ders4 - Ninova

Bir örnek : Sarkaç
x  y
y   a sin x  by
V ( x, y )  a(1  cos x)  0.5 y 2
Gradyen Sistemler
x  E (x)
E (x)
dE ( x)
?
dt
E(x)’in zamana göre türevi
çözümler boyunca
dE ( x) E ( x) dx

dt
x
dt
E ( x) T

(E ( x))  E ( x)T E ( x)  0
x
T
Gradyen sistemlere ilişkin özellikler
Teorem 6: (Hirsh-Smale-Devaney, sf. 205)
x  E (x)
E(x)’in olağan noktası
E ( xr )  0, xr  R n  E ( x)  E 1 ( xr )
E ( x* )  0, x*  R n  x* dinamik sistemin denge noktaları
E ( x* )  0, x*  R n , x* E ( x) ‘in izole minimumu ise asimptotik kararlı
denge noktasıdır
Bir örnek daha
x  2 x( x  1)( 2 x  1)
y  2 y
V ( x, y )  x 2 ( x  1)2  y 2
E(x)’e ilişkin eş
düzey eğrileri Durum portresi
M.W.Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney,”Differential Equations, Dynamical Systems and
An Introduction to Chaos”, Elsevier, 2004.
Lineer sistemler için Lyapunov fonksiyonunu
Ne olmalı?
x  Ax V ( x)  xT Px
V ( x)  xT Px  x T Px  xT PAx  xT AT Px
 xT ( PA  AT P) x
Q
Teorem 7: (Pozitif Reel Lemma- Khalil sf. 240)
G ( s)  C ( sI  A)1 B  D pxp boyutlu transfer fonksiyonu matrisi
( A, B ) yönetilebilir ( A, C ) gözlenebilir
PT  P  0 olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan P,L,W matrisleri
bulunabiliniyorsa G(s) pozitif reeldir.
PA  AT P   LT L
PB  C T  LTW
W TW  D  DT
Tüm bu teoremler, denge noktası veya sabit noktadan
oluşan değişmez kümelerin kararlılığına ilişkin yeter koşulları veriyor.
Limit çevrim, veya daha başka çözümler için ne yapılabilinir?
Teorem 8: (Poincare-Bendixson)
M  R 2 kapalı, sınırlı
Değişmez
küme
S M
M 'de ya denge noktası yok ya da 1 , 2 ,..., n  eig ( A)

Çevrim
L0  S
i {1,2,..., n}, Re( i )  0
Liénard’ın denklemi
x
x  f ( x) x  g ( x)  0
F ( x) ˆ  f (t ) dt
0
x1 ˆ x
x2 ˆ
f,g є C1, f,g: R+
R
g tek, f çift fonksiyon
dx
 F ( x)
dt
x1  x2  F ( x1 )
x2   g ( x1 )
Ayrıca
g(x)>0,  t
x
lim F ( x) ˆ lim
x 
x 

0
f (t )dt  
F (  )  0,   0, F ( x)  0, 0  x  
orijin civarında
kararlı limit çevrim
var
F ( x)  0 ve x   da monotonic
özel olarak....
f ( x) ˆ   (1  x 2 )
Van der Pol Osilatörü
Dinamik sistemlerin genel, niteliksel özelliklerini belirlemek istiyoruz...
Topolojik Eşdeğerlilik:


D  T , R , 
D  T , R n , t
n
t
h : Rn  Rn h homeomorfizm
Zamanla değişimin yönünü koruyarak
Dve D topolojik eşdeğerdir
Hatırlatma
 OrD ( x0 )  h(OrD ( y0 ))
h homeomorfizm h : Rn  Rn
h 1-e-1 ve üstüne
h
h sürekli
h -1 sürekli
http://en.wikipedia.org/wiki/Homeomorphism
Sürekli zaman
Ayrık zaman
x  f ( x), x  R
n
x  f ( x), x  R n ¤
*
y  g ( y ), y  R n ¤ ¤
y  g ( y ), y  R n * *
y  h( x), h : R  R
n
..., f 1 ( x), x, f ( x), f 2 ( x),... ¤
n
M ( x) ˆ
1
dh( x)
dx
n
..., g 1 ( x), x, g ( x), g 2 ( x),... ¤ ¤
f  h 1 ( g (h( x)))
f ( x)  M ( x) g (h( x)), x  R

(*) sistemi (**)
sistemine
düzgün “eşdeğer”dir .
smoothly equivalent
t
t
h( x)   h( x)
 f  h 1  g  h
(¤) sistemi (¤¤) sistemine
“eş”dir
conjugate
x
h
y
f
f (x)
h
g
g ( y)
Topolojik Eşdeğerliliğe ilişkin başka tanımlar da var:
yörüngesel eşdeğerlilik,
Ck eşdeğerlilik
yerel eşdeğerlilik.....
Denge noktası civarında faz portresinin yapısı nasıl incelenebilir?
Sürekli zaman
Ayrık zaman
x  f ( x), x  R *
n
x* denge noktası olmak üzere
A ˆ f x ( x* )
Özdeğerlerden negatif , sıfır
ve pozitif reel kısımlara sahip
olanların sayısı sırası ile
x  f ( x), x  R n ¤
x* sabit nokta olmak üzere
A ˆ f x ( x* )
Özdeğerlerden birim daire içinde,
üstünde ve dışında olanların sayısı
sırası ile
n , n0 , n
n , n0 , n
olsun.
olsun.
Hiperbolik denge noktası
Bir denge noktası (sabit nokta)’na ilişkin n0  0 ise o denge noktası
(sabit nokta) hiperbolik denge noktası olarak adlandırılır. nn  0
ise, hiperbolik eyer olarak adlandırılır.
Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.