Slide 1 - Ninova

Gram-Schmidt Yöntemi
Ortonormal vektörler kolaylık sağladığına göre
verilen herhangi bir vektör kümesini ortonormal
vektörlere dönüştürebilir miyiz?
Lineer
özelikleri ne?
bağımsız
v1 , v2 ,...., vn verilmiş olsun, nasıl q1 , q2 ,...., qn ‘ları elde ederiz
Doğrultusu v1 ile aynı,
boyu da 1
v1
Kolay olan q1’i bulmak: q1 
v1
q2, q1’e dik olmalı:


Bu neye karşı
düşüyor?
vˆ2  v2  q1 v2 q1 V2’nin q1
Peki, neden
çıkarıyoruz
T
doğrultusunda ki
bileşenine
vˆ2  q1
Ancak ortonormal vektörler kümesine
katılması için boyunun 1 olması gerek
vˆ2
q2 
vˆ2
q1,q2 var q3’ü oluşturalım: vˆ3  v3  q1T v3 q1  q2T v3 q2
vˆ3  q1 , vˆ3  q2
vˆ3
q3 
vˆ3
Diklik sağlandı birim
olma da sağlanmalı
Benzer şekilde…..

 



vˆn  vn  q v q1  q v q2  ... q v qn 1
vˆn
qn 
vˆn
T
1 n
T
2 n
T
n 1 n
Hep Rn’ deydik fonksiyon uzayında neler oluyor
acaba?
Önce R∞ ’a dikkat edelim: Nasıl vektörlerden oluşuyor?
Sonsuz bileşenli vektörlerden
 v1 
v 
 2
 v3 
 
v . 
 . 
 
 . 
 . 
 
özel olarak boyu sonlu olanlar ile ilgileneceğiz….
2
v  v12  v22  v32  ....  ....
lim v
2
1
n 

 v22  v32  ...  vn2  ...  c
Boyutu sonsuz olup da boyu sonlu olan vektörlerin
oluşturduğu vektör uzayı …..
Özellikle de ilgilendiğimiz uzayın elemanları [a, b] aralığında
tanımlı fonksiyonlar olsun….
Bu vektörlerin boyunu belirtmek için öncelikle bir
norm tanımlayalım:
b
f ( x)    f ( x)  dx
2
2
a
Bir de iç çarpım tanımlayalım…..
b
f ( x), g ( x)   f ( x) g ( x)dx
a
Böylece tanımladığımız norm ve iç çarpım, iç çarpım ve
normdan beklediğimiz her şeyi sağlıyor
Acaba sonsuz boyutlu fonksiyonlar uzayında sinx ve cos x’den
yararlanarak bir baz tanımlanabilinir mi?
Bu durumda fonksiyonlar x  0,2  aralığında tanımlı sin(kx)’ler
ve cos(kx)’ler olsun k=0,1,2,3,…..
Önce norm tanımına bakalım…..
f ( x)  
2

2
2
0
0

2
 f ( x) dx
2
sin x  dx
Sonra da iç çarpım tanımına……
2
f , g ˆ
 f ( x) g ( x)dx
0
2
  sin x cos x dx
0
0
Bunlara bakarak ne önerebilirsiniz……..
Fourier Serisi
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
f ( x), 2 periyotlu bir fonksiyon olsun

f ( x)  a0   an cos nx  bn sin nx 
n 1
f ( x)  a0  a1 cos x  b1 sin x  a2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ....
Nasıl belirleriz?
Ortonormal bazın bize sağladığı bir kolaylık…..
q1 , q2 ,...., qn  V vektör uzayının ortonormal qi
vektörlerinden oluşmuş bir bazı olsun. v V ise
v  1q1   2 q2  ...   n qn şeklinde yazılır
 i ‘leri
Ortonormal baz işte burada kolaylık sağlayacak
biliyorsak
v  1q1   2 q2  ...   n qn
1
0
0
q1 v  1q1 q1   q q2  ...   q qn
T
T
1  q1T v
T
2 1
T
n 1
Ortonormal baz!!!
ortonormal bazları biliyoruz…..
f ( x)  a0  a1 cos x  b1 sin x  a2 cos 2 x  b2 sin 2 x  ...
b1 ‘i bulmak için ne önerirsiniz?
f ( x), sin x
0
2
0
2
2
2
0
0
0
  a0 sin xdx   a1 cos x sin xdx   b1 sin 2 xdx   a2 cos 2 x sin xdx  ....
0
0
2
b1 
 sin x
0
2
f ( x)dx
 sin x sin xdx
0

f ( x), sin x
sin x, sin x
sinüs ve cosinüs’den başka fonksiyonlar yok mu?
Mesela 1,x,x2 bu çok terimliler ile de ortonormal baz
tanımlayabilir miyiz?
Lineer bağımsızlar ancak ortogonal oldukları
bir aralık yok
Nedir bu yol?
Ama ortogonal kılmanın bir yolunu biliyoruz
Gram-Schmidt
aralık [-1,1] ve v1 =1 olsun
Neden bu aralık?
1
1, x   x dx  0
1
1
x, x 2   x 3 dx  0
1
Gram-Schmidt’i uygulayalım
v1  1
v2  x
Ortonormaller mi?
v1  v2
1
v3  x 
2
1, x 2
1, 1
1
x, x 2
x, x
xx 
2
2
x
 dx
1
1
 1dx
1
x 
3
2
1
Legendre çokterimlilerini elde etmiş olduk
1752-1833
Spektral Teori
Spectrum:
Spektral Teori ters dönüşümler bunların genel özellikleri ve asıl
dönüşümlerle ilişkisini inceler.
Sonlu Boyutlu, Normlu Uzaylarda Spektral Teori
X , , dim X  n, T : X  X , T lineer
Bu durumda dönüşümü nasıl
ifade ediyoruz?
Bu ifade neye bağlı?
Sonlu Boyutlu, Normlu Uzayda Lineer Dönüşüm ile Neler Yapılabilir?
http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvector#Examples_in_the_plane
Lineer Operatör
Hatırlatma
T , lineer operatördür (1) D(T ) bir vektör uzayıdır
R (T ) aynı cisim üzerinde tanımlanmış bir
vektör uzayıdır.
(2) x, y  D (T ),   K
T (x  y)  Tx  Ty 
T ( x  y )  Tx  Ty
T (x)  Tx
Teorem Değer Bölgesi ve Sıfır Uzayı
NU12
T , lineer operatördür  (i) R(T ) bir vektör uzayıdır
(ii) dim D(T )  n    dim R(T )  n
(iii) N (T ) bir vektör uzayıdır
Hatırlatma
Teorem Ters Operatör
NU13 T : D(T )  Y ,
lineer operatördür
D(T )  X , R(T )  Y  (i) T 1 : R(T )  D(T )vardır  Tx  0  x  0
(ii) T 1 varsa, lineer operatördür
Sınırlı Lineer Operatör
X , , (Y ,
) D(T )  X T : D(T )  Y lineer operatör
T , sınırlı operatördür c  R, x  D(T ),  Tx  c x
Özdeğer, Özvektör, Karakteristik Uzay, Spektrum, Çözücü Küme
A R
nn
(C
nn
) olmak üzere, Ax  x
(1)
Bu eşitliği daha önce nerede
görmüştünüz? Anlamı nedir?
x  0 olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan  , A matrisine ilişkin özdeğerdir.
x  0 olmak üzere (1) eşitliğini sağlayan  ‘ya ilişkin x vektörü özvektördür.
özdeğerine ilişkin özvektörler ve sıfır vektörü A ‘nın  özdeğerine ilişkin
karakteristik uzayını oluşturur .
A ‘nın tüm özdeğerlerinin oluşturduğu  ( ) kümesi A ‘nın spektrumudur.

Spektrumun C ‘ye göre tümleyeni olan  ( ),
A ‘nın çözücü kümesidir.
Bir matrisin özdeğerleri ve özvektörlerini bulmak için ne yapıyorduk?
Ax  x
[ A  I ]x  0
x Hangi uzayın elemanı?
 Karakteristik çok terimlinin sıfırıdır.
p( ) ˆ det[ A  I ]
Bu sonuçları sonlu boyutlu, normlu vektör uzayında tanımlanmış lineer
operatöre nasıl uygulayacağız?
Teorem
ST1
X , , dim X  n, T : X  X , T lineer
X ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris
gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır.
Tanıt
e  e1 , e2 ,..., en 
e~  e~ , e~ ,..., e~ 
1
2
Herhangi iki baz
n
e~k  e1c1k  e2c2 k  ...  en cnk
e~k  e1 e2
 c1k 
 c11
c 
c
2k 
21

~

... en nn
 e  e1 e2 ... en nn
 ... 

 

cnk  n1
cn1
c12 ... c1n 

c22 ... c2 n 

....

cn 2
cnn  nn
e~  e1 e2
 c11
c
... en nn  21


cn1
Nasıl bir matris?
c12 ... c1n 

c22 ... c2 n  e~  eC e~T  C T eT

....

~x  eCx
ex

e
cn 2
cnn  nn
1
2
2
x1  Cx2
n
n
j 1
j 1
~~
~
x  X , x  ex1   j e j e x2   j e j
Tx  y  ey1  e~y2
T
 y1  Cy2
Dönüşümünün her iki baza göre ifade edildiği matrisler T1 , T2 olsun
y1  T1x1
y2  T2 x2
CT2 x2  Cy2  y1  T1x1  T1Cx2
CT2 x2  T1Cx2  CT2  T1C  T2  C 1T1C
Göstermemiz gereken neydi?
X ‘deki farklı bazlar için ele alınan lineer operatörün tüm matris
gösterimlerinin özdeğerleri aynıdır.
Özdeğerleri hesaplayalım
det(T2  I )  det( C 1T1C  I )
 det(C 1T1C  C 1C )
 det(C 1 (T1  I )C )
 det(C 1 ) det(T1  I ) det(C )
 det (T1  I )
Bu teoremden yararlanarak benzer matrisler için ne diyebiliriz?
????
Teorem
ST2
X , , dim X  n, T : X  X , T Lineer operatörünün en az
bir özdeğeri vardır.
T
Boyut sonlu değilse
X  0, ( X ,
), T : D(T )  X , D(T )  X T lineer
T ̂ T  I
Kompleks bir sayı
T ‘nın tersi varsa
D (T ) ‘de birim operator
R (T ) 
ˆ T
1
 (T  I ) 1
Olağan değer, Çözücü Küme , Spektrum
X  0, ( X ,
), T : D(T )  X , D(T )  X T lineer
T ‘nin olağan değeri 
kompleks bir sayıdır 
R (T ) var
R (T ) sınırlı
R (T ), X ‘de yoğun olan bir kümede tanımlı
‘nın tüm olağan değerlerinin oluşturduğu  (T ) kümesi T ‘nin çözücü kümesidi
ˆ C   (T ),
Çözücü kümenin tümleyeni  (T ) 
T
‘nin spektrumudur.
   (T ), T ‘nin spektral değeridir.
 (T ) spektrum üç ayrık kümeye ayrılır:
 p (T ) ayrık spektrum R (T ) yok ve    p (T ), T‘nin öz değerleridir.
 c (T ) sürekli spektrum R (T ) var ve X ‘de yoğun küme.
 r (T ) artık spektrum R (T ) var ancak X ‘de yoğun küme değil.
C   (T )   (T )
  (T )   p (T )   c (T )   r (T )
Teorem Ters Operatör
NU13 T : D(T )  Y ,
lineer operatördür
Hatırlatma
D(T )  X , R(T )  Y  (i) T 1 : R(T )  D(T )vardır  Tx  0  x  0
(ii) T 1 varsa, lineer operatördür
R (T ) varsa lineerdir
Teorem
ST3
X ilgili cisimin kompleks sayılar olduğu bir Banach Uzayı
T : X  X , T Lineer operatör ve    (T ) T kapalı, T sınırlı
R (T ) tüm X ‘de tanımlı ve sınırlı.
X ,C,  Banach ve T
sınırlı, lineer operatör
T  B(X,X)
Teorem T  B(X,X)
ST4
T  1  ( I  T ) 1 Tüm X ‘de sınırlı, lineer operatör
olarak vardır ve
( I  T ) 1 


T j  I  T  T 2  ...
j 1
Teorem
ST5
T  B(X,X)   (T ) vardır ve açık kümedir
 (T ) vardır ve kapalı kümedir
Teorem
ST6
T  B(X,X) 0   (T ), R (T ) ‘nin gösterimi

R 
j
j 1





R
 0 
0
j 1
Bu gösterim, kompleks düzlemde
  0 
1
R0
Çemberindeki her

için yakınsaktır ve bu çember  (T ) ‘nın alt kümesidir.