Matris tersinin bazı özelikleri

Matris tersi
1
A
A’ matrisi nxn boyutlu bir matris olsun.
BA=I ve AB=I olmasını sağlayan en fazla bir B
matrisi bulunabiliniyorsa A matrisi tersinirdir denir
ve B A’nın tersi olarak isimlendirilip A-1
ile
gösterilir.
1
1
AA  A A I
Aynı matrisin birden fazla tersi olabilir mi?
A matrisinin soldan tersi B
sağdan tersi C
BA=I
AC=I olsun
B  BI  B ( AC )  ( BA)C  IC  C
BC
Q.E.D
Q.E.D. quod erat demonstrandum
Matris tersinin bazı özelikleri
A 
1 1
 AB
1
A
1
B A
1
Matris tersi hesaplamak için bir yöntem….
1
AA  I



a
a
...
a
a
a
...
a
 11
1 0 .... 0
12
1n   11
12
1n 

  
a
 a

a
...
a
a
...
a
0
1
22
2 n   21
22
2n 
 21


 .
 .
 .





.
.


 .

 .
 .
 .


 

  
... ann  0
.... 1
an1 an 2 ... ann  an1
n tane denklem takımı çözeceğiz
Gauss-Jordan Metodu
A I 
I
A
1

Nasıl? ………………………………………………………….……
Bir örnek….
 1 2  3
A   2
1
0 
 4  2 5 
  1 2  3 1 0 0
A I    2 1 0 0 1 0
 4  2 5 0 0 1
1 0 0    1 2  3 1 0 0 

 2 1 0  2 1
0 0 1 0
P AI  

4 0 1  4  2 5 0 0 1
 
 1 2  3 1 0 0
ˆA Iˆ   0 5  6 2 1 0


 0 6  7 4 0 1
 
1
0
0   1 2


1
0  0 5
Pˆ Aˆ Iˆ  0
0  5
1  0 6
6 

 
 1 2  3 1

  0 5 6 2
0 0 1 8

5 5
 3 1 0 0

 6 2 1 0
 7 4 0 1
0

1
1
0  U L
6
1
5

0


U L 
1
~ 1
P U L 
 1 2  3 1

  0 5 6 2
0 0 1 8

5 5
0

1
0
6
1
5

0
1 0 15   1 2  3 1
0
0




 0 1 30  0 5  6 2
1
0



8
6
1
0
0

1
0 0 1  

5 5
5
 1 2

0 5
0 0

0 25
0 50
1 8
5 5
15 

 35 30
6
1 
5

 18

 ~ ~1
P UL

1  2
0 1 2
5 

1
0 0 5
 0
0
0
1 0 0


 1 0

0 5
0 0

P U L 
1
0 5
0 50
1 8
5 5
0 25
0 50
1 8
5 5
15 

 35 30
6
1 
5

 18
3

 35 30
6
1 
5

4
 1 0 0  1 0



0 1
0  0 5
5
 0
0 5  0 0

0 5
0 50
1 8
5 5
3

 35 30
6
1 
5

4
1 0 0  5 4  3


0 1 0 10  7 6   I A1
0 0 1 8  6 5 

 1 2  3


A 2
1
0
 4  2 5 

 5 4  3


1
A   10  7 6 
 8  6 5 
Lineer Vektör Uzayı
x, y, z  V ve  ,   F
cebrik işlem

ve
.
VT2
VT3
VT4
x, y  V
V
olmak üzere ‘de iki
aşağıdaki gibi tanımlanmış olsun
Vektör toplama (VT)
VT1
V
x  y V x, y V
xy  yx
x, y, z  V ( x  y )  z  x  ( y  z )
!0 V  x V x  0  x
x  V
!(-x )  V  x  ( x)  0
Skaler ile çarpma (SÇ)
SÇ1
 .x V x V ,   F
  F x,y V .x  y   .x  . y
SÇ2
 ,   F x V    .x  .x   .x
SÇ3
 ,   F x V   .x   .x
SÇ4
x V 1.x  x
Bazı vektör uzayı örnekleri
R
2
R
3
m n
boyutlu matrisler uzayı
f (x)
Fonksiyonlar uzayı
Alt uzay
V
lineer vektör uzayının bir alt uzayı Va aşağıdaki
özelliği sağlayan boş olmayan bir alt kümedir
x, y Va α,β  F  .x   . y Va
Alt uzay için ne diyebilirsiniz? ………………………………………….
Bazı alt uzay örnekleri….
R
3
‘ün bir alt uzayı
n n boyutlu matrislerin bir alt uzayı
f (x) fonksiyonlar uzayı
lineer bağımsız vektör kümesi
v1 , v2 ,..., vk V
ve
c1 , c2 ,..., ck  F
olsun
c1.v1  c2 .v2  ...  ck .vk  0  c1  c2  ...  ck  0
v1 , v2 ,..., vk V
lineer bağımsızdır.
Aksi taktirde lineer bağımlıdır ve içlerinden en az biri
diğerleri cinsinden ifade edilebilir.
Biraz örnek….
1
1
1
 2
v1  0, v2  1, v3  1, v4  3
0
0
1
4
Bu vektörler lineer
bağımsız mıdır?
A Matrisinin satır ve sütunları lineer bağımsız mıdır?
2
0
A
0

4
3 4 1
6 7 0
0 0 9

6 8 2
3 3 2
1
A   2
6 9 5
 1  3 3 0
Bir sonuç….
R
m
‘de verilmiş olan n tane vektör n>m ise lineer bağımlıdır.
1 2 1 
 ,  ,   
1 3 2 
R
...
‘de verilmiş olan ….. tane vektör
Bir alt uzayın örtülüşü…..
v1 , v2 ,..., vk V
olmak üzere Va ‘da ki her va vektörü
va  c1.v1  c2 .v2  ...  ck .vk şeklinde vi vektörleri
cinsinden yazılabiliniyorsa vi vektörleri Va vektör uzayını
örter.