Doğrusal Dönüşümler(YENİ)

7. BÖLÜM
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Bir V vektör uzayını bir başka W vektör uzayına dönüştüren fonksiyonlar
şu şekilde gösterilir:
T :V  W
Burada kullanılan terminoloji fonksiyonlarla aynıdır. Örneğin, V vektör
uzayına T fonksiyonunun tanım kümesi denir. Eğer v vektörü, V vektör
uzayının elemanı ve w vektörü de W vektör uzayının elemanı ise
T v   w
w vektörü, T fonksiyonu için v vektörünün görüntüsüdür. V uzayında tanımlı
tüm v vektörlerine T fonksiyonunun tanım kümesi, T v   w şeklinde tanımlanmış
w vektörlerine de görüntü kümesi denir.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Örnek:
 2 de
tanımlı herhangi bir v   v1 , v2  vektörü için
T : 2  2
tanımlanmıştır:
T  v1 , v2    v1  v2 , v1  2v2 
a) v   1, 2  vektörünün görüntü kümesini
b) w   1,11 vektörünün tanım kümesini bulunuz.
şu şekilde
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Çözüm:
a) v   1, 2  için,
T  1, 2    1  2, 1  2  2  
  3,3
b) Eğer T  v1 , v2    v1  v2 , v1  2v2    1,11 ise
v1  v2  1
v1  2v2  11 olur.
Bu denklem sisteminin tek çözümü v1  3 ve v2  4 ‘tür. Bu durumda  1,11 ’in R2’deki
tanım kümesi  3, 4  ‘tür.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Tanım: Doğrusal Dönüşüm
V ve W birer vektör uzayı olmak üzere,
T :V  W
fonksiyonu aşağıdaki özellikleri her bir u ve v için sağladığında V vektör uzayını
W vektör uzayına dönüştüren bir doğrusal dönüşümü tanımlar:
a.
b.
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(cu)=cT(u) , tüm c   için.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
T(cu)=cT(u)
T(u+v)=
u+v
T(u)
cT(u)
v
T(u)+T(v)
u
T(v)
Yukarıdaki iki koşul birleştirilerek,
T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)
şeklinde doğrusal olma koşulu olarak ifade edilebilir.
T(u)
u
cu
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Örnek: T, vektörlere u0 ekleyen bir dönüşüm olsun. Bu dönüşüm doğrusal mıdır?
Çözüm:
T(u)=u+ u0
T(v)=v+ u0
olup, V uzayında
T(u+v)= u+v+ u0
ve W uzayında
T(u)+ T(v)= u+ u0+ v+ u0
olur ve doğrusallık şartı sağlanmaz.
Sıfır Dö üşü -Biri
Dö üşü
Teorem:
İki vektör uzayı V ve W için, T : V  W dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
T  v   0 , tüm v V için
Bu durumda T bir doğrusal dönüşümdür ve sıfır dönüşümü olarak adlandırılır.
Teorem:
Bir vektör uzayı V için T : V  V dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
T  v   v , tüm v V için
Bu durumda T bir doğrusal dönüşümdür ve V uzayının birim dönüşümü olarak adlandırılır
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Doğrusal Dönüşümün Özellikleri:
T : V  W ve u ile v, V’de tanımlı birer vektör olmak üzere, doğrusal dönüşüm T
şu özellikleri sağlamaktadır:
1.
T 0  0
İspat: T 0  T 00  0T 0  0 T  0   T  0 v   0T  v   0
2.
T ( v)  T ( v)
İspat: T   v   T
3.
 1 v    1 T  v   T  v 
T u  v   T u   T  v 


İspat: T  u  v   T u   1 v  T  u   T  v 
4. Eğer v  c1v1  c2 v 2 
 cn v n ise,
T  v   c1T  v1   c2T  v 2  
 cnT  v n 
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
Bir A matrisi, bir x vektörüyle çarpıldığında bu işlem x’i
bir başka vektör Ax’e dönüştürür. İşlemin girdisi x
vektörü, çıktısı Ax vektörüdür. Bu dönüşüm işleminin
mantığı fonksiyonlarla aynıdır. Fakat burada amaç tüm x
vektörlerindeki değişimi görmektir. Her bir x vektörü, A
matrisi ile çarpılarak aslında x vektörünün tanımlı olduğu
tüm uzay dönüştürülmüş olur.
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
Boyutlu m×n olan bir A matrisi ele alınsın. Aşağıdaki gibi tanımlanan bir T fonksiyonu,
T v   Av
 n ’den m ’e bir doğrusal dönüşümdür. Burada m×n boyutlu bir matrisle çarpım
kuralı dikkate alınarak  n uzayındaki vektörler n×1 boyutlu, m uzayındaki vektörler de
m×1boyutlu vektörlerle temsil edilmektedir.
m×n boyutlu sıfır matrisi  n ’den m ’e sıfır dönüşümünü, n×n boyutlu birim matris de
 n ’den  n ’e birim dönüşümü tanımlamaktadır.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Teorem:
Bir A matrisinin boyutu m×n olmak üzere, verilen bir v vektörü için,
 v1 
v 
v   2  n
 
 
vn 
 v1 
v 
T  v   Av  A  2 
 
 
vn 
şeklinde tanımlanan bir T dönüşümü n ’den  m ’e tanımlı bir doğrusal dönüşümdür.
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
İspat:
u, v n ve c bir skaler olmak üzere, matris çarpımları ile ilgili özellikler kullanılarak;
T u  v   A u  v   A u   A  v   T u   T  v 
ve
T  cu   A  cu   cA  u   cT  u 
olur.
Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
u   a
u   a
 
  
  
u  a
1
11
a
2
21
a
n
m1
12
22

a
m2
 a  v   a v  a v    a v
 a  v   a v  a v    a v
   
     

  
 a  v   a v  a v    a v
1n
1
11 1
12
2
1n
n
2n
2
21 1
22
2
2n
n
mn
n
m2
2
mn
’de
bir vektör
m1
1
’de
bir vektör
n






Bir Matris ile Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü
ya da
u  a v  a v  a v
1
11 1
12
1n
2
n
u  a v  a v  a v
2
21 1
22
2n
2
n

u  a v  a v  a v
m
m1
m2
1
2
mn
n
Burada u ’ler v ’lerin doğrusal birer fonksiyonudur.
i
j
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Örnek: Bir doğrusal dönüşüm T : n  m , T v   Av şeklinde tanımlanmıştır.
Buna göre aşağıdaki matrisler için doğrusal dönüşümün boyutlarını bulunuz.
 0 1 1


a) A  2 3 0


 4 2 1 
 2 3


b) A  5 0


 0 2 
1 0 1 2
c) A  

3 1 0 0 
DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER
Çözüm:
a) Matrisin boyutu 3×3 olduğu için bu dönüşüm 3 ‘ten 3 ’e tanımlıdır.
0 1 1  v1   u1 
Av   2 3 0  v2   u2 
 4 2 1   v3   u3 
R 3 ’te
R 3 ’te
bir vektör
bir vektör
b)Matrisin boyutu 3×2 olduğu için bu dönüşüm  2 ‘den 3 ’e tanımlıdır.
c)Matrisin boyutu 2×4 olduğu için bu dönüşüm  4 ‘den  2 ’e tanımlıdır.
Örnek: Doğrusal dönüşüm tanımlamayan bazı fonksiyonlar
a. f  x   sin x ,  ’den  ’ye doğrusal bir dönüşüm değildir.
Çünkü sin  x  x   sin x  sin x . Örneğin,
sin  2   3  sin  2  sin  3
b. f  x   x ,  ’den  ’ye doğrusal bir dönüşüm değildir.
1
2
1
2
2
Çünkü  x  x   x  x
c. f  x   x  1,  ’den  ’ye doğrusal bir dönüşüm değildir.
Çünkü
f x  x   x  x  1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
Burada
f  x   f  x    x  1   x  1  x  x  2
1
2
1
2
Böylece
f x  x   f x   f x .
1
2
1
2
1
2
Matrislerle Ta ı la a Doğrusal
Dö üşü ler
A matrisinin boyutu m×n olsun. Aşağıdaki gibi tanımlanan T
fonksiyonu
T v   Av
 ’den  ’ye doğrusal bir dönüşümdür.
n
m
 Bir Noktanın Dönüşümü
Aşağıdaki A matrisi ile tanımlanan T :    dönüşümü
2
cos
A
 sin 
2
 sin  
cos 
 ’de tanımlı tüm vektörleri, orijine göre saat yönünün tersine
θ açısı kadar döndürme özelliğine sahiptir.
2
İspat: T doğrusal bir dönüşümdür. v   x, y  vektörü de  ’de tanımlı olsun. Kutupsal
koordinatlar kullanılarak v vektörü
2
v   x, y 
 r cos , r sin  
şeklinde ifade edilebilir. Burada r, v vektörünün uzunluğu ve α ise pozitif x-ekseni ile v
vektörü arasındaki saat yönünün tersi olan açıdır. Doğrusal dönüşüm T, v vektörüne
uygulanarak,
T v   Av
cos

 sin 
 sin    x 
cos   y 
cos

 sin 
 sin   r cos  
cos   r sin  
r cos cos   r sin  sin  


r sin  cos   r cos sin  
r cos   


 r sin    
elde edilir.
T(v) vektörünün uzunluğu v vektörü ile aynıdır. Pozitif x-ekseni ile T(v) arasındaki açı
θ+α
olduğu için T(v) dönüşümü aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi v vektörünün θ açısı
kadar saat yönünde döndürülmesini sağlar.
 Bir Noktanın İzdüşümü
Aşağıdaki A matrisi ile gösterilen T :    dönüşümüne
3
3
1 0 0
A  0 1 0 


0 0 0
 ’te izdüşüm denir. Eğer v   x, y, z   ’te bir vektör ise
T v    x, y,0’dır. Bir başka deyişle, T dönüşümü  ’te
tanımlı her bir vektörün xy-düzlemine dik izdüşümünü
almaktadır.
3
3
3
 Matrisin Transpozu
T :M
m ,n
M
n ,m
fonksiyonu, boyutu m×n olan A matrisini
transpozuna atayan bir fonksiyon olsun.
T A   A
T
Burada T doğrusal bir dönüşümdür.
İspat: A ve B boyutları m×n olan iki matris olsun.
T A  B  A  B  A  B  T A   T B
T
T
T
ve
T cA   cA   cA   cT A 
T
T
olur. Böylece T, M ’den M ’ye doğursal bir dönüşümdür.
m ,n
n ,m
Doğrusal Dö üşü ü Çekirdeği ve
Görüntüsü
Herhangi bir doğrusal dönüşüm T : V  W için V’deki sıfır
vektörü W’daki sıfır vektörüne atanmaktadır. Bir başka
ifadeyle T 0  0 . Burada akla gelen ilk soru T v   0
koşulunu sağlayan başka v vektörlerinin bulunup
bulunmadığıdır. Bu yapıdaki tüm bileşenlerin tamamına T’nin
çekirdeği denir.
Tanım: Bir Doğrusal Dönüşümün Çekirdeği
T : V  W bir doğrusal dönüşüm olsun. V’de T v   0
koşulunu sağlayan tüm v vektörleri kümesine T’nin çekirdeği
denir ve ker(T) ile gösterilir.
Örnek: Boyutu 3×2 olan bir A matrisini transpozuna atayan
T : M  M dönüşümünü çekirdeğini bulunuz.
3, 2
2,3
Verilen bu doğrusal dönüşüm için M3,2’de 3×2 boyutlu sıfır
matrisi transpozu M2,3’te yine sıfır matrisi olan yegane
matristir. Böylece T’nin çekirdeği M3,2’de yer alan sıfır
matrisidir.
Örnek:
a. T : V  W sıfır dönüşümünün çekirdeği V’den
oluşmaktadır. Çünkü V’deki tüm v vektörleri, T v   0
koşulunu sağlamaktadır. Böylece ker(T)=V olur.
b. T : V  W birim dönüşümünün çekirdeği sadece sıfır
vektöründen oluşmaktadır. kerT   0
Örnek: T  x, y, z    x, y,0 ile gösterilen izdüşüm T :    ’ün
çekirdeğini bulunuz.
3
3
Bu doğrusal dönüşüm  ’te bir vektör olan (x,y,z)’yi xy-eksenindeki
(x,y,0) vektörüne iz düşürmektedir. Bu durumda çekirdek, z-ekseninde
yer alan tüm vektörlerden oluşmaktadır.
3
kerT   0,0, z  : z bir reel sayidir 
Teorem: Çekirdek V’nin bir alt uzayıdır
T : V  W doğrusal dönüşümünün çekirdeği, V tanım
kümesinin bir alt uzayıdır.
İspat: ker(T)’nin, V’nin boş olmayan bir altkümesi olduğu
bilinmektedir. Bu durumda ker(T)’nin V’nin alt uzayı olduğu,
vektörlerin toplamı ve skaler çarpımı altında kapalılığı ile
ispatlanabilir. u ve v, T’nin çekirdeğinde yer alan iki vektör
olsun. O halde T u  v   T u   T v   0  0  0 sonucu elde
edilir ki bu u+v’nin çekirdekte yer aldığını göstermektedir.
Aynı zamanda c bir skaler olmak üzere T cu   cT u   c0  0
’dır. cu da çekirdekte yer almaktadır.
Teorem: T :    , T x   Ax ile verilen doğrusal bir
dönüşüm olsun. Bu durumda T’nin çekirdeği Ax  0 denklem
sisteminin çözüm uzayına eşittir.
n
m
Doğrusal Dö üşü ü Görü tüsü
Çekirdek, bir doğrusal dönüşümle alakalı iki kritik alt uzaydan
bir tanesidir. Diğeri ise görüntüdür ve range(T) ile gösterilir.
T : V  W dönüşümünün görüntüsü, V’deki vektörleri
görüntüleyen W’daki tüm w vektörlerinin kümesidir.
rangeT   T v  : v, V ' de yer almaktadir 
Teorem: T’nin görüntüsü W’nun alt uzayıdır.
T : V  W doğrusal dönüşümünün görüntüsü, W’nun alt uzayıdır.
İspat: T’nin görüntüsü boş küme değildir. Çünkü T 0  0 ile,
görüntünün sıfır vektörünü içerdiği anlaşılmaktadır. Vektör toplamı
altında kapalılığını göstermek için, T u  ve T v  T’nin görüntüsünde
yer alan iki vektör olsun. u ve v, V’de yer aldıkları için u+v de V’de yer
alır. Böylece
T u   T v   T u  v 
toplamı T’nin görüntüsündedir.
Skaler çarpım altında kapalılığı göstermek için T u  , T’nin
görüntüsünde yer alan bir vektör ve c bir skaler olsun. u, V’de yer aldığı
için cu da V’de yer alır. Böylece cT u   T cu  , T’nin görüntüsünde yer
alır.
Not: T : V  W doğrusal dönüşümünün çekirdeği ve
görüntüsü sırasıyla V ve W’nun alt uzaylarıdır.
Tanım
Kümesi
Çekirdek
Görüntü
Teorem: T :    , T x   Ax ile verilen doğrusal bir
dönüşüm olsun. A matrisinin sütun uzayı, T’nin görüntüsüne
eşittir.
n
m
Doğrusal Dö üşü ü Ra kı ı ve
Boşluğu u Ta ı ı
T : V  W bir doğrusal dönüşüm olsun. T’nin çekirdeğinin
boyutuna boşluk denir ve nullity T  ile gösterilir. T’nin
görüntüsünün boyutuna rank denir ve rankT  ile gösterilir.
Teorem: Rank ve boşluğun toplamı
T : V  W , n-boyutlu vektör uzayı V’den W vektör uzayına
tanımlı doğrusal bir dönüşüm olsun. Bu durumda görüntü ve
çekirdeğin boyutlarının toplamı, tanım kümesinin boyutuna
eşittir.
rank(T) + nullity(T) = n
ya da
boyut(görüntü) + boyut(çekirdek) = boyut(tanım kümesi)
İspat: T dönüşümü, boyutu m×n olan bir A matrisi ile
tanımlansın. A matrisinin rankı r olmak üzere,
rank(T) = boyut(T’nin görüntüsü) = boyut(sütun uzayı) =
rank(A) = r
Aynı zamanda,
nullity(T) = boyut(T’nin çekirdeği) = boyut( Ax  0 ’ın çözüm
uzayı) = n – r
Böylece,
rank(T) + nullity(T) = r + (n – r) = n
Bire Bir ve Örte Doğrusal
Dö üşü ler
Bu bölümde cevaplanması gereken ilk soru: doğrusal bir
dönüşümün tanım kümesinde yer alan ne kadar vektörün sıfır
vektörüne atandığıdır. Eğer sıfır vektörü sadece T v   0 olan
v vektörü ise, T bire birdir. T : V  W fonksiyonu, aşağıdaki
şekilde de gösterildiği gibi görüntü kümesinde yer alan her bir
w vektörünün ön görüntüsü tek bir vektörden oluştuğu
durumlarda bire birdir. Aynı zamanda buna denk olarak, T
sadece ve sadece V’de yer alan tüm u ve v için T u   T v  ile
u = v geçerli ise bire birdir.
Bire bir
Bire bir değil
Teorem: Bire bir doğrusal dönüşümler
T : V  W doğrusal bir dönüşüm olsun. T sadece ve sadece kerT   0
ise bire birdir.
İspat: T’nin bire bir olduğu varsayılsın. O halde T v   0 ’ın tek çözümü
v  0 ’dır. Bu durumda kerT   0 olur. Ters mantıkla, kerT   0 ve
T u   T v  olsun. T doğrusal bir dönüşüm olduğu için,
T u  v   T u   T v   0
Buna göre u – v, T’nin çekirdeğinde yer almaktadır ve 0’a eşit olmalıdır.
Bu durumda u = v ve T de bire bir olmalıdır.
Bir T : V  W fonksiyonu, W’daki her eleman V’de bir ön görüntüye
sahip olduğunda örtendir. Bir başka deyişle T, W üzerine W, T’nin
görüntüsüne eşit olduğunda örtendir.
Teorem: Örten Doğrusal Dönüşümler
T : V  W doğrusal bir dönüşüm ve W’nun boyutu sonlu olsun. Bu
durumda T, rankı W’nun boyutuna eşit olduğunda örtendir.
Teorem: Bire bir ve Örten Doğrusal Dönüşümler
T : V  W doğrusal bir dönüşüm, V ve W da n-boyutlu vektör uzayları
olsun. Bu durumda T sadece ve sadece örten olduğunda bire birdir.
İspat: Eğer T bire bir ise, kerT   0 ve boyutkerT   0  0 ’dır. Bu
durumda,
boyut(T’nin görüntüsü) = n- boyutkerT   n  boyutW 
Sonuç olarak, T örtendir. Benzer şekilde eğer T örtense,
boyut(T’nin görüntüsü) = boyutW   n
Böylece T bire birdir.
Örnek: T :    , T x   Ax ile verilen doğrusal bir
dönüşüm olsun. Buna göre T’nin boşluğunu ve rankını bularak
T’nin bire bir mi örten mi olduğunu belirleyiniz.
n
m
1 2 0
a) A  0 1 1


0 0 1
1 2
b) A  0 1 


0 0
1 2 0 
c) A  

0
1

1


1 2 0
d) A  0 1 1


0 0 0
T : 
a) T :   
b) T :   
c) T :   
d) T :   
n
m
3
3
2
3
3
3
2
3
Boyut(tk)
3
2
3
3
Boyut(görüntü) Boyut(Çekirdek)
Rank(T)
Boşluk(T)
3
2
2
2
0
0
1
1
Birebir
Örten
Evet
Evet
Hayır
Hayır
Evet
Hayır
Evet
Hayır