Ön Söz

Ön Söz
Lineer cebir; son yıllarda matematikçilerin ve matematik öğretmenlerinin, mühendislerin, bilgisayar bilimcilerin, fizikçilerin, ekonomistlerin, istatistikçilerin ve diğer bilimcilerin matematik temellerinin vazgeçilmez bir
parçası hâline gelmiştir. Bu gereksinme, konunun önemini ve geniş uygulama alanlarını yansıtmaktadır.
Bu kitap lineer cebir dersi için bir ders kitabı olarak veya tüm yaygın ders kitaplarına yardımcı kitap olarak
geliştirilmiştir. Kitabın amacı lineer cebire giriş yapmaktır ki bu eser özel ilgi alanları ne olursa olsun tüm
okurlara yardımcı olacaktır. Kitapta çoğu giriş derslerinin kapsayabileceğinden daha fazla konu işlenmiştir.
Bunun amacı kitabı daha esnek bir hâle getirmek, yararlı bir kaynak kitap oluşturmak ve konulara ilgiyi daha
fazla artırmaktır.
Her bölüm ilgili tanımların, ilkelerin ve teoremlerin diğer tanımlayıcı ve açıklayıcı materyalleriyle birlikte
açık ve net bir biçimde verilmesiyle başlar. Daha sonra zorluk seviyesi giderek artan çözümlü ve ek problemlerle devam edilir. Çözümlü problemlerin amacı, teoriyi geniş olarak açıklamak, örneklemek ve etkili öğrenme
için temel prensiplerin tekrarını sağlamaktır. Çok sayıda ispat, özellikle tüm temel teoremlerin ispatları, çözümlü problemler arasındadır. Ek problemler, her bir bölümdeki konuların tümünün tekrarı amacını taşır.
İlk üç bölümde Öklid uzayları, matris cebiri ve lineer denklem sistemleri incelenecektir. Bu bölümler vektör uzayları, lineer dönüşümler ve bunları takip eden diğer konuların soyut incelemeleri için motivasyon ve
temel hesaplama araçları sağlar. İç çarpım uzayları, ortogonallik ve determinant bölümlerinden sonra verilen
koşullara göre köşegen bir matrisle temsil edilen bir lineer operatör için özdeğer ve özvektörlerin detaylı bir
incelemesi yapılacaktır. Bu da doğal olarak çeşitli kanonik biçimleri, özel olarak üçgensel, Jordan ve rasyonel
kanonik biçimleri çalışmaya yol açar. Sonraki bölümler lineer fonksiyonelleri, V* dual uzayını ve ikilineer,
kuadratik ve Hermityen biçimleri içerir. En son bölümde ise iç çarpım uzayları üzerinde lineer operatörler
incelenecektir.
Dördüncü basımda temel değişiklikler ek bölümlerde olmuştur. Her şeyden önce Ek A’yı vektör uzaylarında tensör ve dış çarpımlar üzerine genişlettik ve bu şekildeki çarpımların varlık ve teklikleri hakkındaki
ispatlarını da dâhil ettik. Ayrıca modüller dâhil cebirsel yapıları ve bir cisim üzerindeki polinomları içeren bölümleri de ekledik. Ek D, “Bazı Ek Konular” bölümü ise istatistik gibi çeşitli alanlarda uygulamaları bulunan
genelleştirilmiş Moore–Penrose tersi konusunu içerir. Ayrıca birçoğu çözülmüş ek problemler de vardır.
Son olarak mükemmel iş birliklerinden dolayı McGraw−Hill Schaum Serisi çalışanlarına, özellikle Charles
Wall’e teşekkür ederiz.
Seymour Lıpschutz
Marc Lars Lıpson
iii
Black
plate
(4,1)
Blackplate
plate(4,1)
(4,1)
Black
Black
plate
(4,1)
Listesi
ListSembol
of Symbols
A
=¼
2727
A
½a
matrix,
27
A
½a
matrix,
ij�,�,
A¼
¼[a
½aijijij],
�,matris,
matrix,
27
ij
��¼
�A
,
eşlenik
matris,
38 38
�,
conjugate
matrix,
38
¼
½�
a
�,
conjugate
AA
½�
a
matrix,
38
¼ ½�aijijijij �, conjugate matrix,
|A|,
determinant,
264,
268
jAj,
determinant,
264,
268
jAj,
determinant,
264,
268
jAj, determinant, 264, 268
A*,
ek,
377 377
A*,
adjoint,
377
A*,
adjoint,
A*,
adjoint,
377
H
H
H,,eşlenik
H
H
A
transpoz,
38 38
A
conjugate
transpose,
38
A
,
conjugate
AT , conjugate transpose,
transpose,
38
T,,transpoz,
TTT
A
33
A
transpose,
33
A
,
transpose,
33
A+ , transpose, 33
þ
þ Moore–Penrose
þ
A
inverse,
418
A
tersi,
418 418
A
Moore–Penrose
inverse,
Aþ,,,,Moore-Penrose
Moore–Penrose
inverse,
418
A
,
minor,
269
A
,
minör,
269
A
,
minor,
269
Aijijijijij , minor, 269
AðI;
minor,
273
A(I,
273
AðI;
JJJÞ,Þ,
minor,
273
AðI;J),
Þ,minör,
minor,
273
AðV
Þ,
linear
operators,
174
A(V),
lineer
operatörler,
AðV
Þ,
linear
operators,
174
AðV Þ, linear operators,174
174
adj
A,
adjoint
(classical),
271
adj
A,
ek
(klasik),
271
adj
A,
adjoint
(classical),
adj A, adjoint (classical), 271
271
A
�
B,
row
equivalence,
72
A
∼
B,
satırca
denklik,
72
A
�
B,
row
equivalence,
72
A � B, row equivalence, 72
’
B,
congruence,
360
kongruans,
AA
360
A’
’B,
B,, congruence,
congruence,360
360
C,
complex
numbers,
11
boy
V,
boyut,
124
C,
complex
numbers,
C, complex numbers, 11
11
nnnn, complex n-space, 13
C
C,
kompleks
sayılar,
11
C
,
complex
n-space,
13
C , complex n-space, 13
n
C½a;
b�,
continuous
functions,
228
C
, kompleks
n-uzay,functions,
13
C½a;
b�,
228
C½a;
b�, continuous
continuous
functions,
228
Cð
f
Þ,
companion
matrix,
304
Cð
f
Þ,
companion
matrix,
304
C[a,
b],
sürekli
fonksiyonlar,
228
Cð f Þ, companion matrix, 304
colsp
ðAÞ,
column
space,
120
colsp
column
C(
f ),ðAÞ,
eş matris,
304space,
colsp
ðAÞ,
column
space, 120
120
dðu;
vÞ,
distance,
5,
241
dðu;
vÞ,
distance,
5,
241
Çek
F,
çekirdek,
169
dðu; vÞ, distance, 5, 241
diagða
diagonal
matrix,
35
diagða
;;;.........;;;aaann
diagonal
d(u,
v),11
uzaklık,
5,Þ,Þ,
11
nn
11
nn
diagða
Þ,241
diagonal matrix,
matrix, 35
35
11
nn
diagðA
;
.
.
.
;
A
Þ,
block
diagonal,
40
diagðA
;
.
.
.
;
A
Þ,
block
diagonal,
40
det(A),
determinant,
268
11
nn
11 ; . . . ; Ann
nn Þ, block diagonal, 40
diagðA11
11
nn
detðAÞ,
268
detðAÞ,
{e
,determinant,
en}, alışılmış268
baz,
detðAÞ,
determinant,
268 125
1, . . . determinant,
dim
V
,
dimension,
124
dim
V
,
dimension,
124
E
,
iz
düşümler,
384
dim
V , dimension, 124
k
........B,
g, usual
usual basis,
basis,
125
fe
;;;eeenndönüşüm,
g,
ffe
: 1A
164 125
111;;;.→
fe
nn g, usual basis, 125
E
,
projections,
384
E
,
projections,
384
F(X),
fonksiyon
uzayı,
114
Ekkkk , projections, 384
ff :::AA
!
B,
mapping,
164
fG
B,
bileşke,
173 164
AF,!
!
B, mapping,
mapping,
164
FðX
Þ,
function
space,
114
FðX
Þ,
function
space,
Hom(V,
U),
homomorfizmler,
FðX Þ, function space, 114
114 174
�
F,
composition,
173
G
�
F,
composition,
173
IG
,
birim
matris,
33
G
n � F, composition, 173
HomðV
U
homomorphisms,
174
HomðV
;;;U
174
Im
F, görüntü,
169
HomðV
UÞ,Þ,
Þ, homomorphisms,
homomorphisms,
174
k,
9
i,i,i,i, j,
j,j,j,k,
k,
9
9
k, 9
IInnnn,,, identity
identity
matrix,
33
Iiz(A),
iz, 33 matrix,
identity
matrix, 33
33
Im
F,
image,
169
Im
F,
image,
169
izd(u,
v),
iz
düşüm,
6,
Im F, image, 169 234
JJðlÞ,
ðlÞ,
Jordan
block,
329
Jizd(u,
block,
329
V),
iz düşüm,
ðlÞ, Jordan
Jordan
block,235
329
K,
field
of
scalars,
112
K,
of
J(λ),
Jordan
blok,
329112
K, field
field
of scalars,
scalars,
112
Ker
F,
kernel,
169
Ker
F,
K,
skalar
cisim 169
Ker
F, kernel,
kernel,
169
mðtÞ,
minimal
polynomial,
303
mðtÞ,
koluz(A),
kolonpolynomial,
uzayı, 120 303
mðtÞ, minimal
minimal
polynomial,
303
M
;
m
�
n
matrices,
114
M
;
m
�
n
matrices,
114
köşeg(a
,
.
.
.
,
a
),
köşegen
matris,
35
m;n
m;n
Mm;n
;
m
�
n
matrices,
114
nn
m;n 11
iv
iv
iv
köşeg(A
,5,
. , A227,
n-space,
13,
227,
240
n-space,
240
n-space,115,
5,. .13,
13,
227,
240köşegen, 40
nn), blok
M
,
m
×
n
matrisler,
114
P(t),
polynomials,
114
P(t),
polynomials,
114
P(t),
m,n polynomials, 114
m(t),
minimal
polinom,
303
P
ðtÞ;
polynomials,
114
P
ðtÞ;
polynomials,
114
Pnnnn ðtÞ; polynomials, 114
n-uzay,
5,
13,
227,
240
projðu;
vÞ,
projection,
234
projðu;
vÞ,
projection,
6,
projðu; vÞ, projection, 6,
6, 234
234
P(t),
polinomlar,
114
projðu;
V
Þ,
projection,
235
projðu;
V
Þ,
projection,
235
projðu; V Þ, projection, 235
PQ,
polinomlar,
114 11
rational
numbers,
11
Q,
rational
numbers,
Q,
rational
numbers,
11
n(t),
R,
real
numbers,
1
Q,
rasyonel
sayılar,
11
R,
real
numbers,
1
R, real numbers, 1
nnn, real
R
n-space,
R,
sayılar,
1 222
R
n-space,
Rn,reel
, real
real
n-space,
n
rowsp
ðAÞ,
row-space,
120
R
,
reel
n-uzay,
2
rowsp
ðAÞ,
row-space,
120
rowsp ðAÞ, row-space,
120
?
orthogonal
complement,
231
,,,,ortogonal
tümleyen,
231
SSSS⊥???
orthogonal
complement,
orthogonal complement, 231
231
sgn
s,
sign,
parity,
267
satuz(A),
satır
uzayı,
120
sgn
s,
sign,
parity,
267
sgn s, sign, parity, 267
spanðSÞ,
linear
span,
119
sgn
σ, işaret,
parite,
267119
spanðSÞ,
linear
span,
spanðSÞ,
linear
span,
119
trðAÞ,
trace,
33
span(S),
lineer
geren,
119
trðAÞ,
trace,
33
trðAÞ, trace, 33
½T�
matrix
representation,
195
95
[T]
½T�
matrix
representation,
195
½T�SSSSS,,,,matris
matrixgösterimi,
representation,
195
TT*,
*,
adjoint,
377
T*,
ek,
377
T
adjoint,
377
*, adjoint, 377
TT-invariant,
-invariant,
327
T–değişmez,
T
327
-invariant, 327
327
transpose,
351
T
transpose,
TTTtttt,t,,, transpoz,
351
transpose, 351
351
kuk,
norm,
5,
227,
241
kuk,
norm,
5,
13,
227,
241
,
norm,
5,
13,
227,
241
kuk, norm, 5, 13,
13,
227,
241
½u�
,
coordinate
vector,
130
½u�
,
coordinate
vector,
[u]
,
koordinat
vektörü,
130
½u�SSSSS , coordinate vector, 130
130
v,
dot
product,
4,
13
uuuu�⋅��v,
dot
product,
4,
13
nokta
çarpım,
4,
13
v, dot product, 4, 13
hu;
vi,
inner
product,
226,
238
hu;
vi,
product,
226,
⟨u,
çarpım,
226, 238
hu;v⟩,
vi,içinner
inner
product,
226, 238
238
v,
cross
product,
10
uuuu�
v,
cross
product,
10
�
v,
çapraz
çarpım,
10
� v, cross product, 10
�
v,
tensor
product,
396
uuu�
tensor
product,
396
⊗
396
�v,
v,tensör
tensorçarpım,
product,
396
v,
exterior
product,
401
uuu^
v,
exterior
product,
∧^
v,
dış
çarpım,
401
^ v, exterior product, 401
401
�
v,
direct
sum,
129,
327
uuu�
v,
direct
sum,
129,
327
⊕
direkt
toplam,
129,
327
� v, direct sum, 129, 327
ffi
U,
isomorphism,
132,
169
VV
ffi
U,
isomorphism,
132,
≅
U,
izomorfizm,
132,
169
V ffi U, isomorphism, 132, 169
169
�
W
,
tensor
product,
396
VV
�
W
,
tensor
product,
396
⊗
W,
tensör
çarpım,
396
V � W , tensor product, 396
V
*,
dual
space,
349
V
dual
space,
349
V*,
349
V*,
*,dual
dualuzay,
space,
349
V
**,
second
dual
space,
350
V
**,
second
dual
space,
V**,
ikinci
dual
uzay,
350 350
V
**,
second
dual
space,
350
V
V
Vrrrr V , exterior product,
401
VV,,, exterior
product,
401
exterior
product,
dış
çarpım,
401 401
000 annihilator, 351
W
W
annihilator,
W00,,,,sıfırlayan,
annihilator,
351
W
351351
��z,
complex
conjugate,
12
�z,
complex
conjugate,
z,, kompleks
complex conjugate,
12
eşlenik, 1212
Zðv;
T
Þ,
T
-cyclic
subspace,
330
Zðv;
T
Þ,
T
-cyclic
subspace,
Zðv;
T
Þ,
T
-cyclic
subspace,
330
Z(v, T), T–devirli altuzay, 330330
Kronecker
delta,
37
dδddijijijij,,,,Kronecker
Kronecker
delta,
37
Kronecker
delta,
37
delta, 37
ij
DðtÞ,
characteristic
polynomial,
294
DðtÞ,
characteristic
polynomial,
DðtÞ,karakteristik
characteristic
polynomial,
294
∆(t),
polinom,
294 294
l,
eigenvalue,
296
l,
eigenvalue,
296
l,
eigenvalue,
296
λ,
296
P
P
Pözdeğer,
summation
symbol,
29
,,, summation
symbol,
summation
symbol,
29
∑, toplam
sembolü,
29 29