tc selçuk üniversitesi fen bilimleri enstitüsü toeplıtz ve hankel

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİN
EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR
Mesut KIRICI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
KONYA, 2010
i
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ………………………………….…………………………………..…........1
2. TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİ…………………………………… 6
3. MATRİS ÇARPIMLARININ SİNGÜLER DEĞERİ……………………….... 8
4. MATRİSLERİN SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN TAHMİNLER…………. 15
5. MATRİSLERİN EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR
5.1. Gersgorin Tipi Alt Sınırlar…………………………………………………….25
5.2. Ostrowski Tipi Alt Sınırlar…………………………………………………....26
5.3. Brauer Tipi Alt Sınırlar……………………………………………………....27
5.4. Gudkov Tipi Alt Sınırlar……………………………………………………...31
6. UYGULAMALAR……………………………………………………………....33
7. SONUÇ VE ÖNERİLER………………………………………………………..41
8. KAYNAKLAR…………………………………………………………………..42
ii
ÖZET
YÜKSEK LİSANS TEZİ
TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİN EN KÜÇÜK SİNGÜLER
DEĞERLERİ İÇİN ALT SINIRLAR
Mesut KIRICI
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
2010, 43 Sayfa
Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
: Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
: Doç. Dr. Süleyman SOLAK
Bu çalışmamızda, matris ve matris çarpımlarının Singüler değerleri, matrislerin
Singüler değerleri için tahminler ve matrislerin Singüler değerleri için alt sınır
belirlemeyi amaç edinen Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve Gudkov tipi özel
yöntemlerin Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel tipi matrislerde E. E. Tryteskinov
g  1 2 ve h =1 özel durumu için en küçük singüler değerlerlerinde alt sınır bulma
yöntemleri uygulanmıştır. Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel tipi matrislerde
g  1 2 , h =1 ve n =3 özel durumu için en yaklaşık sonucu veren yöntem tespit
edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Cauchy-Hankel Matris, Cauchy-Toeplitz Matris, Singüler
Değer, En Küçük Singüler Değer İçin Alt Sınır
iii
ABSTRACT
THE POST GRADUATE THESIS
THE LOWER BOUND FOR SMALLEST SINGULAR VALUES OF
TOEPLITZ AND HANKEL MATRICES
Mesut KIRICI
Selçuk Üniversity Graduate School of Natural and Aplied Science
Department of Mathematics
Adviser: Assistant Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN
2010, 43 Page
Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
: Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN
: Assoc. Prof. Dr. Süleyman SOLAK
In this study, matrix and matrices multiplication’s Singular values, the guesses
for the Singular values of matrices and the special methods of Gersgorin,
Ostrowski,Brauer and Gudkow which aimed to determine the lower bounds for
singular values of matrices are applied on Couchy-Toeplitz and Couchy-Hankel
matrices in the E. E. Tryteskinov’s g  1 2 and h =1 special condition. the method
which gave the closest result for g  1 2 , h =1 and n  3 special condition on
Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices was determined.
Key words: Cauchy-Hankel Matrix, Cauchy-Toeplitz Matrix, Singular Value,
Lower Bound For the Smallest Singular Value.
iv
ÖNSÖZ
Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
öğretim üyesi Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN yönetiminde yapılarak, Selçuk
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu
çalışmamızda matrislerin Singüler değerleri için alt sınır belirlemeyi amaç edinen
Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve Gudkov tipi özel yöntemlerin Cauchy-Toeplitz ve
Cauchy-Hankel matrisleri üzerinde uygulamaların çalışması yapılmıştır.
Bu amaçla öncelikli olarak, Singüler değerin tanımı, Toeplitz, Hankel, CauchyToeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerin tanımı ve özellikleri, matrislerin en küçük
singüler değerleri için alt sınır bulma yöntemleri olan Gersgorin, Ostrowski, Brauer
ve Gudkov özel metodların çıkarımları verilmiştir.
Son olarak ise Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel tipi özel E. E. Trytyshnikov
g  1 2 ve h  1 özel durumu için n=3 şartında Gersgorin, Ostrowski, Brauer ve
Gudkov en küçük singüler alt değer bulma özel metodlarının uygulaması yapılmıştır.
Bu çalışmanın hazırlanmasında hiçbir zaman yardımlarını esirgemeyen tez
danışmanım Sayın Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN’ e teşekkürü borç bilirim.
Mesut KIRICI
KONYA, 2010
-1-
1. GİRİŞ
Günümüzde elemanter matris cebiri, matematik biliminin yanında elektrik ve
bilgisayar mühendisliği gibi çeşitli teknik alanlar içinde kullanılan matematiksel
bilginin ayrılmaz parçası haline gelmiştir. İngiliz matematikçi Sylvester, 1850
yılında matris kavramını kullanmıştır. Yine, İngiliz matematikçi Cayley, 1858
yılında Matris Cebirinin modern esaslarını kurmuştur. Daha sonraları ise Alman
matematikçi Frobenius, matrislerle ilgili yepyeni kavramlar ve teoremler üzerinde
durmuşlardır.
Tanım 1. 1. m, n  Z  ve 1  i  m , 1  j  n olmak üzere i, j  ikililerin cümlesi
M olsun. F herhangi bir cisim ve
f :M  F
i, j   f i, j   aij
aij  F olmak üzere
 a11
a
 21
 .

 a m1
a12
a 22
.
am2
.
.
.
.
a1n 
a2n 

. 

a mn 
mn
şeklinde düzenlenen tabloya matris adı verilir.
Bir matrisi oluşturan değerlere matrisin elemanları denir. Burada m matrisin satır
(yatay) sayısını n de matrisin sütun (dikey) sayısını belirtmektedir. Genel olarak bir
matrisin gösterimi A  aij  şekliyle ifade edilir. i ve j indisleri matris elemanının
mn
konumunu gösterir. Örneğin; aij  a 23 elemanı matrisin 2. satır ve 3. sütunundaki
elemanını göstermektedir.
Eğer matrisin satır sayısı sütun sayısına eşitse, yani m  n ise bu matrise kare
matris adı verilir.
-2-
A matrisinin kare matris olması durumunda a11 , a 22 , a33 ,..., a nn elemanları esas
köşegen üzerinde bulunurlar.
Tanım 1. 2
A 
 1
0

0

0
0
.
2
.
.
.
3
.
0 
0 

0 

n 
tipindeki n  n matrisine köşegen matris denir ve A  köş(1 ,  2 ,...,  n ) ile gösterilir.
Tanım 1. 3. Esas köşegeni üzerinde elemanları 1 ve diğer bütün elemanları 0 olan
köşegen matrise birim matris denir ve I n veya I şekliyle gösterilir.
Tanım 1.4. A   aij  , n  n tipinde bir matris olsun. A.B  B. A  I olacak şekilde
nxn
n  n tipinde B matrisi var ise, B ' ye A matrisinin tersi denir ve B  A 1 şeklinde
gösterilir.
Tanım 1. 5. A   aij  tipinde bir matris olsun. A matrisinin satır ve sütunlarının
mxn
yer değiştirilmesiyle oluşan ve AT ile gösterilen matrise A matrisinin transpozesi
denir. AT   a ji  şekliyle gösterilir.
nxm
Tanım 1.6. A, n-kare reel matris olmak üzere AT  A ise A matrisine simetrik
matris (her i, j için aij  a ji ), eğer AT   A ise A matrisine ters simetrik matris
denir. ( her i, j için aij   a ji )
_
Tanım 1.7. . A, n-kare kompleks matris olsun. A , A matrisinin elemanlarının
_
kompleks eşleniğini göstermek üzere A H  ( A) T  A ise A matrisine hermityen
matris denir.
Tanım 1. 8. T : V → V lineer dönüşümü verilsin. x ∈ V , olan sıfırdan farklı bir x
vektörü için T(x) = λ.x eşitliğini sağlayan bir λ sayısı varsa, λ sayısına T
dönüşümünün özdeğeri, x vektörüne de λ özdeğerine karşılık gelen özvektörü denir.
-3-
Tanım 1.9. m  n tipindeki herhangi bir A matrisinin kendisi ile eşlenik
transpozunun çarpımının öz değerinin kare köküne A matrisinin singüler değeri
denir.
Örneğin;
1 5 3 
A

 2  1 4
matrisinin singüler değerlerini bulmaya çalışalım.
1 2 
A  5  1
3 4 
T
olur ki buradan;
1 2 
1 5 3  
35 9 
. 5  1 = 
A. A  


2  1 4 3 4   9 21


T
o halde son elde edilen matrisin öz değerini bulmaya çalışalım,
9 
  35
det(I  A. AT )  
  21
 9
= (  35). (   21)  81
= 2  56  654
buradan devam edecek olursak,
2  56  654 =0
denkleminin köklerini,
1  28  130
ve
2  28  130
olarak buluruz.
O halde A matrisinin singüler değerlerini;
s1  28  130
ve
s 2  28  130 olarak elde etmiş oluruz.
Tanım 1. 10. V , F cismi üzerinde vektör uzayı olsun. Buna göre; I : V  V  F
fonksiyonu;
i ) x  V için ( x, x)  0, ( x, x)  0  x  0 ,
ii )a  F , x, y  V için (ax, y )  a( x, y ) ,
-4-
iii )a  F , x, y  V ( x, y )  ( y, x), ( x, ay )  a( x, y ), ( a, a ' nın eşleniği)
iiii )x, y, z  V için ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) ,
şartlarını sağlıyorsa bu fonksiyona iç çarpım fonksiyonu denir.
Tanım 1. 11. Bir vektör uzayı üzerinde iç çarpım tanımlanmışsa bu uzaya iç çarpım
uzayı denir. Ayrıca herhangi bir v vektörü için uzunluk (veya norm) v olarak
gösterilir.
Eğer x, y   n
ise bu halde (1  i  n) olmak üzere x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) ve
y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) olarak alabiliriz. Bu durumda x ve y vektörlerinin iç çarpımı
n
( x, y )  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn   xi yi
i 1
şeklinde tanımlanır.
VEKTÖR VE MATRİS NORMLARI
1. 2.1 Normlar
 üzerinde tanımlanan mutlak değer fonksiyonu ile sayıların büyüklükleri
dizilerin yakınsaklığı, fonksiyonların sürekliliği, limitleri ve verilen bir reel sayı için
bu sayıya en yakın asal ve tamsayıyı bulma gibi yaklaşım problemleri çözülebilir.
Aynı şeyler bir vektör uzayı üzerinde tanımlanan norm için de geçerlidir. V reel
vektör uzayı olmak üzere bu uzayda tanımlanan bir norm ile vektör normlarını
karşılaştırabiliriz. Vektör dizilerinin yakınsaklığı irdelenebilir, dönüşümlerin
sürekliliği ve limitleri çalışılabilir. Ayrıca, normlar singüler değer ayrışımında
Ax  b probleminin analizinde önemli rol oynar. Bu bölümde öncelikle vektör
normları üzerinde daha sonra da matris normları üzerinde duracağız.
Genel olarak norm, . sembolü ile gösterilmektedir.
Tanım 1. 12. F reel ya da kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde
tanımlanmış vektör uzayı olmak üzere;
. : V     0 ,
v v
-5-
şeklinde ifade edilen ve
i) Her v  V için,
a) v  0 ise v  0 dır
b) v =0 olması için gerek ve şart v  0 olmasıdır,
ii) a  F ve v  V için, av  a v dir,
iii) u , v  V için u  v  u  v dir
aksiyomlarını sağlayan . dönüşümüne, vektör normu denir.
Herhangi bir x vektörünün pozitif bir sayıya dönüştürülmesi işlemine norm denir.
1.2. 2 Matris Normları
Tanım 1.13. F reel yada kompleks sayılar cismi ve M n (F ) ; bileşenleri F
cisminin elemanları olan n -kare matrisler kümesi olmak üzere;
. : M n ( F )     {0}
A A
şeklinde ifade edilen ve
i) A  M n (F ) için,
a) A  0 ise A >0 dır.
b) A =0 olması için gerek ve yeter şart A =0 olmasıdır,
ii) a  F ve A  M n ( F )için, aA  a A dır,
iii) A, B  M n ( F ) için, A  B  A  B dir,
iv) A, B  M n ( F ) için, AB  A B dir,
aksiyonlarını sağlayan . dönüşüme, matris normu denir.
-6-
2. TOEPLITZ VE HANKEL MATRİSLERİ
Tanım 2. 1. n  1 olmak üzere
H n 1 ( x, x) 
n 1
h
i , j 0
i j
xi x j
kuadratik formuna Hankel formu denir. Bu forma uyan matrise de Hankel matrisi
denir ve
H n 1  (hi  j ) in,j10
olarak gösterilir.
Bir Hankel matrisinin açık gösterimi,
H n 1
 h0
h
 1
 .

 .
 .

 hn
h
 n 1
h1
. . .
hn
h2
. . .
. . .
. . .
hn 1
.
.
.
hn 1
hn 1
.
.
. . .
.
. . . h2 n  4
. . . h2 n 3
hn 1 
hn 1 
. 

. 
. 

h2 n 3 
h2 n  2 
şeklindedir. Buradan görüldüğü gibi Hankel matrisleri simetriktir. Ayrıca sonsuz
mertebeden bir Hankel matrisi de
H   (hi  j ) i, j 0
olarak tanımlanır.
Tanım 2. 2. n  1 ve t i , j ler kompleks sayılar olmak üzere
Tn 1 ( x, x) 
n 1
t
i , j 0
i j
xi x j
kuadratik formuna Toeplitz formu denir. Bu forma tekabül eden
Tn 1  (ti  j )in,j10
biçimindeki matrise Toeplitz matrisi denir.
-7-
Bir Toeplitz matrisi açık olarak,
Tn 1
 t0
t
 1
 .

 .
 .

 tn
t
 n 1
t 1
t0
. . . t n 2
. . . t n 3
.
. . .
.
.
.
t n 1
. . .
. . .
. . .
.
.
t0
t n2
. . .
t1
t  n 1 
t  n  2 
. 

. 
. 

t 1 
t 0 
şeklinde yazılır. Buradan görüldüğü üzere bir Toeplitz matrisinin elemanları esas
köşegene paralel köşegenler boyunca aynıdır. Dolayısıyla bir Toeplitz matrisini,
matrisin ilk satır vektörü ile ilk sütun vektörü temsil eder diyebiliriz.
Tanım 2. 3. g, h herhangi sayılar ve g/h  Z  olmak üzere;
n


1
Tn  

 g  ih  jh  i , j 1
matrisine Cauchy-Toeplitz matrisi denir.
Bu matris hem Cauchy hem Toeplitz matrisidir.
Tanım 2. 4. g, h herhangi sayılar ve g/h  Z 
n


1
Hn  

 g  ih  jh  i , j 1
matrisine Cauchy-Hankel matrisi denir. Burada H n matrisi, hem Cauchy hem de
Hankel matrisidir.
-8-
3. MATRİS ÇARPIMLARININ SİNGÜLER DEĞERLERİ
 nm , kompleks matrislerin uzayı olsun. H   nn hermityen matrisinin
1 ( H )  ...  n ( H )
özdeğerleri
C   nm
ve
nin
singüler
değerleri
1
 1 (C )   2 (C )  ...   n (C ) olmak üzere  i (C )  i 2 (CC  ) , ( i  1,2,..., n ) dir.
C   pm
ve
q  maxp, m  n
1  i1  ...  i2  n
olmak üzere,  q 1 (C )  ...   n (C )  0 ' dır.
olacak şekilde i1 ,..., in
tamsayılarını alalım ve aşağıdaki
Lemmaları verelim.
Lemma
3.1:
W1 ,..., Wk ,
V1 ,...,Vk
kümeleri boyVt  n  it  1,
boyWit  it , 1  i1  ...ik  n ve V1  ...  Vk olmak üzere  n ' nin alt uzayı olsun. Bu
takdirde x1 ,..., x k  bir ortonormal baza sahip W   n bir alt uzay ve xt  Wt ve
z t  Vt , t  1,..., k olmak üzere diğer ortonormal bazı  z1 , , zk  dir. [Wang ve Xi,
1997]
Lemma
3.2:
G , H   n n ,
pozitif
yarı
tanımlı
hermityen
1  i1  ...ik  n olsun. Buradan
k
k
t 1
t 1
 i (GH )   i (G)i ( H )
ve
k
k
 i (GH )   i (G )nt 1 ( H )
t 1
t
i 1
t
olup k  n için eşitlik vardır.
A   pn , B   nm olsun. Bu takdirde
k
k
  i ( AB)   i
t 1
t
t 1
t
1
2
( ABB A )
matrisler
ve
-9-
 k

   it ( A ABB ) 
 t 1

1
2
 k

   it ( AA n t 1 ( BB ) 
 t 1



1
2
k
   it ( A) n t 1 ( B)
t 1
dir. Buradan,
k
k
  i ( AB)   i ( A).  nt 1 ( B)
t 1
t
t 1
k

t 1
it
t
( A) n t 1 ( B )
(3.1)
elde edilir. [Wang ve Xi, 1997]
Lemma 3.3: A   pn , B   nm ve 1  i1  ...  ik  n olsun. Bu takdirde,
k
k
t 1
t 1
  t ( AB)    i ( A) ni 1 ( B)
t
t
(3.2)
ve
k

t 1
k
t
( AB)    it ( A) n it 1 ( B)
(3.3)
t 1
dir.
Sonuç 3.1: A   pn , B   nm , 1  i1  ...  ik  n ve 0  r   olsun. Bu takdirde
k

t 1
r
it
k

t 1
k
( AB)    irt ( A) r n t 1 ( B)
t 1
r
it
k
k
( AB)    irt ( A) r n it 1 ( B)
t 1
k
r
  i ( AB)    ir ( A)
t 1
dir. [Wang ve Xi, 1997]
t
t 1
t
n it 1
( B)
(3.4)
- 10 -
İspat:. A   nn olmak üzere A matrisinin özdeğerleri, 1 ( AA ),...,  n ( AA )
özdeğerlerine karşılık gelen ortonormal özvektörleri u1 , u 2 ,..., u n olsun. Yani,
AAu i  i ( AA )u i   i ( A)u i , i  1,2,..., n
2

dir. Rt   n ile Rt u1 , u 2 ,...u it
u
 vektörleri tarafından gerilen bir alt uzay ve
it
S t de

, u it 1 ,..., u n , t  1,2,..., k
vektörleri tarafından gerilen alt uzayı verilsin. x1 , x2 ,...xk   n için
X k   x1 , x 2 ,..., x k   C nk , I k  diag (1,1,...,1)  C k k
olur.
Lemma 3.4:
A   nm
yt  Rt , zt  St , t  1, 2,..., k
olsun ve
Z k  ( z1 , z2 ,..., zk )   nk
Yk  ( y1 , y 2 ,..., y k ) ,
olsun.
olmak üzere;
y t  Rt , z t  S t , t  1,2,..., k
olmak üzere;
i) Eğer YkYk  I k ise buradan  t (Yk A)   it ( A) , t  1,2,..., k ' dır,
ii) Eğer Z k Z k  I k ise buradan  t ( Z k A)   it ( A) , t  1,2,..., k ' dır. [Wang ve Xi,
1997]
İspat: Sabit bir t ( 1  t  k ) için Rt yi geren
y , y ,... y , v
1
2
t
t 1
,..., vit
A

ve
(u1 , u2 ,..., uit ) A ' nın aynı singüler değere sahip olduğunu görmek kolaydır.
 y , y ,... y , v
1
2
t
t 1
, ..., vit

Rt yi geren ortonormal bir baz olacak şekilde vt 1 ,..., vit  Rt
seçelim. Bu takdirde BB   qq hermityen matrisinin özdeğerleri ve CC    p p alt
matrisinden
 i ( B)   i (C ) ve  q i 1 ( B)   p i 1 (C ) ( i  1,2,..., p ) olup
 t (Yk A)   t ( y1 , y 2 ,..., yt )  A

(u , u ,...u ) A
  it ( y1 , y 2 ,... y t , vt 1 ,..., vit )  A
  it

1
2
t
  it ( A)
olur. Benzer şekilde
 t ( Z k A)   1 ( z t ,..., y k )  A

- 11 -

  1 (u it ,...u n )  A

=  it ( A)
dir.
Teorem 3.1: A  C nm , ve 1  i1  ...  ik  n ve her bir değişken 0,   aralığında
artan olacak şekilde  ( 1 ,...,  k ), k değişkenin herhangi bir fonksiyonu olsun.
Bu taktirde
  i ( A),... i   max min   1 ( X k A),..., ,...,  k ( X k ) 
k
1
dim Wt  it
(3.5)
xtWt
t 1,..., k
X  X k Ik
k
dir. [Wang ve Xi, 1997]
İspat: t  1,2,..., k boy Wt  it ile C n in herhangi bir alt uzayı Wt olsun.
boy S t  n  it  1, t  1,2,..., k ve S1  S 2  ...  S k ' dır. C n ' de xt  Wt ve z t  S t ,
t  1,2,..., k olmak üzere x1 , x 2 ,..., x k  ve z1 , z 2 ,..., z k  ortonormal tabanlara sahip
bir C n alt uzayı vardır. Lemma 3.4 (ii) ve  artan bir fonksiyon olmadığından
  1 ( X k A),..., ,...,  k ( X k )     1 ( Z k A),..., ,...,  k ( Z k ) 
  ( i1 ( A),...,  ik ( A))
olur. Dolayısıyla (3.5) ' in sol tarafının sağ taraftan daha küçük olmadığı görülür.
Diğer taraftan Wt  Rt ( t  1,2,..., k ) ve
y1 , y 2 ,..., y k ,
y t  Rt olacak şekilde
herhangi bir ortonormal bir küme olsun. Lemma 3.4 (i)’ den
  1 (Yk A),...,  k (Yk A)     i ( A),...,  i ( A) 
1
k
olur. Buradan (3.5) ' in sol tarafının sağ taraftan daha büyük olmadığı görülür.
Teorem 3. 2. A, B  C nxn , 1  i,  ....  ik  n ve 0  r  R olmak üzere
k
k
  ir ( AB)   nrt 1 ( A) nrt 1 ( B)
t 1
dir. [Wang ve Xi, 1997]
t
t 1
(3. 6)
- 12 -
İspat:  ( 1 ,....,  k )  t 1 tr ve W t Rt ' yi alalım. Teorem 3. 1, Özellik 3. 1 ve
k
Lemma 3. 4 (i) ' yi kullanırsak
k

t 1
r
it
( AB )  min
k

yt R
Yk *Yk  I k t 1
 min
k

yt R
Yk *Yk  I k t 1
r
t
(Yk * AB )
r
t
(Yk * A) nrt 1 ( B)
k
   irt ( A) nrt 1 ( B )
t 1
elde edilir .
Sonuç
3.2.
G, H  C nxn ,
pozitif
yarı
tanımlı
hermityen
matrisler
ve
1  i1  .....  ik  n ve 0  r   ise
k
r
 ir (GH )   ir (G)rnt 1 ( H )
t
t 1
k
(3. 7)
t
t 1
r
 ir (GH )   ir (G)rnt 1 ( H )
t
t 1
t 1
t
t
dır. [Wang ve Xi, 1997]
1
İspat: A,B ' nin yer değiştirmesi ve r üzerinde aşağıdaki sonuçlar G 2 , H
1
2
ve 2r ile
(3. 4) ve (3. 6) ' da verildi. (3. 7)’ den, A, B  C nxn için Teorem 3. 2 sağlanır.
Teorem 3. 3. m  3, 1  i1  ....  ik  n ve A1 ,..., Am  C nxn olsun. Bu takdirde,
i)
ii )
k
 t 1  ir ( A1 ... Am ) 

k
t

k
t 1
t 1
r
it
( A1 ) tr ( A 2 )... tr ( A m ),
 ir ( A1 ... Am ) t 1 ir ( A1 ) tr ( A2 ).... tr ( Am ),
k
t
t
k
iii)  k  ir ( A1 ... A m )    ir ( A1 ) nr  t 1 ( A 2 )... nr  t 1 ( A m ),
t 1
t
iv)
t 1
t
k
t 1 ir ( A1...Am )   ir ( A1 ) nrt 1 ( A2 )... nrt 1 ( Am ),
k
t
t 1
dir. [Wang ve Xi, 1997]
t
t
- 13 -
İspat: (i) ve (ii) aşikârdır. (iii) ve (iv), Sonuç 3. 1 ' den m üzerinden tümevarımla,
k
t 1 ir ( A1...Am )   ir ( A1...Am1 ) nrt 1 ( Am )
k
t
t 1
t
 k r
 k r
=    it ( A1 ... Am )    n t 1 ( Am )
 t 1
 t 1
 k
 k
    irt ( A1 ) nrt 1 ( A2 )... nrt 1 ( Am 1 ) .  nrt 1 ( Am )
 t 1
 t 1
k
=   irt ( A1 ) nrt 1 ( A2 )... nrt 1 ( Am ) ,
t 1
k
t 1 ir ( A1...Am )   ir ( A1 A2 ) nrt 1 ( A3 )... nrt 1 ( Am )
k
t
t
t 1
t
k
t 1 ir ( A1...Am )   ir ( A1 ) nrt 1 ( A2 )... nrt 1 ( Am )
k
t
t
t 1
t
dir.
Not: (3. 6) ve (3. 7) ' den m  3 için (iii) ve (iv) doğal konjektürü sağlanır.
Örnek 3. 1.
3 0 0
A1  0 1 0,
0 0 1
1 0 0 
A2  0 3 0 ,
0 0 1
1 0 0
A3  0 1 0
0 0 3
ve k=n, r=1 alalım. Buradan
k
k
t 1
t 1
  t ( A1 A2 A3 )    t ( A1 ) nt 1 ( A2 ) nt 1 ( A3 ),
(9  13)
dır.
Sonuç 3. 3. A1 A2 .... Am  C nxn , m  3,1  it  ....  ik  n , 0  r   olsun.
Buradan;
i)
ii)
k

 r ( A1 ...Am )   ir ( A1 ) nrt 1 ( A2 ) nr ... nrt 1 ( Am ) ,
t 1 i
k
t

t 1
t
t
k
 r ( A1 ...Am )   r ( A1 ) nrti 1 ( A2 ) nr ... nrt 1 ( Am )
t 1 i
k
t
t 1
ik t
t
- 14 -
dir. [Wang ve Xi, 1997]
İspat: (3. 6) ve (3. 4) ' ü kullanarak herhangi A, B  C nxn için
 ir ( AB)   nr ( A) nr ( B)
dir.
- 15 -
4. MATRİSLERİN SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN TAHMİNLER
Teorem 4. 1.
A  (aij ) ,
n . mertebeden bir
kompleks matris olsun.
 
B  (bij )   nxn matrisi, A ' dan büyük olsun. Yani, i, j için bij  aij
olsun.
Buradan A ' nın bütün öz değerleri;
n
{z  C : z  a
ii
  ( B)  bii }
(4. 1)
i 1
nin içindedir.
Singüler değerlerin tahmini, pratikte önemlidir. A ' nın singüler değerleri için
tahminler elde etmek maksadıyla A* A matrisi yukardaki teoremde kullanılır. Bu
yaklaşım bizi aşağıdaki teoreme götürür. [Li, 1999]
Teorem 4. 2. A  (a ij )  C nxn olsun.
ri   aij , ci   j i a ji
j i
u   max(0, u ), si  max(ri , ci ) ve ai  aii , i  1,2.....n
(4. 2)
olmak üzere A ' nın bütün singüler değerleri,
B ,B
i
i
 [(ai  si )  , ai  si ]  
(4. 3)
içindedir. [Li, 1999]
Teorem 4. 3. A  (aij )  C nxn ve B  (bij )   nxn  0 olacak şekilde negatif olmayan
matris olsun.
bij  max{ aij , a ji }, (i  j )
- 16 -
ise
A ' nın bütün singüler değerleri;
n
{z : z  a
i
  ( B)  bii }   
(4. 4)
i 1
birleşimi içindedir. Burada; B ' nin spektral yarıçapı ve (i  1,2...., n ) için ai  aii
ve   , pozitif reel sayılardır. [Li, 1999]
İspat:  , A ' nın bir Singüler değeri olmak üzere
 x  A * y,  y  Ax
(4. 5)
olacak şekilde x  ( x1 , x 2 ,......, x n ) T ve y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) T vektörleri vardır.
Farz edelim ki; B  (bij )  0 ve Teorem 4. 3 ' ü sağlasın. İlk olarak B  0 ' ı alalım.
Bu durumda aşağıdaki teorem verilebilir.
Lemma 4. 1. c,  ,   1 ve     olsun. Buradan;
  c  max{  c ,   c }
dır. [Li, 1999]
İspat: i)   c ise;
  c     c    c
ii)   c ise;
  c     c    c
olup ispat tamamdır.
Teorem 4. 4. A  (a ij )  C nxn olsun. A ' nın bütün Singüler değerleri,
(4. 6)
- 17 -
n
{z : z  a . z  a
i
j
 si , s j }  R 
(4. 7)
i , j 1
i j
içerisindedir. [Li, 1999]
İspat: u  (u1 , u 2 ,....., u n ) T , u  0 olmak üzere
u1  0, (i ) ve Bu   ( B)u
şartını sağlayan bir u vektörü vardır.
xˆ 
xi
y
, yˆ  i
ui
ui
olsun. (4. 5) ' den;
n
uj
j 1
ui
xˆ i   a ji yˆ j
n
uj
j 1
ui
, yˆ   aij xˆ j
, i  1,2...n
olup
xˆ i  a ji yˆ j   a ji yˆ i
j 1
yˆ i  a ii xˆ i   a ij xˆ j
j 1
uj
(4. 8)
ui
uj
(4. 9)
ui
dır. z i  max{ xˆ i , yˆ i } dır. z p  max{z j : 1  j  n} ise z p  0 olduğu açıktır.
Genelliği bozmadan z p  yˆ p  x̂ p olsun. ( z p  yˆ p  xˆ p olduğu zaman benzer
argümanlar kullanılır.)  
xˆ p
yˆ p
alalım. (4.8) ve (4.9)` da eşitsizlikler;
  a pp z p   a jp yˆ j
j p
  a pp z p   a pj xˆ j
j p
uj
up
uj
up
- 18 -
olur. Buradan;
  a pp z p   a jp
j p
  a pp z p   a pj
j p
uj
up
uj
up
(4. 10)
(4. 11)
olur. a jp  b pj olsun. Bu   ( B)u ' nın p. bileşeni;
a
j p
jp
u j   b pj u j   ( B)u p  b pp u p
(4. 12)
j p
dir. (4. 10) ve (4. 12) eşitsizlikleri gereği;
  aˆ pp   ( B)  b pp
(4. 13)
elde edilir. Benzer şekilde; a pj  b pj ve (4. 11)’ den
  a pp   ( B)  b pp
(4. 14)
elde edilir.   1 idi. (4. 6), (4. 13) ve (4. 14) ile
  a p   ( B)  b pp
olur. Buradan  ' nın (4. 4)' te olduğu görülür.
(4. 15)
- 19 -
Son olarak
B  0 ve benzer durumları sağlasın.   0 keyfi sayısı için
B( )  (bij   ) pozitif ve diğer kabulleri sağlasın. B ( ) ' a yukardaki durumları
uygularsak;
 ( B( ))  (bii   )   ( B)  bii (  0)
olur. Bu ise ispatı tamamlar.
Teorem 4. 5. Teorem 4. 3 ' teki kabulleri alalım. d   max{0, d }, d  R olmak üzere
li ( B)   ( B)  bii
ve
Vi  [(ai  l i ( B))  , ai  li ( B)]
(4. 16)
olsun. buradan,
n
a) Bütün Singüler değerler Vi : i 1Vi dedir.
b) Eğer, V aralığının n bileşeni varsa ve n-k intervallerinden bağımsız ise, Vi ' de A'
nın Singüler değeri vardır. [Li, 1999]
İspat: (a)' nın ispatı, Teorem 4. 3' ten görülür. (b)’ nin ispatı aşağıdaki gözleme
dayanır.
(b. 1)   [0,1] , D  diag (a11 , a 22 ,..., a nn ) , A( )  D  C ve C=A-D olmak üzere
G  diag (b11 , b22 ,..., bnn ) , B ( )  G  F olsun, F=B-G olmak üzere;
A(0)  D, B(0)  G, A(1)  A, B(1)  B
- 20 -
dir. B ( ), A( ) ' a göre daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. (a) dan A( ) ' nun
bütün Singüler değerleri,
n
Vi ( )  [(ai  li ( B ( )))  ai  li ( B( ))] : Vi ( )
i 1
aralığındadır. s, t  [0,1], s  t için;
 ( B( s ))   ( B (t ))
dır. B(t ), B( s) ' ye göre daha geniş bir spektral yarıçapa sahip olduğundan
li ( B( s))  l i ( B(t )) ve Vi ( s)  Vi (t )  Vi (1)  Vi
dır.
(b. 2) A ' nın Singüler değerleri sürekli fonksiyonlardır. A(0) ' ın Singüler değerleri,
örneğin
ai (i  1,2,..., n), ai  Vi (i  1,2,..., n)
sağlanır.
(b. 3)  , 0 ' dan 1 ' e değiştiği zaman, sürekli olarak, A( ) ' un  i ( ) Singüler
değeri, a ji den  (1) ' e değişir.
Teorem 4.4. ün farklı bir ispatı:  ,
A ' nın bir Singüler değeri ve
x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) T , y  ( y1 , y 2 ,..., y n ) T , (4. 7)' yi sağlasın.  i  max{ xi , y i } ve
 p  max  i ise  p  0 olduğu açıktır  q  max  i olsun. (4.5) ' de p . denklem;
1i  n
i p
 x p  a pp y p   a jp y j
(4.17)
y p  a pp x p   a jp x j
(4.18)
j p
j p
olur. Genelliği bozmadan,  p  y p  x p olsun . Buradan; y p  0 dır.

xp
yp
yazalım. (4.17) ve (4.18) eşitsizliklerinden;
  a pp  p  q  a jp  q s p
j p
- 21 -
  a pp  p   q  a pj   q s p
j p
olur. Lemma 4.1 ' i uygularsak;
  ap  sp
q
p
(4.19)
elde edilir. Eğer  q  0 ise   a p ve  , (4.6) ' de verilen küme içindedir.  q  0
olsun. Benzer argümanlarla (4.19) ' da
  aq  s p
p
q
(4.20)
olur. Sonuçta:
  a p   aq  s p sq
elde edilir. Böylece Teorem 4.4 ispat edilmiş olur.
Örnek 4.1.
6 1 
6  1
ise  1 ( A)  6.1231 ,  2  2.1231 olur. B  
A
 negatif olmayan

1 2 
1 2 
matris ve  ( B)  6.2361 , A matrisinden daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir.
Teorem 4.2 uygulanırsa; A ' nın bütün singüler değerleri  0,6.2361 aralığında olur.
Diğer taraftan
 max ( A)  6.2361
dir. Bu ise
 max ( A) 
tahmininden daha iyidir.
A
1
A

7
- 22 -
6 1 
Teorem 4.2 ' yi uygulayarak B1  
 ise, bütün singüler değerlerin 1,3  5,7 '
1 6
r  ci 

de olduğunu biliyoruz. Buradan;  min  1 ' dir. Bu ise;  min ( A)  min ai  i

2 

ile aynıdır. Buradan ri   aij , ci   a ji dir. Şart sayısı için bir üst sınır
j i
j i
 A 1 A  2
 ( A)
K  max

 min ( A) minai  (ri  ci ) / 2
1
(4.21)
olarak verilir.
Sonuç olarak; A ' nın şart sayısı için üst sınır K ( A)  6.2361 olarak bulunur.
Bu ise; (4.21) ile verilen sınırdan daha iyidir.
Örnek 4.2.
6 0 0 
A  1 10 1 ise, A ' nın singüler değerleri 10.2137, 5.9588 ve 2.8590 ' dır.
0 1 3
6 1 0 
B  1 10 1 negatif olmayan matris ve p( B )  10.3649 olup A ' ya göre daha
0 1 3
geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. Teorem 4.3 ' ten biliyoruz ki; A ' nın bütün
singüler değerleri  0, 10.3649 aralığındadır. Buradan Teorem 4.3 ' ü uygulayarak
9 1 0 
B1  1 10 1  matrisi daha geniş bir spektral yarıçapa sahip bir matris ise;
0 1 12
p ( B1 )  12.4605 (Perron köktür) tir.
Bu durumda A ' nın bütün singüler değerleri;  2.5395, 12.4605 aralığındadır. Son
olarak 4.5 ' i
- 23 -
10 1 0 
B2   1 10 1  negatif olmayan matrisine uygularsak p ( B2 )  11,4142 (Perron
 0 1 10
kök) olur. Bu durumda bütün singüler değerler
1.5858, 4.4142   4.5858, 7.4142  8.5858,11.4142
aralığındadır. Bu üç aralığın her biri A ' nın bir singüler değerini içerir. (4.3) ' ü
uygulayarak
 max ( A)  11.4891
ve
 min ( A)  2
elde edilir. Teorem 4.3 ve Teorem 4.5 ' den  max ( A)  10.3649 ve  min ( A)  2.5395
olur. A ' nın şart sayısı için bir üst sınır K ( A)  4.0815 olup, (4.21) ' den
K ( A)  5.7446 sağlanır. Teorem 4.4 ' ü uygulayalım. (4.5) ' ten;
2.6972,3.3820  5.5505,6.5858  9.4142,10.4495
ve
K ( A)  3.8742
dir. A ' nın şart sayısının daha dar bir alt sınırı elde edilir. Bizim nümerik
deneylerimizden; Teorem 4.4 ' ün Teorem 4.3 ' ten daha iyi bir sınır verdiği görülür.
Fakat bu durumda Kuadratik eşitsizlikleri çözmek için çaba sarf etmek gerekir.
Örnek 4.3.
1 1
A  (aij )  
 olsun. A ' nın en küçük singüler değeri;
0 1
 2 ( A) 


5  1 / 2  0.6180
dir. (4.3) veya (4.4) ' ten
 2 ( A)  minai  (ri c i )/ 2  0.5
elde edilir. Ancak Teorem 4.4 ' ten  2 ( A) için 0 ' ın alt sınır olduğu açıktır.
Teorem 4.3 ve daha geniş spektral yarıçaplı negatif olmayan matristen;
- 24 -
x 1
B  (bij )  

1 y 
alarak.

(4.22)

p(B)= x  y  ( x  y ) 2  4 / 2
elde edilir.
 2 ( A)' nın keyfi bir alt sınırını elde etmek için;
a11  p( B )  x , a 22  p ( B)  y
(4.23)
elde edilmelidir. Fakat bu (4.23) ile çelişir; x  y ve y  x olur.
Teorem 4.6.
A  (aij )  C nn , indirgenemez ve C(A), açık olmayan ( A)
çemberinin kümesi  olsun. Buradan A ' nın bütün özdeğerleri,


  z  C :  z  aii   ri 
pi
pi


(4.24)
 C ( A )
bölgesi içindedir. [Li, 1999]
Örnek 4.4.
0 1 0
A   0 0 0.1 indirgenemez bir matris olsun. Teorem 4.2, Teorem 4.3 ve
0.1 0 0 
Teorem 4.5 ' i alalım. A ' nın bütün singüler değerleri
z  0 : z  0
3

 s1 s 2 s3  0,0.4642
(4.25)
kümesi içindedir. Ancak A' nın singüler değerleri,  1  1 ,  2   3  0.1 ' dir ve
(4.25),  1 ' i içermez.
- 25 -
5. MATRİSLERİN EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN ALT
SINIRLAR
A  (aij ) biçiminde n  n tipinde kompleks bir matris olsun, k  1,..., n için
Pk ( A)   a kj
jk
ve
Qk ( A)   a jk
j k
şeklinde tanımlayalım.
A ' nın en küçük singüler değerini  n ( A) ile göstereceğiz.
Gersgorin Teoremi kullanılarak ;
1
2
 n ( A)  min{ a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]}
1 k  n
(5.1)
olduğu gösterilmiştir. [4]
Burada, Gersgorin Teoreminin yerine Ostrowski ([2] , Teorem 6.4.1), Brauer ([2] ,
Teorem 6.4.7) ve Gudkov ([1]) metotları kullanılarak  n ( A) için yeni sınırlar elde
edilmiştir.
Yeni sınırlar daha karmaşık ifadeler içerebilir, ancak genellikle daha büyük, daha iyi
sınırlar vermektedir ve karşılıklı olarak karşılaştırılamazlar. Gersgorin Teoremi' nin
Singüler olmama göstergesinin optimumluğuna rağmen bunun gibi benzer
durumlarda değişimlerin olmasının hiçbir önemi yoktur.
Bu sonuçlar kare matrislerin elemanları için gösterilmiştir, fakat [3]` ün 3. 7
bölümündeki metot ise dikdörtgen matrisler içinde genelleştirilebilir.
Burada Ostrowski ve Brauer Teoremi kadar bilindik olmayan Gudkov` un
Singülerlik testini inceleyeceğiz.
Teorem 5. 1. R1 ( A)  P1 ( A) olsun ve i  2,..., n için
i 1
Ri ( A)   aik
k 1
n
Rk ( A)
  aik
a kk
k i 1
- 26 -
tanımlansın. Eğer; i  1,..., n için a ii  Ri ( A) ise A Singüler değildir. [Horn ve
Johnson, 1985]
5. 2.  n ( A) İçin Ostrowski Tipi Alt Sınırlar
Teorem 5. 2 : A ' nın en küçük Singüler değeri,  n ( A) ise;
1
 n ( A)  min{ ({4 a kk
1 k  n 2
2
1
2
 [ Pk ( A)  Qk ( A)] }  [ Pk ( A)  Qk ( A)])}
2
(5.2)
şeklinde bir alt sınır elde edilmiştir. [Horn ve Johnson, 1985]
İspat : Öncelikli olarak, [2] deki Teorem 7. 3. 7 kullanılarak
A 
n (A)I
 A*
n (A)I

singüler olduğu görülür ve buradan;
  n ( A) I
 A*


  n ( A) I 
A
A
0 I  
 I 0    ( A) I

  n
  n ( A) I 
A* 
(5.3)
matrisi de singülerdir.
Ostrowski Teoremi ile matrisin singülerliliğini birleştirerek en az bir i için
( 1  i  n );
aii
2
 [ Pi ( A)   n ( A)][Qi ( A)   n ( A)]
(5.4)
eşitsizliği elde edilir. (5.2) yardımıyla (5.4) düzenlenirse ;
0   n ( A)  [ Pi ( A)  Qi ( A)] n ( A)  Pi ( A).Qi ( A)  aii
2
2
olduğu görülür. (5.2) ile (5.1) sınırları arasında ilişki aşağıdaki gibi doğrudan
görülür.
Sonuç 5. 1 : (5.2) sınırı her zaman (5.1) sınırından büyüktür.
Üstelik Pr ( A)  Qr ( A) olmak üzere A için ;
1
1
0  min{ a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]}  a rr  [ Pr ( A)  Qr ( A)]
1 k  n
2
2
dır. Bu sınır önceki sınırdan daha iyidir.
- 27 -
5. 3.  n ( A) İçin Brauer Tipi Alt Sınırlar
Önceki bölümde, [2] deki Teorem 6. 4. 7 (Brauer Teoremi) ile Ostrowski
Teoremini değiştirirsek ;
1
1
~
~ 2 2
~
~ 
~
~
 n ( A)  min  ({4 aii . a jj  [ Pi ( A)  Pj ( A)] }  [ Pi ( A)  Pj ( A)])
1i , j  2 n 2


i j
(5.5)
olmak üzere (5.5) sınırı elde edilebilir.
~ A 0
A
0 A*
(5.5) ve (5.2) karşılaştırıldığında, önceki sınırın sağ tarafı en fazla yeni sınırın sağ
tarafı kadar büyük olabilir.
Bu nedenle biz, (5.1) ' in
uygun sınırları arasına (5.5) ' yi ilave etmeyeceğiz.
Bununla birlikte [3] ' deki 3. 7 bölümü ve Ostrowski ve Brauer öz değer bölgesi
arasındaki ilişki, en azından (5.1) ' den daha büyük ve (5.2) ile kıyaslanamayan
“Brauer-Tipi” türü bir sınır belirtir.
Bu fikri doğrulamak için;
1
2


 n ( A)  min  [Re a kk  Re a jj  (Re a kk  Re a jj ) 2  Pk ( A  A* ) Pj ( A  A* ) ]
1 k , j  n
k j
ile tanımlı  n ( A) değeri ile A ' yı ilişkilendirmek uygun olacaktır.
Bir lemma ile başlayalım.
Lemma 5. 1 C  (cij ) , n  n tipinde bir hermityen
matris olsun. O halde
C   n (C ) I ` nın bütün öz değerleri negatif değildir. [Horn ve Johnson, 1985]
- 28 -
İspat : C   n (C ) I hermityen olduğunu biliyoruz. Bu yüzden bütün öz değerler
reeldir. Öz değerlerin negatif olmadığını göstermek için Brauer teoremini
uygulayalım.( [2] , 6. 4. 11 )
Bunu takiben C   n (C ) I için yukarda bahsedilen spektral özelik olan bir yeter
koşul
c qq   n (C )  0
(q  1,..., n)
(5.6)
( s, r  1,..., n; s  r )
(5.7)
ve
[c ss   n (C )][c rr   n (C )]  Ps (C ) Pr (C )
elde edilecektir.
1  q  n olmak üzere C   n (C ) I ' nın q. köşegen elemanını düşünerek


1
1

cqq n (C)  [cqq  crr  (cqq crr )2  4Pq (C)Pr (C)]  min ckk  cij  (ckk cjj )2  4Pk (C)Pj (C) 


k
j
n
1
,
2
2

k j



1
1
1
c qq  c rr  (c qq  c rr ) 2  4 Pq (C ) Pr (C )  (c qq  c rr )  c qq  c rr  0
2
2
2
elde edilir. (5.7) ' yi elde ederken, a 2  4b  0 için f ( ) reel fonksiyonunun
a
(, ) aralığında kesin azalan ve f ( )  2  a  b olduğuna dikkat edelim.
2
Böylece herhangi bir  
1
(a  a 2  4b ) değeri için f ( )  0 olur. Bu ifadeye
2
dayanarak (5.7) elde edilir.
Artık, lemma yardımıyla önerilen sınırları elde edebiliriz.
Teorem 5. 3. A ` nın en küçük singüler değeri için
 n ( A)   n ( A)
sağlanır. [Horn ve Johnson, 1985]
İspat: [4] ' de Teorem (1) ' in ispatındaki yol izlenerek sadece B  A   n ( A) I için
B  B * öz değerlerinin negatif olmadığını göstereceğiz.
 n ( A)   n ( A* )   n ( A  A* )
dikkate alınarak;
- 29 -


B  B *  A  A*   n ( A)   n ( A* ) I  A  A*   n ( A  A* ) I
elde edilir. Kabul edilen spektral özelik Lemma 2. 1 ' den görülür.
Teorem 2. 2 ' nin gelecek sonucu  n ( A) için (1) ve (2) dekilerin karışımı olan bir
sınırı verir.
Sonuç 5. 2. A ' nın en küçük Singüler değeri
1


 n ( A)  min  akk  a jj  ( akk  a jj )2  [ Pk ( A)  Qk ( A)][Pj ( A)  Q j ( A) 
1k , j n 2


k j
(5.8)
dır. [Horn ve Johnson, 1985]
İspat : [3], 3. 7. 17 ' nın Sonuç 2. 1 İspatı, bu ispatla benzerdir ve bu sebepten dahil
edilmemiştir.
(5.8) sınırı ve (5.1) sınırı arasındaki ilişkiyi açıklayarak bu bölümü kapatalım.
Sonuç 5. 3. (5.8) sınırı her zaman (en azından) , (5.1) sınırı kadar büyüktür. Üstelik
A için;
0  min{ a kk 
1 k  n
1
Pk ( A)  Qk ( A)}
2
1
 a rr  [ Pr ( A)  Qr ( A)]
2
1
 a jj  [ Pj ( A)  Q j ( A)]
2
(5.9)
eşitsizliği herhangi bir j  {1,..., n} \ {r} için sağlanır. Önceki sınır açık değildir ve bir
sonrakinden daha iyidir. [Horn ve Johnson, 1985]
İspat :



1
min  a kk  a jj  ( a kk  a jj ) 2  [ Pk ( A)  Qk ( A)][ Pj ( A)  Q j ( A)] 

2
1 k , j  n
k j


1
a ss  att  ( a ss  att ) 2  [ Ps ( A)  Qs ( A)][ Pt ( A)  Qt ( A)]
2

olduğunu varsayalım.
Buradan Sonuç 2. 2 yardımı ile
 n ( A) 


1
a ss  att  ( a ss  att ) 2  [ Ps ( A)  Qs ( A)][ Pt ( A)  Qt ( A)] (5.10)
2
elde edilir. Hiç bir sınırlama olmadığını varsayarak
- 30 -
att 
1
Pt ( A)  Qt ( A)  a ss  1 Ps ( A)  Qs ( A)
2
2
ifadesi;
1
Ps ( A)  Qs ( A)  a ss  att  1 Pt ( A)  Qt ( A)
2
2
(5.11)
gibi de yazılabilir. (5.11) ' den gerekli işlemler yapılarak;
 n ( A) 


1
ass  att  ( ass  att )2  2( ass  att )[Pt ( A)  Qt ( A)]  [Pt ( A)  Qt ( A)]2 (5.12)
2
elde edilir. (5.11) vasıtasıyla
a ss  att  [ Pt ( A)  Qt ( A)]  0
dır. Bu yüzden (5.12);
 n ( A)  att 
1
Pt ( A)  Qt ( A)
2
1


 min  a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]
1 k  n
2


haline gelir.
İspatı tamamlamak için iki durum göz önüne alalım.
1. Durum:
1
1
att  [ Pt ( A)  Qt ( A)]  a ss  [ Ps ( A)  Qs ( A)]
2
2
ise (5.11) doğrudur ve
 n ( A)  att 
1
Pt ( A)  Qt ( A)
2
1


 min  a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]  0
1 k  n
2


olduğunu gösterir.
2. Durum:
1
1
att  [ Pt ( A)  Qt ( A)]  a ss  [ Ps ( A)  Qs ( A)]
2
2
ise, (5.9) ' dan
0  min{ a kk 
1 k  n
elde edilir ve (5.13) ' den
1
Pk ( A)  Qk ( A)}  att  1 Pt ( A)  Qt ( A)
2
2
(5.13)
- 31 -
 n ( A)  att 
1
Pt ( A)  Qt ( A)
2
1


 min  a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]  0
1 k  n
2


elde edilmiş olur.
Böylece ispat tamamlanmış olur.
5. 4.  n ( A) İçin Gudkov Tipi Alt Sınırlar
Son sınırı türetmek için Gudkov Teoreminin bir sonucunu kullanacağız.
[1] ' de gösterildiği gibi, eğer n  n bir B  (bij ) kompleks matrisi 1  i  n için
bazı i ` lere sahipse tüm j  i ' ler için bii  b jj  Pi ( B)  Pj ( B) olacak izole edilmiş
Gersgorin diski Gi (B) için B ' nin öz değerleri,


Pj (B)
 z : z  b  b


ii
ij

bii  b jj  Pi (B) 
j i

(5.14)
diskinde kapsanan Gi (B) ' de kapsanır.
Pi ( B)  0
olmadıkça (5.14)` deki diskin yarıçapının
Gi (B) ' nin yarıçapından
kesinlikle daha küçük olduğunu görmek kolaydır.
Bu durum aşağıdaki yolla (5.1) ile verilen sınırı geliştirmek için bir araçtır.
Teorem 3. 4. A ' nın en küçük singüler değeri
J 
1
{ a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]}
k{1,..., n} N I ( A )
2
min
ile



Pj ( A)  Qj (A)
Pj ( A)  Qj ( A)
1


G  min  akk   akj
  a jk

kNI ( A)
2  j k
2 akk  a jj  Pk ( A) Qk ( A) j k
2 akk  a jj  Pk (A) Qk (A) 



ve
- 32 -
1
1
N I ( A)  {i {1,...,n} : aii  a jj  [Pi ( A)  Qi ( A)]  [Pj ( A)  Q j ( A)] j {1,...,n}  {i}}
2
2
değerleri için,
 n ( A)  min{ J ,  G }
(5.15)
dir. [Horn ve Johnson, 1985]
İspat : 1  k  n için  k ,
 akk / akk , eğer akk  0
eik  
eğer akk  0
1,
olacak şekilde D  diag (e i1 ,..., e i n ) olsun.
D
üniter olduğundan DA ` nın Singüler değerleri A ' nın Singüler değeri ile
aynıdır.
[3] , 3. 7 ' deki işlemler yapılırsa
 n ( A)   n ( DA)
1


min
{ a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)}, min {k ( H ( DA))}
 min 
kN I ( DA )
2
k{1,...,n} N I ( DA]

elde edilir.
1
H ( DA)  [ DA  ( DA) * ] ,
2
DA ' nın hermityen kısmı ve
k ( H ( DA)) ' ler ayrıştırılmış
k  N I (DA)
için
Gk ( H ( DA)) diskinde kapsanan H (DA) ' ın tek
özdeğerleridir. N I ( A) ' nın da tanımını dikkate alırsak, son eşitsizlik
 n ( A)  min{ j , min { k ( H ( DA))}}
k N I ( A )
haline gelir. İddiamız yukarıdaki Gudkov ve üçgen eşitsizliklerinin yardımıyla
görülür.
(5. 2) ve (5. 3) ' e benzer olarak (5.15) sınırının gösterilmesi (5.1) sınırı ile nasıl
ilişkilendirilebileceği görülür. İspat açıktır.
Sonuç 5. 3. (5.15) sınırı her zaman en azından (5.1) kadar büyüktür. Üstelik A
için; s  N I ( A) ve Ps ( A)  Qs ( A)  0 olmak üzere
1
1


0  min  a kk  [ Pk ( A)  Qk ( A)]  a ss  [ Ps ( A)  Qs ( A)]
1 k  n
2
2


olup, önceki sınır açık değildir ve sonrakinden iyidir. [Horn ve Johnson, 1985]
- 33 -
6. UYGULAMALAR
6. 1. Cauchy-Toeplitz Uygulaması
Cauchy- Toeplitz matris tanımından g 
1
ve h=1 durumu için;
2
n


2
Tn  

1  2(i  j )  i , j 1
olur. n  3 için;

2
2
T3  
3
2
 5
2
2  
3

2  2

2
2 
3

özel Cauchy-Teoplitz matrisi elde edilir.
Şimdide T3 matrisinin Singüler değerleri
1.601, 3.004, 3.142
olarak bulunmuş olup bu özel T3 matrisinin en küçük singüler değeri  3  1.601
olarak tespit etmiş oluruz.

2
2
T3  
3
2
 5
2
2  
3

2  2

2
2 
3

özel Cauchy-Toeplitz matrisi için, Pk (T3 )   a kj
j k
ve
Qk (T3 )   a jk
j k
- 34 -
değerleri yerine yazıldığında,
P1 (T3 )  a12  a13  2 
2 8

3 3
Q1 (T3 )  a 21  a31 
2 2 16
 
3 5 15
P2 (T3 )  a 21  a 23 
2
8
2
3
3
Q2 (T3 )  a12  a32  2 
P3 (T3 )  a31  a32 
2 2 16
 
5 3 15
Q2 (T3 )  a13  a 23 
2 8

3 3
2
8
2
3
3
değerleri elde edilir.
6. 1. 1. Gersgorin Teoreminin Özel T3 Matrisi Üzerinde Uygulanması
1
2
1
2
 3 (T3 )  min{ a11  [ P1 (T3 )  Q1 (T3 )], a 22  [ P2 (T3 )  Q2 (T3 )], a33 
1 k 3
1
P3 (T3 )  Q3 (T3 )}
2
değerleri yerine yazıldığında;
 3 (T3 )  min{0.133,  0.66, 0.133}
 0.66
olarak bulunur.
6. 1. 2. Ostrowski Teoreminin Özel T3 Matrisi Üzerinde Uygulanması

1

1
2
 3 (T3 )  min{ {4. a11  [ P1 (T3 )  Q1 (T3 )]2 } 2  [ P1 (T3 )  Q1 (T3 )] ,
1 k  3
2

- 35 -
1

1
{4. a 22 2  [ P2 (T3 )  Q2 (T3 )]2 } 2  [ P2 (T3 )  Q2 (T3 )]  ,

2 

1

1
{4. a33 2  [ P3 (T3 )  Q3 (T3 )]2 } 2  [ P3 (T3 )  Q3 (T3 )]  }

2 

değerler yerine yazıldığında,
 3 (T3 )  min{0.4,  0.66, 0.4}
 0.66
olarak bulunur.
6. 1. 3. Brauer Teoreminin Özel T3 Matrisi Üzerinde Uygulanması
1
2
 3 (T3 )  min [ { a11  a 22  ( a11  a 22 ) 2  [ P1 (T3 )  Q1 (T3 )].[ P2 (T3 )  Q2 (T3 )]},
1 k , j 3
k j
1
{ a11  a33  ( a11  a33 ) 2  [ P1 (T3 )  Q1 (T3 )].[ P3 (T3 )  Q3 (T3 )]},
2
1
{ a 22  a33  ( a 22  a33 ) 2  [ P2 (T3 )  Q21 (T3 )].[ P3 (T3 )  Q3 (T3 )]}]
2
da değerler yerine yazıldığında,
 3 (T3 )  min{0.13,0.30,0.13}  0.13
olarak bulunur.
- 36 -
6. 1. 4. Gudkov Teoreminin Özel T3 Matrisi Üzerinde Uygulanması
T3 ` nın en küçük singüler değeri
J 
1
{ a kk  [ Pk (T3 )  Qk (T3 )]}
k{1,..., n} N I (T3 )
2
min
ile


Pj (T3 )  Qj (T3 )
Pj (T3 )  Qj (T3 )
1 


  a jk
G  min  akk    akj

kNI (T3 )
2  j k
2 akk  a jj  Pk (T3 )  Qk (T3 ) j k
2 akk  a jj  Pk (T3 )  Qk (T3 ) 



1
1
N I (T3 )  {i {1,...,n}: aii  a jj  [Pi (T3 )  Qi (T3 )] [Pj (T3 )  Q j (T3 )] j {1,...,n}{i}}
2
2
 n (T3 )  min{ J ,  G }
dan N I (T3 ) ' de i ' yi belirlenirken,
i  1 için j  2, j  3
i  2 için j  1, j  3
i  3 için j  1, j  2
değerleri yerine yazıldığında a11  a 22  a33 olduğundan N I (T3 ) eşitsizliğinin
sol kısmı 0 olup sağ tarafı da devamlı pozitif olduğundan herhangi bir i değeri için
eşitsizlik sağlanamadığından dolayı özel Cauchy-Toeplitz T3 matrisi için Gudkov
yöntemi uygulanamamaktadır.
6.1. Sonuç: Sonuçlar karşılaştırıldığında özel Cauchy-Toeplitz T3 matrisinin en
küçük singüler değerini en yaklaşık olarak Brauer teoremi vermektedir.
6. 2. Cauchy-Hankel Uygulaması
Cauchy- Hankel matris tanımından g 
1
ve h=1 durumu için;
2
- 37 -

1
Hn  
1 2  i 
n
n

j  i , j 1


2
Hn  

1  2(i  j )  i , j 1

haline gelir. n  3 için;
 2
 3
 2
H 3 = 
 5
 2
 7
2
7
2
 
9
2
 
11
2
5
2

7
2

9


özel H 3 Cauchy-Hankel matrisi elde edilmiş olur.
Bu durumda H 3 matrisinin singüler değerleri
0.002, 0.065, 1.05
olarak bulunmuş olup özel H 3 Cauchy-Hankel matrisinin en küçük singüler değeri
0.002 olarak tespit edilmiş olur.
 2
 3
 2
H 3  
 5
 2
 7
2
5
2

7
2

9

2
7
2
 
9
2
 
11

özel H 3 Cauchy-Toeplitz matrisi için;
Pk (H 3 )   a kj
j k
ve
Qk (H 3 )   a jk
j k
P1 (H 3 )  a12  a13 
2 2 24
 
5 7 35
Q1 (H 3 )  a 21  a31 
2 2 24
 
5 7 35
P2 (H 3 )  a 21  a 23 
2 2 28
 
5 9 45
Q2 (H 3 )  a12  a32 
2 2 28
 
5 9 45
- 38 -
P3 (H 3 )  a31  a32 
2 2 32
 
7 9 63
Q3 (H 3 )  a13  a 23 
2 2 32
 
7 9 63
değerleri elde edilir.
6. 2. 1. Gersgorin Teoreminin Özel H 3 Matrisi Üzerinde Uygulanması
1
2
1
2
 3 ( H 3 )  min{ a11  [ P1 ( H 3 )  Q1 ( H 3 )], a 22  [ P2 ( H 3 )  Q2 ( H 3 )], a33 
1 k  3
değerler yerine yazıldığında,
 3 ( H 3 )  min{0.02,0.33,0.31}
 3 ( H 3 )  0.33
olarak bulunur.
6. 2. 2. Ostrowski Teoreminin Özel H 3 Matrisi Üzerinde Uygulanması

1

1
2
 3 ( H 3 )  min{ {4. a11  [ P1 ( H 3 )  Q1 ( H 3 )]2 } 2  [ P1 ( H 3 )  Q1 ( H 3 )] ,
1 k  3
2

1

1
{4. a 22 2  [ P2 ( H 3 )  Q2 ( H 3 )]2 } 2  [ P2 ( H 3 )  Q2 ( H 3 )]  ,


2

1

1
{4. a33 2  [ P3 ( H 3 )  Q3 ( H 3 )]2 } 2  [ P3 ( H 3 )  Q3 ( H 3 )]  }

2 

değerler yerine yazıldığında,
1
P3 ( H 3 )  Q3 ( H 3 )}
2
- 39 -
 3 ( H 3 )  min{0.02,0.34,0.32}
 3 ( H 3 )  0.34
olarak bulunur.
6. 2. 3. Brauer Teoreminin Özel H 3 Matrisi Üzerinde Uygulanması
1
2
 3 ( H 3 )  min [ { a11  a 22  ( a11  a 22 ) 2  [ P1 ( H 3 )  Q1 ( H 3 )].[ P2 ( H 3 )  Q2 ( H 3 )]},
1 k , j  3
k j
1
{ a11  a33  ( a11  a33 ) 2  [ P1 ( H 3 )  Q1 ( H 3 )].[ P3 ( H 3 )  Q3 ( H 3 )]},
2
1
{ a 22  a33  ( a 22  a 33 ) 2  [ P2 ( H 3 )  Q21 ( H 3 )].[ P3 ( H 3 )  Q3 ( H 3 )]}]
2
değerler yerine yazıldığında;
 3 ( H 3 )  min{0.2,0.21,0.34}
 0.34
olarak bulunur.
6. 2. 4. Gudkov Teoreminin Özel H 3 Matrisi Üzerinde Uygulanması
H 3 ' nın en küçük singüler değeri
- 40 -
J 
min
1
{ a kk  [ Pk ( H 3 )  Qk ( H 3 )]}
2
k{1,..., n} N I ( H 3 )


1


P (H )  Q (H )
P (H )  Q (H )


j
j
j
j
3
3
3
3

G  min  akk    akj
  a jk

k N ( H )
2

2 akk  a jj  Pk ( H3 )  Qk ( H3 ) j  k
2 akk  a jj  Pk ( H3 )  Qk ( H3 ) 
j k

I
3

1
1
NI (H3 )  {i {1,...,n}: aii  a jj  [Pi (H3 )  Qi (H2 )] [Pj (H3 )  Qj (H3 )] j {1,...,n}{i}}
2
2
 n ( H 3 )  min{ J ,  G }
i=1 için j=2 , j  3
i=2 için j  1, j  3
i  3 için j  1, j  2
N I ( H 3 ) eşitsizliğinde yerine yazıldığında;
herhangibir i değeri için eşitsizlik sağlanamadığından bu özel H 3 Cauchy-Hankel
matrisi için Gudkov teoremi uygulanamamaktadır.
6.2. Sonuç: Sonuçlar karşılaştırıldığında özel H 3 Cauchy-Hankel matrisinin en
küçük singüler değer alt sınırını yaklaşık olarak Gersgorin Teoremi vermektedir.
- 41 -
6. SONUÇ VE ÖNERİLER
 224 21 55 
A1   61 137 66 
 83  26 175
,
259  9 44
A2  18 94  2
 43 8 243
ve
10 1 1 
A3 1 20 1 
1 1 30
matrisleri için (5.2), (5.8) ve (5.15) ' deki sınır değerleri bulunmuş ve aşağıdaki tablo
düzenlenmiştir.
(5.2)
(5.8)
(5.15)
3
(5.1)
A1
55,72
54,19
50
117,83
50
A2
75,51
87,84
86,89
92,88
75,5
A3
8
9,62
9,64
9,86
8
Yukarda bazı matrislerin en küçük singüler değeri(  3 ), Gersgoin(5. 1), Ostrowski(5.
2), Brauer(5. 8), Gudkov(5. 15) en küçük singüler değerler için alt sınır bulma
yöntemlerinin uygulanışı sonucu elde edilen değerler tabloda yazılmıştır. Gerek
tabloda gerekse de Özel Cauchy-Toeplitz ve Özel Cauchy-Hankel matrislerde bu
metotların uygulanışı sonucu bu yöntemlerden hangisinin daha iyi yaklaşık sonuç
bulduğunu kestirmek söz konusu değildir.
İlerleyen çalışmalarda bu özel yöntemler üzerinde çalışılarak Toeplitz ve Hankel
matrisler için daha keskin Singüler değerler için alt sınır bulma yöntemleri
oluşturulabilir.
- 42 -
7. KAYNAKLAR
[1] Li Luoluo, 2001, Lower Bounds for the Smallest Singular Value, Computer and
Mathematics with Applications, pp 483- 487
[2] Wang Bo- Ying and Xi Bo- Yan, 1997, Some Inequalities for singular Values of
Mtrix Products, Linear Algebra and Its Applications 246, pp 109- 115
[3] R. Horn and C.R Johnson, 1985 Topics in Matrix Analysis, Cambridge U.P.
[4] C.R Johnson, Linear Algebra Appl. 112:1-7. 1989, A Gersgorin-type lower bound
for the smallest singular value.
[5] Belitskii, G.R. , Lyubich, Y. I. 1988, Matrix Norms and Their Applications,
Birkha user Verlag, Basel.
[6] Ben, A., Shalon, T. 1986, On Inversion of Teoplitz and Hankel Matrices, Jour.
Inst. Math. Comp. Sci., Vol:7, No:1, pp:1-9
[7] Bini, D. Capovani, M. 1983, Spektral and Computational Properties of Band
Symetric Toeplitz Matrices.Linear Algebra and Its Applications. 52/53: 99-126.
[8] Bozkurt, D. 1994, On the Inverses of Toeplitz and Close to Toeplitz Matrices.
[9] Bozkurt, D. 1995, Cauchy-Toeplitz Matrislerinin Normları Üzerine , 8. Ulusal
Matematik Sempozyumu, Çukurova Üniversitesi, Adana.
[10] Bozkurt, D.ve Çelik, H.A. 1996, On the Distributions of the Eigenvalues of a
Non-Symmetric Matrix. The Journal of Interdisciplinary Studies 9: 87-90
[11] Bozkurt, D. 1996, On the Bounds of Cauchy-Teoplitz Matrices. Siberian J. of
Diff. Equations2: B 125-131.
[12] Fuhrmann, P. A. 1986, Remarks on the Inversion of Hankel Matrices.Linear
Algebra and Its Applications.
[13] V.V. Gudgov, On certain test for nonsingularity of matrices, in Latv. Mat.
1965, Zinatne , Riga, 1966, pp. 365-390 (MR 33, 1967, No.1323)
[14] Golub, G.H., Loan, C.F.V. 1983, Matrix Computations, North Oxford
Academic Publishing.