ÇARPIMSAL ANALøZ VE UYGULAMALARI Yusuf GÜREFE Mat

EGE ÜNøVERSøTESø
FEN BøLøMLERø ENSTøTÜSÜ
(YÜKSEK LøSANS TEZø)
ÇARPIMSAL ANALøZ VE UYGULAMALARI
Yusuf GÜREFE
Matematik Ana Bilim Dalı
Bilim Dalı Kodu: 619.003.03
Tezin Sunuldu÷u Tarih: 06.07.2009
Tez Danıúmanı: Doç. Dr. Emine MISIRLI
Bornova - øZMøR
II
IV
V
ÖZET
ÇARPIMSAL ANALøZ VE UYGULAMALARI
GÜREFE, Yusuf
Yüksek Lisans Tezi, Matematik Bölümü
Tez Yöneticisi: Doç. Dr. Emine MISIRLI
Temmuz 2009, 49 Sayfa
Klasik analize alternatif olarak tanımlanan çarpımsal analiz
kavramı, bilim ve mühendislikte karúılaúılan problemlere farklı
bir bakıú açısı sunmaktadır. Bilinen klasik analiz kavramları
kullanılarak çözülebilen bazı matematiksel problemler çarpımsal
analiz ile daha kolay ve etkin bir biçimde çözülebilir.
Bu tez çalıúmasında çarpımsal analizin temel kavramları
tanımlanmıú ve bazı özellikleri verilmiútir. Bu kavramlar
kullanılarak çarpımsal anlamda tanımlı cebirsel denklemler,
çarpımsal diferansiyel denklemler ve Volterra tipi çarpımsal
diferansiyel denklemlerin yaklaúık sayısal çözümleri incelenmiú
ve
bunlarla
ilgili
yeni
algoritmalar
geliútirilmiútir.
Bu
algoritmaların kullanıldı÷ı bazı uygulamalara da yer verilmiútir.
Anahtar sözcükler: Çarpımsal Analiz, Çarpımsal ønterpolasyon,
Çarpımsal Geri Bölüm Operatörü, Çarpımsal Diferansiyel
Denklemler, Adams Metotları, Düzeltilmiú Euler Metodu.
VI
VII
ABSTRACT
PRODUCT CALCULI AND ITS APPLICATIONS
GUREFE, Yusuf
MSc in Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Emine MISIRLI
July 2009, 49 Pages
Multiplicative calculus defined as an alternative to classical
calculus provides a new perspective for the solutions of the
problems in science and engineering. Accordingly, some
mathematical problems, that can be solved by using the classical
concepts, can be solved more effectively and more simply by
using multiplicative concepts.
In this thesis, some basic concepts of the multiplicative
calculus are defined and their some properties are given. Using
these concepts, the approximate numerical solutions of the
algebraic equations defined in multiplicative sense, multiplicative
differential equations and Volterra type multiplicative differential
equations are analysed and new algorithms are developed with
respect to this. Some applications, that these algorithms are used,
are given.
Keywords: Multiplicative Calculus, Multiplicative Interpolation,
Multiplicative Backward Division Operator, Multiplicative
Differential Equations, Adams Methods, Modified Euler Method.
VIII
IX
TEùEKKÜR
Bu çalıúma süresince bilimsel bilgi, düúünce ve
önerilerinden yararlandı÷ım ve hiçbir konuda yardım ve
deste÷ini benden esirgemeyen hocam sayın Doç. Dr. Emine
MISIRLI' ya sonsuz teúekkür ederim. Ayrıca en kötü
zamanlarımızda deste÷ini bizden esirgemeyen dayım
PEHLøVAN'a ve her zaman yanımda olan ablam Gülnur
GÜREFE'ye, annem Kadriye GÜREFE’ye, babam ùevket
GÜREFE’ye ve çok de÷erli arkadaúım Nejla ÇALIK'a
teúekkürü bir borç bilirim.
X
XI
øÇøNDEKøLER
Sayfa
ÖZET………………………………………………...... V
ABSTRACT…………………………………………... VII
TEùEKKÜR……………………………………........... IX
1. GøRøù……………………………………………...... 1
2. ÇARPIMSAL ANALøZ.............................................. 4
2.1 Çarpımsal Türev...…………………………………
4
2.2 Çarpımsal øntegral..……………………………….. 12
2.3 Çarpımsal Diferansiyel Denklemler…………….... 16
3. ÇARPIMSAL NÜMERøK YAKLAùIMLAR........... 18
3.1 Do÷rusal Olmayan Denklemlerde Kök Bulma……. 18
3.1.1 Kök Bulmaya Geometrik Bir Yaklaúım………..... 18
3.1.2 Çarpımsal Newton Raphson Yöntemi………....... 20
3.1.3 Çarpımsal Chord Yöntemi………………………...20
3.1.4 Çarpımsal Secant Yöntemi………………………..21
3.2 Çarpımsal ønterpolasyon…………………………… 22
XII
øÇøNDEKøLER (Devam)
Sayfa
3.3 Çarpımsal Adams Bashforth-Moulton Yöntemleri…25
3.3.1 Çarpımsal Adams Bashforth Algoritmaları……….26
3.3.2 Çarpımsal Adams Moulton Algoritmaları…….......27
3.3.3 Çarpımsal A.B-M. Yöntemleri øçin Hata Tahmini..28
3.3.4 Çarpımsal Milne Yöntemi………………………...34
3.3.5 Çarpımsal Heun (Düzeltilmiú Euler) Yöntemi…....36
3.3.6 Volterra Tipi Heun Yöntemi……………………...39
5. SONUÇ………………………………………………45
KAYNAKLAR DøZøNø………………………………..47
ÖZGEÇMøù……………………………………………49
1
1. GøRøù
Günümüzde oldukça yaygın kullanıma sahip matematiksel teori
olan klasik analiz, 17. yüzyılın ikinci yarısında Gottfried Leibnitz ve
Isaac Newton tarafından türev ve integral kavramları temel alınarak
tanımlanmıútır. Cebir, trigonometri ve analitik geometri konuları üzerine
inúa edilen klasik analiz limit, türev, integral ve seriler gibi kavramlardan
oluúmaktadır. Bu kavramlar toplama ve çıkarma iúlemlerinin basit
versiyonları ile kullanıldı÷ından bu analiz toplamsal analiz olarak ifade
edilmektedir. Klasik analiz do÷a bilimleri, bilgisayar bilimleri, istatistik,
mühendislik, ekonomi, iú yaúamı ve tıp baúta olmak üzere matematiksel
modellemenin gerektirdi÷i ve en uygun çözüm yöntemlerinin istendi÷i
pek çok alanda uygulamaya sahiptir.
Klasik analiz temel alınarak farklı aritmetik iúlemlerin kullanımı ile
alternatif analizler de tanımlanmıútır. Bu duruma örnek, 1887 yılında
Vito Volterra tarafından geliútirilen Volterra tipi analiz olarak da
adlandırılan analizdir (Volterra ve Hostinsky, 1938). Bu yeni yaklaúımda
çarpma iúlemi temel alındı÷ı için bu analize çarpımsal analiz
(multiplikatif analiz) de denilmektedir. Son yıllarda bu analizin uygulama
alanları ortaya konularak bazı çalıúmalar yapılmıútır (Aniszewska, 2007;
Kasprzak ve ark., 2004; Rybaczuk ve ark., 2001). Volterra analizinin
tanımlanmasından sonra Michael Grossman ve Robert Katz tarafından
1967 ve 1970 yılları arasında bazı yeni çalıúmalar yapılmıútır. Bu
çalıúmaların sonucunda ise geometrik analiz, bigeometrik analiz ve
anageometrik analiz olarak adlandırılan yeni analizler tanımlanmıútır.
Non-Newtonian analiz olarak ta adlandırılan bu yeni analiz ile ilgili bazı
temel tanım ve kavramlar verilmiútir (Grossman ve Katz, 1972). Ayrıca
Non-Newtonian analizin uygulamalarının yapıldı÷ı bazı çalıúmalar da
ortaya konulmuútur. Bu analizlerden geometrik analiz Dick Stanley
tarafından çarpımsal analiz olarak ifade edilmiútir (Stanley, 1999). Bunun
2
ardından 2008 yılında çarpımsal analizin temel kavramlarının
tanımlandı÷ı ve bazı uygulamalarının ele alındı÷ı çalıúmalar yapılmıútır.
(Bashirov ve ark., 2008).
2007 yılında yapılan bir çalıúmada Volterra tipi çarpımsal
diferansiyel denklemler ile tanımlanan baúlangıç de÷er probleminin
sayısal çözümü için çarpımsal Runge-Kutta algoritmaları geliútirilmiú ve
bu yöntemle ilgili bir uygulamaya da yer verilmiútir (D. Aniszewska).
2009 yılında ise ikinci mertebeden klasik diferansiyel denklemlere
alternatif olan ikinci mertebeden çarpımsal diferansiyel denklemler ve
ikinci mertebeden Volterra tipi çarpımsal diferansiyel denklemlerin
sayısal çözümlerine yönelik çarpımsal sonlu farklar olarak adlandırılan
bir yöntem tanımlanmıú ve uygulamaları yapılmıútır (Rıza ve ark., 2009baskıda). Çarpımsal diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerinin
hesaplanması için geliútirilmiú olan bu yöntemler, denklemlerdeki
ba÷ımsız de÷iúkenin çok büyük de÷erleri için çok hızlı ve etkin
sonuçların elde edilmesini sa÷lamıútır. 2009 yılında yapılan bir di÷er
çalıúmada ise çarpımsal analiz kavramlarının farklı bilim dallarındaki
problemlere yeni bir bakıú açısı sundu÷u görülmüútür (J. Englehardt, ve
ark. ).
Bu tez çalıúmasının amacı, çarpımsal anlamda tanımlı kavramlar
kullanılarak yeni bazı sayısal yaklaúımlar ortaya koymak, do÷rusal
olmayan cebirsel denklemler, çarpımsal diferansiyel denklemler ve
Volterra tipi çarpımsal diferansiyel denklemlerin sayısal çözümlerini
kolay ve etkin bir úekilde bulmaktır. Bu yöntemlerin, özellikle analitik
çözümünün bulunmasında zorluk yaúanan ya da sayısal çözümünde daha
iyi sonuçlar elde edilebilecek problemler için uygun yaklaúımlar olması
da amaçlanmıútır.
Bu tez çalıúmasının ikinci bölümünde, çarpımsal analizin türev,
integral, mutlak de÷er gibi temel kavramlarının tanımları ve bazı
3
özellikleri ile bu kavramlar kullanılarak tanımlanan çarpımsal
diferansiyel denklemlere yer verilmiútir. Çarpımsal türev ve çarpımsal
integral kavramlarının özellikleri açıklanmıútır. Çarpımsal anlamda
tanımlı türev ve integral kavramlarının klasik kavramlara göre hangi
özelliklerinin daha avantajlı ve matematiksel problemlere daha kolay
uygulanabilen bir yapıya sahip oldu÷u da vurgulanmıútır. Bu tanım ve
kavramlar yaptı÷ımız çalıúmaların temelini de oluúturmaktadır.
Bu çalıúmanın üçüncü bölümünde ise bazı sayısal yöntemlere
alternatif yeni nümerik algoritmalar geliútirilmiú ve bunların
uygulamalarına yer verilmiútir. ølk olarak, do÷rusal olmayan cebirsel
denklemlerin sayısal çözümleri için klasik yöntemlerin benzeri olan
geometrik yaklaúım, Newton Raphson, Secant ve kiriú yöntemlerinin
çarpımsal versiyonu tanımlanmıú ve bu yöntemler kullanılarak bazı
uygulamalar yapılmıútır. Ayrıca çarpımsal interpolasyon tanımı
yapılarak, Lagrange üstel yaklaúımı ve Newton geri bölüm yaklaúımı
uygulamaları ile ele alınmıútır. Bu bölümde ayrıca Newton geri bölüm
interpolasyon yaklaúımı kullanılarak klasik Adams Bashforth-Moulton
yöntemlerinin benzeri olan çarpımsal Adams Bashforth-Moulton
yöntemleri geliútirilmiú ve bu yöntemler için hata tahminleri yapılmıútır.
Elde edilen algoritmalar için uygulamaya da yer verilmiú ve tam çözüm
ile yaklaúık çözüm karúılaútırılarak sonuçlar de÷erlendirilmiútir.
Bu tez çalıúmasının son bölümünde ise çarpımsal Euler, çarpımsal
Heun, çarpımsal Milne, Volterra tipi çarpımsal Euler ve Volterra tipi
çarpımsal Heun yöntemleri de geliútirilmiú ve bazı uygulamalara yer
verilmiútir. Bu yöntemler geliútirilirken çarpımsal analiz ve Volterra tipi
çarpımsal analizde yer alan türev ve integral gibi bazı kavramlar
arasındaki matematiksel ba÷ıntılar ortaya konulmuútur.
4
2. ÇARPIMSAL ANALøZ
Bu bölümde çarpımsal analizin temelini oluúturan türev ve integral
kavramlarının tanımları, bazı özellikleri, türev ve integral alma kuralları
ile bazı teoremler verilmiútir. Ardından çarpımsal diferansiyel denklemler
tanımlanmıú ve uygulamaları yapılmıútır.
2.1 Çarpımsal Türev
Öncelikle herhangi bir f fonksiyonun x de÷iúkenine ba÷lı klasik
türevinin limit tanımı
f ′ ( x ) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
(2.1)
úeklinde ifade edilebilir.
(2.1) denkleminde oldu÷u gibi herhangi bir fonksiyondaki de÷iúim
oranı o fonksiyonun klasik türevi olarak adlandırılabilir. Günlük yaúamda
karúılaúılan pek çok problemde ortaya çıkan de÷iúim türev kavramı ile
ifade edilebilir. Bununla birlikte aúa÷ıdaki gibi basit bir faiz problemi ele
alınarak yeni bir türev tanımı da verilebilir.
Bir kiúinin herhangi bir bankadaki hesabına a lira yatırdı÷ı ve bir
yıl sonra bankadan b lira aldı÷ı varsayılırsa, bankaya yatırılan paranın
miktarının baúlangıçtaki miktarın b / a katına de÷iúti÷i görülmektedir.
Peki o miktar 1 ayda kaç katına de÷iúmiútir? Bunun hesaplanması için bir
aylık de÷iúimin p kat oldu÷u varsayıldı÷ında;
1 aylık de÷iúim ĺ
ap1
2 aylık de÷iúim ĺ
ap 2
•
•
12 aylık de÷iúim ĺ ap12
5
olur. Buradan da p de÷eri
1
§ b ·12
p=¨ ¸
©a¹
olarak hesaplanır.
Bankaya yatırılan paraların miktarlarının günlük, her saat, her
dakika, her saniye v.s de÷iúti÷i ve farklı zamanlardaki anlık de÷erinin f
fonksiyonu ile ifade edildi÷i varsayımı ile f ( x ) miktarının anlık x
zamanda kaç katına de÷iúti÷i
1
§ f ( x + h) · h
lim ¨
¸
h →0
© f ( x) ¹
(2.2)
ifadesi kullanılarak elde edilebilir.
2.1.1 Tanım: E÷er (2.2) tanımlı ise f fonksiyonunun x de÷iúkenine
ba÷lı çarpımsal türevi olarak adlandırılır ve f ∗ ( x ) sembolü ile gösterilir.
A ⊆ \ açık kümelerindeki tüm x de÷erleri için f ∗ ( x ) fonksiyonu
f ∗ ( x ) : A → \ úeklinde tanımlanır. f 'in pozitif bir fonksiyon oldu÷u
varsayılarak ve klasik türevin tüm özellikleri kullanılarak çarpımsal türev
1
§ f ( x + h) · h
f ∗ ( x ) = lim ¨
¸
h →0
© f ( x) ¹
(2.3)
f ( x)
§
f ( x + h) − f ( x ) · f ( x + h ) − f ( x )
= lim ¨ 1 +
¸
h→0
f ( x)
©
¹
f ( x +h )− f ( x ) 1
h
f ( x)
f ′( x )
= e f ( x)
=e
(2.4)
(ln D f )′( x )
úeklinde tanımlanır. Burada ln D f fonksiyonu, logaritma fonksiyonu ile f
fonksiyonunun bileúkesi olarak tanımlanmıútır.
6
2.1.2 Teorem: Pozitif bir f fonksiyonu, ancak ve ancak, herhangi bir
x0 noktasında klasik anlamda diferansiyellenebilir ise yine aynı noktada
çarpımsal anlamda diferansiyellenebilirdir.
2.1.3
Önerme:
E÷er
f,
x0
noktasında
çarpımsal
anlamda
diferansiyellenebilir ise x0 noktasında süreklidir.
Hatırlatma: Çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir bir fonksiyon
süreklidir. Ancak bu durumun tersi her zaman do÷ru olmayabilir.
Böylelikle, klasik analizde oldu÷u gibi çarpımsal analizde de bazı
diferansiyellenemeyen fonksiyonlar sürekli olabilir.
2.1.4 Tanım: E÷er, f ∗ fonksiyonunun çarpımsal türevi varsa ikinci
mertebeden çarpımsal türevi olarak adlandırılır ve f ∗∗ ile gösterilir.
Benzer úekilde f ∗( n ) notasyonu ile gösterilen f fonksiyonunun n.
mertebeden çarpımsal türevi de tanımlanabilir. n kez tekrarlanan
çarpımsal türev alma iúlemi ile pozitif bir f fonksiyonunun x
noktasında n. mertebeden çarpımsal türevi vardır ve
f ∗( n ) ( x ) = e( ln D f )
(n)
(x)
(2.5)
úeklinde tanımlıdır.
2.1.5 Teorem: E÷er pozitif bir f fonksiyonu t noktasında çarpımsal
anlamda
diferansiyellenebilir
ise
klasik
anlamda
da
diferansiyellenebilirdir ve böylece
f ′ ( t ) = f ( t ) ln f * ( t ) .
úeklinde yazılabilir.
øspat: f çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir ve f * ( t ) ≠ 0 ise (2.4)
denklemi kullanılarak
f * ( t ) = e(
ln D f )′ ( t )
.
denklemi yazılabilir. Böylece
ln f * ( t ) = ( ln D f )′ ( t ) .
olarak bulunabilir. Buradan, oldu÷u için
7
f ′ ( t ) = f ( t ) ln f * ( t )
ba÷ıntısı elde edilir.
2.1.6 Tanım: Pozitif bir y reel sayısı ele alalım. y 'nin çarpımsal
∗
mutlak de÷eri y simgesi ile gösterilir ve
∗
1. E÷er y ≥ 1 ise y = y
∗
2. E÷er y ≤ 1 ise y = 1/ y
∗
1
∗
úeklinde tanımlanır. Örne÷in, 7 = 7 ,
= 3 , 1 = 1 olur.
3
∗
2.1.6 Tanımı kullanılarak çarpımsal mutlak de÷erin aúa÷ıdaki özellikleri
kolayca verilebilir:
1.
2.
3.
∗
1≤ y ,
∗
∗
∗
xy ≤ x y ,
∗
E÷er a ≥ 1 için a −1 ≤ y ≤ a ise y ≤ a .
2.1.7 Tanım: A ⊆ \ ve f : A → \ + olsun. E÷er her ε > 1 için öyle bir
δ > 1 varsa f fonksiyonunun a ∈ A noktasında çarpımsal anlamda
sürekli oldu÷u söylenir öyle ki
∗
∗
f ( x)
x
x ∈ A için
< δ iken
<ε
f (a)
a
ba÷ıntısı sa÷lanır. E÷er f , A 'nın her noktasında çarpımsal anlamda
sürekli ise A kümesi üzerinde de çarpımsal anlamda süreklidir denir.
8
2.1.8 Örnek: f : \ + → \ + ve f ( x ) = x3 olsun. O zaman f fonksiyonu
her x0 ∈ R + noktasında çarpımsal anlamda süreklidir. Bunu göstermek
için ε > 1 ve δ = 3 ε oldu÷unu düúünürsek tüm x0 ∈ R + ’ler için,
*
*
x
x3
< δ iken 3 < ε
x0
x0
ba÷ıntısı sa÷lanır.
2.1.9 Teorem: f ve g çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir iki
fonksiyon olsun. c bir sabit olmak üzere c. f , f .g , f + g , f / g , f g
fonksiyonları da çarpımsal anlamda diferansiyellenebilirdir ve çarpımsal
türevleri
1. (c. f )∗ ( x ) = f ∗ ( x) ,
(2.6)
2. ( fg )∗ ( x ) = f ∗ ( x) g ∗ ( x ) ,
(2.7)
3. ( f + g ) ( x ) = f ( x)
∗
∗
f ( x)
f ( x )+ g ( x )
g ( x)
g ∗ ( x ) f ( x )+ g ( x ) ,
4. ( f / g )∗ ( x ) = f ∗ ( x) / g ∗ ( x ) ,
5. ( f g )∗ ( x ) = f ∗ ( x) g ( x ) f ( x )
g ′( x )
(2.8)
(2.9)
(2.10)
úeklindeki formüller kullanılarak hesaplanır.
øspat: 2. ve 5. türev alma kurallarının ispatları aúa÷ıda verilmiútir.
Benzer yaklaúımlarla di÷er ba÷ıntıların do÷rulu÷u da gösterilebilir.
2. f ve g çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir iki fonksiyon olsun.
Bu durumda,
9
′
( fg ) ( t ) = e( ln D( fg )) (t )
*
= e(
ln D f + ln D g )′ ( t )
= e(
ln D f )′ ( t ) + ( ln D g )′ ( t )
= e(
ln D f )′ ( t )
e(
ln D g )′ ( t )
= f * (t ) g* (t )
ba÷ıntısı elde edilir.
5. f ve g çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir iki fonksiyon olsun.
Bu durumda,
g *
( f ) ( t ) = e(
gln D( f ) )′ ( t )
=e
( g ′(ln D f )+ g (ln D f )′ )(t )
′
= e g ( t )( ln D f )( t )+ g ( t )( ln D f ) (t )
′
′
= e g ( t )( ln D f )( t ) e g ( t )( ln D f ) ( t )
′
= f * (t )
g ( x)
f (t )
g ′( x )
ba÷ıntısı elde edilir.
2.1.10 Önerme: Her t ∈ ( a, b ) için ancak ve ancak
f * (t ) = 1
oldu÷unda ( a, b ) açık aralı÷ındaki f ( t ) = C > 0 sabit bir fonksiyon olur.
( a, b ) aralı÷ında
Böylece t ∈ ( a, b ) için
øspat:
sabit bir f ( t ) = C > 0 fonksiyonu ele alalım.
f * ( t ) = e(
lnC )′
= e0 = 1
ba÷ıntısı bulunur. Bu durumun tersine e÷er her t ∈ ( a, b ) için
f * (t ) = 1
ise
10
′
f * ( t ) = e( ln D f ) ( t ) = 1
úeklinde yazılabilir. Buradan, t ∈ ( a, b ) için f ( t ) = C > 0 hesaplanabilir.
2.1.11 Önerme: g çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir ve h klasik
anlamda diferansiyellenebilir fonksiyonlar olsun. E÷er
f ( t ) = ( g D h )( t )
ise, o zaman
f * ( t ) = ª¬ g * ( h ( t ) ) º¼
h′( t )
denklemi bulunur.
øspat: g fonksiyonu çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir, h
fonksiyonu da klasik anlamda diferansiyellenebilir ve f ( t ) = ( g D h )( t )
oldu÷undan
f * ( t ) = e(
=e
ln D f )′ ( t )
f ′( t )
f (t )
g ′( h( t ) ) h′( t )
=e
( g D h )( t )
ª g ′( h(t )) º
g h( t )
= «e ( ) »
«
»
¬
¼
h ′( t )
= ª¬ g * ( h ( t ) ) º¼
h′( t )
úeklinde gösterilebilir.
2.1.12 Önerme: Pozitif bir f
f
∗
( x ) = 1 ise
fonksiyonu için ancak ve ancak
f ′ ( x ) = 0 olur.
2.1.13 Teorem [ ∗ - Ortalama De÷er Teoremi]: E÷er f , [a, b]
aralı÷ında çarpımsal anlamda sürekli, pozitif ve (a, b) aralı÷ında
11
çarpımsal anlamda türevli bir fonksiyon ise (a, b) aralı÷ında öyle bir c
sayısı vardır ki
1
ª f ( b ) º b−a
f ∗ (c) = «
»
¬ f (a) ¼
ba÷ıntısı elde edilir.
2.1.14 Teorem [ ∗ - Rolle's Teoremi]: E÷er f fonksiyonu (a, b)
aralı÷ında çarpımsal anlamda türevlenebilir ve [a, b] aralı÷ında çarpımsal
anlamda sürekli pozitif bir fonksiyon ve f (a ) = f (b) ise
f ∗ (c ) = 1
olacak úekilde (a, b) aralı÷ında bir c sayısı vardır.
2.1.15 Önerme: f : ( a, b ) → \ çarpımsal anlamda türevlenebilir bir
fonksiyon olsun. O zaman her x ∈ (a, b) için
1. E÷er f ∗ ( x) > 1 ise f artan bir fonksiyondur.
2. E÷er f ∗ ( x ) ≥ 1 ise f monoton artan bir fonksiyondur.
3. E÷er f ∗ ( x ) < 1 ise f azalan bir fonksiyondur.
4. E÷er f ∗ ( x) ≤ 1 ise f monoton azalan bir fonksiyondur.
2.1.16 Önerme: f : (a, b) → \ çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir
bir fonksiyon olsun. f (c) > 0 olacak úekilde c ∈ ( a, b ) vardır öyle ki
1. E÷er f ∗ (c) = 1 ve f ∗∗ (c) > 1 ise, f fonksiyonu c noktasında
yerel minimum de÷erine sahiptir.
2. E÷er f ∗ (c) = 1 ve f ∗∗ (c) < 1 ise, f fonksiyonu c noktasında
yerel maksimum de÷erine sahiptir.
12
2.2 Çarpımsal øntegral
Bu bölümde çarpımsal integralin tanımı, bazı temel özellikleri ve
çarpımsal integral hesaplama kuralları verilmiútir.
2.2.1 Tanım: E÷er f , fonksiyonu [a, b] aralı÷ında pozitif ve sürekli ise
(a, b) aralı÷ında çarpımsal anlamda integrallenebilir ve
b
³ ln( f ( x )) dx
b
³ f ( x)
dx
= ea
(2.11)
a
úeklinde tanımlanır.
2.2.2 Teorem: f ve g fonksiyonları [a, b] aralı÷ında çarpımsal
anlamda integrallenebilir ve (a, b) aralı÷ında pozitif ve sürekli olsunlar.
O zaman k ∈ \ ve a ≤ c ≤ b olmak üzere f k , f .g , f / g fonksiyonları
çarpımsal anlamda diferansiyellenebilirdir ve çarpımsal integralleri
b
1.
k
k dx
³ ( f ( x) )
a
§b
·
= ¨ ³ ( f ( x))dx ¸ ,
©a
¹
b
2.
³ ( f ( x) g ( x) )
b
dx
= ³ ( f ( x))
a
3.
b
dx
a
§ f ( x) ·
³ ( f ( x ))
dx
³ ¨© g ( x) ¹¸
³ ( g ( x))
dx
(2.13)
a
b
b
(2.12)
dx
,
(2.14)
f ( x)dx = ³ f ( x)dx ³ f ( x) dx
(2.15)
=
a
b
³ ( g ( x ))
a
dx
a
b
4.
³
a
c
b
a
c
úeklinde hesaplanır.
øspat: Çarpımsal integral için verilen özelliklerden 1. ve 3. ba÷ıntıların
do÷rulu÷unu gösterelim.
13
1. f fonksiyonu [ a, b] aralı÷ında çarpımsal anlamda integrallenebilir
olsun. f , [ a, b] aralı÷ında pozitif, sürekli bir fonksiyondur ve tüm k ∈ R
için (2.12) ba÷ıntısı kullanılarak
b
b
³(
f (t )
k dt
)
=e
³ ( ln ( f (t ))
k
)dt
a
a
b
k
=e
³ ( ln ( f ( t ) ) )dt
a
denklemi bulunur. Buradan
ª ³ ( ln ( f ( t )) )dt º
»
= «e a
«
»
¬«
¼»
b
b
³ ( f (t )
a
k
)
dt
k
§b
dt ·
= ¨ ³ ( f (t )) ¸
©a
¹
k
elde edilir.
f ve g fonksiyonları [ a, b]
integrallenebilir olsunlar. Bu durumda
3.
b
dt
aralı÷ında çarpımsal anlamda
§ f (t ) ·
³ ln ¨¨© g ( t ) ¹¸¸ dt
§ f (t ) ·
e
=
³a ¨¨ g ( t ) ¸¸ a
©
¹
b
b
³ ( ln f ( t )− ln g (t )) dt
= ea
b
b
= ea
a
³ ln f ( t )dt − ³ ln g ( t ) dt
ba÷ıntısı elde edilir. Buradan da
b
b
§ f (t ) ·
³ ¨¨ g ( t ) ¸¸
a
©
¹
³ f (t )
dt
=
a
b
³ g (t )
a
formülü gösterilmiú olur.
dt
dt
.
14
2.2.3 Önerme: f , [ a, b] aralı÷ında çarpımsal anlamda tersi alınabilen
bir fonksiyon olsun. Bu durumda
−1
b
1.
³ f (t )
dt
a
§a
dt ·
= ¨ ³ f (t ) ¸ ,
©b
¹
a
2.
³ f (t )
dt
=1
a
olur.
øspat:
1. f , [ a, b] aralı÷ında çarpımsal anlamda tersi alınabilen bir fonksiyon
olsun. Öyleyse,
b
b
³ f (t )
dt
=e
³ ln f ( t ) dt
a
a
³
− ln f ( t ) dt
=e
b
a
§a
dt ·
= ¨ ³ f (t ) ¸
©b
¹
−1
ba÷ıntısı elde edilebilir.
2. f , [ a, b] aralı÷ında çarpımsal anlamda tersi alınabilen bir fonksiyon
olsun. Öyleyse,
a
a
³ f (t )
dt
³ ln f ( t ) dt
= ea
= e0 = 1
a
ba÷ıntısı elde edilebilir.
2.2.4 Teorem [Çarpımsal Analiz'in Temel Teoremi]: f , [ a, b]
aralı÷ında pozitif ve sürekli bir fonksiyon olsun.
f 'in çarpımsal
terstürevlerinden biri F olsun. Böylece F , [ a, b] aralı÷ında
x
F ( x) = ³ f ( x) dx , a ≤ x ≤ b
a
úeklinde tanımlanmıú olsun. Öte yandan, e÷er G ( x ) , f fonksiyonunun
[ a, b] aralı÷ında herhangi bir terstürevi ise
15
b
³ f ( x)
dx
G (b)
G (a)
=
a
(2.16)
úeklinde yazılabilir.
2.2.5 Teorem [Kısmi Çarpımsal øntegral]: f : [ a, b ] → R + ve
g : [ a, b ] → R +
çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir fonksiyonlar
olsunlar. Böylece f g de çarpımsal anlamda diferansiyellenebilirdir ve
b
³ ( f (t )
*
a
g (t )
)
dt
=
f (b)
g (b )
f (a)
g(a) b
1
³ ( f (t )
g ′( t )
a
)
(2.17)
dt
úeklinde yazılabilir.
f ve g fonksiyonları, [ a, b] aralı÷ında pozitif
diferansiyellenebilir olsunlar. 2.1.9 ve 2.2.4 teoremleri kullanılarak
øspat:
b
()
³ ( f (t ) )
*
a
g t
dt
§ ( f g )* ( t ) ·
¸
= ³¨
g ′( t )
¨
¸
f
t
a
© ( )
¹
dt
b
b
³ (( f ) (t ))
g *
= ab
³ ( f (t ) )
g ′( t )
dt
dt
a
=
f (b)
g (b )
f (a)
g(a) b
1
³ ( f (t ) )
a
formülü elde edilir.
g ′( t )
dt
ve
16
2.3 Çarpımsal Diferansiyel Denklemler
Bilim ve mühendislikte karúılaúılan pek çok problemin
matematiksel modellemesinde klasik türevlere ba÷lı diferansiyel
denklemler kullanılmaktadır. Ancak karúılaúılan bazı bilimsel problemler
klasik diferansiyel denklemler kullanılarak kolayca ifade edilemeyebilir.
Bu durumda alternatif olarak tanımlanan çarpımsal diferansiyel
denklemler kullanılmaya baúlanmıútır. Bu bölümde çarpımsal
diferansiyel denklemlerin tanımı, bazı temel uygulamaları verilmiútir.
Ayrıca çarpımsal analiz kullanılarak bazı klasik do÷rusal diferansiyel
denklemlerin çözümleri için yeni formüller elde edilmiútir.
2.3.1 Tanım: Pozitif bir G fonksiyonu için n . mertebeden bir
çarpımsal diferansiyel denklem
(
)
G t , y, y * ,! , y*( n −1) , y*( n ) ( t ) = 1,
(t, y ) ∈ \ × \+
(2.18)
úeklinde ele alınabilir.
f , bir I reel aralı÷ındaki tüm t de÷erleri için tanımlanmıú n kez
çarpımsal anlamda diferansiyellenebilir pozitif bir fonksiyon olsun. E÷er
* n −1
*n
G t , f , f * ,! , f ( ) , f ( ) tanımlanmıú ve tüm t ∈ I de÷erleri için
(
G (t, f , f
*
,! , f
)
)
, f ( )) =1
*( n −1
*n
ise
f , (2.18) çarpımsal diferansiyel
denkleminin bir explicit çözümü olarak adlandırılır. Ayrıca, (2.18)
denkleminin bir implicit çözümü de g (t , y ) = 0 formuna sahiptir. O en
azından reel bir f fonksiyonunu tanımlar öyle ki bu fonksiyon (2.18)
denkleminin bir explicit çözümüdür.
2.3.1 Tanım: Bir ba÷ımsız de÷iúkenle ilgili bir veya daha fazla ba÷ımlı
de÷iúkenin çarpımsal türevini içeren diferansiyel denkleme çarpımsal
diferansiyel denklem denir. Örne÷in 1. mertebeden çarpımsal diferansiyel
denklem, y 'nin çarpımsal türevini içeren y ∗ ( x ) = f ( x, y ( x ) )
biçimindeki diferansiyel denklem olarak tanımlanır.
17
2.3.2 Örnek: Çarpımsal diferansiyel denklemler için bazı örnekler
y** ( t ) = y ( t ) ,
y** ( t ) = e,
y** ( t ) = ( y* ( t ) )
3
úeklindeki denklemlerle verilebilir.
2.3.2 Tanım: Bir çarpımsal diferansiyel denklemde en yüksek
mertebeden türev içeren fonksiyonun mertebesi çarpımsal diferansiyel
denklemin mertebesi olarak tanımlanır.
Pozitif çözümlü oldu÷u kabul edilen yukarıdaki örneklerde
incelenen birinci mertebeden adi diferansiyel denklemler çarpımsal
diferansiyel denklemlere dönüútürülerek yeni çözüm algoritmaları
geliútirilmiútir.
18
3. ÇARPIMSAL NÜMERøK YAKLAùIMLAR
Bu bölümde klasik yöntemlere alternatif olarak tanımlanan
çarpımsal sayısal (nümerik) yaklaúımlar ele alınmıútır. Denklemlerin
köklerini hesaplamak, fonksiyonlarda ara de÷er bulmak ve diferansiyel
denklemlerin yaklaúık sayısal çözümlerini hesaplamak için yeni
yöntemler geliútirilmiútir.
3.1 Do÷rusal Olmayan Denklemlerde Kök Bulma
Tek de÷iúkenli, reel de÷erli bir fonksiyonun klasik anlamda
sıfırlarının sayısal yaklaútırması ile ilgilidir. Klasik yöntemlerde
f : Ι = (a, b) ⊆ \ → \ ve r ∈ ^ iken f ( r) = 0'ı sa÷layan r de÷erini bulmak
için kullanılan yöntemler genellikle iteratiftir. Bu iteratif yöntemlerle
lim ( xn ) = r olacak biçimde bir { xn } sayı dizisi elde edilmektedir. E÷er
n →∞
bu denklemlerin kökleri alternatif olarak geliútirilen yöntemlerle
hesaplanacak ise yeni tanımlama ve yaklaúımlar oluúturulmalıdır.
3.1.1 Tanım:
f : Ι = (a, b) ⊆ \ → \ ve a ≤ r ≤ b iken
f ( r ) = 0 'ı
sa÷layan r de÷erine o denklemin kökü denir.
3.1.2 Tanım:
g : Ι0 = ( a, b) ⊆ \ → \+
f ( r ) +1 = g ( r ) eúitli÷ini sa÷layan
ve
a≤r ≤b
olmak üzere
g ( r ) = 1 denklemine çarpımsal
denklem, bu denklemi sa÷layan r de÷erine o denklemin kökü denir.
3.1.1 Kök Bulmaya Geometrik Bir Yaklaúım
g :[a, b] → \ + olmak üzere g ( x ) = 1 denkleminin kökü çarpımsal
anlamda tanımlı yöntemlerle yaklaúık olarak hesaplanırken her adımda
xn ≅ r olacak biçimde r köküne yaklaúan de÷erlerin dizisi { xn } elde
edilir. Denklemin [ a, b] aralı÷ında kökünün olması için veya kökünün o
aralıkta olması için sa÷lanması gereken koúullar vardır.
19
Bu nedenle fonksiyonun tanımlandı÷ı aralı÷ın sınır de÷erleri a ve b
için aúa÷ıdaki gibi iki ayrı durum göz önüne alındı÷ında;
[ a, b ]
1. E÷er g1 ( a ) < 1 ve g1 ( b ) > 1 ise,
(3.1)
2. E÷er g 2 ( a ) > 1 ve g 2 ( b ) < 1 ise
(3.2)
aralı÷ında g ( x ) = 1 eúitli÷ini sa÷layan bir r de÷eri vardır. Bu iki
durumu genelleútirmek amacıyla aúa÷ıdaki iúlemleri uygulayalım:
(3.1) için
ln ( g1 ( a ) ) < ln1 = 0 ve ln ( g1 ( b ) ) > ln1 = 0
(3.2) için ise
ln ( g 2 ( a ) ) > ln1 = 0 ve ln ( g 2 ( b ) ) < ln1 = 0
elde edilir. Bu ba÷ıntılardan da
ln ( g ( a ) ) ln ( g ( b ) ) < 0
(3.3)
úeklinde bir koúul elde edilir. Böylece (3.3) ba÷ıntısını sa÷layan a ve b
de÷erlerinin arasında çarpımsal denklemin bir kökü vardır.
3.1.3 Teorem:
g : [ a, b ] → \ +
ve
g ( x ) = 1 olmak üzere (3.3)
eúitsizli÷ini sa÷layan a0 = a , b0 = b için Ι 0 = [ a, b] aralı÷ını ve ∀n ≥ 0
için Ι n = [ an , bn ] alt aralıklarının bir dizisini ele alalım:
1. E÷er ln ( g ( xn ) ) ln ( g ( an ) ) < 0 ise an +1 = an ve bn +1 = xn ,
2. E÷er ln ( g ( xn ) ) ln ( g ( bn ) ) < 0 ise an +1 = xn ve bn +1 = bn
úeklindeki durumları sa÷layan
xn +1 = an +1bn +1
(3.4)
ba÷ıntısı elde edilir. Klasik analizdeki yarılama (Bisection) yönteminde
aritmetik ortalama yaklaúımı ile denklemin kökü yaklaúık olarak
hesaplanırken çarpımsal analizde geometrik ortalama ile hesaplanmıútır.
20
3.1.2 Çarpımsal Newton Raphson Yöntemi
3.1.4 Tanım [Çarpımsal Taylor Açılımı]: f : \ → \ + ve h adım
uzunlu÷u olmak üzere n. mertebeden çarpımsal anlamda türevlenebilen
sürekli bir f fonksiyonu için
n
f ( x + h) = ∏ ( f
k =0
∗
( x ))
hn
n!
(3.5)
ba÷ıntısına n. mertebeden çarpımsal Taylor açılımı denir.
g (r ) = 1 ve r = xn + h için g fonksiyonunun r civarında 1.
mertebeden çarpımsal Taylor açılımı
g (r ) = g ( xn + h) ≅ g ( xn ) ( g
∗
( xn ) )
h1
1!
...
úeklindedir. Buradan ξ ∈ ( r , xn ) için
1 = g ( xn ) ( g ∗ (ξ ) )
r − xn
bulunur. Sonuç olarak ta r ≅ xn +1 oldu÷undan
xn +1 = xn −
ln ( g ( xn ) )
ln ( g ∗ ( xn ) )
(3.6)
iteratif ba÷ıntısı elde edilir. (3.6) formülü çarpımsal Newton's Raphson
yöntemi olarak adlandırılır.
3.1.3 Çarpımsal Chord Yöntemi
1
§ g ( b ) · b−a
∀n ≥ 0 için g ∗ ( xn ) ≈ ¨
¨ g ( a ) ¸¸ ile (3.6) ba÷ıntısı düzenlendi÷inde
©
¹
xn +1 = xn −
b−a
ln ( g ( xn ) )
§ g (b ) ·
ln ¨
¸
© g (a) ¹
úeklinde yeni bir rekürans ba÷ıntısı tanımlanabilir.
(3.7)
21
3.1.4 Çarpımsal Secant Yöntemi
1
§ g ( xn ) · xn − xn−1
∀n ≥ 1 için g ∗ ( xn ) ≈ ¨
ele alınarak x0 ve x1 gibi iki
¨ g ( x ) ¸¸
n
−
1
©
¹
baúlangıç de÷eri verildi÷inde (3.6) ba÷ıntısı
xn +1 = xn −
xn − xn −1
ln ( g ( xn ) )
§ g ( xn ) ·
ln ¨
¸
© g ( xn −1 ) ¹
(3.8)
úeklinde düzenlenir. Elde edilen bu yeni rekürans ba÷ıntısına çarpımsal
Secant formülü denir.
3.1.5 Örnek: [ 2,3] aralı÷ında f ( x ) = ln ( x ) − sin ( x ) = 0 denkleminin
kökünü çarpımsal anlamda tanımlı yöntemlerle hesaplayalım.
Öncelikle g ( x) = f ( x) + 1 dönüúümü ile
g ( x) = ln ( x ) − sin ( x ) + 1 = 1
(3.9)
úeklinde çarpımsal bir denklem elde edilir. (3.9) denkleminin tanımlanan
aralıkta kökünün varlı÷ı incelemek için
ln ( g ( 2 ) ) = −0.243537918 ve ln ( g ( 3) ) = 0.671664205
elde edilir. Böylece
ln ( g ( 2 ) ) ln ( g ( 3) ) = −0.163575702 < 0
koúulu sa÷lanır ve verilen aralıkta denklemin kökü vardır.
(3.9) çarpımsal denklemi, geliútirilen (3.6), (3.7), (3.8) algoritmaları
kullanılarak çözülmüútür. Tablo oluúturularak elde edilen sonuçlar
karúılaútırılmıútır. Hangi yöntemin daha az iterasyon ile denklemin
köküne yaklaútı÷ı belirlenmiútir. Problemin çözümü için, baúlangıç
koúulu x0 = 2 olarak alınmıútır.
22
Tablo 1. (3.9) Denkleminin Kökü øçin Sayısal Sonuçlar
Çarpımsal Newton
Çarpımsal Chord
Çarpımsal Secant
Raphson Yöntemi
Yöntemi
Yöntemi
2
2,266102877
2,212579588
2,220112535
2,218954441
2,219130394
2,219103612
2,219107687
2,219107067
2,219107161
2,219107147
2,219107149
2,219107149
2
2,208369586
2,218557470
2,219105703
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2
2,208369586
2,219078968
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
2,219107149
Tablo 1.' de görüldü÷ü gibi geliútirilen yeni yöntemler yardımıyla
denklemin köküne yaklaúık olarak ulaúılmaktadır. Yöntemlerin iterasyon
sayıları birbirinden farklı olmuútur. Çarpımsal Newton Raphson yöntemi
en az iterasyon sayısı ile denklemin kökünü hesaplamıútır.
3.2 Çarpımsal ønterpolasyon Yaklaúımı
ønterpolasyon, bir fonksiyonun tanımlı oldu÷u aralıktaki herhangi
bir de÷erine karúılık sonuç elde etme ya da ara de÷er hesaplama iúlemi
olarak tanımlanabilir. Klasik analiz kullanılarak tanımlanan pek çok ara
de÷er hesaplama yöntemi vardır. Bu yöntemlere alternatif olarak yeni
yöntemler geliútirilebilir. Bu yeni yaklaúımlar özellikle üstel fonksiyonlar
için ara de÷er hesaplamada etkili sonuçlar vermektedir. Üstel bir biçimde
tanımlanmıú olması, uygulamalardaki fonksiyonların pozitif de÷erli
olmasını gerektirdi÷inden negatif de÷erli fonksiyonların kullanılamaması
bu yeni ara de÷er hesaplama yöntemlerinin zayıf yönü olarak ifade
edilebilir.
23
3.2.1 Tanım: Çarpımsal Lagrange interpolasyon yaklaúımı En ( x) pozitif
tanımlı bir
f
( x , f ( x ) ) , ( x , f ( x ) ) ,..., ( x , f ( x ) )
fonksiyonunun
0
0
1
1
n
n
biçimindeki ( n + 1) veri noktası ile her bir k = 0,1,..., n de÷eri ve
n
Ln ,k = ∏
i =0
i ≠k
x − xi
xk − xi
(3.10)
formülü için
n
En ( x ) = ∏ ( f ( xk ) )
Ln ,k ( x )
(3.11)
k =0
úeklinde tanımlanmıútır. Tanımlanan bu yaklaúıma çarpımsal (üstel)
Lagrange interpolasyonu denir.
3.2.2 Tanım: i = 0,1,... için fi = f ( xi ) olmak üzere
∇∗ f i +1 = fi +1 / fi
(3.12)
úeklinde tanımlanan operatöre çarpımsal geri bölüm operatörü denir.
Tanım 3.2.2. den
∇ ( ) f i = ∇∗ ( ∇∗ fi ) =
∗ 2
(
)
∇ ( ) f i = ∇∗ ∇ ( ) fi =
∗3
∗ 2
fi fi −2
,
fi −1
f i ( f i − 2 )3
,
( fi −1 )3 f i −3
•
•
•
∇
∗( n )
∗
(
fi = ∇ ∇
C ( n ,0 )
∗( n −1)
n−1
( )
( )
fi )
fi − 2 )
... ( f i − n +1 )
(
(
fi ) =
−1
C n ,1
C n ,3
( fi −1 ) ( ) ( fi −3 ) ( ) ... ( fi −n )( )
C n ,2
olur. Burada k , s = 0,1, 2,... için C ( k , s ) =
−1
C ( n , n −1)
n−1
C ( n,n )
(3.13)
k!
úeklinde tanımlıdır.
( k − s )!s !
(3.13) ba÷ıntısının genel formu ise i = 1, 2,... için
24
k
∇ ( ) fi = ∏ ( fi − s )
∗ k
( −1)s C ( k , s )
(3.14)
s =0
úeklinde tanımlıdır.
3.2.3 Tanım: h adım uzunlu÷u, xi +1 = xi + h için r = ( x − xi ) / h iken
f ( x ) ≈ En ( r ) olacak biçimde tanımlanan
En ( r ) = f i ( ∇∗ fi )
C ( r ,1)
(∇ ( ) f )
∗2
C ( r +1,2 )
i
(
... ∇ ( ) f i
∗n
)
C ( r + n −1, n )
formülüne Newton geri bölüm interpolasyonu denir. Bu formül
n
(
En ( r ) = ∏ ∇ ( ) f i
k =0
∗k
)
C ( r + k −1, k )
úeklinde düzenlenebilir. (3.14) ba÷ıntısı kullanılarak ta yaklaúımın
§ k
( −1)s C ( k , s ) ·
En ( r ) = ∏ ¨ ∏ ( fi − s )
¸
k =0 © s = 0
¹
n
C ( r + k −1, k )
(3.15)
úeklindeki en genel hali elde edilir.
3.2.4 Örnek: x0 = 0.1 , x1 = 0.2 , x2 = 0.3 , x3 = 0.4 , x4 = 0.5 baúlangıç
de÷erleri ve h = 0.1 için 4. mertebeden çarpımsal Newton geri bölüm
interpolasyonu kullanılarak f ( x ) = xsin x fonksiyonuna x = 0.15 , x = 0.35
noktalarındaki yaklaúım
n = 4 için;
E3 ( r ) = ( fi )
r 4 +10 r 3 + 35 r 2 + 50 r + 24
24
( f i −1 )
− r 4 − 9 r 3 − 26 r 2 − 24 r
6
( fi−2 )
r 4 + 8 r 3 +19 r 2 +12 r
4
( fi −3 )
− r 4 − 7 r 3 −14 r 2 − 8 r
6
( fi −4 )
r 4 + 6 r 3 +11 r 2 + 6 r
24
úeklinde bir üstel yaklaúım formülü olarak elde edilir. Bu formül ile
x = 0.15 için yaklaúık de÷er hesaplanaca÷ından
x − x4 0.15 − 0.5
r=
=
= −3.5
h
0.1
alınarak f ( 0.15) ≈ 0.753463363 bulunmuútur. Fonksiyonun o noktadaki
gerçek de÷eri ise f ( 0.15) = 0.753141565 olarak hesaplanmıútır.
x = 0.35 için;
25
r=
x − x4 0.35 − 0.5
=
= −1.5
h
0.1
alınarak f ( 0.35) ≈ 0.69776237 bulunmuútur. Fonksiyonun o noktadaki
gerçek de÷eri de f ( 0.35) = 0.69768909 olarak hesaplanmıútır.
Çarpımsal analizde mutlak hata
Ç.M .H =
f tam ( x )
∗
f yaklaúık ( x )
≅1
úeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre x = 0.15 için çarpımsal mutlak hata
Ç.M .H =
f tam ( 0.15 )
∗
= 1.000427275 ≅ 1
f yaklaúık ( 0.15 )
úeklinde hesaplanır. Öte yandan x = 0.35 için çarpımsal mutlak hata
Ç.M .H =
f tam ( 0.35 )
f yaklaúık ( 0.35 )
∗
= 1.000105032 ≅ 1
olarak hesaplanır.
3.3 Çarpımsal Adams Bashforth-Moulton Yöntemleri
Diferansiyel analiz matematiksel modellemenin gerektirdi÷i pek
çok problemde kullanılmaktadır. Bilim ve mühendislik alanında
karúılaúılan birçok problemin matematiksel modellemesi evrimsel bir
tanıma
dayalıdır.
Bu
tür
problemlerin
matematiksel
modelleri
diferansiyel denklemler ile de ifade edilebilir. Problemlerin bazıları,
matematiksel formülasyon için klasik analiz kavramları kullanıldı÷ında
daha zor yaklaúımlar içerebilir. Bu durumda alternatif kavramlara ihtiyaç
duyulabilmektedir. Böylece çarpımsal analiz kavramları ile tanımlanan
çarpımsal diferansiyel denklemlerin kullanımı da önem kazanmaktadır.
Son yıllarda yapılan bazı çalıúmalar da (Rıza M. ve arkadaúları 2009;
Aniszewska D. 2007) çarpımsal diferansiyel denklemlerin sayısal
çözümü için geliútirilen çarpımsal sonlu fark ve çarpımsal Runge-Kutta
26
yöntemleri ile çarpımsal analizin etkili sonuçlar verdi÷ini göstermektedir.
Çarpımsal sonlu fark yöntemleri bir sınır de÷er probleminin çözümü için,
çarpımsal Runge-Kutta yöntemleri ise baúlangıç de÷er problemlerinin
sayısal çözümü için geliútirilmiútir. Çarpımsal Runge-Kutta yöntemleri
tek adımlı yöntemlerdir. Bu bölümde çarpımsal baúlangıç de÷er
problemlerinin sayısal çözümü için geliútirilen çok adımlı algoritmalar
olarak ta adlandırılan çarpımsal Adams Bashforth-Moulton yöntemleri
tanımlanmıútır.
3.3.1 Çarpımsal Adams Bashforth Algoritmaları
(Suli E., Mayers D.F., 2003; J.C.Butcher 2003)' e göre aúa÷ıdaki
adi çarpımsal diferansiyel denklem için çarpımsal Adams Bashforth
algoritmaları geliútirilmiútir.
y ∗ ( x ) = f ( x, y ( x ) ) , y ( x0 ) = y0
(3.16)
(3.16) problemi çarpımsal baúlangıç de÷er problemi olarak ta
adlandırılabilir. (3.16) denkleminin her iki tarafı [ xi , xi +1 ] aralı÷ında
integre edilerek f ( x, y ) ≈ En ( r ) olacak úekilde
xi+1
³
dx
y∗ ( x ) =
xi
xi +1
³ f ( x, y )
dx
xi
x − xi
formunda yazılabilir. Öte yandan r =
için,
h
1. E÷er x = xi +1 , ise r = 1 ,
2.
E÷er x = xi , ise r = 0 ,
3.
dx = hdr
ba÷ıntıları elde edilir. Sonuç olarak n 'in her de÷eri için genelleútirilmiú
sayısal algoritma aúa÷ıdaki gibi verilebilir:
h
§1
dr ·
yi +1 = yi ¨ ³ En ( r ) ¸ .
©0
¹
(3.17)
27
Her bir n = 0,1, 2,3 için, (3.17)'de (2.11) integral formülü ve
fi = f ( xi , yi ) ,
f i −1 = f ( xi −1 , yi −1 ) ,
f i − 2 = f ( xi − 2 , y i − 2 ) ,
fi −3 = f ( xi − 3 , yi −3 )
noktalarına dayalı f ( x, y ) 'nin üstel En ( r) yaklaúımı kullanılarak çarpımsal
Adams Bashforth algoritmaları sırasıyla
1. E÷er n = 0 ise
yip+1 = yi ( f i )
h
(3.18)
Ayrıca bu çarpımsal Explicit Euler metodu olarak da adlandırılır.
2. E÷er n = 1 ise
h
yip+1 = yi ( fi 3 fi −−11 ) 2
(3.19)
3. E÷er n = 2 ise
h
yip+1 = yi ( fi 23 f i −−116 f i −5 2 )12
(3.20)
4. E÷er n = 3 ise
p
i +1
y
= yi ( f i f
55
h
−59 37 −9 24
i −1
i − 2 i −3
f
f
)
(3.21)
úeklinde elde edilir.
3.3.2 Çarpımsal Adams Moulton Algoritmaları
(3.16) baúlangıç de÷er probleminin çözümü için çarpımsal anlamda
yeni bir yöntem geliútirilebilir. Bunun için, üstel Newton geri bölüm
formülü, En ( r ) ≈ f ( x, y ( x ) ) olacak úekilde fi +1 için (3.14) formülü ve
r = ( x − xi +1 ) / h için (3.15) denklemi tekrar düzenlenerek tanımlanabilir.
Ardından (3.16) denkleminin her iki tarafı, (2.11) ve (2.16) ba÷ıntıları
kullanılarak [ xi , xi +1 ] kapalı aralı÷ında çarpımsal anlamda integre edilirse
yi +1
=
yi
xi +1
³ ( f ( x, y ) )
dx
xi
elde edilir. Burada, fi −2 = f ( xi−2 , yi −2 ) , fi −1 = f ( xi−1, yi −1 ) , fi = f ( xi , yi ) ve
f i +1 = f ( xi +1 , yip+1 ) noktalarına dayalı f ( x, y ) için En ( r ) tanımlanmıútır.
28
Ayrıca i = 0,1, 2,.... için r =
x − xi +1
iken;
h
1. E÷er x = xi +1 ise r = 0
2. E÷er x = xi ise r = −1
3. dx = hdr
olarak hesaplanır. Sonuç olarak
§0
dr ·
yi +1 = yi ¨ ³ ( En ( r ) ) ¸
© −1
¹
h
(3.22)
bulunur. Böylece tüm bu ba÷ıntılar kullanılarak aúa÷ıdaki gibi çarpımsal
Adams Moulton yöntemleri
1. E÷er n = 0 ise
y c i +1 = yi ( f i +1 )
h
(3.23)
Bu ayrıca çarpımsal Implicit Euler formülü olarak adlandırılabilir.
2. E÷er n = 1 ise
h
yic+1 = yi ( fi 3 fi −−11 ) 2
(3.24)
3. E÷er n = 2 ise
c
i +1
y
= yi ( fi f
23
h
−16 5 12
i −1
i−2
f
)
(3.25)
4. E÷er n = 3 ise
h
yic+1 = yi ( f i 55 fi −−159 fi −372 fi −−39 ) 24
(3.26)
úeklinde elde edilir.
3.3.3 Çarpımsal Adams Yöntemleri øçin Hata Tahmini
(3.16) baúlangıç de÷er probleminin sayısal çözümü için geliútirilen
çok adımlı çarpımsal yöntemlerin hata tahmini için (3.15) çarpımsal
Newton geri bölüm interpolasyon formülü En ( r ) kullanılabilir. En ( r ) ve
En +1 ( r ) arasındaki de÷iúim oranı bu yöntemlerin En ( r ) için kesme
29
hatasını verir. Böylece En ( r ) ve En +1 ( r ) kullanılarak baúlangıç de÷er
probleminin genelleútirilmiú çözüm formülleri
p
i +1
§1
dr ·
= yi ¨ ³ ( En +1 ( r ) ) ¸
©0
¹
p
i +1
§1
dr ·
= yi ¨ ³ ( En ( r ) ) ¸
©0
¹
y
h
(3.27)
ve
y
h
(3.28)
úeklinde ele alınabilir. Daha sonra (3.27) denklemi (3.28) denklemine
bölünerek
1
§ ∗( n +1)
³0 ¨© ∇ fi
(
)
C ( r + n , n +1)
dr
· ≅1
¸
¹
∗
ba÷ıntısı yazılabilir. Buradan da xi − n ≤ µi ≤ xi +1 için ∇ (
iken
n +1)
f i = ( f ( µi ) )
h n+1
1
(
Hata ( En ( r ) ) ≅ f
∗( n +1)
( µi ) )
³
h n+1 C ( r + n , n +1) dr
0
(3.29)
úeklindeki genelleútirilmiú hata formülü elde edilir. (Rıza M. ve ark.
2009) ifade edildi÷i gibi, (2.5) ba÷ıntısından f ( x ) fonksiyonun pozitif
olması gerekti÷inden sistemin basitleútirilmesi için f ( x ) = exp ( y ( x ) )
varsayımı altında (3.29) ba÷ıntısı tekrar düzenlenirse
1
­
½
Error ( En ( r ) ) ≈ exp ® y ( n +1) ( µi ) hn +1 ³ C ( r + n, n + 1) dr ¾
0
¯
¿
(3.30)
úeklinde genelleútirilmiú hata formülü elde edilir. Buradan hata formülleri
­1
½
xi ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E0 ) ≈ exp ® hy′ ( µi ) ¾
¯2
¿
5
­
½
xi −1 ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E1 ) ≈ exp ® h 2 y′′ ( µi ) ¾
¯12
¿
­3
½
xi − 2 ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E2 ) ≈ exp ® h3 y′′′ ( µi ) ¾
¯8
¿
(3.31)
(3.32)
(3.33)
30
­ 251 4 ( 4)
½
xi −3 ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E3 ) ≈ exp ®
h y ( µi ) ¾
¯ 720
¿
(3.34)
úeklinde hesaplanır.
Çarpımsal Adams Bashforth algoritmaları için yapılan hata tahmini
benzer úekilde En ( r ) için çarpımsal Adams Moulton algoritmalarının
hata tahminleri
c
i +1
y
§0
dr ·
= yi ¨ ³ ( En +1 ( r ) ) ¸
© −1
¹
h
denklemi
h
§0
dr ·
y = yi ¨ ³ ( En ( r ) ) ¸
© −1
¹
denklemine bölünerek tanımlanabilir. Böylece
c
i +1
∇(
∗ n +1)
(
fi = f
∗( n +1)
( µi ) )
h
xi − n ≤ µi ≤ xi +1
için
n+1
iken
0
(
Error ( En ( r ) ) ≈ f
∗( n +1)
( µi ) )
³
h n+1 C ( r + n , n +1) dr
−1
formülü ve f ( x ) = exp ( y ( x ) ) için
0
­
½
E ( En ) ≈ exp ® y ( n +1) ( µi ) h n +1 ³ C ( r + n, n + 1) dr ¾
−1
¯
¿
(3.35)
úeklinde genelleútirilmiú bir hata formülü elde edilir. Böylece (3.35)
ba÷ıntısı ile En için hata tahminleri aúa÷ıdaki gibi yapılmıú olur:
­ 1
½
xi ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E0 ) ≈ exp ®− hy′ ( µi ) ¾
¯ 2
¿
­ 1
½
xi −1 ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E1 ) ≈ exp ® − h 2 y′′ ( µi ) ¾
¯ 12
¿
­ 1
½
xi − 2 ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E2 ) ≈ exp ®− h3 y′′′ ( µi ) ¾
¯ 24
¿
­ 19 4 ( 4 )
½
xi −3 ≤ µi ≤ xi +1 için E ( E3 ) ≈ exp ®−
h y ( µi ) ¾ .
¯ 720
¿
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
31
Böylece çarpımsal diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için
çarpımsal Adams Bashforth-Moulton algoritmaları geliútirilmiú ve bu
yöntemler için hata tahmini yapılmıútır.
3.3.1 Örnek: (Aniszewska D. 2007)'de Volterra tipi Runge-Kutta
yöntemlerini uygulamak için çözülen Volterra tipi diferansiyel denklemi
§ x −1 ·
yπ ( x ) = exp ¨
¸
© y ¹
úeklinde ele alalım. Bu denklemin analitik çözümlerinden biri
y ( x ) = x − ln ( x )
úeklindeki fonksiyondur. (Rıza M. 2009)' da verildi÷i gibi Volterra tipi
türevle çarpımsal türev arasındaki
yπ ( x ) = ( y ∗ ( x ) )
x
ba÷ıntısı kullanılarak y ( 0.1) = 2,402585093 baúlangıç koúulu için
§ x −1 ·
y ∗ ( x ) = exp ¨
¸
© xy ¹
(3.40)
úeklinde çarpımsal bir diferansiyel denklem elde edilir.
(3.40) baúlangıç de÷er problemi sırasıyla MAB-2 (ikinci-mertebe
"Multiplicative
"Multiplicative
"Multiplicative
"Multiplicative
Adams Bashforth") yöntemi, MAB-3 (üçüncü-mertebe
Adams Bashforth") yöntemi, MAB-4 (dördüncü-mertebe
Adams Bashforth") yöntemi, MAM-2 (ikinci-mertebe
Adams Moulton") yöntemi, MAM-3 (üçüncü-mertebe
"Multiplicative Adams Moulton") yöntemi ve MAM-4 (dördüncümertebe "Multiplicative Adams Moulton") yöntemi kullanılarak
çözülmüútür. Bu algoritmalar kullanılarak elde edilen sonuçlar Tablo 1-2'
de verilmiú ve çarpımsal Runge-Kutta yöntemleri ile elde edilen sonuçlar
ve tam sonuçlarla karúılaútırılmıútır. Sırasıyla h=0.1 ve h=0.01 için
hesaplanan ba÷ıl hata de÷erleri Tablo 1 ve Tablo 2'de verilmiútir.
32
Tablo 1 h=0.1 için MR-K yöntemleri ve MAB-M yöntemlerinin sayısal sonuçlarının
karúılaútırılması
x
Tam çözüm
Yöntem Yaklaúık çözüm Ba÷ıl hata (%)
425.9956668083
419.9412376339
MR-K2
MR-K3
MR-K4
415.5685869679
420.5358872408
420.2994798832
1.04125
0.141603
0.0853077
426.0
419.9455606537
MAB-2
MAB-3
MAB-4
MAM-2
MAM-3
MAM-4
419.8627174937
419.8008829906
419.8239686466
420.1948651
419.7499747
419.8375502
0.0197271
0.0344515
0.0289542
0.0593658
0.0465741
0.0257201
2153.1824394181
2145.5077371871
MR-K2
MR-K3
MR-K4
2111.8918755939
2149.3920729325
2147.2543523302
1.5668
0.181045
0.081408
2153.2
2145.5252896133
MAB-2
MAB-3
MAB-4
MAM-2
MAM-3
MAM-4
2145.4424305860
2145.3806119562
2145.4036976062
2146.19323
2145.280161
2145.428735
0.003861
0.006743
0.005667
0.031131
0.011425
0.004500
10883.1966582076 10873.9016829198 MR-K2
MR-K3
MR-K4
10647.0966921181
10897.8773521744
10882.3906119410
2.08577
0.220488
0.078067
10883.2
10873.8221622635
10873.7603467482
10873.7834323984
10875.51242
10873.56281
10873.82945
0.0007620
0.0013305
0.0011182
0.0147821
0.0031471
0.0006950
10873.9050244051 MAB-2
MAB-3
MAB-4
MAM-2
MAM-3
MAM-4
33
Tablo 2 h=0.01 için MR-K yöntemleri ve MAB-M yöntemlerinin sayısal
sonuçlarının karúılaútırılması
x
Tam çözüm
Yöntem Yaklaúık çözüm
Ba÷ıl hata (%)
431.5900388582
425.5225627046 MR-K2
MR-K3
MR-K4
425.4766063982
425.5268708335
425.5266219083
0.0108
0.00101243
0.000953934
431.59
425.5225239364 MAB-2
MAB-3
MAB-4
MAM-2
MAM-3
MAM-4
425.5214298
425.5195694
425.519788
425.5262424
425.5193203
425.5198139
0.000257138
0.000694333
0.000642953
0.000873867
0.00075287
0.000636873
2185.0196106504
2177.3302305678 MR-K2
MR-K3
MR-K4
2176.9765505746
2177.3530108055
2177.3508349009
0.0162437
0.00104625
0.000946312
2185.02
2177.3306197391 MAB-2
MAB-3
MAB-4
MAM-2
MAM-3
MAM-4
2177.329525
2177.327666
2177.327884
2177.340408
2177.327173
2177.327932
5.02576e-05
0.000135679
0.000125667
0.000449552
0.000158292
0.000123421
10844.1750165992 10834.8836332492 MR-K2
MR-K3
MR-K4
10832.5451941033
10835.0011320594
10834.9859239692
0.0215825
0.00108445
0.000944087
10844.18
10834.88753
10834.88567
10834.88597
10834.91179
10834.8847
10834.88587
1.00645e-05
2.72313e-05
2.44625e-05
0.000213892
3.61233e-05
2.53037e-05
10834.8886161904 MAB-2
MAB-3
MAB-4
MAM-2
MAM-3
MAM-4
34
Bu çalıúmada çarpımsal diferansiyel denklemleri sayısal olarak
çözmek için çarpımsal Adams Bashforth-Moulton yöntemleri
geliútirilmiú ve bir problem çözülerek daha önce geliútirilen yöntemlerle
karúılaútırılmıútır. Tablo 1 ve Tablo 2'de verilen ba÷ıl hata de÷erlerine
bakılarak geliútirilen yöntemin problemin tam çözümüne daha yakın
sonuçlar verdi÷i görülmektedir. Bu yöntemin avantajlı yönlerinden biri
de herhangi bir aralıkta yer alan eúit uzaklıktaki noktaların çözümüne
ulaúılmasını sa÷lıyor olmasıdır. Çarpımsal Runge-Kutta yöntemleri eúit
bölmelendirilmiú bir aralıktaki de÷erler için kullanılamamaktadır. Sonuç
olarak, bilim ve mühendislikte yer alan problemlerin geliútirilen bu
yöntemlerle çözülebilece÷i söylenebilir.
3.3.4 Çarpımsal Milne Yöntemi
Çok adımlı bir yöntemdir. Bu yöntemin sayısal algoritması,
k ≤ n − 1 için [ xk , xn +1 ] aralı÷ındaki noktalar kullanılarak elde edilen
çarpımsal Newton geri bölüm interpolasyonunun [ xn −3 , xn +1 ] aralı÷ındaki
integralinin hesaplanması ile elde edilir.
Bunun için, xn +1 = xn + h olmak üzere (3.16) denklemi [ xn −3 , xn +1 ]
aralı÷ında integre edilirse
xn +1
y ( xn +1 ) = y ( xn −3 )
³ f ( x, y ( x ) )
dx
(3.41)
xn−3
ba÷ıntısı elde edilir. Öte yandan r =
x − xn
için;
h
1. x = xn +1 iken r = 1 ,
2. x = xn −3 iken r = −3 ,
3. dx = h.dr
sonuçlarına ulaúılır. Buradan n = 2 ve
úekilde (3.41) düzenlendi÷inde
f ( x, y ( x ) ) ≈ En ( r ) olacak
35
(
2
y ( xn +1 ) = y ( xn −3 ) f ( xn , yn ) f ( xn −1 , yn −1 )
−1
f ( xn − 2 , yn − 2 )
2
)
4h
3
formülü, buradan da f n = f ( xn , yn ) ve y ( xn ) = yn olmak üzere
4h
yn +1 = yn −3 ( f n2 f n−−11 f n2− 2 ) 3
(3.42)
formülü elde edilir. Bu úekilde tanımlanan yaklaúıma çarpımsal Milne
yöntemi denir. Bu yöntemin herhangi bir probleme uygulanabilmesi için
dört baúlangıç koúulu verilmelidir. Bu yüzden bir tane baúlangıç koúulu
verilen bir çarpımsal baúlangıç de÷er probleminin sayısal çözümünde
gerekli olan di÷er üç koúul çarpımsal Adams Bashforth-Moulton
yöntemleri ile hesaplanabilir. Ardından da bu dört koúul için çarpımsal
Milne yöntemi kullanılarak iteratif iúlemlerle di÷er noktaların de÷erlerine
ulaúılır.
3.3.2 Örnek: y ( 2 ) = 1 baúlangıç koúulu altında tanımlanan
y∗ ( x ) = e
− y( x )
úeklindeki çarpımsal diferansiyel denklemin sayısal çözümünü h = 0.1
için çarpımsal Milne yöntemi ile hesaplayalım.
Milne yönteminin kullanılabilmesi için 3 noktanın daha de÷erinin
bilinmesi gerekmektedir. Bu noktaların de÷erlerini hesaplamak için de
çarpımsal Euler yöntemi kullanılabilir. Buradan baúlangıç de÷erleri
y0 = 1 , y1 = 0,904837418 , y2 = 0,826559196 , y3 = 0, 7609865 olarak
hesaplanmıútır. Bu durumda çarpımsal Milne yöntemi kullanılabilir.
Örnek 3.3.2'deki denklemin analitik çözümü
y ( x) =
1
.
x −1
úeklindedir. Yaklaúık çözüm ile gerçek çözümler arasında yapılan
karúılaútırma için Tablo 3 oluúturulmuútur.
36
Tablo 3. Çarpımsal Milne yöntemi ve h=0.1 için sayısal sonuçlar
x
Tam Çözüm
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
1,000000000
0,909090909
0,833333333
0,769230769
0,714285714
0,666666667
0,625000000
0,588235294
0,555555556
0,526315789
0,500000000
Yaklaúık Çözüm
Ba÷ıl Hata (%)
1,000000000
0,904837418
0,826559196
0,760986500
0,716045320
0,663719049
0,621927027
0,581911786
0,558078058
0,523626769
0,498908590
0,000000000
0,467884016
0,812896482
1,071755030
0,246344732
0,442142598
0,491675604
1,074996462
0,454050431
0,510913975
0,218281927
3.3.5 Çarpımsal Heun (Düzeltilmiú Euler) Yöntemi
(3.16) çarpımsal diferansiyel denkleminin sayısal çözümü için
geliútirilen yeni bir yöntemdir. Çarpımsal Euler yönteminin düzeltilmesi
ile elde edilmektedir. Bunun için tek de÷iúkenli Taylor açılımı
kullanılarak çarpımsal Euler yöntemi geliútirilmiútir. Ardından da bu
yöntem üzerinden yeni bir yaklaúım tanımlanmıútır.
ølk olarak, xn +1 = xn + h ve y ∗ ( x ) = f ( x, y ( x ) ) olmak üzere xn
civarındaki 1. mertebe çarpımsal Taylor açılımı kullanılarak aúa÷ıdaki
iúlemlerin ardından çarpımsal Euler yöntemi yeniden tanımlanır.
y ( xn + h ) = y ( xn ) ( y ( xn ) )
∗
h1
1!
( y ( x ))
∗∗
n
y ( xn +1 ) ≅ y ( xn ) ( y ( xn ) )
∗
yn +1 = yn ( f ( xn , yn ) )
h2
2!
...
h1
1!
h
(3.43)
Ardından (3.43) formülü düzeltilerek çarpımsal diferansiyel
denklemlerin sayısal çözümü için yeni bir algoritma geliútirilmiútir.
37
y ( x ) fonksiyonunun xn civarında 2. mertebeden çarpımsal
Taylor açılımı
y ( xn + h ) ≅ y ( xn ) ( y ( xn ) )
∗
h
( y ( x ))
∗∗
h2
2
n
úeklindedir. Buradan da
y ( xn +1 ) ≅ y ( xn ) ( f ( xn , yn ) )
h
( f ( x , y ))
∗
n
h2
2
(3.44)
n
h
ba÷ıntısı verilebilir. Öte yandan y ∗n +1 = yn ( f ( xn , yn ) ) iken;
§ f ( xn +1 , y ) ·
¸
f ∗ ( xn , yn ) ≈ ¨
¨ f ( xn , yn ) ¸
©
¹
∗
n +1
1
h
olarak alındı÷ında (3.44) ba÷ıntısı
(
yn +1 = yn f ( xn , yn ) f ( xn +1 , yn∗+1 )
)
h
2
(3.45)
biçiminde yeni bir ba÷ıntıya dönüútürülür. Bu ba÷ıntıya çarpımsal
düzeltilmiú Euler formülü denir. Bu yöntem ikinci mertebeden yöntem
olarak da bilinmektedir. Bu nedenle her adımdaki kesim hatası da üstel
h3 mertebedendir. Öyleyse kesim hatası için, yn +1 'in Taylor açılımı
yn +1 = yn ( y
h2
2
) (y ) (y )
∗ h
n
∗( 2 )
n
∗( 3)
n
h3
6
...
(3.46)
úeklinde ve f ( xn +1 , yn∗+1 ) 'in çarpımsal Taylor açılımı da
f ( xn +1 , y
∗
n +1
)= y
∗
n +1
=(y
∗
n
h
)( y ) ( y )
∗( 2 )
n
∗( 3)
n
h2
2
...
(3.47)
úeklinde ifade edilebilir. (3.46) ve (3.47) ba÷ıntıları ile (3.45) ba÷ıntısı
düzenlendi÷inde
yn ( y
h2
2
) (y ( )) (y ( ))
∗ h
n
∗2
n
∗3
n
h3
6
§
∗ 2
... = yn ¨ ( yn∗ )( yn∗ ) yn( )
¨
©
(
h
h
) (y ( ))
∗3
n
h2
2
·2
... ¸
¸
¹
38
formülü bulunur. Buradan da kesme hatasını veren formül
(y )
(y ( ))
∗( 3)
n
∗3
n
h3
4
h3
6
(
... = y
h3
∗( 3) 12
n
)
(
... = f
h3
∗( 2 ) 12
n
)
(3.48)
...
úeklinde elde edilir.
§ − y + x +1·
¸
y
©
¹
3.3.3 Örnek: h = 0.1 , 0 ≤ x ≤ 1 , y ( 0 ) = 1 ve y ∗ ( x ) = exp ¨
baúlangıç de÷er problemini çarpımsal Heun yöntemi ile çözelim.
Bu diferansiyel denklemin bir analitik çözümü (2.18) formülü ile
y ( x ) = x + e− x
olarak elde edilmiútir. Geliútirilen yöntem ile hesaplanan gerçek
de÷erlerle yaklaúık de÷erler arasındaki mutlak hata de÷erleri
Mut.Hata =
ytam ( xi )
∗
y yaklaúık ( xi )
formülü ile hesaplanmaktadır.
Tablo 4. Çarpımsal Heun yöntemi ve h=0.1 için sayısal sonuçlar
n
xn
Tam çözüm
Yaklaúık çözüm
Mutlak Hata
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.000000000
1.000000000
1.000000000
1.005012521
1,019312802
1,042004420
1,072264027
1,109338391
1,152541628
1,201252087
1,254908722
1,313006960
1,375094262
1.004837418
1.018730753
1.040818221
1.070320046
1.106530660
1.148811636
1.196585304
1.249328964
1.306569660
1.367879441
1.000174260
1.000571347
1.001139680
1.001816261
1.002537418
1.003246826
1.003900084
1.004466204
1.004926871
1.005274456
39
3.3.6 Volterra Tipi Çarpımsal Heun Yöntemi
Çarpımsal analizin Volterra tipi olarak adlandırılan bir di÷er özel
halidir. Geometrik analiz olarak ifade edilen çarpımsal analizin yanında
Volterra analiz bigeometrik analiz olarak da adlandırılabilir. Bu bölümde
Volterra tipi analiz ile ilgili bazı temel kavramların tanımları verilmiútir.
Ardından da Volterra tipi diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri
için Voltera tipi Euler ve Volterra tipi Heun yöntemleri geliútirilmiútir.
3.3.4 Tanım: h reel bir sayı olmak üzere pozitif tanımlı bir f
fonksiyonu için f π biçiminde gösterilen Volterra tipi türevin limit tanımı
1
§ f ( x (1 + h ) ) · h
π
f ( x ) = lim ¨
¸
h→0 ¨
f ( x ) ¹¸
©
(3.49)
formülü ile verilebilir.
Bu yeni türev için limit yaklaúımı çarpımsal türevin limit gösteriminin
özel bir halidir. (3.49) ba÷ıntısı aúa÷ıdaki gibi düzenlenirse
§
f ( x (1 + h ) ) − f ( x ) ·
f π ( x ) = lim ¨1 +
¸
h →0 ¨
¸
f
x
(
)
©
¹
f ( x)
x f ( x (1+ h ) ) − f ( x )
f ( x)
xh
f ( x (1+ h ) ) − f ( x )
xf ′( x )
f
π
( x ) = e f ( x)
(3.50)
elde edilir. Öte yandan, Volterra tipi türev ile çarpımsal türev arasındaki
f
π
( x) = e
xf ′( x )
f ( x)
x
§ ff ′(xx ) ·
x
= ¨ e ( ) ¸ = ( f ∗ ( x ))
¨
¸
©
¹
(3.51)
ba÷ıntısı ele alınarak çarpımsal türeve ba÷lı 2. mertebe Volterra türev,
π
f ππ ( x ) = ( f π ( x ) ) =
(
( f ∗ ( x ))
x π
§
=¨
©
) (
( f ∗ ( x ))
x ∗
)
·
¸
¹
x
40
úeklinde ve (2.10) formülünden de
x
x
x
f ππ ( x ) = ª( f ∗∗ ( x ) ) f ∗ ( x ) º = ( f ∗∗ ( x ) )
«¬
»¼
2
( f ( x ))
∗
x
(3.52)
úeklinde elde edilir.
3.3.5 Teorem [Volterra Tipi Taylor Açılımı]: h adım uzunlu÷u ve
f istenilen mertebeye kadar Volterra tipi türevlenebilen sürekli bir
fonksiyon olmak üzere, çarpımsal anlamda tanımlanan Taylor açılımı
düzenlenerek Volterra tipi Taylor açılımı
f ( x (1 + h ) ) ≈ f ( x ) ( f
∗
( x ))
xh
( f ( x ))
∗∗
x2 h2
2
...
úeklindedir ve buradan da (3.51) ve (3.52) ba÷ıntıları ile
f ( x (1 + h ) ) ≈ f ( x ) ( f π ( x ) )
xh
x
(( f
π
( x ))
−1
f ππ ( x )
)
x 2 h2
2 x2
...
formülü sonuç olarak ta
f ( x (1 + h ) ) ≈ f ( x ) ( f
π
( x))
h−
h2
2
( f ( x ))
ππ
h2
2
...
(3.53)
úeklindeki formül elde edilir.
ùimdi, Volterra tipi Euler ve Volterra tipi Heun yöntemleri
tanımlanabilir. Bunun için, xn +1 = xn (1 + h ) olmak üzere y ( x0 ) = y0
baúlangıç koúulu altında yπ ( x ) = f ( x, y ( x ) ) úeklindeki Volterra tipi 1.
mertebe diferansiyel denklemin sayısal çözümü için Volterra tipi Euler
yöntemi, xn civarındaki 2. mertebeden (3.5) Taylor açılımı kullanılarak
aúa÷ıdaki iúlemlerin ardından tanımlanmıú olur.
h
y ( xn (1 + h ) ) ≈ y ( xn ) ( yπ ( xn ) ) ...
y ( xn +1 ) = y ( xn ) ( f ( xn , yn ) )
yn +1 = yn ( f ( xn , yn ) )
h
h
(3.54)
41
Ardından bu formül düzeltilerek Volterra diferansiyel denklemlerin
sayısal çözümü için yeni bir algoritma geliútirilmiútir.
y ( x ) fonksiyonunun xn civarındaki 2. mertebe Taylor açılımı
y ( xn (1 + h ) ) ≈ y ( xn ) ( y
π
( xn ) )
h−
h2
2
( y ( x ))
ππ
h2
2
n
...
úeklinde ve buradan da
y ( xn +1 ) = y ( xn ) ( f ( xn , yn ) )
h−
h2
2
( f ( x , y ))
π
n
h2
2
n
...
(3.55)
h
úeklinde verilebilir. Öte yandan y ∗n +1 = yn ( f ( xn , yn ) ) iken;
§ f ( xn (1 + h ) , y
f π ( xn , yn ) ≈ ¨
¨
f ( xn , yn )
©
∗
n +1
) ·¸
1
h
¸
¹
olarak alındı÷ında (3.55) ba÷ıntısı
(
1− h
yn +1 = yn f ( xn , yn )
(
f xn (1 + h ) , yn f ( xn , yn )
h
))
h
2
(3.56)
biçiminde yeni bir ba÷ıntıya dönüútürülür. Bu ba÷ıntıya Volterra
düzeltilmiú Euler formülü denir.
3.3.6 Örnek: 3.3.1 örne÷inde çözülen problemi Volterra Heun yöntemi
kullanarak çözelim. x0 = 0.1 için
§ x −1 ·
yπ ( x ) = exp ¨
¸
© y ¹
Volterra diferansiyel denkleminin bir analitik çözümü
y ( x ) = x − ln ( x )
úeklinde hesaplanmıútı. Bu problem, (3.56) formülü ile çözüldü÷ünde
bazı de÷erler için aúa÷ıdaki tablolarda yer alan sonuçlar elde edilmiútir.
42
Tablo 5. Volterra Tipi Düzeltilmiú Euler yöntemi ve h=0.1 için sayısal sonuçlar
xn
Tam çözüm
Yaklaúık çözüm
Mutlak Hata
0.133100
2.149754554
2.143733351
0.006021203
2.810244
1.776972485
1.790323656
0.013351171
14.20429
11.55074894
11.85816268
0.307413736
59.33486
55.25166081
55.94150681
0.689846003
439.0928
433.0080671
433.8252079
0.817140818
1252.783
1245.649817
1245.065958
0.583858865
10198.00
10188.76762
10163.96821
24.79941534
Tablo 6. Volterra Tipi Düzeltilmiú Euler yöntemi ve h=0.01 için sayısal sonuçlar
xn
Tam çözüm
Yaklaúık çözüm
Mutlak Hata
0.134785
2.138860059
2.138195745
0.000664314
2.803240
1.772463842
1.772932003
0.000468161
14.19202
11.53933802
11.57261784
0.033279828
58.88445
55.38776331
55.47766918
0.089404039
439.4587
433.3731887
433.6079975
0.234808790
1249.287
1242.157032
1242.513174
0.356142219
10197.00
10187.76533
10188.42615
0.660814620
73131.46
73120.25649
73120.25505
0.001444349
106737.4
106725.7745
106725.1184
0.656106036
43
Tablo1-2 incelendi÷inde geliútirilen yöntemler ile ba÷ımsız de÷iúkenin
çok büyük de÷erleri için çok az sayıda iteratif iúlem yapılarak oldukça
yakın sayısal sonuçların elde edildi÷i görülmektedir. Bu nedenle
çarpımsal anlamda tanımlanmıú sayısal yöntemlerin adi diferansiyel
denklemlerin sayısal çözümleri için oldukça elveriúli bir uygulama
alanına sahip oldu÷u söylenebilir.
44
45
5. SONUÇ
Bu tez çalıúmasında çarpımsal analizin temel kavramlarının
tanımları ve bazı özellikleri verilmiú, bilim ve mühendislikte karúılaúılan
problemlerin çözümleri için yeni algoritmalar geliútirilmiútir. Çarpımsal
analiz ve Volterra tipi çarpımsal analizin bazı matematiksel
problemlerinin çözümünde daha kolay ve etkin sonuçlar verebilece÷i
gösterilmiú ve bu analizlerin klasik analize göre daha avantajlı oldu÷u
durumlar ortaya konulmuútur.
Bu tez çalıúmasında ayrıca, bazı matematiksel kavramların
çarpımsal analiz ile Volterra tipi çarpımsal analiz arasında oluúturdukları
ba÷ıntılar ele alınarak yeni sayısal yaklaúımlar ortaya konulmuútur.
Çarpımsal analizin bazı matematiksel problemlerin çözümü için kolaylık
sa÷ladı÷ı dolayısıyla da çözüm için avantajlı oldu÷u vurgulanmıútır.
Bununla birlikte bu analizin avantajlı olmadı÷ı durumlar da
vurgulanmıútır. Fonksiyonlar pozitif tanımlı oldu÷undan tanım
kümelerinin geniúletilmesi gerekti÷i de ifade edilmiútir. Tüm bu tanım ve
uygulamalar ile birlikte çarpımsal analiz ve Volterra tipi çarpımsal
analizin bilim ve mühendislikteki kullanımının yaygınlaútırılması
gerekti÷i söylenebilir.
46
47
KAYNAKLAR DøZøNø
Aniszewska, D., 2007. Multiplicative Runge-Kutta Methods. Nonlinear
Dynamics 50, 262-272.
Bashirov, A.E., Misirli, E., Ozyapici, A., 2008. Multiplicative calculus
and its applications. Journal of Mathematical Analysis and Its
Applications 337, No.1, 36-48.
Butcher, J.C., 2003. Numerical Methods for Ordinary Differential
Equations. Wiley, Chichester, England.
Campbel, Duff, 1999. Multiplicative Calculus and Student Projects,
Primus, vol 9, issue 4.
Englehardt, J., Swartout, J., Loewenstine, C., 2009. A New Theoretical
Discrete Growth Distribution with Verification for Microbial
Counts in Water. Risk Analysis Vol. 29, No. 6, 841-856.
Grossman, M., Katz, R., 1972. Non-Newtonian Calculus. Pigeon Cove
Lee Press, Mass.
Grossman, M., 1983. Bigeometric Calculus. A System with a Scale-Free
Derivative. Archimedes Foundation, Rockport, Mass.
Kasprzak, W., Lysik, B., Rybaczuk, M., 2004. Dimensions, Invariants
Models and Fractals. Ukrainian Society on Fracture Mechanics,
Spolom, Wroclaw-Lviv, Poland.
48
Kincaid, D., Cheney, W., 1990. Numerical Analysis, Brooks / Cole
Publishing Company.
Riza, M., Ozyapici, A., Misirli, E., 2009. Multiplicative finite difference
Methods. Quarterly of Applied Mathematics (baskıda).
Rybaczuk, M., Kedzia A., Zielinski, W., 2001. The concepts of physical
and fractional dimensions 2. The differential calculus in
dimensional spaces. Chaos Solitons Fractals 12, 2537-2552.
Stanley, D., 1999. A multiplicative calculus. Primus 9, No. 4, 310-326.
Suli, E., Mayers, D.F., 2003. An introduction to numerical analysis.
Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom.
Volterra, V., Hostinsky, B., 1938. Operations Infinitesimales Lineares.
Herman, Paris.
49
ÖZGEÇMøù
01.07.1984 tarihinde Manisa’nın Turgutlu ilçesinde do÷du.
ølkö÷retimin ilk kademesindeki ö÷renimini 1995 yılında Namık Kemal
ølkö÷retim okulunda, orta ö÷renimini ise 1998 yılında Ondokuz Mayıs
ølkö÷retim okulunda tamamladı. Aynı yıl baúladı÷ı ortaö÷retim
kademesindeki ö÷renimini dört yıl süreyle Niyazi Üzmez Yabancı Dil
A÷ırlıklı Lisesinde sürdürdü. 2003 yılında baúladı÷ı Selçuk Üniversitesi
E÷itim Fakültesi Matematik Bölümündeki lisans e÷itimini 2007 yılında
tamamladı. Lisans e÷itiminin ardından aynı yıl Ege Üniversitesi
Matematik Bölümü Uygulamalı Matematik Anabilim Dalında Yüksek
lisans e÷itimi almaya hak kazandı.