GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT DEMETLERE TAŞINMASI Ayşe Asuman ÇITLAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2014 ANKARA TEZ BİLDİRİMİ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Ayşe Asuman ÇITLAK iv GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT DEMETLERE TAŞINMASI (Yüksek Lisans Tezi) Ayşe Asuman ÇITLAK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Şubat 2014 ÖZET Bu tezde, bir diferensiyellenebilir manifold üzerindeki bir gümüş yapı II lift yardımıyla bu manifoldun ikinci dereceden tanjant demetine taşınmıştır. Daha sonra, bu gümüş yapının ikinci dereceden tanjant demette integrallenebilirliği ve paralelliği için gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Son olarak da taşınmış gümüş yapı üzerindeki metrik ve özellikleri incelenmiştir. Bilim Kodu : 204.01.049 Anahtar Kelimeler : Gümüş oran, gümüş yapı, ikinci dereceden tanjant demet, iki lift, gümüş Riemann manifold, gümüş yarı-Riemann manifold. Sayfa Adedi : 71 Tez Yöneticisi : Yrd. Doç. Dr. Mustafa ÖZKAN v PROLONGATION OF SILVER MANIFOLDS TO THE TANGENT BUNDLES OF ORDER TWO (M.Sc. Thesis) Ayşe Asuman ÇITLAK GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES February 2014 ABSTRACT In this thesis, a silver structure on a differentiable manifold has been prolonged to the tangent bundle of order two of this manifold through the second lift. Then, some necessary definitions and theorems about the integrability and parallelism of this silver structure on tangent bundle of order two were given. At last, the metric, which was defined on the prolonged silver structure, and its properties were investigated. Science Code : 204.01.049 Key Words : Silver ratio, silver structure, tangent bundle of order two, second lift, silver Riemannian manifold, silver semi-Riemannian manifold. Page Number : 71 Supervisor : Assist. Prof. Dr. Mustafa ÖZKAN vi TEŞEKKÜR Bu tezin meydana getirilmesi sırasında karşılaştığım her problemde yardımına başvurduğum, bilgi birikiminden faydalandığım değerli hocam Yrd.Doç.Dr. Mustafa ÖZKAN’a sabır ve hoşgörüsünden dolayı, gerek bilgi gerekse moral olarak desteğini esirgemeyerek bana yol arkadaşı olan Emel TAYLAN’a, her koşulda yanımda olan aileme ve dostlarıma teşekkürlerimle. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ............................................................................................................. iv ABSTRACT ..................................................................................................... v TEŞEKKÜR.................................................................................................... vi İÇİNDEKİLER ............................................................................................... vii 1. GİRİŞ ..........................................................................................................1 2. TEMEL KAVRAMLAR .................................................................................2 2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar ...........................................................2 2.2. Diferensiyellenebilir Demet Yapıları ................................................... 16 2.3. Tanjant Demet ................................................................................... 21 2.4. İkinci Dereceden Tanjant Demetler.................................................... 24 2.5. Uyarlanmış Konneksiyonlar ............................................................... 25 2.6. İkinci Dereceden Tanjant Demetlere Liftler ........................................ 27 3. GÜMÜŞ DİFERENSİYEL GEOMETRİ ...................................................... 35 3.1. Manifoldlar Üzerinde Gümüş Yapılar ................................................. 35 3.2. Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği ............................. 38 3.3. Gümüş Riemann Metrikler ................................................................. 41 4. GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT DEMETLERE TAŞINMASI ....................................................................... 44 4.1. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yapıların İntegrallenebiliriği ve Paralelliği ......................................................... 51 4.2. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yarı-Riemann Metrikler ............................................................................................. 61 5.SONUÇ VE ÖNERİLER ............................................................................. 68 viii Sayfa KAYNAKLAR ................................................................................................ 69 ÖZGEÇMİŞ ................................................................................................... 71 ix SİMGELER Bu çalışmada kullanılan bazı semboller açıklamalarıyla birlikte aşağıda sunulmuştur. Simgeler Açıklama M m-boyutlu bir C -manifold Tp M M nin p noktasındaki tanjant uzay M M üzerinde tanımlı C vektör alanlarının modülü 10 M M üzerinde tanımlı C vektör alanlarının modülü 10 M M üzerinde tanımlı C kovektör alanlarının modülü rs M M üzerinde tanımlı r , s tipinden tensör alanlarının modülü TM M nin tanjant demeti T2 M M nin ikinci dereceden tanjant demeti M üzerinde lineer konneksiyon Sc V Schouten konneksiyon Vranceanu konneksiyon Gümüş oran Gümüş yapı 1 1. GİRİŞ Bir diferensiyellenebilir M manifoldu üzerindeki temel diferensiyellenebilir elemanların bir diğer manifolda genişletilmesi, bu yeni manifoldun diferensiyellenebilir özelliklerini ortaya koymak açısından önemlidir. Bu işlem, M üzerindeki diferensiyellenebilir elemanların liftler kullanılarak diğer manifolda taşınması ile sağlanır. M manifolduna diffeomorf olan manifoldlar hariç tutulduğunda M manifoldu ile en yakın ilişkisi olan manifoldları TM , T2 M , TTM … şeklinde sıralayabiliriz. Herhangi bir M manifoldu üzerindeki diferensiyellenebilir elemanların ve yapıların T2 M ikinci dereceden tanjant demete liftleri birçok yazar tarafından araştırılmış ve çalışılmıştır [Das, 1993; Keçilioğlu, 2010; Mathai, 1975; Yano ve Ishihara, 1968; Yano ve Ishihara, 1973]. 2013 yılında Özkan ve Peltek, 2. Uluslararası Avrasya Matematik Bilimleri ve Uygulamaları Konferansı’nda “Gümüş Diferensiyel Geometri” adlı bildirilerinde Q( X ) X 2 2 X I yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden bir tensör alanı ile bir gümüş yapıyı tanımlamış ve bu yapının geometrisini incelemişlerdir [Özkan ve Peltek, 2013]. Bu çalışmanın ikinci bölümünde daha sonra kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde tezin alt yapısını oluşturan Özkan ve Peltek’ in “Gümüş Diferensiyel Geometri” adlı bildirileri özetlenmiştir. Özgün olan dördüncü bölümde ise M manifoldu üzerindeki gümüş yapı T2 M ikinci dereceden tanjant demete taşınmıştır. Daha sonra, taşınmış bu gümüş yapının T2 M de integrallenebilirliği ve paralelliği incelenmiştir. Son olarak, T2 M de bu gümüş yapı üzerindeki metrik ve özellikleri çalışılmıştır. 2 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Diferensiyellenebilir Manifoldlar 2.1. Tanım M boştan farklı bir küme ve M nin boş olmayan bir alt kümesi U olsun. : U Rm bir dönüşüm olmak üzere, i) , bire bir ii) U nun altındaki görüntüsü olan U R m de bir açık altküme ise U , ikilisine M için m -boyutlu bir harita denir [Brickell ve Clark, 1970]. U , , M bir harita olsun. Bir p M noktası alındığında aynı zamanda p U ise, bu haritaya p noktasında veya p noktası civarında bir harita, U kümesine p noktasının koordinat komşuluğu ve dönüşümüne de haritanın koordinat dönüşümü denir. m ui : de, a1 ,..., a m m m olmak üzere ; u i a1 ,..., a m ai , 1 i m , izdüşüm fonksiyonları olsun. Bu durumda bileşenleri, u i p i p xi p p U için nin koordinat 3 şeklinde tanımlanır ve p x1 p ,...., x m p , x1 ,...., x m xi 1i m dir. Burada x1 ,...., x m sistemine U , haritasına ait lokal koordinat sistemi denir [Brickell ve Clark, 1970]. 2.2. Tanım M kümesi üzerinde tanımlı haritaların sınıfı A U , olsun. i) Örtme aksiyomu: M I U . ii) Bağdaşabilirlik aksiyomu: U U olacak biçimdeki herbir , indis çifti için, 1 : U U U U dönüşümü C k -sınıfından bir diffeomorfizmdir. Yukarıdaki aksiyomları sağlayan A sınıfına bir C k -atlas denir [Brickell ve Clark, 1970]. 4 2.3. Tanım M kümesi üzerinde A ve A, C k -atlaslar olmak üzere A A kümesi de yine bir C k -atlas ise A ve A atlaslarına denk atlaslar denir [Brickell ve Clark, 1970]. 2.4. Tanım M kümesi üzerinde bir C k -atlas A U , I olsun. M üzerinde tanımlı her bir U , haritasıyla C k -bağlı olan herhangi bir V , haritası da A atlasında içeriliyorsa A atlasına bir C k -tam atlas (veya C k -maksimal, C k diferensiyellenebilir yapı) denir [Brickell ve Clark, 1970]. 2.5. Tanım A, M kümesi üzerinde tanımlı bir C k -diferensiyellenebilir yapı olmak üzere, (M , A) ikilisine C k -sınıfından diferensiyellenebilir manifold veya kısaca C k - manifold denir [Brickell ve Clark, 1970]. Bundan sonra çalışmanın tümünde manifoldun C olduğu kabul edilecektir. M üzerinde tanımlı denk C k -atlasların her bir denklik sınıfı, M üzerinde bir C k -tam atlas oluşturmaktadır. Bu nedenle (M , A) C k -manifoldunun C k - diferensiyellenebilir yapısını belirtirken A atlasının, yalnızca, herhangi bir C k atlas olarak alınması da yeterlidir. Bir C -yapıda bulunan haritaların boyutu, C -manifoldun boyutu olarak tanımlanır. Kısalık için (M , A) ikilisi yine M ile ifade edilebilir. 5 (M , A) bir C -manifold ve A (U , ) olmak üzere; M S M : I , S U için, S U , m de açık sınıfı M kümesi üzerinde bir topolojik yapıdır. Böylece M topolojisi ile birlikte M bir topolojik uzay olur. 2.6. Tanım M bir C -manifold olsun. M üzerindeki diferensiyellenebilir yapıdan elde edilen M topolojisine, M nin diferensiyellenebilir yapısından indirgenmiş topoloji (veya M nin manifold topolojisi) denir [Brickell ve Clark, 1970]. (M , A) bir C -manifold ve A (U , ) olsun. i) Herhangi bir W U için, W , M de açıktır gerek ve yeter şart W , m de açıktır [Brickell ve Clark, 1970]. ii) U .lar M de bir açık altkümedir [Brickell ve Clark, 1970]. iii) U : I sınıfı, M nin bir bazını oluşturur [Brickell ve Clark, 1970]. 2.7. Tanım m ve n -boyutlu iki C -manifold M ve N , p M ve F : M N herhangi bir 6 dönüşüm olsun. Fˆ F 1 : U V dönüşümü p noktasında C k -diferensiyellenebilir olacak şekilde p ve F p noktalarını içeren, F U V koordinat komşulukları varsa, F olacak şekilde, sırasıyla U dönüşümüne pM ve V noktasında C k - diferensiyellenebilirdir (veya C k -dönüşümdür) denir. Buradaki F̂ dönüşümü U , ve V , haritalarına göre F nin koordinat temsili (veya lokal koordinatlardaki ifadesi) olarak isimlendirilir [Brickell ve Clark, 1970]. Bundan sonra dönüşümler aksi belirtilmedikçe C -diferensiyellenebilir alınacaktır. F : M N .dönüşümü verildiğinde F dönüşümünün tanım kümesinin M nin tamamı olması gerekmediği gibi görüntü kümesinin de N nin tamamı olması gerekmez. Bu durumu belirtmek için, F dönüşümünün tanım kümesi domF ve değer kümesi de rangeF ile gösterilir. W domF , M de bir açık altküme olmak üzere F , W nin her noktasında bir C -dönüşüm ise F ye W üzerinde C -dönüşümdür denir [Brickell ve Clark, 1970]. F : M N , domF üzerinde bir C -dönüşüm olsun O halde F C M , N yazılır. Burada özel olarak N alındığında ise F C M yazılır. Ayrıca, herhangi bir p M noktasının bir komşuluğunda C -diferensiyellenebilir olan reel değerli dönüşümlerin kümesi de C ( p ) ile gösterilir. 7 2.8. Tanım Aynı boyutlu iki C manifold M , N ve F : M N 1:1, örten dönüşüm olsun. Eğer, (i) F Ck M , N (ii) F 1 C k N , M ise F dönüşümüne bir C k -diffeomorfizm denir. Bu durumda M ve N manifoldlarına diffeomorfiktirler denir [Brickell ve Clark, 1970]. 2.9. Tanım M diferensiyellenebilir manifold ve p M olsun. f , g C ( P) ve a, b için aşağıdaki dönüşüm vp : C p f vp f i) vp af bg avp f bvp g ii) vp fg vp f g p f p vp g özelliklerini sağlıyorsa v p ye p noktasında M nin bir tanjant vektörü denir. M nin tanjant vektörlerinin kümesi Tp M ile gösterilir. Tp M reel vektör uzayı yapısına sahip olup bu uzaya M nin p noktasındaki tanjant uzayı denir [Brickell ve Clark,1970]. 8 M diferensiyellenebilir bir manifold ve (U , ( xi )) M nin p M noktasında bir harita ise, i x :1 i m p kümesi Tp M nin bir bazıdır. Bu baza Tp M nin doğal (veya koordinat) bazı denir [Brickell ve Clark, 1970]. 2.10. Tanım M bir C -manifold, M nin bir açık alt kümesi U ve X : U TM U bir dönüşüm olsun. M : TM U U ; M v p, (eğer v Tp M ise) kanonik projeksiyon olmak üzere M X IU (özdeşlik dönüşümü) ise, X e U üzerinde bir vektör alanı denir [Brickell ve Clark, 1970]. Genellikle vektör alanları tanım kümeleri belirtilmeden X : M TM şeklinde de ifade edilir. Bu durumda X in tanım kümesinin M de bir açık altküme olduğu anlaşılacaktır ve M üzerindeki vektör alanlarının kümesi M ile gösterilecektir. X M , domX U olmak üzere f C U ve p U için X f p XP f tanımlansın. Eğer X f , U üzerinde C -diferensiyellenebilir ise X vektör 9 alanına U üzerinde C -diferensiyellenebilirdir denir. Bu durumda X : C U C U f Xf operatörü tanımlanabilir. Bundan sonra vektör alanından söz edildiğinde C -diferensiyellenebilir olduğu kabul edilecektir. 2.11. Tanım M bir C∞-manifold olsun. TP M tanjant uzayının cebirsel duali olan Tp* M ye, M nin p noktasındaki kotanjant uzayı ve bu uzayın her bir elemanına da p noktasında bir kotanjant vektör (veya kovektör) denir [Okubo, 1987]. p M için Tp* M uzayı bir reel vektör uzayıdır. p M noktasında verilen bir (U , ( xi ))1im haritasına göre dx i p :1 i m kümesi T * p M nin bir doğal bazıdır. dxi i p x i j olduğu, dual baz p olmasından açıktır. 2.12. Tanım M nin her bir noktasına bir kotanjant vektör karşılık getiren w: M Tp*M T *M ; w( p) Tp*M pM 10 dönüşümüne M üzerinde 1-form (veya kovektör alanı) denir [Okubo, 1987]. M manifoldu üzerinde tanımlı 1-formların kümesi ile gösterilicektir. 2.13. Tanım m ve n boyutlu iki C -manifold sırasıyla M , N ve F : M N bir C dönüşüm olsun. F nin bir p M noktasındaki türev dönüşümü, v p Tp M ve h C N için; dF v h v p p p hoF şeklinde tanımlı bir dFP : TP M TF(P) N dönüşümüdür [Okubo, 1987]. dFP lineer olup, M ve N nin doğal bazlarına göre dFP dönüşümüne karşılık Fj gelen F nin p deki Jakobien matrisi i x p şeklindedir ve J F p ile gösterilir. Ayrıca rankFP rank dFp rankJ F p (rank) j P eşitlikleri vardır. TM Tp M pM olmak üzere U , M nin bir açık altkümesi olsun. Tp M ayrık birleşimi TM pU ile gösterilirse p U için TpU Tp M olduğundan, U 11 TM U TM dir. 2.14. Tanım V bir reel vektör uzayı ve V nin dual uzayı V olsun. T : V ... V V ... V r-tane s-tane şeklinde her bir (r s) -lineer dönüşüme V üzerinde r-yinci dereceden kontravaryant ve s-yinci dereceden kovaryant (veya kısaca (r , s) -tipinden) bir tensör denir [Okubo, 1987]. Bir vektör uzayı üzerinde tanımlı (r , s) tipinden tensörlerin kümesi Tsr (V ) ile gösterilir. Tsr (V ) üzerinde bir vektör uzayı olup, boy V = n ise boy Tsr (V ) = n r s dir. V vektör uzayı yerine M manifoldunun p noktasındaki Tp M tanjant uzayı alınırsa, M nin p noktasındaki Tsr TP M tensör uzayı elde edilir. Bu uzayın her bir elemanına p noktasında bir (r , s) -tensör denir. 2.15. Tanım Bir C-manifold M olsun. M nin her bir noktasına (r , s) -tipinden bir tensör karşılık getiren bir dönüşüme M üzerinde (r , s) -tipinden bir tensör alanı denir [Okubo, 1987]. 12 O halde M üzerinde tanımlı bir tensör alanı, T :M Ts r (Tp M ) pM p T ( p) Ts r (Tp M ) şeklinde tanımlı bir dönüşümdür. M üzerinde tanımlı tensör alanlarının kümesi (M) ile gösterilir. sr (M), C ( M ) üzerinde bir modüldür. Özel olarak: 00 (M)=C (M ) , (M) =( M ), (M) = (M ) dir. Ayrıca, W1 ,..., Wr (M) , X 1 ,..., X s ( M ) ve p M olmak üzere; ( T ( W1 ,..., Wr , X 1 ,..., X s ))(p)= Tp ( W1 p ,..., Wrp , X 1 p ,..., X sp ) şeklinde tanımlanırsa, T : M ... M M ... M C M r-tane s-tane şeklinde C ( M ) değerli bir (r s) -lineer dönüşüm olur. 2.16. Tanım M bir C -manifold olsun. Eğer M üzerinde bir p M noktası için 13 g : M (Tp M , Tp M ; ) p g p : Tp M Tp M dönüşümü simetrik, pozitif tanımlı ve bilineer ise g ye M de bir Riemann metriği denir [Hacısalihoğlu, 2006]. 2.17. Tanım Bir M C -manifoldu üzerinde bir g Riemann metriği tanımlanmış ise bu (M , g ) ikilisine Riemann manifoldu denir [Hacısalihoğlu, 2006]. 2.18. Tanım M bir C -manifold olsun. M üzerinde simetrik, ve non-dejenere ( X (M ) için g ( X , Y ) 0 Y 0 ) özelliklerini sağlayan g tensörüne yarıRiemann metriği denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi, 2003]. 2.19. Tanım Bir M C -manifoldu üzerinde bir g yarı-Riemann metriği tanımlanmış ise bu (M , g ) ikilisine yarı-Riemann manifoldu denir [Hacısalihoğlu ve Ekmekçi, 2003]. 2.20. Tanım Bir C-manifold M olsun : (M ) (M ) (M ) ( X ,Y ) X Y 14 dönüşümü f , g C M ve X , Y , Z (M ) için fX gY Z f X Z gY Z , (i) (ii) X ( fY ) f X Y ( Xf )Y , (iii) X (Y Z ) X Y X Z )X(Y+Z)=XY+XZ özelliklerini sağlıyorsa, dönüşümüne M üzerinde bir lineer konneksiyon denir [Brickell ve Clark, 1970]. lineer konneksiyonunun koordinat vektör alanlarındaki değeri xi x m j ik j k=1 xk eşitliği ile belirlidir. Bu eşitlik ile tanımlı ijk , C-dönüşümlerine lineer konneksiyonunun bileşenleri veya Christoffel sembolleri denir [Brickell ve Clark, 1970]. Bir lineer konneksiyonunun X , Y (M ) vektör alanlarındaki değeri m X= a i i=1 x m i ve Y= b j j=1 xj olmak üzere b Y = a a b x x 15 eşitliği ile belirlidir. 2.21. Tanım Bir C -manifold M olsun. X , Y (M ) , p M ve f C ( p) için; [ X , Y ] p ( f ) X p (Y ( f )) Yp ( X ( f )) şeklinde tanımlı [,]: (M ) (M ) (M ) dönüşümüne Lie parantez operatörü denir [Brickell ve Clark, 1970]. 2.22. Tanım F , G 11 M olsun. X , Y (M ) olmak üzere 2 N F ,G ( X , Y ) [ FX , GY ] [GX , FY ] FG GF [ X , Y ] F[GX , Y ] F[ X , GY ] G[ FX , Y ] G[ X , FY ] şeklinde verilen (1, 2) tipinden tensör alanına F ve G nin N F ,G torsiyon tensörü denir [Yano ve Kon, 1984]. 2.23. Tanım F 11 M olsun. NF NF ,F 16 şeklinde tanımlı (1, 2) tipinden tensör alanına F nin N F Nijenhuis tensörü denir. Yani X , Y 10 M için N F ( X , Y ) F 2 [ X , Y ] [ FX , FY ] F[ FX , Y ] F[ X , FY ] dir [Yano ve Kon, 1984]. 2.2. Diferensiyellenebilir Demet Yapıları 2.24. Tanım E, M , F C-manifoldlar, :E M bir C-dönüşüm ve M nin bir açık örtüsü U olmak üzere; eğer diffeomorfizimlerinin bir { için } olacak biçimde sınıfı varsa, [F ye göre ] , lokal çarpım özelliğine sahiptir ve (U,)I sistemine de, nin bir lokal ayrışmasıdır denir [Greub ve ark., 1972]. 2.25. Tanım Bir : E M C dönüşümü lokal çarpım özelliğine sahip olsun. Bu durumda E, , M , F dörtlüsüne bir diferensiyellenebilir lif demeti adı verilir [Greub ve ark., 1972]. 2.26. Tanım E, , M , F bir C -lif demeti olsun. O zaman, (U,)I lokal 17 ayrışmasına, lif demetinin bir lokal koordinat gösterimi denir [Greub, ve ark., 1972]. Bir E, , M , F lif demetinde E ye lif demetinin total uzayı, M ye baz (taban) uzayı, F ye lif modeli (veya standart lif) ve ye fibrasyon veya projeksiyon adı verilir. Ayrıca, rank boyF olarak tanımlanır [Greub ve ark., 1972]. E, , M , F lif demeti bazen E total uzayı ile, bazen de, : E M C dönüşümü ile gösterilir. 2.27. Tanım : E M bir lif demeti olsun. p M için, 1 p E p u E : u p kümesine p üzerinde bir lif denir [Greub, ve ark., 1972]. Tüm E p liflerin ayrık bileşimi E total uzayını verir. Yani, E Ep pM dir. Üstelik bir p M için, E p lifi, E de kapalı imbedded altmanifolddur [Saunders, 1989]. boyE p boyE boyM sayısına nin lif boyutu denir [Saunders, 1989]. 18 ( E, , M , F ) bir lif demeti ve U , I lokal koordinat temsilcisi olsun. p U için , p : F E p dönüşümü, , p y p, y ; y F şeklinde tanımlanırsa lar diffeomorfizm olduklarından, , p dönüşümleri de diffeomorfizmdir. U , I den U U U olacak biçimde U , ve U , ikilileri seçilirse; bu durumda, , :U F 1 U şeklinde tanımlı ve lar diffeomorfizm olduklarından 1 :U F U F dönüşümü, p U , y F için p, y p, 1,p , p y şeklinde tanımlı bir diffeomorfizmdir. Böylece, p U için, , p 1 , p : F F ,p dönüşümleri de diffeomorfizmdir [Greub ve ark., 1972]. Örnek 1 M : TM M doğal projeksiyon olmak üzere, M TM , M , M , m dörtlüsü bir lif demetidir. Buna M manifoldunun tanjant demeti denir. Bir p M için 19 M1 p lifi Tp M tanjant uzayıdır [Civelek, 1988]. 2.28. Tanım E, , M , F herhangi bir lif demeti olsun I M (özdeşlik) olacak biçimde tanımlı : M E C -dönüşümüne lif demeti üzerinde bir çapraz kesit denir [Greub ve ark., 1972] Örnek 2 M TM , M , M , m lif demetini gözönüne alalım. Bu durumda, X (M ) vektör alanı, X : M TM , olup, M p M , için X p X p Tp M şeklinde tanımlı kanonik projeksiyonunda X p TM için M X p p olarak tanımlandığında, M TM M diyagramı değişmeli olur. Böylece X M C -vektör alanları M lif demeti üzerinde çapraz kesitlerdir [Civelek, 1988]. 2.29. Tanım E, , M , F bir C lif demeti olsun. Eğer; 20 (i) 1 p M için , p E p ve F reel vektör uzayı, (ii) p M , , p : F E p dönüşümleri lineer izomorfizm olacak biçimde nin U , I lokal koordinat gösterimi var ise ye bir vektör demeti denir. [Greub ve ark., 1972]. 2.30. Tanım E, , M , F lif demeti olsun. z E için Vz E çek * z A T E : A 0 z z * z z kümesi, Tz E tanjant uzayının bir alt uzayıdır. Vz E uzayına E nin z noktasında vertical uzay ve bu uzayın her bir elemanına da bir vertical tanjant vektör denir [Greub ve ark., 1972]. z E ve z p olmak üzere Vz E Tz Fp dir [Greub vd.1972]. E üzerinde vektör alanlarının modülü E olmak üzere A E olsun. z E için Az Vz E ise A ya vertical vektör alanı denir ve A v E şeklinde gösterilir (Greub vd.1972). E, , M , F bir lif demeti olsun. Bir TE : TE E dönüşümü z E için 1 TE z Tz E şeklinde tanımlansın. Bu durumda TE Tz E zE 21 olmak üzere TE TE, TE , E, m n dörtlüsü bir vektör demeti olup, bu E manifoldunun tanjant demetidir [Greub vd.1972]. 2.3. Tanjant Demet M nin tüm noktalarındaki tanjant uzaylarının ayrık birleşimi TM = T M ve TM üzerinde, M : TM M dönüşümü, v p, tanımlansın. M üzerinde bir harita U , x i 1i m v T M ise p şeklinde olsun. Bu durumda U 1 U olmak üzere; : U U m dönüşümü, v v xi M v , dxi v 1i m şeklinde tanımlanırsa, dönüşümü 1-1 ve örten olup, görüntü kümesi uzayının bir açık altkümesidir. O halde (U , ) ikilisi TM üzerinde 2m 2m - boyutlu bir haritadır. M üzerinde A U , I atlası verildiğinde TM üzerinde, her bir haritası yukarıdaki şekilde elde edilen bir, A U , I atlası tanımlanabilir. A sınıfı bir C - atlastır ve TM üzerinde bir C yapı oluşturur. Bu yapıyla, TM 2m boyutlu bir C -manifold olup, M nin tanjant manifoldu olarak isimlendirilir. 22 Lokal olarak, TM p, z p M , z Tp M m gösterimi de kullanılır. TM üzerinde bir lokal koordinat sistemi dxi y i alınarak x ,..., x i m , y1 ,.. y m şeklinde ve kısalık için xi , y i 1i m veya y yi 1i m olmak üzere x, y yazılacaktır. koordinat dönüşümü de x , y şeklinde ifade edilecektir. TM , M ,M, m dörtlüsü bir vektör demetidir. Bu demete, M nin tanjant demeti, sürekli, örten ve C dönüşüm olan M ye de doğal (kanonik) projeksiyon denir [Greub ve ark., 1972]. 2.31. Tanım m n k -boyutlu M manifoldu üzerinde n -boyutlu diferensiyellenebilir bir dağılım, TM tanjant demetinin rank n olan bir D altvektör demetidir [Lee, 2009]. O halde M manifoldu üzerindeki n -boyutlu diferensiyellenebilir bir dağılım, x M ye karşılık n -boyutlu bir x Tx M altvektör uzayını karşılık getirir. 23 :M Tx M xM x x Tx M Ayrıca, x M nin bir U komşuluğunda lineer bağımsız X1 ,..., X n vektör alanı vardır ki U komşuluğundaki q U için X1 (q),..., X n (q) cümlesi q altvektör uzayının bir bazıdır [Lee, 2009]. D , M manifoldu üzerinde bir dağılım ve X de U M açık kümesi üzerinde tanımlı bir vektör alanı olsun. Eğer, p U için X p p ise X vektör alanı D dağılımına aittir denir ve X in D dağılımına ait olduğunu göstermek için X ( D) şeklinde gösterilir [Bejancu ve Farran, 2006]. 2.32. Tanım M diferensiyellenebilir bir manifold ve R, S de M manifoldu üzerinde iki tümleyen dağılım, yani x M için Tx M Rx S x dir. Yani, T M R S dir [Özdemir ve Crasmareanu, 2010]. r ve s sırasıyla R ve S dağılımlarına karşılık gelen projeksiyonlar olmak üzere r ve s yi (1,1) tipinde bir tensör olarak görebiliriz. Ayrıca, r 2 r , s 2 s, rs sr 0, r s ITM 24 özelikleri vardır [Özdemir ve Crasmareanu, 2010]. 2.4. İkinci Dereceden Tanjant Demetler 2.33. Tanım M m -boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve reel sayılar cismi olsun. den M ye tanımlı bütün C -fonksiyonların kümesini S ( M ) ile gösterelim. Herhangi iki F , G S (M ) fonksiyonları için dF i (0) dG i (0) d r F i (0) d r G i (0) F (0) G (0), ,..., dt dt dt r dt r i i eşitlikleri sağlanıyorsa F ve G fonksiyonları denktir denir ve F gösterilir. G ile denklik bağıntısı ile belirlenen her denklik sınıfı F (0) p olacak şekilde bir F : M dönüşümünü içeriyorsa bu denklik sınıfına M nin r - jeti denir ve j r p ( F ) ile gösterilir. Burada p noktası, j r p ( F ) r -jetinin hedefi olarak adlandırılır (U , xi ) , M nin bir koordinat komşuluğu olsun. p U olmak üzere bir j r p ( F ) r -jeti ( xi , yi (1) , yi (2) ..., yi ( r ) ) kümesi ile tek bir şekilde ifade edilir. U da P nin koordinatları ( xi ) ve sırasıyla yi (1) , yi (2) ..., yi ( r ) ler de y i (1) dF i (0) i 1 d 2 F i (0) 1 d r F i (0) i , y (2) ,..., y (r ) dt 2! dt 2 r ! dt r şeklinde tanımlıdır [Yano ve Ishıhara, 1967; Tani, 1969]. 25 2.34. Tanım Bir M manifoldunun tüm r -jetlerinin kümesi r -dereceden tanjant demet olarak adlandırılır ve Tr ( M ) ile gösterilir. Tr ( M ) nin diferensiyellenebilir bir manifold olması yoluyla Tr ( M ) de bir topolojiden söz edilebilir [Yano ve Ishıhara, 1967]. 2.35. Tanım Bir M manifoldu üzerindeki 2 -jetlerin kümesine ikinci dereceden tanjant demet denir ve T2 M ile gösterilir. 2 : T2 M M j p ( F ) 2 ( j 2 p ( F )) F (0) p 2 dönüşümüne T2 M nin projeksiyonu denir [Yano ve Ishıhara, 1967]. 2.5. Uyarlanmış Konneksiyonlar R, n p -boyutlu bir M manifoldu üzerinde n-dağılım olsun. M manifoldu üzerindeki bir lineer konneksiyon olmak üzere *X U R , X M , U R ise konneksiyonuna R ye uyarlanmış denir [Bejancu ve Farran, 2006]. S , M manifoldu üzerinde R dağılımının tümleyen bir p-dağılımı olsun. O halde, TM R S dır. r ve s sırasıyla R ve S ye karşılık gelen projeksiyonlar olsun. Dolayısıyla r - s P şeklinde bir hemen hemen çarpım yapısı 26 oluşturabiliriz. M , R, S üçlüsüne de hemen hemen çarpım manifoldu denir. Hemen hemen çarpım manifoldu üzerindeki bir lineer konneksiyona uyarlanmış lineer konneksiyon denir. Eğer , hem R hem de S ye göre uyarlanmış ise, X rY R X sY S X,Y M . şeklinde ifade edilir. İlk kez Schouten Van –Kampen ve Vranceanu tarfından tanıtılan ve kendi isimleriyle bilinen hemen hemen çarpım manifoldları üzerinde iki uyarlanmış lineer konneksiyon vardır. Bu konneksiyonlar şu şekilde tanımlanır: M bir hemen hemen çarpım manifoldu ve , M üzerinde bir lineer konneksiyon olmak üzere X,Y M için i) Schouten konneksiyonu Sc X Y r X rY s X sY ii) Vranceanu konneksiyonu v X Y r rX rY s sX sY r sX , rY s rX , sY dır [Bejancu ve Farran, 2006]. M manifoldu üzerinde r - s P hemen hemen çarpım yapısı eğer lineer 27 konneksiyonuna göre kovaryant türevi sıfıra eşit, yani X , Y M için ( X P)Y X PY P X Y 0 ise P hemen hemen çarpım yapısına lineer konneksiyonuna göre paraleldir denir [Bejancu ve Farran, 2006]. 2.36. Önerme P, M Rieman manifoldu üzerinde bir Riemann hemen hemen çarpım yapısı g olsun. P, Levi-Civita konneksiyonuna göre paralel ise Riemann hemen hemen çarpım yapı bir lokal çarpım yapıdır [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008]. 2.6. İkinci Dereceden Tanjant Demetlere Liftler Bu kesimde, Yano ve Ishihara’nın tanımladığı T2 M ye 0 , I , II liftlerin tanımları verilerek özellikleri özetlenecektir [Yano ve Ishihara, 1973]. 2.37. Tanım f , M üzerinde diferensiyellenebilir bir fonksiyon olsun. f sırasıyla 0, I , II liftleri f 0 , f I , f II ile gösterilir ve f 0 f 2 , f I y i i f , f II z i i f şeklinde tanımlanır. 1 j i y y j i f 2 nin T2 M ye 28 2.38. Teorem f , g 00 (M ) için ( fg )0 f 0 g 0 , ( fg ) I f I g 0 f 0 g I , ( fg ) II f II g 0 f I g I f 0 g II dir. 2.39. Teorem X , Y 01 (T2 M ) ve f 00 (M ) için X f II Y f II ise X Y dir. 2.40. Tanım X , M üzerinde bir vektör alanı ( X 01 ( M )) ve bir ( U , xi ) haritasına göre X vektör alanının lokal bileşenleri X i olmak üzere, X in T2 M ye sırasıyla 0, I , II liftleri X 0 , X I , X II ile gösterilir ve 0 0 X 0 : 0 , X I : X i , X II y j X i Xi j Xi y j j X i : z i X i 1 y k y j X i j k j 2 eşitlikleri ile tanımlanır. Burada vektör alanlarının liftleri i , i , i bazına göre matris temsilleri x y z ile ifade edilmiştir. 29 2.41. Teorem f 00 (M ) ve X 01 ( M ) için ( fX )0 f 0 X 0 , ( fX ) I f I X 0 f 0 X I , ( fX ) II f II X 0 f I X I f 0 X II , X 0 f 0 0 , X 0 f I 0 , X 0 f II ( Xf )0 , X I f 0 0, X I f I ( Xf )0 , X I f II ( Xf ) I , X II f 0 ( Xf )0 , X II f I ( Xf ) I , X II f II ( Xf ) II eşitlikleri vardır. 2.42. Sonuç i M üzerindeki koordinat sistemi ( x ) ve T2 M ye indirgenmiş koordinat sistemi de ( xi , y i , z i ) olmak üzere i i , x z 0 i i , x y I i i x x II dir. 2.43. Tanım , M üzerinde bir 1-form ve bir (U , xi ) haritasına göre nın lokal bileşenleri i olmak üzere, nın T2 M ye sırasıyla 0, I , II liftleri 0 , I , II ile gösterilir ve 1 2 0 : (i ,0,0), I : ( y j ji , i ,0), II : ( z j ji y k y j k ji , i ) eşitlikleri ile tanımlanır. Burada 1-formun liftleri dx , dy , dz i i i bazına göre 30 matris temsilleri ile ifade edilmiştir. 2.44. Teorem f 00 (M ), X 10 ve 01 (M ) için ( f )0 f 0 0 , ( f ) I f I 0 f 0 I , ( f ) II f II 0 f I I f 0 II , 0 ( X 0 ) 0 , 0 ( X I ) 0 , 0 ( X II ) ( ( X ))0 , I ( X 0 ) 0 , I ( X I ) ( ( X ))0 , I ( X II ) ( ( X )) I , II ( X 0 ) ( ( X ))0 , II ( X I ) ( ( X )) I , II ( X II ) ( ( X )) II eşitlikleri vardır. 2.45. Sonuç i M üzerindeki koordinat sistemi ( x ) ve T2 M ye indirgenmiş koordinat sistemi de ( xi , y i , z i ) olmak üzere (dxi )0 dxi , (dxi ) I dyi , (dxi ) II dz i dir. 2.46. Tanım S ve T , M manifoldu üzerinde herhangi tensör alanları olmak üzere (S T )0 S 0 T 0 , (S T ) I S I T I , (S T ) II S II T II özellikleri vardır. 31 Örnek 3 M üzerinde (0, 2) tipinden bir tensör alanı Gˆ gij dxi dx j olmak üzere Ĝ nın T2 M ye 0, I , II -liftlerini hesaplayalım. Gˆ 0 ( gij dx i dx j )0 ( gij )0 (dxi dx j )0 gij (dxi )0 (dx j )0 gij dxi dx j o halde, gij 0 ˆ G 0 0 0 0 0 0 0 0 dır. Gˆ I ( gij dxi dx j ) I ( gij ) I (dxi dx j )0 ( gij )0 (dxi dx j ) I ( gij ) I (dxi )0 (dx j )0 ( gij )0 [(dxi ) I (dx j ) 0 ( dxi ) 0 ( dx j ) I ] ys s gij (dxi dx j ) gij (dy i dx j ) gij (dx i dy j ) o halde, y s s gij Gˆ I gij 0 dır. gij 0 0 0 0 0 32 Gˆ II ( gij dxi dx j ) II ( gij ) II (dxi dx j )0 ( gij ) I (dxi dx j ) I ( g ij ) 0 ( dxi dx j ) II ( gij ) II (dxi )0 (dx j ) 0 ( gij ) I [( dxi ) I ( dx j ) 0 ( dxi ) 0 ( dx j ) 0 ] gij [(dxi ) II (dx j )0 (dxi ) I (dx j ) I ( dxi ) 0 ( dx j ) II ] ( gij ) II dxi dx j ( gij ) I dy i dx j ( gij ) I dxi dy j gij dz i dx j gij dy i dy j gij dxi dz j o halde, 1 t s s z s gij 2 y y t s gij Gˆ II y s s gij gij y s s gij gij 0 gij o 0 dır. F , M manifoldu üzerinde (1,1) tipinde tensör alanı olsun. F tensör alanının T2 M ye II -liftinin bileşenleri şu şekildedir. F ih y ss F ih s 1 z s F i h yt y s t s F i h 2 0 F ih y ss F ih 0 0 F ih (2.1) ve F , G 11 (M ) olmak üzere aşağıdaki eşitliği yazabiliriz. ( F .G) II F II .G II Bu denklemde G yerine F yazılarak, (2.2) 33 ( F 2 ) II ( F II )2 (2.3) elde edilir. Eş.2.2 de G yerine F 2 yazıldığında ( F .F 2 ) II F II ( F 2 ) II F 3 ( F II )3 (2.4) olur. Bu işleme aynı şekilde devam edilirse, ( F k ) ( F II )k k (2.5) elde edilir. F ve G herhangi tensör alanları olmak üzere ( F G) II F II G II dir. 2.47. Önerme X 01 (M ) ve F 11 ( M ) olmak üzere F 0 X 0 0, F 0 X I 0, F 0 X II ( FX )0 , F I X 0 0, F I X I ( FX )0 , F I X II ( FX ) I , F II X 0 ( FX )0 , F II X I ( FX ) II , F II X II ( FX ) II dir. 2.48. Önerme F , G 11 (M ) ve X 01 (M ) olmak üzere (2.6) 34 (G 0 F 0 ) X II G 0 ( F 0 X II ) 0, (G I F I ) X II G I ( F I X II ) G I ( FX ) I (G( FX )) 0 (GF ) 0 X II , (G II F II ) X II G II ( F II X II ) G II ( FX ) II (G( FX )) II (GF ) II X II dir. Buradan da G0 F 0 0, G I F I (GF )0 , G II F II (GF ) II elde edilir. 2.49. Tanım 1 M manifoldu üzerinde bir afin konneksiyon olsun. X , Y 0 ( M ) olmak üzere nın T2 M ye 0, I , II -lift özellikleri II X 0 Y 0 0, II X 0 Y I 0, II X 0 Y II ( X Y )0 , II X I Y 0 0, II X I Y I ( X Y )0 , II X I Y II ( X Y ) I , II X II Y 0 ( X Y )0 , II X II Y I ( X Y ) I , II X II Y II ( X Y ) II şeklindedir. 2.50. Teorem X , Y 10 (M ) için X 0 , Y 0 0, X I , Y 0 0 , X I , Y I X , Y , 0 X II , Y 0 X , Y , X II , Y I X , Y , X II , Y II X , Y 0 dir. I 0 35 3. GÜMÜŞ DİFERENSİYEL GEOMETRİ Bu bölümde, tezin temelini teşkil eden Özkan ve Peltek’in “Gümüş Diferensiyel Geometri” adlı bildirileri son bölümün daha kolay anlaşılabilmesi için kısaca özetlenecektir [Özkan ve Peltek, 2013]. 3.1. Manifoldlar Üzerinde Gümüş Yapılar 3.1. Tanım M bir C manifold ve F , M üzerinde (1,1) tipinden bir tensör alanı olsun. I , (1,1) tipindeki tensör alanlarının özdeşlik dönüşümü ve p M için F n1 ( p), F n2 ( p), ..., F ( p), I lineer bağımsız olmak üzere Q( x) x n an x n1 ... a2 x I 0 cebirsel denklemini sağlayan F tensör alanına M manifoldu üzerinde bir polinom yapısı ve Q( x) polinomuna da yapı polinomu denir [Goldberg ve Yano, 1970]. 3.2. Tanım Bir M C -manifoldu üzerinde Q( x) x 2 yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden T tensör alanına bir hemen hemen tanjant yapı denir [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008]. Yani T 2 0 dır. 3.3. Tanım Bir M C -manifoldu üzerinde Q( x) x 2 I yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden P tensör alanına bir hemen hemen çarpım yapı denir. Yani P 2 I 36 dır [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008]. 3.4. Tanım Bir M C -manifoldu üzerinde Q( x) x 2 I yapı polinomuna sahip (1,1) tipinden J tensör alanına bir hemen hemen çarpım yapıyı denir. Yani; J 2 I dır [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008]. 3.5. Tanım , M manifoldu üzerinde (1,1) tipinde bir tensör alanı olsun. 2 2 I (3.1) eşitliğini sağlayan ye M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı denir. 3.6. Önerme (i) Bir gümüş yapının öz değerleri gümüş oran olan 1 2 ve 2- 1 2 sayılarıdır. (ii) gümüş yapısı, x M için M manifoldunun Tx M tanjant uzayı üzerinde bir izomorfizmdir. (iii) gümüş yapının tersi mevcuttur ve 1 olmak üzere 2 2 I denklemini sağlar. (3.2) 37 3.7. Önerme Gümüş yapılar çift olarak belirlidirler. Yani; bir gümüş yapı ise 2I de gümüş yapıdır. (3.3) Benzer durum hemen hemen tanjant yapı, hemen hemen kompleks yapı ve hemen hemen çarpım yapı içinde geçerlidir. Yani, a) T hemen hemen tanjant yapı ise T de bir hemen hemen tanjant yapıdır. b) J hemen hemen kompleks yapı ise J de hemen hemen kompleks yapıdır. c) P hemen hemen çarpım yapı ise P de hemen hemen çarpım yapıdır. 3.8. Teorem M üzerinde her bir P hemen hemen çarpım yapıdan P I 2P (3.4) şeklinde bir gümüş yapı elde edilir. Aksine; , M üzerinde bir gümüş yapı ise, P 1 ( I ) 2 M üzerinde hemen hemen çarpım yapıdır. (3.5) 38 Eş. 3.1 denkleminden aşağıdaki tanımlar verilebilir. a) M manifoldu üzerinde hemen hemen tanjant yapı T olsun. O halde, t I 2T (3.6) ifadesi (M , T ) hemen hemen tanjant manifoldu üzerinde bir tanjant gümüş yapıdır. t t 2 2t I 0 polinomal denklemini sağlar. b) (M , J ) hemen hemen kompleks manifold olsun. Bu durumda, j I 2J (3.7) ifadesi (M , J ) hemen hemen kompleks manifoldu üzerinde bir kompleks gümüş yapıdır. j j 2 2 j 3I 0 polinomal denklemi sağlar. 3.3. Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği , gümüş yapının N Nijenhuis tensörü N X , Y 2 X , Y X , Y X , Y X , Y (3.8) 39 eşitliği ile verilir. Eş. 3.4 ve Eş. 3.5 den X , Y 10 M için NP X ,Y 1 N X , Y 2 (3.9) eşitliği vardır. R ve S , M gümüş manifoldu üzerinde tamamlayıcı dağılımlar olsun. Yani, x M için Tx M Rx S x dır. Demet durumunda da TM R S şeklindedir. r , s sırasıyla R ve S ye karşılık gelen projeksiyonlar olmak üzere r 2 r, s2 s rs sr 0, rs I (3.10) bağıntıları vardır. r s P olmak üzere P nin bir hemen hemen çarpım yapı olduğunu biliyoruz. O halde r s I r s P olduğundan, r 1 1 I P ve s I P dir. I 2P olmak üzere, 2 2 40 1 2 r 2 2 2 2 I s 1 I 2 2 2 2 (3.11) şeklinde tanımlıdır. r ve s projeksiyonları için 1 r r r 2 2 2 2 I s s 2 s 2 1 I 2 2 2 2 (3.12) eşitlikleri vardır. Eş. 3.12 den 1 s rX , rY sN rX , rY 8 r sX , sY 1 rN sX , sY 8 (3.13) elde edilir. 3.9. Önerme (i) Eğer N 0 ise gümüş yapısı integrallenebilirdir. (ii) gümüş yapısı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart P hemen hemen çarpım yapısı integrallenebilirdir. (iii) X , Y M için s rX , rY 0 ise R dağılımı integrallenebilir. (iv) X , Y M için r sX , sY 0 ise S dağılımı integrallenebilir. 41 3.10. Önerme (i) R integrallenebilirdir gerek ve yeter şart X , Y M için sN rX , rY 0 (ii) S integrallenebilirdir gerek ve yeter şart X , Y M için rN sX , sY 0 (iii) integrallenebilir ise de hem R hem de S integrallenebilir. 3.11. Önerme r , s projeksiyonları M manifoldu üzerinde her lineer konneksiyonu için Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. Ayrıca, gümüş yapısı da Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. 3.12. Önerme R, S dağılımları M manifoldu üzerinde her lineer konneksiyonu için Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. 3.3. Gümüş Riemann Metrikler X , Y M olsun. g , M üzerinde Riemann metriği ve P bir hemen hemen çarpım yapı olmak üzere g PX , PY g X , Y veya g PX , Y g X , PY 42 eşitliğine g, P ikilisine bir Riemann hemen hemen çarpım yapı denir [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008]. 3.13. Tanım X , Y M olsun. g , M manifoldu üzerinde g X , Y g X , Y olacak şekilde bir Riemann metriği ise g, ikilisine gümüş Riemann yapı ve M , g , üçlüsüne de gümüş Riemann manifold denir. 3.14. Önerme Gümüş Riemann manifoldu üzerinde (i) r , s projektörleri g -simetriktir. Yani, g rX , Y g X , rY g sX , Y g X , sY dır. (ii) R, S dağılımları g -ortogonaldır. Yani, g rX , sY 0 dır. (iii) Gümüş yapı, N -simetriktir. 43 N X , Y N X , Y dir. 3.15. Önerme , P hemen hemen çarpım yapısı üzerinde bir simetrik lineer konneksiyon ise P nin Nijenhuis tensörü N P X , Y PX P Y PY P X P X P Y P Y P X şeklindedir. 3.16. Önerme Bir lokal çarpım gümüş Riemann manifold üzerinde, gümüş yapısı integrallenebilirdir. 44 4. GÜMÜŞ MANİFOLDLARIN İKİNCİ DERECEDEN TANJANT DEMETLERE TAŞINMASI Bu bölümde, M C -manifoldu üzerindeki gümüş yapısı II lift yardımıyla ikinci dereceden tanjant demete taşınmıştır. Daha sonra T2 M tanjant demet üzerindeki gümüş yapının integrallenebilirliği ve paralelliği incelenmiştir. Son olarak da ikinci dereceden tanjant demet üzerinde gümüş yarı-Riemann manifold çalışılmıştır. 4.1. Teorem M bir C -manifold ve 11 (M ) olsun. gümüş yapıdır gerek ve yeter şart nın II komple lifti T2 M de gümüş yapıdır. İspat 2 2 I denkleminin her iki yanının II lifti alınırsa; Eş. 2.5, Eş. 2.6 eşitlikleri ve I II I olmasından (2 ) II (2 I ) II II 2 II II I II II 2II I 2 bulunur. 4.2. Önerme (i) , M manifoldu üzerinde gümüş yapı ise T2 M deki II gümüş (4.1) 45 yapısının öz değerleri 1 2 ve 2 1 2 sayısıdır. (ii) , M manifoldu üzerinde gümüş yapı ise q T2 M için II gümüş yapısı T2 M manifoldunun tanjant uzayı Tq (T2 M ) ye izomorftur. (iii) II ˆ II nin tersi mevcuttur. (II )1 ˆ II , alınırsa ˆ II )2 I 2 ˆ II ( denklemini sağlar. İspat (i) II : T2 M lineer T2 M dönüşümünün öz değeri olsun. Bu durumda X II T2 M için II X II X II yazılabilir. gümüş yapı olduğundan (II )2 2II I II eşitliğini sağlar. (II )2 X II 2II X II I II X II II II X II 2II X II X II , II X II 2 X II X II , II X II X II lineer II X II 2 X II X II , II X II X II X II 2 X II X II 2 X II 2 1 X II 46 Bu eşitlik X II T2 M için doğru olduğundan 2 2 1 eşitliğini elde ederiz. Bu denklemin kökleri de 1 1 2 ve 2 1 2 2 dır. 1 ve 2 2 değerleri de II gümüş yapısının öz değerleridir. (ii) II gümüş yapısının izomorfizm olduğunu göstermek için II lineer olduğundan birebir ve örten olduğunu göstermemiz ispat için yeterlidir. II nin çekirdeği çek X M : II X II 0 dır. Eş. 4.1 den II II X II 2II X II IX II II 0 2 0 X II , , lineer olduğundan 0 0 II 0 0 X II X II 0 çek 0 birebirdir. II nin örtenliği için; boy T2 M rank II boy çek II eşitliğinden 47 boy T2 M boy II T2 M T2 M II T2 M II , örtendir. (iii) II izomorfizm olduğundan birebir ve örtendir. Dolayısıyla II nın tersi mevcuttur. (II )2 2II I (Her iki tarafın sağdan II (II )2 II 2II II I II 1 1 (II ) (II ) II II I 2 I II II 2 I II 1 1 ile bileşkesini alalım) 1 2I II 1 1 1 (II )1 II 2I (Her iki tarafın sağdan II 1 ile bileşkesini alalım) (II )1 (II )1 II (II )1 2 I (II )1 ((II )1 )2 I 2(II )1 ˆ II (II )1 alınırsa) ( ˆ II )2 I 2 ˆ II ( dır. 4.3. Önerme , M manifoldu üzerinde bir gümüş yapı ise II gümüş yapıdır ve II 2I II de T2 M de bir gümüş yapıdır. 48 İspat 2I 2I 2I II 2 II II 4 I 2II 2II II 2 4I 4II 2II I 2 2I II I . dır. Öyleyse, 2 II 2 II I olup, bir gümüş yapıdır. Biliyoruz ki, Önerme 4.3 deki durum bir hemen hemen tanjant yapı, bir hemen hemen kompleks yapı ve bir hemen hemen çarpım yapı için de geçerlidir. Yani, sırası ile bu yapılar için aşağıdaki tanımlar verilebilir. 4.4. Tanım Eğer T , M manifoldu üzerinde bir hemen hemen tanjant yapı ise T II ve T II de T2 M de bir hemen hemen tanjant yapıdır. ( M , T ) hemen hemen tanjant manifold olsun. Bu durumda t II I 2T II , ile tanımlanan t II tensör alanı T2 M de bir tanjant gümüş yapıdır. 49 4.5. Tanım J , M manifoldu üzerinde bir hemen hemen kompleks ise J II ve J II de T2 M de bir hemen hemen kompleks yapıdır. ( M , J ) bir hemen hemen kompleks manifold olsun. T2 M de j II I 2 J II ile tanımlanan j II tensör alanı (T2 M , J II ) üzerinde bir kompleks gümüş yapıdır. 4.6. Tanım P, M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı ise P II ve P II de T2 M de bir hemen hemen çarpım yapıdır. Şimdi, T2 M üzerindeki gümüş yapı ile hemen hemen çarpım yapısı arasındaki ilişkiyi inceleyelim. 4.7. Teorem P, M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı olsun. P II hemen hemen çarpım yapı T2 M de II I 2P II şeklinde bir gümüş yapı indirger. (4.2) 50 Karşıt olarak T2 M de II gümüş yapısı bir hemen hemen çarpım yapı indirger. Yani, P II 1 ( II I ) 2 (4.3) dir. İspat II I 2P II ve P II 2 I II olmak üzere Eş. 4.1 eşitliğinin sağlandığını göstermeliyiz. ( II ) 2 II II I 2 P II I 2 P II I 2 P II 2 P II 2 P II 2 I 2 2 P II 2 I 3I 2 2 P II 2 I 2 P II I 2 II I dır. O halde II , T2 M de bir gümüş yapıdır. Tersine, II bir gümüş yapı ve P II P II 2 P II P II 1 ( II I ) ( II I ) 2 1 ( II I ) olsun. Eş. 4.1 eşitliğinden 2 51 1 II 2 II II I 2 2 1 II 2 II I 2 1 2 II I 2 II I 2 I Öyleyse; P II I II dir. 2 4.1. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yapıların İntegrallenebilirliği ve Paralelliği Eş. 4.1 deki II gümüş yapısının N II Nijenhuis tensörü N II X II , Y II II X II , Y II II X II , II Y II 2 II II X II , Y II II X II , II Y II . ile verilir. 4.8. Teorem X , Y 10 M ve II I 2P II için N P II ve N II arasında N PII X II , Y II eşitliği vardır. İspat 1 N II X II , Y II 2 (4.4) 52 Eş. 4.2 ve Eş. 4.4 den N P II X II , Y II P II X II , P II Y II P II P II X II , Y II P II X II , P II Y II P 2 X II , Y II II yazabiliriz. II I 2P II , yani P II N P II X II , Y II I X II , Y II 1 ( II I ) 2 1 ( II I ) olmasından ve Eş. 4.4 den 2 1 1 ( II I ) X II , ( II I )Y II 2 2 1 ( II I ) X II , Y II 2 1 1 ( II I ) X II , ( II I )Y II 2 2 N P II X II , Y II X II , Y II 1 II II 1 X , ( II I )Y II 2 2 1 II 1 IX , ( II I )Y II 2 2 1 1 ( II I ) II X II , Y II ( II I ) IX II , Y II 2 2 1 1 ( II I ) X II , II Y II ( II I ) X II , IY II 2 2 1 N P II X II , Y II X II , Y II II X II , II Y II 2 1 II II 1 1 X , IY II X II , II Y II X II , IY II 2 2 2 1 II 1 ( I ) II X II , Y II ( II I ) IX II , Y II 2 2 1 II 1 ( I ) X II , II Y II ( II I ) X II , IY II 2 2 1 II 2 X II , Y II II X II , II Y II 2 II II X II , Y II II X II , II Y II 53 N P II X II , Y II N P X , Y II 1 NP X ,Y 2 II olur. Dolayısıyla, N PII X II , Y II 1 N II X II , Y II 2 bağıntısı elde edilerek ispat tamamlanır. R ve S , M manifoldu üzerinde tamamlayıcı dağılımlar olmak üzere Eş. 2.2, Eş. 2.5, Eş. 2.6 ve Eş. 3.10 dan r II 2 r II , s II 2 s II r II s II I , r II s II s II r II 0 (4.5) r II s II P II olmak üzere P II nin hemen hemen çarpım yapısı olduğunu biliyoruz. O halde r II s II I II II II II r s P olduğundan r II 1 1 I P II ve s II I P II dir. 2 2 II I 2P II olmak üzere Eş. 3.11 den de 54 r II 1 II 2 I 2 2 2 2 1 s II II I 2 2 2 2 (4.6) bağıntıları elde edilir. Buradan Eş. 3.12 eşitliğinden 1 II II II II II II r r r 2 2 2 2 I II s II s II II 2 s II 2 II 1 I 2 2 2 2 (4.7) elde edilir. 4.9. Teorem T2 M de bir S dağılımının II lifti S II integrallenebilirdir gerek ve yeter şart S dağılımı M de integrallenebilirdir. İspat Önerme. 3.3 den dolayı, S dağılımı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart X , Y 10 M için r sX , sY 0 (4.8) dır. Bu denklemin her iki tarafının II lifti alınırsa, Önerme 2.47 ve Teorem 2.50 den r II s II X II , s II Y II 0 (4.9) 55 yazılır. Burada r II 1 s I s II dır. O halde Eş. 4.8 ve Eş. 4.9 koşulları II eşdeğerdir. Böylece ispat tamamlanır. 4.10. Teorem X , Y 10 M için S dağılımı M üzerinde integrallenebilir olsun. Yani, Önerme. 3.4 den rN sX , sY 0 dir. O halde S II , T2 M de integrallenebilirdir gerek ve yeter şart r II NII s II X II , s II Y II 0 (4.10) olmasıdır. İspat N II , T2 M de II nin Nijenhuis tensör alanı olsun. Bu durumda N II X II , Y II II X II , Y II II X II , II Y II 2 II II X II , Y II II X II , II Y II yazabiliriz. Buradan, N II s II X II , s II Y II II s II X II , s II Y II II s II X II , II s II Y II 2 II II s II X II , s II Y II II s II X II , II s II Y II Eş. 4.11, Eş. 4.1 ve Eş. 4.7 sayesinde NII s II X II , s II Y II 2 2 II s II X II , s II Y II 2 2 s II X II , s IIY II (4.11) 56 1 II r ile çarpılır ve Eş.4.7 kullanılırsa 8 şeklinde yazılır. Her taraf II 1 II r NII s II X II , s II Y II r II s II X II , s II Y II rN sX , sY 8 denklemine ulaşılır. rN sX , sY 0 olduğu dikkate alınırsa r II NII s II X II , s II Y II 0 . olur. Böylece ispat tamamlanır. 4.11. Teorem T2 M de R dağılımının II lifti R II integrallenebilirdir gerek ve yeter şart R, M de integrallenebilirdir. İspat Önerme 3.3 den, R dağılımı integrallenebilirdir gerek ve yeter şart X , Y 10 M için s rX , rY 0 dır. Bu denklemin her iki tarafının II liftini alırsak, Önerme 2.47 ve Teorem 2.50 den s II r II X II , r II Y II 0 (4.12) olur. Burada s II 1 r I r II dir. Bundan dolayı yukarıdaki iki koşul II 57 birbirine eşdeğerdir. Böylece ispat tamamlanır. 4.12. Teorem X , Y 10 M için R dağılımı M de integrallenebilirdir. Yani, sN rX , rY 0 dır. O halde, R II dağılımı T2 M de integrallenbilirdir gerek ve yeter şart s II NII r II X II , r II Y II 0 dır. İspat N II , T2 M de II nin Nijenhuis tensör alanı olsun. Bu durumda N II r II X II , r II Y II II r II X II , r II Y II II r II X II , II r II Y II II II r II X II , r II Y II 2 II r II X II , II r II Y II yazılır. Bu denklem Eş. 4.1 ve Eş. 4.7 yardımıyla NII r II X II , r II Y II 2 2 II r II X II , r II Y II 2 2 r II X II , r II Y II şeklinde ifade edilir. Son eşitliğin her iki yanı 1 II s ile çarpılır ve Eş.4.7 8 kullanılırsa II 1 II s NII r II X II , r II Y II s II r II X II , r II Y II sN rX , rY 8 58 elde edilir. sN rX , rY 0 olmasından s II NII r II X II , r II Y II 0 sağlanarak ispat tamamlanır. 4.13. Teorem P, M manifoldu üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı ve nin II lifti II , T2 M de gümüş yapı olsun. O halde II , T2 M de integrallenebilirdir gerek ve yeter şart P, M de integrallenebilirdir. 4.14. Teorem M deki her X , Y vektör alanı için gümüş yapısı M de integrallenebilir olsun. Yani; Önerme. 3.3 den N X , Y 0 dır. O halde II gümüş yapısı da T2 M de integrallenebilirdir gerek ve yeter şart NII X II , Y II 0 olmasıdır. İspat Eş. 4.8 den N II X II , Y II 2 X II , Y II II X II , II Y II II II II X II , Y II II X II , II Y II 59 yazılır. , M de gümüş yapı olduğundan NII X II , Y II N X , Y 0 II elde edilir. Böylece ispat tamamlanır. Önerme. 3.3 den biliyoruz ki, gümüş yapısı integrallenebilir ise R ve S dağılımlarının her ikisi de integrallenebilirdir. Bundan hareketle aşağıdaki teorem verilebilir. 4.15. Teorem nin II lifti olan II , T2 M de integrallenebilirse R II ve S II dağılımları da T2 M de integrallenebilirdir. X , Y 10 M ve , M de lineer konneksiyon olmak üzere T2 M de II X II Y II X Y II gibi tanımlı II lineer konneksiyonu tek türlü mevcuttur [Yano, 1973]. Böylece, Bölüm 2 de tanımları verilen Schouten ve Vranceanu konneksiyonlarını T2 M de aşağıdaki gibi tanımlarız. (i) Schouten konneksiyonu IIX II Y II r II II X II r II Y II s II II X II s II Y II (ii) Vranceanu konneksiyonu (4.13) 60 IIX II Y II r II II X II r II Y II s II II X II s II Y II (4.14) r II s II X II , r II Y II s II r II X II , s II Y II şeklindedir. 4.16. Teorem r II ve s II projeksiyonları T2 M deki her II konneksiyonu için Shouten, Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. Ayrıca II de Shouten, Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. İspat X , Y 10 M için IIX II r II Y II IIX II r II Y II r II IIX II Y II r II II X II r II Y II r II II X II r II Y II 0 II X II r II Y II IIX II r II Y II r II IIX II Y II r II II r II X II r II Y II r II s II X II , r IIY II r II II r II X II r II Y II r II s II X II , r II Y II 0 Aynı eşitlikler benzer şekilde s II için yazılabilir. Eş. 4.6 ve Eş. 4.7 den II , Shouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. M üzerindeki bir D dağılımının konneksiyonuna göre paralel olması, X 10 M ve Y D için X Y D olması demektir [Crasmareanu ve Hretcanu, 2008]. D, konneksiyonuna göre paralel olsun. Böylece, dağılımının T2 M T2 M deki D II deki II lineer konneksiyonuna göre paralel olması, 61 X II 10 T2 M ve Y II D II için II X II Y II D II olması anlamına gelir. 4.17. Teorem R II ve S II dağılımları T2 M deki II konneksiyonu için Shouten ve Vranceanu konneksiyonlarına göre paraleldir. İspat X 10 M ve Y sY II olsun. Buradan, X II 10 T2 M ve Y II II dir. 0, r II Y II rY Y II olduğundan II IIX II Y II r II II X II Y II II , IIX II Y II r II II r II X II Y II r II s II X II , Y II II . Benzer eşitlikler S II için de sağlanır. 4.2. İkinci Dereceden Tanjant Demetlerde Gümüş Yarı-Riemann Metrikler 4.18. Tanım M bir C -manifold ve g , M üzerinde bir yarı-Riemann manifoldu olsun. P M üzerinde bir hemen hemen çarpım yapısı olmak üzere, X , Y (M ) için g ( PX , PY ) g ( X , Y ) veya denk olarak, P, g -simetrik endomorfizm olarak adlandırılan 62 g ( PX , Y ) g ( X , PY ) eşitliği varsa ( g , P) ikilisine bir yarı-Riemann hemen hemen çarpım yapı denir [Gray, 1967]. 4.19. Önerme (M , g ) bir C -yarı-Riemann manifoldu ise g II , T2 M de bir yarı-Riemann metriktir [Yano, 1973]. g , M de bir yarı–Riemann metrik ve P, M üzerinde bir hemen hemen çarpım yapı olsun. O halde g II , P II ikilisi T2 M üzerinde bir yarı-Riemann hemen hemen çarpım yapıdır gerek ve yeter şart g , P M üzerinde bir yarıRiemann hemen hemen çarpım yapıdır. Böylece g II P II X II , P II Y II g II X II , Y II ya da eşdeğer olarak g II P II X II , Y II g II X II , P II Y II eşitlikleri vardır. Eş. 3.4 ve Eş. 4.2 den aşağıdaki önermeyi verebiliriz. 4.20. Önerme P hemen hemen çarpım yapısı bir g -simetrik endomorfizmdir gerek ve yeter şart II gümüş yapısı da g II -simetrik endomorfizmdir. 63 4.21. Tanım M üzerinde bir Riemann metriği g olsun. X , Y (M ) için g (X , Y ) g ( X , Y ) eşitliği sağlanırsa ( g , ) çiftine M üzerinde bir gümüş Riemann yapı denir. Bu durumda (M , g , ) üçlüsüne de bir gümüş Riemann manifold denir [Özkan ve Peltek, 2013]. 4.22. Tanım M üzerinde bir yarı-Riemann metriği g olsun. X , Y (M ) için g (X , Y ) g ( X , Y ) eşitliği sağlanırsa ( g , ) çiftine M üzerinde bir gümüş yarı-Riemann yapı denir. Bu durumda (M , g , ) üçlüsüne de bir gümüş yarı-Riemann manifold denir. 4.23. Teorem 11 M olmak üzere, , M de bir gümüş yarı-Riemann yapı ise nin II lifti II T2 M de gümüş yarı-Riemann yapıdır. 4.24. Tanım T2 M üzerinde gümüş yarı-Riemann yapı g II II X II , Y II g II X II , II Y II 64 ile tanımlı bir g II , II çiftidir. T2 M , g II , II üçlüsü bir gümüş yarı-Riemann manifolddur. 4.25. Önerme M , g, , T M , g 2 (i) II Tanım.3.6 daki gibi bir gümüş Riemann manifold olsun. O halde , II gümüş Riemann manifoldu üzerinde r II , s II projeksiyonları g II -simetriktir. Yani, g II r II X II , Y II g II X II , r II Y II II II II II II II II II g s X ,Y g X , s Y eşitlikleri vardır. (ii) R II , S II dağılımları g II ortogonaldir. Yani, g II r II X II , s II Y II 0 dır. (iii) T2 M deki II gümüş yapısı, N II -simetriktir. Yani, NII II X II , Y II NII X II , II Y II eşitliği vardır. 65 İspat r II (i) 1 2 2 II 2 I 2 2 g II II X II , Y II g II X II , II Y II ve olduğunu biliyoruz. O halde II 2 2r II 2 I için g II 2 2r II 2 IX II , Y II g II X II , 2 2r II 2 IY II g II 2 2r II X II , Y II g II 2 X II , Y II g II X II , 2 2r II Y II g II X II , 2 Y II 2 2 g II r II X II , Y II 2 g II X II , Y II 2 2 g II X II , r II Y II 2 g II X II , Y II 2 2 g II r II X II , Y II 2 2 g II X II , r II Y II g II r II X II , Y II g II X II , r II Y II olur. Benzer biçimde s II 1 2 2 II 2 2 I içinde g II s II X II , Y II g II X II , s II Y II dir. (ii) R II ve S II dağılımları tümleyen dağılımlar olduğundan T2 M R II S II dir. Buradan, ( R II ) S II ve (S II ) R II dir. Bunlar göz önüne alındığında, 66 g ( R II X II , S II Y II ) 0 yazılır. Böylece ortogonallik gösterilmiş olur. (iii) II gümüş yapısının Nijenhuis tensörü N II X II , Y II II X II , Y II II X II , II Y II 2 II II X II , Y II II X II , II Y II şeklindedir. O halde 2 2 N II II X II , Y II II II X II , Y II II X II , II Y II 2 II II X II , Y II II II X II , II Y II 2 II II X II , Y II II X II , Y II 2 II X II , II Y II X II , II Y II II 2 II X II , Y II II X II , Y II II II X II , II Y II ve 2 2 N II X II , II Y II II X II , II Y II II X II , II Y II II II X II , II Y II II X II , II Y II 2 2 II X II , II Y II X II , II Y II II X II , 2 II Y II II X II , Y II II II X II , II Y II II X II , 2 II Y II II X II , Y II dir. Dolayısıyla 67 NII II X II , Y II NII X II , II Y II elde edilir. 68 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Özkan ve Peltek bir C -diferensiyellenebilir M manifoldu üzerinde 2 2 I yapı polinomuna sahip bir gümüş yapı tanımlamışlar ve gümüş yapının geometrisini incelemişlerdir [Özkan ve Peltek, 2013]. Biz de bu tezimizde, M C -manifoldu üzerindeki bir gümüş yapıyı II lift yardımı ile T2 M ikinci dereceden tanjant demete taşıdık. M üzerindeki bir hemen hemen çarpım yapının II lifti kullanılarak, T2 M üzerindeki taşınmış gümüş yapı için integrallenebilirlik ve paralellik şartlarını elde ettik. Ayrıca bu gümüş yapı üzerindeki yarı-Riemann metriğin özelliklerini çalıştık. Bu çalışmanın bir ileri aşaması olarak gümüş yapının yüksek dereceden tanjant demetlere taşınması düşünülebilir. 69 KAYNAKLAR Bejancu, A. and Farran, H. R., “Foliations and Geometric Structures”, Mathematics and its Aplications, Springer, New York, 580: 1-9, 256-258 (2006). Brickell, F. and Clark, R. S., “Differentiable Manifolds”, VRN Company, London, 12-28, 34-41, 54-58, 152-153 (1970). Crasmareanu, M. and Hretcanu, C. E., “Golden differential geometry”, Chaos, Solitons and Fractals, 38: 1229-1238 (2008). Das, L. S., “Prolongations of F-structure to the tangent bundle of order 2”, Internat. J. Math.Sci., 16 (1): 201-204 (1993). Gray, A., “Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submersion”, J. Math. Mech., 16 (7): 715-737 (1967). Greub, W., Halperin, S. and Vanstone, R., “Connection, Curvature and Cohomology, 1-2”, Academic Press, New York, 44-84 (1972). Goldberg, S. I. and Yano K., “Polynomial structures on manifolds”, Kodai Math. Sem. Rep., 22: 199-218 (1970). Hacısalihoğlu, H. H., “Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş”, Fırat Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, 139-140 (2006). Hacısalihoğlu, H. H. ve Ekmekçi, N., “Tensör Geometri”, Hacısalihoğlu Yayınları, Ankara, 79-80, 153-154 (2003). Keçilioğlu, O., “Hiperyüzeylerin ikinci dereceden tanjant demetlere taşınması”, Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara, 19-27 (2010). Lee, J. M., “Manifolds and Differential Geometry”, American Mathematical Society, United States of America, 467-470 (2009). Mathai, S., “Prolongations of f-structure to tangent bundle of order 2”, Indian J. Pure Appl. Math., 6 (10): 1180-1184 (1975). Okubo, T., “Differential Geometry”, Marcel Dekker Inc., New York, 7-10, 2728, 37-43, 126-127, 390-392 (1987). Özdemir, F. and Crasmareanu, M., “Geometrical objects associated to a substructure”, Turkish J. Math., 34: 15-27 (2010). 70 Özkan, M. and Peltek, B., “Silver differential geometry”, II. International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications, Sarajevo-Bosnia and Herzegovina, 273 (2013). Saunders, D. J., “The Geometry of Jet Bundles”, Cambridge University Press., Cambridge, 1-36 (1989). Tani, M., “Tensor fields and connections in cross-sections in the tangent bundles of order 2”, Kodai Math. Semp. Rep., 21: 310-325 (1969). Yano, K. and Ishihara, S., “Tangent and Cotangent Bundles”, Marcel Decker Inc., New York, 4-25, 40-45, 315-344 (1973). Yano, K. and Ishihara, S., “Differential geometry of tangent bundles of order 2”, Kodai Math. Semp. Rep., 20: 318-354 (1968). 71 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : ÇITLAK, Ayşe Asuman Uyruğu : T.C Doğum tarihi ve yeri : 01.12.1988 Giresun Medeni hali : Bekar e-mail : [email protected] Eğitim Derece Lisans Eğitim Birimi Ahi Evran Üniversitesi Mezuniyet Tarihi 2011 Lise Trabzon Lisesi 2005