rasgele değđşkenler

RASGELE DEĞĐŞKENLER
Bir olasılık deneyinin sonuçlarının kümesi olan Ω Örnek Uzayının elemanları
çok değişik türde olabilir. Rasgele Değişkenler yardımıyla Ω nın elemanları reel sayılara
dönüşmektedir. Rasgele Değişkenler, ilgilenilen özelliğin ölçülerek sayısallaştırılmasının
matematiksel karşılığı olmaktadır. Bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi
deneyinde üst yüzeydeki nokta sayısı ölçüldüğünde (sayma ölçüsüne göre), Örnek Uzayın
elemanları sayılara dönüşmektedir. Zar üzerinde bu sayılar yazılı değildir, bunlar ölçme
sonucu ortaya çıkmaktadır. Rasgele Değişken bu ölçmeye karşılık gelmektedir. Bir yaşındaki
çocukların belli bir kitlesinden rasgele bir çocuğun seçilmesinde Örnek Uzay, bu çocukların
isimlerinin kümesi olabilir. Seçilen çocuğun boy uzunluğunun ölçülmesi sonucunda bir sayı
ortaya çıkmaktadır. Rasgele Değişken bu ölçmeye karşılık gelmektedir. Rasgele Değişken,
Örnek Uzayın elemanlarını reel sayılara dönüştüren bir fonksiyon olmakla birlikte, aşağıdaki
tanımda verilen özelliği (Borel ölçülebilir bir fonksiyon olma özelliğini) de sağlaması gerekir.
Tanım 1
(Ω, U , P ) bir olasılık uzayı ve
X: Ω
→
R
ω
→
X (ω )
olmak üzere, ∀ a ∈ R için,
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ a} ∈ U
oluyorsa X fonksiyonuna bir Rasgele Değişken denir.
Rasgele değişkenler genellikle X , Y , Z , U , V ,… gibi büyük harflerle gösterilir.
Kısalık olması bakımından A ⊂ R için {ω ∈ Ω : X (ω ) ∈ A} yerine ( X ∈ A) yazılır. Örneğin,
( X = a ) = {ω ∈ Ω : X (ω ) = a}
( X ≤ a ) = {ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ a}
(a < X ≤ b) = {ω ∈ Ω : a < X (ω ) ≤ b}
dır.
Bir X rasgele değişkenin tanım kümesi Ω olmak üzere,
X (Ω) = {x : x ∈ R , ∃ω ∈ Ω için X (ω ) = x}
kümesine, X in değer kümesi ( X in aldığı değerlerin kümesi) denir. Bu kümeyi bazen DX
veya sadece D ile göstereceğiz.
Örnek 1 Bir tavla zarının atılması ve üste gelen yüzeyin gözlenmesi deneyinde örnek uzay,
Ω=
olmak üzere, U = 2Ω olsun. Zar düzgün olduğunda,
P :U → R
A → P( A) =
n( A)
n(Ω)
olasılık ölçüsü kullanılabilir.
(Ω, U , P) olasılık uzayından reel sayılara tanımlı,
Ω=
X
R
0
1
2
3
4
5
6
7
fonksiyonu, ∀ a ∈ R için,
{ω ∈ Ω : X (ω ) ≤ a} ∈ U
özelliğine sahiptir. Örneğin,
a<0
ise
0 ≤ a < 1 ise
1 ≤ a < 2 ise
( X ≤ a) = ∅ ∈U
( X ≤ a) =
( X ≤ a) =
2 ≤ a < 3 ise ( X ≤ a ) =
a≥6
ise
{
{
•
,
{ } ∈U
•
•
,
••
••
} ∈U
}
, ⋰ ∈U
( X ≤ a) = Ω ∈U
dır. X : Ω → R fonksiyonu bir rasgele değişkendir. X rasgele değişkeni, bir tavla zarı
atılması deneyinde üste gelen yüzeydeki nokta sayısı olmaktadır.
Tanım 2
(Ω, U , P) bir olasılık uzayı ve
X : Ω →
R
ω →
bir rasgele değişken olmak üzere,
X (ω )
F : R → [0,1]
x → F ( x) = P ( X ≤ x )
fonksiyonuna X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu denir.
Örnek 2
, U = 2Ω ,
Ω=
P( A) =
olmak üzere,
Ω=
X
R
0
1
2
3
4
5
6
7
rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
F : R → [0,1]
x → F ( x) = P ( X ≤ x )
 0

 1
 6

2
 6

3
F ( x) = P( X ≤ x) = 
 6

 4
 6

 5
 6

 1
ve grafiği,
,
x <1
, 1≤ x < 2
, 2≤ x<3
, 3≤ x < 4
, 4≤ x<5
, 5≤ x<6
,
x≥6
x <1
 0 ,

x
= 
, 1≤ x < 6
 6

x≥6
 1 ,
n( A)
n(Ω)
F(x)
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
1
dır.
Tanım 3
2
x
3 4
(Ω, U , P) bir olasılık uzayı,
X : Ω →
5
6
7
R
ω
→ X (ω )
bir rasgele değişken ve X in aldığı değerlerin kümesi,
DX = X (Ω) = {x : x ∈ R , ∃ω ∈ Ω için X (ω ) = x}
olmak üzere, DX kümesi sonlu veya sayılabilir sonsuz elemanlı olduğunda X e kesikli
rasgele değişken (discrete random variable) denir.
Tanım 4 X kesikli bir rasgele değişken olmak üzere,
f ( x ) = P ( X = x ) , x ∈ DX
fonksiyonuna X in olasılık fonksiyonu denir.
Örnek 3 Düzgün bir tavla zarı atılışında gelen nokta sayısı X rasgele değişkeni olmak
üzere,
DX = {1, 2,3, 4,5, 6}
olup, X kesikli bir rasgele değişkendir. X in olasılık fonksiyonu,
1
f ( x) = P( X = x) =
, x ∈ DX = {1, 2,3, 4,5, 6}
6
dır. f fonksiyonunun grafiği,
grafik ( f ) = {( x, f ( x)) : x = 1, 2,3, 4,5, 6}
f(x)
1/6
• • • • • •
1 2 3 4 5 6
olmak üzere, bu grafiği
x
f(x)
1/6
x
1 2 3 4 5 6
biçiminde göstereceğiz. Okların yükseklikleri o noktalardaki olasılıkları göstermektedir.
Dağılım fonksiyonunda ise basamakların yükseklikleri olasılıkları göstermektedir.
F(x)
1
5/6
4/6
3/6
2/6
1/6
1
2
x
3 4
5
6
7
Kesikli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu F ve olasılık fonksiyonu f olmak
üzere,
F : R → [0,1]
x → F ( x) = P( X ≤ x) =
∑
xi ∈DX , xi ≤x
f ( xi )
f ( x ) = P ( X = x ) = F ( x ) − F ( x− ) , x ∈ D X
1) f ( x) ≥ 0 , x ∈ DX


2) ∑ f ( x) = 1
 x∈DX
dır.
Örnek 4
Ω = {ω1 , ω2 , ω3 ,…, ω8 } , U = P (Ω) ve P ( A) =
n( A)
olmak üzere X fonksiyonu
8
aşağıdaki gibi tanımlansın.
X :Ω → R
0

1
ω → X (ω ) = 
2

3
, ω = ω1
, ω = ω2 , ω3 , ω4
, ω = ω5 , ω6 , ω7
, ω = ω8
X bir rasgele değişkendir.
Ω = {YYY , YYT , YTY , TYY , YTT , TYT , TTY , TTT }
olduğunda, X rasgele değişkeni düzgün bir paranın üç kez atılışında gelen turaların sayısı
olacaktır. Böyle tanımlanan X rasgele değişkeni için,
P( X = 0) = P({YYY }) = 1/8
P( X ≤ 1) = P({YYY , YYT , YTY , TYY }) = 4 /8
P( X = 1) = P({YYT , YTY , TYY }) = 3/8
P( X = 3) = P ({TTT }) = 1/8
P( X = 1/ 2) = P (∅) = 0
dır. X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi,
DX = X (Ω) = {0,1, 2, 3}
olmak üzere, X kesikli bir rasgele değişkendir. X in olasılık fonksiyonu,
 1

 8
 3

8
f ( x) = P( X = x) = 
 3

 8
 1

 8
, x=0
,
x =1
,
x=2
,
x=3
dır.
Alışagelmiş olarak, kesikli bir rasgele değişkenin aldığı değerler ile bu değerleri
alması olasılıkları aşağıdaki gibi bir olasılık tablosunda gösterilmektedir.
x
f ( x) = P ( X = x)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
F : R → [0,1]
 0

 1

 8
4
x → F ( x) = P( X ≤ x) = 
 8

 7
 8

 1
x<0
,
, 0 ≤ x <1
, 1≤ x < 2
, 2≤ x<3
x ≥3
,
dır.
f(x)
3/8
1/8
x
0
1
2
3
F(x)
1
7/8
4/8
1/8
0 1
x
2
3
Bir torbada eşit sayıda beyaz ve kırmızı top bulunsun. Çekileni yine torbaya atarak ardı
ardına üç top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneyinin Örnek uzayı,
Ω = {KKK , KKB, KBK , BKK , KBB, BKB, BBK , BBB}
X
R
0
1
2
3
olmak üzere, X rasgele değişkeni gelen beyaz top sayısıdır. Bu rasgele değişkenin olasılık ve
dağılım fonksiyonları yukarıdakilerdir.
Tanım 5 Bir X rasgele değişkenin F : R → [0,1] dağılım fonksiyonu,
1) f ( x) ≥ 0 , x ∈ R
∞
2)
∫
f ( x)dx = 1
−∞
özelliklerine sahip bir f fonksiyonu yardımıyla,
x
F ( x) = ∫ f ( x)dx , x ∈ R
−∞
biçiminde yazılabiliyorsa, X rasgele değişkenine sürekli rasgele değişken (mutlak sürekli
rasgele değişken) ve f fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
denir.
Sürekli bir X rasgele değişkeninin F dağılım fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.
Ayrıca, a < b , a, b ∈ R için
P({a}) = F (a) − lim+ F (a − h) = F (a ) − F (a − ) =0
h →0
b
P((a, b]) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x)dx
a
x
F ( x) = ∫ f ( x)dx , x ∈ R
−∞
ve F fonksiyonunun türevlenebildiği noktalarda,
f ( x) =
dF ( x)
dx
dır.
Örnek 5
Ω = [0,1], P( A) = " A nın aralık uzunluğu" olmak üzere
X : Ω → R
ω
→ X (ω ) = ω
fonksiyonu bir rasgele değişkendir. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
F: R →
x
ve grafiği,
[ 0,1]
x<0
0 ,

→ F ( x) = P ( X ≤ x) = x , 0 ≤ x < 1
1 ,
x ≥1

F(x)
1
x
1
olmak üzere,
P ( X = a ) = F ( a ) − F ( a − ) = 0 , ∀a ∈ R
P (−∞ < X ≤ 1/ 2) = F (1/ 2) = 1/ 2
P (1/ 3 < X ≤ 1/ 2]) = F (1/ 2) − F (1/ 3) = 1/ 2 − 1/ 3 = 1/ 6
P (1/ 3 ≤ X ≤ 1/ 2]) = F (1/ 2) − F (1/ 3) = 1/ 2 − 1/ 3 = 1/ 6
P ((1/ 3, ∞)) = 1 − F (1/ 3) = 1 − 1/ 3 = 2 / 3
dır.
X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
1 , 0 < x < 1
f ( x) = 
0 , diğer yerlerde
fonksiyonu yardımıyla,
x
F ( x) = ∫ f ( x)dx , x ∈ R
−∞
biçiminde yazılabilir. X sürekli bir rasgele değişkendir. X in olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 , 0 < x < 1
f ( x) = 
0 , diğer yerlerde
ve grafiği,
f(x)
1
x
1/3
1/2
1/ 2
olmak üzere,
P (1/ 3 < X ≤ 1/ 2]) =
∫
1/ 3
1
1/ 2
f ( x)dx =
∫ 1dx = 1/ 2 − 1/3 = 1/ 6 dır.
1/ 3
Yeniden hatırlatalım. Olasılık yoğunluk fonksiyonlarında olasılık hesabı, hız-zaman
grafiğinde yol hesabına benzemektedir. Hız-zaman grafiğinde belli bir zaman aralığında
alınan yol miktarı bir alana karşılık geldiği gibi, olasılık yoğunluk fonksiyonunda da bir
aralığın olasılığı bir alana karşılık gelmektedir. Yalnız, olasılık yoğunluk fonksiyonları hiçbir
zaman negatif değer almamaktadır. Dağılım fonksiyonunda olasılık hesabı, yol-zaman
grafiğinde yol miktarının hesabına benzemektedir.
Örnek 6 Çok küçük bir boncuk yarıçapı 10 cm olan bir dairenin içindeki her hangi bir
noktaya düşecek şekilde rasgele atılsın. Böyle bir deney için, Örnek Uzay ve uygun bir
Olasılık Ölçüsü aşağıdaki gibi olabilir.
Ω
A
P ( A) =
" A nın alan ölçüsü "
" Ω nın alan ölçüsü "
X rasgele değişkeni, deney sonucunda boncuğun düştüğü nokta ile dairenin merkezi
arasındaki uzaklık olsun.
P ( A) =
Ω
R
" A nın alan ölçüsü "
" Ω nın alan ölçüsü "
ω
•
0
x
X (ω ) 10
X rasgele değişkenin aldığı değerlerin kümesi,
X (Ω) = { X (ω ) : ω ∈ Ω} = [0,10] ⊂ R
olmak üzere, X kesikli bir rasgele değişken değildir. X in dağılım fonksiyonu,
F: R →
[ 0,1]
x<0
 0 ,
 2
x
→ F ( x) = P ( X ≤ x) = 
, 0 ≤ x < 10
100
x ≥ 10
 1 ,
x
olmak üzere, bu dağılım fonksiyonu,
 x

, 0 < x < 10
f ( x) =  50

0 , diğer yerlerde
fonksiyonu yardımıyla,
x
F ( x) = ∫ f ( x)dx , x ∈ R
−∞
biçiminde yazılabilir. X sürekli bir rasgele değişkendir. X in dağılım fonksiyonu ve olasılık
yoğunluk fonksiyonu,
 x
x<0
 0 ,

, 0 < x < 10
 2
f ( x) =  50
x

F ( x) = 
, 0 ≤ x < 10
0 , diğer yerlerde
100

x ≥ 10
 1 ,
olmak üzere, grafikleri
F(x)
f(x)
1
1/5
1/4
x
x
5
10
5
10
dır.
52
1
P( X ≤ 5) = F (5) =
=
100 4
5
5
P( X ≤ 5) = ∫ f ( x)dx = ∫
−∞
0
5
x
x2
52
1
dx =
=
=
50
100 x=0 100 4
52
52
−
=0
100 100
52
32
16
P (3 < X ≤ 5) = F (5) − F (3) =
−
=
100 100 100
P ( X = 5) = F (5) − F (5− ) =
5
5
P (3 < X ≤ 5) = ∫ f ( x)dx = ∫
3
3
5
x
x2
52
32
16
dx =
=
−
=
50
100 x=3 100 100 100
Örnek 7 X rasgele değişkeni belli bir tür elektronik parça için yıl olarak dayanma süresi
olsun. X in olasılık yoğunluk fonksiyonunun,
ce− x / 5 , x ≥ 0
f ( x) = 
0
, diğer yerlerde
biçiminde olduğu bilinsin. Olasılık yoğunluk fonksiyonu için
1) f ( x) ≥ 0 , x ∈ R
∞
∫
2)
f ( x)dx = 1
−∞
özellikleri sağlanması gerektiğinden, c>0 ve
∞
∫ ce
−x / 5
dx = 1
0
∞
c ∫ e− x / 5 dx = 1
0
∞
e− x / 5
c
=1
−1/ 5 x=0
c(0 −
1
) =1
−1/ 5
1
5
olmalıdır. Buna göre X in olasılık yoğunluk fonksiyonu,
c=
 1 − x / 5
 e
, x≥0
f ( x) =  5

, diğer yerlerde
0
ve dağılım fonksiyonu,
F : R → [0,1]
0
, x<0

x

x
1 −x / 5
0
, x<0
1 −x / 5

e
x → F ( x) = ∫ e dx =  x 1 − x / 5
=
−x / 5
5
5
, x≥0
, x≥0
∫ e dx =
1− e
−∞
5
−
1/
5
 0

0
dır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonunun grafikleri aşağıdadır.
F(x)
f(x)
1
1/5•
x
5
x
5
Böyle bir elektronik parçanın an az 5 yıl dayanması olasılığı,
∞
P( X ≥ 5) = ∫
5
∞
1 −x / 5
e dx = −e− x / 5 = e−1 ≈ 0,37
5
5
dır. 10 yıl dayandığı bilindiğinde bundan sonra en az 5 yıl daha dayanması olasılığı nedir?
∞
P( X ≥ 15 ve X ≥ 10) P( X ≥ 15)
P( X ≥ 15 / X ≥ 10) =
=
=
P( X ≥ 10)
P( X ≥ 10)
1
∫ 5e
−x / 5
15
10
dx
=
−e− x / 5
∞
15
−x / 5 ∞
−e
=
e−3
= e−1
e−2
10
yani,
P (( X ≥ 10 + 5) /( X ≥ 10)) = P ( X ≥ 5)
olmak üzere, parçanın 10 yıl dayandığı bilindiğinde bundan sonra en az 5 yıl daha dayanması
olasılığı, yeni göreve başlamış bir parçanın en az 5 yıl dayanması olasılığına eşittir. Genel
olarak,
P (( X ≥ a + x) /( X ≥ a )) = P ( X ≥ x )
olmak üzere, a yıl dayanmış bir parçanın bundan sonra en az x yıl daha dayanması olasılığı,
yeni göreve başlamış bir parçanın en az x yıl dayanması olasılığı kadardır. Belli bir anda
görevde olan parçaların yeni göreve başlayanlar ile rekabet edebilir olmaları bunlar için
yıpranma olmadığı anlamına, yani bu parçaların yaşlanmadığı anlamına gelebilir. Birçok
elektronik parça bu özelliğe sahiptir. Bunların bozulmalarının sebebi yıpranma değil başka
etkenlerdir.
Dayanma süreleri birbirinden bağımsız olan böyle parçalardan oluşmuş aşağıdaki
devre elemanlarının en az 5 yıl dayanmaları olasılıkları nedir?
a)
1
b)
2
1
2
c)
1
3
2
4
Ai (i = 1, 2, 3, 4) olayı i numaralı parçanın en az 5 yıl dayanması olayı olsun.
a)Seri bağlanmış parçalardan oluşan devre elemanının en az 5 yıl dayanması olayı,
A = A1 ∩ A2
olmak üzere A1 , A2 nin bağımsızlığı altında,
P ( A) = P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ) P( A2 ) = e−1e−1 = e−2
dır.
b) Paralel bağlanmış parçalardan oluşan devre elemanının en az 5 yıl dayanması olayı,
A = A1 ∪ A2
olmak üzere A1 , A2 nin bağımsızlığı altında,
P ( A) = P ( A1 ∪ A2 ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) − P( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 ) P( A2 )
= e−1 + e−1 − e−1e−1
= 2e−1 − e−2
dır.
c) Dört parçadan oluşan devre elemanının en az 5 yıl dayanması olayı,
A = ( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A3 ∩ A4 )
olmak üzere A1 , A2 , A3 , A4 olaylarının bağımsızlığı altında,
P( A) = P (( A1 ∩ A2 ) ∪ ( A3 ∩ A4 )) = P( A1 ∩ A2 ) + P( A3 ∩ A4 ) − P (( A1 ∩ A2 ) ∩ ( A1 ∩ A2 ))
= e−2 + e−2 − e−4 = 2e−2 − e−4
dır.
Örnek 8 X rasgele değişkeni belli bir bölgeye bir yıl içinde düşen gök cismi sayısı olmak
üzere,
f ( x) = c
10 x
x = 0,1, 2,3,...
x!
biçiminde olduğu bilinsin. Olasılık fonksiyonu için
1) f ( x) ≥ 0 , x ∈ DX
2)
∑
f ( x)
x∈Dx
özellikleri sağlanması gerektiğinden, c>0 ve
∞
10 x
c
=1
∑
x!
x =0
∞
10 x
=1
x =0 x !
c∑
101 10 2 103
+
+
+ ...) = 1
1!
2!
3!
ce10 = 1
c = e−10
c(1 +
olmalıdır. Buna göre X in olasılık fonksiyonu,
f ( x) =
e−1010 x
x = 0,1, 2, 3,...
x!
dır. Bir yıl içinde en çok 5 tane gök cismi düşmesi olasılığı nedir?
P ( X ≤ 5) = P ( X = 0) + P ( X = 1) P ( X = 0) + P ( X = 1) + P ( X = 2) + P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5)
= f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5)
e−1010 e−10101 e−1010 2 e−10103 e−1010 4 e−10105
=
+
+
+
+
+
0!
1!
2!
3!
4!
5!
=0.067
dır. En az 10 tane gök cismi düşmesi olasılığı,
P ( X ≥ 10) = 1− P ( X ≤ 9)
= 1− ( f (0) + f (1) + f (2) + ... + f (9))
e−1010 e−10101 e−1010 2
e−10109
= 1− (
+
+
+ ... +
)
0!
1!
2!
9!
=0.542
dır.
Matlab kodu:
>> x=0:9
1-sum(exp(-10)*(10.^x)./[1 1 2 6 24 120 720 720*7 720*7*8 720*7*8*9])
Örnek 9
Ω = [ −1,1] ⊂ R , P ( A) = " A nın aralık uzunluğu"/2 olmak üzere,
X: Ω
→
ω
→
X (ω ) = ω
Y: Ω
→
R
→
R
ω
Z: Ω
ω
R
→ Y (ω ) = ω
→ Z (ω ) = ω 2
rasgele değişkenleri için,
Ω
0
-1
Ω
1
-1
0
1
Y
X
-1
Ω
1
0
0
-1
1
Z
1
olmak üzere, bu rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonları,
0
1
FX
 0


( x ) =  x/ 2 + 1/ 2


 1
,
x < −1
,
−1 ≤ x < 1
,
x ≥1
0


FY ( y ) =  y


 1
,
y<0
,
0 ≤ y <1
,
y ≥1
0


FZ ( z ) =  z


 1
,
z<0
,
0 ≤ z <1
,
z ≥1
ve dağılım fonksiyonların grafikleri,
dır.
Örnek 10 Bir torbada 2 beyaz, 3 mavi top bulunmaktadır.
a) Çekileni geri atarak ardı ardına,
b) Çekileni geri atmaksızın ardı ardına,
c) Aynı anda
üç top çekilmesi ve renklerinin gözlenmesi deneylerinde Örnek Uzaylar,
a) Ω = {BBB, BBM , BMB, MBB, BMM , MBM , MMB, MMM }
b) Ω = {BBM , BMB, MBB, BMM , MBM , MMB, MMM }
c) Ω = {{B, B, M } , {B, M , M } , {M , M , M }}
dır. X rasgele değişkeni çekilen üç toptan mavi olanların sayısı olsun. Her bir durum için X in
olasılık fonksiyonunu bulunuz.
a)
8/125 12/125 12/125
12/125 18/125
18/125 18/125
27/125
Ω = {BBB, BBM , BMB, MBB, BMM , MBM , MMB, MMM }
R
x
f ( x) = P( X = x)
0
1
0
8/125
2
3
1
36/125
2
54/125
3
27/125
b)
6/60
6/60
6/60
12/60
12/60
12/60
6/60
Ω = {BBM , BMB, MBB, BMM , MBM , MMB, MMM }
R
x
f ( x) = P( X = x)
0
1
2
1
18/60
3
2
36/60
3
6/60
c)
18/60
36/60
6/60
Ω = {{B, B, M } , {B, M , M } , {M , M , M }}
R
x
f ( x) = P( X = x)
0
1
18/60
1
2
3
2
36/60
3
6/60
Rasgele Değişkenlerin Dönüşümleri
Örnek 11 X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
1
f ( x ) = , x ∈ {−2, −1, 0,1, 2}
5
2
olsun. Y = X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonunu bulalım.
X rasgele değişkenin olasılık tablosu,
x
-2
-1
1/5
1/5
f ( x) = P( X = x)
0
1/5
1
1/5
2
1/5
dır. Y = X 2 rasgele değişkenin aldığı değerler, yani Y rasgele değişkenin değer kümesi
DY = {0,1, 4} olmak üzere, olasılık fonksiyonu,
y
g ( y ) = P (Y = y )
0
2/5
1
1/5
4
2/5
dır.
Örnek 12 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1/ 4 , −2 ≤ x ≤ 2

fX ( x) = 
 0 ,
d . y.

olsun. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
,
x < −2
 0

x+2
FX ( x) = 
, −2 ≤ x < 2
 4

,
x≥2
 1
dır. Y = X 2 rasgele değişkenin dağılımını (dağılım fonksiyonunu veya olasılık yoğunluk
fonksiyonunu) bulalım.
DX = { x : −2 ≤ x ≤ 2}
DY = { y : 0 ≤ y ≤ 4}
- y
-2
y
x
2
0
y
0
y
olmak üzere, Y nin dağılım fonksiyonu,
FY : R → [0,1]
y → FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( X 2 ≤ y)
4
0
,
y<0


= P ( X 2 ≤ y ) , 0 ≤ y < 4

y≥4
1
,

0

 
=  P  − y ≤ X ≤


1

,
y<0

y  , 0 ≤ y < 4

,
y≥4
0
,
y<0




=  FX ( y ) − FX  − y )  , 0 ≤ y < 4



y≥4
1
,

0


1 + y 1 − y
=
−
4
 4
1


,
y<0
, 0≤ y<4
,
y≥4
y<0
 0 ,

 y
=
, 0≤ y<4
2

y≥4
 1 ,

dır. Y rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
 1

fY ( y ) =  4 y
 0

, 0< y<4
, d . y.
dır.
Örnek 13 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1/ 5 ,

fX ( x) = 
 0 ,

0≤ x≤5
d . y.
olsun. Y = X rasgele değişkenin dağılımını bulalım.
DX = { x : 0 ≤ x ≤ 5}
ve
DY = {0,1, 2,3, 4,5}
olmak üzere, Y kesikli bir rasgele değişkendir. Ayrıca,
1
5
1
P(Y = 1) = P(1 ≤ X < 2) =
5
1
P(Y = 2) = P(2 ≤ X < 3) =
5
1
P(Y = 3) = P(3 ≤ X < 4) =
5
1
P(Y = 4) = P(4 ≤ X < 5) =
5
P(Y = 5) = P(5 ≤ X < 6) = P( X = 5) = 0
dır. Buna göre, Y rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
P(Y = 0) = P(0 ≤ X < 1) =
fY ( y ) = P(Y = y ) =
1
, y = 0,1, 2,3, 4
5
dır.
Görüldüğü gibi, sürekli bir rasgele değişkenin dönüşümü (fonksiyonu) olan rasgele
değişkenler sürekli olabildiği gibi (Örnek 12) bazen kesikli olabilmektedir. Kesikli bir rasgele
değişkenin dönüşümü hiçbir zaman sürekli rasgele değişken vermemektedir. Kesikli bir
rasgele değişkenin dönüşümü yine kesikli bir rasgele değişkendir.
Örnek 14 X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1

fX ( x) = 
0

,
0 < x <1
,
d . y.
olsun. Y = 6 X + 1 rasgele değişkenin dağılımını bulalım.
DX = { x : 0 < x < 6}
ve
DY = {1, 2,3, 4,5, 6}
olmak üzere, Y kesikli bir rasgele değişkendir. Ayrıca,
1
P(Y = 1) = P(0 < X < 1/ 6) =
6
1
P(Y = 2) = P(1/ 6 ≤ X < 2 / 6) =
6
1
P(Y = 3) = P(2 / 6 ≤ X < 3 / 6) =
6
1
P(Y = 4) = P(3 / 6 ≤ X < 4 / 6) =
6
P(Y = 5) = P(4 / 6 ≤ X < 5 / 6) =
1
6
1
6
dır. Buna göre, Y rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu,
P(Y = 6) = P(5 / 6 ≤ X < 1) =
fY ( y ) = P(Y = y ) =
1
, y = 1, 2,3, 4,5, 6
6
dır.
Örnek 15 Şimdi ilginç olan dönüşümlerden birini ele alalım. Sürekli X rasgele değişkenin
dağılım fonksiyonu F olmak üzere U = F ( X ) rasgele değişkeninin olasılık dağılımı nedir?
Bu dönüşüme olasılık integral dönüşümü denir.
FU ( y ) = P (U ≤ u ) = P ( F ( X ) ≤ u )
0




= P ( F ( X ) ≤ u )



1
,
u<0
,
0 ≤ u <1
,
u ≥1
u ∈ ( 0,1) olmak üzere x0 ∈ R için F ( x0 ) = u olsun. Bu durumda,
P ( X ≤ x0 ) = P ( F ( X ) ≤ u ) = F ( x0 ) = u
olacağından,
0


FU ( u ) = u


 0
,
y<0
,
0 ≤ u <1
,
u ≥1
1

fU ( u ) = 
0

,
0 < u <1
,
d.y.
ve
elde edilir. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve dağılım fonksiyonu’nun grafikleri,
fU (u )
1
u
1
FU (u )
F(x)
1
u
1
dır. QBASIC programlama dilinde RND fonksiyonu U rasgele değişkenin dağılımından sayı
üretmektedir. Sürekli bir X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu değer kümesi üzerinde
birebir olduğunda, X in dağılımından sayı üretmede F −1 (U ) , yani F −1 ( RND) değerleri
alınabilir.
PROBLEMLER
1.Aşağıdaki fonksiyonlar, yanlarında değerleri verilen bir rasgele değişkenin olasılık
fonksiyonu olmaları için c sabitinin değeri ne olmalıdır?
a)
f ( x ) = c, x = 0,1, 2, 3, 4
b)
 4
f ( x ) = c   , x = 0,1, 2, 3, 4
 x
c)
1
f ( x ) = c  , x = 1, 2, 3,…
3
d)
1
f ( x ) = c  , x = ±1, ±2, ±3,…
3
e)
f ( x ) = cx, x = 1, 2, 3
f)
f ( x ) = cx 2 , x = ±1, ±2, ±3
x
x
2. X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu
 0


1/ 4



F ( x ) = 1/ 2


3/ 4


 1
olsun.
a) Dağılım fonksiyonunu kullanarak,
P ( X ≤ 3) , P ( X = 3) , P ( X < 3)
,
x < −1
,
−1 ≤ x < 1
,
1≤ x < 3
,
3≤ x <5
,
x≥5
P ( X ≥ 1) , P ( −0, 4 < X < 0, 4 ) , P ( X = 5 )
olasılıklarını hesaplayınız.
b) X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonunu bulunuz. Olasılık fonksiyonunu
kullanarak,
P ( X ≤ 3) , P ( X = 3) , P ( X < 3)
P ( X ≥ 1) , P ( −0, 4 < X < 0, 4 ) , P ( X = 5 )
olasılıklarını hesaplayınız.
3. Her sabah 5 adet doğum günü pastası hazır bulunduran bir tatlıcının günlük satışlarının
sayısının olasılık fonksiyonu
1 
2
f ( x) =
x = 0,1, 2, 3, 4, 5
 30 + x − x  ,


140
dır. Belli bir gün içinde bu tatlıcının,
a) hiç bir pasta satmamış olması,
b) en az bir pasta satması,
c) en az 4 pasta satması,
olasılığı nedir?
4. Bir radyoaktif maddenin belli bir zaman aralığında yaydığı parçacık sayısının olasılık
fonksiyonu,
e −3 3x
f ( x) =
, x = 0,1, 2,…
x!
dır. Bu maddenin böyle bir zaman aralığında,
a) hiç bir parçacık yaymaması,
b) en az 2 parçacık yayması,
olasılığı nedir?
5. Aşağıdaki fonksiyonların bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için c sabitinin değeri ne
olmalıdır?
a)
c)
e)
g)
cx

f ( x) = 
0

cx 2

f ( x) = 
 0

,
0≤x≤2
b)
,
d . y.
,
−1 ≤ x ≤ 1
d)
,
ce −2 x

f ( x) = 
 0

c sin x

f ( x) = 
 0

d . y.
,
x≥0
f)
,
d . y.
,
0≤ x ≤π
h)
,
d . y.
c (1 − x )

f ( x) = 
 0

c x

f ( x) = 
 0

cxe − x

f ( x) = 
 0

f ( x) =
,
x <1
,
d . y.
,
0< x<4
,
d . y.
,
x>0
,
d . y.
c
, −∞ < x < ∞
1+ x2
6. X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu,
a)
 0


 1+ x

 2
F ( x) = 
1 + x 2

 2


 1
,
x < −1
,
−1 ≤ x < 0
,
0 ≤ x <1
,
x ≥1

 0
, x <1

b) F ( x ) = 
 1
1 − 2 , x ≥ 1
 x
olsun. X in olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
7. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
a)
b)
c)
1
2



f ( x) = 1
4


 0
,
0 ≤ x ≤1
,
3≤ x ≤5
,
d . y.
1 − x

f ( x) = 
 0

e x

f ( x) = 
0

,
x <1
,
d . y.
,
x<0
,
d . y.
olsun. X in dağılım fonksiyonunu bulunuz.
8. X rasgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
,
x < −1
 0


 x +1
F ( x) = 
, −1 ≤ x < 1
 2


,
x ≥1
 1
olsun.
a)
P ( X ≤ 0 ) , P ( X = 0 ) , P ( 0 < X < 1)
P ( 0 < X < 1/ 2 ) , P ( X > 1/ 2 )
olasılıklarını F fonksiyonu yardımıyla hesaplayınız.
b) X in olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz ve a) şıkkındaki olasılıkları yeniden
hesaplayınız.
9. Belli bir şehrin günlük su tüketimi (milyon litre olarak) olasılık yoğunluk fonksiyonu,
2 xe − x2 , x > 0

f ( x) = 
 0
, d . y.

olan bir rasgele değişkendir. Belli bir gün için,
a) su tüketiminin 6 milyon litreden daha fazla olmaması,
b) eğer sağlanan su miktarı en çok 2 milyon litre ise yetersiz olması,
olasılığını bulunuz.
10. X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu
f ( x) =
x2
, x = −2, −1, 0,1, 2
10
olsun. Y = X + 2 ve V = X rasgele değişkenlerinin olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
12. X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
6 x (1 − x )

f ( x) = 

0

,
0 < x <1
,
d . y.
olsun. Y = X 3 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
13. X rasgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1/ 5 , −2 < x < 3

f ( x) = 
 0 ,
d . y.

olsun.
a) Y = X + 2
b) V = X 2
rasgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonlarını bulunuz.
14. Bir atıcı yarıçapı 10 birim olan dairesel bir hedefe atışlar yapmaktadır. Yaptığı atışların
dairenin merkezine uzaklığı X olmak üzere, X in olasılık yoğunluk fonksiyonunun,
10 − x
,
0 ≤ x < 10
 50

f ( x) = 
 0
, diger yerlerde


olduğu bilinsin. Buna göre, atıcının yaptığı bir atışta,
a) X < 1 , b) 2 ≤ X ≤ 5 , c) X > 8
olması olasılığı nedir?
b) Y = 10 − X rasgele değişkenin dağılımını bulunuz.
15. Önceki problemde, atıcının hedefe yaptığı atışların “hedefsizce", “öylesine rasgele”
olması durumunda ne olur?