9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V

9.Konu
Lineer bağımsızlık, taban, boyut
9.1. Germe
9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
vektörlerin lineer
birleşimi olarak ifade ediliyorsa
vektörleri V’yi geriyor ya da V’yi gerer
(
) ise S kümesi V’yi gerer denir, veya V, S
denir. Üstelik,
tarafından gerilir denir ve SpS=V ile gösterilir.
[ ]
1.Ö.:
[ ]
[ ] olsun.
reel sayılar olmak üzere
[ ] vektörü alnır ve
için V den herhangi bir
sağlayan
,
vektörlerinin V’yi gerip germediğini görmek
eşitliği
reel sayılar hesaplanır. Bunun için
lineer sistemin çözülmesi gerekmektedir. Sistemin çözümü
,
olarak elde edilir. Böylece,
vektörleri V’yi germiş olurlar.
{
}
{
} kümesi V’yi gerer
2.Ö.:
,
olsun.
mi?
Ç.:
V’de herhangi bir vektör olsun.
(
)
Böylece,
(
)
(
eşit olacağından
(
)
)
.
(
)
. şit dereceli terimlerin katsayıları
lineer sistem elde edilir.
Lineer sistemin ilaveli matrisi kullanarak
[
elde edilir. Eğer
kümesi V’yi germez.
]
ise sistemin bir çözümü yoktur. Böylece, {
1
}
9.2. Lineer bağımsızlık
9.2.Tanım:
olacak şekilde hepsi birden sıfır olmayan
,
sabitleri bulunabilirse V vektör uzayındaki
,
vektörleri aralarında lineer
bağımlıdır denir. Aksi halde ,
vektörleri aralarında lineer bağımsızdır
denir. Yani, ,
vektörleri aralarında lineer bağımsız ise
eşitliğinin sağlanması
(
) olsun, ,
olması ile mümkündür.
vektörleri lineer
bağımlı ise S kümesine lineer bağımlı, vektörler lineer bağımsız ise S kümesine
lineer bağımsızdır denir.
[
]
[
] ve
[
] vektörleri lineer bağımsız
3.Ö.:
de
mı?
Ç.:
Bu sistemin tek çözümü
bağımsızdır.
4.Ö.:
de
(
[
olduğundan verilen vektörler lineer
]
[
]
[
] ve
[ ] vektörleri verilsin.
)kümesi lineer bağımsız mı?
Ç.:
Bu sistemin aşikar olmadık iki çözümüne bakalım.
Buna göre S lineer bağımlıdır.
5.Ö.:
de
[ ]
[ ]
[ ] vektörler lineer bağımsızdır.
vektörleri lineer
6.Ö.: de
bağımlı mıdır?
Ç.: Ç.:
2
Bu homojen sistemin aşikar olmadık çözümü vardır.
çözüm olduğuna göre vektörler lineer bağımlıdır.
9.1. Teorem:
ve
bir vektör uzayının iki sonlu alt kümesi ve
olsun. O zaman
i.
lineer bağımlı ise
de lineer bağımlıdır.
ii.
lineer bağımsız ise
de lineer bağımsızdır.
İspat:
{
} ve
{
} olsun.
i.
lineer bağımlı olduğundan
denklemi sağlayan ve hepsi birden sıfır olmayan
skalarları vardır. Buna göre
,
şeklinde yazılabilir. Bu denklemdeki katsayıların hepsi birden sıfır olmadığından de
lineer bağımlıdır.
ii.
lineer bağımsız olsun ve lineer bağımlı olduğunu varsalayalım. Bundan
lineer bağımlı olmak zorundadığı elde edilir.Çelişme.
9.2. Teorem: Bir V vektör uzayında sıfırdan farklı
vektörlerin
lineer bağımlı olması için gerek ve yeter şart
için
vektörlerinden en
azından biri indisçe kendisinden önce gelen
vektörlerinin bir
lineer birleşimi olarak ifade edilmesidir.
İspat:
vektörlerinin lineer birleşimi ise, yani,
ise o zaman
( )
eşitliğinden ve en az katsayılarından birinin -1 olmasından dolayı
vektörleri lineer bağımlıdır.
Tersine
vektörleri lineer bağımlı olsun. Bu durumda
olacak şekilde ,
hepsi birden sıfır olmayan skalarları vardır.
şartını sağlayan en büyük indis ve
ise
( )
olur. j=1 ise
7.Ö.:
de
[
dan
]
(
)
(
)
elde edilir ki bu hipotezle çelişir.
[
],
[
]
[
eşitliği sağladığından bu vektörler
de lineer bağımlıdır. Buradan da
elde edilir.
9.3. Baz
3
] olsun.
{
} altkümesi aşağıdaki iki
9.3.Tanım: Bir V vektör uzayının bir
özelliğe sahipse V’nin bir bazı veya tabanı adını alır.
i. S,V yi gerer
ii. S lineer bağımsızdır.
} kümesi bir V vektör uzayının bazı ise , bu kümedeki
Uyari: Eğer {
her bir vektör birbirinden ve sıfırdan farklıdır.
8.Ö.:
de [ ] [ ] [ ] kümesi
için bir baz olup, bu baza
standart bazı adı verilir.
9.4.Tanım: ’nin doğal bazı {
Burada
’nin doğal veya
} biçiminde gösterilir.
– i yinci satır.
[ ]
Yani, i yinci satırı 1 ve diğer satırları sıfır olan nx1 tipinde bir matristir.
için doğal bazı
ile gösterilir. Şekilini göstermeli.
{
} kümesinin ’de vektör uzayı için bir baz olduğunu
9.Ö.:
gösteriniz.
(
)
(
)
(
)
Ç.:
Bu denklem sistemi çözülürse
olur. Böylece, S, ’yi gerer.
} vektör kümesi için baz olup, bu baza ‘nin doğal
9.5.Tanım: {
veya standart bazı denir.
{
} bir V vektör uzayının bir bazı ise, bu halde
9.3. Teorem:
V’nin her vektörü S’nin elemanlarının bir lineer birleşimi olarak tek türlü
yazılabilir.
İspat:
(
)
(
)
S lineer bağımsız olduğundan
olsun.
(
)
elde edilir.
4
9.4. Teorem: Bir V vektör uzayının sıfırdan farklı vektörlerinin bir kümesi
{
} ve W=SpS olsun. Bu halde S’nin bir altkümesi V için
bazdır.
İspat:
1.Hal. S lineer bağımsız ise, bu halde W’yi gerdiğinden W için bir bazdır.
2.Hal. S lineer bağımlı ise, bu halde
.
Burada katsayıların tamamı sıfır değildir. Böylece, vektörü, S’de kendisinden önce
gelen vektörlerin bir lineer birleşimidir. Şimdi, S’den vektörü atıldığında elde edilen
kümeyi ile gösterelim. Bu halde kümesinden de W’yi gerdiği sonucuna varılır.
lineer bağımsız ise, bu halde bir bazdır. lineer bağımlı ise, kendisinden önce
gelen vektörlerin bir lineer birleşimi olan bir vektörü ’den çıkararak W’yi geren yeni
bir kümesi elde edilir. Bu şekilde devam edersek, S sonlu bir küme olduğundan
lineer bağımsız olan ve W’yi geren S’nin bir T altkümesi bulunur. T,W için bir bazdır.
{
} ve V’nin
9.5. Teorem: Bir V vektör uzayının bir bazı
{
} ise, o zaman
lineer bağımsız vektörlerinin bir kümesi
dir.
İspat:
{
} olsun. S, V’yi gerdiğinden
de V’yi gerer. lineer
bağımlıdır. Bu halde en az bir vektörü kendisinden önce gelen vektörlerin bir
birleşimidir. Bu vektörü den atalım.
{
}
olsun. V’yi gerer.
{
} olsun. Bu halde
lineer bağımlıdır, ’nin bir vektörü önce gelen vektörlerin bir birleşimidir. T lineer
bağımsız olduğundan bu vektör
olamayacağına göre,
için dir.Bu işlem
tekrar edilerek, her seferinde T kümesinden bir v vektörü atmak mümkündür. Böylece,
w vektörleri sayısı olan r, v vektörlerin sayısı olan n den daha büyük olamaz.
{
} ve
{
} bir V vektör uzayının
9.1. Sonuç:
bazları ise, bu halde r=n dir.
9.4. Boyut
9.6.Tanım:Sıfırdan farklı bir V vektör uzayının bir bazındaki vektörlerin sayısına ,
V’nin boyutu denir. V’nin boyutu genellikte boy V biçiminde gösterilir. { } aşikar
vektör uzayının boyutu sıfır olarak tanımlanır.
10.Ö.:
{
} kümesi için bir baz olduğundan boy =3.
9.7.Tanım:Bir V vektör uzayının bir altkümesi S olsun. S’nin lineer bağımsız bir T
altkümesini, S’nin lineer bağımsız başka hiçbir altkümesi kapsamayorsa, T ye S’nin
bir maksimal bağımsız altkümesi denir.
11.Ö.:
ve
[ ]
[ ]
[ ]
kümesini gözönüne alalım.
5
[ ] olmak üzere,
{
}
{
}{
}{
}{
} kümeleri S’nin maksimal bağımsız
altkümeleridir.
9.2.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, V’nin maksimal bağımsız bir
altkümesinde n vektör vardır.
9.3.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, V’yi geren bir minimal kümede n vektör
vardır.
9.4.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, bu halde m>n olmak üzere,V’nin m
vektör bulunduran herhangi bir altkümesi lineer bağımlıdır.
9.5.Sonuç: V, n boyutlu bir vektör uzayı ise, bu halde m<n olmak üzere,V’nin m
vektör bulunduran herhangi bir altkümesi V’yi geremez.
9.6. Teorem: V sonlu bir vektör uzayı ve V’nin lineer bağımsız bir altkümesi S
ise, bu halde V’nin S’yi kapsayan bir T bazı vardır.
9.7. Teorem: V, n boyutlu sonlu bir vektör uzayı olsun.
{
} V’nin lineer bağımsız bir altkümesi ise, bu halde S,
i.
V’nin bir bazıdır.
{
} V’yi gererse, bu halde S, V’nin bir bazıdır.
ii.
9.8. Teorem: V vektör uzayını geren solu bir altkümesi S olsun. S’nin
maksimal bağımsız bir altkümesi V’nin bir bazıdır.
6
9.KONU: Ödevler
1. Aşagıdaki polinom kümelerinden hangileri
} ii) {
i) {
yi gerer?
}
2. Aşagıdaki vektörlerin hangileri
] ii) [ ] [ ] [
i) [ ] [
yi gerer?
]
iii) [
3. Aşagıdaki vektörlerin hangileri
’ yi gerer?
i) [ ] [ ] [
] ii) [
] [ ] [ ] [
4. Aşağıdaki verilen vektörlerin
][
][
][
]
i) [
]
][
]
iii) [ ] [ ] [
]
deki vektörlerin hangileri lineer bağımsızdır?
][
]
ii) [
5. Aşagıdaki deki polinom kümelerinden hangileri lineer bağımsızdır?
} ii) {
}
i) {
6. Aşagıdaki vektör kümelerinden hangileri
için bazdır?
i) [ ] [
7.
] [ ] ii) [
] [ ]
iii) [ ] [
] [ ] [ ]
’de verilen atuzaylar için bir baz bulunuz
olmak üzere [ ] biçimindeki bütün vektörler.
i)
olmak üzere [ ] biçimindeki bütün vektörler.
ii)
olmak üzere [ ] biçimindeki bütün vektörler.
iii)
8.
için bir baz bulunuz.
’nin boyutu nedir?
9. ’nin,
olmak üzere
biçimindeki bütün vektörlerinin
altuzayının boyutunu bulunuz.
10. [
] [ ] [ ] kümesi
için bir baz olacak biçimdeki bütün
bulunuz.
7
değerlerini