Ters trigonometrik fonksiyonlar

TMOZ/[email protected]
Kasım - 2005
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Eyüp Kamil Yeşilyurt – Alaattin Altuntaş – Mustafa Yağcı
Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir.
Kimi zaman konu anlatırken, kimi zaman soru yazarken veya çözerken… Bu yazımızda ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer aralıklarının önemine değineceğiz. Aşağıdaki iki soruya hangi cevabı veriyorsunuz, verdiğiniz cevap neden
doğru olsun ki?
SORU 1. cos (arctan x) = − 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
1. Cevap Ç.K = {0}
2. Cevap Ç.K = ∅
x
SORU 2. lim
=?
x → 0 arctan x
1. Cevap lim
x →0
x
=1
arctan x
1,
x

=
x → 0 arctan x
0,

arctan 0 = 0
2. Cevap lim
arctan 0 = k π , k ≠ 0, k ∈ »
Trigonometrik fonksiyonlar
Sinüs fonksiyonu
sin : » → [ −1,1] , f ( x ) = sin x
Tanjant fonksiyonu
π

tan : » −  + k π : k ∈ Z  → », f ( x ) = tan x
2

Kosekant fonksiyonu
cosec : » − {k π : k ∈ Z } → », f ( x ) = cosec x
csc : » − {kπ : k ∈ Z } → », f ( x ) = csc x
1
MEB kitaplarında kabul edilmiş gösterimdir.
1
veya
Genel olarak, y = f (a − x ) grafiği, y = f ( x ) in grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x
ekseninde a birim ötelenmiş grafiğine sahiptir.
Kosinüs fonksiyonu
π

y = cos x = sin  − x  olduğundan, kosinüs fonksiyonunun grafiği, sinüs fonksiyon
2

grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde pozitif yönde
π
2
birim ötelenmiş
halidir.
cos : » → [ −1,1] , f ( x) = cos x
Kotanjant fonksiyonu
π

y = cot x = tan  − x  olduğundan kotanjant fonksiyonunun grafiği, tanjant fonksiyon
2

grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde pozitif yönde
halidir.
cot : » − {kπ : k ∈ Z } → », f ( x) = cot x
π
2
birim ötelenmiş
Sekant fonksiyonu
π

y = sec x = cosec  − x  olduğundan sekant fonksiyonunun grafiği, kosekant fonksiyon
2

grafiğinin y eksenine göre simetriğinin x ekseninde pozitif yönde
halidir.
π

sec : » −  + k π : k ∈ Z  → », f ( x ) = sec x
2

π
2
birim ötelenmiş
Ters trigonometrik bağıntıların grafikleri
Yukarıda verilen trigonometrik fonksiyonlar bire bir ve örten olmadıkları için tersleri
fonksiyon değil bağıntıdır. Sekant ve kosekant fonksiyonlarının ters bağıntıları MEB Lise
Matematik müfredatında olmadığı halde yabancı kaynaklarda ve üniversite matematiğinde olduğu için yazımızda değineceğiz.
Arksinüs bağıntısı
f ( x) = sin x ⇔ f −1 ( x ) = sin −1 x = arcsin x
Arktanjant bağıntısı
f ( x) = tan x ⇔ f −1 ( x) = tan −1 x = arctan x
Arkkosekant bağıntısı
f ( x) = cosec x = csc x ⇔ f −1 ( x) = cosec −1 x = arccosec x = arccsc x
Arkkosinüs bağıntısı
f ( x) = cos x ⇔ f −1 ( x) = cos −1 x = arccos x
Arkkotanjant bağıntısı
f ( x) = cot x ⇔ f −1 ( x) = cot −1 x = arccot x
Arksekant bağıntısı
f ( x) = sec x ⇔ f −1 ( x) = sec −1 x = arcsec x
Ters trigonometrik fonksiyonlar
Ters trigonometrik fonksiyonların tanım ve değer kümesi önceden belirlenmiştir.2
Önceden belirlenmiş bu aralıklarda elde edilen fonksiyonlara ters trigonometrik fonksiyon denir ve “arc” ön eki kullanılır. Bazı yabancı kaynaklarda “Arc” ön eki ters trigonometrik fonksiyon anlamında kullanılmıştır.
Trigonometrik fonksiyonların terslerinin fonksiyon olması için bire bir ve örten olduğu
keyfi bir alt aralık seçilebilir fakat keyfi seçilmiş bire bir ve örten alt aralıklarda elde
edilmiş her fonksiyona ters trigonometrik fonksiyon denilmez.
Arksinüs fonksiyonu
 π π
arcsin : [ −1,1] →  − , 
 2 2
y = sin x ⇔ x = arcsin y
2
Bu alt aralıklar keyfi seçilemez. MEB kitaplarında kabul edilmiş tanım ve değer aralıklarına göre ters
trigonometrik fonksiyonlar verilmiştir.
Arktanjant fonksiyonu
 π π
arctan : » →  − , 
 2 2
y = tan x ⇔ x = arctan y
Arkkosekant fonksiyonu
 π π
arccosec : » − ( −1,1) →  − ,  − {0}
 2 2
y = cosec x ⇔ x = arccosec y
Arkkosinüs fonksiyonu
arcsin : [ −1,1] → ( 0, π )
y = sin x ⇔ x = arcsin y
Arksekant fonksiyonu
π 
arcsec : » − ( −1,1) → [ 0, π ] −  
2
y = sin x ⇔ x = arcsin y
Arkkotanjant fonksiyonu
arccot : » → ( 0, π ) MEB lise matematik ders kitabında bu aralıkta kabul edilmiştir fakat
bazı yabancı kaynaklarda bu aralık farklı kabul edilmektedir. Yabancı kaynaklarda da
birliktelik sağlanmış değildir.
Bazı yabancı kaynaklarda arkkotanjant fonksiyonu aşağıdaki aralıklarda kabul
edilmektedir.
Yabancı kaynaklarda fonksiyonun sürekli olduğu aralık değil, tanım aralığında sıfır civarının tercih edildiğini görüyoruz. Bunun bizim için önemi olmaya bilir, MEB kitaplarındaki tanım ve kabullenmeler bizim için daha önemlidir. Diplomalarının uluslar arası platformlarda tanınması için üniversitelerimizin büyük çoğunluğu, yabancı kaynakların tanım
ve kabullerine uymaya özen göstermektedir. Yüksek lisansı teşvik eden MEB, yayınlarında bu tür durumlara da dikkat etmeli. Bazı yabancı kaynaklarda, ters trigonometrik
fonksiyonları bağıntılardan ayırt etmek için “arc” ve “Arc” ön ekleri farklı manalarda
kullanmaktadır. Yabancı kaynaklarda genellikle y = Arctan x gösterimi fonksiyon için
kullanılırken, y = arctan x gösterimi bağıntı için kullanılmıştır. Bazen tersi de olduğu
görülebilir. Oysa bizim kitaplarımızda hem bağıntı, hem de fonksiyon için y = arctan x
gösterimi kullanılmıştır. Bu gösterimin nerede bağıntı nerede fonksiyon ifade ettiğini
anlamak güçtür. Öğretmenlerimize MEB kitaplarındaki tanım ve kabullenmelerde birleşelim diye her yayınımızda çağrı yapıyoruz ama MEB ders kitabı bu konuda kendisi ile
çelişki içinde olduğundan bir an önce yeni basılacak kitaplarda söz konusu çelişkinin
ortadan kaldırılmasını ümit ediyoruz. MEB ders kitaplarından3 birkaç çarpıcı örnek vererek yazımızı sonlandıralım;
Lise 2 matematik ders kitabından bir örnek;
Soru
arcsin (-1) = ?
Çözüm
arcsin (-1) = x olsun.
sin x = -1
3π
x=
2
Başlık Arksinüs fonksiyonu fakat örnekler bağıntıya ait.
Eğer arcsin fonksiyon olarak alınmışsa bunun doğru çözümü aşağıdaki gibi olmalıydı:
arcsin (-1) = x
sin x = -1
x=−
π
2
Burada negatif açıları pozitif yapmak için 2π ekleyemeyiz, bunu ancak arcsin bağıntıyken yapabiliriz. Bağıntı ile fonksiyonu bir birinden ayırt eden ince çizgi de budur zaten.
MEB ders kitabından başka bir örnek (sayfa 41)
Soru
arctan (-1) = ?
Çözüm
7π
arctan(−1) = x ⇒ tan x = −1 ⇒ x =
4
MEB Lise 3 matematik ders kitabında y = arctan x, y=arcsin x … gibi ifadelerin tümü
ters trigonometrik fonksiyon anlamında olduğunun da altını çizelim. Tüm durumlar dikkate alınarak MEB kitaplarında birlik sağlanmalıdır.
3
Ö. Faruk ERTÜRK – Galip KIR – İsmail BİLGİN /2001 – 2005 Lise 2 MEB Matematik kitapları
Sonsöz. Ters trigonometrik bağıntılar “arc”, ters trigonometrik fonksiyonlar “Arc” ön
ekleriyle birbirinden ayırt edilmelidir. Buna göre giriş bölümünde sorduğumuz soruları
tekrar ele alırsak,
SORU 1. cos (arctan x) = − 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Cevap Ç.K = {0}
SORU 2. cos (Arctan x) = − 1 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Cevap Ç.K = ∅
x
=?
x →0 arctan x
1,
x

Cevap lim
=
x → 0 arctan x
0,

limit yoktur.
SORU 3. lim
x
=?
x → 0 Arctan x
SORU 3. lim
x
=1
x → 0 Arctan x
Cevap lim
arctan 0 = 0
arctan 0 = k π , k ≠ 0, k ∈ »