maddesel noktaların dinamiği

Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ
- Konum, Hız ve İvme
- Newton Kanunları
2. MADDESEL NOKTALARIN KİNEMATİĞİ
- Doğrusal Hareket
- Düzlemde Eğrisel Hareket
- Bağıl Hareket (Ötelenen Eksenlerde)
- Birbirine Bağlı Maddesel Noktaların Hareketi
3. MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
- Kuvvet, Kütle ve İvme
- İş ve Enerji
- İmpuls ve Momentum
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
3
MADDESEL NOKTALARIN DİNAMİĞİ
KİNETİK
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
DİNAMİK
3.2
MADDESEL NOKTALARIN KİNETİĞİ
İş ve Enerji
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
İş
İş
nge
Yörü
ds
→
F s
→
dr
α
s
s + ds
r
→ →
r+dr
Elemanter iş
→ →
dU = F • d r
dU = F ds cosα = F (ds cosα)
dU = (F cosα) ds = Ft ds
∫ dU = ∫ Ft ds
s2
v2
A
ds cosα
n
Behcet DAĞHAN
>0
Ft
Ft = f(s)
Ft - s grafiğinin
altında kalan alan
↓
t
ds
α
Ft
Ft = F cosα
U1-2
2
F kuvvetinin
s1 konumundan
s2 konumuna
kadar yaptığı iş
}
→
dr
Fn
→
dr
Ft
→
| d r | = ds
skaler çarpım
s2
U1-2 = ∫ Ft ds
s1
O
s1
v1
A'
→ →
r+dr
→
r
1
A
Behcet DAĞHAN
Maddesel noktanın
bu yörüngeyi izlemesini sağlayan
başka kuvvetler de var.
A'
A
→
F
3.2. İş ve Enerji 1
Behcet DAĞHAN
Ft
→
dr
U1-2
U1-2
<0
s1
İş, skaler bir büyüklüktür ve birimi Joule'dür. 1 J = 1 N·m
www.makina.selcuk.edu.tr
s2
s
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 2
Behcet DAĞHAN
ise:
Kuvvet sabit
Behcet
DAĞHAN
Sabit bir kuvvetin yaptığı iş yörüngenin nasıl bir eğri olduğuna bağlı değildir.
İki konum arasındaki kuvvete paralel olarak ölçülen uzaklığa bağlıdır.
Behcet DAĞHAN
→
F sabit fakat
α ve Ft değişken
Kuvvetin yönü de şiddeti de değişmiyor.
Fn
2
α
Ft
s1
α
→
F
Yörünge
∫ dU = F cosα ∫ ds
Δs
s2
Δs c
U1-2 = F cosα Δs
U1-2 = F (Δs cosα)
s1 konumu ile s2 konumu
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık
U1-2 = Ft Δs
→
osα
Doğrusal harekette
→
F sabit ise α sabittir,
Ft de sabittir.
Ft
1
Fn
ds
α
e
ng
rü
Yö
2
}
→
F
1
cosα ds
s1
s2
s2
∫ cosα ds
s1
∫ dU = F ∫ cosα ds
s2
U1-2 = F ∫ cosα ds
s1
s1 konumu ile s2 konumu
arasındaki
kuvvete paralel uzaklık
Kuvvetin teğetsel bileşeninin şiddeti sabit ise:
dU = F cosα ds
Ft
Ft = sb.
→
F
∫ dU = ∫ Ft ds
∫ dU = Ft ∫ ds
U1-2
U1-2 = Ft Δs
s1
Δs
Behcet DAĞHAN
s2
s
Fn
e
ng
ü
ör
Y
2
Ft
Δs
1
s2
s1
↑
Ft = sb. iken geçerlidir.
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
Kinetik enerji
enerji
Kinetik
Durmakta olan bir cismi v hızına ulaştırmak için
gerekli olan enerjiye kinetik enerji denir.
Yer çekimi
çekimi potansiyel
potansiyel enerjisi
enerjisi
Yer
Yer çekimi kuvvetine karşı yapılan işe
"yer çekimi potansiyel enerjisi" denir.
1
T = –– m v2
2
Behcet DAĞHAN
Yö
T ≥ 0
rün
ge
h daima yukarı doğru pozitiftir.
h>0
Vg = m g h
düşey h
Vg = m g h
Vg = 0
Yö
keyfi olarak seçilen bir seviye
h=0
h<0
düşey
rün
3.2. İş ve Enerji 3
Behcet DAĞHAN
ge
Ağırlık kuvveti, yönü de şiddeti de değişmeyen sabit bir kuvvettir.
Vg2 = m g h2
2
W
Ağırlığın yaptığı iş 1 konumundan 2 konumuna kadar hangi yörünge üzerinden gidildiğine bağlı değildir.
Yaptığı iş yörüngeden bağımsız olan böyle kuvvetlere korunumlu kuvvetler denir.
Ağırlığın yaptığı iş, ağırlık kuvveti ile, 1 konumu ile 2 konumu arasındaki düşey uzaklığın çarpımına eşittir.
Aşağıdan yukarıya çıkan bir cisme ağırlığın yaptığı iş negatif iştir.
Vg1 = m g h1
W
Ağırlığın yaptığı iş yer çekimi potansiyel enerjisindeki değişimin negatifine eşittir.
1
W
Behcet DAĞHAN
− (Vg2 − Vg1)
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 4
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Elastik potansiyel
potansiyel enerji
enerji
Elastik
Yö
rün
Yay kuvvetine (F = k x) karşı yapılan işe
"elastik potansiyel enerji" denir.
ge
L+x
x
Ve = ∫ k x dx
0
→
1
Ve = –– k x2
2
Ve ≥ 0
L+x
x>0
1
Ve = –– k x 2
2
yayın boyundaki
değişme
x<0
1
Ve = –– k x2
2
x=0
Ve = 0
x
Yö
L
rün
ge
x=0
1
Ve2 = –– k x22
2
2
Yay kuvveti de korunumlu bir kuvvettir. Yaptığı iş yörüngeye bağlı değildir.
F
1
Ve1 = –– k x12
2
F
1
Behcet DAĞHAN
Yay kuvvetinin yaptığı iş elastik potansiyel enerjideki değişimin negatifine eşittir.
− (Ve2 − Ve1)
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
Behcet
DAĞHAN
İş -- Enerji
Enerji
Denklemi
İş
Denklemi
Maddesel noktaya
etki eden →
bütün kuvvetlerin
yaptığı iş
3.2. İş ve Enerji 5
Behcet DAĞHAN
s2
U1-2 = ∫ ΣFt ds
s1
ΣFt = m at
v dv = at ds
}
Behcet DAĞHAN
İş yapan bileşenlerin
toplamı
ΣFt
U1-2 = U1-2' − (Vg2 − Vg1) − (Ve2 − Ve1)
}
m
s2
v2
E2
e
ng
rü
Yö
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
→
s2
U1-2' = ∫ ΣFt' ds
s1
2
s1
v1
E1
T1 + U1-2 = T2
→
→
→
ΣFn
1
1
U1-2 = –– m (v22 − v12 )
2
Yay kuvvetlerinin
yaptığı iş
U1-2 = U1-2' − (Vg2 − Vg1) − (Ve2 − Ve1)
→
ΣF
s2
v2
U1-2 = ∫ m at ds = m ∫ v dv
s1
v1
U1-2 = T2 − T1
Ağırlık kuvvetlerinin
yaptığı iş
İş yapmayan bileşenlerin
toplamı
Toplam
mekanik
enerji
Ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka iş yapan
kuvvetlerin yaptığı toplam iş
→
E = T + Vg + Ve
E1 + U1-2' = E2
Enerjinin Korunumu
Korunumu
Enerjinin
Eğer bir maddesel noktaya etki eden kuvvetlerin içinde ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka iş yapan kuvvet yoksa toplam mekanik enerji korunur.
Behcet DAĞHAN
}
www.makina.selcuk.edu.tr
U1-2' = 0
E1 = E 2
E = sb.
→
T1 + Vg1 + Ve1= T 2 + Vg2 + Ve2
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 6
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/11
Örnek
3/11
Behcet
DAĞHAN
0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
Aktif kuvvet diyagramı
Verilenler:
Verilenler:
m = 0.6 kg
v1 = 0
t
v2 = 4 m/s
m
α
e
Yörüng
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
2
B
F
W
Eğer hareketi bu şekilde incelemek istersek,
F
F kuvvetinin yaptığı işi bulmak için verilenler yeterli olmayacaktır.
W
D
F kuvvetinin şiddeti sabittir ama yönü değişmektedir.
A
1
F
Dolayısı ile F nin teğetsel bileşeni değişmektedir.
W
e
Yörüng
İstenenler:
İstenenler:
2
Ayrıca F nin teğetsel bileşenini bulmak için yörüngenin bilinmesi gerekir.
B
Yörüngenin nasıl bir eğri olduğu da bilinmemektedir.
m
F=?
(sabit)
W
1
F
F kuvvetinin yaptığı işi kolayca bulabilmek için
sistem sınırı yandaki gibi seçilebilir.
ge
rün
Behcet DAĞHAN
D
Yö
A
Sistem sınırı
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 7
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/11
Örnek
3/11
Behcet
DAĞHAN
0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
m = 0.6 kg
v1 = 0
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
e
Yörüng
m
v2 = 4 m/s
Δs
Bu noktanın yer değiştirmesi,
ipin makaralardan geçen boyu
E
F
A
konumu
ile
s
konumu
s
1
2
Δs = AD − BD
arasındaki
Δs = 542 mm
kuvvete paralel uzaklık = 400 mm
Ağırlık kuvveti sabittir ve
Her iki kuvvet de sabittir.
s2
U1-2 = F Δs − W ∫ cosα ds daima düşeydir. O halde
s2
ağırlık kuvvetinin yaptığı işi
s1
U1-2 = F Δs − W ∫ cosα ds
bulmak için
s1
Ağırlık kuvveti,
konumlar arasındaki
W=mg
aşağıdan yukarıya çıkan bir cisme
düşey uzaklık alınacaktır.
negatif iş yapar.
s2
U1-2 = ∫ ΣFt ds
s1
Behcet DAĞHAN
200 mm
200
mm
D
m
E nin yörüngesi
}
F=?
(sabit)
B
m
s1
v1
D
İpteki kuvvetin
yaptığı işi
kolayca bulabilmek
için sistem sınırı
bu şekilde
seçilmiştir.
m
İstenenler:
İstenenler:
1
s2
v2
3
A
Sistem sınırı
2
28
W
1. Çözüm
Çözüm
1.
B
}
Aktif kuvvet diyagramı
Verilenler:
Verilenler:
www.makina.selcuk.edu.tr
825 m
200
mm
800 mm
T1 + U1-2 = T2
0
1
1
–– m v12 + U1-2 = –– m v22
2
2
F = 13 N
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 8
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/11
Örnek
3/11
Behcet
DAĞHAN
0.60 kg lık şekildeki kızak, düşey düzlemde yer alan eğrisel bir çubuk üzerinde, D deki küçük
makaralardan geçen ipteki sabit F çekme kuvvetinin tesiri altında ihmal edilebilir bir sürtünme
ile kaymaktadır. Eğer kızak A dan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa, kızağın B noktasındaki
durdurucuya 4 m/s lik bir hızla çarpması için F kuvvetinin ne olması gerekir?
m = 0.6 kg
v1 = 0
Sadece iş yapan kuvvetler gösterilir.
e
Yörüng
2
m
v2 = 4 m/s
F
h
Bu noktanın yer değiştirmesi,
ipin makaralardan geçen boyu
h = h1 = 0
İstenenler:
İstenenler:
F=?
(sabit)
Δs = AD − BD
Δs = 542 mm
Ağırlık kuvvetlerinden ve
yay kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvetlerin yaptığı toplam iş
s2
U1-2' = ∫ ΣFt' ds
s1
Behcet DAĞHAN
→
200 mm
200
mm
m
s1
h1
v1
B
m
1
D
İpteki kuvvetin
yaptığı işi
kolayca bulabilmek
için sistem sınırı
h = h2 = 400 mm
bu şekilde
seçilmiştir.
3
A
s2
h2
v2
28
Sistem sınırı
W
2. Çözüm
Çözüm
2.
B
}
Aktif kuvvet diyagramı
Verilenler:
Verilenler:
m
825 m
A
D
200
mm
800 mm
E1 + U1-2' = E2
0
0
0
0
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
1
F Δs = –– m v22 + m g h2
2
U1-2' = F Δs
www.makina.selcuk.edu.tr
F = 13 N
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 9
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/12
Örnek
3/12
Behcet
DAĞHAN
Düşey olan sürtünmesiz çubuk üzerinde kaymakta olan 10 kg lık kızak, yayların boyunun 0.1 m
uzamış olduğu A konumundan v1 = 2 m/s lik bir hızla geçmektedir.
Kızağın, B noktasını geçerkenki hızı v2 yi hesaplayınız.
Verilenler:
Verilenler:
Yayların boyu, L :
m = 10 kg
L + x1 = 0.4
v1 = 2 m/s
L + 0.1 = 0.4
h1 = 0.3 m
L = 0.3 m
Çözüm
Çözüm
1
A
k = 800 N/m
F
x1 = 0.1 m
h2 = 0
F
W
m
F
B 2
0.4 m
İstenenler:
İstenenler:
v2 = ?
s1
h1
x1
v1
W
E1 + U1-2' = E2
F
F
W
Ağırlık kuvvetinden ve
yay kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvet olmadığı için enerji korunur.
h
F
s2
h2
x2
v2
h=0
0
E1 + U1-2' = E2
0
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
0.3 m
0.5 m
1
1
1
1
–– m v12 + m g h1 + 2 (–– k x12) = –– m v22 + 2 (–– k x22)
2
2
2
2
L + x2 = 0.5
v2 = 2.26 m/s
x2 = 0.2 m
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 10
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/13
Örnek
3/13
Behcet
DAĞHAN
Her birinin kütlesi m olan küçük A ve B cisimleri, kütlesi ihmal edilebilen çubuklarla birbirlerine şekildeki gibi bağlanmış ve
ilk hızsız olarak serbest bırakılmışlardır. O ile aynı düşey hizaya geldiği anda A cisminin hızı ne olur?
Sürtünmeleri ihmal ediniz.
Çözüm
Çözüm
Verilenler:
Verilenler:
m
O
O
o
60
vA1 = 0
200 mm
1
vB1 = 0
m
μ=0
1
A
hA1 = 200 − 200 cos60o = 100 mm
OA = 200 mm
W
2
2
250 mm
B
m
α
1
W
m
h
A
W
sinα
sin60o
–––– = –––––
200
250
α = 43.9o
1
vB2 = 0
B cismi bu konumda
durup geri döner.
Ulaşabileceği en alt konumdadır.
Behcet DAĞHAN
h
2
Ağırlık kuvvetlerinden başka
iş yapan kuvvet olmadığı için enerji korunur.
0
E1 + U1-2' = E2
0
0
0
0
T1 + Vg1 + Ve1 = T2 + Vg2 + Ve2
AB = 250 mm
B
m
2
hB1 = 450 − (200cos60o + 250cosα)
hB1 = 170 mm
İstenenler:
İstenenler:
vA2 = ?
E1 + U1-2' = E2
hA = 0
hB = 0
W
0
1
1
m g hA1 + m g hB1 = –– m vA22 + –– m vB22
2
2
2 (9.81) (0.1 + 0.17) = vA22
vA2 = 2.3 m/s
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Maddesel Noktaların Kinetiği
Dinamik
3.2. İş ve Enerji 11
Behcet DAĞHAN
Örnek Problem
Problem
3/14
Örnek
3/14
Behcet
DAĞHAN
Rijitliği k olan şekildeki yay, sıkıştırılmış ve aniden serbest bırakılmıştır. Böylece m kütleli maddesel nokta,
şekildeki yolu izlemiştir. Yolun düşey düzlemde yer alan yuvarlak kısmında maddesel nokta ile yolun
temasının kesilmemesi için yayın sıkıştırılması gereken minimum mesafe δ yı hesaplayınız. Kinetik
sürtünme katsayısı μk olan s = R uzunluğundaki sürtünmeli kısım dışında yolun yüzeyi sürtünmesizdir.
R
Çözüm
Çözüm
Maddesel noktanın yol ile
temasının kesilmesi açısından
en kritik nokta B noktasıdır.
y
k
v2
μk
Δs = s = R
a
W
n
ΣFy = m ay
N=mg
μk N
Δs = R
ΣFn = m an
v22
N + W = m –––
R
}
U1-2' = − μk N R
= − μk m g R
v2
an = –––
ρ
←
v2min2
0 + W = m –––––
R
Behcet DAĞHAN
sürtünmeli kısım
1
A
2
B
E1 + U1-2' = E2
0
0
0
T1 + Vg1 + Ve1 + U1-2' = T2 + Vg2 + Ve2
1
1
–– k x12 − μk m g R = –– m v22 + m g h2
2
2
1
1
–– k δ 2 − μk m g R = –– m (g R) + m g (2 R)
2
2
v2 = v2min iken N = 0 ve a = g olur.
←
x1min = δ = ?
(sabit)
U1-2' = F Δs
h=0
h2 = 2 R
İstenenler:
İstenenler:
N−W=0
R
h
x2 = 0
h1 = 0
N
sürtünmeli kısım
m
v2 = v2min
x1 = δ
m
W=mg
←
t
v1 = 0
2
B
μk N
←
N
m
W
a
←
Verilenler:
Verilenler:
δ=
v2min2 = g R = v22
www.makina.selcuk.edu.tr
√
5 + 2 μk
–––––––– m g R
k
Behcet DAĞHAN