gcd ve lcm matrislerinin uygulamaları

GCD VE LCM MATRİSLERİNİN UYGULAMALARI
Aslıhan ÇOŞKUN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HAZİRAN 2011
ANKARA
iv
GCD VE LCM MATRİSLERİNİN UYGULAMALARI
(Yüksek Lisans Tezi)
Aslıhan ÇOŞKUN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Haziran 2011
ÖZET
Bu çalışmada, ilk olarak aritmetik fonksiyonlar, kısmi sıralı kümeler ve graf
teorisi ile ilgili ön bilgiler sunulmuştur. Sonra GCD ve LCM matrislerinin temel
özellikleri verilmiştir, ayrıca GCD matrisleri ile ilgili sonuçlar kesişmeyen yollar
yardımıyla kombinatoriyel olarak yeniden verilmiş ve genellemeler yapılmıştır.
Bu yöndeki girişimler son bölümde tartışılmıştır.
Bilim Kodu
: 204.1.025
Anahtar Kelimeler : GCD matrisleri, LCM matrisleri, Aritmetik fonksiyon,
Graf, Kısmi sıralı kümeler, Kesişmeyen yollar
Sayfa Adedi
: 56
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Ercan ALTINIŞIK
v
APPLICATIONS OF GCD AND LCM MATRICES
(M.Sc.Thesis)
Aslıhan ÇOŞKUN
GAZİ UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
June 2011
ABSTRACT
In this study, firstly, some preliminaries in arithmetical functions, posets and
graph theory are presented. Then fundamental properties of GCD and LCM
matrices are given and the results related with GCD matrices are given
combinatorially by means of nonintersecting paths. In the last section we argue
our attemps for this generalization.
Science Code : 204.1.025
Key Words
: GCD matrices, LCM matrices, Arithmetical functions, Partially
ordered sets (posets), Graph, Nonintersecting paths
Page Number : 56
Adviser
: Assoc. Prof. Dr. Ercan ALTINIŞIK
vi
TEŞEKKÜR
ÇalıĢmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren kıymetli
tecrübelerinden faydalandığım çok değerli ve sabırlı hocam Doç. Dr. Ercan
ALTINIġIK‟ a, kıymetli tecrübelerinden faydalandığım Sayın Doç. Dr. Naim
TUĞLU‟ ya, manevi desteklerinden dolayı arkadaĢlarıma, kardeĢim Beyhan ÇoĢkun‟
a ve beni bu günlere getiren maddi manevi desteklerini esirgemeyen aileme sonsuz
teĢekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET........................................................................................................................... iv
ABSTRACT ................................................................................................................. v
TEġEKKÜR ................................................................................................................ vi
ĠÇĠNDEKĠLER .......................................................................................................... vii
ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ .............................................................................................. ix
SĠMGELER VE KISALTMALAR .............................................................................. x
1. GĠRĠġ....................................................................................................................... 1
2. ÖN BĠLGĠLER ........................................................................................................ 3
2.1. Aritmetik Fonksiyonlar .................................................................................... 3
2.2. Kısmi Sıralı Kümeler ve Latisler.................................................................... 10
2.3. Graf Teorisi .................................................................................................... 15
3. GCD ve LCM MATRĠSLERĠ ............................................................................... 18
4. GCD MATRĠSLERĠ ve KESĠġMEYEN YOLLAR ............................................. 37
5. KESĠġMEYEN YOLLAR ĠLE GCD MATRĠSLERĠNĠN ÖZELLĠKLERĠNĠN
ĠNCELENMESĠ .................................................................................................... 47
6. SONUÇ ................................................................................................................. 54
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 55
viii
ÖZGEÇMĠġ ............................................................................................................... 56
ix
ŞEKİLLERİN LİSTESİ
Şekil
Sayfa
ġekil 2.1. D,| nin Hasse diyagramı……………………….………………...........11
ġekil 2.2. B12 ,| nin Hasse diyagramı…………………………….………………..14
ġekil 2.3. G(V , E, ) grafı………………………………………………………….15
ġekil 2.4. Ġki parçalı graf…………………………………………………………….16
ġekil 4.1. Bir P kısmi sıralı kümesi………………………………...………………40
ġekil 5.1.  P ' P '' Grafı………………………………………………………………...49
ġekil 5.2. d1'1'' Grafı………………………………………………………………....52
x
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aĢağıda
sunulmuĢtur.
Simgeler
Açıklama

Euler  fonksiyonu

Möbius fonksiyonu
f g
f ve g nin Dirichlet konvülasyonu
[ xi , x j ]
xi ile x j nin en küçük ortak katı
( xi , x j )
xi ile x j nin en büyük ortak böleni
S 
GCD matrisi
S 
LCM matrisi
x y
x join y
x y
x meet y
S
S kümesinin supremumu
S
S kümesinin infimumu
V (G), E (G) 
G grafı
f ( xi , x j )
( xi , x j ) nin f fonksiyonu altındaki görüntüsü
f [ xi , x j ]
[ xi , x j ] nin f fonksiyonu altındaki görüntüsü
 f (x , x )
Elemanları f ( xi , x j ) olan matris
 f [ x , x ]
Elemanları f [ xi , x j ] olan matris
i
i
A
T
 P ' P ''
j
j
A matrisinin transpozu
P ' den P '' ye kesiĢmeyen yollar
1
1. GİRİŞ
GCD ve LCM matrisleri, sayılar teorisinin araçlarının matris teoriye uygulanması
açısından zarif sonuçlarla literatürde göze çarpmaktadır.
GCD ve LCM matrisleri ile ilgili ilk çalıĢmalar ilk olarak Smith (1876) ile
baĢlamıĢtır. Smith S  1, 2,3,, n kümesi üzerinde tanımlı elemanları sij  (i, j )
olan n  n tipindeki S  ( sij ) matrisinin kendi ismiyle adlandırılan determinantının
n
değerini
  (k )
olarak, elemanları sij  [i, j ] olan matrisin determinantını ise
k 1
n
  (k ) (k )
olarak hesaplamıĢtır. Sonra Beslin ve Ligh GCD matrislerinin
k 1
determinantlarını hesaplayıp, pozitif tanımlı olduğunu göstermiĢler ve bu konu
üzerine çalıĢmaları yeniden baĢlatmıĢlardır (1989). Çarpan kapalı S   x1 , x2 ,, xn 
kümesi üzerinde tanımlı olan GCD ve LCM matrislerinin terslerini
aij 
1
  x  x
k
xi | xk
/ xi   xk / x j  ,
bij 
k
1
xi x j
x j | xk
1
 g x   x
k
xi | xk
/ xi    xk / x j 
k
x j | xk
olmak üzere sırasıyla A   aij  ve B   bij  matrisleri olarak hesaplamıĢlardır. Eğer
S kümesi çarpan kapalı ise  S  matrisinin  S  matrisinin ( M n () halkasında) bir
çarpanı olduğunu göstermiĢlerdir (1992). Bunun yanı sıra S kümesi gcd kapalı ise
GCD ve LCM matrislerinin determinant ve terslerine dair eĢitlikler elde etmiĢlerdir.
Bourque ve Ligh elemanları pozitif tamsayılar olan S   x1 , x2 ,, xn  kümesi
üzerinde tanımlı  f ( xi , x j )  ve  f [ xi , x j ] matrislerinin determinantları ve tersleri ile
ilgili çeĢitli sonuçlar ortaya koymuĢlardır. Apostol, f ve g aritmetik fonksiyon
olmak üzere m, r    için  (m, r ) 

d |( m, r )
f (d ) g (r / d ) Ģeklinde tanımlanan 
2
fonksiyonu için
  (i, j ) 
Böylelikle
aritmetik
f
matrisinin determinantına dair sonuçlar elde etmiĢtir.
fonksiyonu
için
f  (r )   f (d )
olmak
üzere
d |r
A   f  (m, k ) 
matrisinin
determinantını
hesaplayan
Smith‟in
sonucunu
geniĢletmiĢtir. Bourque ve Ligh, Apostol ve Smith‟in yaptığı bu çalıĢmalardan yola
çıkarak   (i, j )  matrislerinin yapısı ve terslerine dair yeni sonuçlar elde etmiĢlerdir.
AltınıĢık, Sagan ve Tuğlu herhangi bir kısmi sıralı küme üzerinde determinantı, bir
çarpım olarak bulunan matrislere ait yeni sonuçlar elde etmiĢlerdir. Yönlü graflarda
kesiĢmeyen
yollar
kullanılarak
Smith‟in
bulduğu
sonuçların
ispatlarını
kombinatoriyel olarak yeniden ispatlamıĢ ve genellemeler yapmıĢlardır.
Bu çalıĢmanın ikinci bölümünde aritmetik fonksiyonlara ait temel tanım ve
teoremler, kısmi sıralı kümeler, latis ve tam latis kavramları ve graf teorisi ile ilgili
çalıĢmamız için gerekli temel bilgiler verilmiĢtir.
Üçüncü bölümde GCD ve LCM matrislerinin tanımları verilmiĢ ve bu matrisler ile
ilgili yapılan çalıĢmaların amacımız yönünde olanları incelenmiĢtir.
Dördüncü bölümde yönlü graflarda kesiĢmeyen yollar kullanılarak GCD matrisleri
ile ilgili literatürdeki sonuçların kombinatoriyel olarak ispatlandığı ve genellemelerin
verildiği çalıĢmalara yer verilmiĢtir. Bu yöndeki giriĢimlerimiz ise son bölümde
tartıĢılmıĢtır.
3
2. ÖN BİLGİLER
Bu bölümde çalıĢmamızda yararlanacağımız aritmetik fonksiyonlar, kısmi sıralı
kümeler ve graf teorisi ile ilgili temel kavramlar ve teoremler kullanacağımız ölçüde
özetlenmiĢtir.
2.1. Aritmetik Fonksiyonlar
Pozitif tamsayılar için tanımlı gerçek veya kompleks değerli her f fonksiyonuna
„aritmetik fonksiyon’ veya ‘teorik sayı fonksiyonu’ denir. Aritmetik fonksiyonların
kümesini A ile gösterelim. A kümesi üzerinde tanımlı Dirichlet konvülasyonu her
n  için  f  g  n    f  d  g  n / d  ile tanımlanır. ' ' Dirichlet konvülasyonu
d |n
değiĢmeli ve birleĢmelidir. Yani her f , g  A için f  g  g  f ve her f , g , h  A
için
 f  gh 
f   g  h
dır. Ayrıca
A , Dirichlet konvülasyonuna göre
birimlidir. A nın birimi her n  için   n    1n  ile tanımlanan  özdeşlik
fonksiyonudur ve her f  A için f     f  f dır [1]. f 1  0 olmak üzere bir
f  A nın Dirichlet tersi olan g fonksiyonu
g 1 
1
1
ve g  n   
 g d  f n / d 
f 1
f 1 d |n
d n
ile verilir. G   f  A : f 1  0 kümesi ' ' Dirichlet konvülasyonu ile bir abelyen
gruptur. Bu grubun birim elemanı  özdeĢlik fonksiyonudur.
Her m, n    için  m, n   1 olmak üzere f  A fonksiyonu f  mn   f  m  f  n 
eĢitliğini sağlıyorsa f ye çarpımsal fonksiyon, eğer her m, n    için bu eĢitlik
sağlanıyorsa f ye tam çarpımsal fonksiyon denir [2].
4
Örneğin, her n  için n nin bölenlerinin sayısını veren  (n)  1 fonksiyonu, n
d |n
nin bölenlerinin toplamını veren  (n)   d fonksiyonu çarpımsal , k  ya da 
d |n
olmak üzere  k (n)  nk ile tanımlı kuvvet fonksiyonu ve  özdeĢlik fonksiyonu tam
çarpımsaldır. Burada özel olarak k  0 olması durumunda kuvvet fonksiyonu    0
ile gösterilir ve zeta fonksiyonu adını alır. Her n  için  (n)  1 dir.
Çarpımsal fonksiyonların kümesi G nin bir alt grubunu oluĢturur. ġimdi bu alt
grubun elemanları ile ilgili bazı tanım ve teoremleri verelim.
2.1. Teorem
k
Pozitif bir n tamsayısının standart biçimi n   pii ve f bir çarpımsal fonksiyon
i 1
k
 
olsun. O zaman f  n    f pii [1].
i 1
2.2. Teorem
f çarpımsal ise F  n    f  d  ile tanımlanan F fonksiyonu çarpımsaldır [2].
d |n
Sayılar teorisinin önemli araçlarından olan bazı çarpımsal aritmetik fonksiyonları
verelim.
n pozitif tamsayısını geçmeyen ve n ile aralarında asal olan pozitif tamsayıların
sayısı,  (n) ile gösterilir ve  ye Euler‟in  fonksiyonu denir.
5
2.3. Teorem
p1 , p2 ,, pk farklı asallar ve her bir ei    olmak üzere n  p1e1 ... pkek olsun. O
zaman
  n   p  p
k
ei
i
i 1
ei1
i
k

i 1


 veya   n   n 1  p1  [1].
i

2.4. Teorem
n  1 için
  d   n [2].
d |n
İspat
Ġddianın önce herhangi bir p asalı için, n tamsayısının n  p Ģeklinde bir tek asalın
kuvveti olması durumunda geçerli olduğunu gösterelim.

sembolünün tanımı ve
d |n
 1
n  1 ise   n   n 1   eĢitliğine göre
p
p|n 
   d    1    p     p       p 
2
d |n
 1  p  1  p  p  1    p 1  p  1
 p
n
bulunur. ġimdi iddianın n  1 olan her n için geçerli olduğunu tümevarımla
gösterelim. Bunun için teoremin k tane farklı asal çarpanı bulunan tamsayılar için
doğru olduğunu varsayalım ve k 1 tane farklı asal çarpanı bulunan herhangi bir N
tamsayısı göz önüne alalım. p , N nin asal çarpanlarından biri ve p da p nin N
yi bölen en büyük kuvveti olsun. Bu durumda n tamsayısının, k tane farklı asal
6
çarpanı vardır ve
tamsayısının
 p, n   1
bölenleri
d , pd , p d ,, p d 

2
olmak üzere N  p n dir. Buradan d nin n
kümesindeki
bütün
değerleri
alması
durumunda
kümesi de N nin bütün bölenlerinin kümesi olur. Böylece
iddianın n için doğru olduğunu göz önüne alarak
   d      d      pd        p 
d |N
d |n
d |n

d |n

    d  1    p     p 2       p 
d |n
    d     
 | p
d |n
 np
N
elde edilir. Tümevarım ilkesinden ispat tamamdır.
Her n  için u(n)  1 ile tanımlanan u ya birim fonksiyon denir. u nun Dirichlet
konvülasyonu iĢlemine göre tersine Möbius fonksiyonu denir. Gerçekten, Möbiüs
fonksiyonu
n 1
için
  n   1,
p1 , p2 ,, pk
farklı asallar olmak üzere
n  p1 p2 ... pk ise   n    1 ve aksi halde   n   0 ile tanımlıdır.
k
2.5. Teorem
Möbiüs fonksiyonu çarpımsaldır.
Möbiüs fonksiyonu çarpımsal olmasına rağmen tam çarpımsal değildir.
2.6. Teorem
Her n  için
7
1,
   d     n   0,

d |n
n 1
[2].
n 1
İspat
   d      d    1  1 olur.
Eğer n=1 ise tanımdan
d |n
ġimdi n  1 için
d |1
M  n      d  olsun.  çarpımsal olduğundan Teorem 2.2 gereği M
de
d |n
k
k
 
çarpımsal olur. Böylece n nin standart biçimi n   pi ise M  n    M pii
i
i 1
i 1
dır. Buna göre her i için
     d    1    p     p       p   1   1  0    0  0
M pii 

i
2
i
i
i
d | pi i
elde edilir.
2.7. Teorem (Möbius Ġnversiyon Formülü)
f herhangi bir aritmetik fonksiyon olsun. Her n  için F  n    f  d  olması
d |n
için gerek ve yeter Ģart f  n    F  d    n / d      d F  n / d  olmasıdır [1].
d |n
d |n
İspat
  d  F n / d     d  F d 
1
d1d 2  n
d |n

  d   f d 
1
d1d 2  n

2
d |d 2
  d  f d 
1
d1d |n
  f  d     d1 
d |n
d1 | dn
8
olur. Bu son eĢitlikteki f  d  nin katsayısı durumunda olan ikinci toplam d  n
dıĢında sıfırdır. O halde son eĢitlik f  n  e eĢit olur.
KarĢıt olarak Dirichlet çarpımının tanımına göre
f  n    F  d    n / d    F    n 
d |n
yazılabilir.   u 1 olduğundan ve Dirichlet çarpımının birleĢme özelliğinden
f  u   F     u  F     u   F   F
elde edilir. Bu F  n    f  d  u  n / d    f  d  olması demektir.
d |n
d |n
2.1. Sonuç
n  1 olmak üzere   n    d   n / d      d 
d |n
d |n
n
[1].
d
İspat
Her n  için
  d   n  N  n  olduğunu biliyoruz. EĢitliğe Möbius inversiyon
d |n
formülü uygulanırsa
  n   d   n / d      d 
d |n
d |n
olduğu kolayca görülür.
n
d
9
2.8. Teorem
g ve h çarpımsal fonksiyonlar ve f  g  h ise f çarpımsaldır [1].
Ġki tam çarpımsal fonksiyonun Dirichlet konvülasyonunun tam çarpımsal olması
gerekmez.
2.2. Sonuç
f  n    g  d  olsun. f fonksiyonunun çarpımsal olması için gerek ve yeter Ģart
d |n
g fonksiyonunun çarpımsal olmasıdır.
İspat
f  g  u ve g  f   olduğu dikkate alınırsa Teorem 2.8 gereği ispat açıkça
görülür.
2.3. Sonuç
Euler  fonksiyonu çarpımsaldır.
İspat
Her n  için
N ve  çarpımsal olduğundan N   Dirichlet çarpımı
Teorem 2.8 gereği çarpımsaldır.
  n   d   n / d     d 
d |n
d |n
n
  N    n 
d
eĢitliği göz önüne alınırsa Euler  fonksiyonunun çarpımsal olduğu söylenebilir.
10
Euler  fonksiyonu çarpımsal olmasına rağmen tam çarpımsal değildir.
2.2. Kısmi Sıralı Kümeler ve Latisler
Kısmi sıralı kümeler
P kümesi üzerinde bir  bağıntısı verilsin.  bağıntısı her x, y, z  P için x  x
(yansıma), x  y ve y  x iken x  y (ters simetri), x  y ve y  z iken x  z
(geçiĢme) özelliklerini sağlarsa P ye kısmi sıralı küme,  bağıntısına da kısmi
sıralama bağıntısı kısaca sıra adı verilir ve P,  Ģeklinde gösterilir. P,  kısmi
sıralı kümesinde a  b ifadesinin anlamı b  a demek değildir, a  b olmaması
demektir. P,  kümesinde x, y  P elemanları için x  y veya y  x ise x ile y
karşılaştırılabilir aksi taktirde x ile y karşılaştırılamaz denir ve x y olarak
gösterilir [4].
P kısmi sıralı küme ve Q  P olsun.
“ Q kümesi üzerinde x  y  P kümesi üzerinde x  y ”
ile Q da tanımlanan  bağıntısına indirgenmiş sıralama bağıntısı ve Q kümesine de
P kümesinin indirgenmiş alt sıralı kümesi denir [4].
P kısmi sıralı küme olsun. x, y, P için x  y veya y  x oluyorsa yani P deki
her bir iki eleman karĢılaĢtırılabiliyorsa P kümesine zincir veya tam sıralı küme
veya doğrusal sıralı küme adı verilir. Aksi halde P kümesinden aldığımız herhangi
iki eleman karĢılaĢtırılamıyorsa P kümesine anti zincir denir [4].
11
P bir sıralı küme ve x, y, P olsun. x  y iken x  z  y olacak Ģekilde z  P
yoksa y , x i kaplar veya x , y tarafından kaplanır denilir ve x  y ile gösterilir.
Örneğin ,  zincirinde m  n olması için gerek ve yeter Ģart n  m  1 olmasıdır.
2.1. Tanım
P bir sonlu kısmi sıralı küme olsun.
1) P nin her bir x elemanı için düzlemde bir nokta karĢılık getirelim ve bu noktayı
küçük bir çember ile gösterelim.
2) P deki x  y olacak Ģekilde x ve y çifti için x ve y ye karĢılık getirdiğimiz
çemberleri bir doğru parçası ile birleĢtirelim.
3) (1) ve (2) yi Ģu koĢulları sağlayacak Ģekilde gerçekleĢtirelim:
a ) x  y ise x e karĢılık gelen çember y ye karĢılık gelen çemberden daha aĢağıda
yer alsın ve
b) z  x ve z  y ise z noktasına karĢılık gelen çember; x ve y yi birleĢtiren
doğru parçasını kesmesin.
P için (1)  (3) koĢullarını sağlayan diyagrama P nin Hasse diyagramı denir[4].
Örnek
D  1, 2,3, 4, 6,8,9,12,18, 24 kümesi bölünebilme bağıntısı ile bir kısmi sıralı
kümedir. Bu kısmi sıralı kümenin Hasse diyagramı
24
18
12
6
8
4
9
3
2
1
ġekil 2.1. D,| nin Hasse Diyagramı
12
P bir kısmi sıralı küme olsun. Her x  P için y  x olacak Ģekilde bir y  P varsa
y elemanına P nin tabanı denir ve  ile gösterilir. Her x  P için x  z olacak
Ģekilde bir z  P varsa z ye P nin tavanı denir ve  ile gösterilir. Sonlu bir zincir
taban ve tavana sahiptir. Fakat sonsuz bir zincir tavan ve tabana sahip olmayabilir.
Örneğin  zincirinin tabanı 1 dir fakat tavanı yoktur. Elemanı birden fazla olan bir
antizincirde  ve  yoktur. Aksine tek elemana sahip bir antizincirde  ve 
vardır. P de taban varsa tektir. Benzer Ģekilde P de tavan varsa tektir.
P bir kısmi sıralı küme ve Q  P olsun. a  x ve x  Q iken a  x Ģartını sağlayan
a  Q ya Q nun maksimal elemanı denir. Q nun maksimal elemanlarının kümesi
MaxQ ile gösterilir. Eğer Q ( P den indirgenen sıralama ile) bir tavana sahipse
Max Q  Q  . Bu durumda Q ya Q nun en büyük elemanı denir ve Q  max Q .
Bir kısmi sıralı kümede minimal eleman ve en küçük eleman benzer biçimde
tanımlanır.
Latisler ve tam latisler
P sıralı kümesinin bir çok özelliği P nin alt kümelerinin üst ve alt sınırlarının
varlığı cinsinden ifade edilir. Sıralı kümelerin bu Ģekilde tanımlanan iki önemli sınıfı
latis ve tam latislerdir.
 de kapalı ve sınırlı bir  aralığının en küçük üst sınıra (supremum) ve en büyük
alt sınıra (infimum) sahip olması, reel sayıların temel özelliklerinden birisidir. Bu
ifade herhangi bir sıralı küme için de geçerlidir.
P kısmi sıralı bir küme ve S  P olsun. Her s  S için s  x olacak Ģekildeki
x  P elemanına S kümesinin bir üst sınırı, benzer Ģekilde her s  S için y  s
olacak Ģekildeki y  P elemanına S kümesinin bir alt sınırı denir. S nin tüm üst
sınırlarının kümesi S u ile gösterilir ve açıkça S u   x  P :s  S için s  x . S nin
tüm alt sınırlarının kümesi S  ile gösterilir ve açıkça S    x  P :s  S için s  x .
13
S u kümesinin bir en küçük elemanı varsa bu elemana S kümesinin en küçük üst
sınırı (eküs S ), S  kümesinin bir en büyük elemanı varsa bu elemana S kümesinin
en büyük alt sınırı (ebas S ) denir. S nin en küçük üst sınırına supremum benzer
Ģekilde S nin en büyük alt sınırına infimum da denilir. S  P olduğu durumda P nin
tavanı varsa sup P   , aksi halde P nin supremumu yoktur. Benzer Ģekilde P nin
tabanı varsa inf P  aksi halde P nin infimumu yoktur. P   ise S u  u  P
ve P nin tabanı vardır ancak ve ancak sup  dır. S     P ve P nin tavanı
vardır ancak ve ancak inf    dır.
ġimdi latis ve tam latisi tanımlamadan önce bazı notasyonlarımızı verelim.
Eğer varsa sup  x, y yerine x  y notasyonu kullanılır ve x join y olarak okunur.
Aynı Ģekilde varsa inf  x, y yerine x  y notasyonu kullanılır ve x meet y olarak
okunur. Ayrıca S kümesinin supremum ve infimumu varsa sup S yerine  S , inf S
yerine S notasyonu kullanılır [4].
2.2. Tanım
P boĢtan farklı kısmi sıralı bir küme olsun
(i ) Her x, y  P için x  y ve x  y mevcut ise P kümesine latis,
(ii) Her S  P için  S ve S mevcut ise P kümesine tam latis
denir [4].
2.3. Tanım
L kümesi bir latis ve M , L nin boĢtan farklı bir alt kümesi olsun. Eğer a, b  M
için a  b  M ve a  b  M ise M kümesine L kümesinin bir alt latisi denir [4].
14
2.4. Tanım
S , P kısmi sıralı kümesinin alt kümesi olsun. a  S ve P de b  a iken b  S
oluyorsa S kümesine alt-kapalı denir [4].
2.5. Tanım
L kümesi bir kısmi sıralı küme olsun. Her a, b  L için a  b mevcut ise L
kümesine meet yarı latis denir. BoĢtan farklı bir S  L kümesi verilsin. Eğer her
a, b  S için a  b  S oluyorsa S kümesine meet-kapalı denir[4].
Benzer Ģekilde L kümesi bir kısmi sıralı küme olsun. Her a, b  L için a  b mevcut
ise L kümesine join yarı latis denir. BoĢtan farklı bir S  L kümesi verilsin. Eğer
her a, b  S için a  b  S oluyorsa S kümesine join-kapalı denir[4].
Örnek
12 nin pozitif tamsayı bölenleri, bölünebilme bağıntısı ile bir latistir.
12
4
6
3
2
1
ġekil 2.2 B12 ,| nin Hasse diyagramı

adi sıralama ile bir latistir ancak bir tam latis değildir. Gerçekten
S   x   : x 2  5 kümesi için S ve  S yoktur.
15
2.3. Graf Teorisi
Graf teorisinin uygulamaları karmaĢık ve geniĢ kapsamlı birçok problemin
çözümünde kullanılmaktadır. Bu bölümde yalnızca çalıĢmamızda kullanacağımız
graflarla ilgili temel araçlardan bahsedilecektir.
2.6. Tanım
Ayrık V   ve E kümesi verilsin. Bir G grafı; V , E kümeleri ve E nin her bir
elemanını V nin farklı olmaları gerekmeyen bir eleman çifti ile eĢleyen bir 
incidence fonksiyonunun oluĢturduğu G(V , E, )
üçlüsüdür. Burada V
nin
elemanlarına G nin köşeleri ya da noktaları ve E nin elemanlarına G nin kenarları
denir[5]. Kısalık için çoğu kez
G(V , E, )
yerine
G(V , E)
kullanacağız. Birden fazla graf olması durumunda G grafını
notasyonunu
V (G), E (G) 
ile
göstereceğiz.
Örnek
V (G )  v1 , v2 , v3 , v4 , v5  ,
E (G)  e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 
 G (e2 )  v2v3 ,
 G (e1 )  v1v2 ,
 G (e3 )  v3v3 ,
ve
 G (e4 )  v3v4 ,
G
fonksiyonu
 G (e5 )  v2v4 ,
 G (e6 )  v4v5 ,  G (e7 )  v2v5 ,  G (e8 )  v2v5 olsun. G  (V (G), E (G), G ) grafı
e3
e2
v2
v3
e4
e1
e5
v4
e7
e8
e6
v5
ġekil 2.3. G grafı
v1
16
Ģeklindedir. Bir grafın çiziminde tek bir yol yoktur. Önemli olan grafın noktaları ile
kenarları arasındaki bağlantılardır.
Bir grafta iki köĢe; bir kenar ile bağlı ise komşu, bir kenar aynı nokta ile bağlı ise bu
kenara döngü, farklı iki nokta ile bağlı ise bu kenara link denilir [5].
Graflar, V ve E kümelerinin çeĢitli özelliklerine göre sınıflandırılırlar. V ve E
sonlu ise G ye sonlu graf; bir tek noktadan oluĢan grafa trivial graf, kenarları sadece
köĢelerde kesiĢen graflara düzlemsel graf, her bir kenarı sıralı nokta çifti ile
iliĢkilendirilmiĢ ve her kenarı yönlü olan grafa da yönlü graf denilmektedir. Bunun
yanı sıra, herhangi iki köĢesi en fazla bir link ile bağlı olan döngüsüz grafa, basit
graf; basit grafta her bir nokta çiftinin bir kenarla bağlantılı olduğu grafa tam graf ve
her bir kenarının bir ucu X de diğer ucu Y de olmak üzere nokta kümesini X ve Y
Ģeklinde iki parçaya ayırabildiğimiz graflara da iki parçalı graf adı verilmektedir [5].
1
2
3
3
4
4
6
6
ġekil 2.4. Ġki parçalı graf
Yollar
2.7. Tanım
Terimleri sıralı noktalar ve kenarlardan oluĢan boĢ olmayan bir sonlu
W  v0e1v1e2v2 ek vk dizisi verilsin. 1  i  k için uç noktaları vi 1 ve vi olmak üzere
W ye (vo , vk ) yürüyüşü (walk) denir [5].
17
2.8. Tanım
Eğer W yürüyüĢünde e1 , e2 ,..., ek kenarları farklı ise W yürüyüĢü patika (trail),
kenarlara ek olarak v0 , v1 ,..., vk noktaları da farklı ise W yürüyüĢü, yol (path) olarak
adlandırılır[5].
Bir yürüyüĢün baĢlangıç ve bitiĢi aynı noktadan oluĢuyorsa kapalıdır. En az bir link
içeren basit kapalı bir yol devir olarak adlandırılır.
Bir grafın her bir kenarı ağırlık olarak adlandırılan w(e) reel sayısı ile eĢleĢtirildiği
takdirde bu grafa, ağırlıklı graf denir.
Sonlu, devirsiz bir G(V , E) yönlü grafı verilsin. Bu grafta herhangi bir A ve B
nokta çifti arasında sonlu bir çok yol olsun. A dan A ya olan yolların uzunluğu sıfır
kabul edilsin ve her bir e kenarı w(e) ağırlığı ile eĢleĢtirilsin. A dan B ye olan
yönlü yollar P olup kısaca P : A  B ile gösterilsin. Bu durumda P nin ağırlığı
w( P)   w(e) olarak tanımlanır.
eP
18
3. GCD ve LCM MATRİSLERİ
S   x1 , x2 ,, xn  elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme ve x1  x2    xn
olsun. ( xi , x j ) ve [ xi , x j ] sırasıyla xi ile x j tamsayılarının en büyük ortak böleni ve
en küçük ortak katını göstersin. n  n tipinde  S    ( xi , x j )  matrisine S kümesi
üzerinde en büyük ortak bölen (Greatest Common Divisor, GCD) matrisi denir.
Benzer biçimde  S   [ xi , x j ] matrisine S kümesi üzerinde en küçük ortak kat
(Least Common Multiply, LCM) matrisi denir[6]. Bu bölümde GCD ve LCM
matrisleri ve bu matrisler ile ilgili yapılan çalıĢmaları ele alacağız.
Smith (1876), S kümesinin çarpan kapalı olması durumunda
 S    ( xi , x j ) 
matrisinin determinantının   x1    x2   xn  olduğunu göstermiĢtir. 1989 da
Beslin ve Ligh  S    ( xi , x j )  matrisini, GCD matrisi olarak adlandırarak konuyu
yeniden baĢlatmıĢlardır. Beslin ve Ligh GCD matrislerinin pozitif tanımlı olduğunu
ve bu matrislerin özel bir matris ile onun transpozunun çarpımı Ģeklinde
yazılabileceğini göstermiĢlerdir.
S , elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun. Eğer S kümesinin her
elemanının pozitif bölenleri yine S nin elemanları ise S ye çarpan kapalıdır
(Factor Closed, çarpan kapalı) denir [6]. Eğer 1  i, j  n için ( xi , x j )  S ise S ye
gcd-kapalı denir. Her çarpan kapalı küme gcd-kapalıdır fakat bunun karĢıtı doğru
değildir [7].
Bundan sonra aksi belirtilmediği sürece S kümesi olarak elemanları pozitif
tamsayılar olan  x1 , x2 ,, xn  kümesi anlaĢılacaktır.
19
3.1. Teorem
S   x1 , x2 ,, xn  ve D  d1 , d 2 ,, d m  , S yi kapsayan çarpan kapalı bir küme
olsun. S üzerinde tanımlanan GCD matrisi, n  m tipindeki bir A matrisi ile A nın
transpozunun çarpımı Ģeklindedir [6].
İspat
D  d1 , d 2 ,, d m  , S yi kapsayan çarpan kapalı bir küme olsun.  j    d j  ve
1, d j | xi
eij  
0, aksi halde
1
olmak üzere elemanları aij  eij   j  2 olan n  m tipindeki A matrisi verilsin. Bu
durumda
m
( AAT )ij   aik a jk
k 1


 (d k )  (d k )
d k | xi
dk |x j


 (d k )
d k |( xi , x j )
 ( xi , x j )
 sij .
O halde  S   AAT .
Diğer yandan E   eij  ve   diag   d1  ,   d 2  ,,   d m   olsun. E
n m
tipinden bir (0-1) matrisi ve  m m tipinden bir köĢegen matristir. Bu yeni
gösterimlerle Teorem 3.1 den ( S ) matrisinin ( S )  E E T Ģeklinde yazılabileceği
20
görülür. ġimdi Smith, Belsin ve Ligh tarafından verilen sonuçları kolayca elde
edebiliriz.
3.2. Teorem
S   x1 , x2 ,, xn  kümesi üzerinde tanımlanan bir GCD matrisi pozitif tanımlıdır[6].
3.1. Sonuç
S   x1 , x2 ,, xn  kümesi çarpan kapalı ise det  S     x1    x2   xn  [6].
İspat
S kümesi çarpan kapalı ise  S   E E T olarak yazılabilir. E bir birim alt üçgen
matris ve  bir köĢegen matris olduğundan
det  S   det  E E T 
 det  E  det    det  E T 
   x1    x2   xn 
elde edilir.
Beslin ve Ligh gcd-kapalı kümeler üzerinde tanımlı olan GCD matrislerinin
determinantını hesaplayarak Smith‟in bulduğu sonucu genellemiĢlerdir.
3.1. Önerme
S   x1 , x2 ,, xn  gcd-kapalı bir küme ve x1  x2    xn olsun. Her i, j  1, 2,, n
için
21
Cij 
   (d )
xk |( xi , x j ) d | xk
d | xt
t k
ise Cij  ( xi , x j ) dir[8].
İspat
Teorem 2.4. ten ( xi , x j ) 

 (e) olduğu açıktır. xk | ( xi , x j ) ve d | xk olsun.
e|( xi , x j )
Buradan açıkça d | ( xi , x j ) olup öyleyse Cij yi tanımlayan toplamlardaki her bir d ,
( xi , x j ) yi tanımlayan toplamdaki bir e dir. Diğer yandan e | ( xi , x j ) olsun. S gcd-
kapalı olduğundan ( xi , x j )  S . Yani ( xi , x j )  xm olacak Ģekilde bir xm  S vardır.
x1  x2    xn olduğundan m  min i, j . Açıkça d | xm . Ayrıca k  m ve e | xk
olacak Ģekildeki en küçük indis k olsun. Buradan t  k için d | xt .
( xk , xi )  xr olsun. Burada r  k olduğu açıktır. Diğer yandan e | xk ve e | xi
olduğundan e | xr . r  k olması, k nın seçiliĢi ile çeliĢir. Çünkü k indisi, e | xk
olacak Ģekildeki en küçük indisti. O halde r  k olmak zorundadır. Buradan xr  xk
ve xk | xi . Benzer Ģekilde xk | x j olduğu da gösterilebilir. Bu yüzden xk | ( xi , x j ) . Bu
ispatı tamamlar.
3.3. Teorem
S   x1 , x2 ,, xn  gcd-kapalı bir küme ve x1  x2    xn olsun. ( S ) GCD matrisi
bir alt üçgen matris ve bir birim üst üçgen matrisin çarpımıdır. i  1, 2,, n için
 ii    (d )
d | xi
d | xt
t i
22
olmak üzere det(S )  11 22  nn [8].
İspat
Her i, j  1, 2,, n için
   (d ),
x j | xi
 d | x j
aij   d | xt
 t j
 0,
aksi halde
olmak üzere A  (aij ) matrisini ele alalım. A nın transpozuna karĢılık gelen B  (bij )
matrisinin elemanları AT nun (i, j) elemanı sıfır ise bij  0 , aksi halde bij  1 olacak
Ģekilde tanımlansın. O halde
n
( AB)ij   aik bkj 
k 1
a
ik
.
xk | xi
xk | x j
Bu eĢitlik Cij toplamında bulunduğundan ( AB)ij  ( xi , x j ) . A bir alt üçgen ve B bir
birim üst üçgen matris olduğundan det( B)  1. Bu nedenle
det(S )  det( A)  11 22  nn .
GCD matrisleri pozitif tanımlı olduğundan eğer S birbirinden farklı pozitif
tamsayılardan oluĢan bir küme ise det  S   x1 x2  xn dir [7]. GCD matrislerinin
determinantı için elde edilen bu üst sınır Li tarafından
  x1  .  x2   xn   det  S   x1 x2  xn  n ! 2
23
olarak geliĢtirilmiĢtir [9]. Bu sonuçlardan birbirinden farklı pozitif tamsayıların
oluĢturduğu herhangi bir S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin tersinir
olduğu söylenebilir.
3.4. Teorem
S   x1 , x2 ,, xn  elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun. Eğer S çarpan
kapalı ise S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisinin tersi
aij 
1
  x  x
k
xi | xk
/ xi    xk / x j 
k
x j | xk
olmak üzere A   aij  matrisidir [7].
İspat
n  n tipindeki E   eij  matrisi Teorem 3.1 deki gibi olsun, U   uij  matrisi
   xi / x j  ,
x j | xi
uij  
0,
aksi halde

Ģeklinde tanımlansın. Bu durumda
24
n
 EU ij   eik ukj
k 1

  x
k
/ xj 
x j | xk
xk | xi
  x 

k
xk | xi / x j
x j  xi
1,

0, aksi halde.
Bu nedenle U  E 1 .
 S   E E T
ve   diag   x1  ,   x2  ,,   xn   olduğu
dikkate alınırsa  S   U T  1U   aij  olup
1
n
1
uki ukj
k 1   xk 
aij  

1
  x  x
k
xi | xk
x j | xk
/ xi    xk / x j .
k
Örnek
S  1, 2,3, 6 olsun. S kümesi üzerinde tanımlanan GCD matrisi
1

1
 S   
1

1
1 1 1

2 1 2
1 3 3

2 3 6
olup  S    aij  denirse Teorem 3.4 den
1
a11 
1
1
1
1
1
1
3



 3 , a22 


 1   2    3   6 
  2   6 2
25
a21  
1
1
3
1
1

  , a33 

1
  2   6
2
  3   6 
a31  
1
1
1
1

 1 , a44 

  3   6 
  6 2
a41 
1
1
1
1
 , a42  

  6 2
  6
2
a43  
1
1
1
1
  , a32 

  6
2
  6 2
bulunur ve  S  simetrik olduğundan
1
3 / 2
1
1/ 2 
 3
 3 / 2 3 / 2 1/ 2 1/ 2 
1
.
 S   
1
1/ 2
1
1/ 2 


 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 
Eğer S gcd-kapalı ise  S  GCD matrisinin tersi;
aij 

xi | xk
x j | xk
cik c jk
bk
, bi 
   d  ve c
ij

d | xi
d | xt
xt  xi
  d 
dxi | x j
dxi  xt
xt  x j
olmak üzere A   aij  matrisidir [7].
Smith çarpan kapalı küme üzerinde tanımlanan LCM matrisinin determinantının
  x1    x2   xn    x1    x2   xn 
26
olduğunu göstermiĢtir [7]. Buradaki  fonksiyonu, p r asalı için   p r    p
Ģeklinde tanımlanan çarpımsal bir fonksiyondur. Bu nedenle çarpan kapalı bir küme
üzerinde tanımlanan LCM matrisi tersinirdir. Fakat LCM matrisinin temel minörleri
her zaman negatif olduğundan genelde pozitif tanımlı değildir. Herhangi bir LCM
matrisi tersinir olmayabilir. Örneğin S  1, 2,15, 42 ise det  S   0 dır.
Ayrıca
S
kümesi
gcd-kapalı
olduğunda
i 
 g (d )
olmak
üzere
d | xi
d | xt
xt  xi
n
det  S    xi 2 i [7].
i 1
3.5. Teorem
g fonksiyonu her m  için
g  m 
  m  m
1
d  d  

m d |m
m2
ile verilsin ve S   x1 , x2 ,, xn  olsun. Eğer S kümesi çarpan kapalı ise  S  LCM
matrisinin tersi;
bij 
1
xi x j
1
 g x   x
k
xi | xk
/ xi    xk / x j 
k
x j | xk
olmak üzere B   bij  matrisidir [7].
27
Örnek
S  1, 2,3, 6 olsun. Bu durumda
1
2
 S   
3

6
2 3 6
2 6 6 
6 3 6

6 6 6
ve Teorem 3.5 kullanılarak  S  matrisinin tersinin
1/ 2 
 1/ 2 1/ 2 1/ 2
 1/ 2
1/ 4
1/ 2 1/ 4 
1

S   
1/ 2
1/ 2
1/ 6 1/ 6 


1/ 2 
 1/ 2 1/ 4 1/ 6
olduğu görülür.
Smith‟in elde ettiği sonuçlardan, eğer S çarpan kapalı ise S kümesi üzerinde tanımlı
S 
GCD matrisinin
S 
LCM matrisini böldüğü elde edilmiĢtir [7]. ġimdi S
kümesi çarpan kapalı ve n  olmak üzere M n    halkasının elemanı olan  S 
matrisinin bir çarpanının  S  matrisi olduğu gösterilecektir. Öncesinde bu sonucun
ispatı için aĢağıdaki lemma verilecektir.
3.1.Lemma
m, r    ve t  r /  m, r  olsun. pi ler farklı asallar olmak üzere m  p11 p22  pk k
ise
28

 0,
  m, r     d , r    m / d   
d |m

t  m  ,
pii | r 1  i  k
aksi halde.
[7].
İspat
d
  m / d  Ģeklinde tanımlanan çarpımsal
d |m  d , r 
Eğer f , her m  için f  m   
bir fonksiyon ise   m, r   rf  m  . Diğer yandan p    1 asalı için
 0,
p | r

p
p

f  p   
  1
    p 
 p , r   p , r   p , r , aksi halde




 1
olup bu nedenle 1  i  k için pii | r ise f  m   0 , aksi halde   m  /  m, r  dir.
3.6. Teorem
S   x1 , x2 ,, xn  olsun. Eğer S kümesi çarpan kapalı ise  S  matrisi, bir tamsayı
elemanlı bir matris ile  S  matrisinin çarpımına eĢittir [7].
İspat
B   bij  matrisi elemanları
bij 
  x   x
1
k
x j | xk
k
/ x j    d , xi    xk / d 
d | xk
29
olan n  n tipindeki kare matris olsun. Lemma 3.1 den her bir bij bir tamsayıdır.
Gerçekten

 0,

t  xk  ,
  xk , xi     d , xi    xk / d   
d | xk
pii | xi 1  i  k
aksi halde
olduğu dikkate alınırsa

0,
1

bij  
  xk / x j   xk , xi    t  x / x ,
 k j
x j | xk   xk 
 x
 j | xk
pii | xi 1  i  k
aksi halde
eĢitliğinden her bir bij nin tamsayı olduğu görülür.  S   B  S  olduğunu göstermek
istiyoruz. Teorem 3.4 ü kullanarak
 S   S  
1
  xk / xm    xk / x j 
xm | xk   xk 
n
   xi , xm  
1
ij
m 1
x j | xk

  x   x
1
k
x j | xk
k
/ x j    d , xi    xk / d .
d | xk
buluruz. Bu nedenle  S   B  S  . Diğer yandan  S  ve  S  simetrik olduğundan
S    S  B .
Burada S kümesinin çarpan kapalı olmaması durumunda Teorem 3.6 nın iddiasının
her zaman geçerli olmayacağını vurgulamalıyız. Örneğin,
 2 1 1
 2 6 10 




S  2,3,5 ise  S    1 3 1  ,  S    6 3 15  olup
 1 1 5
 10 15 5 




30
S 
1
 7 /11 2 /11 1/11 


  2 /11 9 / 22  1/ 22  ve
 1/11 1/ 22 5 / 22 


 S   S  
1

11
8
.
11
ġimdi S kümesi üzerinde tanımlı GCD matrisleri ile benzer özellikler gösteren bir
matris tanımlayalım.
C s aritmetik foksiyonların bir sınıfı olmak üzere
 f ( x , x )  : f  C 
GCD matrisleri ile benzer özellikler gösterir [10]. Burada
i
j
s
matrisleri
 f ( x , x )  , elemanları
i
j
xi
ile x j nin en büyük ortak böleninin f altındaki görüntüsünden oluĢan n  n
tipindeki matristir. Benzer olarak
 f [ x , x ]
i
j
ise elemanları xi ile x j nin en küçük
ortak katının f altındaki görüntüsünden oluĢan n  n tipindeki matristir [10].
S   x1 , x2 ,, xn  elemanları pozitif tamsayılar olan bir küme olsun ve aritmetik
fonksiyonların Cs   f : x  S , d | x ve ( f   )(d )  0 sınıfını ele alalım [10].
Gerçekten f  Cs ise her x  S için f ( x)   f   (d )  0 .
d |x
3.7. Teorem
S kümesi pozitif tamsayıların bir kümesi ve f  Cs ise
(i)  f ( xi , x j )  pozitif tanımlıdır.
(ii) ( f   )( x1 )( f   )( x2 ) ( f   )( xn )  det  f ( xi , x j )   f ( x1 ) f ( x2 )  f ( xn )
(iii) S çarpan kapalı ise det  f ( xi , x j )   ( f   )( x1 )( f   )( x2 )  ( f   )( xn ) [10].
31
3.2. Sonuç
S   x1 , x2 ,, xn 
 f (x , x )
i
aij 
1
j
kümesi çarpan kapalı ve
xS
için
( f   )( x)  0
ise
  aij  öyle ki
1
 ( f   )( x )  ( x
k
xi | xk
/ xi )  ( xk / x j ) [10].
k
x j | xk
f aritmetik fonksiyon olmak üzere
1
aritmetik fonksiyonu
f
f ( m)  0
 0,
1
( m)   1
f
 f ( m ) , aksi halde
olarak verilsin.
3.8. Teorem
f çarpımsal bir fonksiyon, S   x1 , x2 ,..., xn  kümesi çarpan kapalı ve x  S için
f ( x)    0 ise
n
1

(i) det  f [ xi , x j ]  [ f ( xi )]2    ( xi );
i 1
f

(ii) Eğer det  f [ xi , x j ]  0 ise  f [ xi , x j ]   aij  öyle ki
1
1
 1


1
aij 
    ( xk )   ( xk / xi )  ( xk / x j ) ;

f ( xi ) f ( x j ) xi |xk  f


x j | xk
32
(iii) Eğer
1
 Cs ise  f [ xi , x j ] pozitif tanımlıdır ve
f
det  f [ xi , x j ]  f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) [10].
İspat
g
1
ve E  diag  f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn )  olsun. Herhangi bir m ve n pozitif
f
tamsayıları için f çarpımsal bir fonksiyon ise f [m, n] f  (m, n)   f (m) f (n) .
 f [ x , x ]  E  g ( x , x )  E
Bu nedenle
i
j
i
T
j
yazılabilir. O halde Teorem 3.7 (iii) ve
Sonuç 3.2  g ( xi , x j )  matrisine uygulanırsa (i ) ve (ii) elde edilmiĢ olur. Teorem 3.7
(ii) den eğer g  Cs ise
 g ( x , x )   AA
T
i
j
 g(x , x )
i
j
matrisi pozitif tanımlıdır. Bu nedenle
olacak Ģekilde A tersinir matrisi vardır.
x  S için f ( x)  0 ve
 f [ x , x ]  [ AE ] [ AE ]
T
i
j
olup
1
 Cs olduğundan her
f
 f [ x , x ]
i
j
tanımlıdır.
3.9. Teorem
f çarpımsal ve
1
   Cs ise
f
(i)  f [ xi , x j ] pozitif tanımlıdır.
n
(ii)
[ f ( x )]
2
i 1
i
1

    ( xi )  det  f [ xi , x j ]  f ( x1 ) f ( x2 )  f ( xn )
f

n
1

(iii) det  f [ xi , x j ]  [ f ( xi )]2     ( xi )  S çarpan kapalıdır.
i 1
f

matrisi pozitif
33
3.2. Lemma
m ve r pozitif tamsayılar ve f , r nin herhangi bir d böleni için f (d )  0 olacak
Ģekildeki bir çarpımsal fonksiyon olsun. Eğer t  r / (r, m) ve pi ler birbirinden
farklı asallar olmak üzere m  p11 p22  pk k ise

d |m

0,
pii | r
f [d , r ]  (m / d )  
 f (t )( f   )(m), aksihalde
[10].
3.10. Teorem
S , çarpan kapalı ve f çarpımsal olsun. Her x  S için ( f   )( x) sıfırdan farklı bir
tamsayı ise
 f [ x , x ]  A  f ( x , x ) 
i
j
i
j
olacak Ģekilde bir tamsayı elemanlı A  (aij )
matrisi vardır öyle ki
aij 
 ( f   )( x )
1
k
x j | xk
 ( xk / x j ) f [d , xi ]  ( xk / d ) [11].
d | xk
Ayrıca K. Bourque ve S. Ligh S kümesi çarpan kapalı olduğu zaman f tam
çarpımsal fonksiyon ise
 f [ x , x ]
i
j
matrisinin tersini  ,
f 
ve
f 
fonksiyonları cinsinden hesaplamıĢlardır. Burada  ve  çarpımsal fonksiyonları p r
asalı için  ( p r )  1 ve  ( p r )  p olup f tam çarpımsal ise her m  için
f (m)( f  )(m)   (m)( f   )(m)( f   )(m) [10].
Apostol,
 (m, r ) 
f

d |( m, r )
ve
g
aritmetik
fonksiyon
olmak
üzere
m, r   
için
f (d ) g (r / d ) Ģeklinde tanımlanan   (i, j )  matrisinin determinantını,
34
det   (i, j )   [ g (1)]n f (1) f (2) f (n)
olarak hesaplayarak, f aritmetik fonksiyonu için f  (r )   f (d ) olmak üzere
d |r
A   f  (m, k )  matrisinin determinantının
det A  f (1) f (2) f (n)
olduğunu gösteren Smith‟in bu sonucunu geniĢletmiĢtir [12]. Ayrıca
 (m, r ) 

f (d ) g (r / d )
toplamında
f ( n)  n
ve
g
seçerek
d |( m, r )
det   (i, j )   det  C (i, j )   n !
C (m, r ) 

olduğunu
göstermiĢtir
ki
burada
d  (r / d ) Ramanujan toplamıdır.
d |( m, r )
Bourque ve Ligh, Apostol ve Smith‟in yaptığı bu çalıĢmalardan yola çıkarak
  (i, j ) 
matrislerinin yapısı ve terslerine dair yeni sonuçlar elde etmiĢlerdir.
m pozitif tamsayı olmadığı taktirde sıfıra eĢit olan f (m) , g (m) ve h(m) aritmetik
fonksiyonlarının Dirichlet tersi sırasıyla f ' , g ' , ve h ' olarak verilsin. Her m, r   
için  (m, r ) 

f (d ) g (m / d )h(r / d ) olsun. Burada her d için g  u (d )  1
d |( m,r )
olarak alınırsa  (m, r ) nin Ramanujan toplamı ve m  r alındığı taktirde ise  (m, r )
nin  (m, m)  ( f  h)(m) olduğu görülür.
3.3. Lemma
T   y1 , y2 ,, ym 
 ( x , x )   GH
i
j
S
T
kümesini
içeren
çarpan
kapalı
bir
küme
ise
. Burada G ve H , G   g ( xi / y j )  , H   h( xi / y j )  biçiminde
tanımlı n  m tipinde matrisler ve   diag ( f ( y1 ), f ( y2 ),, f ( ym )) [11].
35
İspat
GH T çarpımı hesaplandığı taktirde  ( xi , x j )  GH T olduğu kolayca görülür.
3.4. Lemma
1
S çarpan kapalı bir küme ise  f ( xi / x j )    f '( xi / x j )  [11].
İspat
 f ( x / x )  ve  f '( x / x ) 
i
j
i
m
 f ( x / x ) f '( x
i
k 1
k
k
j
matrislerinin çarpımı hesaplanırsa
xi  x j
1,
/ x j )   f '(d ) f ( xi / x j d )  
.
x
0, aksi halde

d | xi
j
3.11. Teorem
S çarpan kapalı bir küme ise
(i) det  ( xi , x j )   [ g (1)h(1)]n f ( x1 ) f ( x2 )  f ( xn ) ;
(ii) det  ( xi , x j )   0 ise  ( xi , x j )   (aij ) öyle ki
1
aij 
1
h '( xk / xi ) g '( xk / x j ) .
f ( xk )

xi | xk
x j | xk
İspat
 ( x , x )   GH
i
j
T
ve G ve H nin köĢegenleri g (1) , h(1) olan üçgen matris ve 
diyagonal matris olduğundan (i ) sağlanır.
36
det  ( xi , x j )   0 ise  ( xi , x j )   (GH T ) 1 olup Lemma 3.4 den (ii) eĢitliği
1
görülür.
Teoremde h  u(d )  1 olarak alınırsa h '   olup
det  ( xi , x j )   det   ( xi , x j )   [ g (1)]n f ( x1 ) f ( x2 )  f ( xn ) ve det   ( xi , x j )   0 ise
  (x , x )
i
aij 
1
j

xi | xk
 (aij ) öyle ki
1
 ( xk / xi ) g '( xk / x j ) [11].
f ( xk )
x j | xk
3.3. Sonuç
S   x1 , x2 ,, xn  , çarpan kapalı bir küme ise
(i) det  C ( xi , x j )   x1 x2  xn ;
(ii) aij 
1
x
xi | xk
 ( xk / x j ) olmak üzere  C ( xi , x j )    aij  [11].
1
k
x j | xk
İspat
Her d için f (d )  d , g  u ve h   alınırsa   C ve Teorem 3 11 den (i ) ve
(ii) nin sağlandığı görülür.
37
4. GCD MATRİSLERİ ve KESİŞMEYEN YOLLAR
Bu bölümde yönlü graflarda kesiĢmeyen yollar kullanılarak literatürdeki GCD
matrisleri ile ilgili sonuçların kombinatoriyel olarak yeniden elde edildiği çalıĢmaları
ele alacağız.
Bu bölümde aksi belirtilmedikçe sonlu ve yönlü graf yerine sadece graf ifadesi
kullanılacaktır. KöĢeleri V kümesi ve kenarları A kümesi olan D grafı verilsin. R
değiĢmeli ve birimli bir halka olmak üzere ağırlık fonksiyonu  : A  R olsun.
k
p : v0v1 vk
yönlü
yoluna
 ( p)    (vi 1vi )
ağırlığı
atansın.
Ayrıca
i 1
(v0 , vk )  ( p) olsun. Burada toplam, v0 dan vk ya olan bütün yollar üzerinden
p
alınmaktadır.
V noktalar kümesi V '  v1' , , vn '  ve V ''  v1'' , , vn ''  biçiminde iki kümeye
ayrılsın. 1  i  n olmak üzere her i için pi ler vi ' den vi '' ye yollar olmak üzere
n
  ( p1 ,, pn ) sıralı n  lisini ele alalım.  nin ağırlığı  ( )    ( pi ) ve
i 1
(V ',V '')  ( ) olarak atansın. Burada toplam, sıralı n  lide herhangi ikisi

kesiĢmeyen bütün  ler üzerinden alınmaktadır.
Son olarak S n simetrik grubunda bir g permütasyonu verilsin,  g  ( p1 ,, pn ) ; her
bir i için pi ; vi den vg (i ) ye gidecek Ģekilde yönlü yolların bir sıralı n  lisi olarak
tanımlansın. Öyleyse bir önceki paragrafta ele alınan sıralı n  liler için e birim
permütasyon olmak üzere g  e olacaktır.  g deki herhangi bir yol çifti kesiĢiyor ise
 g ye kesiĢiyor aksi halde kesiĢmiyor denilmektedir[14].
38
4.1. Lemma
D , nokta kümesi V '  v1' , , vn '  ve V ''  v1'' , , vn ''  biçiminde iki kümeye
ayrılmıĢ bir graf olsun öyle ki eğer g  e ise  g kesiĢiyor olsun. dij   (vi ' , v j '' )
olmak üzere ( D)  (dij ) matrisi için det( D)  (V ',V '') [13].
P kısmi sıralı bir küme ve ( P, R) , R üzerinde a  b olmadığı durumda
F (a, b)  0 olarak tanımlanan F : P  P  R biçimindeki bütün F fonksiyonlarının
oluĢturduğu P nin incidence cebiri olsun. ( P, R) nin birim elemanı
ab
1,
0, aksi halde
 ( a, b)  
Kronecker delta fonksiyonudur. ( P, R) cebirinin
ab
1,
0, aksi halde
 ( a, b)  
Ģeklinde tanımlı zeta fonksiyonunun tersine ( P, R) nin Möbius fonksiyonu denir ve
 ile gösterilir. Diğer bir ifadeyle  Möbius fonksiyonu ( P, R) de
  (a, c)   (c, b)   (a, b)
a c b
a c b
eĢitliğini sağlayan tek fonksiyondur.
4.1. Teorem
P bir sonlu kısmi sıralı küme ve F , G ( P, R) olsun. Bu durumda elemanları
39
pab   F (c, a)G(c, b) olan ( P ) FG matrisinin determinantı
cP
det( P)FG   F (a, a)G(a, a) [14].
aP
İspat
Öncelikle D grafı oluĢturulsun. D nin köĢeleri için P nin elemanlarının P ' , P '' ve
P ''' Ģeklinde tanımlanan üç kopyası alınsın. Sonra P de c  a olacak Ģekildeki
elemanlardan a '  P ' den c '''  P ''' ye bir kenar ve benzer Ģekilde c  b olacak
Ģekildeki elemanlardan c '''  P ''' den b ''  P '' ne bir kenar oluĢturulsun. Son olarak
bu kenarlara (a ', c ''')  F (c, a) ve (c ''', b '')  G(c, b) ağırlıkları atansın. ġimdi
a '  P ' den b ''  P '' ne olan yolları düĢünelim. Öyle ki bu yollar p : a ', c ''', b ''
biçimindedir ve burada c  a ve c  b dır. Böylece V '  P ' ve V ''  P '' alınırsa
da 'b ''  (a ', b '') 

c a , c b
F (c, a)G(c, b)  pab
olduğundan ( D)  ( P) FG .
Son olarak D nin Lemma 4.1. in hipotezini sağladığını göstereceğiz. KesiĢmeyen bir
 g sıralı n  lisi alınsın. g  e olduğu gösterilirse ispat tamamlanmıĢ olur. BaĢlama
noktası a '  P ' olan yolu a '''  P ''' ye uzanan bir kenar takip etmelidir. Farz edelim
ki bu yolu baĢlama noktası a ' için c ''' takip etsin. Bu durumda a  c olduğunu
biliyoruz. ġimdi ise baĢlangıç noktası c ' olan  g deki baĢka bir yolu alalım. Bu yol
bir önce aldığımız yol ile kesiĢmeyeceği için c ' noktasını c  d olacak Ģekildeki d '''
noktası takip etsin. Bu Ģekilde devam edilirse P de azalan sonsuz bir zincir
oluĢturulur. Hâlbuki P sonlu idi. Bu yüzden iddiamız doğrudur. Yani a ' ile
baĢlayan yol, a ''' den a '' ye devam etmelidir o halde g  e . Böylece  e nin sadece
40
kesiĢmeyen yollardan oluĢtuğunu göstermiĢ olduk. Bu yüzden tanımladığımız ağırlık
fonksiyonu ve Lemma 4.1. den
det( D)  ( e )   F (a, a)G(a, a) .
aP
b
c
a
ġekil 4.1 Bir P Kısmi sıralı kümesi
Örnek
ġekil 4.1 de Hasse diyagramı verilen P kısmi sıralı kümesini ele alalım. a, b, c
lineer sırası dikkate alınırsa
F (a, a)G (a, b)
F ( a , a )G ( a , c )
 F (a, a)G (a, a)



det  F (a, b)G (a, a) F (a, b)G (a, b)  F (b, b)G (b, b)
F (a, b)G (a, c)

 F (a, c)G (a, a)

F
(
a
,
c
)
G
(
a
,
b
)
F
(
a
,
c
)
G
(
a
,
c
)

F
(
c
,
c
)
G
(
c
,
c
)


 F (a, a)G (a, a) F (b, b)G (b, b) F (c, c)G (c, c)
  F (a, a)G (a, a)
aP
elde edilir [14].
f ve g P kısmi sıralı kümesinden R halkasına tanımlı herhangi bir fonksiyon
olsun. Teorem 4.1. de F (a, b) yerine F (a, b) f (a) ve G(a, b) yerine G(a, b) g (a)
41
alınsın. Bu durumda aĢağıdaki sonuç verilebilir. Bu sonuç aynı zamanda Apostol ve
Daniloff‟un teoreminin genelleĢtirilmesidir[10].
4.1. Sonuç
P kısmi sıralı bir küme olsun. Elemanları pab   F (c, a) f (c)G(c, b) g (c) ile
cP
tanımlanan ( P ) matrisinin determinantı
det( P)   F (a, a) f (a)G(a, a) g (a) [14].
aP
ġimdi Pn  1, 2,, n kümesi üzerinde bölünebilme bağıntısıyla elde edilen kısmi
sıralı kümeyi ele alalım. Sonuç 4.1 de P  Pn , F (a, b)   (a, b) , G : Pn  R Ģeklinde
tanımlanan G fonksiyonu için G(a, b)  G(b / a) , ve her a  P için g (a)  1 alındığı
taktirde pab   (c, a) f (c)G(b / c) ve
cP
det( Pn )    (a, a) f (a)G(1)
aP
 f (1) f (2) f (n)G(1)n
elde edilir. Bu son determinant formülünde a  Pn için f (a)  a ve  sayılar
teorisinin bilinen Möbiüs fonksiyonu olmak üzere G(a, b)   (b / a) alınarak
pab    (c, a)c (b / c)
cP
  c (b / c)
c| a
  c (b / c)
c| a
c|b
 C ( a, b)
42
olduğu görülür. Buradan Apostol‟un elde ettiği det(C (a, b))  n! eĢitliği bulunur.
Burada C (a, b) Ramanujan toplamıdır.
Ayrıca P  Pn , her a  Pn için g (a)  1 ve
a1/ k , a1/ k   
 k (a)  
 0, aksi halde
olmak üzere F (a, b)  G(a, b)  k (b / a) alınırsa Sonuç 4.1, Daniloff‟un elde ettiği
det( Pn )  f (1) f (2) f (n) eĢitliğine dönüĢür.
ġimdi kısmi sıralı küme L meet yarı latisi alınsın. Bu durumda Teorem 4.1 deki
pab   F (c, a)G(c, b) toplamında c  P , c  a  b olacak Ģekilde kısıtlanabilir.
cP
4.2. Teorem
L bir sonlu meet yarı latis ve f ( L, R) olsun. Elemanları lab  f (a  b, a) olan
( L) f matrisinin determinantı


det( L) f      (c, a) f (c, a)  [14].

aL  cL
İspat
F ( L, R) fonksiyonu a  b iken F (a, b)    (c, a) f (c, b) ve aksi halde
ca
F (a, b)  0
olarak
tanımlansın.
Möbius
inversiyon
formülü
f (a, b)   F (c, b) eĢitliği elde edilir. Buradan lab  f (a  b, a) 
ca
fonksiyonunun tanımı gereği
kullanılarak
 F (c, a)
ca b
ve 
43
lab 
 F (c, a)   F (c, a) (c, b) .
ca b
cL
Böylece Teorem 4.1 den
det( L) f   F (a, a) (a, a)
aL
  F (a, a).
aL
F (a, b)    (c, a) f (c, b) olduğu dikkate alınırsa
ca
det( L) f   F (a, a)
aL


     (c, a) f (c, a) .

aL  cL
ġimdi pozitif tamsayıların bir sonlu alt kümesi olan L nin çarpan kapalı olduğu
durumda elde edilen matris ve determinantına bakalım.
Her a  S için f fonksiyonu f (a, b)  a ile tanımlansın. Çarpan kapalı S kümesi
üzerinde tanımlanan S  ( sij ) matrisinin elemanları sij  f (ai  a j , ai ) olsun. Bu
durumda S kümesi çarpan kapalı olduğundan
F ( a , a )    ( c, a ) f ( c, a )
cS
   (a / c) c
c| a
  (a ).
O halde
44
det( S ) f   F (a, a)  (a, a)
aS
   (a).
aS
Görüldüğü üzere belirli koĢullar altında Teorem 4.2 den Smith‟in determinantı elde
edilir.
P herhangi bir kısmi sıralı küme S  P olsun. a  S ve P de b  a iken b  S ise
S kümesine alt-kapalı denildiğini biliyoruz. S pozitif tamsayıların bir alt kümesi ve
bağıntı bölünebilme bağıntısı alındığı taktirde S çarpan kapalı bir kümedir. Özel
olarak L kısmi sıralı kümesi bir meet yarı latis ve S alt-kapalı ise S de meet yarı
latistir ve S deki Möbius fonksiyonu L deki ile aynıdır. S meet yarı latis
olduğundan Teorem 4.2 uygulanabilir. S  L meet kapalı ise Teorem 4.2 deki
eĢitliğe benzer L nin Möbius fonksiyonunu içeren bir ifade elde edilebilir. Öncesinde
notasyonları verelim.
ai  a j iken i  j Ģartını sağlayan   a1 , a2 ,..., an ye S kümesi üzerinde kısmi sıralı
kümenin bir lineer genişlemesi denir. d  L , j  i için d  ai ve d  a j ise d  ai
notasyonu kullanılacaktır.
4.3. Teorem
L bir sonlu meet yarılatis, f ( L, R) ve S  L meet kapalı olsun. S nin
  a1 , a2 ,..., an olacak Ģekilde bir lineer geniĢlemesini alalım. Bu durumda
n 

det( S ) f       (c, d ) f (c, ai )  [14].
i 1  d  ai cL

45
İspat
Teorem 4.2 de tanımlanan F ( L, R) fonksiyonunun
F (ai , a j )    (d , ai ) f (d , a j ) ve buradan
d  ai
f (ai , a j )   F (d , a j )
(4.1)
d  ai
olduğunu biliyoruz. ġimdi Fˆ ( S , R) fonksiyonu ai  a j iken
Fˆ (ai , a j )     (c, d ) f (c, a j )   F (d , a j ) ;
d ai cL
d ai
aksi halde Fˆ (ai , a j )  0 olarak tanımlansın. Eğer f (ai , a j ) 
 Fˆ (a , a )
ak  ai
k
j
olduğu
gösterilirse F̂ nin tanımı gereği
f (ai , a j ) 
  F (d , a )
ak  ai d ak
j
(4.2)
eĢitliği sağlanacaktır. Bunu göstermek için (4.1) ve (4.2) deki terimlerin bire bir
eĢlendiğini göstermeliyiz.
Ġlk olarak d  L ise d elemanı en fazla bir kez (4.1) ve en fazla bir kez de (4.2) de
bulunur. Çünkü en fazla bir ak  S için d  ak dır. d (4.2) toplamında bulunsun. Bu
durumda d  ak  ai olduğundan d (4.1) toplamında da bulunur. KarĢıt olarak d
(4.1) toplamında bulunsun. O halde d  ai ve k  i için d  ak olmalıdır. S meet
kapalı olduğundan herhangi bir l için d  ai  ak  al dir. Bu nedenle al  ak olması
l  k yı gerektirir ve d  ak olduğundan l  k dır. Buradan ak  al  ai olmak üzere
d  ak elde edilir. O halde d , (4.2) toplamında da bulunur. Bu ispatı tamamlar.
46
4.4. Teorem
P bir sonlu kısmi sıralı küme ve F , G ( P, ) olsun. Bu durumda
(i) ( P ) FG matrisinin tersi vardır ancak ve ancak her a  P için F (a, a), G(a, a)  0 .
(ii) ( P ) FG pozitif tanımlıdır ancak ve ancak her a  P için F (a, a)G(a, a)  0 [14].
47
5. KESİŞMEYEN YOLLAR İLE GCD MATRİSLERİNİN ÖZELLİKLERİNİN
İNCELENMESİ
Bu bölümde kesiĢmeyen yollar yardımı ile GCD matrislerinin bazı özellikleri
üzerinde duracağız.
P kısmi sıralı küme olsun. F ( L, R) incidence fonksiyonu, Teorem 4.2. nin
ispatındaki gibi tanımlansın. Yani, a  b iken F (a, b)    (c, a) f (c, b) ve aksi
ca
halde F (a, b)  0 olsun. ġimdi P doğal sayılar kümesinin sonlu bir alt kümesi olsun
ve P üzerinde bölünebilme bağıntısını ele alalım. Her a  P için f (a, b)  a ile
tanımlandığı taktirde F (a, b)   (a) olduğu açıktır [14].
P çarpan kapalı olsun. D grafının köĢeleri ve kenarları Teorem 4.1. deki gibi
oluĢturulsun. Son olarak bu kenarlara atanan ağırlıklar, P çarpan kapalı olduğundan
her a, b  P için F (a, b)   (a) ve G(a, b)   (a, b) olarak alınırsa ( P ) FG matrisinin
elemanları
pab    (c)
c| a
c|b
 ( a, b)
olup ( P ) FG matrisinin determinantı
det( P) FG   (a)
aP
olarak hesaplanır.
ġimdi çarpan kapalı olmayan P kümesi üzerinde tanımlı GCD matrisinin
determinantını kesiĢmeyen yollar yardımı ile hesaplayalım.
48
P kısmi sıralı küme ve P , P yi kapsayan en küçük çarpan kapalı küme olsun.
Öncelikle D grafını oluĢturalım. P ' ve P '' , P nin iki kopyası ayrıca P ''' ise P nın
kopyası olacak Ģekilde alınsın. Sonra c  a olmak üzere a '  P ' den c '''  P ''' ye bir
kenar ve benzer Ģekilde c  b olmak üzere c '''  P ''' den b ''  P '' ne bir kenar
oluĢturulsun. Bu kenarlara (a ', c ''')  F (c, a) ve (c ''', b '')  G(c, b) ağırlıkları
atansın. a '  P ' den b ''  P '' ye olan yollar  : a ', c ''', b '' biçiminde olsun.
 : a ', c ''', b '' yolunun ağırlığı 

ile gösterilirse

   (a ', c ''') (c ''', b '')
 F (c, a )G (c, b)
olur.
 , bütün  : a ', c ''', b '' yollarının koleksiyonu olsun.  yolunun köĢeleri kümesine
diyelim. 1   2 olması N1  N2   anlamına gelmektedir [13]. Eğer
N
1 , 2   iken 1   2 ise  ye köĢelerde kesiĢmeyen yolların oluĢturduğu küme

denir [13].  nin ağırlığına  denirse
 


 
olur [13]. BaĢlangıcı a ve bitiĢ noktası b olan c  a ve c  b olacak Ģekildeki bütün
 yolları üzerinden toplam alınmak üzere elemanları
pab   

olan matrisinin determinantı
det( P)    

(5.1)
49
dır [13].Burada toplam,  ve P nin eleman sayıları eĢit olmak üzere D de
köĢelerde kesiĢmeyen yolların oluĢturduğu  kümesi üzerinden alınmaktadır [13].
(5.1) deki artı ya da eksi iĢareti  kümesine bağlıdır. Yolların baĢlangıç noktaları
P ' ve bitiĢ noktaları P '' de olduğundan  P ' den P '' ye birebir bir dönüĢüm
tanımlar. Bu iki küme P kümesinin iki kopyası olduğundan tanımlanan bu dönüĢüm
P kümesinin bir permütasyonudur. (5.1) deki iĢaret bu permütasyonun iĢaretidir.
P kısmi sıralı kümesini çarpan kapalı olmayan bir küme ve kenarlara atanan
ağırlıkları (a ', c ''')   (c) ve (c ''', b '')   (c, b) olarak alıp P üzerinde tanımlanan
GCD matrisinin determinantını bir örnek ile hesaplayalım.
Örnek
P  3, 4,5 olsun. Bu durumda P yi kapsayan en küçük çarpan kapalı küme
P  1, 2,3, 4,5 ayrıca P ', P ''  P ve P '''  P dır. ( P) GCD matrisinin elemanları
pab    (c)
c| a
c|b
cP
dir. Gerçekten baĢlangıç noktası a '  3 ve bitiĢ noktası b ''  3 olan c | a ve c | b
olacak Ģekildeki bütün   a ' c ''' b '' yolları üzerinden toplam alındığı taktirde
p33   (1)   (3)
 (3,3)
dir. ġimdi elemanları köĢelerde kesiĢmeyen yollardan oluĢan  kümesinin ve P nin
eleman sayıları eĢit olmak üzere c | a ve c | b olacak Ģekildeki grafları çizerek 
değerlerini hesaplayalım.

50
1
2
 (3)
3
3
 (4)
 (5)
4
1
4
5
1
1
1
3
4
5
 (3)
5
3

2
3
4
4
5
1
1 1
4
5
3
1
1
1
5
4
1
1
2
1
1
4
5
3
4
5

3
2
3
4
4
 (4)
5

   (1) (3) (5)
1
3
 (4)
 (5)
4
1
5
1
1
3
4
   (1) (3) (4)
4
5
4
5
1
1
1
3
4
5

 (1)
 (3)
3
   (1) (4) (5)
 (1)
 (3)
 (5)
3

5
2
 (1)
 (2)
   (2) (3) (5)
 (1)
3
3
 (5)
   (3) (4) (5)
1
2
2
 (5)
3
4
5
 (2)
1
5
3
4
5
1
3
1
1
4
5

   (1) (2) (5)
5
 (1)
 (3)
1
 (2)
3
4
5
1
1
3
4
5

   (1) (2) (3)
ġekil 5.1.  P ' P '' Grafları
Burada P ' den P '' ye tanımlanan dönüĢüm birim permütasyon olduğundan
toplamdaki iĢaretlerin hepsi artıdır. O halde
det( P)    
 50

(5.2)
51
bulunur.
Teorem 3.1. den ( P) GCD matrisinin ( P)  E E T olarak yazılabileceğini biliyoruz.
Özel olarak yollara atanan ağırlıklar 1 olduğu zaman EET matrisinin determinantı,
yukarıda verilen graftaki kesiĢmeyen yolların sayısını verecektir.
P nin doğal sayıların çarpan kapalı, sonlu bir alt kümesi olması durumunda
Teorem 4.1. de verilen matrisin tersini hesaplayalım. Teorem 4.1 deki ( P ) FG matrisi
elemanları
ab
 F (a, b),
( M F )ab  
aksi halde
 0,
ab
G(a, b),
( M G )ab  
aksi halde
 0,
olan iki matrisin çarpımı Ģeklinde yazılabilir [14]. ( P) FG  M F T M G matrisinin tersi
( M FT M G ) 1   M G 
1
M 
1 T
F
olup bu matrislerin elemanları

M G 1

ab
G 1 (a, b),
ab

0,
aksi halde

ve
 F 1 (a, b),
ab
M

 F 1 ab  0,
aksi halde

dır. Burada F 1 ve G 1 , ( P, R) de F ve G incidence fonksiyonlarının tersleridir.
Her a, b  P için a  b iken
( FF 1 )(a, a)  F (a, a) F 1 (a, a)
  ( a, a )
ve a  b iken
52
 FF  (a, b)   F (a, c)F
1
1
(c, b)
a  c b
  (a, b)
olup
0  F (a, a) F 1 (a, b) 
 F (a, c)F
1
(c, b)
a cb
ve buradan
F 1 (a, b) 
1
  F (a, c) F 1 (c, b)
F ( a, a ) a  c  b
dır. O halde
1
1
( PFG )ab
 ( M FT M G )ab
 G 1 (a, c) F 1 (b, c),
ab
.
 a c
  bc

0,
aksi halde

olarak bulunur. Yukarıdaki formül sayılar teorisi kullanılarak Bourque ve Ligh
tarafından hesaplanmıĢtır [7]. ÇalıĢmamızdaki temel amaçlarımızdan biri P nin
çarpan kapalı olmadığı durumda yukarıda verilen matrisin tersini hesaplamaktı fakat
kayda değer bir sonuç elde edemedik.
ġimdi Teorem 3.4. ardından verilen S  1, 2,3, 6 kümesi üzerinde tanımlanan GCD
matrisinin tersini yollar yardımı ile hesaplayalım. Öncesinde G grafını oluĢturalım.
S kümesinin S ' , S '' ve S ''' olmak üzere üç kopyasını alalım. a  c olmak üzere
a '  S ' den c '''  S ''' ye, b  c olmak üzere c '''  S ''' den b ''  S '' ye kenarlar
oluĢturalım. S kümesini çarpan kapalı alıp bölünebilme bağıntısını kullanalım. Bu
kenarlara
53
 (a ', c ''') 
 (c / a )
ve (c ''', b '')   (c / b) olarak atanırsa ( S ) matrisinin tersinin
 (c )
elemanları a ' den b '' ne olan a  c ve b  c olmak üzere   a ' c ''' b '' yollarının
toplamından oluĢur ve
( S )1  (d a'b'' ) öyle ki da 'b ''   (a ', b '')  
a|c
 (c / a)
 (c / b) .
 (c)
b|c
1 2 3 6
1
2
1 2 3 6
3
6
ġekil 5.2. d1'1'' Grafı
dV 'V '' için oluĢturulan yollar ġekil 5.2 de verilmiĢtir. Örneğin d11 elemanı dV 'V ''
grafındaki kesiĢmeyen yollar yardımı ile
d11   (1',1'')

1|c
1|c

 (c / a )
 (c / b)
 (c )
.
 (1)
 (2)
 (3)
 (6)
 (1) 
 (2) 
 (3) 
 (6)
 (1)
 (2)
 (3)
 (6)
3
olarak bulunur. ( S ) in tersinin diğer elemanları da benzer Ģekilde hesaplanabilir.
54
6. SONUÇ
Bu çalıĢmada esas olarak GCD ve LCM matrislerinin temel özellikleri anlatılmıĢ ve
bu matrislerin uygulamalarına dair çalıĢmalar incelenmiĢtir. Ġkinci bölümde konuya
hazırlık olması açısından aritmetik fonksiyonlar, kısmi sıralı kümeler ve graf teorisi
tanıtılmıĢ ve temel özelliklerinden bahsedilmiĢtir. Üçüncü bölümde GCD ve LCM
matrisleri ve benzer özellikteki matrislerin determinantı, terslerine ait çeĢitli
sonuçların ortaya konulduğu çalıĢmalar incelenmiĢtir. Dördüncü bölümde bu
matrisler ve benzerlerinin determinantları ile ilgili bulunan sonuçlar, kombinatoriyel
olarak yeniden ispatlanarak yeni sonuçların elde edildiği Ģık genellemeler verilmiĢtir.
Son bölümde kesiĢmeyen yollar yardımı ile GCD matrislerinin özellikleri
incelenmiĢtir. Bu konu ile ilgili giriĢimler verilmiĢtir.
Bu çalıĢmaya baĢlarken amacımız GCD ve LCM matrisleri ve benzerleri ile ilgili var
olan sonuçları kombinatoriyel olarak ispatlamak ve hesapladığımız determinantların
sayma problemlerine yönelik uygulamalarını araĢtırmaktı. Fakat bu yönde kayda
değer sonuçlar elde edemedik. Bu konudaki çalıĢmalarımız devam etmektedir.
Yaptığımız çalıĢmanın konuyla ilgilenenlere farklı bir bakıĢ açısı sunacağı ümidini
taĢıyoruz.
55
KAYNAKLAR
1.
Jones, G.A., Jones, J.M., “Arithmetic Functions”, Elementary Number Theory,
Springer-Verlag, London, 143-162 (1998).
2.
Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L., “Arithmetic Functions‟‟, An
Introduction to the Theory of Numbers, 5th Ed., John Wiley and Sons, Inc.,
Canada, 188-195 (1915).
3.
ġenay, H., “Aritmetik Fonksiyonlar”, Sayılar Teorisi Dersleri, Selçuk
Üniversitesi, Konya, 395-412 (2007).
4.
Davey, B.A., Pricstly, H.A., “Ordered Sets, Lattices and Complete Lattices”,
Introduction to Lattices and Order, Second edition, Cambridge UniversityPress,
Cambridge, 1-56 (2001).
5.
Bondy, J.A., Murty, U.S.R., “Graphs and Subgraphs”, Graph Theory with
Applications, Macmillian, London, 1-16 (1976).
6.
Beslin, S., Ligh, S., “Greatest Common Divisor Matrices”, Linear Algebra and
Its Applications, 118:69-76 (1989).
7.
Bourque, K., Ligh, S., “On GCD and LCM Matrices”, Linear Algebra and Its
Applications, 174:65-74 (1992).
8.
Beslin, S., Ligh, S., “Another Generalisation of Smith‟s Determinant”, Bull.
Austral. Math. Soc. Vol., 40:413-415 (1989).
9.
Zhongshan, L., “The Determinants of GCD Matrices”, Linear Algebra
Applications, 134:137-143 (1990).
10. Bourque, K., Ligh, S., “Matrices Associated with Multiplicative Functions”,
Linear Algebra and Its Aplications, 216:267-275 (1995).
11. Bourque, K., Ligh, S., “Matrices Associated with Classes of Arithmetical
Functions”, Journal of Number Theory, 45:367-376 (1993).
12. Apostol, T., “Arithmetical Properties of Generalized Ramanujan Sums”, Pasific
J. Math., 41:281-293 (1972).
13. Lindström, B., “On The Vector Representations Of Induced Matroids‟‟, Bull.
London Math. Soc., 5:85-90 (1973).
14. AltınıĢık, E., Sagan, B. E., Tuğlu, N., “GCD Matrices, Posets and
Nonintersecting Paths”, Linear and Multilinear Algebra, 53 (2):75-84 (2005).
56
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı
: ÇOġKUN, Aslıhan
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 12.11.1984 Yerköy
Medeni hali
: Bekar
Telefon
: 0 (505) 785 45 70
e-mail
: [email protected]
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi
Matematik Anabilim Dalı
Lisans
Lise
Yabancı Dil
Ġngilizce
Mezuniyet tarihi
2011
Gazi Üniversitesi
Matematik Bölümü
2009
Yozgat Anadolu Lisesi
2002