Olasılık ve İstatistik Eğitiminde Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon
Levent ÖZBEK
Fikri ÖZTÜRK
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü
Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı
06100 Tandoğan/Ankara
e-mail :[email protected]
1. Giriş
Olasılık ve İstatistiğin temel kavram ve kanunlarının öğretilmesi sürecinde
simülasyon (benzetim) önemli yer tutmaktadır. Bu çalışmada, “Model” ve “Simülasyon”
kavramları hakkında kısaca açıklama yapıldıktan sonra, üç problem ele alınarak bilgisayar
destekli simülasyon çalışmalarına örnek verilmiştir.
2. Model
Model, gerçek dünyadaki bir olgunun veya sistemin yapı ve işleyişinin, ilgili olduğu
bilim sahasının (fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi, ekonomi, sosyoloji,...) kavram ve
kanunlarına bağlı olarak ifade edilmesidir. Model gerçek dünyadaki bir olgunun bir
anlatımıdır, bir temsilidir. Gerçek dünyanın çok karmaşık olması sebebiyle modeller,
anlatmak istedikleri olgu ve sistemleri basitleştirerek belli varsayımlar altında ele almaktadır.
Modeller gerçeğin kendileri değildir ve ne kadar karmaşık görünseler de gerçeğin bir eksik
anlatımıdırlar. Kısaca model denilen şey model kurucunun gerçeği "anlayışının" bir
ürünüdür. Her model kurma işlemi bir soyutlama sürecidir.
Modeller değişik biçimlerde sınıflandırılmaktadır. Matematiksel modeller anlatım
gücü en fazla ve en geçerli olan modellerdir. Model kurucunun gerçek dünyadaki olguya
bakış açısına bağlı olarak modellemede farklı durumlar sözkonusu olabilir.
Gerçek dünyayı anlama ve anlatmada, yani modellemede insan aklının en güçlü iki
aracı matematik ve istatistiktir. İstatistik özellikle, rasgelelik içeren olguların
modellenmesinde ön plana çıkmaktadır.
3. Simülasyon
Bir olay, süreç veya sistemle ilgili bir özelliğin ya da davranışın model üzerinde
gözlenmesine simülasyon (simulation) denir. Simülasyona matematiksel modellerde, analitik
veya nümerik (sayısal) bir çözüm bulunamadığında başvurulduğunu hatırlatalım. Simülasyon
ile elde edilen gözlemlerin gerçek dünyadakine göre ucuz, çabuk ve tekrarlanabilir şekilde
elde edilmesi ve özellikle stokastik modellerde çok değişik koşullar altında gözlemleme
imkanı vermesi bazı durumlarda simülasyonu birinci sırada tercih edilen bir yöntem haline
getirmektedir. Ancak, simülasyon sonucunda gerçek olay, süreç veya sistemle ilgili "model
üzerinde yapılan deneyler" ile bazı “gözlem” değerlerinin elde edildiği unutulmamalıdır.
Simülasyon, eğitimde (pilot eğitimi, iş oyunları, savaş oyunları, rasgeleliğin
kavratılması,...) maliyeti düşük ve kullanışlı bir yöntemdir.
Özellikle stokastik modellerdeki simülasyonda rasgeleliğin sağlanması (olasılık
dağılımlarından rasgele sayı üretilmesi) ve simülasyon sonucunda elde edilen "gözlem"
değerlerine bağlı sonuçların "iyiliği" sorunları istatistiksel olarak çözülmesi gerekenlerden
başlıca ikisidir. Rasgele sayı üretimi kendi başına bir araştırma sahasıdır. Reel sayıların (0, 1)
aralığından rasgele sayı üretilmesi başka bir ifade ile 1 birim uzunluklu bir doğru parçasındaki
noktaların rasgele seçilmesi işleminin hesap makinalarında yer alan RND tuşu veya
bilgisayarda bulunan bir fonksiyon yardımıyla gerçekleştirildiğini belirtelim.
4.Örnekler
Örnek 1
Yarıçapı 1 br. olan bir pul, taban yarıçapı 4 br. olan bir silindirin içine atıldığında
tabanın merkez noktasını örtmesi olasılığı nedir?
1.Model : Deneyin sonucu, taban ile pulun merkez noktaları arasındaki uzaklık olarak
belirlensin yani bu uzaklık ölçülmüş (gözlenmiş) olsun. Bu uzaklık 1 br. den küçük
olduğunda pul tabanın merkez noktasını örtmüş olur.
d
.
Şekil-2
d :Tabanın merkezi ile pulun merkezi arasındaki uzaklık,
A : Pulun silindir tabanının merkezini örtmesi olayı,
olsun. Bu durumda,
Ω = { d : 0 ≤ d ≤ 3}
A = { d : 0 ≤ d ≤ 1}
dir. İki merkez arasındaki uzaklığı gösteren d sayısı deney sonucunda 0 ile 3 arasında bir
değer olacaktır. Olasılık ölçüsü olarak, A ∈ BΩ için
P( A) =
" A' nin aralik uzunlugu"
" Ω' nin aralik uzunlugu"
(
)
alınırsa, olasılık uzayı Ω, BΩ , P olmak üzere bu uzayda (modelde) sorulan olasılık
P ( A) = 1
3
olarak bulunur.
2.Model : Deneyin sonucu, başlangıç noktası silindirin tabanının merkezinde olan bir dik
koordinat sistemine göre, pulun merkez noktasının bu koordinat sistemindeki konumu olarak
belirlensin.
y
.(x,y)
x
Şekil-3
Bu durumda,
Ω * = { ( x , y ) ∈ R 2 : 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9}
ve A ∈ BΩ* için
P * ( A) =
(
" A' nıı alan ölçüsü "
" Ω * ' nıı alan ölçüsü"
)
olmak üzere Ω * , BΩ* , P * olasılık uzayında (modelinde)
A = { ( x , y ) ∈ R 2 : 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ 1}
örtme olayının olasılığı
2
P * ( A ) = π ⋅1 2 = 1
9
π ⋅3
olarak bulunur.
Bu örnekteki deney iki farklı şekilde modellendi. Bu modellerden hangisi tercih
edilecektir? Her iki modelin verdiği sonuç deney yapılarak karşılaştırılabilir. Ankara
Üniversitesi İstatistik Bölümü öğrencileri ile istatistik laboratuvarında yapılan deneyler açık
bir şekilde ikinci modeli desteklemiştir.
Örnek 2
Hücrelerin çoğalması sırasında erken mitos savhasında diploid organizmaların
hücrelerinde bulunan kromozom çiftlerindeki iki kromozomun yerlerinin rasgele veya bu iki
kromozom arasında bir etkileşme olup olmadığı merak konusudur. r yarıçaplı bir daire
içindeki iki kromozomun yerleri rasgele ise aralarındaki uzaklığın olasılık dağılımı ne olur?
X , r yarıçaplı bir dairenin içinden rasgele seçilen iki nokta arasındaki uzaklık olmak
üzere X in olasılık dağılımı nedir? Teorik yollardan X in olasılık dağılımı nasıl bulunabilir?
Olasılık ve İstatistik dersi öğrencileri için bu oldukça ağır bir soru olmaktadır ve gözlediğimiz
kadarıyla olumlu cevap gelmemektedir.
r
x
Şekil-4
Simülasyon yaparak, yani r = 10 yarıçaplı daireden rasgele iki nokta seçip
aralarındaki X uzaklığı gözlemlenebilir. Bu işlemi 850 defa tekrarlayıp elde edilen
x1 , x 2 ,..., x850 lerin histogramı çizildiğinde (Şekil-5), bu histogram X rasgele değişkeninin
dağılımı hakkında bir fikir verecektir.
Teorik olarak X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,
f( x) =
2x
π .r 2
[2 arccos(
x
2. r
)−
x
r
]
1 − ( 2x.r ) 2 ,
0 < x < 2r
olarak elde edilir (Tuckwell, 1988, sayfa 22). f yoğunluk fonksiyonunun r = 10 için grafiği
Şekil-6 da verilmiştir.
Görüldüğü gibi simülasyondan elde edilen
fonksiyonunun biçimi hakkında bir fikir vermektedir.
histogram
olasılık
yoğunluk
Hemen ikinci bir soru daha sorulsun. X rasgele değişkeninin beklenen değeri nedir?
2r
[
E ( X ) = ∫ x π2.rx2 2 arccos( 2x.r ) −
0
x
r
]
1 − ( 2x.r ) 2 dx
olmak üzere bu integralinin hesabı zordur. Simülasyona başvurduğumuzda r = 10 için
yukarıdaki 850 gözlemin aritmetik ortalaması x =8.952 olarak bulunmuştur.
150
y
c
n
e
u
q
e
r
F
100
50
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
C1
Şekil-5
Şekil-6
5. Sonuç
Verilen örneklerden görülebileceği gibi, simülasyon çalışmaları kurulan model
üzerinde yapılmakta, dolayısıyla simulasyon sonuçları modelin verdiği sonuçları
desteklemektedir. İlgilenilen olguyu modelleme sürecindeki bakış açısına bağlı olarak değişik
modeller oluşturulabileceğinden simulasyon sonuçları da değişecektir.
Deneye göre, simülasyon ile elde edilen “gözlemler” bilgisayarda kolay ve hızlı
biçimde elde edilir. Özellikle görsel ve hareketli görüntülerle desteklenen simülasyon
programları eğitim sürecine katılanların dikkatini çekerek, konunun zevkli hale gelmesini
sağlar.
Bu çalışmada ele alınan örneklerin Deney-Model-Simülasyon üçlüsünün herbiri
içinde belli çözümleri vardı. Örneğin Buffon’un iğne problemi için de bu yapılabilir. Ancak,
düzlemde işaretlenmiş belli bir noktanın 10 cm. üstünden küçük boncukların bırakılması ve
düştükten sonra boncuk ile işaretlenmiş nokta arasındaki uzaklığın ölçülmesi deneyinde bir
model kurmak mümkün görünmemektedir. Bu durumda simülasyon da yapılamayacaktır.
Ancak uzaklığın dağılımı hakkında deney yaparak elde edilen gözlemlerden istatistiksel sonuç
çıkarım yapılabilir (önerilen bir dağılıma uyum iyiliği testi, olasılık yoğunluk fonksiyonu
tahmini gibi).
Kaynaklar :
- Akdeniz, F.; Olasılık ve İstatistik, Ankara Üniversitesi Basımevi, Ankara, 1984.
- Morgan, B.J.T.; Elements of Simulation, Chapman and Hall, 1992.
- Öztürk, F.; Matematiksel İstatistiğe Giriş, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yay-No:10, 1993.
- Öztürk, F., Özbek L., Kaya, M.F.; İS351 İstatistik Laboratuvarı, AÜFF, İstatistik Bölümü, 1993.
- Tuckwell, H.C.; Elementary Applications of Probability Theory, Chapman and Hall, 1988.