19.10.2017 805547 OLASILIK VE RASGELE SÜREÇLER DERSİ

19.10.2017
805547 OLASILIK VE RASGELE SÜREÇLER DERSİ ÖDEV 2
Li, 2.28, 2.32, 2.35, Bertsekas p1.36, Li 2.34, Bertsekas p1.40, p1.58, Li s2.1
1) Aynı rasgele deneyin örnek uzayında tanımlı A, B, C olayları verilsin.
a) P  A | B   P  A | B c  ise A ve B olayları bağımsızdır. İspatlayınız.
b) P  A | C   P  B | C  ve P  A | C c   P  B | C c  ise P  A   P  B  'dir. İspatlayınız.
2) Bir kan testi, ilgilenilen hastalık gerçekten var ise hastalığı 0,95 olasılık ile tespit
etmektedir. Ayrıca test, sağlıklı insanların%1’inde de pozitif sonuç vermektedir
(Sağlıklı bir insana bu test yapıldığında 0,01 olasılık ile test yaptıran kişinin hasta
olduğu sonucunu vermektedir). %0,5’i hasta olan bir kitle için, bu kitleden bir kişinin
test sonucu pozitif olduğu verildiğinde o kişinin hasta olması olasılığı nedir?
3) Bir kutuda iki tane A tipi para ve bir B tipi para bulunmaktadır. A tipi para atıldığında
1/4 olasılıkla tura ve B tipi para atıldığında ¾ olasılıkla tura gelmektedir. Kutudan bir
para rasgele seçilmekte ve atılmaktadır. Paranın tura geldiği verildiğinde atılan paranın
A tipi olması olasılığı nedir?
4) Bir uçak kaybolmuştur ve uçağın 3 olası bölgeden birine inmiş olması eşit şansa sahiptir
(equally likely). 1  i , i  1, 2,3 uçak gerçekte i. bölgedeyken, uçağın i. bölgenin
aranması sonucunda bulunacağının olasılığı olsun. 1. bölgenin aramasının başarısız
olduğu bilindiğinde uçağın i. bölgede olması olasılığı nedir?
5) Bir veri kaynağı heksadesimal (hexadecimal) karakterler üretmektedir. X rasgele
değişkeni heksadesimal karakterlerin tam sayı karşılığı olsun. Heksadesimal
karakterlerin her bir basamağı birbirinden bağımsız ve eşit şansa sahip olarak “0” ya da
“1” olsun.
a) Bu deneye ait örnek uzay S’yi veriniz. Her bir elementer olaya ait olasılıkları
hesaplayınız.
b) Örnek uzay S ile X’in tanım uzayı S X arasındaki ilişkiyi gösteriniz ( S  S X
eşlemesi yapınız).
c) X’in olasılık kütle fonksiyonunu bulunuz.
d) Heksadesimal karakterlerin en önemli basamağının (Most Significant Bit) “0” olma
şansının “1” olma şansının üç katı olduğu varsayılarak yeni bir rasgele değişken Y
karakterlere karşılık gelen tam sayılar olarak tanımlanırsa Y’nin olasılık kütle
fonksiyonunu elde ediniz.
6) Voltaj X 3, 2, ,3, 4 kümesinde düzgün dağılıma sahip rastgele değişkendir.
a) X’in ortalama ve varyansını bulunuz.
b) Y  2 X 2  3 rasgele değişkeninin ortalama ve varyansını bulunuz.
c) W  cos  X 8 rasgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonunu bulunuz.
Ortalama ve varyansını bulunuz.
7) Parametreler n ve p olan Binom olasılık kütle fonksiyonu (OKF) ele alınsın. n   ve
p  0 asimptotik durumda verilen bir  değerinde np sabitken, Binom OKF’nin
Poisson OKF’ye yakınsayacağını gösteriniz.
19.10.2017
8) Sigara içen bir adam sağ ve sol ceplerinde birer tane kibrit kutusu taşımaktadır. Her
sigara yakacağı zaman ceplerinden birinden 0,5 olasılıkla bir kibrit kutusu seçmektedir
ve bu seçim daha önceki seçimlerinden bağımsızdır. Her iki kibrit kutusunda da
başlangıçta n tane kibrit vardır. Sigara içen kişinin bir kibrit almak için elini cebine atıp,
ilgili kibrit kutusunun boş olduğunu fark ettiği andaki, kalan kibrit sayısının Olasılık
Kütle Fonksiyonunu hesaplayınız.
9) X, n ve p parametreli binom rasgele değişkeni olsun. Bu rasgele değişkenin olasılık kütle
n
fonksiyonunun p  0   1  p  ile başlanarak aşağıdaki formül ile özyinelemeli olarak
hesaplanabileceğini gösteriniz.
p nk
p  k  1 
p  k  , k  0,1, , n  1
1 p k 1
10) X,  parametreli Poisson rasgele değişkeni olsun. X’in olasılık kütle fonksiyonunun
k’nin aldığı en büyük tam sayı değeri  ’dan küçükken k’ya göre monoton artan, o
noktadan sonra k’ya bağlı olarak monoton azalan olduğunu gösteriniz.
Notlar:
1. Soruların çözümünde uygun notasyonu kullanınız, gerekli
açıklamaları yapınız
2. Ödev teslimini 25.10.2017 Çarşamba günü der saatine kadar
yapınız.
Dr. Gökhan Soysal