çarpanlara ayırma

ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TESTİ
i  1, 2
3.
j  1, 2, 3
i  1 için j  1  i  j  a11  1  1  2
Matris Cebiri
 1 0  1 0  1 0
A2  



2 1 2 1  4 1
1 0  1 0  1 0
A3  A . A 2  



2 1  4 1 6 1
j  2  i  j  a12  1.2  2
j  3  i  j  a13  1.3  3
 1 0
 1 0
 An  
 A11  


2n 1
36 1
i  2 için j  1  i  j  a21  2  1  3
j  2  i  j  a22  2  2  4
j  3  i  j  a23  2.3  6
Cevap: D
2 2 3 
A

3 4 6 
Cevap: A
2.
 A  I .  A
2

4.
 A I  A I  A I
3
3
3
1 1 1 1 2 2
1 1
A2  

 2




  2A
1 1 1 1 2 2
1 1
 
 1 2   1 2   1 0
A2  


 I
0 1 0 1 0 1
 A2
A 3  A . A 2  A .I  A  A 3  I  A  I
 A4
2
 
 1 2   1 0  0 2 




0 1 0 1 0 2
2
  2A   4A 2  8A  A 4  8A
2
  8A   64A 2  128A  A 8  128A
2
Cevap: D
Cevap: C
1
ÖABT Lineer Cebir
5.
2
 3 0   3 0  3
A2  




0 2 0 2  0
2
 3 0  3
A3  A . A 2  


0 2  0
3n
 An  
 0
KONU TESTİ
0

22 
7.
0  3 3

22   0
320
0
  A 20  
 0
2n 
0

23 
Matris Cebiri
1 0 0  1 0 0  1 0 0 
A 2  0 2 0  0 2 0   0 4 0 
0 0 3  0 0 3  0 0 9 
 
 iz  A 2  1  4  9  14
0 

220 
Cevap: B
Cevap: C
8.
A  B  AB  A  AB  B  A   A    B
 1 1  1 0  0 1
A  



 1 0  0 1  1 1
6.
A
1
A

2
 1 1 0 1 a b
A  A  B  



 1 0   1 1 c d
 A 2  A 2  2A 1. A

 A 2  A 2  2   A 2  A 2  A 1  A

2
d 
 c

a

c
b

d

 2
 2 4   2 4  2 0 
 A 2  A 2  



 4 2  4 2 0 2
 c  1 a  c  1  a  2

d  1 b  d  0  b  1
20 0  2 0  18 0 




 0 20  0 2  0 18 
a b   2 1
B 


c d  1 1 
Cevap: D
Cevap: D
2
ÖABT Lineer Cebir
9.
 x1

 x1x 2
x2
x 2 x3
 x1x3

 x1x2x3
KONU TESTİ
x 
x3   3 
  x1 
x1x3 
 x 2 
x1x2
x1x2x3
x1x3  x1x 2  x 2 x3 
11.
Matris Cebiri
1 3
x 0
 a b  

1

0 x 
 a b  3
 a  3b 3a  b  ax bx 
x 2 x3 

x1x2x3 


a  3b  ax
3a  b  bx
4  a  b    a  b  x  x  4 olmalıdır
c
4
a
d
5
a
x1x3  x1x 2  x 2 x3  3x1x 2x3  4  3.5  19
x1x 2 x3  
Cevap: E
Cevap: D
12. A A 1   olduğuna göre
 1 3 2  1 2 x  1 0 0 
A A 1     1 1 1 2 4 y   0 1 0 
 2 1 0  3 5 z  0 0 1 
10.
1 0 x  3y  2z 
1 0 0 
 0 1 x  y  z   0 1 0 
0 0 2x  y

0 0 1 
1  3  5  ...  29  15.15  225 
15 0 

A  
1  1  ...  1  15

 0 225 

15 tan e
 15  225  240
 2/

x  3y  2z  0
xyz 0
 2x  y  1
x  1

y  3   x  y  z   1 3  4  8
z  4 
Cevap: E
Cevap: E
3
ÖABT Lineer Cebir
KONU TARAMA SINAVI - 1
1.
2
3
2
1 2 . A  3 5 2 
 3 0 0   3 0 0  9 0 0 
A.A  0 2 0  0 2 0   0 4 0 
0 0 1  0 0 1  0 0 1 
4.
2 1. A  0 2 1
 3 1 2 . A   3
  4 4 2 . A  0
 1 3 0. A  3
5
Matris Cebiri
3 0 0  9 0 0  27 0 0 
A.A  0 2 0  0 4 0    0 8 0 
0 0 1  0 0 1   0 0 1 
2
2
4 2
1 0
27 0 0  9 0 0 
3 0 0  1 0 0 
f  A    0 8 0   6 0 4 0   11 0 2 0   6 0 1 0 
 0 0 1  0 0 1 
0 0 1  0 0 1 
Cevap C
27 0 0  54 0 0  33 0 0  6 0 0 
 0 8 0   0 24 0   0 22 0   0 6 0 
0 0 1  0 0 6  0 0 11 0 0 6 
2.
 B T   A  A T 
T
0
0  0 0 0 
 27
  0 16 0   0 0 0 
 0
0 5  0 0 0 
(her iki tarafında transpozu
Cevap A
alınırsa)
T
B  AT  A elde edilir.
BT  B
Cevap B
5.
1 2  1 2  1
A.A  
.

0 1 0 1 0
1 2  1
A . A2  

0 1 0
 
A 2005  A 2
1

0
3.
 2 2
x

3 1 2  
 3


1

y



 4 5 1




 4 3 

z 
y8
0  1 2 


1  0 1
.A
0  1 2  1 2 
.


1  0 1 0 1
Cevap E
 2.3   2  .4
2.1   2  .5 2.2   2  .1  x



3.1  1.5
3.2  1.1    y 
 3.3  1.4
 4.3  3.4
 4.1  3.5
4.2  3.1  
z 


 2 8 2  x

13 8 7    y 

 

 0
4 5  
z 
x  2
1007
0
1 
6.
I, II, III
Cevap E
z  5
x  y  z  2  8   5   1
Cevap D
4
ÖABT Lineer Cebir
7.
KONU TARAMA SINAVI - 1
A 2  2A  I   A  I
2
 1
 
 3
8.
3  1

2 0
0 

1  
a11 
1
1
1
a12 
1
0
2
a13 
1
0
3
a21 
2
2
1
a22 
2
1
2
a23 
2
0
3
a31 
3
3
1
a32 
3
1
2
a33 
3
1
3
Matris Cebiri
2
2
 0 3  
 

 3 1  
0 3  0


3 1  3
3
9


3
10


3
1 
Cevap C
1 0 0 


A  2 1 0 
3 1 1 
1 0  0  2  1 0  3  1 1  9
Cevap C
5
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TESTİ
4.
 1 0
 1 0
2 1

 S2  S2  2S1 
 S2  S1 

0
1
2
1




 1 0
Elementer İşlemler
a şıkkı haricindeki tüm şıklar bir elementer işlem
yapılarak birim matris elde edilebilir.
Fakat a şıkkında en az iki elementer işlem
yapmak gerekir. Bu nedenle a şıkkındaki matris
2 işlem yapılarak elde edilmiştir.
elementer matris değildir.
Cevap: B
Cevap: A
2.
1 0 0 
0 0 1 

 matrisinde 3. Satırdaki 1 2. Satırda0 1 2 
ki 1 in solunda kaldığı için eşelon matris olamaz.
5.
I, II, III
Cevap: E
Cevap: E
3.
b şıkkındaki matris dışında hepsi eşelondur.
Bu eşelon matrisler içinden sadece c şıkkanda
6.
matriste her satırın ilk 1 elemanının bulunduğu
I, II, III
Cevap: E
sütundaki diğer elemanlar sıfırdır.
Cevap: C
7
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TARAMA SINAVI - 2
1 0
0 1
9 1
 0 1  1   2  1 0   1   2  9  2  1 0 






9 1
 2   12 3 0
4.
Elementer İşlemler
1 0 0
 0 0 1

 matrisinde tek satır işlemi olduğu
0 1 0 
için elementer bir matristir. (2. satırla 3. satır yer
değiştirmiş)
Cevap C
Cevap A
2.
0 1 2 


Eşolon olma şartını 0 0 1 matrisi sağla0 0 0 
5.
II. öncülün doğrusu,
Bir kare matrisinin tersinin olması için gerek ve
yeter şart bu matrisin birim matrise satır denk
maktadır.
olmasıdır.
Cevap D
Cevap C
3.
1 0 0
0 1 0 

 matrisinde a32 elemanı sıfır olma0 1 1
6.
I, II, III
Cevap E
lıydı.
Cevap D
8
ÖABT Lineer Cebir
KONU TESTİ
1.
3.
Determinantlar
cos2 15 sin2 15 
det A  
  cos4 15  sin4 15
 sin2 15 cos2 15 


 cos2 15  sin2 15 cos2 15  sin2 15

1
 cos2 15  sin2 15  cos 30

a
b
c


 2R
sin A sinB sinC
3
2
Cevap: C
A matrisinin 1. ve 2. satırı orantılı olduğu için
det A  0 dır.
Cevap: A
2.
1
1 
2013 2014 2015 S1  S1  S2  1
2012 2013 2014
A  2012 2013 2014


2011 2012 2013
2011 2012 2013
4.
  ln x   6  7  2ln x  0
2
S2  S2  S3  1
1
1 
 1
1
1   AI

2011 2012 2013 
  ln x   2ln x  1  0
2
  ln x  1  0  ln x  1  0
2
 ln x  1
xe
det A  det AI ve AI matrisinin 1. ve 2. satırları
eşit
olduğundan
det AI  0
ln x 3   7 2
 2 ln x   ln x 1  0

 

dolayısıyla
Cevap: D
det A  0 dır.
Cevap: C
9
ÖABT Lineer Cebir
5.
KONU TESTİ
A matrisinin determinantını 2. satıra göre he7.
saplarsak,
2 1
0 0
det A  
3 5

0 0
3 4
2 1 4 
2 0 
23 

 2  1
3 5 2 
1 2
0 0 5 

4 5
Determinantlar
b 
a b 
1  d
B
  B   c a 
 c d


2
 1 2
1  5
A
  A   3 1 
3 5 


 5 2
det A  1
A 1  1 

 3 1 
11
3. satıra göre hesaplarsak,
2 1
  5 10  3 
3 5 
 65.  2 
Cevap: A
 2 .5  133 
 5 2
 130A 1  

 3  1
Cevap: A
6.
 x1 x2 x3 


1 2 3   0
3 2 1 


8.
A matrisinin tersi olmadığına göre det A  0
olmalıdır. A matrisinin 3. sütuna göre determi-
 x1  2  6   x 2 1  9   x 3  2  6   0
nantını hesaplarsak,
 4x1  8x 2  4x3  0
2 1 0 


8 2 x    x4  1 4  8   0
 4 0 1 
 12  4x  0  12  4x
 x  3 olmalıdır.
 4  x1  x 2  x3   12x 2
 x1  x 2  x3  3x 2
b 3
 3
a 1
 3  3x 2  x 2  1
 x1  x 2  x3  
 1 3  3.1 2 m.1  3  0
m5
Cevap: E
Cevap: E
10
ÖABT Lineer Cebir
9.
KONU TESTİ
Bir matrisin tersinin olmaması için gerek ve
Determinantlar
11. A 1 
yeter şart determinantının sıfır olmasıdır.
3 4 2 


A şıkkındaki 0 5 0  matrisinin determinantı
6 1 4 
1
ek  A   A A 1  ek  A 
A
 A A . A 1  A .ek  A 
 A   A .ek  A 
2 0 1 


det A  A  3 2 1 
 4 1 3 
3 4 2 
0 5 0   5 1 2 2 3.4  2.6  0
  



6 1 4
1. satıra göre
hesaplanırsa
2. sütuna göre
hesaplanırsa
 2  6  1  1 3  8   14  5  9
 A.ek  A   A .   9 
olduğundan bu matrisin tersi yoktur.
Cevap: A
Cevap: E
a b 
 d b 
10. A  
  ek  A    c a 
 c d


 d b  a b
ek  A   A  


 c a  c d
ad

b  b ve  c  c  b  c  0
a 0 
Buna göre 2 x 2 tipindeki bir matris 

0 a 
12. A 2  A    0  A 2  A  
formunda olursa ek  A   A olur.
 A A    
2 0 
Bu forma uyan şıklardaki tek matris 

0 2 
 det  A  A      det 
matrisidir.
 2.det  A     1
 det A .det  A     det 
 det  A    
Cevap: A
1
2
Cevap: B
11
ÖABT Lineer Cebir
KONU TESTİ
13. Bu soruda determinantın açılımından gelecek
Determinantlar
15. A 2  A    0  A 2  A  
ifadelere ters dönüşüm formüllerini uygulamak
 A A    
yerine değer vererek yapmak daha pratik bir
 det A .det  A     det 
yoldur.
 det A .det  A     1
x  0, y  0, z  270o alınırsa
0
sin x  0, sin y  0, sin z  1 olur.
sin x sin y 
 1
1 0 0 
sin x 1
  0 1 1
sin
z




sin y sin z
0 1 1
1 
0
det A  0 olduğundan rank A  n
A2  A    0  A  A     
0
 A 1A  A     A 1 

 A    A 1
2. ve 3. satır
orantılı olduğundan
det er min antın
değeri sıfırdır.
A2  A    0  A2    A
 A . A2  A   A 
 A3  A  A2
Cevap: C
 A3  A     A 
 A 3  2A  
Cevap: E
 1 a b 


14. det A   a 1 c 
 b
c 1 


 1 1  c 2  a  a  bc   b  ac  b 
1
x
16. 
x

x
 1  c 2  a2  abc  abc  b2


 1  a2  b2  c 2  0
0
1
a
0
0
1
0
b
0
1
1 1 1 
1 1 1 
0 




  x 0 b 0   a  x b 0 
0
0 0 c 
 x 0 c 

c
2. satıra göre
açılırsa
 det A  0 olduğundan rank A  3 ve düzgün
3. satıra
göre
3. satıra
göre
  x b c  a   xb  c b  x    0
matristir.
  xbc  xab  abc  xac  0
Düzgün matris  Tersi olan matris
 1 1 1
 1 x   
a b c
1 1 1 1
   
x a b c
Bir matrisin ters simetrik olması için esas köşegen elemanlarının sıfır olması gerekir. Yani bu
matris ters simetrik değildir.
Cevap: A
Cevap: D
12
ÖABT Lineer Cebir
KONU TESTİ
17. A  A 1  det A  det A 1
 det A   det A 
Determinantlar
18. A 1 
1
1
ek A  det A.A 1  ek A
det A
 det A . A . A 1  A .ek A
  det A   1  det A   1
2
A 1 

 det A .   A .ek A
1
ek A
A
 AA
1
 ek A  A A
1
A 1 
 ek A
 ek A  A
1
 ek A
A
 A
n
 A
n 1
1
n 1
ek A  ek A  A A 1  ek A  A
A
A
1
 ek A
 ek A 1 
0
olduğundan rank  ek A   n

1
1
A...  * 
A

1
ek  ek A  ...  * * 
ek A
 *  ve  * *  dan
A ve B ortagonal ise
1
1
1
1
A
ek  ek A  
A  n1 ek  ek A 
A
ek A
A
A
A T  A 1
T
T
T
   AB   B . A
BT  B1 
 A
 B1. A 1
  AB 

ek A  A A 1   ek A   A A 1
n 1
1
n2
A  ek  ek A 
n = 2 için II. Öncül doğru olur. Daima doğru
olmaz.
Olduğundan AB matrisi de ortagonaldir.
k  , det k.A   kn det A 
teorem
gereği
doğrudur.
Cevap: D
Cevap: C
13
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TARAMA SINAVI - 3
3.
1 2 3
A 4 5 6
7 8 9
1
4
2
5
rank  A   3 için A  0 olmalı
5 x 4
A  2 3 1
1 1 2
3
6
 1.5.9  4.8.3  7.2.6    3.5.7  6.8.1  9.2.4 
5
2
x
3
4
1
  45  96  94   105  48  72 
  5.3  2   2.1.4   1 .x.  1 
  225    225   0
  4.3  1   1 .1.5   2  .x.2   0
  30  8  x    12  5  4x   0
Cevap A
2.
Determinantlar
 24  x  17  4x  0
5x  5
x 1
1 2
3
0 3
11
a11   1
Cevap D
1 2
1 2
1
1 3
1 3
1 1
 1
1 0
2 1
2 0
 6
0 3
a22   1
2 2
3 0
9
1 3
a23   1
23
3 2
2
1 0
a12   1
a13   1
a21   1
a31   1
4.
3 1
2 0
 4
1 2
32
3 0
6
1 2
33
3 2
5
1 1
a32   1
a33   1
  24  x   17  4x   0
A 1 
1  d b 


ad  bc  c a 
 5 2  5 2 
A 1  1


 3 1   3 1
Cevap A
T
 3 1 1
 3 6 4 





6
9
2



 1 9 6   Ek  A 
 4 6 5 
 1 2 5 
3 6 4
det Ek  A    1 9 6
1 2 5
3
1
6
9
5.
4
6
rankA  3 olduğundan det A  0 dır.
A 2  2A
  3.9.5  1.2.  4    1 .  6  .  6   
A 2  2A
 4.9.  1  6.2.3  5.  6  .1
A
  235  8  36    36  36  30 
2
 23. A
 k.A  k . A 
n
2
A 8 A  0
 163  42  121
A  A  8  0  A  8
Cevap E
Cevap D
14
ÖABT Lineer Cebir
6.
 
KONU TARAMA SINAVI - 3
I) det A 1   det A 
1
olmalıydı dolayısıyla I.
8.
Determinantlar
A 1  B.Ek.A  0
öncül yanlıştır.
B.Ek  A    A 1
II) Determinantta böyle bir özellik yok
B.Ek  A  .A   A 1.A
B.A  
BAB1  B . A . B1
III)
B  3 
1
 B.A.
B
B   3  . 
 A olur.
B  9.1
2
B 9
Cevap B
Cevap E
7.
Ters simetrik ise A T  A olmalı I. öncül doğrudur.
II) AT  A
A T   1 A
n
III) n tek ise
AT  A
AT   1 A  A T   A
n
2 A 0
A 0
Cevap E
15
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TESTİ
2. ve 3. denklemler taraf tarafa toplanırsa
3.
5a  c  10
Lineer Denklem Sistemleri
A matrisi üst üçgensel bir matristir. Üçgen matrislerin determinantı esas köşegen üzerindeki
elemanların çarpımına eşittir.
2. denklemin iki katı ile 1. denklem toplanırsa
det A  1.2.3. 4.5  5! b şıkkı doğru 
7a  5c  14
det A  0 olduğundan
5 / 5a  c  10  25a  5c   50 
  18a  36

7a  5c  14  7a  5c  14

a  2,
rank A  5  c şıkkı doğru 
A 1 
c0
1
.ek  A 
A
A 1  A  0 olsun  a şıkkı doğru 
İse a.b.c  2.b.0  0
iz  A   esas köşegendeki elemanların topla-
Cevap: C
mıdır.
iz  A   1 2  3  4  5  15  e şıkkı doğru
Ax  0 denklem sisteminde A  0 ise
rank  5 olur ve dolayısıyla sistemin tek çözü-
mü aşikar çözümdür.
Cevap: D
2.
4.
rank A  3
n bilinmeyen sayısı olmak üzere,
rank A  rank  A : B  r
olursa denklem sisteminin tek çözümü aşıkar
çözümdür.
n  r ise tek çözüm vardır.
rank A  r  3 ise
r < n ise n  r  parametreye bağlı sonsuz çö-
Denklem sisteminin 3-r parametreye bağlı son-
züm vardır.
suz çözümü olur.
rank A  rank  A : B
Bu soruda aşıkar olmayan çözümlerden bahset-
İse sistemin çözümü yoktur.
tiğine göre rank A  3 olmalı yani A  0 olma-
1 1 1 : 1 
 A : B  1 0 a : 2
1 a 1 : 3 
lıdır.
1 1 1
A  1 2 3  3  3a  0  a  1 olmalı
3 0 a
1
0

0
1
1 : 1
1 a  1 : 3 
a  1 0 : 2 
rank A  rank  A : B olması için a  1  0 olmalı
yani a  1
Cevap: A
Cevap: B
16
ÖABT Lineer Cebir
KONU TESTİ
5.
6.
Lineer Denklem Sistemleri
A matrisi düzgün (tersi olan) matris olduğuna
göre det A  0 olmalıdır.
1 2 1 : 1
1 2 1 : 1
 A : B  2 1 3 : 2  0 5 5 : 4 
3 1 2 : 1 
0 5 5 : 4 
1 2 1 : 1


0 5 5 : 4 
0 0 0 : 0 
det A  a.d  b.c  0
a şıkkı doğru
Teorem: Bir kare matrisin tersinir olması için
gerek ve yeter şart bu matrisin birimin matrise
satır denk olmasıdır.
A tersinir bir matris olduğundan I2 birim matrisi-
 rank  A : B  rank A  2
ne satır denktir.
(b şıkkı doğru)
Bilinmeyen sayısı 3 olduğundan
Teorem: Tersinir her matris elementer matrisle-
3  2  1 parametreye bağlı sonsuz çözüm var-
rin çarpımı şeklinde yazılabilir. (c şıkkı doğru)
dır.
det A  0 olduğundan rank A  2 dir.
Cevap: D
(e şıkkı doğru)
Ax  0 homojen lineer denklem sisteminde,
rank A  2  bilinmeyen sayısı
olduğundan
sistemin sadece aşikar çözümü vardır.
(d şıkkı yanlış)
Cevap: D
17
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TARAMA SINAVI - 4
2 denklemi ( - ) ile çarpıp 3 denklem taraf tarafa
3.
toplanırsa
n bilinmeyen sayısı olmak üzere,
rankA  rank  A : B  r
xyz  4
n = r ise tek çözüm vardır.
 2x  y  3z  4

Lineer Denklem Sistemleri
r  n ise n  r  parametreye bağlı sonsuz çö-
x  2y  z  1
ax  3z  9  z  3
züm vardır.
 1 2 1: a 
1 1 0 : b 


3 1 2 : c 
1. ve 2. denklemin taraf tarafa toplanırsa
xyz  4
2x
 y  3z  4

3x  2z  0
3x  2z 3x  6
x2
x  2, y  1, z  3
xyz 6
1: a 
1 2
0 1 1: b  a 


0 5 5 : c  3a 
1: a
1 2

0 1


1:
b

a


0 0 0 : c  5b  2a 
c  5b  2a  0
c  2a  5b
Cevap B
Cevap E
2.
rank A = 3
olursa denklem sisteminin tek çözümü aşikar
çözümdür.
rank A = r < 3 ise
denklem sisteminin 3 – r parametreye bağlı
sonsuz çözümü olur.
Bu soruda aşikar olmayan çözümlerden bahsettiğine göre rankA  3 olmalı yani
4.
* A matrisi alt üçgensel bir matristir. Üçgen
matrislerin determinantı esas köşegen üzerin-
A  0 olmalıdır.
deki elemanların çarpımına eşittir. (I. öncül doğ1 1 1
ru)
A  2 1 1  0  1.  m   1.  1   1 .  2m  1  0
* A  0 olduğu için tersinir bir matristir. (II. ön1 m 0
m  1  2m  1  0
3m  2
2
m
3
cül doğru)
* A  0 olduğu için rank A = 3 tür. (III. öncül
doğru)
Cevap D
Cevap E
18
ÖABT Lineer Cebir
5.
KONU TARAMA SINAVI - 4
A matrisi düzgün bir matris ise A  0 dır.
6.
Lineer Denklem Sistemleri
I, II, III öncülleri elemanter işlem özelliğini sağlar.
Teorem: Tersinir her matris elemanter matrisleCevap C
rin çarpımı şeklinde yazılabilir. (I. öncül doğru)
Teorem: Bir kare matrisin tersinir olması için gerek ve yeter şart bu matrisin birim matrise satır
denk olmasıdır.
A tersinir bir matris olduğundan  3 birim matrisine satır denktir. (II. Öncül doğru)
Ax = B lineer denklem sisteminde,
rank  A : B  rankA  3 ise,
n = r ise lineer denklem sisteminin tek çözümü
vardır. (III. Öncül yanlış)
Cevap D
19
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TESTİ
 U V
4.
i) Ov  U
ii) u1, u2  U için u1  u2  U
Vektör Uzayları
 1 2
A

3 6 
 1 2
0 0 


rankA = 1 olduğundan
çözüm uzayının boyutu 1 dir.
iii) a  F ve u  U, a.u  U
Cevap: B
şıkları incelediğimizde,
A) U/W, V nin bir alt uzayı değildir. Fark işlemi
sonucu 0 kalmaz dolayısıyla i) sağlamaz.
5.
C ve E şıklarında sıfır elemanı çıkartıldığı için i)
maddeyi sağlamaz.
boy  1 

2
boy  2
n
 boyF  n dir.
boy  1 

boy  2 
Soruda daima doğru olanı sorduğu için D şıkkı
sağlamayabilir.
Cevap: B
boy  2 için a : b   a,b
 a 1,0   b  0,1 doğrudur.
 1,0  ,  0,1
2.
A ve B şıkları 0 vektörünü barındırdığı için lineer
bağımlıdır. C şıkkında ise birbirinin skalar katı
olan vektörler lineer bağımlıdır. D şıkkında hem
0 var hem de birbirinin katı olan ifadeler yer almakta olduğu için lineer bağımlıdır.
Cevap E
Cevap: E
6.
B ve E şıkkındaki vektörler birbirinin skalar katı
olduğu için lineer bağımlıdır.
C ve D şıkları ise (0, 0) vektörlerini bulundurdu
ğu için lineer bağımlıdır.
3.
2
i) Ov  U
nin boyutu iki lineer bağımsız eleman sayısı
da iki olduğu için
ii) u1, u2  U için u1  u2  U
0,2, 1,1 
iii) a  F, u  U, a.u  U
2
yi geçer.
Cevap A
I) (0, 0) şartını sağlamadığından dolayı alt vektör uzayı değildir.
II) i) (0, 0) sağlar fakat  2,0    0,3    2,3  olur.
ii) şart sağlanmaz.
III) i) (0, 0) sağar. ii)  2,3   5,4   7,7
7.
sağlar
iii) 4  3,1  12, 4 olur sağlanmaz. Çünkü
w, (0, 2) tarafından gerilmez, w iki boyutlu vektör uzayıdır.
(0, 2) bir boyutlu olduğu için w uzayını germez.
x  0 değil.
Alt vektör uzayı değildir.
IV) i) (0, 0) sağlar. ii)  0,0    0,0   0,0 
Cevap A
iii) 4  0,0   0,0 
Her üç şartta sağlandığından alt vektör uzayıdır.
Cevap: B
8.
I, II, III
Cevap E
20
ÖABT Lineer Cebir
9.
KONU TESTİ
I. öncül doğrudur.
Vektör Uzayları
11. I) u  v  u  v
II. öncül tanımla çalışır.
(I. öncül yanlış)
III. boyw = 0 da bilir. Örneğin sıfır vektörünün
sıfırdır.
II) u  v
Verilen yargılardan yalnız I daima doğrudur.
doğru)
Cevap A
2
 uw
(üçgen eşitsizliği) olmalıydı
2

2 u
2
 v
2
 (II. Öncül
III) u,u  u . v olmalıydı. (III. öncül yanlış)
Cevap B
10. I) u, 3u
II)
2
nin bazıdır.
0,0 , w 0,0 
12. I)
vektörünü bulundurduğun-
1,0,00,1,00,0,1 
3
ün bir bazıdır.
Standart bazı
nin bazı
II) Her vektörün normu 1 olduğu için ortogonaldir.
III) u  1,0 , v   2,1 , w  0,1 , z  1,2 şek-
III) boyw = 0 da olabilir. Örneğin sıfır vektörünün sıfırdır.
dan lineer bağımlıdır. Dolayısıyla
değildir.
2
linde seçersek;
Verilen yargılardan yalnız I daima doğrudur.
vektörler birbirinin skalar
u  w  1,0    0,1  1,1 
 katı olduğu için
v  z   2,1  1,2    3,3  
germez.
2
Cevap A
yi
III. öncül daima doğru değildir.
Cevap A
21
ÖABT Lineer Cebir
1.
Vektör Uzayları
KONU TARAMA SINAVI - 5
I ve III öncül daima doğrudur. II öncül daima
3.
doğru değildir.
A şıkkı (0, 0, 0) dan dolayı lineer bağımlıdır.
B şıkkındaki vektörler birbirinin sklar katıdır.
Dolayısıyla lineer bağımlıdır.
Cevap D
C şıkkındaki vektörler lineer bağımsız fakat
boyut iki olduğu için
3
uzayını germez.
D şıkkında verilen vektörler lineer bağımsız
olduğu için
3
uzayını geçer.
E şkkı lineer kombinasyon olarak yazılabilir
lineer bağımlıdır.
Cevap D
2.
A) y  x  z  0,0 sağlamaz alt uzayı değildir.
B) x  y  z  0,0 sağlamaz alt uzayı değildir.
D) y  2  0,0 sağlamaz alt uzayı değildir.
E) x  1   0,0 sağlamaz alt uzayı değildir.
C) x  0  a,y   i) 0,0  sağlar
ii)  0,3 

 0,2 
 0,5 
4.
sağlandı.
v 2   0,b,c 
2
v1  v 2   a,a  b,c 
a 1,0,0   a  b 0,1,0   c 0,0,1
iii) 2 0,3  0,0 sağladı.
Dolayısıyla x  0
v1   a,a,0 
lineer bağımsız üç vektör olduğundan
nin alt uzayıdır.
boy  v1  v2   3 tür.
Cevap C
Cevap D
22
ÖABT Lineer Cebir
1.
KONU TESTİ
Lineer Dönüşümler
5.
1 0
1
T  0 1 1
1 1 1 

Cevap: B


T  1,2    5,2 
2
T  0,1   3,0 
T 1, 2    5, 2 
T  0,2    6,0 
T 1,0   1, 2 
T 1,0   1, 2 
T  0,1   3,0 
2.
 1 3


 2 0 
5 0 5 
T  2 1 2 
5 3 5 
Cevap: A
det T = 0 olduğundan rank T < 3 tür.
5 0 
 2 1  0 olduğundan rank T = 2


Cevap: C
6.
 A,B  M2  
i) T  A  B    A  B    A  B 
T
3.
 A T  A  BT  B
xz 0
T  A   T B 
x  2y  0
ÇekT   2t, t, 2t  t 
 t  2,1, 2  t 
 2,1, 2
ii) k 


T  k.A    k.A   k.A
T

 k AT  A
boyÇekT  1

T lineer dönüşümdür.
boy 3  boyÇekT  BoymT
3  1 2
0
II) T  A   
0
a
A
c
Cevap: B
0
0 
b
d
AT  A
a c  a b   a x 
b d    c d    x d 

 
 

b  c  x bilinmeyen sayısı 3 olduğu için
4.
Verilen şıkları T  x,y    x,y, x  y  lineer dö-
çekirdek uzayın boyutu 3 tür.
III) BoyM2 
nüşümün de yerine yazarsak,
 3,1, 2   x, y,  x  y 
i)
için sağlar.
x3
y 1
  boyÇekT  boymT
22 
3
boymT  1

?
Cevap: E
Cevap: D
23
ÖABT Lineer Cebir
1.
T 1,0    0, 1
T  0,1  1,0 
KONU TARAMA SINAVI - 6
 0 1


 1 0
4.
Lineer Dönüşümler
T  e1  e2   T  e1  T  e2 
 2  3 
 1  1   T e
 2
   
 0  1 
 1
T  e2    2
 1
Cevap A
T  e1  e2  e3   T  e1   T  e2   T  e3 
0  3   1
1   1    2  T e
 3
     
1  1   1
4
T  e3   2 
1 
2.
3 1 4 
T   1 2 2 
 1 1 1
T  x, y    2x  3y,  x 
T  2, 1   2.2  3.  1 ,  2 
 1, 2
Cevap E
Cevap C
3.
Bu soruda şıklardaki ifadeleri
T  x,y,z   x  3y  2z lineer dönüşümünde yazıldığında
x  3y  2z  0
sağlamalı
A şıkkı yazıldığında
T 1,1,1  1 3  2  0 olduğundan çek(T) nin
elemanı değildir. Diğer bütün şıklar sağlar.
Cevap A
24
ÖABT Lineer Cebir
1.
det  A  T  
KONU TARAMA SINAVI - 7 Özdeğerler-Özvektörler ve Köşegenleştirme
1 
2
0
4
3
4.
Verilen öncüllerin her biri bir teoremdir.
Cevap E
1    3     8  0  3    3   2  8  0
 2  4  5  0

1

5
  1,   5 özdeğerleri
Cevap E
2.
5.
1 
0
2
det  A  T   0
2   3  0
3
1
4
A 2  0 ise nilpotent matris
I. ve II. öncüller doğrudur.
1      2    4     3   6  2     0
1     8  2  4  
2
Cevap C

 3  12  6  0
1      2  6  11  12  6  0
3  11  7 2  1  0
Cevap A
3.
A2  A idempotent matris
2 0  2 0   4 0 
A.A  



3 1 3 1 9 1
2 0   4 0   8 0 
A.A 2  



3 1 9 1 21 1
8
0
det  A  T  
0
21 1  
 8   1     0
  1,   8
Cevap E
25
ÖABT Lineer Cebir
1.
GENEL TARAMA SINAVI
1 0  1 0  1 0
A.A  



3 1 3 1 0 1
A 
2
1007
6.
A
A
 1 0


0 1
2
 32. A
2
9 A
2
A 9 A  0
A  A  9  0
Cevap A
A 0
A 9
Cevap E
2.
7.
2 0  2 0   4 0 
A.A  



0 3  0 3   0 9 
2
A.A 2  
0
16
A4  
0
1 x x2
A  1 y y2
0   4 0  8 0 

3  0 9  0 27 
0
81
1 z z
1 x x2
0 1 yx
0 1 zx
16  0  0  81  97
2
1
0 y  x y2  x2
2
0 zx z x
 y  x  z  x 
2
1 x
x2
yx
 y  x.z  x  0 1
0 0 zxyx
1 x x2
 y  x  z  x  0 1 y  x
0 0 zy
Cevap D
x2
x
 y  x  z  x  z  y  
A
yada A   x  y  x  z  z  y 
Cevap D
3.
I ve II öncül doğrudur.
III. öncüldeki gibi bir özellik yoktur.
8.
Cevap C
A  1
A 1 
7
1  5 7 
1  5

  A   2 3 
1  2 3 


Cevap A
4.
I, II, III öncüller doğrudur.
9.
Cevap D
A  0 ise rankA  3 tür.
2 a 1
A  4 0 2 0
1 1 0
 A  2.  2   a  2    1 4   0
 A  4  2a  4  0
5.
Yalnız III
2a  8
a4
Cevap C
Cevap E
26
ÖABT Lineer Cebir
GENEL TARAMA SINAVI
10. B.Ek  A   A 1
13.
2. denkle min 2 katını
a  3b  2c  1 
 3. denkle min 5 katını alıp
2 2a  b  c  3 
 3 denklemi de taraf tarafa
5
3a  b  9 
toplarsak;
B Ek  A  .A  A 1.A
B A 
B 
1
1
1
 B  2  B 
A
4
2
a  3b  2c  1
4a  2b  2c  6
Cevap E
15a  5b  45

20a  40  a  2
3.2  b  9
b  3
2.2  3  c  3
4  3  c  3
1  c  3
c4
a.b.c  2.  3  .4  24
2
11. A  A  
Cevap A
A A    
A . A   
3 A  1
A  
1
3
14. I, II, III
Cevap B
Cevap E
15.
A  0 ve regüler (tersi var)
I, II
12.
A  0 olmalı ki aşikar olmayan çözümleri
Cevap C
olsun,
1 1 1
A  2 1 3 0
1 0 a
A  1.1.a  2.0.1 1.1.3   1.1.1 3.0.1 a.1.2   0
A   a  0  3   1  0  2a   0
16.
A  a  3  1  2a  0

, ,

cisim değildir.
Dolayısıyla
2a

, ,  ,

, ,

üzerinde vektör
uzayı değildir.
Cevap E
Cevap E
27
ÖABT Lineer Cebir
GENEL TARAMA SINAVI
17. I, II, III öncül alt vektör uzay şartlarıdır.
21. B seçeneğindeki vektörler birbirinin skaar katı
olduğu için lineer bağımlıdır. Taban (baz) teşkil
Cevap E
etmez.
C seçeneğindeki vektörlerde birbirinin skalar
katı olduğu lineer bağımlıdır. Taban (baz) teşkil
18. Verilen öncüllerin hepsi lineer bağımlılık için
etmez.
doğrudur.
E seçeneğinde ise (0, 0) bulunduğu için lineer
Cevap E
bağımlıdır.
D seçeneği ise,
1,2  a 0,1  b  1,0
Şeklinde lineer kombinasyonu olarak yazılabil-
19. I) V yi geren her küme en az n tane vektörü
diği için lineer bağımlıdır.
kapsar.
A seçeneği lineer bağımsız vektörlerden oluştu-
II) V deki lineer bağımsız küme en fazla n tane
ğu için
vektörü kapsar.
2
uzayı için bir baz (taban) teşkil eder.
Cevap A
I ve II öncüllerin doğruları yukarıdaki ifadeler
olmalıydı.
Sadece III öncül doğrudur.
Cevap C
22. Ter simetrik matris AT  A dır.
20. i) 04  U
A T  A olduğundan A   1 A
3
ii) u1  u2  U
A  A 2 A 0
iii) a.u  U
A  0 tekil matristir.
rankA  3 tür.
I)  2,0,0 ,  0,3,0 , 0,0,4 için
Cevap E
i) sağlanır
ii)  2,3,4  gelir bu şart sağlanmaz.
 x, y,z  x.y.z  0
3
ün alt vektör uzayı değildir.
II) i) (0, 0, 0) sağlanır.
ii) (2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 4)
(2, 3, 4) sağlanır.
1 0
0 1
5 1
5 2 
23. 
 r1  r2  1 0  r1  r1  5r2  1 0  r2  3r2 3 0 
0
1








iii) -4(2, 3, 4) sağlamaz x  0 değil
 x,y,z x  0
3
ün alt vektör uzayıdır.
Cevap C
Cevap B
28
ÖABT Lineer Cebir
GENEL TARAMA SINAVI
24. A seçeneğinde 3 satırda 2 satırdaki 1. Den
29. II, III
önce gelmiş satır (eşelon) değildir.
Cevap D
C seçeneğinde sıfır satırlar en altta yer almalıydı satır (eşelon) değildir.
D ve E seçeneğinde 1 in bulunduğu diğer sütunlar sıfır olmalıydı satır eşelon değildir.
30. I, II, III
Cevap B
Cevap E
31. x  2y  0
2x  z  0 
y  k olsun
x  2k
z  4k
25. T : u  V
lineer dönüşüm olması için,
I ve III öncüllerin sağlanması gerekir.
x  2y
2x  z
k 1 2 4
Cevap C
Cevap B
32. A 
26. I. ve II. öncül doğrudur.
3
1
0
3 5  
 3    5     3  0
Cevap D
15  3  5   2  3  0
 2  8  12  0


1  6
6
2
2  2
 A    x  0
 3    x1   1 x2  0
3x1   5    x 2  0
27. I, II, III
Cevap E
1  6 için
 3  x1  x2  0
3x1  x 2  0
3x1   x 2
x1  t olsun
1 1 
28. T  

0 1
T
1
T
1
 1
x 2  3t  t  
 3 
 2  2 için
 1 1
 1

0 1
1 1 


0 1
x1  x 2  0
x1  x 2
3x1  3x 2  0
x1  k, x 2  k
1
k 
1
Cevap A
29
ÖABT Lineer Cebir
GENEL TARAMA SINAVI
 1
1
P1    ve P2    vektörleri lineer bağım 3 
1
35. A 
sız ve 2 tane olduğundan A köşegenleştirilebilir.
 2    2    3     2  0
 4  2  2  2  3     2  0
 1 1
P  P1 P2   

 3 1
1  1 1
P1  

4 3 1 
1  1 1  3


4 3 1   3
1 6 6   1
 

4 6 2   3
P1 A .P 
2
0
0
3
2
2 0
5
1
3
 4  4     3     2  0
2
12  4  12  4 2  3 2   3  2  0
1  1 1
5   3 1
1
1
3  7 2  16  10  0
   1  2  6  10   0
  1,  2  3  6
1 24 0 
 

4  0 8
6 0 


0 2 
1   2  3  7
Cevap C
Cevap C
33. I, II, III
Cevap E
36.
A 0
A 
 4 3 5 


34. T  0 1 2
 2 1 3 
0 0
0 1

2 1
rankT
1
2
3 
0 5 1
0 1 2 


2 1 3 
0 0 1 
0 1 0 


2 1 0 
2 1
1
3
a
1  1 4  0
1
2 3  1
1 1 3
A  a 2 4  0
1 2 2
0 0 9 
0 1 2 


2 1 3 
A  1 4  8   1 2a  4   3  2a  2   0
A  4  1 2a  4   3  2a  2   0
A  4  2a  4  6a  6  0
0 0 1 
0 1 0 


2 0 0 
4a  2
1
a
2
3
Cevap A
Cevap D
30
ÖABT Lineer Cebir
37.
GENEL TARAMA SINAVI
 A    x  0
A
41. I ve II öncül daima alt vektör uzay olur.
III öncül için kesinlik yoktur.
2
4
0
1
1  
Cevap C
A   2    1     4  0


A  2  2     2  4  0
2
A   6  0

3

1  3,  2  2
42. Verilen seçeneklerde D seçeneğinde 2 satır
2
işlemi olduğundan elementer matris değildir.
1  3 için
 2    x1  4x2  0
x1   1    x 2  0 1x1  4x 2  0
Cevap D
x1  4x 2  0
 2  2 için
x1  4x 2
4x1  4x 2  0
x2  t
x1  x 2  0
4
t 
1 
x1   x 2
x1  4t
 1
 1
k   yada k  

1
 
 1
Cevap A
38. I, II, III
Cevap E
39. Verilen öncüller teoremdir.
Cevap E
40. Verilen öncüllerin her biri doğrudur.
Cevap E
31