STATİK
advertisement
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları 2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge 4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar 5. SÜRTÜNME 6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN 2 Behcet DAĞHAN STATİK KUVVET SİSTEMLERİ www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN 2.1 Behcet DAĞHAN STATİK İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri www.makina.selcuk.edu.tr Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Kuvvet, bir cismin diğer bir cisme yaptığı mekanik etkidir. 1 Behcet DAĞHAN Kuvvet, vektörel bir büyüklüktür. F Statik dersindeki kuvvet vektörü kayan vektördür. Dolayısı ile belirli bir tesir çizgisi vardır. Kuvvet vektörü, kendi tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa incelenen sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez. A Fakat sistemin iç kuvvetleri değişir. B C D Statik dersinde sadece dış kuvvetler göz önüne alındığı için bunun bir önemi yoktur. F kuvveti, tesir çizgisi üzerinde kaydırılırsa kafes sisteme etki eden dış kuvvetler değişmez. Fakat kafes sistemi oluşturan parçalara gelen kuvvetler değişir. Dış kuvvet, incelenen sisteme onun dışındaki sistemler tarafından uygulanan kuvvettir. İç kuvvet, incelenen sistemi oluşturan parçaların birbirine uyguladığı kuvvettir. F CD C CD CD BD D D BD D BD A A Bir sistemin tamamı için iç kuvvet olan bir kuvvet, o sistemin bir parçası için dış kuvvet olabilir. Mesela, kafes sistemi parçalara ayırıp incelerken, sistemin tamamı için iç kuvvet olan kuvvetler, sistemin parçaları için dış kuvvet olurlar. Behcet DAĞHAN B B F F, A ve B kuvvetleri, kafes sistemin tamamı için sisteme dışarıdan uygulanan kuvvet olduklarından dolayı dış kuvvetlerdir. B Tesir çizgisi İncelenen bir sistemin parçalarının birbirlerine uyguladığı iç kuvvetler, birbirlerini dengelediği için göz önüne alınmazlar. www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Etki kuvveti → 2 Behcet DAĞHAN W Uygulamadaki kuvvetler genellikle yayılı kuvvettir. m İşlem yaparken onların yerine geçen tekil kuvvetler kullanılır. → Yayılı kuvvet Tepki kuvveti → Bazen bir kuvvetin yerine geçecek iki veya daha fazla kuvvet yerleştirilir. F1 N → Tekil kuvvet Bazen de tesir çizgileri kesişen iki veya daha fazla kuvvetin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştirilir. F1 R → R → → R F2 Bileşen Bileşke F2 → F1 → → → R = F1 + F2 → F2 → F1 → → F2 → ∟ F2 R Bileşen F1 → → → F1 + F 2 = R → R F1 R ∟ ∟ R F1 R ∟ ∟ F1 F2 ∟ F2 Behcet DAĞHAN F2 www.makina.selcuk.edu.tr ! → → → R ≠ F1 + F 2 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN F1 F1 ≡ F2 A → → F2 → R ≡ F2 A → F1 R 3 A → → → F1 + F 2 = R → R Bileşkenin tesir çizgisi, bileşenlerin tesir çizgilerinin kesişme noktasından geçer. F1 R F1 ≡ A Behcet DAĞHAN F2 A → R → → R → F1 → F2 ≡ A F2 → → → R = F1 + F2 www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 4 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Aynı yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi onlara paraleldir, tesir çizgisi bileşenlerin arasındadır ve büyük bileşene yakındır. F1 F1 ≡ F2 → −F R R ≡ → F + F2 → → → F1 + F 2 = R F1 + F 2 = R Zıt yönde olan paralel iki kuvvetin bileşkesi de onlara paraleldir, tesir çizgisi dışarıdadır ve yine büyük bileşene yakındır. R F1 ≡ R F1 → −F F2 F2 Behcet DAĞHAN → → → F1 + F 2 = R Özel durum: + F2 < 0 → → → | F1 | > | F 2 | ≡ → F F1 + F 2 = R → → | F1 | = | F 2 | www.makina.selcuk.edu.tr → R=0 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Dik Bileşenler Behcet DAĞHAN → → → F = Fx + Fy → → → F = Fx i + Fy j → → j y Fx ve Fy pozitif veya negatif olabilir. → F → Fy F 2 = F x 2+ F y 2 Ama F daima pozitiftir. Fx = F cosθ F Fy → i → θ>0 O 5 θ<0 → Fx Fx x Fy = F sinθ θ açısı yönlü bir açıdır. Fy tanθ = ––– Fx Pozitif yönü şekilde gösterilmiştir. Fx = F cosθ y → F Fx < 0 → Fy → cosθ < 0 olduğundan dolayı kendiliğinden Fx < 0 olur. Fy = F sinθ Fy > 0 veya ! θ β → Fx Behcet DAĞHAN O Fx = −F cosβ x Fx < 0 olabilmesi için bu işareti biz yerleştirmeliyiz. Fy = F sinβ www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN 6 Behcet DAĞHAN İki kuvvetin bileşkesinin dik bileşenler kullanılarak bulunması → → j y → → → R = F1 + F2 F2y → → → → → → Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + (F2x i + F2y j ) F2 F1 F1y → → → → Rx i + Ry j = (F1x + F2x ) i + (F1y + F2y ) j R O F1x F2x x → i → } θ } Ry = ΣFx = ΣFy Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için: Rx → → → F1 = F1x + F1y → → → F2 = F2x + F1y → → → R = Rx + Ry → → → F1 = F1x i + F1y j → → → F2 = F2x i + F2y j → → → R = Rx i + Ry j Rx = ΣFx Ry = ΣFy R 2 = R x 2+ R y 2 Ry tanθ = ––– Rx Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 7 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/1 Şekildeki mesnede A noktasından uygulanan 600 N luk kuvvetin yerine geçecek iki tane kuvvet yerleştirilecektir. Bu iki kuvvetten Fa nın tesir çizgisi a-a doğrultusu ve Fb nin tesir çizgisi b-b doğrultusu olacaktır. Fa yı ve Fb yi bulunuz. Çözüm Verilenler: F = 600 N b 30o F Fa 60o ∟ a ∟ 60o 30o Fb A a b İstenenler: Fa = ? Fb = ? Behcet DAĞHAN → → → F = Fa + Fb Fa tan30o = ––– F Fa = 693 N F cos30o = ––– Fb Fb = 346 N www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 8 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/2 N Şekildeki iki kuvvetin bileşkesinin şiddetinin 2000 N olması için 800 N luk kuvvetin açısı θ ne olmalıdır? Bu şartlarda R ile düşey doğrultu arasındaki açı β yı bulunuz. Verilenler: N Çözüm F1 = 1400 N F2 = 800 N R = 2000 N düşey → → → R = F1 + F2 θ R F1 R 2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cosθ θ=? ↕ β İstenenler: θ θ = 51.3o F2 F22 = R2 + F12 − 2 R F1 cosβ β = 18.2o β=? Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 9 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/3 Şekildeki mekanizmanın AB koluna etki eden P kuvvetinin x ve y bileşenlerini bulunuz. Çözüm Verilenler: P = 260 N 13 5 12 P Py A Px B y Veya üçgenlerin benzerliğinden: 30o Px = − 240 N |Py| |Px| P ––– = ––– = ––– 12 13 5 → 12 Px = − P ––– 13 İstenenler: Py = ? C x 5 Py = − P ––– 13 Py = − 100 N → Px = ? Bu işaretleri biz yerleştirmeliyiz. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/4 10 Behcet DAĞHAN Şekildeki mesnedin A noktasına uygulanmış olan iki kuvvetin bileşkesinin yönünü ve şiddetini bulunuz. Çözüm Verilenler: y F1 = 800 N F2 = 900 N A 105o 10o θ<0 F1 x 25o β F2 Rx = ΣFx Rx = F1x + F2x = F1 cos10o − F2 sin25o o 75 Rx = 407 N R Ry = ΣFy Ry = F1y + F2y = − F1 sin10o − F2 cos25o İstenenler: R=? → → → R = F1 + F2 R 2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos105o sin75o sin(25o +β) ––––––––– = –––––– R F1 θ=? R = 1038 N Behcet DAĞHAN β = 23.1o www.makina.selcuk.edu.tr Ry = − 954 N R 2 = R x 2+ R y 2 R = 1038 N Ry tanθ = ––– Rx θ = − 66.9o Behcet DAĞHAN Statik Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN 11 Behcet DAĞHAN Moment Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir. Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur, Moment alınan eksen tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur. Moment vektörel bir büyüklüktür. → Moment vektörünü M ile göstereceğiz. MA Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur. F d Mom e kolu nt ∟ Moment alınan A nokta ∟ Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksene döndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir. Bir noktaya göre moment Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir. Herhangi bir A noktasına göre alınan momentin şiddeti: Behcet DAĞHAN MA = F d www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 12 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN İki boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin, içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre momentleri düzleme diktir. Eğer kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlem x-y düzlemi ile çakıştırılırsa, moment vektörleri de düzleme dik olan z-eksenine paralel olur. → → M = Mz Moment vektörlerinin tamamı birbirine paralel olduğu için sadece şiddetleri ile ilgilenmek yeterli olur. Yönlerini belirtmek için de şiddetleri pozitif veya negatif alınır. Saat ibrelerinin dönme yönünün tersi pozitif yön olarak alınacaktır. y pozitif z-yönünde M<0 → negatif z-yönünde F d M = − 12 N·m → → A ∟ M>0 MA Yön belirtir O x Herhangi bir kuvvetin, kendi tesir çizgisi üzerindeki noktalar hariç, bütün noktalara göre döndürme etkisi vardır. M>0 Bu momentlerin bir kısmı pozitif, bir kısmı da negatif yöndedir. F M<0 ! Bu momentler, kuvvet uygulandığı zaman ortaya çıkan döndürme etkileridir. Yani kuvvetin yanında ayrıca uygulanmış değillerdir. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet Bir noktaya DAĞHAN göre momentin vektörel çarpımla bulunması 13 Behcet DAĞHAN F MA = r F sinα MA = F r sinα MA → A MA = F d d → → → MA ≠ F × r α r α ∟ ! d = r sinα → → → → MA = r × F r vektörü, moment alınan noktadan başlar, kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter. Varignon Teoremi → → → R = F1 + F2 → → → → → → → → → r × R = r × (F1 + F2) = r × F1 + r × F2 → → → MA R = r × R → → → MA F1 = r × F1 → → → MA F2 = r × F2 Behcet DAĞHAN İki boyutlu kuvvet sisteminde moment vektörlerinin hepsi birbirine paralel olduğu için bu eşitlik skaler olarak da geçerlidir. → → → MA R = MAF1 + MAF2 ↔ MAR = MAF1 + MAF2 MAF2 MAF1 A MAR r F1 B R F2 Bileşkenin bir noktaya göre momenti, bileşenlerinin o noktaya göre momentleri toplamına eşittir. www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN 14 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti alınırken takip edilebilecek yollar: R MAR = ? A R R R ∟ ∟ ∟ ≡ ≡ d2 A d1 ∟ R A F1 d2 ≡ A ∟ ∟ F2 ∟ F2 d A d1 ∟ F1 F1 F2 MAR = R d Behcet DAĞHAN MAR = F1 d1 + F2 d2 MAR = F1 d1 + 0 www.makina.selcuk.edu.tr MAR = 0 + F2 d2 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 15 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/5 30 N luk P kuvveti şekildeki çubuğun BC kısmına dik olarak uygulanmıştır. P nin B noktasına ve A noktasına göre momentini bulunuz. Çözüm Verilenler: P = 30 N P ∟ ∟ MB ∟ d P B d 45o MA A İstenenler: MB = ? MA = ? Behcet DAĞHAN d = 1.6 m d = 1.6 + 1.6 cos45o MB = P d MA = P d MB = 48 N·m MB = 81.9 N·m www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 16 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/6 (a) θ = 15o ise 90 N luk kuvvetin O noktasına göre momentini hesaplayınız. Ayrıca O ya göre momenti (b) sıfır ve (c) maksimum yapan θ değerlerini bulunuz. Çözüm Verilenler: O O F = 90 N (b) d1 = 800 mm F d2 = 600 mm F2 d1 F1 θ MO = 0 ise: d1 F 1 1 0 = − F sinθ d1 + F cosθ d2 θ M>0 d2 θ d2 θ = 36.9o M<0 F veya θ + 180o Varignon teoreminden: MO = − F1 d1 + F2 d2 θ = 15o ise: MO = − F sinθ d1 + F cosθ d2 MO = ? MO = 0 ise: θ=? MO = MOmax ise: (c) O MO = MOmax ise: dMO –––– = 0 dθ (a) θ = 15o ise: θ=? Behcet DAĞHAN MO = 33.5 N·m dMO –––– = F (− cosθ d1 − sinθ d2) dθ www.makina.selcuk.edu.tr } d1 F θ<0 d2 θ = − 53.1o veya θ + 180o ∟ İstenenler: F Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 17 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/7 Bir direk ucu bağlantı parçası, iki tane kuvveti şekildeki gibi taşımaktadır. Bu iki kuvvetin O noktasına göre → momentleri toplamının sıfır olabilmesi için T nin şiddeti ne olmalıdır? Çözüm Verilenler: F = 5 kN 2 F ! İstenenler: MO = 0 ise: T =? √29 T Moment alırken, bir kuvveti bu şekilde bileşenlere ayırmak tavsiye edilmez. Çünkü bileşenlerin tesir çizgilerinin nereden geçtiği açıkça belli olmalıdır. Kuvveti, tesir çizgisi üzerinde uygun bir yere kaydırdıktan sonra bileşenlere ayırmak gerekir. Behcet DAĞHAN F 5 T Varignon teoreminden: 5 2 MO = F cos30o (90) + F sin30o (60) − T –––– (120) − T –––– (60) = 0 √29 √29 www.makina.selcuk.edu.tr T = 4.04 kN Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Paralel iki kuvvetin bileşkesinin tesir çizgisinin yerinin varignon teoremi yardımıyla bulunması F1 a 18 MAR = MAF1 + MAF2 R A b R (0) = − F1 (a) + F2 (b) + F2 → → → F1 + F 2 = R F1 a ––– = ––– F2 b F1 + F 2 = R Özel durum: A R a → a=b MAR = MAF1 + MAF2 F1 b R (0) = F1 (a) − F2 (b) F2 + → → → F1 + F 2 = R F1 = F 2 F1 a ––– = ––– F2 b F1 + F 2 = R → → → | F1 | > | F 2 | Behcet DAĞHAN F2 < 0 Özel durum: www.makina.selcuk.edu.tr → → | F1 | = | F 2 | → R=0 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Kuvvet çifti 19 Behcet DAĞHAN MA a → → → R = F + (− F ) ∟ A → → Bu kuvvetlerden birisine F dersek diğeri de − F olur. d ∟ ∟ Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0). F F → → R=0 Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır. Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır. Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım. MA = F (a + d) − F a = F d M=Fd Elde edilen sonuç göstermektedir ki, kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır. Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür. Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 20 Behcet DAĞHAN d ∟ ∟ Behcet DAĞHAN 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN M=Fd F F A M=Fd M=Fd d ∟ ≡ Kuvvet çifti A F ! Bir tek kuvvet, kuvvet çiftinin yerine geçmez. Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre döndürme etkisi aynıdır. Kuvvet çiftini oluşturan kuvvetler veya aralarındaki uzaklık tek başına önemli değildir. Önemli olan kuvvet çiftinin momentidir. ∟ ∟ ∟ ∟ F1 d1 ≡ F1 d2 F2 F2 Kuvvet çifti M Kuvvet çiftini sadece bu işaret ile de gösteririz. M = F1 d1 = F2 d2 Momenti eşit olan bütün kuvvet çiftleri denktir. Behcet DAĞHAN ≡ www.makina.selcuk.edu.tr veya Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momentinin aynı olduğunun bir açıklaması z M F x d –– 2 + M = F d –– 2 x d –– 2 F d –– 2 d + = Bakış yönü Behcet DAĞHAN d F x x → → → x x F d –– 2 F F F z ∟ ∟ ∟ d ∟ ∟ d –– 2 z ∟ M 21 Bakış yönü www.makina.selcuk.edu.tr Bakış yönü Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Bir kuvvetin tesir çizgisinin değiştirilmesi Behcet DAĞHAN 22 Behcet DAĞHAN Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir. Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamamız gerekir. d F F d ∟ ∟ F ≡ ∟ ∟ F F ≡ M=Fd ↑ ! Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave etmemiz gerekir. Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir. Bu moment, kuvvetin momenti değildir. Kuvvete ilaveten dışarıdan uygulanan bir kuvvet çiftidir. Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz. d F www.makina.selcuk.edu.tr ≡ ∟ F d ∟ Behcet DAĞHAN ≡ ∟ M=Fd F ∟ F F Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 23 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/8 OA çubuğu, iki makara ve ince bir bandın bir bölümünden oluşan sisteme şekildeki gibi 180 N luk iki kuvvet uygulanmıştır. Bu kuvvetlerin (a) A noktasına göre ve (b) O noktasına göre momentleri toplamını bulunuz. Çözüm Verilenler: F = 180 N r = 25 mm Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşan bir sistem olduğu için kuvvet çiftidir. 180 N ∟ d Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır. İstenenler: MA = ? ∟ 180 N MA = M O = M = F d d = 100 sin45o + 2 r MO = ? Behcet DAĞHAN } M = 180 (120.7) M = 21 728 N·mm = 21.7 N·m www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 24 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/9 Bir sürücü sağa dönerken otomobilin direksiyonuna şekildeki gibi 8 N luk iki kuvvet uygulamaktadır. Bu kuvvetlerin oluşturduğu momenti hesaplayınız. Çözüm Verilenler: F=8N Bu kuvvet sistemi, eşit şiddette, zıt yönde ve birbirine paralel iki kuvvetten oluşan bir sistem olduğu için kuvvet çiftidir. Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre momenti aynıdır. İstenenler: M=? Behcet DAĞHAN M = MO = −2 F cos30o (375/2) M = − 2598 N·mm ↑ Yön belirtir Saat ibrelerinin dönme yönündedir. www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 25 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/10 Şekildeki 1200 N luk kuvvetin, dirseğin A pimine göre momentini hesaplayınız. Bunu yaparken, kuvveti önce C noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız. Çözüm Verilenler: F = 1200 N r = 200 mm 2 ∟r 1 √5 MC F F 1 F ––– √5 1 MA = MC + F ––– 600 √5 İstenenler: MA = ? 1 MA = 1200 (200 + ––– 600) √5 MC = F r Kuvveti önce C noktasına taşımak A noktasına göre moment almayı kolaylaştırır. Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr MA = 562 N·m Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 26 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/11 Birbirine tutturulmuş olan iki dişliye gelen iki kuvvet şekilde gösterilmiştir. Bu iki kuvveti O noktasına taşıyıp bir R kuvvetine ve bir M kuvvet çiftine indirgeyiniz ve şiddetlerini bulunuz. Çözüm Verilenler: F1 F1 = 1.5 kN F2 = 2.4 kN F2 MOF1 x 20o F1 O M ≡ MOF2 x 50o F2 MOF1 = F1 cos20o (200) 20o MOF1 = 282 N·m R y R=? MOF2 = − F2 cos20o (120) Rx = ΣFx Ry = ΣFy Rx = F1x + F2x Ry = F1y + F2y Rx = F1 cos20o+ F2 sin20o Ry = F1 sin20o+ F2 cos20o Rx = 2.23 kN Ry = 2.77 kN MO = M = ? R 2 = R x2 + R y2 R = 3.56 kN Behcet DAĞHAN y MOF2 = − 271 N·m ← İstenenler: O veya ← R2 = F12 + F22 + 2 F1 F2 cos50o www.makina.selcuk.edu.tr Yön belirten bu işareti biz yerleştirmeliyiz. MO = MOF1 + MOF2 M = 11.3 N·m Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN İki boyutlu bir kuvvet sisteminin bileşkesi 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 27 Behcet DAĞHAN Bileşkenin yönünü ve şiddetini bulmak için: Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır. Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır. Rx = ΣFx Kuvvetlerin içinde bulunduğu düzlemi x-y düzlemi ile çakıştıralım. Ry = ΣFy R 2 = R x 2+ R y 2 → → → Ry tanθ = ––– Rx R = F1 + ··· + Fn → → → → → → → → Rx i + Ry j = (F1x i + F1y j ) + ∙∙∙ + (Fnx i + Fny j ) → → Rx i + Ry j = (F1x + ··· + Fnx) i + (F1y + ∙∙∙ + Fny) j } } = ΣFx = ΣFy Kuvvet çiftleri, bileşkenin yönünü ve şiddetini etkilemez. Sadece tesir çizgisinin yerini etkiler. Fn F1 Bileşkenin tesir çizgisinin geçtiği yeri bulmak için: M1 y R Mm y Bileşkenin herhangi bir noktaya göre momenti, kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin o noktaya göre momentleri toplamına eşittir. ≡ θ O x Behcet DAĞHAN Genelleştirilmiş Varignon Teoremi O x www.makina.selcuk.edu.tr MAR = ΣMA Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Bir kuvvet sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi 28 Behcet DAĞHAN Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız. Kuvvetleri taşırken de sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini ilave ederiz. Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, taşıdığımız kuvvetlerin o noktaya göre momentlerine eşittir. → → R = ΣF Fn F1 M1 Mm F1 ≡ MA M1 Mm F1 ≡ A Kuvvet çiftlerinin momentlerinin toplamı → Kuvvetlerin toplamı → M = ΣM A MA Fn Fn → → → ΣF = F1 + ··· + Fn → → → → → ΣM = M1 + ... + Mm + MA F1 + ... + MA Fn Behcet DAĞHAN www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 29 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/12 İki kuvvetten ve bir kuvvet çiftinden oluşan şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesi O noktasından geçiyorsa kuvvet çiftinin şiddeti M nedir? Çözüm Verilenler: F1 = 320 N F2 = 400 N M O F1 = 320 N F2 = 400 N R → Varignon teoreminden: Bileşkenin tesir çizgisi O noktasından geçmektedir. 0 MOR = ΣMO → M=? M>0 MOR = ΣMO M<0 Kuvvet çiftinin bütün noktalara göre → döndürme etkisi aynıdır. Behcet DAĞHAN M + MOF1 + MOF2 = 0 → → ΣMO = 0 → İstenenler: M − 400 (150 cos30o) − 320 (150 + 150) = 0 M = 148 N·m www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 30 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/13 Şekildeki üç kuvvetten oluşan sistemin yerine geçecek R kuvvetinin x ve y-bileşenlerini ve tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin O noktasına uzaklığını bulunuz. Çözüm Verilenler: → → → → → → R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3 F1 = 160 N F2 = 240 N F3 = 200 N M>0 M<0 Rx = ΣFx Ry = ΣFy Rx = F1x + F2x + F3x Ry = F1y + F2y + F3y Rx = 0 + 0 − F 3 Ry = − F 1 + F 2 + 0 Rx = − 200 N İstenenler: Rx = ? R Ry = 80 N Rx Varignon teoreminden: x MOR = ΣMO Ry = ? x=? R d = Rx (0) + 80 (x) R d = − 160 (250) + 240 (250+250) + 200 (250) Behcet DAĞHAN Ry www.makina.selcuk.edu.tr } x = 1625 mm Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 31 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/14 → → Şekildeki üç kuvvetin oluşturduğu sistemin bileşkesini i ve j birim vektörleri cinsinden ifade ediniz. Bileşkeyi A noktasına taşıyıp, A noktasına taşırken sisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çiftini bulunuz. Ayrıca bileşkeyi A noktasına taşıdıktan sonra tesir çizgisinin denklemini yazınız. Çözüm Verilenler: → → → → → → R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3 y F2 = 60 N Rx = ΣFx Ry = ΣFy F3 = 100 N Rx = F1x + F2x + F3x Ry = F1y + F2y + F3y Rx = F 1 + 0 + F 3 Ry = 0 − F 2 + 0 Rx = 80 + 0 + 100 Ry = 0 − 60 + 0 Rx = 180 N Ry = − 60 N M>0 M<0 İstenenler: → R=? M=? y = f(x) = ? d M → → → R = 180 i − 60 j N A R θ>0 Rx x θ<0 Ry R Varignon teoreminden: y=mx MAR = ΣMA − R d = ΣMA = F1 (0) − F2 (1.5) − F3 (0.75) ΣMA = 80 (0) − 60 (1.5) − 100 (0.75) Ry tanθ = ––– Rx m = tanθ MAR= M = − 165 N·m Behcet DAĞHAN ∟ F1 = 80 N www.makina.selcuk.edu.tr } 1 y = − –– x 3 Behcet DAĞHAN Kuvvet Sistemleri Statik 2.1. İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri 32 Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN Örnek Problem 2/15 Şekildeki kuvvet sisteminin bileşkesinin tesir çizgisinin x-eksenini kestiği yerin x-koordinatını bulunuz. Verilenler: F1 = 250 N → → → → → → → → → R = Rx + Ry = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 Çözüm F2 = 400 N Rx = ΣFx Ry = ΣFy F3 = 500 N Rx = 400 cos30o Ry = − 250 − 400 sin30o − 500 − 500 − 500 − 250 F4 = 500 N Rx = 346 N Ry = − 2200 N F5 = 500 N F6 = 250 N Varignon teoreminden: MAR = ΣMA M>0 − R d = |Rx| (0) − |Ry| x = − 400 sin30o (5) − 500 (2.5) − 500 (5) − 500 (7.5) − 250 (10) → M<0 d İstenenler: ∟ Momentin işaretini bozmaması için Rx ve Ry nin işaretini atmalıyız. Rx x=5m x x=? Bileşkenin tesir çizgisi x-eksenini G noktasında keser. Behcet DAĞHAN Ry R www.makina.selcuk.edu.tr Behcet DAĞHAN
