12. Ders Büyük Sayılar Kanunları Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, a n = n n! , n = 1, 2, 3, . . . n e −n n olan dizinin yakınsak olduğunu göstermiş, ancak limitini bulamamış. Daha sonra Stirling, lim n n! = 2π −n n n∞ n e olduğunu göstermiştir. DeMoivre-Stirling formülü, lim ε n = 0 için, n∞ n! = n n −n 2πn e 1 + ε n olmak üzere, n! ≈ 1 2π n n+ 2 e −n ifadesine birinci Stirling yakınlaştırması ve n! ≈ 1 2π n n+ 2 e −n 1 + 1 2n ifadesine ikinci Stirling yakınlaştırması denmektedir. Stirling formülünden faydalanarak, DeMoivre p = 1/2 için ve daha sonra Laplace 0 < p < 1 için, n p k 1 − p n−k k lim 2 = 1 n∞ k − np 1 − 2 np1 − p 1 e 2πnp1 − p olduğunu göstermiştir. n ∑ X i , bir deneyin bağımsız olarak n kez tekrarlanmasında, p olasılıklı bir olayın i=1 gerçekleşme sayısı olmak üzere, n ∑ X i − np lim P n∞ i=1 np1 − p x ≤x = 1 2π ∫ t2 e − 2 dt −∞ önermesi DeMoivre-Laplace teoremi olarak bilinmektedir. Boş zaman buldukça cebine koyduğu iki farklı renkteki toplardan iadeli olarak çekilişler yapan Jacop Bernoulli, çekilen toplardan belli bir renge sahip olanların sayısını çekiliş sayısına böldüğünde elde edilen sayıların o renkteki topların oranı etrafında çıktığını ve çekiliş sayısı arttıkça bu orana yaklaştığını görmüştür. Muhtemelen, Bernoulli bir çok kişi gibi sezgisel olarak bunu hissetmiş olabilir. Ayrıca, deneysel olarak desteklemenin yanında matematiksel olarak yerli yerine oturtmak istemiş olabilir. Ancak, DeMoivre-Laplace tarafından ispatlanan, k ∑ X i − np x <x i=1 lim P np1 − p n∞ ∫ 1 2π = t2 e − 2 dt −∞ teoreminden sonra, k 1 n ∑ X i P p i=1 olduğunu ispatlamak mümkün olmuştur. Gerçekten, seçilen ε > 0 için, n ∑ X i − np n P 1 ∑ Xi − p < ε n =P n < p1 − p −ε i=1 i=1 np1 − p <ε n p1 − p olmak üzere, yeterince büyük n ler için yukarıdaki DeMorive-Laplace teoreminden n ∑ X i − np lim P n∞ −ε n < p1 − p i=1 np1 − p <ε n p1 − p =1 yani, k 1 n ∑ Xi p p i=1 elde edilir. Bu sonuç Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu olarak bilinmektedir. Đçinde 1 beyaz ve 1 siyah top bulunan bir torbadan gelişigüzel.bir top çektiğimizi düşünelim. Bu çekilişteki rasgeleliği anlatmak (modellemek) için aklımızda, Ω = b, s, U = PΩ, Pb = Ps = 1 2 gibi bir olasılık uzayı canlanmaktadır. Torbada k tane beyaz ve m tane siyah top bulunduğunda model olarak, k , Ps = m Ω = b, s, U = PΩ, Pb = k+m k+m ve torbadaki topların sayısını bilmediğimizde model olarak, Ω = b, s, U = PΩ, Pb = p, Ps = 1 − p, p ∈ 0, 1 olasılık uzayını düşünmekteyiz. Torbanın içi bize gösterilmediği müddet-çe "p" sayısını (parametresini) bilemeyiz. Ancak torbadan iadeli olarak toplar çekilmesine izin verildiğinde "p" ile ilgili bir şeyler söyleyebiliriz (tahmin, kestirim yapabiliriz). Eğer, çekilen beyaz top sayısının çekiliş sayısına oranının, çekiliş sayısı sonsuza gittiğinde "p" ye yakınsadığından da eminsek, o zaman belli sayıda çekiliş sonrasında gözlenen oranı, "p" için bir tahmin olarak kullanabiliriz. Ancak yakınsamanın olup olmadığından emin olmak için gerçek dünyada deney mi yapmalıyız, yoksa aklımızın dünyasında teorem mi ispatlamalıyız, yada her ikisini de mi yapmalıyız? Büyük Sayılar Kanunu, rasgele değişkenlerin (X n ) gibi bir dizisinde, S n = X 1 + X 2 +. . . +X n , n = 1, 2, 3, . . . kısmi toplamlarına dayalı, − X n = Snn , n = 1, 2, 3, . . . ortamalarının, X n dizisi ile ilgili yakınsamadır. n − X n − 1n ∑ EX k P 0 k=1 oluyorsa, X n dizisine Zayıf Büyük Sayılar Kanunu (ZBSK) ’na uyar denir. Teorem: (Chebyshev Teoremi) X n dizisi varyansları sınırlı, yani VarX n ≤ c, c ∈ 0, ∞, n = 1, 2, . . . olan bağımsız rasgele değişkenlerin bir dizisi ise, n − X n − 1n ∑ EX j P 0 j=1 dır. Đspat: (Ödev) Bu teoremin bir sonucu olarak, X n dizisi varyansları mevcut, bağımsız ve aynı dağılımlı rasgele değişkenlerin bir dizisi ise, − P X n μ = EX 1 olduğu söylenebilir. Özel olarak, aynı şartlarda bağımsız olarak ardarda tekrarlanan bir olasılık deneyi için, belli bir olayın ortaya çıkma sayısının deneme sayısına (n) oranı, bu olayın olasılığı olan p sayısına olasılıkta yakınsar, yani n denemedeki başarı sayısı P p n dır. Bu durum Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu (BBSK) olarak bilinir. n ∑X i Bir parayı 1, 2, . . . , n kez atıp i=1 n rasgele değişkenin gözlenen değerleri düşey eksende n e karşılık işaretlenirse, işaretlenen noktaların y = p doğrusu etrafında oldukları ve gittikçe bu doğruya yaklaştıkları görülür. Bu Bernoulli Büyük Sayılar Kanununun gerçek dünyada geçerli olduğunun deneysel olarak gözlenmesidir. Teorem: (Khinchin Teoremi) X n , bağımsız ve aynı dağılımlı (dağılımın beklenen değeri μ sonlu) olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise, P Xn μ dır. Đspat. n = 1, 2, 3, . . . için X n nin karakteristik fonksiyonu, n Φ X n t = Φ X 1 nt i 2 EX 2 t 2 iμt = 1+ + +. . . 1!n 2!n 2 n ve lim Φ X n t = e iμt − n∞ olmak üzere, X n dizisi, dağılımda μ noktasında yoğunlaşmış dağılıma yakınsar. − P Xn μ dir. P X n μ yakınsamasına Zayıf Büyük Sayılar Kanunu denir. Đspatsız olarak iki teoremin daha ifadesini verelim Teorem: X n dizisi, varyansları sınırlı, yani bir c sayısı için VarX n ≤ c , n = 1, 2, . . . ve aynı μ ortalamalı, |i−j|∞ CovX i , X j 0 olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise P Xn μ dır. Teorem: X n dizisi aynı μ ortalamalı ve σ 2 varyanslı düzgün sınırlı, yani c ∈ 0, ∞ için |X n | ≤ c, n = 1, 2, . . . olan rasgele değişkenlerin bir dizisi ise, − n X n −μ σ P lim sup ≤1 2 log log n =1 dır. Problemler 1. n a) 0 ≤ p ≤ 1 için, ∑ k=0 1−p n n − s ∫ 1 − t s t n−s−1 dt s n p k 1 − p n−k = k b) Büyük n ler için n! olduğunu gösteriniz. 0 1 2π n n+ 2 e −n 2. r ∈ N olmak üzere aşağıdaki Γ r+1 − r+1 2 n 2 1 + xn , −∞ < x < ∞ fx; r = rπ Γ r 2 fonksiyonunun bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ve 2 lim fx; r = 1 e −x /2 r∞ 2π olduğunu gösteriniz. 3. X n bağımsız ve aynı f X n x = p x 1 − p 1−x , x = 0, 1 olasılık fonksiyonuna sahip rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun. Chebyshev eşitsizliğini kullanarak Bernoulli Büyük Sayılar Kanunu yani, n X n = 1n ∑ X i P p i=1 olduğunu ispatlayınız. 4. X n dizisi bağımsız, aynı dağılımlı ve VarX n = σ 2 , n = 1, 2, . . . olan rasgele değişkenlerin bir dizisi olsun. n ∑ EX i − X n 2 i=1 olduğunu gösteriniz. P n σ2