Document

GÜMÜŞ MANİFOLDUN TANJANT DEMETE TAŞINMASI
Emel TAYLAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2014
ANKARA
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde
elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak
hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin
kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Emel TAYLAN
iv
GÜMÜŞ MANİFOLDUN TANJANT DEMETE TAŞINMASI
(Yüksek Lisans Tezi)
EMEL TAYLAN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ŞUBAT 2014
ÖZET
Bu tezde, tam lift yardımıyla bir diferensiyellenebilir manifold üzerindeki
gümüş yapı bu manifoldun tanjant demetine taşınmıştır. Daha sonra,
tanjant demete taşınan bu gümüş yapının integrallenebilirliği ve
paralelliği hakkında gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Son olarak da
taşınmış gümüş yapı üzerindeki metrik ve özellikleri incelenmiştir.
Bilim Kodu
: 204.1.049
Anahtar Kelimeler : Gümüş oran, gümüş yapı, tanjant demet, tam lift,
gümüş Riemann manifold, gümüş yarı-Riemann
Manifold.
Sayfa Adedi
: 78
Tez Yöneticisi
: Yrd. Doç. Dr. Mustafa ÖZKAN
v
PROLONGATION OF SILVER MANIFOLD TO THE TANGENT BUNDLE
(M.Sc. Thesis)
EMEL TAYLAN
GAZİ UNIVERSITY
GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
February 2014
ABSTRACT
In this thesis, a silver structure on a differentiable manifold has been
prolonged to the tangent bundle of this manifold through the complete
lift. Then, some necessary definitions and theorems about the
integrability and parallelism of this silver structure which was
prolonged to the tangent bundle were given. Lastly, the metric, which
was defined on the prolonged silver structure, and its properties were
investigated.
Science Code
: 204.1.049
Key Words
: Silver
ratio,
silver
structure,
tangent
bundle,
complete lift, silver Riemannian manifold, silver
semi-Riemannian manifold.
Page Number
: 78
Supervisor
: Assist. Prof. Dr. Mustafa ÖZKAN
vi
TEŞEKKÜR
Çalışmalarımda bana bilgi ve deneyimi ile yardımcı olurken büyük sabır ve
tahammül gösteren saygıdeğer hocam Yrd. Doç. Dr. Mustafa ÖZKAN’a,
desteği ile yanımda olan Ayşe Asuman ÇITLAK’a, bugünlere gelmemde
büyük emeği olan aileme ve varlıkları ile güç veren bütün dostlarıma
teşekkürlerimi sunarım.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET ............................................................................................................. iv
ABSTRACT ..................................................................................................... v
TEŞEKKÜR.................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ............................................................................................... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR ..................................................................... ix
1. GİRİŞ .......................................................................................................... 1
2. TEMEL KAVRAMLAR ................................................................................. 3
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar ........................................................... 3
2.2. Diferensiyellenebilir Demet Yapıları ................................................... 18
2.3. Tanjant Demet ................................................................................... 23
2.4. Uyarlanmış Konneksiyonlar ............................................................... 28
2.5. Tanjant Demete Liftler ....................................................................... 30
2.5.1 TM ye vertical liftler .................................................................. 30
2.5.2 TM ye tam liftler ........................................................................ 36
3. GÜMÜŞ DİFERENSİYEL GEOMETRİ ...................................................... 43
3.1.Manifoldlar Üzerinde Gümüş Yapılar .................................................. 43
3.2.Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği .............................. 46
3.3.Gümüş Riemann Metrikler .................................................................. 49
4. GÜMÜŞ YAPININ TM YE TAM LİFTİ ....................................................... 51
4.1.Tanjant Demette Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve
Paralelliği ............................................................................................ 58
4.2.Tanjant Demette Gümüş Yarı–Riemann Metrikler .............................. 69
viii
Sayfa
5. SONUÇ ve ÖNERİLER ............................................................................. 75
KAYNAKLAR ................................................................................................ 76
ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................... 78
ix
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılan bazı semboller açıklamalarıyla birlikte aşağıda
sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
M
m-boyutlu bir C  -manifold
Tp M
M nin p noktasındaki tanjant uzay
 M
M üzerinde tanımlı C  vektör alanlarının modülü
10  M 
M üzerinde tanımlı C  vektör alanlarının modülü
10  M 
M üzerinde tanımlı C  kovektör alanlarının modülü
rs  M 
M üzerinde tanımlı  r , s  tipinden tensör alanlarının
modülü
TM
M nin tanjant demeti

M üzerinde lineer konneksiyon
Sc

V
Schouten konneksiyon

Vranceanu konneksiyon

Gümüş oran

Gümüş yapı
1
1. GİRİŞ
Bir M diferensiyellenebilir manifoldu verildiğinde, M üzerinde fonksiyon,
vektör alanı, 1-form, konneksiyon, metrik ve tensör alanı gibi temel
diferensiyellenebilir elemanların
başka
manifoldlara
genişletilmesi, bu
manifoldlar üzerindeki ilişkileri açıklamak adına önemlidir. M manifolduna
diffeomorf olan manifoldlar hariç tutulduğunda M manifoldu ile en yakın
ilişkisi olan manifold M nin tanjant demetinin total uzayı olan TM dir.
Herhangi bir M manifoldu üzerindeki yapıların TM tanjant demete liftleri
birçok yazar tarafından araştırılmış ve çalışılmıştır [Omran ve ark.,1984;
Sasaki, 1960; Yano ve Ishihara, 1967; Yano ve Ishihara, 1973; Yano ve
Kobayashi, 1966].
Crasmareanu ve Hretcanu (2008) “Golden Differential Geometry” adlı
makalede diferensiyellenebilir bir manifold üzerinde Q( X )  X 2  X  I yapı
polinomuna sahip (1,1) tipinden bir  tensör alanı yardımıyla bir altın yapı
tanımlamışlar ve bu yapının geometrisi incelemişlerdir [Crasmareanu ve
Hretcanu, 2008].
Özkan ve Peltek (2013), II. Uluslararası Avrasya Matematik Bilimleri ve
Uygulamaları
Konferansı’nda
“Gümüş
Diferensiyel
Geometri”
adlı
bildirilerinde Q( X )  X 2  2 X  I yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden bir
tensör alanı olan  gümüş yapıyı tanımlamış ve bu yapının geometrisini
incelemişlerdir [Özkan ve Peltek, 2013].
Bu çalışmanın ikinci bölümünde daha sonra kullanacağımız temel tanım ve
teoremler verilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde tezin alt yapısını
oluşturan Özkan ve Peltek’ in “Gümüş Diferensiyel Geometri” adlı bildirileri
özetlenmiştir. Özgün olan bölümde ise ikinci bölümde tanımları verilen tam lift
yardımıyla bir M manifoldu üzerindeki gümüş yapı TM tanjant demete
taşınmıştır. Taşınmış gümüş yapının integrallenebilirliği ve paralelliği
2
incelenmiştir. Ayrıca TM de bu gümüş yapı üzerindeki metrik ve özellikleri
incelenmiştir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, tezin diğer bölümlerinde kullanacağımız bazı tanım ve
teoremleri vereceğiz.
2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar
2.1. Tanım
Boş olmayan bir küme M ,
nin boş olmayan bir altkümesi U ve
M
 : U  Rm bir dönüşüm olsun. Eğer:
i)  1-1;
ii)   U  ,
m
de bir açık alt küme,
ise U ,   ikilisine, M için m - boyutlu bir harita denir [Brickell ve Clark, 1970].
Bir p  M noktası için p U ise, bu haritaya p de veya p civarında bir
harita, U kümesine p noktasının koordinat komşuluğu ve  dönüşümüne
de haritanın koordinat dönüşümü denir.
m
de u i :
m

,  a1 ,..., a m  
m
için, u i  a1 ,..., a m   ai , 1  i  m , şeklinde
tanımlı iz düşüm fonksiyonları göz önüne alınsın. Bu durumda p U için 
nin koordinat bileşenleri,
u
i
   p    i  p   xi  p 
olmak üzere;
4
  p    x1  p  ,...., x m  p   olup, böylece    x1 ,...., x m    xi 1i m ile ifade
edilebilir ve
x ,...., x 
1
m
sistemine de U ,   haritasına ait lokal koordinat
sistemi denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.2. Tanım
M kümesi üzerinde tanımlı haritaların sınıfı A  U ,   olsun. Eğer
i) Örtme aksiyomu:
M
 I
U ;
ii) Bağdaşabilirlik aksiyomu:
U  U    olacak biçimdeki her bir  ,   indis çifti için,
  1 :  U U     U U  
dönüşümü C k sınıfından bir diffeomorfizm;
ise, A sınıfına bir C k -atlas denir [Brickell ve Clark, 1970]
2.3. Tanım
M kümesi üzerinde A ve  C k - atlasları verilsin. Eğer A   M üzerinde
yine bir C k - atlas ise, A ve  atlaslarına denk atlaslar denir [Brickell ve Clark,
1970].
5
2.4. Tanım
M kümesi üzerinde bir C k -atlas A  U ,  I
olsun. M üzerinde tanımlı
herhangi bir V ,   haritası A nın her bir U ,   haritasıyla C k - bağlı ise A
atlasına bir C k tam atlas (veya C k -maksimal, C k diferensiyellenebilir yapı)
denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.5. Tanım
M kümesi üzerinde tanımlı bir C k diferensiyellenebilir yapı A ile gösterilirse
( M , A) ikilisine C k sınıfından diferensiyellenebilir manifold veya kısaca
C k -manifold denir [Brickell ve Clark, 1970].
k 

için M , C k manifold ise M ye C  manifold denir.
Bundan sonra çalışmanın tümünde manifoldun C  olduğu kabul edilecektir.
M üzerinde tanımlı denk C k - atlasların her bir denklik sınıfı, M üzerinde bir
C k -tam atlas oluşturmaktadır. Bu nedenle ( M , A) C k -manifoldunun C k -
diferensiyellenebilir yapısını belirtirken A atlasının, yalnızca, herhangi bir C k atlas olarak alınması da yeterlidir.
Bir C  -yapıda bulunan haritaların boyutu, C  -manifoldun boyutu olarak
tanımlanır. Kısalık için ( M , A ) ikilisi yine M ile ifade edilebilir.
Bir C  -manifold ( M , A ) ve A  U ,  I olmak üzere
 M  S  M :   I , S U   için   S U  ,
m
de açık
6
sınıfı göz önüne alınsın.  M , M manifoldu üzerinde bir topolojik yapı
oluşturur. Bu  M topolojisi ile birlikte M bir topolojik uzay olur.
2.6. Tanım
Bir
C  -manifold
( M , A)
olsun.
M
kümesi
üzerinde,
diferensiyellenebilir yapısından oluşturulan  M topolojisine, M
diferensiyellenebilir yapıdan indirgenmiş topoloji (veya M
M
nin
üzerinde
nin manifold
topolojisi) denir [Brickell ve Clark, 1970].
Bir C  -manifold ( M , A) ve A  U ,  I olsun. Bu durumda aşağıdaki
önermeler doğrudur.
(i) Herhangi bir W  U için, W , M de açıktır   W  ,
m
de açıktır.
(ii) U  lar M de açıktırlar.
(iii)   U :   I  sınıfı,  M nin bir bazını oluşturur.
2.7. Tanım
m ve n boyutlu iki C  - manifold sırasıyla M ve N , p  M ve F : M  N
herhangi bir dönüşüm olsun. Eğer,
Fˆ   F  1 :
m

n
dönüşümü   p  noktasında C k - diferensiyellenebilir olacak şekilde
p
noktasının bir U ve F  p  noktasının da F U   V şeklinde bir V koordinat
7
komşuluğu
varsa,
F
dönüşümüne
pM
noktasında
Ck -
diferensiyellenebilirdir (veya C k - dönüşümdür) denir. Buradaki F̂ dönüşümü
U ,  
ve
V , 
haritalarına göre F nin koordinat temsili (veya lokal
koordinatlardaki ifadesi) olarak isimlendirilir [Brickell ve Clark, 1970].
Bundan sonra dönüşümler aksi belirtilmedikçe
C  -diferensiyellenebilir
alınacaktır.
M de bir açık altküme W  domF olmak üzere; eğer F , W nin her
noktasında bir C  -dönüşüm ise; F , W üzerinde C  - dönüşümdür denir
[Brickell ve Clark, 1970].
Eğer F : M  N , domF üzerinde bir C  - dönüşüm ise F  C   M , N  ve
özel olarak N 
ise, o zaman F  C   M  yazılır. Bir p  M için, p nin bir
komşuluğunda C  -diferensiyellenebilir olan reel değerli dönüşümlerin kümesi
C  ( p ) ile gösterilir.
2.8. Tanım
Aynı boyutlu iki C  manifold M , N ve F : M  N birebir örten dönüşüm
olsun. Eğer:
(i) F  C k  M , N  ,
(ii) F 1  C k  N , M 
ise F dönüşümüne bir C k diffeomorfizm denir. Bu durumda M ve N
manifoldlarına diffeomorfiktir denir [Brickell ve Clark, 1970].
8
2.9. Tanım
diferensiyellenebilir
M
f
manifold
ve
bir
noktası
pM
olsun.
için
f , g  C  ( p) ve a, b 
vp : C   p  
bir
dönüşümü
 vp  f 
(i) Lineerlik ;
v p  af  bg   av p  f   bv p  g 
(ii) Leibniz kuralı;
v p  fg   v p  f  g  p   f  p  v p  g 
özelliklerini sağlıyorsa, v p ye p noktasında M nin bir tanjant vektörü denir
ve M nin bu şekilde tanjant vektörlerinin kümesi Tp M ile gösterilir. Tp M bir
reel vektör uzayı olup bu uzaya M nin p noktasındaki tanjant uzayı denir
[Brickell ve Clark, 1970].
i
p noktasında bir harita (U ,   ( x )) , 1  i  n ise Tp M nin bir bazı
 
 i
 x

:1  i  n 
p

kümesidir. Bu baza Tp M
Clark, 1970].
nin doğal (veya koordinat) bazı denir [Brickell ve
9
2.10. Tanım
M bir C  manifold, M nin bir açık alt kümesi U ve X : U  TM
dönüşüm olsun.  M : TM
U
U
bir
 U ,  M  v   p; (eğer v  Tp  M  ise) kanonik
projeksiyon olmak üzere  M X  IU (özdeşlik dönüşümü) ise, X , U üzerinde
bir vektör alanı denir [Brickell ve Clark, 1970].
Genellikle vektör alanları tanım kümeleri belirtilmeden X : M  TM şeklinde
de ifade edilir. Bu durumda X in tanım kümesinin M de bir açık altküme
olduğu anlaşılacaktır ve M üzerindeki vektör alanlarının kümesi   M  ile
gösterilecektir.
X    M  , domX  U olmak üzere, f  C  U  ve p U için:
X  f  p   XP  f 
tanımlansın. Eğer X  f  , U üzerinde C  diferensiyellenebilir ise, X vektör
alanına U üzerinde C  diferensiyellenebilir denir. Bu durumda X vektör
alanı
X
: C  U   C  U 
f

Xf
operatörü olarak tanımlanabilir.
Bundan sonra vektör alanından söz edildiğinde C  diferensiyellenebilir
olduğu kabul edilecektir.
10
2.11. Tanım
Bir C∞-manifold M olsun. TP M tanjant uzayının cebirsel duali olan T * p M ye,
M nin p noktasındaki kotanjant uzayı ve bu uzayın her bir elemanına da p
noktasında bir kotanjant vektör (veya kovektör) denir [Okubo, 1987].
p  M için T * p M uzayı bir reel vektör uzayı olsun. p  M noktasında verilen
haritasına göre
bir
dx
i
p

:1  i  m
kümesi T * p M nin bir doğal bazıdır.
| (
| )
olduğu, dual baz
olmasından açıktır.
TM 
Tp M olmak üzere, eğer U , M nin bir açık altkümesi ise,
pM
ayrık birleşimi TM
TM
U
Tp M
pU
U
ile gösterilsin. p U için TpU  Tp M olduğundan,
 TM dir.
2.12. Tanım
M nin her bir noktasına bir kotanjant vektör karşılık getiren
w: M 
Tp*M  T *M ; w( p)  Tp*M
pM
dönüşümüne M üzerinde 1-form (veya kovektör alanı) denir [Okubo, 1987].
M manifoldu üzerinde tanımlı 1-formların kümesi
ile gösterilicektir.
11
2.13. Tanım
m ve n boyutlu iki C  manifold sırasıyla M , N ve F : M  N bir C  dönüşüm
olsun. F nin bir p  M noktasındaki türev dönüşümü, v p  Tp  M  ve
h  C   N  için;
 dF  v   h   v
p
p
p
 hoF
şeklinde tanımlı bir dFP : TP  M   TF(P)  N  dönüşümüdür [Okubo, 1987].
dFP lineer olup, M ve N nin doğal bazlarına göre dFP dönüşümüne karşılık
 f j
gelen 
i
 x
JF  p
ile
p

 matrisi, F nin p noktasındaki Jakobien matrisi denir ve

gösterilir.
V ,   y 
j
1 j  n
,
N
Burada
ye
ait

p U , U ,    x i 
haritalar
olup,

1i  m
,
y joF  f j
M
ye
dönüşümleri
F  p    f 1  p  ,...,f n  p   şeklinde F nin koordinat bileşenleridir. Ayrıca,
 rankFP  rank  dFp  
rankJ F  p   (rank) j P
olarak tanımlanır.
2.14. Tanım
V1 ,V2 ,..,Vn ve W bir K cismi üzerinde birer vektör uzayı olsun. Bir
L :V1 V2  ... Vn W
ve
12
dönüşümü aşağıdaki özellikleri sağlarsa bu dönüşüme i-yinci bileşene göre
lineerdir denir.
1 V1 ,  2 V2 ,...i 1 Vi 1,  ,  Vi , i 1 Vi 1,...,  n Vn ve a, b  K için
L(1 ,  2 ,...,  i 1 , a  b ,  i 1 ,...,  n )  aL 1 ,  2 ,...,  i 1,  ,  i 1,...,  n 
 bL 1,  2 ,...,  i 1,  ,  i 1,...,  n 
i  1, 2,..., n için bu özellik sağlanıyorsa L fonksiyonuna n -lineer fonksiyon
denir [Hacısalihoğlu, 2006].
L :V1 V2  ... Vn W
şeklinde ki bütün n -lineer fonksiyonların cümlesini
(V1 ,V2 ,...,Vn ;W ) ile gösterelim.

n lineer
(V1 ,V2 ,...,Vn ;W )  L V1 V2  ... Vn 
W

n -lineer dönüşümlerin cümlesi bir vektör uzayı olup
boy (V1 ,V2 ,...,Vn ;W ) = boy V1  boy V2  …  boy Vn  boy W
dir [Hacısalihoğlu, 2006].
2.15. Tanım

Bir reel vektör uzayı V ve V nin dual uzayı V olsun.


T: 
V x...
xV xVx...
xV


 
  IR
r-tane
s-tane
13
şeklinde her bir (r  s) -lineer dönüşüme V
üzerinde r-yinci dereceden
kontravaryant ve s-yinci dereceden kovaryant (veya kısaca (r , s) - tipinden)
bir tensör denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi, 2003].
Bir vektör uzayı üzerinde tanımlı (r , s) tipinden tensörlerin kümesi Tsr  V  ile
gösterilir. Tsr  V  ,
üzerinde bir vektör uzayı olup, boy V = n ise,
boy Tsr  V = n r  s dir.
V vektör uzayı yerine M manifoldunun p noktasındaki tanjant uzayı Tp ( M )
alınırsa, M nin p noktasında bir tensör uzayı Tsr  TP  M   elde edilir ve bu
uzayın her bir elemanına p noktasında bir (r , s) -tensör denir.
2.16. Tanım
Bir C- manifold M olsun. M nin her bir noktasına (r , s) -tipinden bir tensör
karşılık getiren bir dönüşüme M üzerinde (r , s) -tipinden bir tensör alanı denir
[Okubo, 1987].
O halde M üzerinde tanımlı bir tensör alanı,
T :M 
Ts r (Tp M )
pM
p  T ( p)  Ts r (Tp M )
şeklinde tanımlı bir dönüşümdür.
M üzerinde tanımlı tensör alanlarının kümesi sr (M) ile gösterilir. sr (M) ,
C(M) üzerinde bir modüldür.
14
Özel olarak:
00 (M) = C  (M ),
10 (M) =( M ),
10 (M) =   (M )
dir.
W1 ,..., Wr    (M) , X 1 ,..., X s ( M ) ve p  M olmak üzere;
(T(w1 ,..., wr,X1 ,..., X1))(p) = Tp ( W1 p ,..., Wrp , X 1 p ,..., X sp )
şeklinde tanımlanan,
T :   M 
   M   M 
r  tane
  M  C  M 
s  tane
C  ( M ) değerli bir (r  s) -lineer dönüşüm dir.
2.17. Tanım
Bir C  manifold M olsun. M üzerinde
g :   M    M  C  M 
dönüşümü lineer, simetrik ve non–dejenere ise g ye M üzerinde bir yarıRiemann metrik denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi, 2003].
g yarı Riemann metriği M üzerinde  0, 2  tipinden bir tensör alanıdır.
15
2.18. Tanım
Bir M manifoldu üzerinde bir g yarı-Riemann metriği tanımlanmış ise bu
(M , g ) ikilisine yarı-Riemann manifoldu denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi,
2003].
2.19. Tanım
Bir C  manifold M olsun. M üzerinde
g :   M    M  C  M 
dönüşümü lineer, simetrik ve pozitif tanımlı ise g ye M üzerinde bir
Riemann metrik denir [Hacısalihoğlu, 2006]
2.20. Tanım
Bir M manifoldu üzerinde bir g Riemann metriği tanımlanmış ise bu (M , g )
ikilisine Riemann manifoldu denir [Hacısalihoğlu, 2006].
2.21. Tanım
Bir C manifold M olsun.
: (M) (M)  (M)
(X,Y)   X Y
dönüşümü f , g  C  M ve X , Y , Z   (M ) için:
(i)  fX  gY Z  f  X Z  gY Z ,
16
(ii)  X ( fY )  f  X Y  ( Xf )Y ,
(iii)  X (Y  Z )   X Y   X Z
özelliklerini sağlıyorsa,  dönüşümüne M üzerinde bir lineer konneksiyon
denir [Brickell ve Clark, 1970].
U ,   x 
i
1i  m
C  manifoldu için bir harita olmak üzere,  lineer
, M
konneksiyonunun koordinat vektör alanlarındaki değeri



 xi
 x
m
j
  ik j
k=1

 xk
eşitliği ile belirlidir. Bu eşitlik ile tanımlı  ijk C- dönüşümlerine  lineer
konneksiyonunun bileşenleri veya Christoffel sembolleri denir [Brickell ve
Clark, 1970].
Bir  lineer konneksiyonunun
m
X= a i
i=1

 x
m
i
ve Y=  b j
j=1

 xj
X , Y   (M ) vektör alanlarındaki değeri
olmak üzere
m
 m  bh m i k h  
 X Y =   a i
 a b i k 
 x i i, k=1
  xh
h=1  i ,k=1
eşitliği ile belirlidir.
2.22. Tanım
Bir C  - manifold M olsun. X , Y   (M ) , p  M ve f  C  ( p) için;
17
[ X , Y ] p ( f )  X p (Y ( f ))  Yp ( X ( f ))
şeklinde tanımlı
[,]:  (M )   (M )   (M )
dönüşümüne Lie parantez operatörü denir [Brickell ve Clark, 1970].
2.23. Tanım
Bir C∞-manifold M ve M üzerinde bir lineer konneksiyon
olsun.
T :  (M )   (M )   (M )
 T ( X , Y )   XY   Y X  [ X , Y ]
( X ,Y )
şeklinde tanımlı T dönüşümüne,
lineer konneksiyonunun torsiyonu denir
[Brickell ve Clark, 1970].
Eğer,
ise
konneksiyonunun torsiyonu sıfırdır veya
simetriktir denir.
2.24. Tanım
F , G  11  M  olsun. X , Y   (M ) olmak üzere F ve G nin N F ,G torsiyon
tensörü
2 N F ,G ( X , Y )  [ FX , GY ]  [GX , FY ]   FG  GF  [ X , Y ] 
F[GX , Y ]  F[ X , GY ]  G[ FX , Y ]  G[ X , FY ]
ile verilen (1, 2) tipinden bir tensör alanıdır [Yano ve Kon, 1984].
18
2.25. Tanım
F  11  M  olsun. F nin N F Nijenhuis tensörü
NF  NF ,F
ile tanımlı (1, 2) tipinden bir tensör alanıdır. Yani X , Y  10  M  için
N F ( X , Y )  F 2 [ X , Y ]  [ FX , FY ]  F[ FX , Y ]  F[ X , FY ]
dir [Yano ve Ishihara, 1967; Yano ve Kon, 1984].
Sonuç
N F Nijenhuis torsiyon tensörü bilineer ve antisimetrik tensördür [Yardımcı,
2010]..
2.2. Diferensiyellenebilir Demet Yapıları
2.26. Tanım
E , M , F C- manifoldlar, :EM bir C- dönüşüm ve M nin bir açık örtüsü
U olmak üzere; eğer,
olacak biçimde   :U  F   1 U  diffeomorfizimlerin bir   I sınıfı
varsa, (F ye göre) , lokal çarpım özelliğine sahiptir ve
U ,  
de,  nin bir lokal ayrışmasıdır denir [Greub ve ark., 1972].
I
sistemi
19
2.27. Tanım
 :E M
bir C  dönüşümü lokal çarpım özelliğine sahip olsun. Bu
durumda    E,  , M , F  dörtlüsüne bir diferensiyellenebilir lif demeti adı
verilir [Greub ve ark., 1972].
2.28. Tanım
   E,  , M , F  bir C  -lif demeti olsun. O zaman,
U ,  
I
lokal
ayrışmasına,  lif demetinin bir lokal koordinat gösterimi denir [Greub ve
ark., 1972].
Bir    E,  , M , F  lif demetinde E ye  lif demetinin total uzayı, M ye baz
(taban) uzayı, F ye lif modeli (veya standart lif) ve  ye fibrasyon veya
projeksiyon adı verilir. Ayrıca, rank  boyF olarak tanımlanır [Greub ve ark.,
1972].
 E,  , M , F 
lif demeti bazen E total uzayı ile, bazen de,  : E  M C 
dönüşümü ile gösterilir.
2.29. Tanım
 : E  M bir lif demeti olsun. p  M için,
 1  p   E p  u  E :   u   p
kümesine p üzerinde bir lif denir [Greub ve ark., 1972].
Tüm E p liflerin ayrık bileşimi E total uzayını verir. Üstelik bir p  M için, E p
lifi, E de kapalı imbedded altmanifolddur [Saunders, 1989].
20
boyE p  boyE  boyM sayısına  nin lif boyutu denir [Saunders, 1989].
  ( E,  , M , F ) bir lif demeti ve
U ,  
I
lokal koordinat temsilcisi olsun.
p U için ,
  , p : F  Ep
dönüşümü,
  , p  y      p, y  ; y  F
şeklinde
tanımlanırsa;

lar
diffeomorfizm olduklarından,   , p dönüşümleri de diffeomorfizmdir.
U  U U   
U ,   ve U  ,  
olacak
biçimde
U ,  
ikilileri seçilsin.
  ,  :U  F   1 U 
şeklinde tanımlı   ve   lar diffeomorfizm olduklarından
    1   :U  F  U  F
dönüşümü,
   p, y    p, 1,p   , p  y   ; p U , y  F
şeklinde tanımlı bir diffeomorfizmdir. Böylece, p U için,
  , p   1   , p : F  F
,p
dönüşümleri de diffeomorfizmdir [Greub ve ark., 1972].
I
ailesinden
21
2.1. Örnek
 M : TM  M doğal projeksiyon olmak üzere,  M  TM ,  M , M ,
m

dörtlüsü
bir lif demetidir. Buna M manifoldunun tanjant demeti denir. Bir p  M için
 M1  p  lifi Tp  M  tanjant uzayıdır [Civelek, 1988].
2.30. Tanım
   E,  , M , F  herhangi bir lif demeti olsun.
   I M (özdeşlik)
olacak biçimde tanımlı,  : M  E
C  dönüşümüne  lif demeti üzerinde
bir çapraz kesit denir [Greub ve ark., 1972].
.
2.2. Örnek

 M  TM ,  M , M ,
n

lif demetini gözönüne alalım.bu durumda, X    M 
vektör alanı,
X : M  TM ,
şeklinde
p  M , için X  p   X p  Tp  M 
tanımlı olup,
M
kanonik projeksiyonunda
 M  X p   p olarak tanımlandığında,
M
TM
M
X p  TM
için
22
diyagramı değişmeli olur. Böylece X    M  C  vektör alanları  M lif demeti
üzerinde çapraz kesitlerdir [Civelek, 1988].
2.31. Tanım
   E,  , M , F  bir C  lif demeti olsun. Eğer,
(i) p  M için ,  1  p   E p ve F reel vektör uzayı;
(ii) p  M ,  , p : F  E p dönüşümleri lineer izomorfizm olacak biçimde 
nin U ,  I lokal koordinat gösterimi var ise  ye bir vektör demeti
denir [Greub ve ark., 1972].
2.32. Tanım
   E,  , M , F  dörtlüsü bir vektör demeti ve U , M de bir komşuluk olsun.
Eğer,
(i)
x U , y  F için   u  x, y   x
olacak biçimde  u : U  F   1 U 
dönüşümü diffeomorfizm,
(ii) x U için  u , x : F  Fx indirgenmiş dönüşümleri lineer izomorfizm;
bu durumda U ya  vektör demeti için bir aşikar komşuluk ve  u yada , 
için bir aşikar dönüşüm denir [Civelek, 1988].
2.33. Tanım
   E1 , 1 , M1 , F1  ve    E2 ,  2 , M 2 , F2  iki vektör demeti olsun. Eğer
aşağıdaki üç aksiyom sağlanıyorsa 1 demetine  2 nin altvektör demeti denir:
23
(i)  2 , 1 nin bir altdemetidir;
(ii) E : E2  E1 ve M : M 2  M1 inclusion dönüşümleri olmak üzere;
M  2   1  E ;
(iii) p  M1 için,
E E : E2 P  E1
2p
M
 p
kısıtlanmış dönüşümü lineerdir .[Civelek, 1988].
2.3. Tanjant Demet

 
M m boyutlu bir C  - manifold ve U ,   xi
olsun.
M üzerinde bir harita
nin tüm noktalarındaki tanjant uzaylarının ayrık birleşimi
M
TM =  TPM
ve
TM
 M : TM  M
üzerinde,
pM
  v   p,
1i  m
 v T M 
p
dönüşümü,
şeklinde tanımlansın. Bu durumda U   1 U  olmak
üzere;
 : U   U  
m
dönüşümü,
v  U
için
  v    xi  M  v  , dxi  v  1im
şeklinde
dönüşümü 1-1 ve örten olup, görüntü kümesi
altkümesidir. O halde (U ,  ) ikilisi TM üzerinde
2m

tanımlanırsa,
uzayının bir açık
2m -boyutlu bir haritadır.
M üzerinde A  U ,  I haritalarının ailesinden U U    olacak
biçimde ki  , 
indis çifti için
U

 
,   xi
1i  m
ve
U

 
,   y i
1i  m
24
 
haritalarını alalım. Bu durumda  1 U   1 U    olacaktır.
    1:  U U   
m
  U U   
m
olmak üzere
  p     1  p  , z1 , ..., z m     z p 

 x1   z p  , ..., x m   z p  , dx1  z p  , ..., dx m  z p 

olur. Burada xi  ve dxi diferensiyellenebilir olduğundan     1 de
diferensiyellenebilirdir. Benzer şekilde
    1
diferensiyellenebilir
olduğu görülür. O halde

A   1 U  , 

 I
ailesi diferensiyellenebilir bir atlastır. Bu yapıyla, TM , 2m boyutlu C 
manifold olur [Yardımcı, 2010].
2.34. Tanım
TM ye M nin tanjant manifoldu denir.
Lokal olarak,
TM   p, z  p  M , z  Tp M 
gösterimi de kullanılır.
m

25
TM üzerinde bir lokal koordinat sistemi xi  xi  m y i  dxi olmak üzere
x ,..., x
i
m
, y1 ,.. y m 
şeklinde ve kısalık için    xi , y i 
1i  m
veya
y   yi 
olmak üzere
1i  m
   x, y  yazılacaktır.  koordinat dönüşümü de    x , y  şeklinde ifade
edilecektir.
TM , 
M
,M,
m

dörtlüsünün bir vektör demeti olduğu kolayca gösterilebilir.
Bu demete, M nin tanjant demeti, sürekli, örten ve C  dönüşüm olan  M ye
de doğal (kanonik) projeksiyon denir [Greub ve ark., 1972].
2.35. Tanım
M,
C  manifoldu baz alınarak oluşturulan  M  (TM ,  M , M ,
n
) vektör
demetine, M manifoldunun tanjant demeti denir [Civelek, 1988].
M , n boyutlu bir manifold ve T p* M bir p  M noktasında kotanjant uzay
olsun.
T *M 
pM
T *M
Kümesine M manifoldu üzerinde bir kotanjant demet denir.
 * :T M  M bir projeksiyon dönüşümü olmak üzere
*
dörtlüsü bir vektör demetidir [Yano ve Ishihara, 1967].
T M , 
*
*
M
,M,
m

26
2.36. Tanım
   E,  , M , F  lif demeti olsun. z  E için
Vz E  çek  *
z
   A T E :   A   0
z
z
* z
z
kümesi, Tz E tanjant uzayının bir alt uzayıdır. Vz E uzayına E nin z
noktasında vertical uzay ve bu uzayın her bir elemanına da bir vertical tanjant
vektör denir [Greub ve ark., 1972].
z  E ve   z   p olmak üzere Vz E  Tz  Fp  dir [Greub ve ark., 1972].
E üzerinde vektör alanlarının modülü   E  olmak üzere A    E  olsun.
z  E için Az Vz E ise A ya vertical vektör alanı denir ve A   v  E 
şeklinde gösterilir [Greub ve ark., 1972].
   E,  , M , F  bir lif demeti olsun. Bir
 TE : TE  E
1
dönüşümü z  E için  TE
 z   Tz E şeklinde tanımlansın. Bu durumda
TE 
Tz E
zE
olmak üzere TE  TE,  TE , E,
m n

dörtlüsü bir vektör demeti olup, bu E
manifoldunun tanjant demetidir [Greub ve ark., 1972].
27
2.37. Tanım
m  n  k boyutlu M manifoldu üzerinde n -boyutlu diferensiyellenebilir bir
dağılım, TM tanjant demetinin rank n olan bir D altvektör demetidir [Lee,
2009].
O halde M manifoldu üzerindeki n -boyutlu diferensiyellenebilir bir dağılım,
x  M ye karşılık n -boyutlu bir  x  Tx M altvektör uzayını karşılık getirir.
 :M 
Tx M
xM
x   x  Tx M
Ayrıca, x  M nin bir U komşuluğunda lineer bağımsız X1 ,..., X n vektör
alanı vardır ki U komşuluğundaki q U için
 X1 (q),..., X n (q)
cümlesi  q
altvektör uzayının bir bazıdır [Lee, 2009].
D , M manifoldu üzerinde bir dağılım ve X de U  M açık kümesi üzerinde
tanımlı bir vektör alanı olsun. Eğer, p U için X p   p ise X vektör alanı
D dağılımına aittir denir ve X  D şeklinde gösterilir [Bejancu ve Farran,
2006].
2.38. Tanım
M diferensiyellenebilir bir manifold olsun. R ve S de M manifoldu üzerinde
iki tümleyen dağılım, yani x  M için
Tx M  Rx  S x
veya
T M  R S
28
dir [Özdemir ve Crasmareanu, 2010].
s sırasıyla R ve S dağılımlarına karşılık gelen projeksiyonlar olmak
üzere r ve s yi (1,1) tipinde bir tensör alanıdır. Ayrıca,
r ve
r2  r
s2  s
rs  sr  0 ve r  s  ITM
özelikleri vardır [Özdemir veCrasmareanu, 2010].
2.4. Uyarlanmış Konneksiyonlar
R,  n  p  boyutlu bir M manifoldu üzerinde n  dağılım olsun. M manifoldu
üzerindeki bir lineer konneksiyon  olmak üzere
 X Z  R, X    M  , Z  R
ise  konneksiyonuna R ye uyarlanmış denir [Bejancu ve Farran, 2006].
S , M manifoldu üzerinde R dağılımının tümleyen bir p  dağılımı olsun. O
halde TM  R  S dır. r ve s sırasıyla R ve S ye karşılık gelen projeksiyonlar
olsun. Dolayısıyla r - s  P şeklinde bir hemen hemen çarpım yapısı
oluşturulabilir.  M , R, S  üçlüsüne de hemen hemen çarpım manifoldu denir.
2.39. Tanım
 , hemen hemen çarpım manifoldu üzerindeki bir lineer konneksiyon olsun.
Eğer  hem R hemde S ye göre uyarlanmış, yani, X,Y    M  için
 X rY  R ve  X sY  S
29
ise  ya uyarlanmış lineer konneksiyon denir [Bejancu ve Farran, 2006].
İlk kez Schouten Van - Kampen ve Vranceanu tarfından tanıtılan ve kendi
isimleriyle bilinen hemen hemen çarpım manifoldları üzerinde iki uyarlanmış
lineer konneksiyon vardır.
2.40. Tanım
M
bir hemen hemen çarpım manifoldu ve  , M üzerinde bir lineer
konneksiyon olmak üzere X,Y    M  için
 X Y  r   X rY   s   X sY 
Sc
Sc
şeklinde tanımlı  ye Schouten konneksiyonu ve
 X Y  r  rX rY   s   sX sY   r  sX , rY   s  rX , sY 
V
V
şeklinde tanımlı  ye Vranceanu konneksiyonu denir [Bejancu ve Farran,
2006].
M manifoldu üzerinde r - s  P , P hemen hemen çarpım yapısı eğer 
lineer konneksiyonunun kovaryant türevi sıfıra eşit, yani X , Y    M  için
( X P)Y   X PY  P X Y  0,
ise P hemen hemen çarpım yapısına  lineer konneksiyonuna göre
paraleldir denir [Bejancu ve Farran, 2006].
30
2.41. Önerme
M , g 
bir Riemann manifoldu ve P , M üzerinde bir Riemann hemen
g
hemen çarpım yapı olsun. P ,  Levi-Civita konneksiyonuna göre paralel
g
yani P  0 ise Riemann hemen hemen çarpım yapı bir lokal çarpım yapıdır
[Crasmareanu ve Hretcanu, 2008; Yardımcı, 2010].
2.42. Önerme
M hemen hemen çarpım manifoldu üzerinde  lineer konneksiyonu simetrik
ise P nin Nijenhuis tensörü
N P ( X , Y )  (PX P)Y  (PY P) X  P( X P)Y  P(Y P) X
şeklindedir [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008].
2.5. Tanjant Demete Liftler
Bu kesimde, Yano ve Ishihara‘nın tanımladıkları TM ye vertical ve tam
liftlerin özellikleri özetlenecektir [Yano ve Ishihara, 1973].
2.5.1. TM ye vertical liftler
2.43. Tanım
M bir C  manifold ve f : M  R bir C  dönüşüm olsun. Bu durumda,
31
diyagramı değişmeli olacak biçimde,
f V  f M
(2.1)
eşitliği ile tanımlı f V C  -dönüşümüne, f nin TM ye vertical lifti denir.
z TM için,
f V  z   f  M  z    f  p  ; eğer z  Tp M ise
eşitliği yazılabilir. Buna göre rangef V  rangef dir.
domf  U ise, domf V   M 
1
U   TM
açık altkümesidir.
f , g  C   M  için,
 fg 
V
 f V gV
dir.
Fonksiyonlar için vertical lift operatörü
v : C   M   C  TM 
f  v f ; v f   f V
şeklinde tanımlı bir dönüşüm olup, v, reel katsayılara göre tanım ve değer
kümesi arasında bir içine izomorfizmdir.
 
i
M bir C  manifold M üzerinde lokal koordinat fonksiyonları x
1i  m
ve TM
32
üzerine indirgenmiş lokal koordinat fonksiyonları da
x , y 
i
i
1i  m
olsun. M
üzerinde 1-formların uzayı M üzerinde bir dönüşüm
 : 10  M   00 TM 
w  wi dxi    w    wi  y i
V
olarak tanımlansın.
2.44. Tanım
M üzerinde bir vektör alanı X olmak üzere; w  10  M  için,
X V  w   w  X  
V
(2.2)
eşitliği ile tanımlı X V   TM  vektör alanına X vektör alanının TM ye
vertical lifti denir
2.45. Teorem
X    M  vektör alanlarının bileşenleri X h olmak üzere;
XV  X h 
V

y h
dir.
2.46. Önerme
X , Y  10  M  ve f  C   M  için
33
 X Y 
V
 fX 
 X V YV ,
 f V  XV ,
V
 X V , Y V   0 ,

  
 i  i
y
 x 
V
dir.
2.47. Tanım
X   TM  bir vektör alanı olmak üzere; eğer, f  C   M  için,
X  f V   0 ise,
X ye TM de bir vertical vektör alanı denir.
2.48. Teorem
X   TM  nin bir vertical vektör alanı olabilmesi için gerek ve yeter şart;
X Xh

y h
olmasıdır.
2.49. Tanım
M üzerinde tanımlı bir 1-form w olsun. Bu durumda,
34
wV  X C    w  X   , X    M 
V
(2.3)
eşitliği ile tanımlı wV   *  M  1-formuna, w 1-formunun TM ye vertical lifti
denir.
2.50. Teorem
w   *  M  1-formunun bileşenleri wi ler olmak üzere;
wV :   wi  ,0  ,1  i  m
(2.4)
dir.
2.51. Önerme:
W , 10  M  ve f 00  M  için
W   
V
 fW 
V
 df 
V
 WV V ,
 f VW V ,
dfV
dir.
2.52. Tanım
TM üzerinde bir 1-form w olsun. Bu durumda, X    M  vektör alanı için,
w X V   0
35
ise, w ye TM de bir vertical 1-form denir.
2.53. Teorem
w   * TM  nin bir vertical 1-form olabilmesi için gerek ve yeter şart
w :   wi  ,0 
şeklinde olmasıdır.
Sonuç
w   *  M  1-formunun TM ye vertical lifti olan wV 1-formu TM de vertical 1formdur.
2.54. Tanım
Tensör alanlarının vertical liftlerini şu koşul altında yazarız. P, Q ve R    M 
için,
 P  Q
V
 PV  QV ,  P  R   PV  RV
V
(2.5)
dır.
F  11  M  olsun. O halde F nin lokal bileşenlerini yazalım.
F  Fi h

 dxi , buradan
h
x
 0
FV :  h
 Fi
0

0
(2.6)
36
şeklinde matris gösterimine sahiptir.
G  02  M  elemanlarının vertical lifti
G
GV :  ji
 0
0

0
(2.7)
şeklinde matris gösterimine sahiptir.
2.55. Önerme
M , C  bir manifold olsun. Bu durumda G  02  M  ve X , Y  10  M  için
GV  X V , Y V   0
dir.
2.5.2. TM ye tam liftler
2.56. Tanım
f , M de bir fonksiyon ise TM deki fonksiyon için f C yi
 f  i
f =   df    i  y
 x 
V
C
şeklinde tanımlayarak yazarız ve TM
(2.8)
tanjant demetine göre M de
fonksiyonunun tam lifti olarak adlandırırız.
Bir f fonksiyonunun tam lifti f C , TM de indirgenmiş koordinatlara göre
f
37
f C  Y i i f  f
(2.9)
lokal ifadesine sahiptir. Burada f , Y i  i f i gösterir.
 f 
 f 
 i  ile  i 
 x 
 x 
V
fonksiyonlarının görüntü kümeleri eşit olduğundan, Eş. 2.8
eşitliği genellikle,
fC 
f i
y  f şeklinde yazılır.
xi
2.57. Önerme
M deki her f fonksiyonu için
Xf C  Yf C
olacak şekilde TM deki vektör alanları X , Y olsun. Bu durumda X  Y dir.
2.58. Teorem
f , g  C   M  ve X    M  için,
 fg 
C
 f C gV  f V g C ,
 Xf 
V
 XV f C
dır.
2.59. Tanım
M üzerinde bir vektör alanı X olsun. f  C   M  için,
(2.10)
38
X C  f C    X  f 
C
(2.11)
eşitliği ile tanımlı X C   TM  vektör alanına, X vektör alanının TM ye tam
lifti denir.
Buradan,
 Xh 
X : h 
 X 
C
(2.12)
dır.
2.60. Teorem
X    M  vektör alanlarının bileşenleri X h olmak üzere;
XC  Xh
C 

Xh
h
x
y h
(2.13)
dır.
Eş.2.11 kullanılarak aşağıdaki önermeler verilebilir.
2.61. Önerme
X , Y 10  M  , f 00  M  ve w 10  M  için,
 X Y 
C
 X C YC,
 fX 
 
C
 f CXV  f V X C,
X C f V   Xf  , wV X C   w  X   ,
V
V
(2.14)
39
X V f V  0 , X V f C   Xf  , X C f V   Xf  , X C f C   Xf 
V
V
C
V
V
V
C
C
C
 X , Y   0 ,  X , Y    X , Y  ,  X , Y    X , Y 
V
C
dır.
2.62. Tanım
M üzerinde tanımlı bir 1-form w olsun. Bu durumda,
wC  X C    w  X   , X    M 
C
(2.15)
eşitliği ile tanımlı wC   * TM  1-formuna, w 1-formunun TM ye tam lifti
denir.
2.63. Teorem
w   *  M  1-formunun bileşenleri wi ler olmak üzere;
wC :  wi
wi 
(2.16)
şeklindedir.
Eş.2.16 kullanılarak aşağıdaki önermeler verilebilir.
2.64. Önerme
X 10  M  , f 00  M  ve w, 10  M  için,
w  
C
 wC   C ,
 fw
C
 f C wV  f V wC
(2.17)
40
wC  X    w  X   , wC  X C    w  X  
V
V
C
wV  X V   0 , wV  X C    w  X   , wC  X V    w  X   , wC  X C    w  X  
V
V
C
dır.
Eş.2.16 denklemine göre her açık  1U kümesi için
 dx 
h C
 dy h
(2.18)
dir.
   
Burada dx h , dy h  ,  TM  nin  h
bazına dual olup, X   TM  için
h 
 x , y , 
dx h  X  =X  x h  ve dy h =X  y h  ; 1  h  m  şeklinde tanımlıdırlar.
2.65. Tanım
M ve TM tensör cebirleri olsun. Bu durumda
c :   M    TM 
P  PC
dönüşümü, P,   TM  için,
i)  P     PC   C
C
ii)  P    PC   V  PV   C
C
koşulları altında sabit katsayılara göre bir içine lineer izomorfizmdir.
41
Tanımlanan c izomorfizmi altında elde edilen PC tensör alanına P nin TM
ye tam lifti denir.
2.3. Örnek
F  11  M  olsun. F C nin bileşenlerini bulalım.
C  
V  





F   Fi h h  dxi    Fi h   h  dxi    Fi h   h  dxi 
x


 x

 x

C
V
C
C   
V
V   
C
V   
V
  Fi h   h    dxi    Fi h   h    dxi    Fi h   h    dxi 
 x 
 x 
 x 
V 
C 
V 
  Fi h 
 dxi   Fi h 
 dxi   Fi h 
 dy i
h
h
x
y
y h
V
V
C
Buradan F C nin matris gösterimi
 Fh
FC : i h
 Fi
0 

Fi h 
(2.19)
şeklindedir.
F , G  11 (M ) olmak üzere aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
( FG)C  F C GC
(2.20)
Bu denklemde G yerine F yazılarak,
( F 2 )C  ( F C ) 2
elde edilir. Eş.2.20 denkleminde G yerine F 2 yazıldığında
(2.21)
42
( F .F 2 )C  F C ( F 2 )C
F 
3 C
(2.22)
 ( F C )3
olur. Bu işleme aynı şekilde devam edilirse,
( F k )  ( F C )k
k
(2.23)
elde edilir.
2.66. Önerme
X 10  M  , F 11  M  G  02  M  için,
F C X V   FX  , FC X C   FX  , F V X V  0 , FV X C   FX  ,
V
C
V
(2.24)
GC  X V , Y V   0 , GC  X V , Y C    G  X , Y   ,
V
GC  X C , Y V    G  X , Y   , GC  X C , Y C    G  X , Y  
V
C
dır.
2.67. Tanım
Bir C  manifold M ve M üzerinde bir lineer konneksiyon  olsun. TM
üzerinde, X , Y    M  için,
C X C Y C    X Y 
C
(2.25)
eşitliğini sağlayan bir tek  lineer konneksiyonu vardır ve bu konneksiyona
 nın TM ye tam lifti denir.
43
3. GÜMÜŞ DİFERENSİYEL GEOMETRİ
Bu bölümde, tezin alt yapısını oluşturan Özkan ve Peltek‘in “Gümüş
Diferensiyel Geometri” adlı bildirileri tezin 4. Bölümün daha kolay
anlaşılabilmesi için kısaca özetlenecektir [Özkan ve Peltek, 2013].
3.1. Manifoldlar Üzerinde Gümüş Yapılar
3.1. Tanım
M bir C  manifold ve F , M üzerinde (1,1) tipinden bir tensör alanı olsun.
I , (1,1) tipindeki tensör alanlarının özdeşlik dönüşümü ve p  M için
F n1 ( p), F n2 ( p), ..., F ( p), I lineer bağımsız olmak üzere
xn  an xn1  ...  a2 x  I  0
cebirsel denklemini sağlayan F tensör alanına M manifoldu üzerinde bir
polinom yapısı ve x n  an x n1  ...  a2 x  I polinomuna da yapı polinomu denir
[Goldberg ve Yano, 1970].
3.2. Tanım
M bir C  manifold olsun. Q( x)  x 2 yapı polinomuna sahip M
üzerinde
(1,1) tipindeki T tensör alanına hemen hemen tanjant yapı denir. Yani T 2  0
dir [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008].
3.3. Tanım
M bir C  manifold olsun. Q( x)  x 2  I yapı polinomuna sahip M
üzerinde
(1,1) tipindeki P tensör alanına hemen hemen çarpım yapı denir. Yani
44
P 2  I dır [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008].
3.4. Tanım
M bir C  manifold olsun. Q( x)  x 2  I yapı polinomuna sahip M
üzerinde
(1,1) tipindeki J tensör alanına hemen hemen kompleks yapı denir. Yani
J 2   I . Eğer bir manifold üzerinde hemen hemen kompleks yapı mevcutsa,
bu manifoldun boyutu çifttir .
3.5. Tanım
 , M manifoldu üzerinde (1,1) tipinde bir tensör alanı olsun.
2  2  I
(3.1)
eşitliğini sağlayan  ya M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı denir .
3.6. Önerme
(i) Bir  gümüş yapısının öz değerleri gümüş oran olan   1  2 ve
2-  1  2 reel sayılarıdır.
(ii)  gümüş yapısı, x  M için M manifoldunun tanjant uzayı üzerinde
Tx M bir izomorfizmdir.
ˆ olmak üzere
(iii)  gümüş yapısının tersi mevcuttur ve 1  
ˆ 2  2
ˆ I

denklemini sağlar.
(3.2)
45
3.7. Önerme
Gümüş yapılar çift olarak belirlidirler. Yani;  bir gümüş yapı ise
ˆ  2I   de gümüş yapıdır.

(3.3)
Benzer durum hemen hemen tanjant yapı, hemen hemen çarpım yapı ve
hemen hemen kompleks yapısı içinde geçerlidir. Yani,
a) T tanjant yapı ise T de bir tanjant yapıdır.
b) P hemen hemen çarpım yapısı ise  P de hemen hemen çarpım yapıdır.
c) J hemen hemen kompleks yapısı ise  J de hemen hemen kompleks
yapıdır.
3.8. Teorem
M üzerinde herbir P hemen hemen çarpım yapısından
P  I  2P
(3.4)
şeklinde bir gümüş yapı elde edilir.
Aksine,  , M üzerinde bir Gümüş yapı ise,
P
1
(  I )
2
M üzerinde hemen hemen çarpım yapıdır.
(3.5)
46
 M manifoldu üzerinde hemen hemen tanjant yapı T ise,
t  I  2T
(3.6)
ifadesi (M , T ) hemen hemen tanjant manifoldu üzerinde bir tanjant Gümüş
yapıdır. t
t 2  2t  I  0
denklemi sağlar.

(M , J ) hemen hemen kompleks manifold ise,
 j  I  2J
(3.7)
ifadesi (M , J ) hemen hemen kompleks manifoldu üzerinde bir kompleks
gümüş yapıdır.  j
 j 2  2 j  3I  0
denklemi sağlar
3.2. Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği
 , gümüş yapısının N  Nijenhuis tensörü
N  X , Y   2  X , Y   X , Y    X , Y     X , Y 
eşitliği ile verilir.
(3.8)
47
Eş. 3.4 ve Eş. 3.5 den X , Y  10  M  için
NP  X ,Y  
1
N  X , Y 
2
(3.9)
eşitliği vardır.
R ve S , M manifoldu üzerinde tamamlayıcı dağılımlar ve
r,
s sırasıyla R ve S ye karşılık gelen projeksiyonlar olsun
r  s  P olmak üzere P nin hemen hemen çarpım yapısı olduğunu biliyoruz.
O halde Eş.2.1 den
r  s  I

r  s  P
dır. Buradan r 
1
1
 I  P  ve s   I  P  elde edilir.
2
2
  I  2P olmak üzere
1
2 

r  2 2   2 2 I

s   1    I

2 2
2 2
şeklinde tanımlıdır. r ve s projeksiyonları için
(3.10)
48

1

r  r   r  2 2   2 2 I

s  s   2    s  2     1 I

2 2
2 2
(3.11)
eşitlikleri vardır. Eş. 3.11 den
1

s
rX
,
rY

sN   rX , rY 




8

r  sX , sY   1 rN  sX , sY 


8

(3.12)
elde edilir.
3.9. Önerme
(i) Eğer N  0 ise  gümüş yapısı integrallenebilirdir.
Eş.3.9 den dolayı,  gümüş yapısı integrallenebilirdir  P hemen hemen
çarpım yapısı integrallenebilirdir.
(ii) s  rX , rY   0 ise M manifoldu üzerinde R dağılımı integrallenebilir.
r  sX , sY   0 ise M manifoldu üzerinde S dağılımı integrallenebilir.
3.10. Önerme
i) R integrallenebilirdir  sN  rX , rY   0
ii) S integrallenebilirdir  rN  sX , sY   0
iii)  integrallenebilir ise de hem R hem de S integrallenebilir.
49
3.11. Önerme
r , s projeksiyonları M manifoldu üzerinde her  lineer konneksiyonu için
Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir ve  gümüş
yapısı da Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
3.12. Önerme
R , S dağılımları M manifoldu üzerinde her  lineer konneksiyonu için
Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
3.3. Gümüş Riemann Metrikler
3.13. Tanım
X , Y    M  olsun. g , M üzerinde bir Riemannian metriği ve P bir hemen
hemen çarpım yapı olmak üzere
g  PX , PY   g  X , Y  yada g  PX , Y   g  X , PY 
ilişkisine sahip
 g, P 
ikilisine bir Riemannian hemen hemen çarpım yapı
denir.
3.14. Tanım
X , Y    M  olsun. g , M manifoldu üzerinde
g  X , Y   g  X , Y 
50
olacak şekilde bir Riemann metriği ise  g ,   ikilisine gümüş Riemann yapı ve
 M , g, 
üçlüsüne de gümüş Riemann manifold denir.
3.15. Önerme:
Gümüş Riemannian manifoldu üzerinde
(i) r , s projektörleri g  simetriktir. Yani,
g  rX , Y   g  X , rY 
g  sX , Y   g  X , sY 
dır.
(ii) R, S dağılımları g  ortogonaldır. Yani,
g  rX , sY   0 dır.
(iii) Gümüş yapı, N   simetriktir.
N  X , Y   N  X , Y  dir.
3.16. Önerme
Bir lokal çarpım gümüş Riemann manifold üzerinde,  gümüş yapısı
integrallenebilirdir.
51
4. GÜMÜŞ YAPININ TM YE TAM LİFTİ
Bu bölümde, M manifoldu üzerindeki  gümüş yapısı tam lift yardımıyla
TM tanjant demete taşınmıştır. Daha sonra TM tanjant demet üzerindeki
gümüş yapının integrallenebilirliği ve paralelliği incelenmiştir. Son olarak da
tanjant demet üzerinde gümüş semi-Riemann manifold çalışılmıştır.
4.1. Teorem
 11 (M ) olsun.  nin C tam lifti TM de gümüş yapıdır gerek ve yeter
şart  gümüş yapıdır.
İspat
2  2  I denkleminin her iki yanının tam lifti alınırsa; Eş.2.23 den ve
I C  I olmasından
(2 )C  (2  I )C
 C  C  I C
 (C )2  2C  I C
(4.1)
dır.
4.2. Önerme
(i)  , M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı olsun. TM de C gümüş
yapının öz değerleri   1  2 ve 2    1  2 dir.
52
(ii)  , M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı olsun. C gümüş yapı
q  TM
için
TM
manifoldunun tanjant uzayı
Tq (TM )
üzerinde
izomorfizmdir.
ˆ  (C )1 ise.
(iii) C nin tersi vardır. 
ˆ 2  I  2
ˆ denklemini sağlar.

İspat
, M üzerinde bir gümüş yapı olsun.Bu durumda C de TM de gümüş
yapıdır.
lineer
i) C :  TM    TM 
 TM  üzerindeki C nin öz değeri  ise X    M  olmak üzere
X C   TM  için
C X C   X C
dir.
(C )2  2C  I C
 (C )2 X C  2C X C  I X C
 C  C X C   2C X C  X C
 C   X C   2 X C  X C ,

C
, lineer 
   C X C   2 X C  X C ,  C X C   X C 
    X C   2 X C  X C ,
53
  2 X C   2  1 X C ,
Bu eşitlik X C   TM  için doğru olduğundan
 2  2  1
eşitliğini elde ederiz. Bu denklemin kökleride
1  1  2   ve 2  1  2  2  
dir. 1   ve 2  2   değerleri de C gümüş yapısının öz değerleridir.
ii)  gümüş yapı olsun. Bu durumda C  11 TM  olduğundan C lineerdir.
O halde C nin lineer izomorfizm olabilmesi için C nin birebir ve örten
olduğunu göstermek yeterlidir. Eğer bir lineer dönüşümün çekirdeği 0 ise
bu lineer dönüşüm birebirdir.


çek C  X C   TM  : C  X C   0 ve X C  çek C olsun.
(C )2  2C  I olduğundan
 C  C X C   2C X C  I X C ,
 C  0   20  X C ,  C , lineer olduğundan C  0   0 
0  0 XC
 XC 0
elde edilir. çekC  0 yani C birebirdir.
54
Örtenliğine bakalım;
C
boy  TM   rank C  boy  çek C  , çek  0 olduğundan boy  çekC   0
dır.
 boy  TM   boyC   TM  
  TM   C   TM  
bulunur. Buradan C örtendir.
iii) C izomorfizm olduğundan birebir ve örtendir. Dolayısıyla C nın tersi
mevcuttur.
 
(C )2  2C  I ( Her iki tarafı sağdan C
 (C )2  C   2C  C   I C  C 
1

 C (C )  C 
1
1
 C I  2 I   C 
1
ile işleme sokarsak)
1
  2I    
C 1
1
  C   C  2 I
1
 (C )2  I  2  C 
1
ˆ  I  2
ˆ

dır.
4.3. Önerme
, M
manifoldu üzerinde gümüş yapı olsun. C gümüş yapıdır ve
  2I  C de TM de gümüş yapıdır
55
İspat
C bir gümüş yapı olsun. Bu durumda
2   2I  C    2I  C 
 2I   
2
 4I  2C  2C   C 
C
2
 4I  4C  2C  I
 2  2 I  C   I
 2  I
elde edilir.
O halde  bir gümüş yapıdır.
Hatırlatma [Omran, 1984;Yano ve Ishihara, 1973];
a) T , M manifoldu üzerinde hemen hemen tanjant yapı ise T C ve T C da
TM de hemen hemen tanjant yapıdır.
b) P , M manifoldu üzerinde hemen hemen çarpım yapı ise PC ve  PC de
TM de hemen hemen çarpım yapıdır.
c) J , M manifoldu üzerinde hemen hemen komleks ise J C ve  J C de TM
de hemen hemen kompleks yapıdır.
TM üzerinde gümüş yapı ile hemen hemen çarpım yapı arasındaki ilişkiyi
inceleyelim.
56
4.4. Teorem
P , M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı olsun. PC hemen
hemen çarpım yapı TM de
C  I  2PC
(4.2)
eşitliği ile gümüş yapı indirger.
Karşıt olarak TM de C gümüş yapı
PC 
1
( C  I )
2
(4.3)
eşitliği ile hemen hemen çarpım yapı indirger.
İspat
P2  I ve C  I  2PC olmak üzere
(C )2  2C  I C sağlanıyor mu bunu incelemeliyiz.
(C )2   C C 

 I  2 PC

 I 
2PC

 I  2 PC  2 PC  2  PC 


  3I  2 2 P 
 2  I  2P   I
 I  2 2 PC  2 I
C
C
 2C  I
2

57
dır.
Buradan da C TM de bir gümüş yapıdır.
Tersine,
(C )2  2C  I C ve PC 
1
(C  I ) olmak üzere
2
P 
 I oluyor mu bunu incelemeliyiz.
P 
 PC PC
C 2
C 2
1
(C  I ) (C  I ) 
2
2
1
  C   C  C  I 

2
2
1 C
C

=      2  I 
2
1
  2  C   I  2C  I 
2
I

Öyleyse
P 
C 2
 I , yani PC TM de hemen hemen çarpım yapıdır.
Eş 4.2 den hareketle benzer biçimde aşağıdaki teoremlerde elde edilir.
4.5. Tanım
(M , T ) hemen hemen tanjant manifold olsun. TM de
t C  I  2T C ,
(4.4)
58
ile tanımlanan t C tensör alanı bir tanjant gümüş yapı denir. t C tanjant
gümüş yapısı,
 
C 2
t
 2t C  I  0
(4.5)
denklemini sağlar.
4.6. Tanım
(M , J ) hemen hemen kompleks manifold olsun. TM de
( j )C  I C  2 J C ,
(4.6)
İle tanımlanan  j C tensör alanı (TM , J C ) üzerinde bir kompleks gümüş
yapıdır.
 j C , kompleks gümüş yapısı
 
C 2
j
 2 j C  3I  0
(4.7)
denklemini sağlar.
4.1. Tanjant Demette Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği
X , Y  10  M  için P hemen hemen çarpım yapısının Nijenhuis tensörü
N P ( X , Y )  P2[ X , Y ]  [ PX , PY ]  P[ PX , Y ]  P[ X , PY ]
dir [Yano ve Kobayashi, 1966]
59
Ayrıca C  I  2PC ve PC 
1
(C  I ) olduğunu biliyoruz
2
Eş 3.8 de verilen  gümüş yapısının Nijenhuis tensöründen hareketle C ,
gümüş yapısının N PC Nijenhuis tensörü şu formda elde edilir;
N PC  X C , Y C    PC   X C , Y C    PC X C , PCY C 
2
 PC  PC X C , Y C   PC  X C , PCY C  .
(4.8)
4.7. Teorem
X , Y  10  M  ve C  I  2PC için N PC ve N C arasında
N PC  X C , Y C  
1
NC  X C , Y C 
2
bağıntısı vardır.
İspat
C  I  2PC ve PC 
1
(C  I ) olduğundan Eş.4.8 den faydalanılarak
2
1
 1

(C  I ) X C ,
(C  I )Y C 
N PC  X C , Y C   I  X C , Y C   
2
 2

1
 1

( C  I ) 
( C  I ) X C , Y C 

2
 2


1
1


( C  I )  X C ,
(C  I )Y C 
2
2


60
  X C , Y C  
1  C C 1

 X ,
(C  I )Y C 

2
2

1  C 1

IX ,
(C  I )Y C 

2
2

1
1
 (C  I ) C X C , Y C   (C  I )  IX C , Y C 
2
2
1
1
 (C  I )  X C , CY C   (C  I )  X C , IY C 
2
2
1
  X C , Y C   C X C , CY C 
2
1
1
1
 C X C , IY C    X C , CY C    X C , IY C 
2
2
2
1
1
 (C  I ) C X C , Y C   (C  I )  IX C , Y C 
2
2
1
1
 (C  I )  X C , CY C   (C  I )  X C , IY C 
2
2
2
1
  C   X C , Y C   C  X C  , C Y C  
2
C C X C , Y C   C  X C , CY C  


1
N C  X C , Y C 
2
yazabiliriz
Aynı zamanda Eş 3.9 den dolayı
N PC  X C , Y C    N P  X , Y  
C
olur. Buradan
N PC  X C , Y C  
1
N C  X C ,Y C 
2 
elde edilerek ispat tamamlanır.
61
R ve S , M manifoldu üzerinde tamamlayıcı dağılımlar olmak üzere Eş.2.31
dan
r 
C 2
 r C ,  sC   sC
2
r C  sC  I , r C sC  sC r C  0
(4.9)
bağıntıları elde edilir.
r C  sC  PC olmak üzere PC nin hemen hemen çarpım yapısı olduğunu
biliyoruz. O halde
r C  s C  I
 C C
C
r  s  P
olduğundan r C 
1
1
I  PC  ve s C   I  PC  dir.

2
2
C  I  2PC olmak üzere Eş.3.11 den de
rC 
1
C 
2 
I
2 2
2 2
1

sC  
C 
I
2 2
2 2
(4.10)
bağıntıları elde edilir. Buradan da Eş.3.12 den dolayı

1
 C C
C C
C
C
 r  r    r  2 2   2 2 I

 C s C  s C C   2    s C  2    C  1 I

2 2
2 2
eşitlikleri vardır.
(4.11)
62
4.8. Teorem
TM de bir S dağılımının S C tam lifti integrallenebilirdir gerek ve yeter şart S
dağılımı M de integrallenebilirdir.
İspat
Önerme.3.9 den dolayı, S dağılımı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart
X , Y  10  M  için
r  sX , sY   0
(4.12)
dır.
Bu denklemin her iki tarafının tam lifti alınırsa, r C  1  s   I  sC , s C nin
C
tamamlayıcı projeksiyon tensörü olmak üzere
r C  sC X C , sCY C   0
(4.13)
elde edilir.
O halde Eş.4.12 ve Eş.4.13 koşulları eşdeğerdir. Böylece ispat tamamlanır.
4.9. Teorem
X , Y  10  M  için S dağılımı M üzerinde integrallenebilir olsun. Yani
Önerme 3.5. den rN  sX , sY   0 dir. O halde S C , TM de integrallenebilirdir
gerek ve yeter şart
r C NC  sC X C , sCY C   0
(4.14)
63
İspat
N C , TM de C nin Nijenhuis tensör alanı olsun ,
N C  X C , Y C    C   X C , Y C   C  X C  , C Y C  
2
C C X C , Y C   C  X C , CY C 
yazabiliriz. Buradan,
N C  s C X C , s CY C    C   s C X C , s CY C   C s C X C , C s CY C 
2
 C C s C X C , s CY C   C  s C X C , C s CY C 
Eş.4.15, Eş.4.1 ve Eş.4.11 sayesinde
NC  sC X C , sCY C    2  2  C  sC X C , sCY C    2  2   sC X C , s CY C 
olur. Eşitliğin her iki tarafı
1 C
r ile çarpılıp ve Eş.4.11 kullanılırsa
8
C
1 C
r NC  sC X C , sCY C   r C  sC X C , sCY C    rN   sX , sY  
8
denklemine ulaşılır. rN  sX , sY   0 olduğu dikkate alınırsa
r C NC  sC X C , sCY C   0 .
olur. Böylece ispat tamamlanır.
(4.15)
64
4.10. Teorem
TM de R dağılımının RC tam lifti integrallenebilirdir gerek ve yeter şart R, M
de integrallenebilirdir.
İspat
Önerme.3.9 den dolayı, R dağılımı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart
X , Y  10  M  için
s  rX , rY   0
dır. Bu denklemin her iki tarafının tam lifti alınarak, sC  1  r   I  r C , r C
C
nin tamamlayıcı projeksiyon tensörü olmak üzere
sC r C X C , r CY C   0
(4.16)
dir. Bundan dolayı yukarıdaki iki koşul birbirine eşdeğerdir. Böylece ispat
tamamlanır.
4.11. Teorem
X , Y  10  M  için R dağılımı M de integrallenebilirdir. Yani, Önerme 3.4.
den sN  rX , rY   0 dır. O halde, RC dağılımı TM de integrallenbilirdir gerek
ve yeter şart
sC NC r C X C , r CY C   0
dır.
65
İspat
N C , TM de C nin Nijenhuis tensör alanı olsun
N C  r C X C , r CY C  
 
C 2
 r C X C , r CY C   C r C X C , C r CY C 
C C r C X C , r CY C   C  r C X C , C r CY C 
yazılır. Bu denklem Eş.4.1 ve Eş.4.11 yardımıyla
NC  r C X C , r CY C    2  2  C r C X C , r CY C    2  2  r C X C , r CY C 
şeklinde ifade edilir. Son eşitliğin her iki yanı
1 C
s ile çarpılır ve Eş.4.11
8
kullanılırsa
C
1 C
s NC  r C X C , r CY C   sC r C X C , r CY C    sN   rX , rY  
8
elde edilir. sN  rX , rY   0 olmasından
sC NC r C X C , r CY C   0
sağlanarak ispat tamamlanır.
4.12. Teorem
M deki her X , Y vektör alanı için  Gümüş yapısı M de integrallenebilir
olsun. Yani, Önerme 3.9. den N  X , Y   0 dır. O halde C gümüş yapısı da
TM de integrallenebilirdir gerek ve yeter şart
66
NC  X C , Y C   0
dır.
İspat
Eş.4.12 den
N C  X C , Y C    2   X C , Y C   C X C , CY C 
C
 C C X C , Y C   C  X C , CY C 
yazılır.  , M de gümüş yapı olduğundan
NC  X C , Y C    N  X , Y    0
C
elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.
4.13. Teorem
P , M manifoldu üzerinde hemen hemen çarpım yapı ve  nin tam lifti
C , TM de gümüş yapı olsun. O halde C , TM de integrallenebilirdir gerek
ve yeter şart P , M de integrallenebilirdir.
4.14. Teorem
 nin C tam lifti TM de integrallenebilirse RC ve S C dağılımları da TM de
integrallenebilirdir.
67
İspat
Önerme 3.10 (iii) den

integrallenebilir ise hem
R
hemde
S
integrallenebilirdir. Teorem 4.9,Teorem 4.11, Teorem 4.13 den ispat açıktır.
 , M üzerinde bir lineer konneksiyon olsun. X , Y  10  M  için
C X C Y C    X Y 
C
şartını sağlayan TM de tek türlü C lineer konneksiyonu vardır [Yano ve
İshihara, 19730].
Böylece, TM de

C
, C  çifti yardımıyla başka iki lineer konneksiyon
tanımlayabiliriz.
İ) Schouten konneksiyonu
CX C Y C  r C  C X C r CY C   sC  C X C sCY C 
(4.17)
ii) Vranceanu konneksiyonu
CX C Y C  r C  C X C r CY C   s C  C X C s CY C 
(4.18)
 r C  s C X C , r CY C   s C  r C X C , s CY C 
4.15. Teorem
, M üzerinde bir lineer konneksiyon olsun. r C ve s C projeksiyonları TM
üzerindeki
C
lineer
konneksiyonu
için
Shouten,
Vranceanu
68
konneksiyonlarına göre paraleldir. Üstelik  C Shouten ve Vranceanu
konneksiyonlarına göre paraleldir.
İspat
Eş.4.9 den , X , Y  10  M  için


CX C r CY C  C X C r CY C  r C  C X C Y C   r C  C X C r CY C   r C C X C r CY C   0



C
XC


r C  Y C  C X C r CY C  r C  C X C Y C 


 r C  C r C X C r CY C   r C  s C X c , r CY C   r C  C r C X C r CY C 
 r c  s C X c , r CY C 
0
Eşitlikler benzer şekilde s C için yazılabilir. Eş. 4.10 ve Eş. 4.11 dan C
Shouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
M üzerinde bir D dağılımının  lineer konneksiyonuna göre paralel olması,
X  10  M  ve Y  D için  X Y  D olması demektir [Crasmareanu ve
Hretcanu, 2008].
D,  lineer konneksiyonuna göre paralel olsun. Böylece, TM
dağılımının TM
de C
de DC
lineer konneksiyonuna göre paralel olması,
X C  10 TM  ve Y C  DC için C X C Y C  DC olması anlamına gelir.
4.16. Teorem
RC ve S C dağılımları TM
de C lineer konneksiyonu için Shouten ve
69
Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir.
İspat
X  10  M  ve Y  R olsun. Buradan, X C  10 TM  ve Y C  RC dir.
 sY 
C
 0, r CY C   rY   Y C olduğundan
C
CX C Y C  r C  C X C Y C   RC ,
CX C Y C  r C  C rC X C Y C   r C  sC X C , Y C  
C
.
bulunur.
Benzer eşitlikler S C için de sağlanır.
4.2. Tanjant Demette Gümüş Yarı-Riemannian Metrikler
4.17. Tanım
M bir C  -manifold ve g , M de bir yarı–Riemann metrik ve M üzerinde P
bir hemen hemen çarpım yapısı olsun. O halde  g C , PC  ikilisi TM üzerinde
bir yarı-Riemann hemen hemen çarpım yapısıdır gerek ve yeter şart  g , P 
de M üzerinde bir yarı-Riemann hemen hemen çarpım yapısıdır.
g C  PC X C , PCY C   g C  X C , Y C 
ya da eşdeğer olarak bir g C -simetrik endomorfizm
70
g C  PC X C , Y C   g C  X C , PCY C 
dır.
4.18. Önerme
P hemen hemen çarpım yapısı bir g -simetrik endomorfizmdir gerek ve
yeter şart  C Gümüş yapısı da g C -simetrik endomorfizmdir.
İspat
X , Y    M  için g ( PX , Y )  g ( X , PY ) olsun. Bu eşitliğin her iki tarafının tam
lifti alınırsa
g C  P C X C , Y C   g C  X C , P CY C 
bulunur.
C  I  2PC olduğunu biliyoruz. Buradan
PC 
1
(C  I ) dır.
2
g C  P C X C , Y C   g C  X C , P CY C 
1
 1



 gC 
(C  I ) X C , Y C   g C  X C ,
(C  I )Y C 
2
 2



1
1
 g C  C X C , Y C   g C  X C , Y C  
 g C  X C , CY C   g C  X C , Y C 




2
2
1 C C C C
1 C

g  X ,Y  
g  X C , C Y C 
2
2
 g C   C X C , Y C   g C  X C , C Y C 
71
dir.
X , Y 10 ( M ) için g C  C X C , Y C   g C  X C , CY C  olsun.
C  I  2PC olduğundan
g C   C X C , Y C   g C  X C , C Y C 
 gC
 I 


 
 
2 PC X C , Y C  g C X C , I  2PC Y C
 g C  X C , Y C   2 g C  P C X C , Y C   g C  X C , Y C   2 g C  X C , P CY C 
 2 g C  P C X C , Y C   2 g C  X C , P CY C 
 g C  P C X C , Y C   g C  X C , P CY C 
  g  PX , Y     g ( X , PY )   g  PX , Y   g ( X , PY )
C
C
dir.
4.19. Tanım
TM üzerinde gümüş yarı-Riemann yapı
g C  C X C , Y C   g C  X C , CY C 
ile tanımlı bir  g C , C  çiftidir. TM , g C , C  üçlüsü bir gümüş yarı-Riemann
manifolddur.
4.20. Teorem
Eğer  M de bir gümüş yarı-Riemann yapı ise  nin C tam lifti TM de
gümüş yarı-Riemann yapıdır.
72
4.21. Önerme
 M , g,  ,
TM , g
C
tanım.3.13 daki gibi bir gümüş Riemann manifold olsun.
, C  gümüş Riemann manifoldu üzerinde
i) r C , sC projeksiyonları g C -simetriktir. Yani,
 g C  r C X C , Y C   g C  X C , r CY C 

 C C C C
C
C
C C

g  s X ,Y   g  X , s Y 
dır.
ii) RC , S C dağılımları g C ortogonaldir. Yani,
g C  r C X C , s CY C   0
dır.
iii) TM deki C gümüş yapısı, N C -simetriktir. Yani,
NC  C X C , Y C   NC  X C , CY C 
dir.
İspat
Eş.4.10 ve Tanım 4.7 den
73
i) r C 
1
2 2
C 
2 
I ve
2 2
g C  C X C , Y C   g C  X C , CY C 
olduğunu biliyoruz. O halde
C  2 2r C   2    I için
gC
 2


 

2r C   2    IX C , Y C  g C X C , 2 2r C   2    IY C





 g C 2 2r C X C , Y C  g C   2    X C , Y C   g C X C , 2 2r CY C  g C  X C ,  2    Y C 
 2 2 g C  r C X C , Y C    2    g C  X C , Y C   2 2 g C  X C , r CY C    2    g C  X C , Y C 
 2 2 g C  r C X C , Y C   2 2 g C  X C , r CY C 
 g C  r C X C , Y C   g C  X C , r CY C 
olur. Benzer biçimde sC  
1
2 2
C 

2 2
I içinde
g C  s C X C , Y C   g C  X C , s CY C 
dir.
(ii) R C ve S C dağılımları tümleyen dağılımlar olduğundan
TM  RC  S C
dir. Buradan,
( RC )  S C ve ( S C )  RC dir. Bunlar göz önüne alındığında,
g ( R C X C , S CY C )  0
74
yazılır. Böylece ortogonallik gösterilmiş olur.
iii) C gümüş yapısının Nijenhuis tensörü X , Y 10 ( M ) için
N C  X C , Y C    C   X C , Y C   C X C , CY C 
2
 C C X C , Y C   C  X C , CY C 
dir. O halde
2
2
N C  C X C , Y C    C  C X C , Y C    C  X C , CY C 


 C  C  X C , Y C   C C X C , CY C 


2
 2C C X C , Y C   C X C , Y C    2C X C , CY C 
  X C , CY C   C  2C X C , Y C   C  X C , Y C 
 C C X C , CY C 
ve
2
2
N C  X C , CY C    C   X C , CY C   C X C ,  C  Y C 


 C C X C , CY C   C  X C ,  C  Y C 


2
 2C  X C , CY C    X C , CY C   C X C , 2CY C 
 C X C , Y C   C C X C , CY C 
 C  X C , 2CY C   C  X C , Y C 
dir.
Dolayısıyla
NC  C X C , Y C   NC  X C , CY C  elde edilir.
75
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Özkan ve Peltek kökleri gümüş oranı veren denklem yardımıyla bir M
diferensiyellenebilir manifoldu üzerinde bir gümüş yapı tanımlamışlar ve M
üzerinde bir hemen hemen çarpım yapıdan yararlanarak bu gümüş yapının
geometrisini incelemişlerdir [Özkan ve Peltek, 2013].
Biz de bu tezimizde, elde edilen gümüş yapıyı tam lift yardımıyla M nin
tanjant demeti olan TM ye taşıdık.
Sonuç olarak M de bir gümüş yapı varsa TM de bir gümüş yapı elde
edebiliyoruz. Ayrıca M üzerinde bir gümüş yapı için verilen teoremlerin
metrik hariç TM de korunduğunu gördük.
M de verilen Riemann metriğinin tam lifti TM de yarı-Riemann metriği
olmaktadır. Bundan dolayı metrikle alakalı tanım ve teoremler TM de yarı –
Riemann metriği için tanımlanmış ve ispatlanmıştır.
Çalışmanın devamı,
M
üzerinde verilen bir gümüş yapının yüksek
dereceden tanjant demetlere taşınması ve geometrisinin incelenmesi
olacaktır.
.
76 KAYNAKLAR
Bejancu, A. and Farran, H. R., “Foliations and Geometric Structures”,
Mathematics and its Aplications, Springer, New York, 580: 1-9, 256-258
(2006).
Brickell, F. and Clark, R. S., “Differentiable Manifolds”, VRN Company,
London, 12-28, 34-41, 54-58, 152-153 (1970).
Civelek, Ş., “ İkinci mertebeden genişletilmiş manifoldlar üzerinde liftler”,
Yüksek Lisans Tezi, Gazi üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 3545 (1988).
Crasmareanu, M. and Hretcanu, C. E., “Golden differential geometry”,
Chaos, Solitons and Fractals, 38: 1229-1238 (2008).
Gray, A., “Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersion”, J.
Math. Mech., 16 (7): 715-737 (1967).
Greub, W., Halperin, S. and Vanstone, R., “Connection, Curvature and
Cohomology, 1-2”, Academic Press, New York, 44-84 (1972).
Goldberg, S. I. and Yano K., “Polynomial structures on manifolds”, Kodai
Math. Sem. Rep., 22: 199-218 (1970).
Hacısalihoğlu, H. H., “Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş”, Fırat
Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, 139-140 (2006).
Hacısalihoğlu, H. H. ve Ekmekçi, N., “Tensör Geometri”, Hacısalihoğlu
Yayınları, Ankara, 79-80, 153-154 (2003).
Lee, J. M., “Manifolds and Diferential Geometry”, American Mathematical
Society, United States of America, 467-470 (2009).
Okubo, T., “Differential Geometry”, Marcel Dekker Inc., New York, 7-10, 2728, 37-43, 126-127, 390-392 (1987).
Omran, T., Sharffuddin, A. and Husain, S. I., “Lifts of structures on
manifolds”, Publications De L’institut Math., 36 (50): 93-97 (1984).
Özdemir, F. and Crasmareanu, M., “Geometrical objects associated to a
substructure”, Turkish J. Math., 34: 15-27 (2010).
Özkan, M. and Peltek, B., “Silver differential geometry”, II. International
Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications,
Sarajevo-Bosnia and Herzegovina, 273 (2013).
77 Sasaki, S., “On differentiable manifolds with certain structures which are
closely related to almost contact structures I”, Tohoku Math. Jour.,12: 459476 (1960).
Saunders, D. J., “The Geometry of Jet Bundles”, Cambridge University
Press., Cambridge, 1-36 (1989).
Yano, K. and Ishihara, S., “Almost complex structures induced in tangent
bundles”, Kodai Math. Sem. Rep., 19: 1-27 (1967).
Yano, K. and Ishihara, S., “Tangent and Cotangent Bundles”, Marcel Decker
Inc., New York, 4-25, 40-45, 315-344 (1973).
Yano, K. and Kobayashi, S., “Prolongations of tensor fields and connections
to tangent bundles I. General theory”, J. Math. Soc. Japan, 18: 194-210
(1966).
Yano, K. and Kon, M., “Structures on Manifolds”, World Scientific, New
York, 170-180 (1984).
Yardımcı, E. H., “Altın manifoldlar”, Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 35-84 (2010).
78 ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: TAYLAN, Emel
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 04.06.1988 Ankara
Medeni hali
: Bekar
Telefon
:
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet
Lisans
Kırıkkale Üniversitesi
2010
Lise
İncirli Yabancı Dil Ağırlıklı Lise
2006
Tarihi
Yabancı Dil
İngilizce