Kuantum Mekaniği II Telafi Sınavı Bahar 26.06.2015 (Örgün)

Kuantum Mekaniği II Telafi Sınavı Bahar 26.06.2015 (Örgün)
1. Hidrojen atomunun 𝑊𝑓 + 𝑊ℎ𝑓 katkılarındaki tüm terimleri tek tek detaylandırarak açıklayınız. Bu
atomun temel seviyesine
𝑊ℎ𝑓 = −
𝜇0
{
𝑞
4𝜋 𝑚𝑅3
𝑳. 𝑴𝑰 +
1
𝑅3
[3(𝑴𝒔 . 𝒏)(𝑴𝑰 . 𝒏) − 𝑴𝒔 𝑴𝑰 ] +
8𝜋
3
𝑴𝒔 . 𝑴𝑰 𝛿(𝑹)} pertürbasyonun
katkısını hesaplayınız.
2. Hidrojen atomuna z-yönünde manyetik alan uygulandığında verilen Hamiltonyeni 𝐻 = 𝒜𝑰. 𝑺 +
2𝜔0 𝑆𝑧 uygun bir baz kullanarak köşegenleştirip, sistemin özdeğer ve özvektörlerini bulunuz. Bu
sonuçlardan yararlanarak düşük manyetik alanlarda sistemi tasvir eden durumları, (özdeğer ve
özvektörleri) belirleyiniz. Düşük manyetik alanda elde edeceğiniz bu sonuçları doğrudan elde
etmek için hangi baz kullanılmalıdır, detaylı bir açıklama veriniz.
3. |𝜑⟩ 𝑣𝑒 |𝜓⟩ bireysel durumlarında olduğunu bildiğimiz iki özdeş parçacıktan oluşan bir sistem ele
alınız (⟨𝜑|𝜓⟩ = 0).
a. Bu sistemin özdeş parçacıklar için (hem fermiyon hem bozon) uygun olan durum keti |𝜑; 𝜓⟩
için bir ifade yazınız.
b. Her iki parçacığa da ait A gibi bir gözlenebiliri ölçmek istiyoruz. A, dejenere olmayan kesikli
öz durumlara sahip, yani: 𝑨|𝑢𝑖 ⟩ = 𝑎𝑖 |𝑢𝑖 ⟩. Ölçümün hemen ardında parçacıklardan biri için
𝑎𝑛 ve diğeri için de 𝑎𝑚 bulma olasılığı 𝑃(𝑎𝑛 , 𝑎𝑚 )’ı hesaplayınız. Ölçümden sonra n=m, yani
|𝑢𝑛 ⟩ = |𝑢𝑚 ⟩ olursa fermiyon ve bozonlar için bu olasılık ne olur.
c. Eğer sistemi oluşturan parçacıklar özdeş değil, ayırdedilebilir olsaydı, yukarıda elde ettiğiniz
sonuçlar ne olurdu, hesaplayınız.
4. S=1/2 olan iki parçacık +z yönünde B0 şiddetinde bir üniform manyetik alanın etkisi altındadır.
a. Sistemin Hamiltonyeninin uzay kısmı ihmal edilerek 𝐻 = −𝑩 ∙ (𝜸𝟏 𝑺𝟏 + 𝜸𝟐 𝑺𝟐 ) olarak ifade
edildiğini varsayınız. Sistemin enerji özdeğerlerini ve bu özdeğerlere tekabül eden özketleri
bulunuz. (0 > 𝛾1 > 𝛾2 )
b. İki parçacığın spinlerinin 𝑊(𝑡) = 𝑎0 exp{−𝑡 2 /𝜏 2 } 𝑺𝟏 ∙ 𝑺𝟐 şeklinde etkileştiğini varsayınız.
t=−∞’da sistem birinci uyarılmış enerji seviyesinde bulunmaktadır. t=+∞’da sistem hangi
enerji seviyelerine geçiş yapabilir? Bu geçişlerin gerçekleşme olasılıklarını hesaplayınız.
Y. Gürkan Çelebi
𝐻 = 𝑚𝑐 2 +
𝑃2
𝑃4
1 1 𝑑𝑉(𝑅)
ℏ2
+ 𝑉(𝑅) −
+
𝐿.
𝑆
+
∆𝑉(𝑅) + ⋯.
2𝑚
8𝑚3 𝑐 2 2𝑚2 𝑐 2 𝑅 𝑑𝑅
8𝑚2 𝑐 2
𝐽+ |𝑗, 𝑚⟩ = ℏ√𝑗(𝑗 + 1) − 𝑚(𝑚 + 1)|𝑗, 𝑚 + 1⟩
𝐽− |𝑗, 𝑚⟩ = ℏ√𝑗(𝑗 + 1) − 𝑚(𝑚 − 1)|𝑗, 𝑚 − 1⟩
∞
𝐼(𝑘, 𝑝) = ∫0 𝑟 𝑘 𝑒
−
𝑝𝑟
𝑎0
𝑑𝑟
𝑎
𝐼(𝑘, 𝑝) = 𝑘! ( 0 )
𝑝
𝑘+1
𝑅1,0 (𝑟) = 2(𝑎0
−𝑟
−3⁄
2 )𝑒 ⁄2𝑎0