Bir başka Lyapunov anlamında kararlılık

Değişmez kümeleri gözlemeleyebilmemiz için
kolayca bulabilmemiz gerek, bu ne zaman olası?
Hatırlatma
Civarlarındaki yörüngeler de zaman ilerledikçe değişmez kümeye yaklaşırsa

Kararlı değişmez küme: T , X ,  t
Lyapunov anlamında kararlılık
X
tam metrik uzay
S 0 kapalı değişmez küme
Bu tanımı değişmez küme
tanımından farklı kılan ne?
S0  U ‘nun yeterince küçük herhangi bir U komşuluğunda
S0  V bir V komşuluğu var öyle ki  t x U , x V , t  0
S0  U 0 ‘nun bir U 0 komşuluğu vardır öyle ki t     t x  S0 , x U 0
Değişmez Küme (S) :
Asimptotik kararlılık
T , X , ,
t
SX
 xo  S   t xo  S , t T
Lyapunov anlamında kararlılık
Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”3rd Edition, Springer, 2004,
Lyapunov anlamında kararlılık nasıl tanımlanmıştı, hatırlayalım
Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık
x (t )  f ( x(t )) sistemine ilişkin bir denge noktası xd
herhangi bir   0 için
x(t0 )  xd   ( )
eşitsizliği
olsun. Verilen
x(t )  xd   , t  t0, t  R
eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir  ( ) bulunabiliyorsa xd denge
noktası Lyapunov anlamında kararlıdır.
Denge noktası xd kararlı olsun.
lim x(t )  xd  0
t 
ise
xd
denge noktası asimptotik kararlıdır.
Bir başka Lyapunov anlamında kararlılık
x  f ( x), x  R n
~
x (t ) verilen sistemin herhangi bir çözümü olsun
Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık (Wiggens, sf.7)
x (t ) olsun. Verilen
x  f (x) sistemine ilişkin bir çözüm ~
herhangi bir   0 için y (t ) herhangi bir başka çözüm olmak üzere
~
x (t0 )  y(t0 )   ( )
eşitsizliği
~
x (t )  y(t )   , t  t0, t  R
~
eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir  ( ) bulunabiliyorsa x (t ) çözümü
Lyapunov anlamında kararlıdır.
~
x (t ) kararlı olsun.
lim ~
x (t )  y(t )  0
t 
~
ise x (t ) çözümü asimptotik kararlıdır.
S. Wiggens, “Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos ”2nd Edition, Springer, 2003,
Bir Örnek
Strogatz, sf.16
x  sin x, x(0)  0
dx
dt

  sin x
t   ln
t  ln
1
 cot x  c
sin x
1  cot x0 sin x0 sin x
1  cot x sin x sin x0
x
x  0 x  0 x  0
x
x  0
x  0
x  0 x  0 x  0
Dinamik sistemin kararlılığını incelemenin kolay bir yolu var mı?
Teorem 1: (ayrık zaman sisteminin sabit noktasının kararlılığı için yeter koşul)
x  f ( x), x  R n , f  C 
x  f (x )
*
*
A  f x (x )
*
 f1
 x
 1
f
df ( x)  2
f x ˆ
  x1
dx


 f n
 x1
1, 2 ,..., n  eig ( A) i  1, i  1,..., n
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
.....
.....
....
f1 
xn 

f 2 
xn 


f n 
xn 
 x kararlıdır
*
Bir örnek: Henon Dönüşümü
xn1  yn  1  axn2
yn1  bxn
*2
x  y  1  ax
y  x  1  ax
y*  bx*
y *  bx*
*
*
*
*
a  1.4
b  0.3
*2
http://www.webgraphing.com/graphing_basic.jsp
Teorem 2: (Ayrık zaman sisteminin sabit noktasının varlığı
ve kararlılığı için yeter koşul)
x  f ( x), x  X , f  C
X
tam metrik uzay  bu metrik uzayda tanımlanmış bir metrik
 ( f ( x), f ( y ))   ( x, y ), x, y  X , 0    1

Ayrık zaman dinamik sisteminin bir kararlı sabit noktası
vardır ve
k    f ( x)  x , x  X
k
*
Teorem 1’den farklı ne söylemekte?
x*
Sürekli zaman dinamik sistemlerinin kararlılığını nasıl inceleyeceğiz?
Öncelikle , çözümün varlığından tekliğinden ve
ilk koşullara sürekli bağımlılığından emin olmalıyız
Teorem 3: (Sürekli zaman dinamik sisteminin çözümünün varlığı, tekliği
ve ilk koşullara sürekli bağlılığı için yeter koşul )
x  f ( x), x R n
açık bölge
f : R n  R n , f  C  U  Rn
 x0 Uiçin aşağıdaki koşulları sağlayan tek bir
x0‘da başlayan çözüm
x  x(t , x0 ), x : R xR  R ,
1
x(0, x0 )  x0
 J   1 ,  2 , 1, 2  1, 2 ( x0 )  0
n
n
‘de

x  C vardır.
 t  J
y (t )  x(t , x0 )  U
y (t )  f ( y (t ))
trajectory
x  x(t , x0 ) çözümü her x0 için neleri belirliyor?
Cr ( xo )  (t , x) : x  x(t , x0 ), t  J   R1xRn
çözüm
orbit
Or ( x0 )  x : x  x(t , x0 ), t  J   Rn
yörünge
 t x0  x(t , x0 )
Gelişim
fonksiyonu
Peki, ayrık zamanda ne oluyordu?
Artık çözümlerin varlığı ve tekliğini biliyoruz ,
yeniden kararlı değişmez kümelere bakalım
Ayrık zaman için yazılan Teorem 1 gibi bir teorem
sürekli zaman için de var mı?
Teorem 4: (Lyapunov )
 f1
 x
 1
f
df ( x)  2
f x ˆ
  x1
dx


 f n
 x1
f1
x2
f 2
x2
f n
x2
.....
.....
....
f1 
xn 

f 2 
xn 


f n 
xn 
x  f ( x), x  R n , f  C 
0  f ( x* )
A ˆ f x ( x* ) 1 , 2 ,..., n  eig ( A)
Re( i )  0, i  1,..., n  x*kararlıdır
Bir örnek: Lorenz Osilatörü
x   ( y  x)
y  x(   z )  y
z  xy  z
  10
  8/3
  28
0   ( y*  x* )
0  x* (   z* )  y*
0  x* y*  z*
x  8.4853
*
y*  8.4853
z*  27
x*  8.4853
y*  8.4853
x  0, y  0, z  0
*
*
*
z *  27
 22.83
13  22.56
22
 11.83
32  4.45  i3.49
32
 2.67
33  4.45  i3.49
11  22.56
12
12  4.45  i3.48
13  4.45  i3.48
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Lorenz_Ro28-200px.png
Teorem 5: (Lyapunov’un ikinci metodu)
0  f ( x ), D  R , x  D
*
n
*
V : D  R, V  C 
Bu teorem benzer şekilde
ayrık zaman içinde var
 
V ( x )  0, V ( x)  0x  D  x
*
 
V ( x)  0, x  D  x* 
Lyapunov fonksiyonunu nasıl bulacağız?
x  f (x)
E (x)
Fiziksel sistemin
davranışına
ilişkin denklemler
Fiziksel sistemde
depolanmış
enerjiye ilişkin
denklemler
*
x*kararlıdır
dE ( x)
 0 Sakınımlı
dt
sistemler
x  E (x) Gradyen
sistemler
Hamiltonyan Sistemler
H ( p, q )
q
H ( p, q )
H ( p, q )
q 
p
p  
dH ( p, q) H ( p, q) T dp H ( p, q) T dq


dt
p
dt
q
dt
H ( p, q) T H ( p, q) H ( p, q) T H ( p, q)


p
q
q
p
0
LC devresi
Sürtünmesiz Sarkaç
Cvc  iL
LiL  vc
x  y
y   a sin x
1
E (vC , iL )  (CvC2  LiL2 )
2
E ( x, y )  a(1  cos x)  0.5 y 2
Bir örnek : Sarkaç
x  y
y  a sin x  by
V ( x, y )  a(1  cos x)  0.5 y 2
Gradyen Sistemler
x  E (x)
E (x)
dE ( x)
?
dt
E(x)’in zamana göre türevi
çözümler boyunca
dE ( x) E ( x) dx

dt
x
dt
E ( x) T

(E ( x))  E ( x)T E ( x)  0
x
T
Gradyen sistemlere ilişkin özellikler
Nasıl belirlenecek?
Teorem 6: (Hirsh-Smale-Devaney, sf. 205)
x  E (x)
E(x)’in olağan noktası
E ( xr )  0, xr  R
n
E ( x1 , x2 ,...., xn1 , g ( x1 , x2 ,..., xn1 ))  c
1
 E ( x)  E (c)
E(x)’e ilişkin eşdüzey kümesi
E ( x* )  0, x*  R n  x* dinamik sistemin denge noktaları
E ( x* )  0, x*  R n , x* E ( x) ‘in izole minimumu ise asimptotik kararlı
denge noktasıdır
Bir örnek daha
x  2 x( x  1)( 2 x  1)
y  2 y
V ( x, y )  x 2 ( x  1)2  y 2
 x *  0 
 *    ,
 y  0 
 x*  0.5  x*  1
 *    ,  *    
 y   0   y  0 
E(x)’e ilişkin eş
düzey eğrileri Durum portresi
M.W.Hirsh, S. Smale, R.L. Devaney,”Differential Equations, Dynamical Systems and
An Introduction to Chaos”, Elsevier, 2004.
Lineer sistemler için Lyapunov fonksiyonunu
Ne olmalı?
x  Ax V ( x)  xT Px
V ( x)  xT Px  x T Px  xT PAx  xT AT Px
 xT ( PA  AT P) x
Q
Teorem 7: (Pozitif Reel Lemma- Khalil sf. 240)
G ( s)  C ( sI  A)1 B  D pxp boyutlu transfer fonksiyonu matrisi
( A, B ) yönetilebilir ( A, C ) gözlenebilir
PT  P  0 olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan P,L,W matrisleri
bulunabiliniyorsa G(s) pozitif reeldir.
PA  AT P   LT L
PB  C T  LTW
W TW  D  DT
Tüm bu teoremler, denge noktası veya sabit noktadan
oluşan değişmez kümelerin kararlılığına ilişkin yeter koşulları veriyor.
Limit çevrim, veya daha başka çözümler için ne yapılabilinir?