10 Lineer Operatörler

10
Lineer Operatörler
Tan¬m 10.1 T , D(T ) tan¬m bölgesi ve R(T ) de¼
ger bölgesi ayn¬cisim üzerinde
vektör uzay¬ olan bir operatör olsun. Her x; y 2 D(T ) ve her ; skaleri için
T ( x + y) = T x + T y oluyorsa T ’ye lineer operatör denir.
Teorem 10.1 X ve Y ayn¬cisim üzerinde iki vektör uzay¬, D(T ) X ve R(T )
Y olmak üzere T : D(T ) ! R(T ) lineer bir operatör olsun. T 1 : R(T ) ! D(T )
ters
operatörün
mevcut
olmas¬ için
gerek
ve
yeter
şart
N (T ) = fx 2 D(T ) : T x = Y g ile tan¬mlanan T ’nin s¬f¬r uzay¬ için
N (T ) = f X g olmas¬d¬r.
Soru 10.1 T (x1 ; x2 ) = (x2 ; x1 ) ile tan¬mlanan T : R2 ! R2 operatörünün lineer
oldu¼
gunu gösteriniz.
Çözüm: x; y 2 R2 ve her ; skaleri için
T ( x + y)
= T ( (x1 ; x2 ) + (y1 ; y2 ))
= T ( x1 + y1 ; x2 + y2 )
=
( x2 + y2 ; x1 + y1 )
=
(x2 ; x1 ) + (y2 ; y1 )
=
Tx + Ty
gerçeklendi¼
ginden T lineerdir.
Soru 10.2 T (x1 ; x2 ) = (x1 ; 0) ile tan¬mlanan T : R2 ! R2 operatörünün s¬f¬r
uzay¬n¬belirleyiniz.
Çözüm: x 2 R2 : T x =
= x 2 R2 : (x1 ; 0) = (0; 0) = x 2 R2 : x1 = 0
oldu¼
gundan N (T ) = f0g R elde edilir.
Soru 10.3 T : X ! Y lineer bir operatör olsun. X’in bir alt uzay¬n¬n görüntüsünün Y ’nin bir alt uzay¬oldu¼
gunu gösteriniz.
Çözüm: V
X bir alt vektör uzay¬olsun. y1 ; y2 2 T (V ) = fT x : x 2 Xg
ve ; skalerlerini alal¬m. O halde y1 = T x1 ve y2 = T x2 olacak şekilde
x1 ; x2 2 X mevcuttur. y1 + y1 = T x1 + T y1 olup T lineer oldu¼
gundan
y1 + y1 = T ( x1 + x2 ) gerçeklenir. Di¼
ger yandan V lineer uzay oldu¼
gundan
x1 + x2 2 V gerçeklenir. O halde y1 + y1 2 T (V ) olmal¬d¬r.
Soru 10.4 I·ki lineer operatörün çarp¬m¬(birleşimi) mevcutsa, bu çarp¬m¬n lineer
oldu¼
gunu gösteriniz.
21
Çözüm: X; Y ve Z ayn¬ cisim üzerinde üç vektör uzay¬, T : X ! Y ve
S : Y ! Z lineer operatörler olsun. O halde her x1 ; x2 2 X ve ; skalerleri
için
ST ( x1 + x2 )
=
S(T ( x1 + x2 ))
=
S( T x1 + T x2 )
=
(ST ) x1 + (ST )x2
gerçeklenir ki bu da çarp¬m¬n lineer oldu¼
gunu gösterir.
Soru 10.5 T : D(T ) ! Y tersi var olan lineer bir operatör olsun. fx1 ; x2 ; :::; xn g
D(T )’de lineer ba¼
g¬ms¬z bir küme ise, fT x1 ; :::; T xn g kümesinin de lineer ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu gösteriniz.
Çözüm: 1 ; 2 ; :::; n skalerleri için 1 T x1 + 2 T x2 + ::: + n T xn = Y
olsun. T lineer oldu¼
gundan T ( 1 x1 + 2 x2 + ::: + n xn ) = Y gerçeklenir. T 1
mevcut oldu¼
gundan N (T ) = f X g olup bu durumda 1 x1 + 2 x2 + ::: + n xn =
g¬ms¬z oldu¼
gundan 1 = 2 = ::: = n = 0 olup
X gerçeklenir. Sistem lineer ba¼
bu da fT x1 ; :::; T xn g kümesinin lineer ba¼
g¬ms¬zl¬g¼¬n¬ispatlar.
Soru 10.6 R üzerinde tan¬ml¬, her yerde her mertebeden türevi mevcut olan tüm
reel
de¼
gerli
fonksiyonlardan
oluşan
X
vektör
uzay¬ veriliyor.
T : X ! X dönüşümü, y(t) = T x(t) = x0 (t) ile tan¬mlanmak üzere T 1 operatörünün mevcut olmad¬g¼¬n¬gösteriniz.
Çözüm: N (T ) s¬f¬r uzay¬n¬belirleyelim. Bunun için T x = olacak şekilde
bir x 2 X alal¬m. O halde her t 2 R için x0 (t) = 0 olup bu ise x fonksiyonunun
herhangi
bir
sabit
fonksiyon
olmas¬n¬ gerektirir.
Yani
N (T ) = fx : x(t) = c; c 2 Rg gerçeklenir. O halde Teorem 10.1’den T 1 mevcut
de¼
gildir.
22