Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine

Ekim 2005 Cilt:13 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554
DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND
SPEKTRUMLARI ÜZERİNE
Hayri AKAY, Ziya ARGÜN
Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü, Ankara.
Özet
A değişmeli, güvenilir (without order) bir Banach cebiri; ( A), A cebirinin Gelfand
spektrumu, T ise A üzerinde bir çarpan operatörü ve Tˆ , T operatörünün” Gelfand dönüşümü
olsun. Bu makalede ele aldığımız problem ( A) ile (T ) kümeleri arasındaki ilişkinin ne
olabileceğidir. Araştırma sonucu bu ilişkinin ( A)  (T ( A))  Hull (T ( A))  (Tˆ )  0 (Tˆ )
bağıntısı ile verilebileceği ispatlanmıştır.
Anahtar Kelimeler:, Banach Cebiri, Gelfand dönüşümü, Çarpan operatör, Gelfand spektrumu
ON THE GELFAND SPECTRUM OF COMMUTATIVE
BANACH ALGEBRAS
Abstract
Let A be a commutative Banach algebra with without order, ( A) its Gelfand spectrum;
T be a multiplier on A and Tˆ its Gelfand transform. The problem handling in this paper is
“what the relationships are between the sets ( A) and (T ) ”. We find out that this relation
is given by the equalities ( A)  (T ( A))  Hull (T ( A))  (Tˆ )  0 (Tˆ ) .
Key words:, Banach algebra without order, Gelfand transform, Multiplier, Gelfand spectrum
1. Giriş ve Notasyonlar
A değişmeli güvenilir bir Banach cebiri, T operatörü A üzerinde T(ab)=T(a)b=aT(b)
( a, b  A ) ile tanımlı çarpan operatörü ve M(A) da bu tür operatörlerin cebirini
göstersin. ( A) ile A cebirinin Gelfand spektrumunu ve
Tˆ ile T operatörünün Gelfand
dönüşümünü göstereceğiz. ( A) spektrumunun elemanları A üzerindeki çarpımsal
fonksiyoneller olarak tanımlanmaktadır.(1).
October 2005 Vol:13 No:2 Kastamonu Education Journal
Hayri AKAY, Ziya ARGÜN
548
(M ( A)) kümesi, M(A)’nın Gelfand spektrumu, A cebirinin Gelfand
spektrumu ( A) ile Hull(A)’nın birleşimi olarak yazılabilmektedir(5). Burada A ile
La : a  A  kümesi arasında bir izomorfizma olduğu için A cebiri M(A) nın bir
T * , T nin adjoint operatörü olmak üzere T operatörünün
*
Gelfand dönüşümü Tˆ : ( M ( A))  C , T ( f )  Tˆ( f ) f şeklinde tanımlanmaktadır.
ideali olarak düşünülmektedir(1).
Herhangi bir X Banach uzayı için
 ( x)  xˆ
kanonik
X * , X ‘in dual uzayı olmak üzere;  : X  X **
gömmesi
vardır.
x X ,
f  X*
için
*
xˆ ( f )   xˆ, f    f , x  f ( x) şeklindedir.  x, f  yada  f , x ile X ve X
arasındaki dualite ilişkisi gösterilmektedir.
x  A ise ( A) üzerinde xˆ (h)  h( x) şeklinde bir dönüşümdür. ( A)
üzerindeki topoloji noktasal yakınsak topoloji olduğundan x̂ , ( A) üzerinde
süreklidir. x  xˆ dönüşümü A’dan C (( A)) içine Gelfand dönüşümü olarak
adlandırılır. Bu dönüşüm  A yada  ile gösterilir. Yani;
 : A  C (( A))
x  xˆ : ( A)  C
h  xˆ (h)  h( x)
biçiminde verilmektedir. Eğer A üzerinde tanımlanan  Gelfand dönüşümü bire bir ise
A cebirine yarı basit(semi simple) Banach cebiri denir.
**
A Banach cebirinin ikinci duali A üzerinde A’daki çarpma işleminin iki tane
genişlemesi vardır. Bunlar literatürde birinci ve ikinci Arens çarpımı olarak bilinmektedirler.
A** ’yı tanımı aşağıda verilen birinci Arens çarpımı ile donatılan Banach
**
cebiri olarak göz önüne alacağız. Bu işlemler a, b  A , f  A olmak üzere;
Bu çalışmada
A* uzayının f  a ve n  f elemanı
 f  a, b   f , ab
 n  f , a   n, f  a
A** uzayının m  n elemanı m  n, f    m, n  f 
**
biçiminde tanımlanmaktadırlar. Bu durumda A, A ın kapalı bir alt cebiridir.
A** cebiri genelde değişmeli değildir fakat a  A ve n  A** için an=na eşitliği
**
*
sağlanır.Ayrıca; m, n  A ve A ın çarpımsal f elemanı için
 m  n, f    n, f   m, f 
eşitliği sağlanır. E  ( A) kümesi için ker(E) ideali;
Ekim 2005 Cilt:13 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine
ker( E ) 
şeklinde
f
1
(0) : f  E
  ker( f ) :
549
f E

I , A cebirinin bir ideali olmak üzere; I ‘nın hull’ü
hull ( I )   f  ( A) : I  f 1 (0)
  f ( A) : f ( I )  0
   f ( A) : I  ker( f ) 

biçiminde tanımlanmaktadırlar(2).
( A) kümesi A* dual uzayı
üzerindeki zayıf topolojiye göre kapalıdır.(4). (Tˆ )  f  ( A) : Tˆ ( f )  0  ve
A cebiri sınırlı yaklaşık birime sahip olduğunda

0 (Tˆ )  f  ( A): Tˆ ( f )  0
 olmak

üzere; A cebiri içindeki T(A) idealinin
 0 (Tˆ ) kümesidir ve T(A) ideali A içinde kapalı olduğu zaman, T(A) idealinin
Gelfand spektrumu (Tˆ ) kümesidir. ( A) uzayı üzerindeki topoloji Gelfand
Hull’ü
topolojisidir.Detaylar için(3)’e bakınız.
a  A olmak üzere; La : A  A , La ( x)  ax dönüşümü A üzerinde bir çarpan
operatör tanımlar. A ile
L : a  A  kümesi
a
birbirine izomorf olduğu için ve
L : a  A  kümesi M(A) uzayının bir ideali olmasından dolayı A cebirini M(A) nın
a
bir ideali olarak düşünebiliriz ve genelde A, M(A) içinde kapalı değildir.(1) de
(M ( A))  ( A)  Hull ( A)
izomorfizması
olduğu
için
eşitliği
gerektiğinde
gösterilmiştir. A  La :
A
yerine
kullanılmaktadır. ( A), ( M ( A)) içinde açıktır fakat bu
içinde yoğun olmasından uzaktır.(5)
a A

L : a  A  ideali
a
( A) ' nın (M ( A))
T  M ( A) için T : A  A sınırlı lineer bir çarpan ve T ** , T operatörünün
**
**
**
ikinci eşleniği(adjointi) olmak üzere, T : A  A operatörü bir çarpan
T olsun . Dolaysıyla
operatördür. Tˆ dönüşümünün ( A) ya kısıtlaması
Tˆ /
  olmak üzere;
 ( A)
T
f  ( A) için T ( f )  Tˆ ( f ) ve T * ( f )  Tˆ ( f ) f eşitlikleri mevcuttur.(1,
Sonuç 1.4.3).
October 2005 Vol:13 No:2 Kastamonu Education Journal
Hayri AKAY, Ziya ARGÜN
550
Eğer
u , A** cebirinin sağ birimi ise; f  ( A) için T ( f )  T ** (u), f 
yazabiliriz. f
süreklidir.(5)
 T ** (u), f 
dönüşümü
nın
A
Son olarak, A bir Banach cebiri olmak üzere; her
Gelfand
spektrumu
üzerinde
x  A için xA  0 olduğunda
x  0 ise (Yada Ax= 0 iken x=0 ise) A cebirine güvenilir (without order) Banach
cebiri denir. A birimli bir cebir ise güvenilir olduğu açıktır. A güvenilir Banach cebiri
olduğunda her çarpan operatörü lineer olur. Bu durumda M(A), A üzerindeki sürekli
lineer operatörlerin cebiri olan L(A) nın birimli bir alt cebiridir.(1, Theorem1.1.1).
Makalenin bundan sonraki kısımlarında aksi söylenmedikçe A cebiri güvenilir olduğu
kabul edilecektir.
2. Sonuçlar
Lemma 2.1. A bir değişmeli Banach cebiri ve T, A üzerinde çarpan operatör olmak
üzere A cebirinin bir ideali olan
İspat:
T ( A) ’nın hull’ü  0 (Tˆ ) kümesine eşittir.
hull (T ( A))   f  ( A):
T ( A)  f 1 (0)
 olmak üzere;
f  hull (T ( A)) için T ( A)  f 1 (0) dır.
Buna göre her
a  A için T (a)  f 1 (0)  f (T (a))  0
 f T (a)  0
 T * f (a)  0
 (Tˆ ( f ) f )(a)  0
( f  ( A) ise f (a)  0 )
 Tˆ ( f ). f (a)  0
 Tˆ ( f )  0
 f  0 (Tˆ )
elde edilir.Böylece
hull (T ( A))  0 (Tˆ ) eşitliği elde edilir.Bu ise ispatı tamamlar.
Lemmma 2.2. A bir değişmeli Banach cebiri olmak üzere
kapalı idealinin Gelfand spektrumunun bir alt kümesidir.
(Tˆ ) kümesi, A nın T(A)
Ekim 2005 Cilt:13 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine
İspat:
f  (Tˆ ) ise (Tˆ ) nın tanımı gereği Tˆ ( f )  0 olur. f / T ( A)  f olsun.
a, b  A için;
 f , T (a)   f , T (a)
= T
=
*
551
f , a
Tˆ ( f ) f , a
= Tˆ ( f ) 
f (a)
ve
 f , T (a)  T (b)   f , T (a  b)
= Tˆ ( f ) 
f ( a  b)
= Tˆ ( f )( f (a) 
= Tˆ ( f ) 
f (b))
f (a)  Tˆ ( f )  f (b)
=  f , T (a)   f , T (b)
eşitlikleri sağlandığından
f , T ( A) üzerinde lineerdir. Diğer taraftan,
 f , T (a)  f , T (b)  Tˆ ( f )  f (a)  Tˆ ( f )  f (b)
= Tˆ ( f )  Tˆ ( f ) 
f (a)  f (b)
= Tˆ ( f )  Tˆ ( f ) 
f (ab)
= Tˆ ( f )  (T
*
f (ab))
= Tˆ ( f )  ( f (T (ab))
= Tˆ ( f )  ( f (T (ab))
= Tˆ ( f )  ( f (aT (b))
=
f (T (aT (b)))
=
f (T (a)T (b))
=  f , T (a)T (b)
October 2005 Vol:13 No:2 Kastamonu Education Journal
Hayri AKAY, Ziya ARGÜN
552
eşitlikleri
f nin, T ( A) üzerinde çarpımsal lineer fonksiyonel olduğunu gösterir. f
keyfi seçildiğinden (Tˆ )  (T ( A)) olur.
Şimdi makalenin özgün olduğunu düşündüğümüz ana Lemmasını verebiliriz.
Lemma 2.3. A değişmeli bir Banach cebiri T, A üzerinde bir çarpan operatörü ve
B : T ( A) ideali A nın kapalı alt uzayı ise B üzerinde tanımlanan sıfırdan farklı f
çarpımsal lineer fonksiyonelinin A ya genişlemesi olan
T ( x), f   0 şartını sağlayan
f bir tektir. Bu genişleme
x  A için  a, f    aT ( x), f 
seklinde
tanımlanmıştır.
İspat:
f,
B
üzerinde
sıfırdan
farklı
çarpımsal
fonksiyonel
T ( x), f   0 olacak şekilde T ( x)  B alalım. a  A için
 a, f  
olduğundan
 aT ( x), f 
T ( x), f 
bağıntısının T(x) in seçiminden bağımsız olduğunu gösterelim. Bunun için
T ( y), f   0 olacak şekilde bir başka T ( y)  B alalım. Buna göre,
 a, f   T ( y), f  
 aT ( x), f 
 T ( y), f 
T ( x), f 
 aT ( x)T ( y ), f 
T ( x), f 
T ( x), f    aT ( y), f 
=
T ( x), f 
=  aT ( y), f 
 aT ( y ), f 
 a, f  
T ( y ), f 
=
elde edilir. Böylece yukarıda tanımlanan bağıntı bir fonksiyon olur. Her
a, b  A için;
(a  b)T ( x), f 
T ( x), f 
 aT ( x)  bT ( x), f 
=
T ( x), f 
 aT ( x), f   bT ( x), f 
=
T ( x), f 
 a  b, f  
=  a,
f   b, f 
Ekim 2005 Cilt:13 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi
Değişmeli Banach Cebirlerinin Gelfand Spektrumları Üzerine
olduğundan
f , A üzerinde lineerdir.Ayrıca; f çarpımsal olduğundan f  0 dır ve
 ab, f  
(ab)T ( x), f  T ( x), f 

T ( x), f 
T ( x), f 
=
 abT ( x)  T ( x), f 
T ( x), f   T ( x), f 
=
 aT ( x)  bT ( x), f 
T ( x), f   T ( x), f 
=
 aT ( x), f  bT ( x), f 

T ( x), f  T ( x), f 
=  a,
553
f  b, f 
olmasından dolayı
f , A üzerinde çarpımsaldır. Şimdi de f nın tek olduğunu
gösterelim. Kabul edelim ki f nin bir başka genişlemesi
f1 olsun.
 a, f1  T ( x), f    a, f1  T ( x), f1
=  aT ( x),
f1 
=  aT ( x),
f
=  a,
aT ( x)  T ( A)
,
f  T ( x), f 
eşitlikleri sağlandığı için her
a  A için  a, f1    a, f  olur. Böylece f  f1 elde
edilir. Dolayısıyla genişleme bir tek olur ve bu ispatı tamamlar.
Teorem 2.4. A değişmeli Banach cebiri ve T(A) A cebirinin kapalı bir ideali olmak
ise
(T ( A))  (Tˆ ) eşitliği vardır.
İspat: Lemma 2.2’den
(Tˆ )  (T ( A)) olduğunu söyleyebiliriz.
f (T ( A)) olsun.Lemma 2.3’den f’nin A cebirine bir tek f
genişlemesi vardır ve f  (Tˆ ) dır. Eğer f  (Tˆ ) olsaydı Tˆ ( f )  0 olurdu,
oysaki
olduğundan
her
için
a A
f (T ( A))
*
eşitliği
f (T (a))  f (T (a))  T f (a)  Tˆ ( f )  f (a)  0  f (a)  0
Tersine;
f (T ( A)) olduğunu söyler ki bu çelişkidir. Bundan dolayı (T ( A))  (Tˆ )
elde edilir. Kapsama iki taraflı olduğundan beklenilen (T ( A))  (Tˆ ) eşitliğine ulaşılır.
October 2005 Vol:13 No:2 Kastamonu Education Journal
Hayri AKAY, Ziya ARGÜN
554
Şimdi bu çalışmanın asıl amacı olan ve ( A) ile
ilişkiyi net olarak ifade eden aşağıdaki teoremi verebiliriz.
(T ) kümeleri arasındaki
Teorem 2.5. A değişmeli bir Banach cebiri ve T(A) A cebirinin kapalı bir ideali
olmak ise
İspat:
( A)  (Tˆ )  0 (Tˆ ) eşitliği sağlanır.
f  ( A) ise Lemma 2.3 gereğince T(A) üzerindeki çarpımsal lineer
fonksiyonellerin genişlemeleri tek olduğundan ya
f  (T ( A)) dır yada f , T(A)
f  Hull (T ( A)) dır. Böylece, Lemma 2.1 ve
( A)  (T ( A))  Hull (T ( A))  (Tˆ )   (Tˆ )
üzerinde sıfır değerini alır;yani
Teorem2.4’in
ışığı
altında
0
eşitliği elde edilir.
Kaynaklar
1. Larsen, R .An Introduction to the Theory of Multipliers, Springer-Verlag, Berlin,
(1971).
2. Larsen, R . Banach Algebras, Morcel Dekker, Inc.New York, (1973)
3. Laursen, K.B and Neuman, M. An Introduction to Local Spectral Theory,
Clanderon Pres, Oxford, (2000).
4. Ülger, A. Some Results About The Spectrum of Commutative Banach Algebras
Under The Weak Topology and Aplications, Monaths.Für Math., 121, 353-379,
(1996).
5. Ülger, A. Multipliers With Closed Range on Commutative Semisimple Banach
Algebras. Studia Math. 153, 59-80. (2002)
Ekim 2005 Cilt:13 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi