Slide 1 - Ninova

Bazı kelimeler
Pivot: that upon or around which something turns or
depends; the central, cardinal or crucial factor,
member, part, etc.
Orthogonal: right-angled, rectangular
ortho-: a combining form meaning:a) straight, b) upright,
c) right; correct; proper
Dik vektörler ve ortogonal altuzaylar
İki boyutlu uzayı örten bir baz vektörleri
Bir başka baz vektörleri
1 0 
kümesi: B1  0, 1 
    
1 1 
B

kümesi: 2 0, 1 
    
Bu bazların oluşturduğu uzayları canlandıralım
B1
B2
Geometrik
bakış açısı
Cebirsel
bakış açısı
Dik baz vektörleri
ortagonal baz
Ortogonal bazı nasıl oluşturabiliriz?
önce
bir vektörün boyu …….
vektörlerin dikliğinin testi…..
lineer bağımsız vektörlerden dik
vektörler oluşturmak….
Vektörün boyu x
Boyut iki ise:
2
x x x
2
1
2
2
Boyut n ise:
2
x
 x1 
0
 
 x1 
x   x2 
 x3 
x x x x
2
1
0
x 
 2
2
2
Boyut üç ise:
2
x 
x   1
 x2 
 x1 
x 
 2
2
3
 x1 
:
x 
.
 
 xn 
x  x12  x22  ...  xn2  xT x
0
0
 
 x3 
 x1 
0
 
 0 
 x1 
x 
 2  0 
 x3   x 
2
 
 0 
 x1 
x 
 2
 0 
x ve y acaba birbirlerine dik mi?
Aradığımız diklik için bir test: Pisagor eşitliğine
 x1 
dikkatle bakalım
x 
 2
 xˆ1 
 xˆ 
 2
 x1 
x 
 2
0 
0 
 
x  xˆ 
x  x x
2
1
2
2
x ve y birbirine dik ise: x  xˆ  x  xˆ
2
2
2
x1  xˆ1 2  x2  xˆ2 2
2
2
?
x  xˆ  x  xˆ
x
2
1
2
 
 x22  x32  ...  xn2  xˆ12  xˆ22  xˆ32  ...  xˆn2
 x1  xˆ1   x2  xˆ2   ....  xn  xˆn 
2
2


 

2





 x12  2 x1 xˆ1  xˆ12  x22  2 x2 xˆ2  xˆ22  ...  xn2  2 xn xˆn  xˆn2

2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 x  x  ...  x  2x1 x1  x2 x2  ...  xn xn   x1  x2  ...  xn
2
1
2
2
2
n
xT xˆ  x1
x2
0
 xˆ1 
 xˆ 
 2
... xn  :    x1 xˆ1  x2 xˆ2  ...  xn xˆ n 
 
.
 xˆn 
T
x
,
y

V
olmak
üzere
x
y  F , x ve y’nin iç
Son olarak:
çarpımı olarak tanımlanır.
xT y  0  x  y
Lineer bağımsız vektörler ve dik vektörler : aralarındaki ilgi
nedir?
S  x1 x2 ... xn V xi T x j  0 i, j  S1 lineer
bağımsız
vektörlerden
oluşmaktadır
Bununun doğru olduğunu gösterelim
Tanıt: xi ‘ler dik ama lineer
bağımlı olsun.
bunlar nasıl büyüklükler
 ci  0 c1 x1  c2 x2  ....  cn xn  0
bunlar nasıl büyüklükler
x1T c1 x1  c2 x2  ....  cn xn   x1T 0  0
xi ‘ler dik
xT1x j  0 j  2,3,..n
c1 x1T x1  0
c1  0
x2T x j  0 j  1,3,...n
c2 x2T x2  0
c2  0



xnT x j  0 j  1,2,..., n 1






cn xnT xn  0
cn  0
■
En bilindik ortogonal vektörler kümesi….
e1 , e2 ,...en R n
birim vektörler (unit vectors)
1 
0 
0 
0 
1 
0 
e1   , e2   , .....,en   
:
:
:
.
.
 
 
.
0 
0 
1 
xi  x j
i,j
ve
her birinin boyu
ei  1, i  1,2,..., n
xi  1
Ortonormal baz
Ortoganal altuzaylar
V ve W aynı U uzayının alt uzayları olsun.
V  W  vT w  0 v V,w W
V alt uzayı ile W alt uzayı ortoganal altuzaylardır.
Üç boyutlu uzayda, bir düzlem bir düzleme
dik olabilir mi?
Bir, iki örnek…..
 1 
 
 0
P1  örtü  ,
 0 
0

1  
1  
  
0  
 
0  
 0  
  
 0  
l2  örtü 




2




 3  
ve
0  
  
 0 
l1  örtü    
3 
  2 
 
Ortogonal alt uzaylar mı?
Peki, P1,l1 ve l2 ortogonal mi?
Önemli dört alt uzayı hatırlıyor musunuz?
Ax=b ile ilgili dört alt uzay
Temel alt uzaylar
(Fundamental Subspaces)
*Sütun uzayı R(A)
*Satır uzayı R(AT)
*Sıfır uzayı N(A)
*Sol sıfır uzayı N(AT)
Acaba bunlar ortogonal mi?
N(A) ve R(AT), Rn ‘in alt uzayları
nasıl bunu
söylüyoruz?
N(AT) ve R(A), Rm ‘in alt uzayları
N(A) R(AT) (Rn de); N(AT) R(A) (Rn de);
Bu satırın ispatını daha önce yapmıştık, hatırlıyor musunuz?
xN
( A) ve f R ( A ) ise f x  0 olduğunu gösteriniz
T
x  N ( A)
AT y  f
yT A  f T
y T Ax  f T x
y 
Ax  f x
T
T
0
f Tx 0
T
y  N(AT ) ve x  R ( A) ise yT b  0 olduğunu gösteriniz
y  N(AT )
Ax  b
T
T
y
A
x

y
b

0
0 y b
T
Bu hafta biraz soru çözelim….
1
2

2
4
 x1 
2    1 
x2 
5     4
 x3 
Genel çözümü belirleyiniz?
 x1 
1
2
3
4

   0 
x
Ux  0 0 1 2  2   0
 x3 
0 0 0 0   0
 x4 
 1 
 
 1  ,
  2
 
1 
2,
 
1 
3 
1 
 
1 
a) Tüm çözümleri bulunuz
b) Sağ taraf
bulunuz
a 
b  b 
 0 
için çözümleri
Bu vektörler lineer bağımlı mı?
A 64X17 boyutunda rankı 11 olan bir matris olsun. Ax=0’ı ve
ATy=0’ı sağlayan lineer bağımsız vektörlerin oluşturduğu
kümelerde kaç tane vektör vardır?
1 2 1
A

0
0
4


Matrisinin satırlarından R3 için bir baz
ve sütunlarından R2 için bir baz
oluşturmak mümkün müdür? Değilse ne
önerirsiniz?
0 1 2 3 4 1 0 0 0 1 2 3 4
A  0 1 2 4 6  1 1 0 0 0 0 1 2
0 0 0 1 2 0 1 1 0 0 0 0 0
Dört temel
uzay için baz
vektörlerini
belirleyiniz