MEH535 Örüntü Tanıma Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler

13.03.2014
MEH535 Örüntü Tanıma
1.B. Lineer Cebir
Doç.Dr. M. Kemal GÜLLÜ
Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü
web: http://akademikpersonel.kocaeli.edu.tr/kemalg/
E-posta: [email protected]
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• d-Boyutlu sütun vektörü ve devriği:
• nxd-Boyutlu matris ve devriği:
• Matris çarpımı:
2
1
13.03.2014
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Vektörler:
– İç/noktasal/skaler çarpım (inner/dot/scaler product):
x●y =
– Vektör genliği (norm):
– x ve y vektörleri arasındaki açı:
– x ve y vektörleri
3
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• y vektörünün x vektörüne dikgen izdüşümü:
• Doğrusal bağımsız vektörler:
x1,x2,…,xn vektörlerinin a1,a2,…,an katsayıları ile doğrusal
kombinasyonu
yalnızca apaçık (trivial) çözüme sahipse bu vektörler doğrusal
bağımsızdır.
4
2
13.03.2014
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Matrisler:
• Bir A kare matrisinin determinantı (eş çarpan
açılımı):
• Bir A kare matrisinin izi (trace):
• Bir A matrisinin rankı (boyutluluk): Matristeki
bağımsız satır/sütun sayısıdır.
• nxn boyutlu bir A matrisinin rankı = n ise bu matris
tekil değildir (tersi alınabilirdir).
5
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Bir A kare matrisi için AAT=ATA=I ise bu matris birim dik
(orthonormal) matristir
• Bir A kare matrisi için
xTAx > 0 , her x≠0
sağlanıyor ise A pozitif tanımlı matristir (positive
definite) (örn; ortak değişinti matrisi)
xTAx ≥ 0 , her x≠0
durumunda ise A pozitif yarı tanımlı matristir (positive
semi-definite)
• Bir A kare matrisinin varsa tersi A-1 ile gösterilir ve
AA-1=A-1A=I
• Tersi tanımlı değilse matris tekildir (singular)
• Sözde Ters (Pseudo-inverse): A-1 tanımlı değilse (kare
matris de olmayabilir), A matrisinin sözde tersi (AƗ):
6
3
13.03.2014
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Vektör Uzayları: n-Boyutlu vektörler üzerine yerleşen
n-boyutlu uzaya vektör uzayı denir.
• {u1,u2,…,un} taban vektörlerinin oluşturduğu küme
vektör uzayı için taban oluşturur ve herhangi bir keyfi
vektör şu şekilde ifade edilebilir:
• Uzayda taban oluşturabilmesi için {u1,u2,…,un} vektör
kümesinin doğrusal bağımsız olması gerekir!
7
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Dikgenlik:
• Vektör uzayında 2 nokta arasındaki Euclidean
uzaklığı, vektör farkının genliği ile hesaplanır
8
4
13.03.2014
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Doğrusal Dönüşümler:
– RN vektör uzayından RM uzayına eşleme yapar
– Ölçeklenebilirlik ve toplanabilirlik şartlarını sağlar
– Örüntü tanımada genelde M<N dir (düşük boyutlu uzaya
izdüşüm)
– Eğer M=N ise A matrisi operatör olarak tanımlanmaktadır
(örn; R2’de döndürme operatörü)
9
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• A kare matrisi ile tanımlana bir doğrusal dönüşüm
AAT=ATA=I durumunda birim normal dönüşümdür
• Bu durumda AT=A-1 dir
• Birim dikgen dönüşüm vektör genliğini değiştirmez
• Birim dikgen dönüşümün satır vektörleri birim dikgen
taban vektör kümesi oluşturur
10
5
13.03.2014
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Özdeğerler ve Özvektörler (Eigenvalues &
Eigenvectors): NxN boyutlu A matrisi için Av = λv
eşitliğini sağlayan λ skaleri özdeğer; λ’ya karşılık gelen
v vektörü özvektör olarak adlandırılır
• Özdeğer hesabı:
• Sütunları özvektörlerden oluşan matris (modal matris):
11
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Özellikler:
– A tekil değil ise tüm özdeğerler sıfırdan farklıdır
– A gerçek ve simetrik ise
• Tüm özdeğerler gerçektir
• Özdeğerlere karşılık gelen özvektörler dikgendir
– A pozitif tanımlı ise tüm özdeğerler pozitiftir
12
6
13.03.2014
Lineer Cebir – Vektörler ve Matrisler
• Σ Gauss dağılımının ortak değişinti matrisi olsun
– Σ’nın özvektörleri dağılımın temel (principal) yönlerini
gösterir
– Özdeğerler ise temel yönlere karşılık gelen değişintilerdir
13
7