Lineer Cebir ve Müh. Uyg. İç Çarpım

28.12.2015
Lineer Cebir ve Müh. Uyg.
İç Çarpım
Doç.Dr. M. Kemal Güllü
İç Çarpım
• Bu konuda
– Rn’de uzunluk, açı, mesafe ve dikgenlik
kavramlarının
genel
vektör
uzaylarında
genelleştirilmesi
– Bu kavramların farklı uygulamaları
ele alınacaktır.
1
28.12.2015
İç Çarpım
• Tanım:
– V gerçek uzayındaki bir iç çarpım, bileşenleri V
uzayında vektörler olan <u,v> gerçek sayısı ile ilişkili
ve aşağıdaki aksiyomları sağlayan bir fonksiyondur:
– İç çarpımlı bir gerçek vektör uzayı, gerçek çarpım
uzayı (real product space) olarak da adlandırılır.
İç Çarpım
• Rn’de u ve v vektörlerinin iç çarpımı:
«Rn’de Öklid iç çarpımı (standart iç çarpım)»
• Tanım: Eğer V gerçek iç çarpım uzayı ise,
vektör uzunluğu (norm) ve uzaklık:
2
28.12.2015
İç Çarpım
İç Çarpım
• Her ne kadar Öklid iç çarpım Rn’de en önemli iç
çarpım olsa da, bazı uygulamalarda çarpımın
her bir elemanının ayrı ağırlıklandırılması
istenmektedir (Ağırlıklandırılmış Öklid İç
Çarpımı).
3
28.12.2015
İç Çarpım
İç Çarpım
4
28.12.2015
İç Çarpım
• Örnek: Aritmetik Ortalama
– Fiziksel bir deneyin olası çıktıları:
– Deneyin m kez tekrarı bu değerlerin farklı
frekanslarda oluşmasını sağlar (fi).
– Gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalaması:
İç Çarpım
5
28.12.2015
İç Çarpım
• İç Çarpım Uzayında Birim Çemberler ve Küreler:
İç Çarpım
6
28.12.2015
İç Çarpım
İç Çarpım
• Matrislerle Üretilen İç Çarpımlar:
– Öklid ve ağırlıklandırılmış Öklid iç çarpımları,
matris iç çarpımı olarak da bilinir ve Rn’de iç
çarpımların bir genel sınıfının özel bir durumudur.
– Bu sınıftaki iç çarpımları tanımlamak için Rn’de
tanımlı u ve v sütun vektörleri ile tersi alınabilir bir
Anxn matrisi tanımlayalım.
– Eğer u∙v Rn’de Öklid iç çarpımı ise
ifadesi de bir iç çarpım tanımlar.
«Rn’de A ile üretilmiş iç çarpım»
7
28.12.2015
İç Çarpım
İç Çarpım
8