladığı kuvvet
daima dayanma yüzeyine diktir.
Kafes sistemin bir kısmının serbest cisim diyagramı
F
F
E
G
b
A
A
D
B
GE
G
α
C
B
A
Not: Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları yüklere nazaran ihmal edilebilir.
Behcet
DAĞHAN
BE
Bilinmeyen bir kuvvetin yönü keyfi olarak seçilir.
Doğru yön hesaplamanın sonucunda bulunacaktır.
BC
a
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
5
Behcet DAĞHAN
Kirişin serbest cisim diyagramı
F3
F2
F1
F3
M
F2
F1
α
N
d
W
Va
R
c
b
Çerçevenin tamamının serbest cisim diyagramı
C
P
c
G
A
Bx
B
a
A
Not: Çerçevelerin kendi ağırlıkları taşıdıkları yüklere nazaran ihmal edilebilir.
Behcet
DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
W
b
By
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
6
Behcet DAĞHAN
Serbest cisim
diyagramı çizerken bilinmeyen kuvvetlerin yönleri ile ilgili bazı detaylar
Behcet
DAĞHAN
Elimize örnek olarak bir kafes sistem alalım.
F
F
E
G
A
D
B
GE
G
A
α
B
C
BE
BC
A
Burada kuvvetleri gösterirken kullanılan A, F, BC, BE, GE vb. semboller kuvvetlerin sadece şiddetini göstermektedir.
Dolayısı ile daima pozitif olan değerlerdir.
Kuvvetlerin sadece şiddetlerini gösteren semboller kullanılırsa,
hesaplamanın sonucunda elde edilen negatif bir değer kuvvetin seçilen yönde değil zıt yönde olduğunu gösterir.
İleride detaylı olarak anlatılacak olan kafes sistemleri oluşturan parçalar yalnızca iki kuvvet taşıyan elemanlardır.
Bu parçaların taşıdığı kuvvetlerin tesir çizgileri parça ile çakışıktır. Ama hangi yönde oldukları her zaman kesin olarak kestirilemeyebilir.
Yönü kestirilemeyen kuvvetlerin yönü keyfi olarak seçilir.
Yapılan hesaplamanın sonucunda negatif olarak bulunurlarsa o zaman o negatif işaret kuvvetin seçilen yönde değil ters yönde olduğunu gösterir.
Not: Kafes sistemlerin kendi ağırlıkları taşıdıkları yüklere nazaran ihmal edilebilir.
Behcet
DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Fx sembolü, F kuvvetinin x-bileşeninin hem yönünü hem de şiddetini gösterir. Yön gösteren işaret Fx in içindedir.
→
ΣFx = F1x + F2x + ··· + Fnx
→
Bir ip, incelediğimiz cisme
ancak çekme kuvveti uygulayabilir.
Çekme kuvveti T nin tesir çizgisi
ip ile çakışıktır. T nin yönü kesinlikle böyledir.
Eğer hesaplamanın sonucunda
negatif bir değer bulunursa bu durum
T nin yönünün yanlış seçildiğini göstermez.
Hesaplamanın yanlış olduğunu gösterir.
7
Behcet DAĞHAN
Serbest cisim
diyagramı çizerken bilinmeyen kuvvetlerin yönleri ile ilgili bazı detaylar
Behcet
DAĞHAN
→
Statik
Bu işaretler daima + dır − olmaz.
Bu kuvvetin yönü kesinlikle bu şekildedir.
Yani seçilen referans eksen takımına göre Bx = − B dir.
Bilinmeyen bir kuvvetin yönü hakkında kesin bir fikrimiz
varsa o kuvveti başka bir yönde göstermemeliyiz.
B
B
T
ΣFx = 0
y
A x + B x + T x + W x= 0
x
→
Yüzeyler arasındaki sürtünme ihmal edildiği zaman
diğer cisim incelediğimiz cisme ancak
dayanma yüzeyine dik olan bir itme kuvveti uygulayabilir.
Bu kuvvetin yönü kesinlikle bu şekildedir.
Seçilen referans eksen takımına göre Ax = A dır.
A
Ağırlık kuvveti daima düşeydir
ve aşağı yöndedir.
Buradaki A, B, T ve W sembolleri kuvvetlerin sadece şiddetlerini gösteren sembollerdir.
Daima pozitiftirler.
Behcet DAĞHAN
Tx = 0
W
A
www.makina.selcuk.edu.tr
Wx = 0
Ax = A
}
Ax + B x = 0
→
Bx = − A
→
Sürtünmeler ihmal edilebilir.
Bu işaret B kuvvetinin yönünün yanlış seçildiğini göstermez.
Keyfi olarak seçilen x-eksenine
izdüşümünün negatif yönde olduğunu gösterir.
Şekilden de Bx in negatif olması gerektiği anlaşılmaktadır.
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
8
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Serbest cisim
diyagramını çizdikten sonra referans eksen takımı seçilerek denge denklemleri yazılır.
Eksenler, cismin şekline göre değil de kuvvetlere paralel seçilirse işlemler kolaylaşır.
Düzlemde denge denklemleri
→ n → → →
→
→ →
R = Σ Fi = F1 + F2 + ··· + Fn = ΣF = 0
: Ötelenme ile ilgili denge şartı
→ →
ΣF = 0
→
→ →
→ n→ → →
M = Σ Mi = M1 + M2 + ··· + Mn = ΣM = 0
: Dönme ile ilgili denge şartı
→ →
ΣM = 0
i=1
i=1
İncelenen cisme etki eden iki boyutlu kuvvet sisteminin içinde bulunduğu düzlem x-y düzlemi ile çakıştırılırsa kuvvetlerin z-bileşeni olmaz.
→
→
→ →
→
→
→
→
R = (F1x i + F1y j ) + (F2x i + F2y j ) + ··· + (Fnx i + Fny j ) = 0
→
→
→ →
R = (F1x + F2x + ··· + Fnx) i + (F1y + F2y + ··· + Fny) j = 0
}
}
ΣFx = 0
= ΣFy
= ΣFx
ΣFy = 0
ΣFy = 0
ΣMA = 0
Kuvvet çiftlerinin momentlerinin de sadece z-bileşeni olur, x ve y-bileşenleri olmaz.
→
→ →
M = (M1z + M2z + ··· + Mnz) k = 0
}
= ΣMz
ΣMz = 0
Behcet DAĞHAN
→
→
ΣFx = 0
Kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlemdeki herhangi bir noktaya göre moment alındığı zaman
o noktadan geçen ve z-eksenine paralel olan bir eksene göre moment alınmış olur. ΣMA = ΣMAz = ΣMz'
z-ekseni keyfi olarak seçilen bir eksen olduğuna göre
z-eksenine paralel herhangi bir eksene göre ΣM = 0 olması da denge şartını sağlar.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Behcet DAĞHAN
F
F1
M1
M1
F3
≡
O
M1
F3
y
F2
9
Behcet DAĞHAN
Fn
F1
n
y
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
≡
y
F2
x
O
O
x
x
Keyfi olarak seçilen bir noktaya göre alınan momentlerin toplamının sıfır olması, kuvvet çiftlerinin toplamının sıfır olduğu anlamına gelir.
≡
M1
Bir cisme etki eden kuvvetler x ve y-bileşenlerine ayrıldığı zaman birbirine paralel kuvvetler elde edilir.
y
Eğer incelediğimiz cisim dengede ise x-doğrultusundaki kuvvetlerin toplamları sıfırdır.
Ama toplamları sıfır olsa bile bileşkeleri bir kuvvet çifti olabilir. Aynı şey y-doğrultusu için de geçerlidir.
Cisim dengede olduğu için bu kuvvet çiftlerinin ve diğer kuvvet çiftlerinin toplamı da sıfırdır.
O
x
Bir kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynı olduğu için ΣM = 0 denkleminin hangi noktaya göre yazıldığı önemli değildir.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Behcet DAĞHAN
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DÜZLEMDE DENGE KATEGORİLERİ
Kuvvet Sistemi
Serbest Cisim Diyagramı
1. Aynı tesir çizgisi üzerinde
F1
Bağımsız Denklemler
y
∟
F3
F2
O
A
F1
2. Bir noktada kesişen
ΣFx = 0
x
F2
F3
A
ΣMA = 0
O
y
ΣFx = 0
F4
∟
ΣFy = 0
F3
4. Genel
x
Behcet DAĞHAN
0=0
ΣMA = 0
ΣMA = 0
M1
O
www.makina.selcuk.edu.tr
0=0
ΣFy = 0
y
F3
0=0
ΣFx = 0
F2
F1
0=0
x
F2
O
F4
ΣMA = 0
ΣFy = 0
F1
3. Paralel
ΣFy = 0
ΣFx = 0
y
F4
10
x
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Alternatif denge
denklemleri
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣMA = 0
ΣFx' = 0
ΣFy' = 0
ΣMB = 0
ΣFx'' = 0
·
·
·
ΣFy'' = 0
·
·
·
ΣMC = 0
·
·
·
11
Behcet DAĞHAN
Bu denklemlerin sadece 3 tanesi lineer bağımsızdır.
Düzlemde denge problemlerini çözerken yazılabilecek sonsuz tane denge denklemi vardır. Bu denklemlerin sadece 3 tanesi lineer bağımsızdır.
Dolayısı ile bir cismin dengesini inceleyerek en fazla 3 bilinmeyen bulunabilir. Eğer denge kategorisi özel kategori ise bu sayı daha da azalır.
3 ten fazla denklem yazılacak olursa, fazla olan denklemler sağlama yapmak için kullanılabilir. Bilinmeyen sayısı 3 ten fazla ise,
sadece bir cismin dengesini inceleyerek bilinmeyenlerin tamamını bulmak mümkün değildir. Böyle sistemlere hiperstatik sistem denir.
Bilinmeyenlerin tamamını bulmak için yeterli sayıda cismin dengesi incelenerek çözüme gidilebilir.
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣMA = 0
ΣFx = 0
ΣMA = 0
ΣMB = 0
ΣMA = 0
ΣMB = 0
ΣMC = 0
}
}
}
Bu üç denklem tipinde denklem yazılmak istenirse
ΣF = 0 denklemlerini yazdığımız doğrultular birbirine paralel olmamalıdır.
Bu üç denklem tipinde denklem yazılmak istenirse
keyfi olarak seçilen A ve B noktalarından geçen doğru, keyfi olarak seçilen x-doğrultusuna dik olmamalıdır.
Bu üç denklem tipinde denklem yazılmak istenirse
keyfi olarak seçilen A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde olmamalıdır.
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Behcet
ΣF = 0 DAĞHAN
x
ΣFy = 0
ΣMA = 0
}
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Bu üç denklem tipinde denklem yazılmak istenirse
ΣF = 0 denklemlerini yazdığımız doğrultular birbirine paralel olmamalıdır.
Bileşkenin,
herhangi bir doğrultuya paralel olmayan
başka bir doğrultuya da dik izdüşümü sıfır ise
o zaman bu durum bileşkenin sıfır olduğunu gösterir.
Bileşkenin,
herhangi bir doğrultuya dik izdüşümü sıfır ise
bu durum bileşkenin sıfır olduğunu göstermez.
Bileşke o doğrultuya dik olabilir.
İzdüşümü sıfır olduğu halde kendisi sıfır olmayabilir
R≠0
ltu
bir doğru
R=0
ltu
bir doğru
ltu
doğru
r
i
b
aşka
∟
Herhangi
12
Herhangi
B
Herhangi bir doğrultuyu x-ekseni ile, başka bir doğrultuyu da y-ekseni ile çakıştırabiliriz.
Behcet DAĞHAN
∟
u
ir doğrult
b
Herhangi
ΣFx = 0
R≠0
ΣFy = 0
x
}
y
R=0
∟
ΣFx = 0 →
www.makina.selcuk.edu.tr
x
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Behcet
ΣF = 0 DAĞHAN
x
ΣMA = 0
ΣMB = 0
ΣFx = 0
}
Bu üç denklem tipinde denklem yazılmak istenirse
keyfi olarak seçilen A ve B noktalarından geçen doğru, keyfi olarak seçilen x-doğrultusuna dik olmamalıdır.
R≠0
→
ΣFx = 0
ΣMA = 0
∟
Herhan
}
ΣMA = 0
x
A
ΣMB = 0
ΣMC = 0
}
ΣFx = 0
R≠0
x
∟
rultu
gi bir doğ
ΣMA = 0
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
ΣMB = 0
}
13
Behcet DAĞHAN
R=0
Herhangi
bir nokta
Herhangi bir nokta
B
x
A
Bu üç denklem tipinde denklem yazılmak istenirse
keyfi olarak seçilen A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde olmamalıdır.
ΣMA = 0 →
R≠0
ΣMA = 0
ΣMB = 0
ΣMA = 0
}
R≠0
ΣMC = 0
B
A
Herhangi bir nokta
Behcet DAĞHAN
ΣMB = 0
Herhangi
bir nokta
A
www.makina.selcuk.edu.tr
}
R=0
C
Herhangi
bir nokta
B
A
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Yalnızca 2 DAĞHAN
kuvvet tesirindeki bir cisim
Behcet
B
→
→
F1 = −F2
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Behcet
→ DAĞHAN
→ → → →
R = F1 + F2 = 0
→
F2
14
F2
B
→
→
F1 = −F2
→
→
F1 = −F2
A
A
Dengedeki bir cisme yalnızca 2 kuvvet etki ediyorsa kuvvetlerin tesir çizgisi ortaktır.
Yukarıdaki durumda R = 0 şartı sağlanır.
Fakat bu iki kuvvet, kuvvet çifti oluşturmaktadır.
Bu cismin dengede olabilmesi için kuvvet çifti oluşturmamalıdır.
Yalnızca 3 kuvvet tesirindeki bir cisim
F1
F2 ile F3 ün tesir çizgilerinin
kesiştiği noktaya A diyelim.
F1 in tesir çizgisi de A dan geçer.
F1
F1
F2
≡
A
F3
F3
→ → → → →
R = F1 + F2 + F3 = 0
→
→ →
→
F1 = −(F2 + F3) = −R1
Behcet DAĞHAN
Kuvvetlerin ortak tesir çizgisi uygulama noktalarını birleştiren doğrudur.
Kuvvetlerin sayısı 2 den fazla olsa bile 2 ye indirgendiği zaman da aynı özellik vardır.
F2
≡
R1
F1
F2
≡
A
R1
A
F3
Dengedeki bir cisme yalnızca 3 kuvvet etki ediyorsa kuvvetlerin tesir çizgileri aynı noktada kesişir.
Kuvvetlerden ikisinin tesir çizgisi nerede kesişiyorsa 3. kuvvetin tesir çizgisi de oradan geçer.
Kuvvetlerin sayısı 3 ten fazla olsa bile 3 e indirgendiği zaman da aynı özellik vardır.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
Behcet DAĞHAN
3.1. Düzlemde Denge
Behcet DAĞHAN
Yalnızca 2 kuvvet tesirindeki cisimler
D
15
Behcet DAĞHAN
H
C
F
Yalnızca 3 kuvvet tesirindeki cisimler
E
Not: Taşıdığı yüke kıyasla kendi ağırlığı ihmal edilmiştir.
D
F
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
16
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/1
Üç tane kablo şekildeki gibi C halkası ile birbirine bağlanmıştır. 30 kg-lık silindirin ağırlığından dolayı
AC ve BC kablolarında ortaya çıkan çekme kuvvetlerini bulunuz.
Çözüm
Verilenler:
m = 30 kg
g = 9.81 m/s2
y
TA
W=mg
45o
TB
TD = W : Ağırlığın asılı olduğu kablo olduğu için
TD
C
30o
15o
x
Makaraların sürtünmeleri ihmal edilirse
bir kablonun her yerinde aynı şiddette çekme kuvveti oluşur.
Hayali olarak kesildiği zaman incelenen bir kablo parçasına
daima kablo doğrultusunda olan bir çekme kuvveti yerleştirilir.
ΣFx = 0
TAx + TBx + TDx = 0
İstenenler:
TA = ?
TB = ?
− TA sin45o − TB sin30o + TD cos15o = 0
ΣFy = 0
TAy + TBy + TDy = 0
TA cos45o − TB cos30o + TD sin15o = 0
Behcet DAĞHAN
}
Dengedeki bir cisme etki eden kuvvetlerin toplamı sıfır olduğu için
kuvvet vektörleri uç uca eklenirse kapalı bir çokgen oluşur.
TA = 215 N
TB = 264 N
www.makina.selcuk.edu.tr
}
75o
TA
TB
60o
45o
TD
TA
TD
TB
––––––o = ––––––o = ––––––o
sin45
sin75
sin60
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
17
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/2
Şekildeki gibi yüklenmiş ve mesnetlenmiş olan dirsek dengededir. A ve B mesnetlerinde ortaya çıkan tepki
kuvvetlerinin şiddetlerini hesaplayınız.
Çözüm
Verilenler:
F = 120 N
M = 20 N·m
Kütle verilmediğine göre ağırlık ihmal edilecektir.
Bilinmeyen kuvvetlerin yönü tahminen çizilir.
Hesaplamanın sonunda yönleri ortaya çıkacaktır.
F = 120 N
M
Sabit mesnette ortaya çıkan tepki kuvvetinin yönü ve şiddeti herhangi bir şekilde olabilir.
Yani iki dik bileşeni olabilir.
y
x
XB
YB
ΣMB = 0
ΣFx = 0
ΣFy = 0
M + F (50) − A (125) = 0
Ax + B x + F x = 0
Ay + B y + F y = 0
20 (103) + 120 (50) − A (125) = 0
XB − F = 0
A − YB = 0
XB = F
YB = A
XB = 120 N
YB = 208 N
XB = |Bx|
A
İstenenler:
A=?
YB = |By|
A = 208 N
Tekerlekli mesnette doğan tepki kuvveti
daima dayanma yüzeyine diktir ve itme kuvvetidir.
B 2 = X B2 + Y B2
B=?
Behcet DAĞHAN
Bx = 120 N
By = −208 N
www.makina.selcuk.edu.tr
B = 240 N
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
18
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/3
Düzgün bir şekle ve 150 kg kütleye sahip olan 15 m-lik direk iki düşey duvar ve bir düşey kablo tarafından şekildeki
gibi dengede tutulmaktadır. A ve B noktalarındaki tepkileri hesaplayınız.
Direk ile duvarlar arasındaki sürtünme ihmal edilebilir.
Çözüm
Verilenler:
m = 150 kg
2m
g = 9.81 m/s2
B
C
L = 15 m
T
5
9m
4
3
B
İncelediğimiz cisim diğer bir cisme dayanıyor
ve aralarındaki sürtünme ihmal edilebiliyorsa
diğer cisim incelediğimiz cisme ancak itme kuvveti uygulayabilir ve
bu kuvvet temas noktasında dayanma yüzeyine diktir.
W
A
A
y
x
W = mg
ΣMC = 0
ΣFx = 0
A (9) − W (2) = 0
A x + B x + T x + W x= 0
A = (2/9) mg
A−B=0
B=A
İstenenler:
A=?
B=?
Behcet DAĞHAN
A = 327 N
www.makina.selcuk.edu.tr
B = 327 N
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
19
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/4
Düzgün bir şekle sahip şekildeki kirişin birim boyunun kütlesi 50 kg dır. O mesnedindeki
tepkileri hesaplayınız. Kirişe uygulanan şekildeki yükler düşey düzlemde yer almaktadır.
Verilenler:
m/L = 50 kg/m
g = 9.81 m/s2
Çözüm
İncelediğimiz cisim diğer bir cisme ankastre mesnet
ile bağlanmış ise diğer cisim incelediğimiz cisme
herhangi bir yönde bir kuvvet ve
bir kuvvet çifti uygulayabilir.
Herhangi bir yöndeki kuvvet
iki dik bileşene
ayrılabilir.
1.2 m
N
y
M
x
M=?
1.4 kN
ΣFy = 0
o
V − WA − 3 − WB − 1.4 cos30 = 0
N = − 0.7 kN
V = 5.98 kN
↑
Yön belirtir.
Seçilen yönde değil, ters yöndedir.
Behcet DAĞHAN
M − WA (1.2) − 3 (1.8) + 4 − WB (1.8 + 0.6 + 0.6 cos30o) −
− 1.4 (0.6 + 0.6) − 1.4 cos30o (1.8 + 0.6) = 0
M − WA (1.2) − 3 (1.8) + 4 − WB (2.92) −
− 1.4 (1.2) − 1.4 cos30o (2.4) = 0
V
N + 1.4 sin30 = 0
N=?
WB = (0.6 + 0.6) 50 (9.81) = 589 N = 0.59 kN
WA
o
V=?
WA = (1.8 + 0.6) 50 (9.81) = 1177 N = 1.18 kN
ΣMO = 0
WB
O
ΣFx = 0
İstenenler:
W = mg
1.4 (1.2) kN·m
www.makina.selcuk.edu.tr
M = 9.12 kN·m
1.4 kN
D
C noktasındaki 1.4 kN luk kuvvetin
O noktasına göre momenti alınırken
kuvvet önce D noktasına taşınmıştır.
Behcet DAĞHAN
Denge
Statik
3.1. Düzlemde Denge
20
Behcet DAĞHAN
Behcet
DAĞHAN
Örnek Problem
3/5
Şekildeki eğri kollu anahtar, millerin döndürülmesi için kullanılmaktadır. 200 mm-lik bir çapa sahip olan
mili döndürebilmek için, P kuvvetinin milin merkezi O ya göre momentinin 80 N·m olması gerektiğine
göre, A noktasındaki temas kuvveti R yi bulunuz.
Anahtar ile yüzey arasındaki sürtünmeyi ve B noktasındaki pimin boyutlarını ihmal ediniz.
Çözüm
Verilenler:
D = 200 mm
B
MOP = 80 N·m
d = 375 mm
μ=0
P
Bx
By
y
x
30o
100 mm
O
R
A
375 mm
M OP
MOP = P (375) = 80 (103)
P = 213 N
R (100 cos30o) − P (375 + 100 sin30o) = 0
R (86.6) − P (425) = 0
İstenenler:
R = 1047 N
R=?
Behcet DAĞHAN
ΣMB = 0
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN