fen ve mühendislikte matematik metotlar 5. kitap lineer vektör uzayları
advertisement
FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI 144 İÇİNDEKİLER I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lineer Vektör Uzayları B) Lineer Bağımsızlık ve Boyut C) Skalar Çarpım ve Norm D) Hilbert Uzayları E) Dirac Uzayı II. LİNEER OPERATÖRLER A) Tanım B) Operatör Çarpımı ve İlgili Kavramlar C) Gruplar D) Benzerlik Dönüşümü E) Matris Elemanları F) Hermitsel Eşlenik G) Hermitsel ve Üniter Operatörler 145 III. ÖZDEĞER PROBLEMİ A) Özdeğerler ve Özketler B) Ortak Özketler C) Hermitsel Operatörlerin Özdeğer Problemi D) Üniter Operatörlerin Özdeğer Problemi E) Normalizasyon F) Tamamlık G) İzdüşüm Operatörleri H) Tamamlık Uygulamaları I) Düal Uzay IV. TEK BOYUTLU SÜREKLİ ORTAM UYGULAMALARI A) Konum Operatörü B) Öteleme Simetrisi ve Jeneratörü C) Yerel Öteleme ve Türev D) Weyl Cebiri E) x k Skalar Çarpımı F) Fonksiyonlar ve Fourier Dönüşümleri G) Parseval Özdeşliği H) Fonksiyon Çarpımlarının Fourier Dönüşümleri I) Katlama J) Yansıma 146 V. DİFERANSİYEL OPERATÖRLER VE HERMİTSELLİK A) Öteleme Jeneratörü ve Fonksiyon Türevleri B) Türevlerin Fourier Dönüşümü C) Diferansiyel Denklemlerle İlişki D) İntegral Denklemlerle İlişki E) Hermitsellik F) Hermitselliğin Yararları VI. HERMİTSELLEŞTİRME METODLARI VE STURM - LIOUVILLE SİSTEMLERİ A) Standart Biçim B) Çarpan Yoluyla Hermitselleştirme C) Bağımlı Değişken dönüşümü D) Bağımsız Değişken Dönüşümü E) İnvaryant Biçim F) Sınırlı Bölgede Hermitsellik G) Sturm - Liouville Sistemleri VII. FONKSİYON UZAYLARI VE AÇILIMLAR A) Fonksiyon Açılımları B) Fourier Açılımı C) Legendre Açılımı D) Fourier - Bessel Açılımı I E) Fourier - Bessel Açılımı II F) Özfonksiyonların Yansıma Özellikleri EKLER VE NOTLAR 147 I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lineer Vektör Uzayları 'Ket' adı verilen soyut nesnelerden oluşan Küme 'sini ele alalım. Eğer bu küme'nin elemanları Perşembe , , ... Yeşil , , Trabzon , , ... , , Gömlek gibi ilgisiz ve nicellikten uzak kavramlarla etiketlenmişlerse cebirsel bir yapı oluşturmaları ve matematiksel bir konuda yararlı olmaları beklenemez. Ancak kompleks sayılarla çarpılma ve iki ketin toplanması işlemlerinin tanımlanmasından sonradır ki, belli şartlara uyan küme'lere 'Lineer Vektör Uzayı' denebilir. Bir S küme'sinin adı geçen iki işlem altında kapalı kalmasını, toplamda "sıfır" ın yerini tutacak bir etkisiz ketin ve toplama işleminde inversin varlığını öngören bu şartlar matematik diliyle: S 1) Her , 2) Her S 3) Bütün 4) Her S S için S c için için için + + S olur, olur, = = sağlayan bir sağlayan bir vardır, vardır. N M biçiminde ifade edilirler. Polinomlar, matrisler, karesi integre edilebilen fonksiyonlar lineer vektör uzaylarına örnek teşkil ederler. B) Lineer Bağımsızlık ve Boyut Eğer c1 sağlanabiliyorsa c2 ve denklemi ancak c1 c2 0 ile 'Lineer Bağımsız' dırlar. Bir lineer vektör uzayında birbirinden lineer bağımsız olabilen ketlerin sayısı o uzayın 'Boyut' unu verir. 148 C) Skalar Çarpım ve Norm 'Skalar Çarpım' iki ketin bileşiminden skalar bir sonuç elde eden bir işlemdir. Sembolik olarak , c ise 'Son Çarpan' olarak adlandırılır. biçiminde ifade edilebilir. Bu çarpımda =0 , oluşu : 'Ön Çarpan' , ve ketlerinin 'Ortogonal' liğini ifade eder. 'Norm' ise her Ket'e, reel ve pozitif bir skalar karşılık getiren işlemdir. Böylece Norm 0 olur ; ancak eşitlik sadece için geçerlidir. D) Hilbert Uzayları Bir lineer vektör uzayının 'Hilbert Uzayı' olabilmesi için ise 1) Sonsuz boyutlu olması, 2) Skalar Çarpımın tanımlanması, 3) Normların sonlu olması gerekir. Uygulamalı matematiğin ihtiyaçlarına cevap verebilmek için Hilbert uzaylarını iki ayrı yönde genelleştirmek lazımdır. Sonsuz boyutlu olma şartı kaldırılarak, ‘Keyfî Boyutlu Hilbert Uzayları' ; sonlu norm şartı da "ılımlı" sonsuzluklara izin verecek biçimde yumuşatılarak, 'Donanmış Hilbert Uzayları' elde edilir. Genelleştirilmiş Hilbert uzaylarının örnekleri ileride geniş çapta kullanılacaktır. E) Dirac Uzayı 'Dirac Uzayı' : Skalar Çarpım ve Norm 'un dört kuralla belirlendiği bir donanmış Hilbert uzayıdır. Bu kurallar: 1) Son çarpanda Lineerlik I : , , , 149 2) Son çarpanda Lineerlik II : 3) Ön çarpanda Antilineerlik : Norm 4) Norm Tanımı : ,c , c , , * , 0 olarak verilirler. P.A.M. Dirac bu ifadeleri 'Bra-Ket' sembolizmi ile stilize ederek denklemlere sadelik ve zarafet kazandırmıştır. Esasta skalar çarpımı yerine , olarak yazmaktan ibaretmiş gibi görünen bu atılımın matematik anlamına ileride değinilecektir. Yeni sembollerle Dirac uzayının dört kuralı: 1) 2) c 3) 4) c = Norm 0 biçimini alırlar. PROBLEMLER P.I.1) P.I.2) Norm2 0 , c + gereğinden yararlanarak ispatlayın. İpucu: ve 2 , 0 olduğunu gösterin. ifadesinin en küçük değerinin bile pozitif olması iki bağımsız değişkendir. 'Schwartz Eşitsizliği' ni 150 P.I.3) Schwartz Eşitsizliğinden de yararlanarak Norm Norm Norm + Norm Norm Üçgen Eşitsizliklerini ispatlayın. P.I.4) içeren bir ket küme 'si elemanlarının lineer bağımsız olamayacağını ispatlayın. II. LİNEER OPERATÖRLER A) Tanım Bir Lineer vektör uzayında işlem yapan Lineer Operatörler, etkiledikleri ketleri aynı uzayda başka ketlere dönüştüren cebirsel nesnelerdir. Lineerlik özellikleri ise sabitlerle yer değiştirebilmelerinden ve bir ket toplamında her terimi ayrı ayrı etkilemelerinden gelir. Böyle bir A operatörünün uyması gereken kurallar matematik diliyle : 1) Kapalılık : 2) Lineerlik I : Ac 3) Lineerlik II : A S c A + A , S , A A olarak ifade edilir. B) Operatör Çarpımı ve İlgili Kavramlar A operatörü ile dönüşen bir B keti A operatörünce işlem yapılabilmesi doğaldır. da bir ket olduğuna göre, bu yeni kete BA ile gösterilen bu 151 durumda BA , BA ve ketine tek bir B ve A AB operatörü etki ediyormuş gözüyle bakılabilir ve operatörlerinin çarpımı olarak adlandırılır. Genelde çarpımlarının eşit olması gerekmez. Eşitlikten ayrılmanın ölçüsü olan A,B 'Komütatör' : BA AB BA biçiminde tanımlanır. Komütatörlerin temel özellikleri : 1) A,B B , A 2) A,c 0 3) A,B+C = A,B + A,C 4) A,B C =B A,C + A,B C 5) A, B,C + A,A , dolayısıyla C, A,B + 0 B, C,A 0 olarak sıralanırlar. Operatör çarpımına dayalı diğer bir kavram da 'İnvers' dir. A A 1 dönüşümünü tersine çeviren, yani denklemini sağlayan, bir Operatörü' denir ve Operatörü' A 1 cinsinden varsa, buna A 'nın 'İnvers ile gösterilir. Ketleri dönüştürmeyip aynı bırakan 'Birim A 1 A A A 1 1 An , A 1 operatörünün üst üste uygulanması ile An elde edilebildiğine göre genel bir f (A) olduğu kolayca görülebilir. 'in üst üste uygulanması ile operatörünün de f fonksiyonunun seri açılımı yoluyla tanımlanması mümkün olmaktadır. Seri açılımı olmayan fonksiyonlar için f (A) operatörünün tanımlanma yoluna ileride değinilecektir. C) Gruplar Lineer operatörlerin oluşturduğu en basit cebirsel yapı 'Grup' lardır. Bir kümesinin grup oluşturabilmesi için uyması gereken dört şart vardır : G operatör 152 A, B 1) Kapalılık : 2) Birimin varlığı G A : Bütün 1 A A1 A sağlayan bir 3) İnverslerin varlığı : Her A 1 A A A 1 1 A AB G için 1 G , vardır , için A1 G G için sağlayan bir A,B,C 4) Birleşme Özelliği : Her G G vardır, A BC A B C sağlanır. A,B Ayrıca her G için A,B 0 sağlayan gruplara 'Abelyen Grup' denir. Grup elemanlarının sürekli parametrelerin fonksiyonu olduğu ve bu parametrelerin sıfır değeri aldıkları durumda birim elemanının elde edildiği durumlarda ise grup 'Lie Grubu' olarak adlandırılır. D) Benzerlik Dönüşümü Ketlerin operatörler yoluyla Bu denklem bir S A S denklemi elde edilir. Böylece görülür ki ketlerin = S SA operatörü ile tekrar dönüştürülerek veya biçimsel simetriyi daha iyi vurgulayan biçiminde dönüştükleri görülmüştü. A S1 S S biçiminde dönüşmesine karşın operatörler S S , A S A S1 şeklinde dönüşmektedirler; buna 'Benzerlik Dönüşümü' denir. E) Matris Elemanları A j i ifadesi bir keti sembolize ettiğine göre bunun ,A j i A j i keti ile skalar çarpımı olan bir kompleks sayı olacaktır. Bu kompleks sayı A 153 operatörünün ve i ketleri arasındaki 'Matris Elemanı' olarak adlandırılır. j Operatörlerin matris elemanları daha basit bir biçimde ai j A i j A i j olarak da gösterilirler. Bir lineer operatörün kimliği, uzayın elemanı olan ketler üzerindeki etkisi ile belirlendiğine göre, operatörleri bütün matris elemanlarını vererek de tanımlamak mümkündür. F) Hermitsel Eşlenik A Her operatörü için bir 'Hermitsel Eşlenik' : A A A A B A * A , matris elemanları yoluyla olarak tanımlanabilir. Bu tanımdan olduğu görülmektedir. Bir çarpımın hermitsel eşleniği için geçerli olan B A bağıntısı ileride ispat edilecektir. G) Hermitsel ve Üniter Operatörler H H * şartını sağlayan operatörler 'Hermitsel' olarak adlandırılırlar. Hermitsel eşlenik tanımından olduğuna göre hermitsellik kısaca 'Üniter' operatörler ise ancak U * H H U1 U H * H demektir. U * şartını sağlarlar, olduğu için bu da kısaca U U1 demektir. Gerek hermitsel gerek üniter operatörler matematiğin uygulamalı alanlarında büyük önem taşıdıkları için bu tip operatörler üzerinde tekrar tekrar durulacak, U exp i H ilişkisinin bu iki operatör tipini birbirine bağladığı da görülecektir. 154 PROBLEMLER P.II.1) P.II.2) A,B 3 A , B1 P.II.3) d dx P.II.4) d dx A 1 P.II.5) eA B e A komütatörünü A x , B x B A,B ve A,B d dx cinsinden seri açılımını yapıp, sonra da P.II.6) A B 1 P.II.7) U1 U2 = B1 A1 ’nin üniter, A 1 A, 2! Baker - Hausdorff Lemma’sını ispatlayın. İpucu: ve komütatörünü değerlendirin. B 1 cinsinden ifade edin. ifadesini değerlendirin. A 1 türevini A B,B A durumunda 2 cinsinden ifade edin. A,B F e A 1 B e A kabul edin. olduğunu gösterin. H1 + H 2 'nin hermitsel olduğunu gösterin. ifadesinin 155 A+ P.II.8) P.II.9) U P.II.10) A ifadesinin 1 exp i ve B d dx A1 H + olduğunu gösterin. olduğunu gösterin. sabit operatörler olmak üzere A B x eA x 0 eB x denkleminin çözümü olduğunu gösterin. III. ÖZDEĞER PROBLEMİ A) Özdeğerler ve Özketler Bir operatörün kendine özgü bazı ketlere etkisi, onları sadece bir sayı ile çarpmaktan ibaret kalır. A a a a olarak ifade edilen bu özel durumda da 'Özket' olarak adlandırılırlar. a 'Özdeğer' , a ketinin, bütün operatörlerin keyfî özdeğerli özketi olduğu görülmektedir, ancak bu durum gerçek bir çözüm olarak ele alınmaz. Özketler doğal olarak özdeğerleri ile etiketlenirler. Özdeğer problemi : Verilen bir için bütün a özdeğerlerini ve bunlara karşılık gelen operatörün bütün özdeğerlerinin küme 'si a a A operatörü özketlerini bulmaktır. Bir , o operatörün 'Spektrum 'u olarak adlandırılır. Spektrumların benzerlik dönüşümünden etkilenmedikleri kolayca gösterilebilir. 156 B) Ortak Özketler a A a, b A hem de a, b B b A a, b BA a, b Ba a, b AB a, b 'nin hem A a B BA a, b B hem de A f a operatörlerinin A1 bağıntısının a 0 A,B A,B 0 A ketlerinin 1 a a sağlayan B a, b A,B ve h2 ve h1 H , f A a , B , a2 f A , ... , a3 aN olmasına rağmen operatörlerinden yararlanmak gerekir. h1 h1 h2 h1 h2 H h2 ve H h2 h1 Hermitsellik şartı H hermitsel operatörünün spektrumunun elemanları, de bunlara karşılık gelen özketler olsun. h2 h1 h1 h2 h2 veya h2 H h2 h h1 h2 2 h1 0 f yanı sıra kullanılarak h1 h2 0 A f a özel hali ileride yararlı olacaktır. Aynı a1 oluşu, 'nın yanısıra bütün C) Hermitsel Operatörlerin Özdeğer Problemi h1 bağıntısına en basit örnek özdeğerli özketleri olduğu görülür. yarattığı çokkatlılığın çözümlenmesinde . 'nin özketi olabilmesi için özdeğerine karşılık gelen birden fazla A,B a b a,b veya a durumunda b a a, b a,b şartının yeterli olduğunu göstermektedir. f ketlerinin varlığını kabul edelim. a, b Ab B a, b operatörlerinin etkisi aynı olur : olan denklemlerini sağlayarak hem BA a, b a, b a, b ve AB Böylece b a, b operatörünün özketi olan AB Bu kete B , a özketin a 157 h 2 h1 elde edilir. Önce h 1 h1 h1 h 1 h1 durumu ele alınırsa, denklem 0 h1 h 1 Reel veya h1 biçimine dönüşür ve h1 > 0 olduğundan olduğu anlaşılır. Böylece hermitsel operatörlerin bütün özdeğerlerinin reel olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu şart tekrar ilk denkleme takılarak h 2 h 1 h1 h1 0 h2 0 h2 h1 çok doğaldır; c h1 h1 durumu incelenerek olduğu gösterilir, bu da değişik özdeğerlere ait özketlerin ortogonallik şartıdır. Böylece h1 h 2 h1 bulunur. Sonra da h1 c h1 2 dışında her şey belirlenmiş olmaktadır; ancak bu belirsizlik h1 dönüşümü, özdeğer problemini aynı bıraktığına göre h1 gibi bir keyfîlik, problemin yapısından kaynaklanmaktadır. D) Üniter Operatörlerin Özdeğer Problemi u1 u2 ve ve u1 u1 u1 üniter operatörünün spektrumunun elemanları, de bunlara karşılık gelen özketler olsun. u2 Üniterlik şartı : U U , u1 U1 u1 ve 1 u1 u2 u1 u1 u 1 u1 1 için u2 u2 0 U1 u2 U u2 u1 elde edilir. Önce 1 u2 yanı sıra u2 u 2 u1 kullanılarak durumu ele alınarak, (ünimodülerlik) şartı elde edilir. Böylece üniter operatörlerin bütün özdeğerlerinin, kompleks düzlemde birim yarıçaplı bir daire üzerinde yer aldığı görülmektedir. Bu şart tekrar ilk denkleme takılarak 1 1 u 2 u1 u 2 u1 u1 bulunur. Sonra da durumu incelenerek u2 u1 u2 0 0 olduğu gösterilir. Böylece hermitsel operatörler gibi, üniter operatörlerin de özketleri ortogonal bir 158 küme oluşturmaktadırlar. u1 u1 ifadesi ise özdeğer probleminin yapısı gereği keyfî olma özelliğini korumaktadır. Daha sade ve kısa bir ispat ise her üniter operatörün U exp i H ,U H biçiminde yazılabilmesine dayanır : H , exp i H özketleri ortaktır. h Spektrum H u 0 = olmak üzere h olacağı için U ve olması u1 U exp ih Spektrum u2 H 0 operatörlerinin ve bağıntılarını gerektirir. Bundan böyle hem hermitsel, hem de üniter operatörlerin özketleri için h kullanılacaktır. E) Normalizasyon Gerek hermitsel gerek üniter operatörlerde özketlerin kendileri ile skalar çarpımlarının, yani norm karelerinin, keyfî oldukları görülmüştü. Bu ifadeleri belirgin bir değere kavuşturmak h için h 1 0 h Ayrık Spektrum h Sürekli Spektrum normalizasyonu benimsenecektir. Dirac Delta Fonksiyonu ve Kronecker Delta kavramları birleştirilerek: h , h h h h h h, h Ayrık Spektrum h, h Sürekli Spektrum tanımlanırsa, h , h 'nın eleme özelliği : olarak elde edilir. Burada S h S h sembolü, bir F h h , h F h h spektrumu üzerinden alınan, ayrık spektrumda toplam, sürekli spektrumda ise integral işlemini ifade etmektedir. 159 Böylece hermitsel ve üniter operatörlerin ortonormallik şartı h , h h h olarak verilir. F) Tamamlık keti ile çarpmak gerekir. Böylece elde edilen bir kompleks sayısı olduğu için, sonuç c gibi bir ifadenin, bir operatör olduğunu anlamak için, ifadeyi sağdan görülmektedir. c ketini c ifadesinde 'nın gene uzayın bir elemanı olduğu ketine dönüştüren işlem ancak bir operatörle çarpılma olabilir. Böylece operatör inşası için güçlü bir yöntem geliştirilmiş olmaktadır. Hermitsel veya üniter bir operatörün bütün özketlerinden oluşan ve h , h h h E ketlerle oluşturulan sağlayan bir S h h h h h h küme 'sini ele alalım. Gene bu operatörü, matris elemanlarının saptanması yoluyla incelenirse h h E h , h çıkmaktadır. h h S h h h S h h h h , h h , h E olduğu görülür; bundan da 1 1 sonucu denklemine 'Birimin Ayrıştırılması' veya kısaca 'Tamamlık' ifadesi denilmektedir. Kullanılan h küme 'si ise 'Tamam bir Ortonormal Küme' olarak adlandırılır. Geniş kullanım alanı olan bu özellik ilerideki uygulamalarda vurgulanacaktır. G) İzdüşüm Operatörleri P ,P , , P küme 'sinin, 'Tamam' bir 'İzdüşüm Operatör Küme 'si olabilmesi için sağlaması gereken iki şart vardır. Bunlar: 160 2) Tamamlık : P S Bunların ışığında A Pa a 1 şartlarıdır. H f P , P P 1) Ortogonallik ve İdempotans : operatörünün Özket ve Özbra 'larından oluşturulan izdüşüm operatörlerinin 'Tamam' olduğu ve bu operatörün, izdüşüm a A operatörlerinin özdeğer ağırlıklı toplamı olarak S = a a A biçiminde ifade edilebileceği gösterilebilir. Aynı yaklaşımla ve genelde A f S f a = a a f A a = S 1 a a a a ile verilir. Bu son bağıntı, seri açılımı a olmayan fonksiyonlar için bile 1 a inşasına olanak tanır. H) Tamamlık Uygulamaları S a a a = 1 ile verilen tamamlık bağıntısının en temel uygulaması matris çarpım kuralının elde edilmesinde görülmektedir. Ayrık indislerle yapılan A B i j = i 1= k k AB j A B i j yerleştirilerek, k i A k B k j = A k = ik B ve i B k j operatörleri arasına A k k k B j elde edilir. k Diğer bir örnek de h A tanımında A B h A S h A B h h = B A h h B eşitliğinin ispatıdır. Bu da A B h * = h S a * h = A h * h B h * = 161 S h A h h B h a S h B h h A h a h B A h [ A B] B A ve şeklinde yapılır. I) Düal Uzay [A B] B A + ifadesinin ışığında incelenmesinden, A A + tanımlarının ve ilişkilerinin kendi içinde tutarlı yakıştırmalar olduğu görülür. Böylece hermitsel eşlenik işlemi, Dirac Uzayının elemanlarını da kapsar hale gelmektedir. 'Bra' olarak adlandırılan D elemanları da bağımsız bir nitelik kazanmakta ve = Dirac uzayına düal bir uzayı oluşturmaktadır. Bu yaklaşımın bir uygulaması : Üniter dönüşümlerin Norm'u aynı bırakışının kısa bir Norm2 ispatını: = Norm2 U U U olarak elde etmektir. PROBLEMLER P.III.1) A A operatörünün hermitsel olup, pozitif bir spektruma sahip olduğunu ispatlayın. P.III.2) Tersi varolan her ayrılabileceğini, H ve AH U A operatörünün U operatörlerinin ifadelerini bularak gösterin. biçiminde çarpanlarına 162 P.III.3) = O olduğunu gösterin. P.III.4) Spektrumlarının benzerlik dönüşümünden etkilenmediklerini ispatlayın. P.III.5) Bir operatörün üniter bir dönüşümle diyagonal hale gelmesi için gerekli şart nedir ? Bu şarta uyan en genel 2 2 örneği inşa edin. Spektrum A P.III.6) P.III.7) n n = Spektrum B A ket’inin f c B n olduğunu gösterin. tamam ortonormal küme elemanları cinsinden olarak açılımı yapılmak isteniyor. n en küçük yapacak A,B P.III.8) Spektrum A B Norm2 0 III 1 ab , n a Spektrum b Spektrum A B olduğunu gösterin. I 2 II , ve 3 1 I ve , 1 II 2 , 2 , III , II , III , 3 , , inşa ’nin karışımı , 'ün karışımı, vs. metodu kullanılır. ( Schmidt Ortogonalleştirmesi ). İlk üç terim için karışım katsayılarını hesaplayıp I ifadesini durumunda küme’sinden yola çıkarak ortonormal bir küme: 1 n n cn katsayılarını bulun. İpucu : c n ve c n* iki bağımsız değişkendir. P.III.9) Normal fakat ortogonal olmayan ketlerden oluşan etmek için c f ifadelerini bulun. 163 IV. TEK BOYUTLU SÜREKLİ ORTAM UYGULAMALARI A) Konum Operatörü Sonsuz uzunlukta bir düz çizginin oluşturduğu tek boyutlu bir sürekli ortamı ele alalım. Bu çizgi üzerinde her P noktası önceden belirlenmiş bir O noktasına göre belli bir konumdadır. P 0 x x Bu konum x -ekseni olmak üzere x reel sayısı ile ifade edilebilir ve çizgi olarak adlandırılır. Konuyu lineer vektör uzayları yaklaşımı ile incelemek istersek, spektrumu x O x x x sayıları olan bir 'Konum Operatörü' x x x tanımlamak gerekir ve durum denklemi ile özetlenir. Bütün özdeğerleri reel olan bir operatör daima bir benzerlik dönüşümü ile hermitsel yapılabildiği için x operatörü de hermitsel kabul edilecektir. Böylece x özdeğerlerinin reel oluşları, x x x dx x x x denklemi yanı sıra, özketler için 1 x x x x ve bağıntıları geçerli olacaktır. B) Öteleme Simetrisi ve Jeneratörü Tek boyutlu sürekli ortamlarda ilk akla gelen simetri öteleme işlemidir. O keyfiliğinden kaynaklanan bu simetri dönüşümünü gerçekleştiren operatör gösterilerek G D a D a x xa a ifadesi elde edilir. küme 'sinin elemanları : noktasının D a ile 164 1) D a D b 3) D 1 a D a b D a D b D a , , 2) D a D b D c 4) D 0 = 1 D a D b D c şartlarını sağladıkları için abelyen bir lie grubu oluştururlar. Ayrıca x a x a 0 x x D a oluşu operatörünün normları koruduğu ve dolayısıyla üniter olduğunu göstermektedir. Böyle bir üniter operatör, 'Öteleme k Jeneratörü' adı verilen hermitsel bir D a exp i k denklemi k : Reel dk k a k k ile verilir ve k k k 1 bağıntıları geçerli olur. , k olarak ifade edilebilir. Öteleme jeneratörünün özdeğer k k operatörü yardımıyla, üstel biçimde k k , 'nın hermitselliğinden dolayı k k k k ve C) Yerel Öteleme ve Türev k operatörünün ketine etkisini incelemek için x öteleme ele alalım. Burada exp i parametresidir. k dx 1 i k dx k dx k i x dx x dx x exp i x k k dx d x dx i kullanılan yerel bir dx , sonsuz küçük olduğu için karesi sıfır olan bir öteleme exp i x a dx x xa öteleme denklemine açılımının uygulanması sonucu i x dx d x dx bulunur. Konum bra 'ları için geçerli olan denkleminden ise aynı yolla elde edilir. Bu bağıntılar öteleme jeneratörü ile türev işlemi arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktadır. 165 D) Weyl Cebiri x x x x özdeğer denklemi yerel bir benzerlik dönüşümü ile exp i k dx x exp i k dx exp i k dx veya exp i k dx x exp i k dx exp i Bu denklemin sağlanabilmesi için x,k f veya 1 i k dx x 1 + i k dx i 1 x x dx k dx biçimini alır. 1 i k dx x x dx 1 kullanılarak elde x dx 1 denkleminin açılımından ise sonucu elde edilir. Bu sonuç kolayca xn , k i n xn 1 x , k i f x x,k oluşturan x dx k dx k dx x exp i k dx exp i olması gerektiği görülmektedir. Gene edilen x exp i x i 1 , şeklinde genellenebilmektedir. Her şeyin temelini 1 , x 0 , k , 1 0 bağıntılarının tümü 'Weyl Cebri' olarak adlandırılır. x k E) Skalar Çarpımı d x dx x k i x k k i d denklemi sağdan x k dx basit diferansiyel denklemin çözümü d veya x keti ile çarpılarak k k x k dx ik x k C exp i k x elde edilir. Bu ile verilir. C 'nin değerini saptayabilmek için Dirac delta fonksiyonunun integral temsilinden yararlanmak gerekir. Dirac delta fonksiyonunun Heaviside basamak fonksiyonu kullanan türev temsili d U x dx x esas alınmak istenirse, değeri bir noktada sıçrama yapan bir integral seçilir. Mesela: dk sin k x k sgn x 2 U x 1 integralinin türevi 166 dk cos k x 2 x temsili elde edilir. L x L integrali sıfır olan sin k x x x 1 2 karşılaştırılmasından x dk ei k x x x dk cos k x integral aralığında ve daha genel olarak şeklinde ifade edilir. dk 1 2 C e i k x 2 x , dolayısıyla dk ei k x x x x Bunun k 1 2 fonksiyonundan katkı gelmeyeceği için Dirac delta 1 2 x fonksiyonu x verir ve x k k seçilebileceği ve x bağıntısı ile x ei k x 2 k , olduğu görülür. F) Fonksiyonlar ve Fourier Dönüşümleri Verilen bir F x sayısı için bir x sayısı elde edilmesi fonksiyon kavramının temelini oluşturur. Bu olgu Bra-Ket gösteriminde burada da her x Fonksiyon Kuralı F sayısına bir x ket 'i ile sembolize edilmekte, girmektedir. Her k olarak tanımlanır ve F x F k ve F k k F F x ile özetlenebilir, çünkü x F sayısı karşılık gelmektedir. Böylece F x yaklaşımındaki fonksiyon kuralı soyut bir x sayısı ise özbra 'sı yoluyla işleme x k F değerine karşılık gelen F x x F skalar çarpımı ise F k fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. arasındaki ilişkileri belirleyen dx işlemine 'Fourier Dönüşümü' ; k x x F 1 2 dx e i k x F x 167 F x x F dk x k k F 1 2 dk ei k x F k işlemine ise 'Ters Fourier Dönüşümü' denir. Bu integral dönüşümlerin kavramsal önemleri yanı sıra çok geniş uygulama alanları vardır. G) Parseval Özdeşliği G skalar çarpımı F dx x x 1 ve dk k k 1 özdeşlikleri kullanılarak iki ayrı biçimde dx G x x F dk fonksiyonlar kullanılarak yazılımı da F olur. G G k F olarak yazılabilir. Bu ifadenin dx G x F x durumunda k dx G x 2 dk G k F k dk G k 2 biçimini alan bu eşitlik 'Parseval Özdeşliği' olarak adlandırılır. H) Fonksiyon Çarpımlarının Fourier Dönüşümleri Bir fonksiyonunun Fourier Dönüşümünü elde etmek için x G çarpıp dx Bu ifadede iki tane dk x k dk k dx x ile integralini almak gerektiği görülmüştü. İki fonksiyonun çarpımının Fourier dönüşümü de aynı biçimde önce k k dx k x x G x F olarak tanımlanır. x bra 'sı olması işi zorlaştırmaktadır. Bunları tek 'e indirmek için k x k x 1 x G ve kullanılarak çarpımın Fourier dönüşümü x k k x k F k x olarak yazılır. Bundan sonra 1 2 k k x 168 1 2 özdeşlikleri yardımıyla bulunur. Bu noktada x x 1 2 çarpımının Fourier dönüşümü için 1 2 dk dx dk G k k F k dx k k x 1 kullanılarak, iki fonsiyonun dk x G k k G k F k F veya ifadesi elde edilebilir. I) Katlama İki Fourier dönüşümünün çarpımı olan G k F k dönüşümü 'Katlama' olarak adlandırılır ve G F x olmak üzere x GF dk Konum keti x x GF k x x k GF tek bir fonksiyonun sembolü ile gösterilir. Matematiksel tanımı x k k k integralini alabilmek için k gibi bir ifadenin Ters Fourier G k F olan katlama işleminde bra 'larından birini yok etmek gerekir. 'nın tamamlık özelliğinden yararlanılarak elde edilen dk dx x k x k ve k G k x k x x F 1 2 ifadesi x x k özdeşlikleri yardımıyla, önce x GF sonra da x GF dk 1 2 k k 1 2 dk 1 dx dx x x k k G x F integrali kullanılarak x x G x F haline getirilir. 169 G F x Böylece elde edilen 1 2 dx G x x F x katlama integralinin de uygulama alanı çok geniştir. J) Yansıma Bu bölümde son olarak, tek boyutlu sürekli ortamların ayrık simetrisi olan 'Yansıma' ele alınacaktır. Pozitif yön seçimini keyfîliğinden kaynaklanan bu simetri, yansıma operatörü x tanımıyla x x üniterliği ; 1 biçiminde gösterilir. 0 x x 2 x oluşundan, normu koruyan oluşundan ise operatörünün operatörünün aynı zamanda hermitsel olduğu anlaşılmaktadır. Hem üniter hem de hermitsel olan yansıma operatörünün spektrumu doğal olarak denklemine uygulanan x x x 1 , 1 x x ile sınırlıdır. Konum operatörünün özdeğer x x x elde edilir ve benzerlik dönüşümünden x x bulunur. Yansıma işleminin öteleme ve özketine etkisini incelemek için aynı benzerlik dönüşümü x,k i 1 bağıntısına uygulanarak k dolayısıyla k k k olduğu görülür; olmaktadır. PROBLEMLER P.IV.1) P 0 dx x x ve P tamam bir izdüşüm operatör küme 'si olduğunu gösterin. 0 dx x x operatörlerinin 170 P.IV.2) T a 1 a 0 1 a , matrislerinin Abelyen bir Lie grubu oluşturduğunu gösterip, öteleme grubuyla ilişkisini kurun. P.IV.3) x,k i 1 ifadesinden yola çıkarak x komütatörünü k , f x i f x olduğunu gösterin. P.IV.4) k2 , f k operatörleri sağda, x ' in fonksiyonları solda kalacak biçimde hesaplayın. P.IV.5) P.IV.6) exp i a k f exp i a x x k k exp i a k exp i a x k ifadesini hesaplayın. ve exp i a x k x ifadelerini Baker - Hausdorff Lemma 'sını kullanarak hesaplayın. P.IV.7) exp i a x k ifadesini hesaplayın. P.IV.8) İntegral tablosunda yer alan 0 a du a2 u2 2 0 2 sonucundan yola çıkarak x , a 0 , a 0 , a 0 için bir integral ifadesi elde edin. exp i a x k 171 P.IV.9) dx F x G x 2 dx F x 2 dx G x 2 olduğunu gösterin. x H G F P.IV.10) çifte katlama integralini, yani üç Fourier dönüşümü çarpımının ters Fourier dönüşümünü inşa edin. P.IV.11) 0 olmak üzere C a) Norm 'u korumak için b) S exp i doğru seçimin c) 1 x,B d) x,k S , ix i B 1 S x k,B f) Hermitsel bir x ölçek dönüşümünde : olması gerektiğini, tanımının yararlı olamayacağını, exp i n 0 1 B olduğunu, olmak üzere yerel bir ölçek dönüşümü yapıp olduğunu, komütatörünün aynı kalması için olması gerektiğini gösterin. e) C komütatörünü hesaplayın. B x , k inşa edin. S k 1 k 172 V. DİFERANSİYEL OPERATÖRLER VE HERMİTSELLİK A) Öteleme Jeneratörü ve Fonksiyon Türevleri k x Öteleme Jeneratörünün sağladığı i d x dx denkleminin sağdan F keti ile çarpımından x k k ve dolayısıyla k 2 d i F d F x dx i i F F F F x F dx ve genelde i F x i k bulunur. Böylece i i k F (n) n F F F x F , ilişkisi elde edilmektedir. B) Türevlerin Fourier Dönüşümü F x ifadede k F x F F k fonksiyonunun Fourier dönüşümü i k F i k F F k ile gösterilir. Bu bağıntısı kullanılarak ik k F i k F k sonucuna varılır. Bu yaklaşımın üst üste uygulanmasıyla 2 'inci türevin Fourier dönüşümü için k F k F n k 2 F k i k n , F k n 'inci türevin Fourier dönüşümü için ise elde edilir. C) Diferansiyel Denklemlerle İlişki Değişik mertebede türevler, fonksiyon ketine öteleme jeneratörünün üst üste uygulanması ile ifade edilebildiğine göre her d f x , y x = Q x dx diferansiyel 173 f denkleminin arkasında düşünülebilir. f x , i k x , i k ifadesinin y k gibi bir ket denkleminin yattığı Q cinsinden bir polinom olduğu özel durumlar ise lineer diferansiyel denklemlere karşılık gelirler. Genelde fn x kn yazılışında, terimleri biçiminde ve k f fn x L olur. f x , i k F2 , F1 , Fo F2 x k 2 i F1 x k + Fo x x bra 'sı ile çarpıldığı özdeğerleri ile değiştirmek mümkün diferansiyel operatörünün polinom olan ve reel değerli L fn x operatörlerini ifadesinin açık operatörlerini en sağda bırakacak şekilde düzenlemeye özen gösterilir. Böylece denklem soldan zaman hermitsel x , i k k cinsinden ikinci derecede fonksiyonları ile oluşturulan ve olarak ifade edilen ikinci mertebe lineer diferansiyel operatörler uygulama açısından büyük önem taşırlar. İnceleme konusu F2 x y x F1 x y x Fo x y x Q x L oluşturan L L y Q denkleminde L diferansiyel denkleminin alt yapısını operatörünün sağlayarak hermitsel olduğu durumlar özellikle incelenecek ve böyle bir operatörün özdeğer problemini oluşturan n n n üzerinde önemle durulacaktır. D) İntegral Denklemlerle İlişki F2 x k2 i F1 x ile skalar çarpımından k Fo x y Q F2 x y F1 x y Fo x y Q x denkleminin ortaya çıktığı görülmüştü. Aynı ket denkleminin k ile çarpılıp sonra da k dk k bra 'sı diferansiyel bra 'sı ile skalar çarpımının da bir integral denkleme dönüşeceğini görmek mümkündür. denklemi önce soldan x ket denkleminin k L y 1 Q 174 kullanılarak k L k k F2 x k F2 x dk i k F1 x k 2 i k F1 x k k2 k F x k biçiminde ifadesinden sonra k k k y bağıntısı bulunur. k Q k Fo x k k k Fo x k dx F x matris elemanı üç parça halinde : olarak yazılır. ve k L k x F x k x k k k genel teriminin F x x 1 2 1 2 k k F x F2 x y F1 x y Fo x y Q x k x k , x k k x F k k veya x k x k x özdeşlikleri kullanılarak sonucuna ulaşılır. Böylece diferansiyel denklemine karşılık gelen integral denklem : 1 2 k , k olmak üzere F2 k k k 2 i F1 k k k Fo k k dk k , k y k q k biçiminde bir 'Birinci Cins Fredholm İntegral Denklemi' dir. Aynı sonuca daha kestirme olarak diferansiyel denklemin Fourier Dönüşümü yoluyla da varmak mümkündür. E) Hermitsellik L L F2 x k 2 i F1 x k + Fo x diferansiyel operatörünün hermitsel eşleniği k 2 F2 x i k F1 x + Fo x sağa almak için k F1 x k 2 F2 x F1 x k F2 x k , F1 x k2 operatörüdür. k2 k2 , F2 x özdeşlikleri ve ve , k terimlerini 175 k , F1 x i F1 x k2 , F2 x , 2 i F2 x k F2 x bağıntıları kullanılarak L F2 x k2 i 2 F2 x F1 x elde edilir. Bu durumda ve F1 x F2 x L L k Fo x F1 x F2 x olabilmesi için gerekli şartların oldukları görülmektedir. Ancak bunlardan F1 x F2 x F1 x F2 x öteki şartı da içerdiği için tek başına yeterlidir. L Böylece L F2 x k2 i F2 x k + Fo x operatörü veya hermitselliği daha aşikar bir biçimde ortaya koyan k F2 x k + Fo x biçiminde yazılır. Ancak hermitsellik tanımının matris elemanları yoluyla yapıldığı ve elde edilen bu sonuçların geçerli olabilmesi için incelenen operatörün özketlerinin bir Genelleştirilmiş Hilbert Uzayı 'nın elemanları olması gerektiği unutulmamalıdır. F) Hermitselliğin Yararları Hermitsel bir diferansiyel operatörün özketlerinden Tamam ve Ortonormal bir fonksiyon kümesi elde etmekte yararlanılır. n n n özdeğer denklemini F2 x k2 i F2 x k + Fo x k F2 x k + Fo x sağlayan operatörünün özdeğerleri reel olur ve özketler ayrık spektrumlar için m n n n mn n 1 dx m x n x mn x x bağıntılarını sağlarlar. Keyfî bir n n x x n F fonksiyonunun açılımı bu kümenin elemanları 176 n F 'ler cinsinden yapılabilir. c n n açılımının n F n n F cn n F özdeşliği ile karşılaştırılmasından açılım n katsayılarının Ayrıca dx n* x F x ile verildiği görülmektedir. operatörünün bütün fonksiyonlarının projeksiyon operatörleri kullanılarak inşası mümkün olmaktadır. Bu yaklaşımla F F n n n n ifadesi elde edilir. Bu denklemin özel hali olan 1 n n n n eşitliğinden ileride Green Fonksiyonları inşasında yararlanılacaktır. PROBLEMLER P.V.1) F4 x d4 d3 d2 d F x F x F1 x Fo x 3 2 4 3 2 dx dx dx dx diferansiyel operatörünün hermitsel olabilmesi için F1 x , Fo x P.V.2) i k fonksiyonlarının uyması gereken şartları belirleyin. = k2 I x f1 x i fonksiyonları ile F4 x , F3 x , F2 x , k Schrödinger diferansiyel operatörünü f 2 x biçiminde çarpanlarına ayırıp f1 x ve f2 x I x arasındaki bağıntıları bulun. Bu sonucun Riccati diferansiyel denklemi ile ilişkisini ortaya koyun. 177 P.V.3) k1 F x k G x ifadesini, k 1 k ve operatörlerini bir araya getirerek basitleştirin. Elde ettiğiniz sonucu, bildiğiniz bir integral metodu ile ilişkilendirin. sonra da [ 1 , 0 , fo exp f1 2 P.V.4) [ f 2 , f1 , f o ] y dx f12 4 f1 DD 'ini önce 2 f2 ] 1 f y ( x ) exp dx 1 ( x) f 2 2 f1 [1 , f2 , fo f2 ] y benzerlik dönüşümü ile biçimine dönüştürün. olduğunu gösterin. VI. HERMİTSELLLEŞTİRME METODLARI VE STURM - LIOUVILLE SİSTEMLERİ A) Standart Biçim Bundan böyle gerektiğinde kısaca L L f2 , f1 , fo f 2 x k 2 i f1 x k + f o x f2 2. mertebe diferansiyel operatörün yer aldığı f2 bu konuyla ilintili olarak , f1 , f o f2 x yn ile gösterilecek olan d2 d f1 x fo x 2 dx dx , f1 , f o n yn y q özdeğer denklemi, uygulamalı matematiğin temel konuları arasındadır. Diferansiyel operatörde olması sağlanarak olarak adlandırılır. L 1 , f1 , fo DD 'i ve f2 1 olarak yazılmışsa, bu durum 'Standart Biçim' 178 B) Çarpan Yoluyla Hermitselleştirme F1 F2 olduğu için n n n sağlayıp hermitsel olan ve özdeğer denklemine sahip bir F2 x k2 i F2 x k + Fo x k F2 x k + Fo x Q 1 Q n n n n L L olduğu için hermitsel olmayan diferansiyel operatörünün yer aldığı DD 'inde bu yaklaşım mümkün değildir. (1) Bu imkansızlığın ardında q L operatörünün özdeğer denkleminin gene halde L DD 'inin özel çözümü Q olarak kolayca bulunur. Öte yandan reel bir f 2 x k 2 i f1 x k + f o x y = Q f1 f 2 spektruma sahip, ancak diferansiyel operatörünün yer aldığı L olduğu için oluşturmaması ve elde f L yn , özellikle de n yn L olarak yazılabildiği yn ketlerinin tam bir ortonormal küme L1 için bir reçete olmaması yatar. Öte yandan reel spektruma sahip tüm operatörlerin bir benzerlik dönüşümü ile hermitsel yapılabildiği de bilinmektedir. Dolayısıyla böyle durumlarda hermitselleştirme metotları devreye girer. Her şeyin temelini oluşturan denklemini soldan x ile çarparak hermitsel olması sağlanabilir. kolayca f2 0 exp f1 f2 0 f2 f2 dx L yn n x L diferansiyel operatörünün f1 yn özdeğer biçimine dönüşen hermitsellik şartı ifadesine götürür. (2) Uygulamada olmasına özen gösterilir. İleride kullanılacak ifadesinin reel olabilmesi için bu gereklidir. Bu metodun hermitsel olmayan bir operatörün 179 özdeğer problemine uygulanması, operatörü hermitsel yapmakla beraber, özdeğer L probleminin karakterini bozar. Yani L n yn yn L için geçerli n x K yn denkleminin yerine gelen K K denkleminde yn sağlanmakta, ancak bu sefer de denklem özdeğer karakterini kaybetmektedir. Bu durumdan çıkış yolu değişken dönüşümleri olacaktır. C) Bağımlı Değişken Dönüşümü n x K yn 1 1 K 1 H 1 n n H 1 1 H L hermitselleşmenin H ; 1 n n n 1 L ym 1 ortonormallik bağıntısı ve n tanımlarıyla 1 oluşundan, bağımlı değişken dönüşümü sonunda elde edilen, n H n n bağıntıları sağlanır. n m yn yn ile yapılan benzerlik dönüşümüyle elde edilen n n mn yn ym özdeşlikleri kullanılarak elde edilen gereği n 1 yn operatörüne bir benzerlik dönüşümü uygulanarak sağlandığı tamam bir ortonormal küme oluşturur ve n m denkleminde n K hermitsel operatörün özdeğer problemi : yn ile çarparak elde edilen elde edilir. yn görülmektedir. 1 denklemini soldan n yn K n H yn 1 ; ve yn mn tamamlık bağıntısına yn yn 1 180 n x K yn ifadesi sonuçlarıdır. (3) yn yn ym arasına dx x yn mn ortonormallik bağıntısında x yerleştirilerek elde edilen = 1 x dx ym* x yn x m n x x ve x genelleştirilmiş özdeğer denkleminin temel x ve ve tamamlık bağıntısının matris elemanı alınarak elde edilen yn x yn* x x x x 'in neden 'Ağırlık eşitlikleri n 1 Fonksiyonu' olarak adlandırıldığına açıklık getirmektedir. ve L n yn yn F F L yn n yn yn x n sonuçlarından yararlanarak genelde yn x L1 , özel durumunda ise n L1 yn yn x n n yq çözümü L1 q L elde edilir. ise yq y q yn veya yq x yq x x dx n x dx G x, x q x Green fonksiyonunun G x , x n anlaşılır. yn x yn* x n yn q n n DD 'inin özel q x ile verilir. Bu sonucun biçiminde ifade edilebilmesi için de yn x yn* x n olarak tanımlanması gerektiği 181 D) Bağımsız Değişken Dönüşümü Λ +K Λ K k F2 x k + Fo x n x K yn x soldan yn olmak üzere hermitsel operatörün genelleştirilmiş özdeğer denklemi, d d F x F x 2 o dx yn x n x yn x dx bra’sı ile çarpılarak x denklemi elde edilir. Bu eşitliğin ile bölünmesinden ise 1 d 1 d F2 x x Fo x yn x n yn x x dx x dx noktada d x dx F2 x x dönüşümü gereği yn x tanımına dayalı x Yn g 2 Fo x ; ifadesine erişilir. Bu bağımsız değişken go , uyarlamaları yapılarak d d d g 2 d go Yn n Yn denklem, yeni bağımsız değişken denklemine erişilir. (4) Bu yeni açısından hermitsel bir diferansiyel operatörün özdeğer denklemidir. Bunun sonucu olarak d Ym* Yn m n Y Y n * n ( Ortogonallik ) ( Tamamlık ) n koşulları sağlanır. x x fonksiyonunun bağımsız değişken dönüşümünün sağlıklı olması için x 'in monotonik artan, sürekli bir fonksiyonu olması istenir. Bu da 'Ağırlık Fonksiyonu' olarak adlandırılan x fonksiyonunun şartını sağlaması demektir. Ancak, sonlu sayıda ayrık noktada veya integre edilebilen bir sonsuzluk olması şartıyla vardır. Çünkü bu koşullar altında da her 0 x x 0 x x dx , x dx 2 2 olmasına olmasına da izin aralığı x 182 ölçeğinde genleşip, büzülüyor ama , d x dx d Ym Yn m n aralığı x aralığına dönüşüyor demektir. Pratikte yapmak yerine , için x için gene dönüşümünü açıkça kullanılması yoluna gidilmektedir. Böylece ortonormallik bağıntısı x dx ym x yn x m n Y Y biçimine, n n n tamamlık bağıntısı da monoton artan fonksiyonlar için geçerli F x F xo x veya x xo F xo özdeşliği yardımıyla x x x yn x yn x n yn x yn x x x biçimine dönüşür. Bu sonuçlar, bağımlı n ve bağımsız değişken dönüşümlerin temelde eşdeğer olduklarının kanıtıdır. E) İnvaryant Biçim L f2 , f1 , fo üzere H diferansiyel operatörünün L 1 exp f1 f2 dx olmak f2 benzerlik dönüşümü yoluyla hermitselleştirilmesinde, uzun ve yorucu hesaplar sonucu elde edilen ve ilk bakışta karmaşık görünen 1 f 2 , f 2 , f o 2 halinde f f 2 1 1 4 f2 f f2 I 1 , 0 , fo 1 1 2 4 f f 2 2 1 ifadesi olarak basitleşmektedir. Böylece her operatörü önce standart biçime sonra da benzerlik dönüşümü yoluyla biçimine sokulabilir. 'İnvaryant Biçim' olarak adlandırılan ifadesindeki f2 1 I I L 1, 0 , I 1, 0 , I I x 'e de 'İnvaryant Fonksiyon' denir. Sonuç olarak en genel 2. mertebe diferansiyel denklemin bile tek bir I x fonksiyonu ile karakterize edilebileceği 183 görülmekte ve diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmaları için güçlü bir metot kazanılmış olmaktadır. F) Sınırlı Bölgede Hermitsellik Sonlu bir doğru parçasındaki nokta sayısının, sonsuz bir doğru parçasındaki nokta sayısına 'eşit' olması şaşırtıcı bir gerçektir. İki sayının da sayılamayacak derece sonsuz olmasından kaynaklanan bu 'eşitlik' , x -ekseninin tamamında kurulabilecek zenginlikte bir matematik yapının herhangi bir m n L dx m a,b n L aralığında da kurulmasına imkan sağlamaktadır. Eskiden m a a,b b a b a ve d2 d f 2 dx 2 f1 dx f o n dx m b a veya konum uzayında d2 d d2 d f f f dx f f1 fo m 1 o n n 2 2 dx 2 2 dx dx dx ile tanımlanan hermitsellik, bu defa b d2 d dx n f 2 2 f1 f o m dx dx aralığında b a d2 d dx n f 2 2 f1 fo m dx dx olarak tanımlanmaktadır. d m d2 d dx n f 2 2 m n f 2 m f2 n dx dx dx b a b b d m d f1 m f1 n dx m a a dx dx dx n b a dx n f o m b a dx m f o n b a dx m d2 f2 n dx 2 f1 n bağıntıları kullanılarak elde edilen eşitliğin benzer terimlerinin karşılaştırılmasından hermitsellik için gene f1 f 2 b olmasının gerektiği, ancak buna ek olarak d m* d n m* f 2 n 0 dx dx a 184 sınır şartının geldiği görülmektedir. Bu sınır şartının y dönüşümü sonucu b dym dyn ym f 2 yn 0 dx dx a biçimini alacağı kolayca hesaplanabilir. Yukarıdaki sınır şartını gerçekleştirmenin en yaygın ve kestirme dört yolu : i) a b ; f2 a f2 b ii) f2 a f2 b 0 iii) a y a b y b 0 iv) a y a b y b 0 ; y a y b a ve ; y a y b koşullarının sağlanmasıdır. En karışık ve zormuş gibi görünen ilk yol, b değerlerinin aynı fiziksel noktaya karşılık geldiği durumlarda kendiliğinden gerçekleşir. Buna karşılık çok basitmiş gibi görünen ikinci yol, fiziksel şartların f2 1 olmasını gerektirdiği durumlarda işe yaramaz. Üçüncü ve dördüncü yolların öngördüğü koşullar da uygulamalı matematikte sık rastlanan sınır şartlarını içerdikleri için yararlı olurlar. G) Sturm - Liouville Sistemleri Λ K k F2 x k + Fo x olmak üzere K yn n ( x) yn ket denklemlerine, Sturm - Liouville sistemleri denir. Bu denklemin önceden incelenen genelleştirilmiş özdeğer denklemine özdeş olduğu görülmektedir. Sturm - Liouville sistemlerinin önemli bir özelliği genelde gerekçesi vardır. B AA n 0 olmasıdır. Bunun çok basit bir tipi operatörler, hermitsel olmaları yanı sıra pozitif 185 B spektrumlara sahiptirler. Çünkü b b B b b b Öte yandan uygulamalarda b A+ A b b b operatörünün özdeğerleri için Norm2 A Norm 2 b b seçildiği için bağıntısı geçerlidir. k F2 x k operatörünün temelini oluşturan F2 x 0 0 F2 x k terimi ise k F2 x olarak yazılabilir ve negatif bir spektruma sahip olur. Yukarıda açıklanan metotla Sturm Liouville sistemlerini herhangi bir a,b aralığında gerçekleştirmek imkanı vardır. Ancak bu halde bilinen sınır şartlarını da göz önüne almak gerekecektir. Uygulamalı matematiğin temel Sturm - Liuoville denklemleri aşağıdaki tabloda sunulmaktadır. İSİM CHEBYSHEV I F2 x 1 x 2 LEGENDRE 1 x2 GENEL LEGENDRE 1 x2 CHEBYSHEV II 1 x 2 1 Fo x x 0 n2 1 x 2 3 2 2 ARALIK 1 2 1 , +1 0 1 1 1 , +1 m2 1 x2 1 1 1 , +1 0 n n 2 2 1 x 2 1 2 1 , +1 x 0 , R 1 0 , R n exp x 0 , 0 n x k exp x 0 , exp x 2 0 2n exp x 2 , 1 0 2 1 , BESSEL x 1 KÜRESEL BESSEL x2 1 LAGUERRE x exp x 0 GENEL LAGUERRE x k 1 exp x HERMITE HARMONİK OSİLATÖR 1 186 PROBLEMLER P.VI.1) 0 , 5 ve 5 , bölgelerinde d 2 d r dr dr diferansiyel operatörünün x ile çarparak hermitsel hale özdeğer ve özfonksiyonlarını bulun. P.VI.2) x , x , F 0 KHGDD 'i 1 1 getirin. P.VI.3) x 2 , x , x 2 2 J 0 x 2 , 2 x , x 2 karşılaştırarak P.VI.4) J x Bessel DD 'inin ve 1 j 0 ve j x Küresel Bessel DD 'inin invaryant biçimlerini arasındaki ilişkiyi bulun. F2 yn F1 yn n yn 0 DD ’ini d d P dx P dx n yn 0 biçimine sokabilmek için gerekli şartı bulun. P.VI.5) 1 x 2 , x , n 2 Tn 0 Chebyshev I DD 'ini önce Sturm - Liouville biçimine sokun, sonra da uygun bir trigonometrik değişken dönüşümü yaparak Tn x cos n cos 1 x P.VI.6) olduğunu gösterin. 1 x 2 , 3 x , n n 2 U n 0 biçimine sokun. Chebyshev II DD 'ini Sturm - Liouville 187 P.VI.7) x , x , P.VI.8) x 1 x , 1 x , F 0 1 1 KHGDD 'i 2 F1 0 HGDD ’i Sturm - Liouville biçimine sokun. P.VI.9) x 2 y 2 2 2x y x e n x x 1 y 0 n x DD 'ini invaryant biçime sokup, bu biçime karşılık gelen integral denklemi inşa edin. P.VI.10) x xo P.VI.11) F x F xo x xo F xo olduğunu F x fonksiyonunun etrafında Taylor açılımını yaparak gösterin. 2 2 n 1 x 1 x sin n x sin n x 2 n x 1 x , 0 x x , x x 1 olduğunu gösterin. İpucu: Sağ tarafın uygun bir diferansiyel denklemin belli bir aralıkta geçerli Green fonksiyonu, sol tarafın da bu Green fonksiyonunun seri açılımı olduğu gösterilebilir. 188 VII. FONKSİYON UZAYLARI VE AÇILIMLAR A) Fonksiyon Açılımları a,b Bir Sturm - Liouville sistemi ( SLS ) 'nin, ağırlıklandırılınca tamam ve ortonormal olan özketleri taşlarını oluştururlar. Herhangi bir ile , fonksiyon açılımlarının yapı yn keti F x aralığında yn x yn 1 n F tamamlık bağıntısı kullanılarak yn yn x F olarak yazılır. n Dolayısıyla F x fonksiyonu da cn x F F x yn c n yn x b a a,b aralığında x dx yn x F x x 1 olarak açılır. , tanımıyla yn n durumunda bu n denklemler cn b a dx n x F x , F x c n n x olarak n basitleşirler. Hermitsellik için gerekli sınır şartını sağlamanın dört yaygın yolunun f2 a f2 b i) a b ii) a f2 a b f2 b 0 iii) a y a b y b 0 iv) a y a b y b 0 ; ; y a y b ; y a y b olduğu görülmüştü. Şimdi bu yollar teker teker ve örnekleri ile ele alınacaktır: i) Açısal bir değişken için gelirler. Bu durumda 0, ve 2 SLS 'nden Fourier açılımı elde edilir. 2 değerleri aynı fiziksel noktaya karşılık aralığında uygulanan ilk yol sonucu oluşturulan 189 ii) 1 , 1 1 f 2 1 1 f 2 1 0 aralığında sağlayan en basit SLS 'nin, Legendre DD 'i olduğu görülür ve bu aralıkta açılımlar Legendre polinomları cinsinden yapılabilir. iii) Bessel DD 'ini 0,b aralığında 0 y 0 b y b 0 sağlayan bir SLS 'ne dönüştürmek mümkündür. Dolayısıyla söz konusu aralıkta açılımlar Bessel fonksiyonları yardımıyla yapılmaktadır. iv) Gene Bessel DD 'inden 0, b aralığında 0 y 0 b y b 0 sağlayan bir SLS oluşturup, açılımlarda Bessel fonksiyonlarının türevlerinden yararlanmak yoluna gidilebilir. B) Fourier Açılımı Bir dönmeyi belirleyen değişkeni için 0, 2 ; ve 0 2 noktaya karşılık gelir. Bu durumda y 0 y 2 0 y 0 y 2 ; 2 F 2 0 F 2 2 Fo 0 , 1 F1 0 seçilir, doğal olarak elde edilen çözümlerinin m 0 m 2 m m2 , m 0, 2 , sağlayabilmesi için m 0, 1, 2 , aralığında herhangi bir F olması gerekir. Dolayısıyla fonksiyonu , olmaktadır. Böylece d2 m m m DD ’inin m N m exp m d 2 ei m 2 ; şartları kendiliğinden sağlanır. aralığında inşa edilecek bir SLS 'nde basitlik açısından F2 1 aynı fiziksel 190 m cm F cm m 1 2 F ei m 2 2 0 d e i m F olmak üzere biçiminde açılabilmektedir. Belirli yansıma özellikleri olan m 0 özfonksiyonlara geçişte cm ei m c m e i m için cm cos m i sin m c m cos m i sin m Am 1 2 Am sonucu 1 0 ve F 1 cm 2 0 m 0 c m cm c i 2 c m m cm d sin m F Ao 1 2 c m olarak yazılması d cos m F i 2 Bm Bm 2 cm çift'inin 1 2 2 0 d F Am cos m m 1 tanımlarıyla Bm sin m açılımı elde edilir. C) Legendre Açılımı w cos değişkeninin 1 , 1 aralığında inşa edilecek bir SLS 'nde 1 F 2 1 1 F 2 1 0 olması istenirse, en basit tercih F 2 w 1 w2 F 1 w 2 w amacıyla da olacaktır; bu da F o w 0 seçilirse w 1 olmasını gerektirir. Basitlik 1 w2 , 2 w , 0 Bu ifadenin, Helmholtz denkleminin küresel polar koordinatlarda değişkenlerine ayrılmasından ortaya çıkan , elde edilir. 191 d2 d P w 2 w P w 2 dw dw 1 w 2 1 P w 0 Legendre DD 'i ile karşılaştırılması 0, 1, 2 , w , sonuçlarını vermektedir. Dolayısıyla c F F w 2 1 2 c P w 1 1 2 1 P w 2 1 , 1 , aralığında her dx P w F w 1 fonksiyonu F olmak üzere biçiminde açılabilir. 0 D) Fourier - Bessel Açılımı I 2 k 2 r 0 Helmholtz denkleminin silindir koordinatlarda değişkenlerine ayrılması sonucu ortaya çıkan s 2 d2 d J s J 2 ds ds s : 0, b s 2 J 0 2 2 2 0 Bessel DD 'inden aralığında bir SLS oluşturulabilir. Ancak akla ilk gelen yaklaşım: 1 s , 1 , 2 s J s 2 J s s ; öngördüğü için yanlıştır. , ağırlık fonksiyonu olarak s 1 s , s 0 s 1 s ve noktasında integre edilemeyen bir sonsuzluğa sahip olduğu için ağırlık fonksiyonu olamaz; ayrıca 0 şartı da yerine getirilmemektedir. 2 2 s , 1 , s J s s J s denkleminde ise olmakta ve arzu edilen biçim elde edilmektedir. s s , 2 192 0 y 0 b y b 0 0 J 0 R J R 0 R J R şartını sağlamak için R 'nin ifadesinin sıfır olması da seçilmesi ile mümkün olur. Diğer bir deyişle z n J z n Böylece 0 R 0 0 J 0 olması gerekmektedir. , n 1, 2, 3, ... zaten sıfırdır. J 'nun sıfırları olacak şekilde : J 'nun n 'inci sıfırı, yani tanımı ile s s s ds J z n J z m ~ n m R R z n R olarak seçilmelidir. olmaktadır. Normalizasyon katsayısının bazı Bessel integralleri kullanılarak hesaplanmasından da 2 R J 1 z n s J z n R s s ağırlık fonksiyonu ile n 1, 2 , 3, ... , 0, R fonksiyonlarının aralığında tamam bir ortonormal küme oluşturdukları belirlenir. Aynı aralıkta fonksiyon açılımları da A n F s 2 R 2 J21 z n n 1 R 0 s s ds J z n F s R s A n J z n R olmak üzere biçiminde yazılır. Bu açılımda toplamın, değişik mertebe Bessel fonksiyonları üzerinden değil de aynı mertebe Bessel fonksiyonlarının değişik sıfırları üzerinden yapıldığı unutulmamalıdır. E) Fourier - Bessel Açılımı II Bessel DD 'inden 0, R işlemlerden sonra bu defa da aralığında SLS oluşturmanın bir başka yolu da aynı 0 y 0 b y b 0 0 J 0 R J R 0 R J R 0 demektir. sağlanabilmesi için ise türevinin sıfırları olarak seçilmesi gerekir. R 0 J 0 şartını koşmaktır. Bu zaten sıfırdır, ’nin bu defa Bessel fonksiyonunun J z n 0 , n 1, 2 , 3, ... 193 z n R denklemini sağlayan bu değerler cinsinden olur. Gerekli normalizasyon integralleri hesaplanarak R J z n 2 1 2 J z n z 2n 0, R fonksiyonlarının s R n 1, 2, 3, ... , s s aralığında , ağırlık fonksiyonuyla, tamam ve ortonormal bir küme oluşturduğu bulunur. Buna göre aynı aralıkta F s fonksiyonunun açılımı için 2 B n 2 2 R 1 2 J z n z n 2 F n 1 s B n J z n R R 0 s s ds J Z n F s R denklemleri geçerlidir. F) Özfonksiyonların Yansıma Özellikleri x 1 ve Fo x , zamanda n F x F x fonksiyonları F 2 x F 2 x olur. Bu da n halinde, eğer bir 0 olmasını ve SLS 'nde yer alan F 2 x sağlayan 'Çift Fonksiyon' larsa Fo x Fo x , ve dolayısıyla operatörünün özketlerinin aynı operatörünün özketleri olmasını gerektirir. Yansıma operatörünün hem hermitsel hem de üniter oluşunun spektrumunu n çarpımından x Böylece n n n 1 , 1 bağıntısı elde edilmekte ve x n x n ile sınırladığı görülmüştü. x bra’sı ile soldan veya n x n x olduğu gözlenmektedir. Bu da özfonksiyonların tek veya çift 194 fonksiyon olarak kesin yansıma özellikleri olduğunu göstermektedir. Ancak Fourier örneğinde olduğu gibi, bazı çokkatlılık hallerinde, bu kurala kolayca giderilebilecek aykırılıklar gözlenebilir. PROBLEMLER P.VII.1) n 0 , 1 , 2 , . . . tamam fakat ortogonal değildir. yoluyla 1 , 1 için x n x 1 xn sağlayan n küme 'si seçerek ve Schmidt ortogonalleştirmesi aralığında oluşturulacak ortonormal fonksiyon kümesinin ilk dört elemanını hesaplayın. P.VII.2) U Birim Basamak fonksiyonunun 0, 2 aralığında Fourier açılımını yapın. P.VII.3) yapın. P.VII.4) SGN x İpucu: işaret fonksiyonunun c1 F 1 , 1 aralığında Legendre açılımını 3 7 11 , c3 , c5 2 8 16 fonksiyonunun Fourier - Bessel II açılımlarını yapın. 0, R aralığında Fourier - Bessel I ve 195 EKLER VE NOTLAR (1) Uygulamalı matematiğin kısmi diferansiyel operatörleri hermitsel olsalar bile değişik koordinat sistemlerinde değişkenlere ayrılma sonucu ortaya çıkan diferansiyel operatörler hermitsel olmayabilirler. (2) Bu noktada x ile DD 'in Wronskian’ı W x arasındaki 1 f2 W ilişkisi göze çarpmaktadır. (3) yn yn n genelde a yn yn 1 tamamlık ifadesi benzerlik dönüşümleri ile 1a n 1 biçimini alır. (4) Bağımsız değişken dönüşümü sonucu fonksiyon karakterlerinin değişmesi doğaldır. Mesela y sin x gibi bir trigonometrik fonksiyon, değişken dönüşümü sonucu Y 1 2 x tan 1 bağımsız gibi cebirsel bir fonksiyona dönüşür.
