x y İVME HIZ KONUM VEKTÖRÜ

Parçacığın bir uzay eğrisi boyunca hareket etmesi halinde daha önce
düzlemsel hareket için doğal koordinatlar kullanılarak çıkarılan formüller
geçerlidir. Fakat bir uzay eğrisine üzerindeki

 herhangi bir noktadan çizilmiş
teğete sonsuz sayıda dik çıkılabilir. et ve et ' vektörlerini doğrultularına sadık
kalarak aynı başlangıca taşırsak şekildeki gibi taralı bir düzlem belirlenir. P’ nin
hemen civarındaki eğrisel yörünge parçası da bu düzlem içindedir. P’ nin yakın
komşuluğunda eğriye en iyi uyan bu düzleme “oskülatör düzlem” denir.

en de bu düzlemdedir. P’deki hız ve
ivme vektörleri de bu düzlemde yer
alır. Ortogonal birim vektör takımını
doğal koordinatlarda tamamlamak
üzere P noktasında

 
eb  et  en
tarafından tanımlanan 3. birim vektör yazılır ve
bu birim vektöre “binormal birim vektör”
denir.
İvmenin binormal bileşeni yoktur.


v  vet

 v2 
a  vet  en

Genel üç boyutlu harekette normal – teğetsel
koordinat takımı eğri üzerinde her noktada
ve her anda değiştiği için bu koordinat
takımını kullanmak çoğunlukla uygun
olmayabilir.
Üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi iki
boyutlu sisteme benzerdir, yalnızca z
koordinatı
 eklenmiştir. z yönündeki birim 
vektör k ‘dır. Buna göre konum vektörü R ,


hız vektörü v ve ivme vektörü a şöyle
tanımlanır:
KONUM VEKTÖRÜ


 
R  xi  yj  zk
HIZ

 
 
v  R  x i  y j  zk
İVME

 
  
a  v  R  xi  yj  zk
y
x
İki boyuttaki polar koordinatlara yalnızca z
koordinatı ve onun iki zaman türevi
 eklenmiştir.
z yönündeki birim vektör yine k ‘dır
 ve hem
şiddet hem de yön olarak sabittir. k sabit


olduğundan er ve eq , z koordinatından
bağımsızdır; konum, hız ve ivmenin r ve q
bileşenleri polar koordinatlardakiler ile aynıdır, z
bileşenleri ise Kartezyen koordinatlardakiler ile
aynıdır.
KONUM VEKTÖRÜ



R  rer  zk
HIZ





v  rer  rq eq  zk
vr  r , vq  rq ,
v z  z
v  vr2  vq2  v z2
İVME



2 




a  r  rq er  rq  2 rq eq  zk
ar  r  rq 2 , aq  rq  2 rq ,

 
a  ar2  aq2  a z2

a z  z
Küresel koordinat sistemi parçacığın yörüngesini
radyal R mesafesi ve q ve f açıları ile tanımlar. q
düzleminden olan uzaklık f açısı ile verilir, yani f,

konum vektörü
ile q düzlemi arasındaki açıdır. eR ,


eq ve ef birim vektörleri birbirine diktir ve
pozitif yönleri koordinatların arttığı yönlerdir.

eR birim vektörü, R’nin artıp q ve f ‘nin sabit
kaldığı yönü işaret eder. Diğer iki birim vektör de
benzer şekilde tanımlanır.
HIZ




v  vR eR  vq eq  vf ef
vR  R , vq  Rq cos f ,
vf  Rf
v  vR2  vq2  vf2
İVME




a  a R eR  aq eq  af ef
  Rf 2  Rq 2 cos 2 f
a R
R
cos f d 2 
R q  2 Rqf sin f
R dt
1 d 2
af 
R f  Rq 2 cos f sin f
R dt
aq 
 
 
a  aR2  aq2  af2
Küresel koordinat sistemi en sıklıkla uçak ve
uzay araçlarının konumlarının radar ile
gözlemlerinde ve robot kollarının konum ve
hareketlerinin tanımında kullanılır.
Koordinat sistemlerinin birbirleri arasında
hız ve ivme ifadelerinin lineer cebirsel
dönüşümleri mümkündür. Bu dönüşümler
matris veya bilgisayar programları yoluyla
yapılabilir. Bu dönüşümler burada ele
alınmayacaktır.