DÜZGÜN YAKLAŞIM * Uniform Approximation 1 Itır KÜÇÜK Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Yusuf KARAKUŞ Ç.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü ÖZET Bu çalışmada Yaklaşım Teorisi içinde önemli yeri olan ‘Düzgün Yaklaşım’ veya diğer bir deyişle ‘Chebyshev Yaklaşımı’ incelenmiştir. Ayrıca, Düzgün Yaklaşımın karakterizasyonu yanında Weierstrass Teoremi ile Düzgün Yaklaşım arasındaki ilişki de incelenmiştir. ABSTRACT In this thesis, Uniform Approximation, which has got an important part in approximation theory. In other words, ‘Chebsyev Approximation’ is studied in details. In addition, beside Uniform Approximation characteristics, Weierstrass Theorem, and also the relations between Uniform Approximation is studied. Giriş Düzgün Yaklaşım ile ilgili temel tanım ve teoremleri verelim. Tanım 1. V lineer bir uzay olsun.Aşağıdaki koşulların sağlanması durumunda . ’a V ’den negatif olmayan gerçel sayılara bir Norm fonksiyonu denir ve . : V → R + ∪ {0} V ’deki uzaklık hakkında bilgi verir. Eğer w , v ∈ V ise o zaman w ’dan v ’ye olan uzaklığı ( veya v ’den w ’ya olan uzaklığı ) v − w ile gösteririz. şeklinde ifade edilir. Norm, ≥ 0 dır. 1) v 2) λv 3) v+w = λ ≤ v . v =0⇔ v + v =θ ∈ V ;λ∈R. w ; (üçgen eşitsizliği). W ⊆ V olsun. Verilen v ∈ V için uzaklığı v ’ye en az olan bir w ∈ W ,yani; bir w * v−w bulmalıyız öyle ki w = w * için en küçük olsun. Böyle w * ’a W alt kümesinden v ’ye Tanım 2. bir en iyi yaklaşık denir. Biz buradaki teoremleri ispatsız olarak vereceğiz. İlgi duyanlar; bunların ispatını kaynakçada verilen kaynaklardan bulabilirler. Teorem 1. V bir normlu lineer uzay ve W , V ’nin sonlu boyutlu bir alt uzayı olsun. O zaman v ∈ V verildiğinde ; ∀ w ∈ W için v − w* olacak biçimde ∃ diyebiliriz. 1 ≤ v−w w * ∈ W vardır. Kısaca ; bu koşullar altında v ’ye ∃ w * en iyi yaklaşığı vardır Yüksek Lisans Tezi-MSc.Thesis Tanım 3. [a,b] üzerinde sürekli fonksiyonlar kümesini C[a,b] ile gösterirsek, C[a,b] bir lineer uzaydır ve f∈ C[a,b] için f C [ a ,b ] = max f ( x) a ≤ x ≤b eşitliği ile tanımlanan norm C[a,b] ’de düzgün norm veya Chebyshev normu olarak adlandırılır. Polinomlarla Düzgün Yaklaşım Tanım 4. Eğer Pn ile en fazla n. dereceden polinomların uzayını gösterirsek, f ∈ C [ a,b ] verilsin. O zaman bir p n* ∈ Pn polinomu vardır. Öyle ki ∀p ∈ Pn için; f − p n* ≤ f − p dir. Burada; . , [a,b] aralığı üzerinde düzgün normdur. Yani; g ∈ C[a,b] için; g = max g ( x) a≤ x≤b dir. E n ( f ; [a,b]) = E n ( f ) = f − p n* olsun. Burada; E n ( f ) ’e polinomlarla en iyi yaklaşım derecesi denir. Bir sonlu aralık üzerindeki sürekli fonksiyonlara polinomlarla önceden belirlenmiş herhangi bir hatayla düzgün olarak yaklaşılabilir. Bu sonuç aşağıda ispatsız olarak vereceğimiz ünlü ‘Weierstrass Yaklaşım Teoremi ’dir. Teorem 2. [a,b] aralığı üzerinde sürekli f x fonksiyonu ve ε>0 verilsin. ∀ x ∈ a, b için ( ) [ ] f ( x) − p ( x) < ε p(x ) polinomu vardır. Tanım 5. f ( x ) [a,b] ’de tanımlı olsun. δ >0 için, olacak şekilde bir ω (δ ) = sup x1 , x2 ∈[ a ,b ] x1 − x2 ≤δ f ( x1 ) − f ( x 2 ) ω (δ ) ’ya f ( x ) ’in [a,b] üzerinde süreklilik modülü denir. Süreklilik modülü; δ fonksiyonuna ve [a,b] aralığına bağlıdır. ω ( f ; [ a, b]; δ ) ’yı çoğu zaman kısaca ω (δ ) ile kuralı ile tanımlanan ’ya, f gösteririz. Süreklilik modülü için bilmemiz gereken bazı özellikleri aşağıda göreceğiz. Teorem 3. 0 < δ 1 < δ 2 ise, ω (δ 1 )≤ ω (δ 2 ) dır. İspat : ω (δ 1 ) = sup x1 , x2 ∈[ a ,b ] x1 − x2 ≤δ 1 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≤ sup x1 , x2 ∈[ a ,b ] x1 − x2 ≤δ 2 f ( x1 ) − f ( x 2 ) = ω (δ 2 ) olup, ω (δ 1 )≤ ω (δ 2 ) dır. f ( x ) ’in [a,b] ’de düzgün sürekli olması için gerek ve yeter koşul lim ω (δ ) =0 Teorem 4. δ →0 olmasıdır. Teorem 5. λ>0 ise, ω (λδ)≤(1+λ). ω (δ) dır. h(t ) fonksiyonu için m=1,2,... olmak üzere m. Tanım 6. [0,1] ’de verilen herhangi sınırlı dereceden Bernstein polinomu; Bm (h; t ) = ⎛ k ⎞ ⎛ m⎞ m ∑ h⎜⎝ m ⎟⎠ ⎜⎜ k ⎟⎟ t ⎝ ⎠ k =0 k (1 − t ) m − k olarak tanımlanır. Bm (h; t ) ∈ Pm ’ dır. Bernstein polinomları aşağıdaki özellikleri sağlar; 1. Bm (α h; t ) = α. Bm (h; t ) 2. Bm (h1 + h2 ; t ) = Bm (h1 ; t ) + Bm (h2 ; t ) 3. ∀ t ∈ [0,1] için h1 (t ) ≤ h2 (t ) ise ,o zaman ∀ t ∈[0,1] için; Bm (h1 ; t ) ≤ Bm (h2 ; t ) h(t ) , 0 ≤ t ≤ 1 için sınırlı ise, o zaman , Teorem 6. h − Bn (h) ≤ 3 ⎛ 1⎞ w⎜ ⎟ 2 ⎝ n⎠ dır. İspat : Bernstein polinomundan, ⎛ n⎞ ⎝ n ⎠ ⎦⎝ k ⎠ h(t) − Bn(h;t) = ∑ ⎡⎢h(t ) − h⎛⎜ k ⎞⎟⎤⎥⎜⎜ ⎟⎟t k (1 − t ) n − k n k =0 ⎣ ⎛ k ⎞ ⎛ n⎞ n ≤ ∑ h(t) − h⎜⎝ n ⎟⎠ .⎜⎜ k ⎟⎟t ⎝ ⎠ k =0 ≤ n ⎛ k =0 ⎝ ∑w⎜⎜ t− k n k (1 − t ) n−k ⎞ ⎛ n⎞ k ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟t (1− t) n−k ⎠ ⎝k ⎠ dır. Şimdi Teorem 5 ’i uygulayalım: ω ⎛ k ⎜⎜ t − n ⎝ ⎞= ⎟⎟ ⎠ ω ⎛⎜⎜ n1/ 2 t − k n−1/ 2 ⎞⎟⎟ ≤ ⎛⎜⎜1 + n1 / 2 t − k ⎞⎟⎟ ω ⎝ n ⎠ ⎝ olur. Böylece, h(t) −Bn (h;t) ≤ ∑ ⎛⎜⎜1 + n1 / 2 t − k n n k =0 ⎝ ⎞ ⎟⎟ ⎠ ω (n-1/2) ⎛⎜ n ⎞⎟ tk(1-t)n-k ⎜k ⎟ ⎝ ⎠ n⎠ (n-1/2) ⎡ = ω (n-1/2) ⎢1 + n1 / 2 ⎣ ⎤ (1 − t ) n− k ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ k ⎛ n⎞ n ∑ t − n ⎜⎜ k ⎟⎟t k =0 (1.1) k olur. Schwarz eşitsizliğinden; n k ⎛ n⎞ ∑ t − n ⎜⎜ k ⎟⎟t k =0 ⎝ ⎠ k ⎞ n ⎛ ⎞ ⎛ ⎛n⎞ (1 − t ) n−k = ∑ ⎜ t − k ⎛⎜ n ⎞⎟t k (1 − t ) n −k ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟t k (1 − t ) n −k ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ k n k k =0 ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎡ n ⎛ k ⎞2 ⎛ n⎞ ⎤ ≤ ⎢∑⎜ t − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟t k (1 − t ) n−k ⎥ ⎢⎣k =0 ⎝ n ⎠ ⎝ k ⎠ ⎥⎦ 1/ 2 ⎠ ⎡n n ⎤ . ⎢∑ ⎛⎜ ⎞⎟t k (1 − t ) n − k ⎥ ⎜ ⎟ ⎡ n ⎛ k ⎞2 ⎛ n⎞ k ⎤ n −k = ⎢∑ ⎜ t − ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟t (1 − t ) ⎥ ⎣⎢k =0 ⎝ n ⎠ ⎝ k ⎠ ⎦⎥ ⎣ k =0 ⎝ k ⎠ 1/ 2 ⎦ 1/ 2 olur. Teorem 2 ’nin ispatında görüleceği gibi, ⎛ k⎞ ⎜t − ⎟ ∑ n⎠ k =0 ⎝ n 2 1 ⎛ n⎞ k t (1 − t ) ≤ ⎜⎜ ⎟⎟t (1 − t ) n−k = 4n n ⎝k ⎠ dır. Dolayısıyla; (1.1) ’den 1 ⎤ ⎡ h(t) − Bn (h; t) ≤ ω(n−1/ 2 )⎢1 + n1/ 2 1/ 2 ⎥ 2n ⎦ ⎣ = 3 ⎛ 1 ⎞ ω⎜ ⎟ 2 ⎝ n ⎠ elde edilir. Böylece teorem ispatı tamamlanmış olur. Kaynaklar BRAESS,D.,(1973)’Global Analysis and Chebyshev Approximation by Exponentials’, (EditedbyG.G.Lorentz), Academic Pres,Inc., NewYork, 277-282 CHENEY,E.,W.,(1966) ‘ Introduction to Approximation Theory’,McGraw-Hill Book Company NewYork DAVIS,P.J.,(1975)‘Interpolation and Approximation’,Dover Publication,Inc.,New York GOLDBERG,R.R.,(1964) ‘Methods of Real Analysis’,Ginn and Company Printed in the U.S.A. HAASER,N.B.;SULLIVAN,J.A.,(1971) ‘Real Analysis’ Van Nostrand Reinhold Company, New York HALLSTROM,A.P.,(1973) ‘ Some Spaces Where Best Uniform Approximation Always Fails’ Edited by G.G.Lorentz,Academic pres,Inc.,New York RIVLIN,T.J.,(1969) ‘An Introduction to theApproximation of Functions’,Blaisdell Publishing Company,printen in U.S.A. RIVLIN,T.J.,(1974)‘The Chebyshev Polinomials’, John Wiley and Sons., Inc., Printed in the U.S.A. TONIMOTO,S.,(1985)‘Uniform Approximation and a Generalized Minimax Theorem’ Journal of Approximation Theory 45,1-10 UBHAYA,V.A.,(1990), ‘Best Piecewise monotone Uniform Approximation’,Journal of Approximation Theory 63.375-383