tc balıkesir üniversitesi fen bilimleri enstitüsü matematik anabilim

T.C.
BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
MORREY UZAYLARINDA YAKLAŞIM TEORİSİNİN BAZI
PROBLEMLERİ
DOKTORA TEZİ
Nuriye Pınar TOZMAN
Balıkesir, Ocak-2009
ÖZET
MORREY UZAYLARINDA YAKLAŞIM TEORİSİNİN
BAZI PROBLEMLERİ
Nuriye Pınar TOZMAN
Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı
(Doktora Tezi / Tez Danışmanı : Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV)
Balıkesir, 2009
Bu çalışmanın amacı Morrey uzayları ve Morrey-Smirnov sınıflarında yaklaşım
teorisinin bazı problemlerini incelemektir.
Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, yaklaşım teorisi ve bu
teorinin gelişimi ile ilgili bir kronolojik bilgi içermektedir.
İkinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel kavramlara yer
verilmiştir. Ayrıca bu bölümde, fonksiyon uzaylarının tanımı, Faber serileri ve Faber
operatörü hakkında genel bilgiler bulunmaktadır.
Üçüncü bölüm, iki kesimden oluşmaktadır. Birinci kesimde, Morrey uzaylarında
yaklaşım teorisinin düz ve ters teoremleri ispatlanmıştır. İkinci kesimde ise, bu
teoremlerin iyileştirmeleri yapılmıştır.
Dördüncü bölüm, iki kesime ayrılmaktadır. Birinci kesimde, Morrey-Smirnov
sınıflarında düz ve ters teoremler incelenmiştir. İkinci kesimde, bu teoremlerin
iyileştirmeleri yer almaktadır.
Son bölüm, bu tezde elde edilen sonuçların özetinden oluşmaktadır.
ANAHTAR SÖZCÜKLER : Morrey uzayı, Morrey-Smirnov sınıfı, Faber serisi, Faber
operatörü, düz teorem, ters teorem.
ii
ABSTRACT
SOME PROBLEMS OF APPROXIMATION THEORY
IN THE MORREY SPACES
Nuriye Pınar TOZMAN
Balıkesir University, Institute of Science, Department of Mathematics
(Ph. D. Thesis / Supervisor : Prof. Dr. Daniyal M. ISRAFILOV)
Balıkesir-Turkey, 2009
The purpose of this work is to investigate some problems of approximation
theory in the Morrey spaces and the Morrey-Smirnov classes.
This thesis consists of five chapters. The first chapter includes some
chronological information about the approximation theory and its progress.
The second chapter is assigned for basic consepts related to other chapters.
Furthermore, it contains the definition of function spaces, general properties of the Faber
series and the Faber operator.
The third chapter consists of two sections. In the first section, direct and inverse
theorems of approximation theory in the Morrey spaces are proved. In the second
section, these theorems are improved.
The fourth chapter is seperated into two sections. In the first section, direct and
inverse theorems in the Morrey-Smirnov classes are investigated. In the second section,
the improvement of these theorems is obtained.
Last chapter provides the summary of all the results obtained in this thesis.
KEY WORDS : Morrey spaces, Morrey-Smirnov classes, Faber series, Faber operator,
direct theorem, inverse theorem.
iii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET
ii
ABSTRACT
iii
İÇİNDEKİLER
iv
SEMBOL LİSTESİ
v
ÖNSÖZ
vi
1. GİRİŞ
1
2. ÖN BİLGİLER
4
2.1 Tanımlar ve Fonksiyon Sınıfları
2.2 Faber Serileri ve Faber Operatörleri
4
10
3. MORREY UZAYLARINDA YAKLAŞIM
3.1 Morrey Uzaylarında Düz ve Ters Teoremler
3.1.1 Yardımcı Sonuçlar
3.1.2 Temel Sonuçlar
3.2 Morrey Uzaylarında Düz ve Ters Teoremlerin İyileştirmeleri
3.2.1 Yardımcı Sonuçlar
3.2.2 Temel Sonuçlar
4. MORREY-SMİRNOV SINIFLARINDA YAKLAŞIM
4.1 Morrey-Smirnov Sınıflarında Düz ve Ters Teoremler
4.1.1 Yardımcı Sonuçlar
4.1.2 Temel Sonuçlar
4.2 Morrey-Smirnov Sınıflarında Düz ve Ters Teoremlerin İyileştirmeleri
4.2.1 Temel Sonuçlar
13
13
13
15
17
18
23
35
35
35
42
48
48
5. SONUÇ
53
KAYNAKLAR
54
iv
SEMBOL LİSTESİ
SİMGE
TANIMI
SAYFA
^, \
Kompleks düzlem, Reel eksen
4
`, ` +
Doğal sayılar, Pozitif doğal sayılar
14
T
Birim çember veya ( 0, 2π )
4
D, D -
Birim disk, Birim çemberin sınırsız bileşeni
4
Lp ,α ( Γ )
Morrey uzayı
4
E p ,α ( G )
Morrey-Smirnov sınıfı
5
H p ,α ( D )
Morrey-Hardy uzayı
6
En ( f ) Lp ,α (T )
Lp ,α (T ) uzayında en iyi yaklaşım sayısı
7
En ( f ) E p ,α ( G )
E p ,α ( G ) sınıfında en iyi yaklaşım sayısı
7
M
Hardy-Littlewood maximal fonksiyon
8
S
Cauchy singüler operatörü
10
Fk
k dereceli Faber polinomu
10
P, P ( D )
Polinomlar ailesi, Polinomlar ailesinin D deki izi
11
L
Faber Operatörü
12
ω pr ,α ( f , t )
Lp ,α (T ) uzayında r. düzgünlük modülü
13
Ω rp ,α ( f , t )
E p ,α ( G ) sınıfında r. düzgünlük modülü
37
Lipα , p ( β )
Genelleşmiş Lipschitz sınıfı
47
v
ÖNSÖZ
Doktora çalışmam boyunca bana değerli zamanını ayıran ve emeğini hiç bir
zaman esirgemeyen değerli hocam Prof. Dr. Daniyal M. İSRAFİLOV’a çok teşekkür
ederim.
Kıymetli yardımlarından dolayı sayın hocam Doç. Dr. Ali GÜVEN’e sonsuz
teşekkürlerimi özellikle belirtmek isterim. Ayrıca yetişmemde emeği olan Balıkesir
Üniversitesi Matematik Bölümü öğretim üyelerine şükranlarımı sunarım.
Büyük bir özveriyle beni yetiştiren sevgili annem ile babama ve anlayışından
dolayı sevgili eşim Gökhan’a çok teşekkürler.
Balıkesir, 2009
N. Pınar TOZMAN
vi
1. GİRİŞ
Yaklaşım teorisinde, bir takım özelliklere sahip fonksiyonlara daha iyi
özelliklere
sahip,
basit
fonksiyonlarla
yaklaşım
problemleri
araştırılmaktadır.
Çoğunlukla bu basit fonksiyonlar kümesi olarak araştırılan fonksiyonlar uzayının bir alt
uzayı alınır.
Basit ve iyi özelliklere sahip oldukları için polinomlar ve rasyonel
fonksiyonlar kümesi bu tip alt uzaylar olarak düşünülebilir.
Yaklaşım
teorisinin
temel
problemlerinden
biri
yaklaşım
hızının
değerlendirilmesidir. Bununla birlikte fonksiyonların yaklaşım hızı verildiğinde, bu
fonksiyonların önemli özelliklerinin araştırılması problemi de diğer temel problemlerden
Temel uzaydaki fonksiyonların özelliklerine göre yaklaşım hızının üstten
biridir.
değerlendirilmesi ile ilgili problemlere yaklaşım teorisinin düz problemleri, bunun tam
tersi olan yani fonksiyonun yaklaşım özelliklerine göre bu fonksiyonun özellikleriyle
ilgili bilgi veren problemlere ise yaklaşım teorisinin ters problemleri denir. İstenilen
durum, düz ve ters teoremlerin gerek ve yeter koşul olarak ifade edilebilmesidir.
Bu tezde Morrey uzayları ve Morrey-Smirnov sınıflarında yaklaşım teorisinin
düz ve ters problemleri incelenmektedir. 1938 yılında Morrey tarafından tanımlanan
Morrey uzayları, ağırlıklı Lebesgue uzaylarıyla birlikte eliptik diferansiyel denklemlerin
çözümünde, potansiyel teoride, maximal ve singüler operatör teorisinde ve uygulamalı
matematiğin birçok mekanik problemlerinde önemli bir rol oynamaktadır. Bildiğimiz
kadarıyla
literatürde
bu
uzaylarda
yaklaşım
problemleriyle
ilgili
bir
sonuç
bulunmamaktadır. Tezin esas amacı bu boşluğu biraz da olsa doldurmaktır. Temel uzay
olarak alınan Morrey uzayları Lebesgue uzaylarının, Morrey-Smirnov sınıfları ise klasik
Sminov sınıfının genelleştirmeleridir.
1
T := (0, 2π ) aralığında tanımlı Lp (T ) Lebesgue uzaylarında polinomlarla
yaklaşımın hızı pek çok matematikçi tarafından araştırılmıştır. 1951 yılında Stechkin
tarafından düz teorem ispatlanmış [1] , 1966 yılında ise M. F. Timan tarafından bu
teoremin iyileştirmesi yapılmıştır [ 2] . Bu uzaylarda ters teorem 1950 yılında A. F.
Timan ve M. F. Timan tarafından verilmiş [3] , 1958 yılında ise M. F. Timan tarafından
bu ters teoremin iyileştirmesi ispatlanmıştır [ 4] .
E p ( G ) , p ≥ 1 Smirnov sınıflarında polinomlarla yaklaşımın hızı çok sayıda
matematikçi tarafından incelenmiştir. Sınırı analitik eğri olan, basit bağlantılı ve sınırlı
G bölgesi durumunda, E p ( G ) sınıfındaki düz teorem Walsh ve Russel tarafından 1959
yılında ispatlanmıştır [5] .
Γ düzgün Jordan eğrisi, l ise Γ nın uzunluğu ve z = z ( s ) bu eğrinin yay
uzunluğuna göre parametrizasyonu, θ ( s ) , 0 ≤ s ≤ l , Γ üzerinde s parametresine
karşılık gelen noktadaki teğet ile reel eksenin pozitif yönü arasındaki açı olsun. θ
fonksiyonunun ω (θ , s ) süreklilik modülünün
l
ω (θ , s )
0
s
∫
ds < ∞,
l>0
(1.1)
koşulunu sağladığı durumda E p ( G ) sınıfında düz ve ters teoremler 1960 yılında Al’per
tarafından ispatlanmıştır [ 6] . Al’per’in sonuçları, 1969 yılında p > 1 için Kokilashvili
[7] ,
1977 yılında p ≥ 1 için Anderson [8] tarafından genişletilmiştir. 1987 yılında
Israfilov, Faber polinomlarının yaklaşım özelliklerini kullanarak, E p ( G ) , 1 < p < ∞ ,
sınıfında bir düz teorem ispatlamıştır [9] .
Bölge sınırının Carleson eğrisi olması
durumunda, Israfilov ve Çavuş Lp ( Γ ) , 1 < p < ∞ , Lebesgue uzaylarında düz teoremi
2
elde etmişlerdir [10] . Bu sonuçlar Israfilov ve Güven tarafından ağırlıklı Lebesgue ve
ağırlıklı Smirnov sınıflarına da taşınmıştır [11] , [12] , [13] , [14] .
Bu tezin ikinci bölümünde temel tanımlar ve yaklaşan polinomların
bulunmasında kullanacağımız Faber serileri tanımlanmıştır. Tezin 3. ve 4. bölümleri
yeni bilimsel çalışma niteliği taşımaktadır; üçüncü bölümünde Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ,
1 ≤ p < ∞ , Morrey uzaylarında düz ve ters teoremler ispatlanmış ve bu teoremlerin
iyileştirmeleri yapılmıştır. Dördüncü bölümde (1.1) koşulunu sağlayan eğrilerle sınırlı
G bölgelerinde tanımlı E p ,α ( G ) , 0 ≤ α ≤ 2 , 1 ≤ p < ∞ , Morrey-Smirnov sınıflarında
düz ve ters teoremler incelenmiş ve bu teoremlerin mümkün olan iyileştirmeleri
ispatlanmıştır.
3
2. ÖN BİLGİLER
2.1 Tanımlar ve Fonksiyon Sınıfları
[ a, b ] ⊂
olmak üzere sürekli bir Γ : [ a, b ] →
fonksiyonuna
’de eğri denir.
Γ kompleks düzlemde bir eğri olsun. Eğer Γ bir çembere homeomorfik (topolojik
Γ eğrisinin sınırlı değişimli bir
eşyapılı) ise buna bir Jordan eğrisi denir.
parametrizasyonu varsa bu eğriye sonlu uzunluklu eğri denir. Γ kompleks düzlemde
sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi olsun. Jordan eğri teoremine göre, her Jordan eğrisi
kompleks düzlemi biri sınırlı diğeri sınırsız olan iki basit bağlantılı bölgeye ayırır. G
ile Γ eğrisinin iç bölgesini, G − ile Γ eğrisinin dış bölgesini gösterelim, yani G := Int Γ
ve
G − := Ext Γ
T := { z ∈
olsun.
Genelliği
kaybetmeden
0∈G
alacağız.
Ayrıca
: z = 1} veya T := ( 0, 2π ) , D := IntT ve D − := ExtT olsun. w = ϕ ( z ) , G −
den D − ye
ϕ (∞) = ∞ , lim
z →∞
ϕ ( z)
z
>0
koşullarını sağlayan konform dönüşüm olsun. ψ , ϕ ’nin ters dönüşümünü göstersin.
2.1.1 Tanım: Γ kompleks düzlemde sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi olsun.
0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 olmak üzere
⎧
1
⎪
f Lp ,α ( Γ ) := ⎨ sup
α
⎪ B B ∩ Γ 1− 2
⎩
1
∫
B ∩Γ
⎫p
p
⎪
f ( z ) dz ⎬ < ∞
⎪
⎭
4
p
(Γ) fonksiyonlarının kümesine Lp ,α (Γ) Morrey uzayı denir.
koşulunu sağlayan f ∈ Lloc
’nin tüm B yuvarları üzerinden alınır. Bu uzay bir Banach
Buradaki supremum
uzayıdır ve α = 2 olduğu durumda Lp (Γ) uzayıyla, α = 0 olduğu durumda da L∞ (Γ)
uzayıyla çakışır. f ∈ Lp ,α (Γ) ise f ∈ Lp (Γ) dır.
Γ = T = (0, 2π ) olduğu durumda bu tanım aşağıdaki gibi de verilebilir.
0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 olmak üzere
⎧
1
⎪
f Lp ,α (T ) := ⎨ sup
α
⎪ I I 1− 2
⎩
1
∫
I
⎫p
p
⎪
f (θ ) dθ ⎬ < ∞
⎪
⎭
p
koşulunu sağlayan f ∈ Lloc
(T ) fonksiyonlarının kümesine Lp ,α (T ) Morrey uzayı denir.
Buradaki supremum tüm I ⊂ T aralıkları üzerinden alınır.
2.1.2 Tanım: Γ r , 0 < r < 1 , D diskinin G bölgesi üzerine konform dönüşümü
altında {w : w = r , 0 < r < 1} çemberinin görüntüsü ve 1 ≤ p < ∞ olsun. G bölgesinde
analitik olan ve
sup
∫
0 < r <1 Γ
p
f ( z ) dz < ∞
r
koşulunu sağlayan f fonksiyonlarının kümesine E p (G ) Smirnov sınıfı denir [15] .
Her f ∈ E p (G ) fonksiyonu Γ üzerinde hemen her yerde açısal limit değerine
sahiptir ve eğer f ’nin açısal limiti için aynı notasyon kullanılırsa f ∈ Lp (Γ) dır. Ayrıca
G = D olduğu durumda, H p ( D) := E p ( D) olarak tanımlanan uzaya Hardy uzayı denir.
5
2.1.3 Tanım: 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 olsun. G bölgesinde analitik olan ve
E p ,α (G ) := { f ∈ E1 (G ) : f ∈ Lp ,α (Γ)}
koşulunu sağlayan f fonksiyonlarının kümesine E p ,α (G ) Morrey-Smirnov sınıfı denir.
E p ,α (G ) sınıfı, 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 olduğunda
f
E p ,α ( G )
:= f
Lp ,α ( Γ )
normuyla bir Banach uzayıdır; α = 2 için klasik E p (G ) Smirnov sınıfıyla, α = 0
durumunda ise E ∞ ( G ) ile çakışır. Ayrıca G = D olduğu durumda, H p ,α ( D) := E p ,α ( D)
olarak tanımlanan uzaya Morrey-Hardy uzayı denir.
Eğer, Γ (1.1) koşulunu sağlıyor ise T üzerinde hemen her yerde [16] gereğince
0 < c1 ≤ ψ ' ( w ) ≤ c2 < ∞
koşulu sağlanır, ve dolayısıyla her B ⊂
(2.1)
yuvarı için
B ∩ Γ ≥ c3 B0 ∩ T
olacak şekilde B0 ⊂
(2.2)
yuvarı ve c3 > 0 sayısı vardır. Bu eşitsizlik bize f ∈ Lp ,α ( Γ )
iken f 0 := f ψ ∈ Lp ,α (T ) olduğunu verir.
2.1.4 Tanım: Γ sonlu uzunluklu Jordan eğrisi olsun. Her r > 0 için
6
{
}
sup Γ ∩ D ( z , r ) : z ∈ Γ ≤ cr ,
olacak şekilde c > 0 sayısı varsa Γ eğrisine bir Carleson eğrisi denir. Burada D ( z , r ) ,
z merkezli r yarıçaplı bir açık disk ve Γ ∩ D ( z , r ) , Γ ∩ D ( z , r ) kümesinin yay
uzunluğudur [17 ] .
2.1.5 Tanım: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 , için
En ( f ) Lp ,α (T ) := inf f − tn
tn
Lp ,α (T )
,
sayısına derecesi n ’yi aşmayan trigonometrik polinomlar üzerinden f ’nin en iyi
yaklaşım hatası denir.
2.1.6 Tanım: f ∈ E p ,α (G ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 , için
En ( f ) E p ,α (G ) := inf f − pn
pn
Lp ,α ( Γ )
,
sayısına derecesi n ’yi aşmayan cebirsel polinomlar üzerinden f ’nin en iyi yaklaşım
hatası denir.
2.1.7 Tanım: Γ sonlu uzunluklu bir eğri olsun. Eğer ω : Γ → [ 0, ∞ ] ölçülebilir
fonksiyonu için ω −1 ({0, ∞}) kümesinin ölçümü 0 ise ω fonksiyonuna bir ağırlık
fonksiyonu denir.
2.1.8 Tanım: p ∈ (1, ∞ ) ve
1 1
+ = 1 olsun. Γ üzerinde tanımlı ve
p q
7
⎛1
p
sup sup ⎜
∫ ω (τ ) dτ
t∈Γ ε > 0 ⎜ ε Γ t ,ε
⎝ ( )
1
⎞p ⎛ 1
⎟ ⎜
ω − q (τ ) dτ
⎟ ⎜ ε Γ(∫t ,ε )
⎠ ⎝
1
⎞q
⎟ <∞
⎟
⎠
koşulunu sağlayan ω ağırlık fonksiyonlarının sınıfı Ap ( Γ ) ile gösterilir.
( *)
( *)
koşuluna
Muckenhoupt- Ap koşulu denir. Burada Γ(t , ε ) = {τ ∈ Γ : τ − t < ε } dur [17 ] .
2.1.9 Tanım: Γ kompleks düzlemde sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi olsun.
f ∈ L1loc ( Γ ) olmak üzere
M ( f )( z ) := sup
B∋ z
1
B∩Γ
∫
f ( t ) dt , z ∈ Γ
B ∩Γ
fonksiyonuna f fonksiyonunun Hardy-Littlewood maximal fonksiyonu denir. Buradaki
’nin tüm B yuvarları üzerinden alınmaktadır [18] .
supremum
2.1.10 Tanım: ω , Γ üzerinde tanımlı bir ağırlık fonksiyonu olsun. Hemen her
yerde
M (ω )( z ) ≤ cω ( z ) , z ∈ Γ
olacak şekilde c > 0 sayısı varsa ω ’ya A1 ( Γ ) Muckenhoupt ağırlığı denir [19] .
2.1.11 Tanım: u1 , u2 ,..., un ve m1 , m2 ,..., mn , n ∈
üzere
n
n −1
ν =1
ν =1
∑ uν mν = ∑Uν ( mν − mν +1 ) + U n mn
8
+
, reel sayıların dizileri olmak
formülüne Abel transformu denir. Burada U k = u1 + u2 + ... + uk , k = 1, 2,..., n , dır [ 20] .
Γ sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi, G := Int Γ ve G − := Ext Γ olsun. f ∈ L1 ( Γ )
için
f + ( z) =
f (ζ )
1
dζ , z ∈ G
∫
2π i Γ ζ − z
f − (z) =
f (ζ )
1
dζ , z ∈ G −
∫
2π i Γ ζ − z
ve
şeklinde tanımlanan f + ve f − fonksiyonları, sırasıyla G ve G − de analitiktir ve
f − ( ∞ ) = 0 dır.
2.1.12 Tanım:
f ∈ L1 ( Γ ) fonksiyonunun bir z ∈ Γ noktasındaki Cauchy
singüler integrali,
f (ζ )
1
∫ ζ − z dζ , z ∈ Γ
ε →0 2π i
Γ \ D ( z ,ε )
S ( f )( z ) := lim
olarak tanımlanır. Buradaki D ( z , ε ) , z merkezli ε yarıçaplı kapalı disktir [17 ] .
f + ve f − fonksiyonlarından birinin Γ üzerinde hemen her yerde açısal limit
değerleri varsa, S ( f )( z ) Cauchy singüler integrali Γ üzerinde hemen her yerde vardır
ve f + ve f − fonksiyonlarından diğerinin de Γ üzerinde hemen her yerde açısal limit
9
değeri vardır. Tersine, S ( f )( z ) Cauchy singüler integrali Γ üzerinde hemen her yerde
varsa, f + ve f − fonksiyonlarının Γ üzerinde hemen her yerde açısal limit değerleri
vardır. Her iki durumda da hemen her z ∈ Γ için [ 21] gereğince
f + ( z ) = S ( f )( z ) +
1
f ( z)
2
f − ( z ) = S ( f )( z ) −
1
f ( z)
2
eşitlikleri sağlanır ve dolayısıyla Γ üzerinde hemen her yerde
f = f+− f−
olur.
S : f → S ( f ) lineer operatörüne Cauchy singüler operatörü denir.
2.2 Faber Serileri ve Faber Operatörleri
Γ kompleks düzlemde sonlu uzunluklu bir Jordan eğrisi olsun.
eğrisinin iç bölgesini gösterelim. [ 22] ’den bilindiği gibi,
ψ ' ( w)
, z ∈G
ψ ( w) − z
fonksiyonu D − de analitiktir ve
10
G ile Γ
∞ F
ψ ' ( w)
( z)
= ∑ k k +1 , z ∈ G ve w ∈ D −
ψ ( w ) − z k =0 w
(2.3)
açılımı geçerlidir. Burada Fk ( z ) , G − için k = 0,1,... dereceli Faber polinomu olup
k
1 ϕ (ζ )
Fk ( z ) = ϕ ( z ) +
d ζ , z ∈ G − , k = 0,1, 2...
∫
2π i Γ ζ − z
k
(2.4)
integral gösterimine sahiptir. Eğer f ∈ E p ,α ( G ) ise f ∈ E1 ( G ) ve dolayısıyla Cauchy
integral gösteriminden
f ( z) =
f (ζ )
ψ ' ( w ) dw
1
1
, z ∈G
dζ =
f (ψ ( w ) )
∫
∫
2π i Γ ζ − z
2π i T
ψ ( w) − z
dir. Şimdi
ak = ak ( f ) :=
f0 ( w)
1
dw, k = 0,1, 2,...
2π i T∫ wk +1
ile f ∈ E p ,α ( G ) fonksiyonunun Faber katsayılarını tanımlayalım. Burada
f 0 ( w ) := f (ψ ( w ) ) ,
w =1
dir. (2.3) ve (2.5) gösterimleri göz önüne alınırsa, f ∈ E p ,α ( G ) fonksiyonu için
∞
f ( z ) ∼ ∑ ak ( f ) Fk ( z )
k =0
11
(2.5)
seri gösterimi elde edilir. Bu seriye f fonksiyonunun Faber serisi denir.
P ile derece kısıtlaması olmadan bütün polinomların ailesini, P ( D ) ile bu
ailenin D üzerindeki izini gösterelim. P ( D ) üzerinde bir L ( P ) operatörünü
L ( P )( z ) :=
1 P ( w )ψ ' ( w )
1 P (ϕ ( ζ ) )
dw
=
dζ , z ∈ G
2π i T∫ ψ ( w ) − z
2π i ∫Γ ζ − z
(2.6)
olarak tanımlayalım.
n
wkψ ' ( w )
1 n
⎛ n
⎞
L ⎜ ∑ ak wk ⎟ =
a
dw = ∑ ak Fk ( z )
∑
k∫
k =0
⎝ k =0
⎠ 2π i k =0 T ψ ( w ) − z
eşitliğinin doğruluğu kolayca görülür.
Eğer z ' ∈ G iken Γ ’nın içinden açısal yollar boyunca z ' → z limiti alınırsa, Γ
üzerinde hemen her yerde
L ( P )( z ) = S ( P ϕ )( z ) +
1
( P ϕ )( z )
2
eşitliği bulunur.
12
(2.7)
3. MORREY UZAYLARINDA YAKLAŞIM
3.1 Morrey Uzaylarında Düz ve Ters Teoremler
3.1.1 Yardımcı Sonuçlar
f ∈ Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 olsun.
ω pr ,α ( f , t ) := sup ∆ rh ( f , ⋅)
h ≤t
Lp ,α (T )
, h > 0 , r = 1, 2,...
şeklinde tanımlanan ω pr ,α ( f , ⋅) : (0, +∞) → [ 0, +∞ ) fonksiyonuna f fonksiyonunun r.
mertebeden düzgünlük modülü denir. Burada
r
∆ rh ( f , x) = ∑ ( −1)
r −k
k =0
⎛r ⎞
⎜ ⎟ f ( x + kh )
⎝k ⎠
dir.
Bu şekilde tanımlanan r. düzgünlük modülü tez boyunca sık sık kullanacağımız
aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Her f1 , f 2 ∈ Lp ,α (T ) için ω pr ,α ( f1 + f 2 , ⋅) ≤ ω pr ,α ( f 2 , ⋅) + ω pr ,α ( f 2 , ⋅),
2) ω pr ,α ( f , nt ) ≤ n rω pr ,α ( f , t ), n ∈ ,
3) ω pr ,α ( f , λ t ) ≤ ( λ + 1) ω pr ,α ( f , t ), λ > 0.
r
13
3.1.1.1 Önerme: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun. k ∈
+
ve
derecesi n ’yi aşmayan her Tn trigonometrik polinomu için
Tn(
k)
Lp ,α (T )
≤ cn k Tn
Lp ,α (T )
, n∈
olacak şekilde n ’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.
İspat: k = 1 durumunu ispatlayalım.
Genel durum tümevarım yöntemiyle
görülür. I , T ’nin altaralığı, χ I onun karakteristik fonksiyonu ve M χ I ise χ I nın
Hardy-Littlewood maximal fonksiyonu olsun.
R. Coifman-R. Rochberg’in bir
sonucundan [ 23] M χ I fonksiyonu T üzerinde A1 Muckenhoupt ağırlığıdır, yani T
üzerinde hemen her yerde M ( M χ I ) ≤ cM χ I dır. Dolayısıyla Lp (T , ω ) , ω ∈ Ap (T ) ,
ağırlıklı Lebesgue uzaylarındaki trigonometrik polinomlar için olan Berstein eşitsizliği
kullanılırsa [ 24]
∫ T (t )
'
n
I
p
dt = ∫ Tn' ( t ) χ I ( t ) dt
p
T
≤ c4 ∫ Tn' ( t ) M χ I ( t ) dt
p
T
≤ c5 ∫ Tn ( t ) M χ I ( t ) dt
p
T
elde edilir.
∞
M χ I ( t ) ≈ χ I ( t ) + ∑ 2−2 k χ 2k +1 I \2k I ( t )
k =0
(
)
denkliği yukarıdaki eşitsizliğe uygulanırsa
14
Tn'
p
I
I
I
I
⎛
≤ c7 ⎜ Tn
⎜⎜
⎝
≤ c7 Tn
≤ c7 Tn
≤ c11 Tn
1−
1−
∫ T (t )
'
n
p
dt
2 I
2
α
∫ Tn ( t ) dt + c6 sup
α
1
= c6 sup
≤ c7 Tn
1−
I
α
∞
p⎛
⎞
+
2−2 k χ 2k +1 I \2k I ( t ) ⎟ dt
T
t
χ
t
(
)
(
)
∑
∫T n ⎜⎝ I
(
)
k =0
⎠
1
≤ c6 sup
I
1
= sup
Lp ,α (T )
1
p
I
2 I
∞
p
Lp ,α (T )
+ ∑2
−2 k
k =0
sup
I
∞
+ c8 ∑ 2
Lp ,α (T )
p
1
I
1−
α
∞
+ c9 ∑ 2
Lp ,α (T )
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜ 1− ⎟
⎝ 2⎠
p
+ c10 Tn
∫
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜1− ⎟
⎝ 2⎠
Tn ( t )
p
2k +1 I
1
I
1−
α
1−
k +1
∫
Tn ( t ) dt
p
I \2k I
)
⎞
dt ⎟
⎟⎟
⎠
1
sup
I
(2
2 k =0
sup
I
k =0
Lp ,α (T )
1−
−2 k
2 2k +1 I
k =0
p
I
∞
2
α ∑
∫
α
Tn ( t ) dt
p
2 2k +1 I
∫ T (t )
n
p
dt
2 I
p
Lp ,α (T )
p
Lp ,α (T )
sonucuna ulaşılır. Çünkü
∞
∑2
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜1− ⎟
⎝ 2⎠
< ∞ dur.
k =0
3.1.2 Temel Sonuçlar
Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve 1 ≤ p ≤ ∞ , Morrey uzaylarındaki düz teorem aşağıdaki
şekilde verilir.
3.1.2.1 Teorem: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ , olsun. Her r ∈
15
+
için
En ( f ) Lp ,α (T ) ≤ c f ( ⋅) − Sn ( f , ⋅)
Lp ,α (T )
≤ Cω pr ,α ( f ,1/ ( n + 1) ) , n ∈
olacak şekilde c, C > 0 sabitleri vardır. Burada S n ( f , θ ) :=
+
(3.1)
n
∑ae θ
ik
k =− n
k
dır.
İspat: Teoremin ispatı, Lp (T ) Lebesgue uzaylarında Stechkin tarafından
ispatlanan düz teoremin ispat yöntemiyle benzerdir [1] .
Bu teoremin bir sonucu olarak, H p ,α ( D ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ , uzaylarındaki
Taylor toplamlarının yaklaşım özelliklerini gösteren aşağıdaki önermeyi verebiliriz.
3.1.2.2 Önerme: f ∈ H p ,α ( D ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun. Eğer
n
∑b w
k =0
k
k
serisi f fonksiyonunun Taylor toplamı ise
n
f ( w ) − ∑ bk wk
k =0
Lp ,α (T )
≤ cω pr ,α ( f ,1/ ( n + 1) ) , r ∈
+
olacak şekilde bir c > 0 sabiti vardır.
İspat: f ∈ H p ,α ( D ) ,
∞
∑aeθ
ik
k =−∞
k
serisi onun sınır fonksiyonu olan f ( eiθ ) nın
Fourier serisi ve
S n ( f , θ ) :=
n
∑ae θ
ik
k =− n
k
olsun. f ∈ H p ( D ) olduğundan
16
⎧ 0, k < 0
ak = ⎨
⎩bk , k ≥ 0
dır. Teorem 3.1.2.1’den
n
f ( w ) − ∑ bk wk
k =0
Lp ,α (T )
= f ( eiθ ) − S n ( f , θ )
Lp ,α (T )
≤ cω pr ,α ( f ,1/ ( n + 1) )
eşitsizliği elde edilir.
Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve 1 ≤ p ≤ ∞ , Morrey uzaylarındaki ters teorem aşağıdaki
şekilde verilir.
3.1.2.3 Teorem: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun. Her r ∈
⎛
⎝
1⎞
n
ω pr ,α ⎜ f , ⎟ ≤ cn − r ∑ k r −1 Ek ( f ) L
n
⎠
p ,α
k =1
(T )
, n∈
+
+
için
(3.2)
olacak şekilde n ’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.
İspat: Teoremin ispatı Önerme 3.1.1.1 göz önüne alınarak ve Lp (T )
uzaylarındaki uygun sonucun ispatı adım adım takip edilerek yapılır [ 25, s.208] .
3.2 Morrey Uzaylarında Düz ve Ters Teoremlerin İyileştirmeleri
Bu bölümde bir önceki bölümde verilen, Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve 1 ≤ p ≤ ∞ ,
Morrey uzaylarındaki düz teorem Teorem 3.1.2.1 ve ters teorem Teorem 3.1.2.3’ün
iyileştirmeleri yapılacaktır.
17
3.2.1 Yardımcı Sonuçlar
f ∈ Lp ,α (T ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 , fonksiyonu ve f
eşlenik foksiyonunun
Fourier serileri sırasıyla
f ( x) ∼
a0 ∞
+ ∑ Aµ ( f , x )
2 µ =1
f ( x) ∼
a0 ∞
+ ∑ Aµ f , x
2 µ =1
ve
(
)
olsun. Burada
Aµ ( f , x ) := aµ cos µ x + bµ sin µ x, µ = 1, 2,...
ve
(
)
Aµ f , x := aµ sin µ x − bµ cos µ x, µ = 1, 2,...
dir.
Basit hesaplardan sonra f ’nin ∆ rh ( f , x ) r. farkı için h > 0 adımla
∞
r +1
kh
⎧
⎫
r
2
Ak f , x sin r , r tek ise ⎪
1
2
−
∑
⎪( )
2
⎪
⎪
k =1
∆ rh ( f , x ) ∼ ⎨
⎬
∞
r
⎪ ( −1) 2 2r A ( f , x ) sin r kh , r çift ise ⎪
∑
k
⎪⎩
⎪⎭
2
k =1
(
)
18
Fourier serisi bulunur.
Bµ ( f , x ) :=
2µ −1
∑
ν = 2µ −1
Aν ( f , x ), µ = 1, 2,...
olsun.
3.2.1.1
Teorem:
(Morrey
uzaylarında
f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun. Her ν ∈
Littlewood-Paley
+
1
⎛ ∞
⎞2
c ⎜ ∑ Bµ2 ( f , x ) ⎟
⎝ µ =ν
⎠
Eşitsizliği)
için
1
∞
∑
≤
Lp ,α (T )
µ = 2ν −1
Aµ ( f , x )
Lp ,α (T )
⎛ ∞
⎞2
≤ C ⎜ ∑ Bµ2 ( f , x ) ⎟
⎝ µ =ν
⎠
Lp ,α (T )
olacak şekilde sadece p ve α ’ ya bağlı c, C > 0 sabitleri vardır.
İspat: Öncelikle ikinci eşitsizliği ispatlayalım.
I , T nin altaralığı, χ I onun
karakteristik fonksiyonu ve M χ I ise χ I nın Hardy-Littlewood maximal fonksiyonu
olsun.
R. Coifman-R. Rochberg’in bir sonucundan
[ 23]
M χ I fonksiyonu A1
Muckenhoupt ağırlığıdır, yani T üzerinde hemen her yerde M ( M χ I ) ≤ cM χ I dır.
Dolayısıyla ağırlıklı Lebesgue uzaylarındaki Littlewood-Paley eşitsizliği kullanılırsa
[ 26, Teorem 1]
∞
∫ µ∑
I
= 2ν −1
p
Aµ ( f , x ) dx = ∫
∞
∑
ν −1
T µ =2
≤∫
∞
∑
ν −1
T µ =2
p
Aµ ( f , x ) χ I ( x)dx
p
Aµ ( f , x ) M χ I ( x)dx
19
≤∫
p/2
∞
∑ Bµ ( f , x )
M χ I ( x)dx
2
T µ =ν
bulunur.
∞
M χ I ( x ) ≈ χ I ( x ) + ∑ 2−2 k χ 2k +1 I \2k I ( x )
(
k =0
)
denkliği yukarıdaki eşitsizliğe uygulanırsa
p
∞
∫ µ∑
= 2ν −1
I
Aµ ( f , x ) dx
∞
p/2
∑ Bµ ( f , x )
≤ c12 ∫
2
T µ =ν
∞
Bµ ( f , x )
∑
µ ν
≤ c13 ∫
∞
⎛
⎞
χ
x
2−2 k χ 2k +1 I \2k I ( x ) ⎟ dx
+
(
)
∑
⎜ I
(
)
k =0
⎝
⎠
p/2
=
T
= c13 ∫
∞
∑ Bµ ( f , x )
2
I µ =ν
∞
dx + c13 ∑ 2
∞
Bµ ( f , x ) ∑ 2
∑
µ ν
2
=
T
p/2
p/2
∞
χ I ( x ) dx + c13 ∫
2
k =0
∞
∫ ∑ Bµ ( f , x )
−2 k
−2 k
χ2
(
k +1
I \2k I
)(
x )dx
p/2
2
dx
2k +1 I \2k I µ =ν
k =0
elde edilir.
Yukarıdaki eşitsizliğin normu alınırsa,
sup
I
∞
1
I
1−
α
∫ ∑
ν −1
2 I µ =2
p
Aµ ( f , x ) dx
1/ 2
⎧ ∞
⎞
⎪⎛
2
≤ c14 ⎨ ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟
⎠
⎪ ⎝ µ =ν
⎩
p
1
+ sup
Lp ,α (T )
I
I
20
1−α / 2
∞
∑2
k =0
∞
−2 k
2
k +1
Bµ ( f , x )
∫ ∑
µ ν
I \2k I
=
2
p/2
⎫
⎪
dx ⎬
⎪
⎭
1/ 2
⎧ ∞
⎞
⎪⎛
2
≤ c15 ⎨ ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟
⎠
⎪ ⎝ µ =ν
⎩
p
∞
+∑2
−2 k
sup
k =0
Lp ,α (T )
I
∞
1
I
1−α / 2
2
p/2
Bµ ( f , x )
∫ ∑
µ ν
k +1
I
2
=
⎫
⎪
dx ⎬
⎪
⎭
1/ 2 p
⎛ ∞
⎞
≤ c16 ⎜ ∑ Bµ2 ( f , x ) ⎟
⎝ µ =ν
⎠
∞
+ c16 ∑ 2
−2 k + ( k +1)(1−α / 2)
Lp ,α (T )
sup
k =0
I
∞
1
2k +1 I
p/2
∫ ∑ Bµ ( f , x )
1−α / 2
2
dx
2k +1 I µ =ν
1/ 2 p
⎛ ∞
⎞
≤ c16 ⎜ ∑ Bµ2 ( f , x ) ⎟
⎝ µ =ν
⎠
∞
+ c17 ∑ 2
−2 k + ( k +1)(1−α / 2)
Lp ,α (T )
1
sup
k =0
I
I
1−α / 2
∞
Bµ ( f , x )
∫∑
µ ν
p/2
2
dx
=
I
1/ 2 p
⎛ ∞
⎞
≤ c18 ⎜ ∑ Bµ2 ( f , x ) ⎟
⎝ µ =ν
⎠
sonucuna ulaşılır. Çünkü
∞
Lp ,α (T )
∑2
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜1− ⎟
⎝ 2⎠
< ∞ dur. Ters eşitsizlik benzer yöntemle
k =0
ispatlanır.
3.2.1.2 Teorem: (Morrey uzaylarında Marcinkiewicz Çarpan Teoremi)
{λν }ν =0 ,
∞
λν ≤ M ,
2ν +1 −1
∑
2ν
λ j − λ j +1 ≤ M ,
ν = 0,1,...
21
koşullarını sağlayan reel sayıların bir dizisi olsun.
Eğer f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ,
∞
1 < p < ∞ ve f ∼ ∑ cν eiνθ ise
ν =0
∞
h ∼ ∑ cν λν eiνθ
ve
h
ν =0
Lp ,α (T )
≤c f
Lp ,α (T )
olacak şekilde h ∈ Lp ,α (T ) ve bir c > 0 sabiti vardır.
İspat: Bu teorem, Teorem 3.2.1.1’in ispat yöntemi göz önüne alınarak ve
ağırlıklı Lebesgue uzaylarında Kurtz tarafından ispatlanan Marcinkiewicz Çarpan
Teoremi [ 26, Teorem 2] kullanılarak ispatlanır.
3.2.1.3 Önerme: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun.
(i) Eğer f ’nin Fourier serisinin n. kısmi toplamı S n ( f ) := S n ( f , θ ) ise
En ( f ) Lp ,α (T ) ≤ f − S n ( f )
Lp ,α (T )
≤ cEn ( f ) Lp ,α (T )
olacak şekilde f ’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.
(ii) Eğer f ’nin eşlenik fonksiyonu f ise
f
Lp ,α (T )
≤c f
Lp ,α (T )
olacak şekilde f ’den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.
İspat: (i) Eşitsizliğin ilk kısmının ispatı açıktır. İkinci kısmın ispatı ise Teorem
3.2.1.1’in ispat yöntemi ve [ 27, Teorem 8] kullanılarak yapılır.
22
(ii) [ 27, Teorem 1] kullanılarak kolayca ispatlanır.
(i) deki eşitsizliğin bir sonucu olarak, her ν ∈
E2ν −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) ≤ f − S 2ν −1 −1 ( f )
∞
=
∑
µ = 2ν −1
Lp ,α (T )
= f−
Aµ ( f , ⋅)
p ,α
L
(T )
+
için
2ν −1 −1
∑
µ
=0
Aµ ( f , ⋅)
Lp ,α (T )
≤ cE2ν −1 −1 ( f ) Lp ,α (T )
(3.3)
elde edilir.
Aşağıdaki önermenin ispatı Lebesgue uzaylarındaki genelleşmiş Minkowski
eşitsizliğinin ispat yöntemi dikkate alınarak gerçekleştirilir.
3.2.1.4 Önerme: (Morrey Uzaylarında Genelleşmiş Minkowski Eşitsizliği)
0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun.
I1 ve I 2 , T ’nin alt aralığı olmak üzere, θ 2 ∈ I 2 için
g (θ 2 ) ≥ 0 ve I1 × I 2 üzerinde f (θ1 ,θ 2 ) ≥ 0 ölçülebilir fonksiyonları için
∫ g (θ ) f (⋅,θ ) dθ
2
2
I2
2
L
p ,α
(T )
≤ ∫ g (θ 2 ) f ( ⋅,θ 2 ) dθ 2
I2
eşitsizliği geçerlidir.
3.2.2 Temel Sonuçlar
Şimdi Teorem 3.1.2.1’in iyileştirmesini gösterelim. Aşağıdaki teoremde verilen
(3.4) eşitsizliği, Teorem 3.1.2.1’de verilen eşitsizlikden daha iyidir.
En ( f ) Lp ,α (T ) =
1
, n∈
nr
+
ve r ∈
+
ise
23
Örneğin,
(3.1) eşitsizliğinden 1 < p < ∞ için
ω pr ,α ( f , h ) ≥ ch r , h > 0
elde edilir.
Aşağıda ispat edeceğimiz (3.4) eşitsizliğinden 1 < p ≤ 2 için
1/ 2
ω
r
p ,α
1
( f , h ) ≥ ch ⎛⎜ ln ⎞⎟
⎝ h⎠
r
, h>0,
2 ≤ p < ∞ için ise
1/ p
ω
bulunur.
r
p ,α
1
( f , h ) ≥ ch ⎛⎜ ln ⎞⎟
⎝ h⎠
r
Buradan
, h>0,
düzgünlük modülünün (3.4) eşitsizliğinde alttan daha iyi
değerlendirildiği anlaşılır.
3.2.2.1 Teorem: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun. Her r ∈
ω pr ,α ( f ,1/ ( n + 1) ) ≥
olacak şekilde
için
1/ γ
c ⎧ n γ r −1 γ
⎫
ν Eν ( f ) Lp ,α (T ) ⎬
r ⎨∑
n ⎩ ν =1
⎭
n ’den bağımsız bir
+
, n∈
c = c ( p, r , α ) > 0
γ = max ( p, 2 ) dir.
24
+
sabiti vardır.
(3.4)
Burada
İspat: Verilen bir n doğal sayısı için 2m ≤ n < 2m +1 koşulunu sağlayan doğal sayı
m olsun. Ayrıca
1/ γ
δ n , r ,γ
⎧ n ν γ r −1
⎫
:= ⎨∑ γ r Eνγ ( f ) Lp ,α (T ) ⎬
⎩ν =1 n
⎭
, 1 < γ < ∞, r ∈
+
olsun. (3.3) kullanılırsa
1/ γ
1/ γ
δ n , r ,γ
⎧⎪ m+1 2ν −1 µ γ r −1
⎫⎪
≤ ⎨∑ ∑ γ r Eµγ ( f ) Lp ,α (T ) ⎬
⎩⎪ ν =1 µ = 2ν −1 n
⎭⎪
⎧ n ν γ r −1
⎫
:= ⎨∑ γ r Eνγ ( f ) Lp ,α (T ) ⎬
⎩ ν =1 n
⎭
1/ γ
⎧ m +1 2νγ r
⎫
≤ ⎨∑ γ r E2γν −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) ⎬
⎩ ν =1 n
⎭
⎧ m +1 2νγ r
⎪
≤ ⎨∑ γ r
⎪⎩ ν =1 n
1/ γ
⎫
⎪
⎬
∑ν −1 Aµ ( f , x )
µ =2
Lp ,α (T ) ⎪
⎭
∞
γ
ve Teorem 3.2.1.1 uygulanırsa
δ n , r ,γ
⎧ m +1 2νγ r
⎪
≤ ⎨∑ γ r
⎪⎩ ν =1 n
1/ γ
⎫
⎪
⎬
∑ν −1 Aµ ( f , x )
µ =2
Lp ,α (T ) ⎪
⎭
∞
γ
1/ 2
⎧ m +1 νγ r ∞
⎞
⎪ 2 ⎛
2
≤ c19 ⎨∑ γ r ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟
⎠
⎪ ν =1 n ⎝ µ =ν
⎩
1/ γ
⎫
⎪
⎬
⎪
Lp ,α (T ) ⎭
γ
elde edilir.
1 < p ≤ 2 ve γ = 2 olsun. Genelleşmiş Minkowski eşitsizliğinden
25
(3.5)
δ n ,r ,2
⎧ m +1 2ν r
⎪ 2
≤ c19 ⎨∑ 2 r
⎪ ν =1 n
⎩
p/2
⎡
⎤
⎛ ∞ 2
⎞
1
⎢sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟ dx ⎥
⎢⎣ I I
⎥⎦
⎠
I ⎝ µ =ν
⎧⎪
⎛ m +1 22ν r
1
≤ c19 ⎨sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ 2 r
n
I ⎝ ν =1
⎪⎩ I I
⎞
Bµ ( f , x ) ⎟
∑
µ =ν
⎠
∞
p/2
2
2/ p
1/ 2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
1/ p
⎫⎪
dx ⎬
⎪⎭
(3.6)
bulunur.
Son eşitsizliğe Abel transformu uygulanırsa,
δ n ,r ,2
⎧⎪
1
≤ c19 ⎨sup 1−α / 2
⎪⎩ I I
2 r m +1
⎛ m 22ν r 2
⎞
2 ( ) ∞
2
B
f
x
B
f
x
+
,
,
(
)
(
)
⎜
⎟⎟
∑
∑
ν
µ
2
2
r
r
∫I ⎜ ν =1 n
n
µ = m +1
⎝
⎠
p/2
1/ p
⎫⎪
dx ⎬
⎪⎭
1/ p
p/2
⎡
⎤
⎛ m 22ν r 2
⎞
1
≤ c20 ⎢sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ 2 r Bν ( f , x ) ⎟ dx ⎥
n
⎢⎣ I I
⎥⎦
⎠
I ⎝ ν =1
p/2
⎡
⎤
⎛ ∞
⎞
1
2
+ c20 ⎢sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟ dx ⎥
⎢⎣ I I
⎥⎦
⎠
I ⎝ µ = m +1
1/ p
(3.7)
elde edilir.
Littlewood-Paley eşitsizliği, (3.3) ve Teorem 3.1.2.1 sırasıyla (3.7) eşitsizliğinin
sonuncu teriminde kullanılırsa
p/2
⎡
⎤
⎛ ∞
⎞
1
2
⎢sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟ dx ⎥
⎢⎣ I I
⎥⎦
⎠
I ⎝ µ = m +1
1/ 2
⎛ ∞
⎞
= ⎜ ∑ Bµ2 ( f , x ) ⎟
⎝ µ = m+1
⎠
≤ c21
Lp ,α (T )
1/ p
∞
∑ Aµ ( f , x )
µ = 2m
26
Lp ,α (T )
2m −1
= c21 f − ∑ Aµ ( f , x )
µ =0
Lp ,α (T )
≤ c22 E2m −1 ( f ) Lp ,α (T )
≤ c23ω pr ,α ( f ,1/ 2m ) ≤ c24ω pr ,α ( f ,1/(n + 1) )
(3.8)
olduğu görülür.
(3.7)’nin ilk terimi göz önüne alınırsa,
1/ p
p/2
⎡
⎤
⎛ m 22ν r 2
⎞
1
⎢sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ 2 r Bν ( f , x ) ⎟ dx ⎥
n
⎢⎣ I I
⎥⎦
⎠
I ⎝ ν =1
⎡
1
≤ c25 ⎢sup 1−α / 2
⎢⎣ I I
⎡
⎢
1
= c25 ⎢sup 1−α / 2
⎢ I I
⎢⎣
1/ p
∫
p
⎤
2ν r
⎥
B
f
x
dx
,
(
)
∑
ν
r
ν =1 n
⎥⎦
∫
⎤
νr
⎥
m 2ν −1
2
r µ
⎥
,
sin
A
f
x
dx
(
)
∑
∑
µ
2
n
r µ
⎥
ν =1 µ = 2ν −1 r
n sin
⎥⎦
2n
I
m
p
I
1/ p
elde edilir.
λµ :=
2ν r
n sin
r
ve ν = 1, 2,..., m
µ
r
olmak üzere
{λµ }2ν
2ν −1
−1
2n
3.2.1.2’nin koşullarını sağlar. Dolayısıyla Teorem 3.2.1.2 uygulanırsa
⎡
1
⎢sup 1−α / 2
⎢ I I
⎣
∫
I
⎡
1
= ⎢sup 1−α / 2
⎢⎣ I I
⎤
λµ Aµ ( f , x ) sin
dx ⎥
∑
∑
2n
⎥
ν =1 µ = 2ν −1
⎦
m
2ν −1
r
∫
I
µ
p
1/ p
⎤
r
⎥
,
sin
A
f
x
dx
λ
(
)
∑
µ µ
2n
⎥⎦
µ =1
2m −1
µ
27
p
1/ p
sistemi Teorem
⎡
1
≤ c26 ⎢sup 1−α / 2
⎢⎣ I I
⎡
1
≤ c27 ⎢sup 1−α / 2
⎢⎣ I I
2m −1
∫∑
µ
I
∫
I
=1
⎤
Aµ ( f , x ) sin r
dx ⎥
2n
⎥⎦
µ
p
⎤
r
⎥
,
sin
A
f
x
dx
(
)
∑
µ
2n
⎥⎦
µ =1
p
µ
∞
1/ p
1/ p
≤ c28ω pr ,α ( f ,1/(n + 1) )
(3.9)
bulunur.
Böylece (3.9), (3.8) ve (3.7) eşitsizlikleri kullanılırsa
⎛
⎝
δ n ,r ,2 ≤ cω pr ,α ⎜ f ,
1 ⎞
⎟
n +1⎠
olduğu görülür.
2 ≤ p < ∞ ve γ = p olsun. (3.5) eşitsizliği göz önüne alınırsa
δ n ,r , p
1/ 2
⎧ m +1 ν pr ∞
⎛
⎞
⎪ 2
2
≤ c19 ⎨∑ pr ⎜ ∑ Bµ ( f , x ) ⎟
⎠
⎪ ν =1 n ⎝ µ =ν
⎩
⎧⎪
1
= c19 ⎨sup 1−α / 2
I
I
⎩⎪
1/ p
⎫
⎪
⎬
⎪
Lp ,α (T ) ⎭
p
⎞
2ν pr ⎛ ∞ 2
B f , x) ⎟
pr ⎜ ∑ µ (
∫I ∑
ν =1 n
⎝ µ =ν
⎠
m +1
⎧⎪
⎛ m +1 22ν r
1
≤ c29 ⎨sup 1−α / 2 ∫ ⎜ ∑ 2 r
n
I ⎝ ν =1
⎪⎩ I I
⎞
Bµ ( f , x ) ⎟
∑
µ =ν
⎠
∞
elde edilir.
28
2
1/ p
p/2
⎫⎪
dx ⎬
⎭⎪
p/2
⎫⎪
dx ⎬
⎪⎭
1/ p
(3.10)
(3.10) ile (3.6) eşitsizlikleri aynı olduğundan dolayı, 1 < p ≤ 2 durumunda
izlenen yol takip edilerek ispat tamamlanır.
Şimdi Teorem 3.1.2.3’ün iyileştirmesini gösterelim. Aşağıdaki teoremde verilen
(3.11) eşitsizliği Teorem 3.1.2.3’de verilen (3.2) eşitsizliğinden daha iyidir. Örneğin,
En ( f ) Lp ,α (T ) =
1
, n∈
nr
+
+
ve r ∈
ise
Teorem 3.1.2.3’den 1 < p < ∞ için
1
h
ω pr ,α ( f , h ) ≤ ch r ln , h > 0
elde edilir.
Aşağıda ispat edeceğimiz (3.11) eşitsizliğinden 1 < p ≤ 2 için
⎛
⎝
1/ p
1⎞
ω pr ,α ( f , h ) ≤ ch r ⎜ ln ⎟
h
⎠
, h>0,
2 ≤ p < ∞ için ise
1/ 2
ω
bulunur.
r
p ,α
1
( f , h ) ≤ ch ⎛⎜ ln ⎞⎟
⎝ h⎠
r
, h>0,
Buradan düzgünlük modülünün (3.11) eşitsizliğinde üstten daha iyi
değerlendirilmiş olduğu anlaşılır.
3.2.2.2 Teorem: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ olsun. Her r ∈
29
+
için
1/ β
ω
c ⎧ n
⎫
( f ,1/ n ) ≤ r ⎨∑ν β r −1 Eνβ ( f )Lp ,α (T ) ⎬
n ⎩ ν =1
⎭
r
p ,α
olacak şekilde
+
, n∈
c = c ( p, r , α ) > 0
n ’den bağımsız bir
(3.11)
sabiti vardır.
Burada
β = min ( p, 2 ) dir.
İspat: Verilen bir n doğal sayısı için 2m ≤ n < 2m +1 koşulunu sağlayan doğal sayı
m ve h > 0 olsun. Her r ∈
+
için
(
)
(
∆ rh ( f , x ) = ∆ rh ( f , x ) − ∆ rh S 2m−1 f , x + ∆ rh S2m−1 f , x
(
)
(
= ∆ rh f − S2m−1 f , x + ∆ rh S2m−1 f , x
)
)
(3.12)
olur. Önerme 3.2.1.3 (i) kullanılırsa
(
∆ rh f − S2m−1 f , ⋅
)
≤ c30 f − S 2m−1 f
Lp ,α (T )
Lp ,α (T )
≤ c31 E2m−1 ( f ) Lp ,α (T )
(3.13)
bulunur.
Eğer r tek ise (çift olduğu durum da benzer şekilde ispatlanır.), LittlewoodPaley eşitsizliği kullanılarak (3.12)’nin ikinci terimi için
(
∆ S 2m−1 f , ⋅
r
h
)
L
p ,α
(T )
= 2
2m−1
r
sin
∑
ν
=1
r
νh
2
( )
Aν f , ⋅
Lp ,α (T )
1
≤ c32
⎛ m 2
⎞2
⎜ ∑ Bµ f , ⋅; r , h ⎟
⎝ µ =1
⎠
(
)
30
(3.14)
Lp ,α (T )
2 µ −1
) ∑ sin ν2h A ( f , ⋅) dir.
(
elde edilir. Burada Bµ f , ⋅; r , h :=
r
ν
ν = 2 µ −1
Basit hesaplamalardan sonra,
(
1
⎛ m 2
⎞2
⎜ ∑ Bµ f , ⋅; r , h ⎟
⎝ µ =1
⎠
(
⎧⎛ m
⎪ ⎜ ∑ Bµ f , ⋅; r , h
⎪ ⎝ µ =1
≤⎨
⎪⎛ m
⎪⎜ ∑ Bµ f , ⋅; r , h
⎩⎝ µ =1
)
p ,α
L
(T )
(
1/ 2
⎞
⎟
p ,α
L (T )
⎠
)
2
)
⎞
⎟
p ,α
L (T )
⎠
,
p>2
,
p≤2
1/ p
p
olduğu kolayca görülür. Yani β := min ( p, 2 ) için
1
⎛ m 2
⎞2
⎜ ∑ Bµ f , ⋅; r , h ⎟
⎝ µ =1
⎠
(
)
⎛ m
≤ ⎜ ∑ Bµ f , ⋅; r , h
⎝ µ =1
(
Lp ,α (T )
)
1/ β
⎞
⎟
p ,α
L (T )
⎠
β
(3.15)
olur.
(
Şimdi Bµ f , ⋅; r , h
(
)
Lp ,α (T )
ifadesi göz önüne alınırsa, Abel transformundan
2µ −1
) ∑ sin ν2h A ( f , ⋅)
Bµ f , ⋅; r , h =
=
r
ν = 2µ −1
ν
⎧⎪ ⎡ r ν h
⎤ ν
r (ν + 1) h
sin
sin
−
⎥ ∑ Aj f , ⋅
∑ ⎨⎢ 2
2
ν = 2µ −1 ⎪
⎣
⎦ j = 2µ −1
⎩
2µ − 2
+ sin
r
⎫
( )⎪⎬
(2
µ
− 1) h
2
2 µ −1
∑
ν = 2 µ −1
( )
Aν f , ⋅
elde edilir. Dolayısıyla
31
⎪⎭
(
Bµ f , ⋅; r , h
+ sin
r
(2
µ
)
⎧
(ν + 1) h
νh
⎪
≤ ∑ ⎨ sin r
− sin r
2
2
ν = 2µ −1 ⎪
⎩
2µ − 2
Lp ,α (T )
− 1) h
2
2 µ −1
∑
ν = 2 µ −1
( )
ν
∑
j = 2µ −1
Aj
⎫
⎪
f ,⋅
⎬
⎪
Lp ,α (T ) ⎭
( )
Aν f , ⋅
(3.16)
Lp ,α (T )
bulunur.
( )
f − Sn f
Önerme 3.2.1.3 (i) ve
Lp ,α (T )
( )
≤ cEn f
Lp ,α (T )
, n∈
+
, eşitsizliği göz
önüne alınırsa
ν
∑
j = 2µ −1
( )
Aj f , ⋅
=
Lp ,α (T )
∞
∑
j = 2µ −1
≤
∞
∑
j = 2µ −1
∞
( ) ∑ A ( f , ⋅)
Aj f , ⋅ −
( )
j
j =ν +1
Aj f , ⋅
+
Lp ,α (T )
( )
Lp ,α (T )
( )
Lp ,α (T )
≤ c33 E2µ −1 −1 f
≤ c34 E2µ −1 −1 f
( )
ν
∑
j = 2µ −1
Lp ,α (T )
≤ cEn ( f ) Lp ,α (T ) kullanılırsa
( )
Aj f , ⋅
Lp ,α (T )
≤ c35 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T )
bulunur. Benzer şekilde
32
∞
∑ν A ( f , ⋅)
j = +1
j
( )
+ c33 Eν f
elde edilir.
Burada En f
Lp ,α (T )
Lp ,α (T )
Lp ,α (T )
2µ −1
∑
ν = 2µ −1
( )
Aν f , ⋅
Lp ,α (T )
≤ c36 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T )
olduğu görülür.
Son iki eşitsizlik (3.16)’da kullanılırsa
(
Bµ f , ⋅; r , h
)
L
p ,α
(T )
≤ c35 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T )
⎡ r (ν + 1) h
νh⎤
− sin r
⎢sin
⎥
2
2⎦
ν = 2µ −1 ⎣
2µ − 2
∑
+ c36 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) sin r
(2
µ
− 1) h
2
≤ c37 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) h r 2 µ r + c38 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) h r 2 µ r
≤ c39 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) h r 2 µ r
(3.17)
elde edilir.
(3.15) ve (3.17) eşitsizlikleri sırasıyla (3.14)’e uygulanırsa
(
∆ S 2m−1 f , ⋅
r
h
)
Lp ,α (T )
⎛ m
≤ c32 ⎜ ∑ Bµ f , ⋅
⎝ µ =1
( )
1/ β
⎞
⎟
Lp ,α (T )
⎠
β
1/ β
⎧m
⎫
≤ c40 ⎨∑ E2βµ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) h r β 2r µβ ⎬
⎩ µ =1
⎭
bulunur.
(3.12), (3.13) ve (3.18)’den
33
(3.18)
∆
r
h
( f , ⋅) L
p ,α
(T )
1/ β
m
⎧⎪
⎤ ⎫⎪
β
r ⎡
r µβ
≤ c41 ⎨ E2m−1 ( f ) Lp ,α (T ) + h ⎢ ∑ 2 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) ⎥ ⎬
⎣ µ =1
⎦ ⎭⎪
⎩⎪
olduğu görülür ve modülün tanımından
ω
r
p ,α
1/ β
⎧⎪
⎤ ⎫⎪
1 ⎡ m r µβ β
( f ,1/ n ) ≤ c42 ⎨ E2m−1 ( f )Lp ,α (T ) + r ⎢∑ 2 E2µ −1 −1 ( f ) Lp ,α (T ) ⎥ ⎬
n ⎣ µ =1
⎦ ⎭⎪
⎩⎪
bulunur.
Kolayca görmek mümkündür ki
E2βm−1 ( f ) Lp ,α (T ) ≤
22 r β
2mr β
2m−1
∑
ν r β −1 Eνβ ( f ) L
p ,α
ν = 2m−2 +1
(T )
ve 2m ≤ n < 2m +1 olduğundan
⎤
23 r ⎡ 2
,1/
f
n
c
≤
(
) 43 r ⎢ ∑ ν rβ −1Eνβ ( f )Lp ,α (T ) ⎥
n ⎣ν = 2m−2 +1
⎦
m−1
ω
r
p ,α
⎤
23 r ⎡ 2
+ c44 r ⎢ ∑ν r β −1 Eνβ ( f ) Lp ,α (T ) ⎥
n ⎣ ν =1
⎦
m−2
1/ β
c ⎡ n
⎤
≤ r ⎢ ∑ν r β −1 Eνβ ( f ) Lp ,α (T ) ⎥
n ⎣ ν =1
⎦
elde edilir.
34
1/ β
1/ β
4. MORREY-SMIRNOV SINIFLARINDA YAKLAŞIM
4.1 Morrey Smirnov Sınıflarında Düz ve Ters Teoremler
4.1.1 Yardımcı Sonuçlar
4.1.1.1 Önerme: Γ bir Carleson eğrisi ve f ∈ Lp ,α ( Γ ) , 0 < α ≤ 2 , 1 < p < ∞
olsun. Bu durumda
S( f )
Lp ,α ( Γ )
≤c f
Lp ,α ( Γ )
olacak şekilde c = c ( p, α , Γ ) > 0 sayısı vardır.
İspat: B kompleks düzlemde bir yuvar, χ B onun karakteristik fonksiyonu ve
M χ B ise χ B nin Hardy-Littlewood maximal fonksiyonu olsun.
R. Coifman-R.
Rochberg’in bir sonucundan [ 23] , M χ B ∩Γ fonksiyonu Γ üzerinde A1 Muckenhoupt
ağırlığıdır, yani hemen her yerde M ( M χ B ∩Γ ) ≤ cM χ B ∩Γ dir.
Dolayısıyla S ( f )
singüler operatörünün Lp ( Γ, ω ) , ω ∈ Ap ( Γ ) , ağırlıklı Lebesgue uzaylarındaki sınırlılığı
kullanılırsa [ 28]
∫ S ( f )( z )
B ∩Γ
p
dz = ∫ S ( f )( z ) χ B ∩Γ ( z ) dz
p
Γ
≤ c 45
∫ S ( f )( z )
p
M χ B ∩Γ ( z ) dz
Γ
≤ c 46
∫
f ( z ) M χ B ∩Γ ( z ) dz
p
Γ
35
elde edilir.
∞
M χ B ∩Γ ( z ) ≈ χ B ∩Γ ( z ) + ∑ 2−2 k χ 2k +1 B \2k B ∩Γ ( z )
(
k =0
)
denkliği yukarıdaki eşitsizliğe uygulanırsa,
1
sup
B
B∩Γ
B∩Γ
B
B∩Γ
B
B
≤ c47 f
∞
çünkü
B∩Γ
2 Γ
1−
f ( z ) dz
p
∫
α
2 B ∩Γ
∞
1−
∑2
α
2 k =0
−2 k
(2
∞
k +1
+ ∑ 2−2 k sup
Lp ,α ( Γ )
p
B
k =0
∞
+ c47 ∑ 2
Lp ,α ( Γ )
p
∫
∞
+ c48 ∑ 2
Lp ,α ( Γ )
p
)
B \2k B ∩Γ
1
B∩Γ
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜1− ⎟
⎝ 2⎠
p
≤ c50 f
Lp ,α ( Γ )
p
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜1− ⎟
⎝ 2⎠
+ c49 f
1−
α
⎛ α⎞
−2 k + ( k +1)⎜1− ⎟
⎝ 2⎠
∫
1
sup
sup
B
p
Lp ,α ( Γ )
,
< ∞ dur.
k =0
36
⎞
p
f ( z ) dz ⎟
⎟⎟
⎠
2 2k +1 B ∩Γ
B
k =0
Lp ,α ( Γ )
f ( z ) dz
p
k =0
≤ c47 f
∑2
dz
∞
p⎛
⎞
f ( z ) ⎜ χ B ∩Γ ( z ) + ∑ 2−2 k χ 2k +1 B \2k B ∩Γ ( z ) ⎟ dz
(
)
k =0
⎝
⎠
∫
α
1
⎛
≤ c47 ⎜ f
⎜⎜
⎝
≤ c47 f
1−
1
= c47 sup
p
2 B ∩Γ
1
≤ c47 sup
+ c47 sup
1−
∫ S ( f )( z )
α
2k +1 B ∩ Γ
1
B∩Γ
1−
α
1−
α
∫
f ( z ) dz
p
∫
2 2k +1 B ∩Γ
2 B ∩Γ
f ( z ) dz
p
4.1.1.2 Sonuç: f ∈ Lp ,α (T ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ ise f + ∈ H p ,α ( D ) dir.
İspat: f ∈ Lp ,α (T ) ise f ∈ Lp (T ) dir.
Dolayısıyla f + ∈ H p ( D ) ve f +
fonksiyonu T üzerinde hemen her yerde
f + ( w) =
1
f ( w ) + S ( f )( w )
2
açısal limit değerlerine sahiptir. Bu eşitlik ve Önerme 4.1.1.1 kullanılırsa f + ∈ Lp ,α (T )
elde edilir. H p ,α ( D ) nin tanımından f + ∈ H p ,α ( D ) olduğu görülür.
Bunun aracılığıyla, eğer f ∈ E p ,α ( G ) ise f 0 ( w ) = f ⎡⎣ψ ( w ) ⎤⎦ olduğundan
f 0+ ( w ) :=
f 0 (τ ) dτ
1
, w∈ D
∫
2π i T τ − w
f 0 (τ ) dτ
1
f 0− ( w ) :=
, w ∈ D−
∫
2π i T τ − w
(4.1)
fonksiyonlarının sırasıyla H p ,α ( D ) ve H p ,α ( D − ) ye ait olduğu görülür.
f ∈ E p ,α (G ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 , fonksiyonu için r. düzgünlük modülü
Ω rp ,α ( f , t ) := ω pr ,α ( f 0+ , t ) , r = 1, 2,...
olarak tanımlanır.
4.1.1.3 Önerme: Γ (1.1) koşulunu sağlıyor ise L : P ( D ) → E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2
ve 1 < p < ∞ , lineer operatörü sınırlıdır.
37
İspat: (2.7) den Γ üzerinde hemen her yerde
L ( P )( z ) = S ( P ϕ )( z ) +
1
( P ϕ )( z )
2
eşitliğinin doğru olduğu biliniyor. Önerme 4.1.1.1 ve (2.1) eşitsizliği üstteki eşitliğe
uygulanırsa
L ( P)
Lp ,α ( Γ )
≤ c51 ( P ϕ )
Lp ,α ( Γ )
≤ c52 P
Lp ,α (T )
bulunur.
L : P ( D ) → E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ operatörü P ( D ) den H p ,α ( D )
ye sınırlı ve lineer operatör olarak genişletilebilir ve L : H p ,α ( D ) → E p ,α ( G ) ,
genişletilmiş operatörü için
L ( f )( z ) :=
f ( w )ψ ' ( w )
1
dw, z ∈ G,
2π i T∫ ψ ( w ) − z
f ∈ H p ,α ( D )
gösterimi geçerlidir.
4.1.1.4 Önerme: Eğer Γ (1.1) koşulunu sağlıyor ise
L : H p ,α ( D ) → E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞
lineer operatörü bire bir ve örtendir.
İspat:
f ∈ H p ,α ( D ) ve
38
(4.2)
∞
f ( w ) = ∑ α k wk , w ∈ D
k =0
f ’nin Taylor açılımı olsun. f r ( w ) := f ( rw ) , 0 < r < 1 olmak üzere her B ⊂
yuvarı
için
1
B ∩T
1−
∫
α
B ∩T
1−
α
B ∩T
1−
∫ f ( w) − f ( w)
p
χ B ∩T ( w ) dw
∫ f ( w) − f ( w)
p
M χ B ∩T ( w ) dw
r
(4.3)
2 T
1
≤
p
2 B ∩T
1
=
f r ( w ) − f ( w ) dw
α
r
2 T
olur. Daha öncede belirttiğimiz gibi R. Coifman-R. Rochberg in bir sonucundan [ 23] ,
M χ B ∩T ∈ A1 (T ) dir.
Üstelik
f ∈ H p ,α ( D ) fonksiyonu, sınır fonksiyonu olan
f ∈ Lp ,α (T ) fonksiyonunun Poisson integralidir.
[ 29] ’deki
Teorem 10 göz önüne
alınırsa
lim ∫ f r ( w ) − f ( w ) M χ B ∩T ( w ) dw = 0
p
r →1
T
bulunur. Dolayısıyla (4.3) den
lim f r − f
r →1
Lp ,α (T )
=0
olur. L : H p ,α ( D ) → E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve 1 < p < ∞ , operatörünün sınırlılığından
lim L ( f r ) − L ( f )
r →1
Lp ,α (T )
=0
(4.4)
39
elde edilir.
∞
∑ α k wk serisi w = r < 1 diskinde düzgün yakınsak olduğundan,
k =0
∞
∑α r
k =0
k
k
wk
serisi T üzerinde düzgün yakınsaktır. Dolayısıyla z ∈ G için
L ( f r )( z ) =
f r ( w )ψ ' ( w )
1
dw
2π i T∫ ψ ( w ) − z
∞
= ∑αk r k
k =0
k
1 w ψ ' ( w)
dw
2π i T∫ ψ ( w ) − z
∞
= ∑ α k r k Fk ( z )
k =0
olur. Γ içinde açısal yollar boyunca z ' → z ∈ Γ limiti alınırsa
∞
L ( f r )( z ) = ∑ α k r k Fk ( z ) , z ∈ Γ
k =0
bulunur.
[30, s.43] ’deki
Lemma 3 kullanılırsa, L ( f r ) ’nin ak ( L ( f r ) ) Faber katsayıları
için
ak ( L ( f r ) ) =
1 L ( fr ) ψ ( w)
dw
wk +1
2π i T∫
∞
= ∑αk r k
k =0
1 Fk ψ ( w )
dw = α k r k , k ∈
2π i T∫ wk +1
ve buradan
40
ak ( L ( f r ) ) → α k , r → 1−
(4.5)
bulunur. Şimdi Hölder eşitsizliği ve (2.1) kullanılırsa
ak ( L ( f r ) ) − ak ( L ( f ) ) =
≤
=
≤
1 ⎡⎣ L ( f r ) − L ( f ) ⎤⎦ ψ ( w )
dw
wk +1
2π i T∫
1
2π
∫ ⎡⎣ L ( f ) − L ( f )⎤⎦
r
ψ ( w ) dw
T
1
2π
∫ ⎡⎣ L ( f ) − L ( f )⎤⎦ ( z ) ϕ ' ( z ) dz
c53
2π
∫ ⎡⎣ L ( f ) − L ( f )⎤⎦ ( z ) dz
r
Γ
r
Γ
≤ c54 L ( f r ) − L ( f )
≤ c55 L ( f r ) − L ( f )
Lp ( Γ )
Lp ,α ( Γ )
elde edilir. Bu ve (4.4) bize, r → 1− iken ak ( L ( f r ) ) → ak ( L ( f ) ) yakınsamasını verir
ve (4.5) kullanılarak
α k = ak ( L ( f ) ) , k ∈
ak ( L ( f ) ) = α k ,
k∈
bulunur.
Eğer
L( f ) = 0
ise
ve böylece f = 0 olduğu görülür. Bu ise L operatörünün
birebir olması anlamına gelir.
Örtenliği göstermek için f ∈ E p ,α ( G ) fonksiyonu alıp f 0 = f ψ ∈ Lp ,α (T )
fonksiyonunu göz önüne alalım. (4.1) de tanımlanan f 0+ ve f 0− fonksiyonlarının açısal
sınır değerlerinin T üzerinde hemen her yerde
f 0+ ( w ) = S ( f 0 )( w ) + f 0 ( w ) / 2,
f 0− ( w ) = S ( f 0 )( w ) − f 0 ( w ) / 2
gösterimlerine sahip olduğu görülür ve dolayısıyla T üzerinde hemen her yerde
41
f 0 ( w ) = f 0+ ( w ) − f 0− ( w )
olur. f 0− ( ∞ ) = 0 ve f 0− ∈ H 1 ( D ) olduğundan, ak ( f ) , k ∈
ak ( f ) =
Faber katsayıları için
f0 ( w)
1
dw
2π i T∫ wk +1
f 0+ ( w )
f 0− ( w )
1
1
=
dw −
dw
2π i T∫ wk +1
2π i T∫ wk +1
=
f 0+ ( w )
1
dw = ak ( f 0+ )
2π i T∫ wk +1
bulunur. Bu ise bize f ’nin ak ( f ) , k ∈
, Faber katsayılarının, f 0+ nın orjindeki
Taylor katsayıları olduğunu verir. Yani
∞
f 0+ ( w ) = ∑ ak wk , w ∈ D
k =0
dir. Ayrıca ispatın ilk kısmından
∞
L ( f 0+ ) ∼ ∑ ak ( f ) Fk
k =0
olduğu görülür. E p ( G ) uzayında aynı Faber katsayılarına sahip iki farklı fonksiyon
olamayacağından L ( f 0+ ) = f olur ve böylece L operatörü örtendir.
4.1.2 Temel Sonuçlar
Morrey-Smirnov sınıflarındaki düz teorem aşağıdaki şekilde verilir.
42
4.1.2.1 Teorem: G ⊂
, (1.1) koşulunu sağlayan Γ eğrisiyle sınırlı basit
bağlantılı bölge olsun. f ∈ E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve p > 1 ise r ∈
En ( f ) E p ,α (G ) ≤ cΩ rp ,α ( f ,1/ ( n + 1) ) , n ∈
+
için
+
olacak şekilde n ’den bağımsız bir c > 0 sayısı vardır.
İspat: Önerme 3.1.2.2 göz önüne alınırsa
n
f − ∑ ak Fk
k =0
n
Lp ,α ( Γ )
≤ c f 0+ − ∑ ak wk
k =0
Lp ,α (T )
eşitsizliğini sağlayan c > 0 sayısının var olduğunu göstermek yeterlidir.
f 0 ( w ) = f 0+ ( w ) − f 0− ( w ) , w ∈ T
eşitliğinde w = ϕ ( z ) yazılırsa Γ üzerinde hemen her yerde
f ( z ) = f 0+ (ϕ ( z ) ) − f 0− (ϕ ( z ) )
(4.6)
elde edilir. z ' ∈ G − olsun. (4.6) ve (2.4) gösterimi kullanılırsa
k
⎧
⎫
k
1 ⎡⎣ϕ (ζ ) ⎤⎦
⎪
⎪
⎡
⎤
a
F
z
a
ϕ
z
d
ζ
=
+
'
'
) ∑ k ⎨ ⎣ ( )⎦
⎬
∑
k k (
∫
2π i Γ ζ − z '
k =0
k =0
⎪⎩
⎭⎪
n
n
n
n
∑a
k
⎡⎣ϕ (ζ ) ⎤⎦
k
1 k =0
= ∑ ak ⎡⎣ϕ ( z ') ⎤⎦ +
2π i ∫Γ
ζ − z'
k =0
43
k
dζ
+
−
1 ⎛ − f 0 (ϕ ( ζ ) ) f 0 ( ϕ ( ζ ) ) ⎞
+
+
⎜
⎟ dζ
2π i ∫Γ ⎜⎝ ζ − z '
ζ − z ' ⎟⎠
f 0− (ϕ (ζ ) )
1
= ∑ ak ⎡⎣ϕ ( z ') ⎤⎦ +
dζ
2π i ∫Γ ζ − z '
k =0
n
k
n
∑a
1 k =0
2π i ∫Γ
+
bulunur.
k
⎡⎣ϕ (ζ ) ⎤⎦ − f 0+ (ϕ (ζ ) )
k
ζ − z'
f 0− ϕ ∈ E p ( G − ) ve
(f
−
0
dζ
ϕ ) ( ∞ ) = 0 olduğundan, sınırsız bölgeler için olan
f 0− (ϕ (ζ ) )
1
d ζ = − f 0− (ϕ ( z ') ) Cauchy integral gösterimi kullanılırsa
∫
2π i Γ ζ − z '
n
∑ ak Fk ( z ') =
k =0
n
∑a
k =0
k
⎡⎣ϕ ( z ' ) ⎤⎦ − f 0− (ϕ ( z ' ) )
k
n
+
∑a
1 k =0
2π i ∫Γ
k
⎡⎣ϕ (ζ ) ⎤⎦ − f 0+ (ϕ (ζ ) )
k
ζ − z'
dζ
elde edilir. Γ nın dışından açısal yollar boyunca z ' → z limiti alınıp
f ( z) = f + ( z) − f − ( z),
f − ( z ) = S ( f )( z ) −
1
f (z)
2
eşitlikleri ve (4.6) kullanılırsa Γ üzerinde hemen her yerde
n
f ( z ) − ∑ ak Fk ( z ) =
k =0
n
k⎤
1⎡ +
−
f
ϕ
z
ak ⎡⎣ϕ ( z ) ⎤⎦ ⎥
(
)
(
)
∑
0
⎢
2⎣
k =0
⎦
n
k⎤
⎡
+ S ⎢ f 0+ (ϕ ( z ) ) − ∑ ak ⎡⎣ϕ ( z ) ⎤⎦ ⎥
k =0
⎣
⎦
44
(4.7)
bulunur.
Γ , (1.1) koşulunu sağladığından (2.1) uygulanırsa
∫
f
+
0
B ∩Γ
≤ c56
n
(ϕ ( z ) ) − ∑ a
k
k =0
∫
f
+
0
B0 ∩T
⎡⎣ϕ ( z ) ⎤⎦
n
( w ) − ∑ ak w
k
p
dz =
∫
f
+
0
B0 ∩T
n
p
( w ) − ∑ ak w ψ ' ( w )
k
dw
k =0
p
k
dw
k =0
ve (2.2) kullanılırsa
1
sup
B
B∩Γ
≤ c57 sup
B0
1−
∫
α
f
2 B ∩Γ
1
B0 ∩ T
1−
α
+
0
n
(ϕ ( z ) ) − ∑ a
k =0
∫
2 B0 ∩T
k
⎡⎣ϕ ( z ) ⎤⎦
n
p
f 0+ ( w ) − ∑ ak wk
k
p
dz
dw
k =0
elde edilir. Buradan
n
f 0+ (ϕ ( z ) ) − ∑ ak ⎡⎣ϕ ( z ) ⎤⎦
k =0
n
k
Lp ,α ( Γ )
≤ c f 0+ ( w ) − ∑ ak wk
k =0
Lp ,α (T )
olduğu görülür.
Önerme 4.1.1.1 ve yukarıdaki eşitsizlik sırasıyla (4.7)’e uygulanırsa
n
f ( z ) − ∑ ak Fk ( z )
k =0
n
Lp ,α ( Γ )
≤ c f 0+ ( w ) − ∑ ak wk
k =0
Lp ,α (T )
olacak şekilde c > 0 sayısı bulunur. Önerme 3.1.2.2 teoremin ispatını tamamlar.
45
Morrey-Smirnov sınıflarındaki ters teorem aşağıdaki şekilde verilir.
4.1.2.2 Teorem: G ⊂
, (1.1) koşulunu sağlayan Γ eğrisiyle sınırlı basit
bağlantılı bölge olsun. f ∈ E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve p > 1 ise r ∈
⎛ 1⎞ c
Ω rp ,α ⎜ f , ⎟ ≤ r
⎝ n⎠ n
n
∑k
r −1
k =1
Ek ( f ) E p ,α (G ) , n ∈
+
için
+
olacak şekilde n den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır.
İspat:
f ∈ E p ,α ( G )
olsun.
Önerme
4.1.1.4
den
L ( f 0+ ) = f
dir.
L : H p ,α ( D ) → E p ,α ( G ) operatörü sınırlı, lineer, birebir, örten olduğundan
L−1 : E p ,α ( G ) → H p ,α ( D )
, E p ,α ( G ) de f ’e en iyi yaklaşan polinomlar
operatörü de sınırlıdır. Pk* ∈ Pk , k ∈
olsun. L−1 ( Pk* ) ∈ Pk ( D ) olduğu açıktır ve böylece
Ek ( f 0+ )
H p ,α ( D )
≤ f 0+ − L−1 ( Pk* )
Lp ,α (T )
= L−1 ( f ) − L−1 ( Pk* )
≤ L−1 f − Pk*
Lp ,α (T )
Lp ,α ( Γ )
= L−1 Ek ( f ) E p ,α ( G )
elde edilir. Son eşitsizlik ve H p ,α ( D ) durumunda Teorem 3.1.2.3 uygulanırsa
46
1⎞
⎛ 1⎞
⎛
Ω rp ,α ⎜ f , ⎟ = ω pr ,α ⎜ f 0+ , ⎟
n⎠
⎝ n⎠
⎝
n
≤ cn − r ∑ k r −1 Ek ( f 0+ )
k =1
≤ cn − r L−1
n
∑k
k =1
r −1
H p ,α ( D )
Ek ( f ) E p ,α ( G )
n
≤ cn − r ∑ k r −1 Ek ( f ) E p ,α (G )
k =1
elde edilir.
β > 0 ve r := [ β ] + 1 olsun. Bu durumda
{
}
Lipα , p ( β ) := f ∈ E p ,α ( G ) : Ω rp ,α ( f , δ ) = O (δ β ) , δ > 0
ile Lipα , p ( β ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p > 1 , genelleşmiş Lipschitz sınıfını tanımlayalım.
4.1.2.3 Sonuç: Teorem 4.1.2.2’nin koşulları altında, eğer
En ( f ) E p ,α (G ) = O ( n − β ) , β > 0, n ∈
ise r ∈
+
+
ve δ > 0 için
⎧O (δ β )
, r>β
⎪
⎪
Ω rp ,α ( f , δ ) = ⎨O (δ β log (1/ δ ) ) , r = β
⎪
r
, r<β
⎪⎩ O (δ )
olur.
47
4.1.2.4 Sonuç: Teorem 4.1.2.2’nin koşulları altında, eğer
En ( f ) E p ,α (G ) = O ( n − β ) , β > 0, n ∈
ise f ∈ Lipα , p ( β ) olur.
4.1.2.5 Teorem: Teorem 4.1.2.2’nin koşulları altında, eğer
β > 0 ise
aşağıdakiler denktir:
(1)
( 2)
f ∈ Lipα , p ( β )
En ( f ) E p ,α ( G ) = O ( n − β ) , ∀n ∈
+
.
4.2 Morrey-Smirnov Sınıflarında Düz ve Ters Teoremlerin İyileştirmeleri
Bu bölümde bir önceki bölümde verilen, E p ,α ( G ) , 0 ≤ α ≤ 2 ve p ≥ 1 , MorreySmirnov sınıflarındaki düz teorem Teorem 4.1.2.1 ve ters teorem Teorem 4.1.2.2’nin
iyileştirmeleri yapılacaktır.
Sonuçların gerçekten bir iyileştirme olduğu Bölüm
3.2.2’deki uygun sonuçların ispatlarında izlenen yol takip edilerek görülür.
4.2.1 Temel Sonuçlar
Aşağıdaki teorem Teorem 4.1.2.1’in iyileştirmesidir.
4.2.1.1 Teorem: G ⊂
, (1.1) koşulunu sağlayan Γ eğrisiyle sınırlı basit
bağlantılı bölge olsun. f ∈ E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve p > 1 ise r ∈
48
+
için
1
1 ⎞
c ⎧ n γ r −1 γ
⎫γ
⎛
E
f
, n∈
ν
Ω rp ,α ⎜ f ,
≥
(
)
p
,
α
⎨
∑
ν
⎟
r
E (G ) ⎬
⎝ n + 1 ⎠ ( n + 1) ⎩ ν =1
⎭
+
(4.8)
olacak şekilde n den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır. Burada γ = max ( p, 2 ) dir.
İspat: f ∈ E p ,α ( G ) olsun. Önerme 4.1.1.4’den L ( f 0+ ) = f dir. Buradaki f 0+
fonksiyonu (4.1)’de tanımlanan fonksiyondur. Teorem 3.2.2.1’den
1 ⎞
1 ⎞
⎛
r ⎛ +
Ω rp ,α ⎜ f ,
⎟ = ω p ,α ⎜ f 0 ,
⎟
n +1 ⎠
⎝ n +1⎠
⎝
1/ γ
⎧ n γ r −1 γ +
⎫
ν Eν ( f 0 ) Lp ,α T ⎬
≥
r ⎨∑
( )
⎭
( n + 1) ⎩ν =1
c
olacak şekilde
n ’den bağımsız bir
c = c ( p, r , α ) > 0
, n∈
+
sabiti vardır.
(4.9)
Burada
γ = max ( p, 2 ) dir.
∞
f 0+ ∼ ∑ ak ( f 0+ )wk olsun. (4.2) ve (2.3) gösterimleri kullanılırsa
k =0
∞
f = L ( f 0+ ) ∼ ∑ ak ( f ) Fk
k =0
ve dolayısıyla
ν
L ( Sv+ , f 0+ ) ∼ ∑ ak ( f ) Fk
k =0
elde edilir. Burada Sv+ , f 0+ nın Taylor serisinin kısmi toplamıdır. Bunlarla birlikte L
49
operatörünün sınırlılığı da kullanılırsa
Eν ( f ) E p ,α ( G ) ≤ f − Sν ( f )
Lp ,α ( Γ )
= L ( f 0+ ) − L ( Sv+ , f 0+ )
≤ L f 0+ − Sv+ ( f 0+ )
≤ c L Eν ( f 0+ )
Lp ,α ( Γ )
Lp ,α (T )
(4.10)
Lp ,α (T )
bulunur.
(4.10) eşitsizliği (4.9)’ da kullanılırsa,
1
1 ⎞
c ⎧ n γ r −1 γ
⎫γ
⎛
ν Eν ( f ) E p ,α ( G ) ⎬ , n ∈
Ω rp ,α ⎜ f ,
≥
⎟
r ⎨∑
⎝ n + 1 ⎠ ( n + 1) ⎩ ν =1
⎭
+
elde edilir.
Aşağıdaki teorem Teorem 4.1.2.2’nin iyileştirmesidir.
4.2.1.2 Teorem: G ⊂
, (1.1) koşulunu sağlayan Γ eğrisiyle sınırlı basit
bağlantılı bölge olsun. f ∈ E p ,α ( G ) , 0 < α ≤ 2 ve p > 1 ise r ∈
+
için
1
⎫β
⎛ 1⎞ c ⎧ n
Ω rp ,α ⎜ f , ⎟ ≤ r ⎨∑ν β r −1 Eνβ ( f ) E p ,α (G ) ⎬ , n ∈
⎝ n ⎠ n ⎩ ν =1
⎭
+
olacak şekilde n den bağımsız bir c > 0 sabiti vardır. Burada β = min ( p, 2 ) dir.
50
(4.11)
İspat: L : H p ,α ( D ) → E p ,α ( G ) operatörü sınırlı, 1-1 ve örten olduğundan,
L−1 : E p ,α ( G ) → H p ,α ( D ) lineer operatörü de sınırlıdır.
f ∈ E p ,α ( G ) fonksiyonuna en iyi yaklaşan polinomlar Pν* ∈ Pν , ν ∈
+
, olsun.
Yani
Eν ( f ) E p ,α ( G ) = f − Pν*
L−1 ( Pν* ) ∈ Pν ( D ) , ν
Lp ,α ( Γ )
.
dereceli bir polinom olduğundan, L−1 operatörünün
sınırlılığı kullanılarak
Eν ( f 0+ )
H p ,α ( D )
≤ f 0+ − L−1 ( Pν* )
Lp ,α (T )
= L−1 ( f ) − L−1 ( Pν* )
≤ L−1 f − Pν*
Lp ,α (T )
Lp ,α ( Γ )
= L−1 Eν ( f ) E p ,α (G )
(4.12)
elde edilir.
(4.12), Teorem 3.2.2.2 ve Eν ( f 0+ )
alınırsa
1⎞
⎛ 1⎞
⎛
Ω rp ,α ⎜ f , ⎟ = ω pr ,α ⎜ f 0+ , ⎟
n⎠
⎝ n⎠
⎝
51
Lp ,α (T )
= Eν ( f 0+ )
H p ,α ( D )
eşitliği göz önüne
1
c ⎧ n
⎫β
≤ r ⎨∑ν β r −1 Eνβ ( f 0+ ) p ,α ⎬
L (T )
n ⎩ν =1
⎭
1
c L−1 ⎧ n β r −1 β
⎫β
≤
⎨∑ν Eν ( f ) E p ,α (G ) ⎬
r
n ⎩ ν =1
⎭
1
c ⎧ n
⎫β
≤ r ⎨∑ν β r −1 Eνβ ( f ) E p ,α ( G ) ⎬
n ⎩ν =1
⎭
bulunur.
52
5. SONUÇ
Bu çalışmada elde edilen yeni sonuçlar üçüncü ve dördüncü bölümlerde yer
almaktadır.
Üçüncü bölümde Morrey uzaylarında yaklaşım teorisinin düz ve ters teoremleri
ispatlanmış ve bu teoremlerin iyileştirmeleri elde edilmiştir.
Dördüncü bölümde ise Morrey-Smirnov sınıflarında yaklaşım teorisinin düz ve
ters teoremleri ispatlanmış ve bu teoremlerin iyileştirmeleri verilmiştir.
53
KAYNAKLAR
[1]
Stechkin, S. B., “On the order of approximation of continuous function”, Izv. 15
(1951), 219-242.
[ 2] Timan, M. F., “On Jackson’s Theorem in
Lp Spaces”, Ukrainian Math. J. 18 (1966),
134-137.
[3]
Timan A. F., Theory of Approximation of Functions of Real Variable, English
translation (1963), Pergamon Press, The MacMillan Co, Russian orginal published in
Moscow by Fizmatgiz (1960).
[ 4]
Timan, M. F., “Converse Theorems of the Constructive Theory of Function”, Mat.
Sborn. 46 (1958), 125-132.
[ 5]
Walsh, J. l. ve Russel H. C., “Integrated continuity conditions and degree of
approximation by polynomials or by bounded analytic functions”, Trans. Amer. Math.
Soc. 92 (1959), 355-370.
[6] Al’per, L. Y., “Approximation in the mean of analytic functions of class
E p ”, Gos.
Izdat. Fiz.-Mat. Lit. (1960), 272-286.
[7] Kokilashvili, V. M., “A direct theorem on mean approximation of analytic functions
by polinomials”, Soviet Math. Dokl. 10 (1969), 411-414.
[ 8]
Andersson, J. E., “On the degree of polynomial approximation in E p ( D ) ”, Journal
of Approximation Theory 19 (1) (1977), 61-68.
[9]
Israfilov, D. M., “Approximate properties of the generalized Faber series in an
integral metric”, Izv. Akad. Nauk Az. SSR, Ser. Fiz. Tekh. Math. Nauk 2 (1987), 10-14.
54
[10] Çavuş, A. ve Israfilov, D. M., “Approximation by Faber-Laurent rational functions
in the mean of functions of the class L p ( Γ ) with 1 < p < ∞ ”, Approximation Theory
App. 11 (1) (1995), 105-118.
[11]
Israfilov, D. M., “Approximation by p -Faber-Laurent rational functions in the
weighted Lebesgue spaces”, Czechoslovak Math. J. 54 (2004), 751-765.
[12]
Israfilov, D. M., “Approximation by p -Faber polynomials in the weighted
Smirnov class E p ( G, ω ) and the Bieberbach polynomials”, Constr. Approx. 17 (2001),
335-351.
[13]
Israfilov, D. M. ve Guven, A., “Approximation in Weighted Smirnov Classes”,
East J. Approx. 11 (2005), 91-102.
[14]
Guven A. ve Israfilov, D. M., “Improved Inverse Theorems in Weighted Lebesgue
and Smirnov Spaces”, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 14 (2007), 681-692.
[15] Duren, P. L., Theory of
[16]
H p Spaces, Academic Press, New York, (1970).
Warschawski, S. E., “Über das ranverhalten der Ableitung der Abildungsfunktion
bei konformer Abbildung”, Math. Z. (35) (1932), 321.
[17 ]
Böttcher, A. ve Karlovich, Y. A., Carleson Curves, Muckenhoupt Weights, and
Toeplitz Operators, 154, Proogress in Mathematics, Birkhauser Verlag, Cambridge,
(1997).
[18]
Bennett, C. ve Sharpley, R., Interpolation of Operators, Academic Press, New
York, (1988).
[19]
Duoandikoetxea, J., “Weights for maximal functions and singular integrals”,
NCTH 2005 Summer School on Harmonic Analysis in Taiwan.
[ 20] Zygmund, A., Trigonometric Series, Volume I, Cambridge, (1959).
55
[ 21]
Goluzin, G. M., Geometric Theory of Functions of a Complex Variable,
Translation of Mathematical Monographs, 26, AMS, Providence, (1969).
[ 22] Suetin, P. K., Series of Faber Polinomials, Gordan and Breach, Australia, (1998).
[ 23]
Coifman, R. ve Rochberg, R., “Another characterization of BMO”, Proc. Amer.
Math. Soc. 79 (1980), 249-254.
[ 24] Ky, N. X., “On approximation by trigonometric polynomials in
Lup -spaces”, Studia
Sci. Math. Hungar 28 (1993), 183-188.
[ 25]
Devore, R. A. ve Lorentz, G. G., Constructive Approximation, Springer-Verlag,
Berlin, Heidelberg, New York, (1993).
[ 26]
Kurtz, D. S., “Littlewood-Paley and Multiplier Theorems on Weighted Lp
Spaces”, Trans. Amer. Math. Soc. 259 (1980), 235-254.
[ 27]
Hunt, R., Muckenhoupt, B. ve Wheeden, R., “Weighted Norm Inequalities for the
conjugate Function and Hilbert Transform”, Trans. Amer. Math. Soc. 176 (1973), 227251.
[ 28] Dyn’kin, E. M. ve Osilenker, B. P., “Weighted estimates for singular integrals and
their applications”, Mathematical Analysis, Moscow: Akad Nauk SSSR, Vsesoyuz. Inst.
Nauchn. i Tekhn. Inform. 21 (1983), 42-129.
[ 29]
Muckenhoupt, B., “Weighted norm inequalities for the Hardy maximal function”,
Trans. Amer. Math. Soc. 165 (1972), 207-226.
[30] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation, Birkhauser-Verlag (1987).
[31]
Israfilov, D. M. ve Tozman, N. P., “Approximation by polynomials in Morrey-
Smirnov classes”, East J. Approx., 14 (3) (2008), 255-269.
[32]
Israfilov, D. M. ve Tozman, N. P., “Approximation in Morrey-Smirnov classes”,
yayına sunuldu.
56
[33]
Israfilov, D. M. ve Tozman, N. P., “Improved Direct and Inverse Theorems in
Morrey Spaces”, yayına sunuldu.
[34]
Haciyeva, E. A., “Investigation of the properties of functions with quasimonotone
Fourier coefficients in generalized Nikolskii-Besov spaces”, Author’s summary of
candidate dissertation, Tbilisi, (1986).
[35]
Charenza, F. ve Frasca, M., “Morrey spaces and Hardy-Littlewood maximal
function”, Rend. Math. 7 (1987), 273-279.
57