STATİK
advertisement
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge 4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar 5. SÜRTÜNME 6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN 2 Behcet DAĞHAN STATİK KUVVET SİSTEMLERİ www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN 2.2 Behcet DAĞHAN STATİK Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri www.makina.selcuk.edu.tr Kuvvet Sistemleri Statik Behcet DAĞHAN Dik Bileşenler z → u → Fz → j O → i θy θx Fx → Fx → → → → F = Fx + Fy + Fz y → → → → F = F (l i + m j + n k ) Fx = F cosθx = F l l = cosθx Fy = F cosθy = F m m = cosθy Fz = F cosθz = F n n = cosθz } θz → Fy Doğrultman kosinüsleri F 2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k F 1 Behcet DAĞHAN → → u // F → F Fz → k 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN → = u Fy → F=F → u → F ile aynı yöndeki birim vektör l 2 + m2 + n2 = 1 x Kuvvetin tesir çizgisi üzerindeki A ve B gibi iki noktanın koordinatları biliniyorsa: z → F F B → u → → → u // F // AB y A A (xA , yA , zA) O B (xB , yB , zB) → → AB u = –––– AB → → → → AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k → → AB F = F –––– AB x Behcet DAĞHAN → AB vektörü, uç noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılarak yazılır. www.makina.selcuk.edu.tr AB 2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Başlangıç ve uç noktasının koordinatları bilinen bir vektörün birim vektörler cinsinden yazılması için pratik bir yol → → → → AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k A (xA , yA , zA) A dan B ye giderken B (xB , yB , zB) z Uç noktası → AB Başlangıç noktası 2 z-eksenine paralel olarak ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak → k nın katsayısını buluruz. → → → → AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k B z B y → AB A y A O A dan B ye giderken O x A dan B ye giderken x-eksenine paralel olarak ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak → i nin katsayısını buluruz. x y-eksenine paralel olarak ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak → j nin katsayısını buluruz. → → → → AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k → → → → AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k Behcet DAĞHAN A dan B ye giderken hangi sırayla gidildiğinin önemi yoktur. www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Bir kuvvetin herhangi bir doğrultuya dik izdüşümünün skaler çarpım ile bulunması Örnek olarak F kuvvetinin x-eksenine izdüşümünü bulalım. →→ F • i = F (1) cosθx Fx = F cosθx Benzer şekilde: } → → Fa = F a e → F F →→ Fa = F • e Fa a → e → → Fa → a 3 } → → Fx = F x i →→ Fx = F • i → → →→ Fx = F • i i → → F e ise: → → →→ Fa = F • e e Fa = 0 Bir kuvvetin herhangi bir doğrultuya dik izdüşümünün şiddeti, kuvvet ile doğrultu üzerindeki birim vektörün skaler çarpımı ile bulunur. a-a doğrultusundaki birim vektör →→ Fa = F • e → → → → e =α i +β j +γ k → → → → F = F (l i + m j + n k ) → → → → e =α i +β j +γ k } Fa = F (l α + m β + n γ) Herhangi iki vektör arasındaki açının bulunması → → → → P1 = P1 (l1 i + m1 j + n1 k ) → → → → P2 = P2 (l2 i + m2 j + n2 k ) Behcet DAĞHAN → → P 1 • P2 cosθ = –––––– = l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 P1 P2 www.makina.selcuk.edu.tr θ = 90o ↔ l1 l2 + m1 m2 + n1 n2 = 0 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 4 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/16 Şekildeki CD kablosunun, direğin C noktasına uyguladığı 1.2 kN şiddetindeki çekme kuvveti T yi, x, y, z eksenlerindeki birim vektörler cinsinden yazınız. Çözüm Verilenler: T = 1.2 kN C (−1.5,0,4.5) D (0,3,0) → CD → T = T –––– CD → → → → CD = (xD − xC) i + (yD − yC) j + (zD − zC) k → → → → CD = [0 − (−1.5)] i + (3 − 0) j + (0 − 4.5) k m → → → → CD = 1.5 i + 3 j − 4.5 k m CD 2 = (xD − xC)2 + (yD − yC)2 + (zD − zC)2 CD 2 = (1.5) 2 + 3 2 + (− 4.5) 2 m2 CD = 5.61 m İstenenler: → → → → T = Tx i + T y j + T z k → → → 1.5 i + 3 j − 4.5 k → T = 1.2 –––––––––––––––––– kN 5.61 → 3 → − 4.5 → 1.5 → T = 1.2 –––– i + 1.2 –––– j + 1.2 ––––– k kN 5.61 5.61 5.61 Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr → → → → T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 5 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/17 Şekildeki CD kablosunun, direğin C noktasına uyguladığı 1.2 kN şiddetindeki çekme kuvveti T nin, AE doğrultusuna dik izdüşümünün şiddetini bulunuz. Bir önceki problemin sonucunu kullanınız. Verilenler: → → → → T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN A (0,0,3) E (−1.5,0,0) → AE → uAE = –––– AE Çözüm → → → → AE = (xE − xA) i + (yE − yA) j + (zE − zA) k → → → → AE = (−1.5 − 0) i + (0 − 0) j + (0 − 3) k m → → → AE = −1.5 i − 3 k m AE 2 = (xE − xA)2 + (yE − yA)2 + (zE − zA)2 AE 2 = (−1.5) 2 + 0 2 + (−3)2 m2 AE = 3.35 m → → → uAE = −0.45 i − 0.9 k İstenenler: TAE = ? Behcet DAĞHAN → → → → uAE = α i + β j + γ k → → → → T = Tx i + T y j + T z k → → → → T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN } www.makina.selcuk.edu.tr → → TAE = T • uAE TAE = Tx α + Ty β + Tz γ TAE = 0.32(−0.45) + 0 + (−0.96)(−0.9) kN TAE = 0.72 kN Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 6 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/18 Şekildeki gerdirme tertibatı OA kablosundaki çekme kuvveti 5 kN oluncaya kadar sıkılmıştır. → →→ → Kablonun O noktasına uyguladığı F kuvvetini i, j, k birim vektörleri cinsinden yazınız. → Ayrıca F kuvvetinin OB doğrultusuna dik izdüşümünün şiddetini bulunuz. OB ve OC doğruları x-y düzlemi içinde yer almaktadır. Çözüm z Verilenler: A Fz F = 5 kN F Fxy = F cos50o Fx = Fxy cos65o = F cos50o cos65o Fy = Fxy sin65o = F cos50o sin65o 65o x 30o FB → u B B İstenenler: → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k Fz = F sin50o Fy y Fx = 5 cos50o cos65o Fy = 5 cos50o sin65o Fxy C → 50o O Fx → → → uB = cos30o i + sin30o j Fz = 5 sin50o → → FB = F • uB → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k FB = 1.36 cos30o + 2.91 sin30o → → → → F = 1.36 i + 2.91 j + 3.83 k kN FB = 2.63 kN FB = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 7 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/19 Şekildeki F kuvvetinin şiddeti 2 kN dur ve A dan B ye doğru yönelmiştir. F nin CD doğrultusuna dik izdüşümünü hesaplayınız ve F ile CD arasındaki açı θ yı bulunuz. Çözüm Verilenler: F = 2 kN z → → → → AB = − 0.2 i + 0.4 j + 0.2 k m B A (0.2,0,0) B (0,0.4,0.2) D (0.4,0.4,0) 0.2 m C (0.4,0,0.2) 0.2 y F AB 2 = (−0.2)2 + 0.42 + 0.22 m2 AB = 0.49 m → CD C m A0 .2 0.4 m → → → CD = 0.4 j − 0.2 k m m D x CD 2 = 0.42 + (−0.2)2 m2 FCD = Fx α + Fy β + Fz γ CD = 0.447 m FCD = 1.63(0.894) + 0.82(−0.447) kN → AB → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k = F –––– AB → → CD → → → uCD = α i + β j + γ k = –––– CD İstenenler: → 0.2 → 0.4 → 0.2 → F = − 2 –––– i + 2 –––– j + 2 –––– k kN 0.49 0.49 0.49 → → → uCD = 0.894 j − 0.447 k FCD = ? → → → → F = − 0.82 i + 1.63 j + 0.82 k kN FCD = 1.09 kN → → FCD = F • uCD = F cosθ FCD cosθ = ––––– F θ=? Behcet DAĞHAN → → FCD = F • uCD www.makina.selcuk.edu.tr θ = 56.8o Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet Moment DAĞHAN 8 Behcet DAĞHAN Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir. Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur. Moment alınan eksen Tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur. Moment vektörel bir büyüklüktür. → Moment vektörünü M ile göstereceğiz. MA Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur. F A d Mom ent kolu ∟ Moment alınan nokta ∟ Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksene döndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir. Bir noktaya göre moment Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir. Bir noktaya göre alınan momentin şiddeti: Behcet DAĞHAN MA = F d www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN 9 Behcet DAĞHAN İki boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin momentleri genellikle içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre alındığı için, moment vektörlerinin tamamı birbirine paraleldir. Dolayısı ile sadece şiddetleri ile ilgilenmek ve yönlerini de pozitif-negatif işaretle belirtmek yeterli olmaktadır. Fakat üç boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin herhangi bir noktaya göre momentlerinin oluşturduğu sistem de üç boyutludur. Yani moment vektörleri birbirine paralel değildir. → → → → MA = MAx + MAy + MAz → → → → MA = MAx i + MAy j + MAz k Bir kuvvetin bir noktaya göre momentini vektörel çarpımla bulabiliriz. → MA = r F sinα r MA = F d A z r vektörü, moment alınan noktadan başlar, kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter. α ∟ MA = F r sinα ∟ ∟ → → → MA = r × F F MA d = r sinα d y O → → → MA = r × F = ! → → MA ≠ F × → r Behcet DAĞHAN → →→ i j k rx ry rz x Fx Fy Fz www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik Behcet DAĞHAN Moment alınan noktadan geçen herhangi bir eksene göre moment → → Mλ = MAλ = MA • e → → → MA = r × F → r = rx → F = Fx → → → → e =α i +β j +γ k : A dan geçen λ eksenine göre moment } → → → i + ry j + rz k → → → i + Fy j + Fz k : λ ekseni üzerindeki birim vektör λ A noktası ile kuvvetin içinde bulunduğu düzleme dik olan eksen → → → Mλ = r × F • e → e MA Fx Fy Fz ∟ Mλ β γ α A rx ry rz Mλ = F l m n α β γ d y O x → → Mλ = M λ e Moment alınan eksen, A noktasına göre alınan momente dik ise: r ∟ z → → → → F = F (l i + m j + n k ) A dan geçen herhangi bir eksen F rx ry rz Mλ = 10 Behcet DAĞHAN ∟ ∟ → → Mλ = MAλ 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN → MA → e → Mλ = 0 Yani bir kuvvetin, moment alınan nokta ile kuvvetin içinde bulunduğu düzlemde yer alan bir eksene göre momenti yoktur. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN → → → → MA = MAx + MAy + MAz → MAx : A dan geçen ve x-eksenine paralel olan eksene göre moment → → → → MA = MAx i + MAy j + MAz k → MAy : A dan geçen ve y-eksenine paralel olan eksene göre moment → → → → MA = Mx' i + My' j + Mz' k → MAz : A dan geçen ve z-eksenine paralel olan eksene göre moment → → → MAx = MAx' = Mx' z' → → → MAy = MAy' = My' A dan geçen ve z-eksenine paralel olan eksen → → → MAz = MAz' = Mz' y' F MA A → → → → MO = MOx i + MOy j + MOz k → → → → MO = M x i + M y j + M z k ∟ ∟ z r d y O x Behcet DAĞHAN A dan geçen ve y-eksenine paralel olan eksen ∟ → → → → MO = MOx + MOy + MOz 11 x' www.makina.selcuk.edu.tr A dan geçen ve x-eksenine paralel olan eksen Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet VarignonDAĞHAN Teoremi → MAF1 = · · · →Fn MA = → → → MAR = r × R MAR Behcet DAĞHAN → → r × F1 → → r × Fn → → → → → → → → → r × R = r × (F1 + ··· + Fn ) = r × F1 + ··· + r × Fn MAF2 MAF1 A ≡ r B MAFn → → → MAR = MAF1 + ··· + MAFn F1 A r F2 B R 12 MAxR = MAxF1 + ··· + MAxFn MAyR = MAyF1 + ··· + MAyFn MAzR = MAzF1 + ··· + MAzFn Fn → → → R = F1 + ··· + Fn · · · Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşkesinin herhangi bir noktaya (veya eksene) göre momenti, kuvvetlerin o noktaya (veya eksene) göre momentleri toplamına eşittir. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Kuvvet çifti 13 Behcet DAĞHAN Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0). d Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım. → → → → → → → → → → MA = AB × F + AC × (−F ) = (AB − AC ) × F = r × F → −F → F r C → AC → → → AB = AC + r → → → r = AB − AC → → → R = F + (− F ) Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır. → → → M=r ×F → → R=0 B → AB A Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır. Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür. Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır. Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir. Kuvvet çiftinin sadece momenti önemli olduğu için, momentleri eşit olan kuvvet çiftlerine denk kuvvet çiftleri denir. M=Fd d → −F → F Behcet DAĞHAN ≡ www.makina.selcuk.edu.tr Kuvvet çiftini, çoğunlukla, kuvvetler düzlemine dik olan bir moment vektörü ile gösteririz. Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Bir kuvvetinDAĞHAN tesir çizgisinin değiştirilmesi Behcet 14 Behcet DAĞHAN Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir. Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamak gerekir. M=Fd d d ! → F ≡ → F → −F → F ≡ → F ← Bu moment, kuvvetin momenti değildir. Kuvvete ilaveten dışarıdan uygulanan bir kuvvet çiftidir. Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave ederiz. Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir. Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz. M=Fd d → F Behcet DAĞHAN d → F ≡ → −F → F www.makina.selcuk.edu.tr ≡ → F Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 15 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/20 50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır. Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyen koordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız. 1. Çözüm Verilenler: z Düşey düzlem F = 50 N MO A 125 mm 40o 40o → O F 20 mm y x z 125 mm O İstenenler: → → → → MO = M x i + M y j + M z k Behcet DAĞHAN Fx o 40 Momentin yönünü bozmaması için Fx ve Fy nin işaretini atarız. Momentin yönünü o belirten işaretleri Mx = |Fy | (20) = 50 sin40 (20) = 643 N·mm biz yerleştiririz. → My = − |Fx | (20) = − 50 cos40o (20) = − 766 N·mm Mz = F (125) = 50 (125) = 6250 N·mm A Fy 40o 20 mm → → → → MO = M x i + M y j + M z k F x y → → → → → F = Fx i + Fy j = − 50 cos40o i − 50 sin40o j N www.makina.selcuk.edu.tr → → → → MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 16 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/20 50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır. Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyen koordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız. 2. Çözüm z Verilenler: F = 50 N O 125 mm r Fx 40o A Fy 40o 20 mm F x y → → → → r = rx i + r y j + r z k → → r = OA → → → → r = − 125 sin40o i + 125 cos40o j + 20 k mm → → → F = − 50 cos40o i − 50 sin40o j N − 125 sin40o 125 cos40o o o − 50 sin40 → k 20 0 → → → MO = r × F = → →→ i j k rx ry rz Fx Fy Fz www.makina.selcuk.edu.tr → → → → → MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm İstenenler: Behcet DAĞHAN → j − 50 cos40 → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k → → → → MO = M x i + M y j + M z k → MO = → i Vektörel çarpım ile moment hesaplanınca momentin yönünü belirten işaretler kendiliğinden gelir. Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 17 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/20 50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır. Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyen koordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız. Verilenler: F = 50 N 3. Çözüm x-eksenine göre moment: z 20 mm O x-ekseni Fy = − 50 sin40o A 125 cos40o y Mx z-eksenine göre moment: Mx = |Fy | (20) = 50 sin40o (20) = 643 N·mm z Fx = − 50 cos40o x My Momentin yönünü belirten işaretleri biz yerleştiriz. → O 125 sin40 F = 50 N o 40 Mz o y x y-ekseni My = − |Fx | (20) = − 50 cos40o (20) = − 766 N·mm → Behcet DAĞHAN 5m 12 z-ekseni A 20 mm O → → → → MO = M x i + M y j + M z k ∟ m y-eksenine göre moment: İstenenler: A Momentin yönünü bozmaması için Fx ve Fy nin işaretini atarız. www.makina.selcuk.edu.tr Mz = 50 (125) = 6250 N·mm → → → → MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 18 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/21 Şekildeki 600 N-luk kuvveti, O noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız. Verilenler: F = 600 N Çözüm Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken, kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave ederiz. Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir. → → → → → → F = Fxy + Fz = Fx + Fy + Fz Fxy = F cos45o Fx = Fxy sin60o = F cos45o sin60o Fy = − Fxy cos60o = − F cos45o cos60o Fz = F sin45o → → → → F = Fx i + Fy j + Fz k → → → → F = 367 i − 212 j + 424 k N r A Fz İstenenler: MO = ? Fxy F= → → → MO = r × F = → →→ i j k rx ry rz Fx Fy Fz Behcet DAĞHAN → → → → r = rx i + r y j + r z k → → → → → r = OA = (50 + 130 sin60o) i − (140 + 130 cos60o) j + 150 k mm → → → → r = 162.6 i − 205 j + 150 k mm → MO = → i → j → k 162.6 − 205 150 367 − 212 424 www.makina.selcuk.edu.tr → → → → MO = − 55.2 i − 13.9 j + 40.8 k N·m Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 19 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/22 150 N-luk iki kuvvetten oluşan şekildeki kuvvet çiftinin momentini birim vektörler cinsinden yazınız. Çözüm Verilenler: F = 150 N F em düzl ey Düş 522 y ata Y 15 0m m 16.7o → M=? M=Fd m 0m 50 M F İstenenler: lem düz o 7 16. mm d 2 = 150 2 + 500 2 Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır. Yani serbest vektördür. Kuvvetlerin bulunduğu düzleme diktir ve yönü sağ el kuralı ile bulunur. → → → M = Mx i + M y j M = 150 (522) N·mm Mx = − M cos16.7o M = 78.3 N·m My = M sin16.7o Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr veya Mx = − 150 (250) − 150 (250) N·mm My = 150 (150) N·mm → → → M = − 75 i + 22.5 j N·m Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 20 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/23 Şekildeki F kuvvetinin CD çizgisine göre momentinin şiddeti 50 N·m ise F nin şiddetini bulunuz. Verilenler: Çözüm → → → → AB = − 0.2 i + 0.4 j + 0.2 k m z B Mλ = 50 N·m A (0.2,0,0) C (0.4,0,0.2) F 0.2 m B (0,0.4,0.2) C D (0.4,0.4,0) 0.2 m .2 0.4 m x İstenenler: → → → → r = rx i + r y j + r z k → → r = CA → → → r = − 0.2 i − 0.2 k m F=? AB = 0.49 m → → → CD = 0.4 j − 0.2 k m → CD r A0 AB 2 = (−0.2)2 + 0.42 + 0.22 m2 y m D CD 2 = 0.42 + (−0.2)2 m2 CD = 0.447 m → AB → → → → F = F (l i + m j + n k ) = F –––– AB Mλ = F → → → → F = F (− 0.41 i + 0.82 j + 0.41 k ) Mλ = F → → CD → → → uCD = α i + β j + γ k = –––– CD → → → uCD = 0.894 j − 0.447 k Behcet DAĞHAN rx ry rz www.makina.selcuk.edu.tr l m n α β γ − 0.2 0 − 0.2 − 0.41 0.82 0.41 0 0.894 − 0.447 = 50 F = 228 N Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Bir kuvvet sisteminin bileşkeleri 21 Behcet DAĞHAN M1 Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır. F1 Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır. F2 Üç boyutlu kuvvet sistemleri her zaman bir tek kuvvete indirgenemeyebilir. Onun yerine, çoğunlukla, kuvvetleri keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgemek ile yetinilir. z y Kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgediğimiz zaman sistem, çoğunlukla, bir kuvvet ve bir kuvvet çiftinden meydana gelen bir sisteme dönüşür. Fn F3 O x Bileşke kuvvet → → → → → → → R = Rx i + Ry j + Rz k = R (lR i + mR j + nR k ) → → → → → → → → → → → → → → R = F1 + F2 + ··· + Fn = (F1x i + F1y j + F1z k ) + (F2x i + F2y j + F2z k ) + ··· + (Fnx i + Fny j + Fnz k ) = ΣF → → → → R = (F1x + F2x + ··· + Fnx) i + (F1y + F2y + ··· + Fny) j + (F1z + F2z + ··· + Fnz) k } } } = ΣFx = ΣFy Bileşke kuvvetin yönünü ve şiddetini bulmak için: Bileşke kuvvet çifti → → → → → → → → M = Mx i + My j + Mz k = M (lM i + mM j + nM k ) = ΣM = ΣFz Benzer şekilde, bileşke kuvvet çiftinin yönünü ve şiddetini bulmak için: Rx = ΣFx Rx = R l R Mx = ΣMx Mx = M lM Ry = ΣFy Ry = R m R My = ΣMy My = M m M Rz = ΣFz Rz = R n R Mz = ΣMz Mz = M nM R 2 = Rx2+ Ry2 + Rz2 Behcet DAĞHAN l 2 + m 2 + n2 = 1 www.makina.selcuk.edu.tr M 2 = Mx2+ My2 + Mz2 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik Behcet Bir kuvvetDAĞHAN sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi MF1 M1 F1 F2 M ≡ F1 ≡ F2 A Fn F3 Bileşke kuvvet → → R = ΣF Kuvvetlerin toplamı A MFn → Fn F3 Bileşke kuvvet çifti → → M = ΣM Kuvvet çiftlerinin toplamı F3 22 Behcet DAĞHAN M1 MF2 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN M Fn = MAFn Fn kuvvetini A noktasına taşırken sisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çifti → → M = ΣM → → R = ΣF Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız. Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, kuvvetlerin o noktaya göre momentleri kadardır. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr in ler ke ş le Bi nde uğu içilund buzlem dü ∟ Kuvvetleri taşırken sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini de ilave ederiz. A Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN 23 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Bir noktaya indirgenmiş bir sistemin bir kuvvet vidasına veya bir tek kuvvete indirgenmesi M2 = R d → → M = ΣM M → → R = ΣF in ler ke ş e l Bi nde uğu içilund buzlem A dü M2 ≡ M2 d = –––– R R ≡ M1 ∟ A R M1 A ∟ d R R Kuvvet vidası ≡ M1 A d R ≡ R d A ni kse e a M1 d Vi Üç boyutlu bir kuvvet sisteminin bir tek kuvvete indirgenebilmesi için M1 = 0 olması gerekir. Yani Behcet DAĞHAN Birbirine paralel olan bir kuvvet ve bir kuvvet çiftinden oluşan sisteme kuvvet vidası denir. Yönleri aynı ise pozitif kuvvet vidası, zıt ise negatif kuvvet vidası denir. → → ΣM R olmalıdır. → → ΣM • R = 0 ↕ → ΣM www.makina.selcuk.edu.tr → R Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 24 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/24 Üç tane eşit kuvvet eşkenar üçgen bir levhaya şekildeki gibi uygulanmıştır. Bu kuvvet sistemini O noktasına indirgeyiniz. R nin M ye dik olduğunu gösteriniz. Çözüm z Verilenler: F1 = F F2 = F F1 F2 F3 R F3 = F O MF2 y F (b/2) İstenenler: → → R = ΣF → → M = ΣM R=? → → → → R = F1 + F2 + F3 → → → → M = MF1 + MF2 + MF3 → → R = − 3F k → → M = − F b sin60o i M=? Behcet DAĞHAN z F b sin60o 3F ≡ → MF1 x M F3 = MOF3 F3 kuvvetini O noktasına taşırken sisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çifti (Kuvvetin O noktasına göre momentine eşittir.) MF3 → F2 = F → F (b/2) F b sin60o → b F1 = F → F3 = F M O x → → → R • M = 0 ise: R y → M → → (−3 F) (−F b sin60o) k • i = 0 www.makina.selcuk.edu.tr → R → M Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 25 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/25 Şekildeki kasnak ve dişliye şekilde görülen kuvvetler etki etmektedir. Bu kuvvetlerden oluşan sistemi O noktasına indirgeyiniz. 1. Çözüm Verilenler: T1 = 800 N A T2 = 200 N rA F = 1200 N y rC C rB B ≡ İstenenler: R=? O B (0,−100,−550) C (75,0,−220) Behcet DAĞHAN → → → → M = M T1 + M T2 + M F x → → → → → → → M = rA x T 1 + r B x T 2 + r C x F M → → → R = 792 i + 1182 j N A (0,100,−550) → → M = ΣM z → → → → → → R = ΣF R = T1 + T2 + F → → → R = (800 + 200 − 1200 sin10o) i + 1200 cos10o j N M=? R → M= → → → → rA = OA = 100 j − 550 k mm → → → → rB = OB = −100 j − 550 k mm → → → → rC = OC = 75 i − 220 k mm → i → j 0 100 800 0 www.makina.selcuk.edu.tr → k −550 + 0 → i 0 200 → j → k −100 −550 + 0 0 → i → j → k 75 0 −220 −208.4 1181.8 0 → → → → M = 260 i − 504 j + 28.6 k N·m Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 26 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/25 Şekildeki kasnak ve dişliye şekilde görülen kuvvetler etki etmektedir. Bu kuvvetlerden oluşan sistemi O noktasına indirgeyiniz. Verilenler: 2. Çözüm Bileşke kuvvet çiftinin momentini bulmak için 2. yol x-eksenine göre moment: T1 = 800 N y T2 = 200 N F = 1200 N A 220 mm C z Mx x-ekseni F cos10o B İstenenler: 220 mm O My Mz O 75 mm 100 mm z-ekseni y-ekseni R=? T1 A y-eksenine göre moment: z y z-eksenine göre moment: Mx = 1200 cos10o (220) N·mm = 260 N·m 100 mm O M=? x B A B T1 330 mm C F sin10o F sin10o F cos10o x T2 Mz = 1200 cos10o (75) − 800 (100) + 200 (100) N·mm = 28.6 N·m → → → → M = Mx i + M y j + M z k T2 o My = − 800 (550) − 200 (550) + 1200 sin10 (220) N·mm = − 504 N·m Behcet DAĞHAN C www.makina.selcuk.edu.tr → → → → M = 260 i − 504 j + 28.6 k N·m Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 27 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. z Verilenler: Çözüm Ta z M=Ta M F1 = T a F2 = T A M ≡ T T A T 45o y x T y M1 __ AP = d İstenenler: → → → M1 = − T a cos45o cos45o ( i + j ) → Ta → → M1 = − ––– ( i + j ) 2 P ≡ R Kuvvet vidasının kuvvet çifti www.makina.selcuk.edu.tr M2 d = ––– = a cos2 45o = 0.5a R M2 A R R ile M1 zıt yönde olduğu için kuvvet vidası, negatif kuvvet vidasıdır. Behcet DAĞHAN 3a z x → → → R=T(i+ j ) P (x,y,z) = ? M2 = T a cos45o O O M1 = ? M2 T R = –––––– cos45o 3a R=? M1 = T a cos45o M1 T 3a P (0,0,3.5a) O x z = 3a + d = 3.5a y P noktası z-ekseni üzerindedir. Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 28 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T F2 = T z a T T 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 29 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T F2 = T z a M T T T 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 30 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T F2 = T z M T T 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 31 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T F2 = T z M M1 M2 T T 45o R 3a 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 32 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T F2 = T z M1 M2 45o R 3a 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 33 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T z F2 = T M1 M2 45o R R 3a 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 34 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/26 Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz. Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz. Verilenler: Çözüm F1 = T z F2 = T M1 45o R 3a 3a O y İstenenler: x R=? M1 = ? P (x,y,z) = ? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN
