İçindekiler

 İçindekiler
Ön Söz xiii
ANA
KISIM
1 Adi Diferensiyel Denklemler
1
BÖLÜM 1 Birinci-Mertebe Diferensiyel Denklemler 3
1.1 1.2. 1.3 1.4 Terminololoji ve Değişkenlerine Ayrıştırılabilir Denklemler 3
Lineer Denklemler 16
Tam Diferensiyel Denklemler 21
Homojen, Bernoulli ve Riccati Denklemleri 26
1.4.1 Homojen Diferensiyel Denklem 26
1.4.2 Bernoulli Denklemi 27
1.4.3 Riccati Denklemi 28
1.5 İlave Uygulamalar 30
1.6 Varlık ve Teklik Soruları 40
BÖLÜM 2 Lineer İkinci MertebeDenklemler 43
2.1 Lineer İkinci Mertebe Diferensiyel Denklem 43
2.2 Sabit Katsayılı Hal 50
2.3 Gayri – Homojen Denklemler 55
2.3.1 Parametrelerin Değişimi Yöntemi 55
2.3.2 Belirsiz Katsayılar Yöntemi 57
2.3.3 Süperpozisyon ilkesi 60
2.4 Kütle -Yay Sisteminin Hareketi 61
2.4.1 Zorlanmamış Hareket 62
2.4.2 Zorlanmış Hareket 66
2.4.3 Rezonans 67
2.4.4 Genlik Modülasyonu 69
2.4.5 Elektrik Devresi ile Analoji 70
2.5 Euler Diferensiyel Denklemi 72
BÖLÜM 3 Laplace Dönüşümü 77
3.1 Tanımlar ve Gösterim 77
3.2 Başlangıç Değer Probleminin Çözümü 81
3.3. Kaydırma ve Heaviside Fonksiyonu 84
V
VI
İçindekiler
3.4 3.5 3.6 3.7 3.3.1 Birinci Kaydırma Teoremi 84
3.3.2 Heaviside Fonksiyonu ve Puls 86
3.3.3 Heaviside Formülü 93
Konvolüsyon 96
İmpuls ve Delta Dirac Fonksiyonu 102
Denklem Takımının Çözümü 106
Polinom Formunda Katsayılar 112
3.7.1 Polinom Katsayılı Diferensiyel Denklemler 112
3.7.2 Bessel Fonksiyonları 114
BÖLÜM 4 Seri Çözümler 121
4.1 Güç Serileri Çözümü 121
4.2 Frobenius Çözümleri 126
BÖLÜM 5 Çözümlerin Yaklaşıklığı 137
5.1 Doğrultu Alanları 137
5.2 Euler Yöntemi 139
5.3 Taylor ve İyileştirilmiş Euler Yöntemi 142
ANA
KISIM
2 Vektörler, Lineer Cebir ve Lineer Diferensiyel Denklem
Sistemleri 145
BÖLÜM 6 Vektörler ve Vektör Uzayları 147
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Düzlemde ve 3 Boyutlu Uzayda Vektörler 147
Nokta Çarpım 154
Vektörel Çarpım 159
Rn Vektör Uzayı 162
Dikleştirme 175
Dik Tamamlayıcılar ve İzdüşümler 177
C[a, b] Fonksiyon Uzayı 181
BÖLÜM 7 Matrisler ve Lineer Sistemler 187
7.1 Matrisler 187
7.1.1 Diğer Bir Açıdan Matris Çarpımı 191
7.1.2 Terminoloji ve Özel Matrisler 192
7.1.3 Kristaller İçinde Random Yürüyüşler 194
7.2 Elemanter Satır İşlemleri 198
7.3 İndirgenmiş Satır Diziliş Formu 203
7.4 Satır ve Sütün Uzayları 208
7.5 Homojen Sistemler 213
7.6 Gayri - Homojen Sistem 220
7.7 Matrislerin Tersi 226
7.8 En Küçük Kareler Vektörleri ve Data Uydurma 232
7.9 LU Ayırma İşlemi (LU Factorization) 237
7.10 Lineer Dönüşümler 240
İçindekiler
VII
BÖLÜM 8 Determinantlar 247
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Determinantın Tanımı 247
Determinantların Değerlendirilmesi I 252
Determinantların Değerlendirilmesi, II 255
A-1 İçin Determinant Formülü 259
Kramer Kuralı 260
Matris Ağacı Teoremi 262
BÖLÜM 9 Özdeğerler, Dikleştirme ve Özel Matrisler 267
9.1 Özdeğerler ve Özvektörler 267
9.2 Dikleştirme 277
9.3 Bazı Özel Matris Tipleri 284
9.3.1 Dik Matrisler 284
9.3.2. Üniter Matris 286
9.3.3 Hermitian ve Çarpık Hermitian Matrisler 288
9.3.4 Kuadratik (İkinci Derece) Formlar 290
BÖLÜM 10 Vektör Diferensiyel Hesap 295
10.1 Lineer Sistemler 295
10.1.1 X′ = AX Homojen Sistemi 296
10.1.2 Gayri-Homojen Sistemler 301
10.2 Sabit A Matrisi Halinde X′ = AX Sisteminin Çözümü 302
10.2.1 A nın Kompleks Özdeğere Sahip Olduğu Zamanki Çözüm 306
10.2.2 A nın n adet Lineer Bağımsız Özvektöre Sahip Olmadığı Zamanki Çözüm 308
10.3 X′ = AX + G Sisteminin Çözümü 312
10.3.1 Parametrelerin Değişimi Yöntemi 312
10.3.2 A’yı Köşegenelleştirerek Çözüm 314
10.4 Exponansiyel Matris Çözümleri 316
10.5 Uygulamalar ve Tekniklerin Örneklendirilmesi 319
10.6 Faz Potreleri 329
10.6.1 Özdeğerelere Göre Sınıflandırma 329
10.6.2 Avcı/Av ve Türlerde Rekabet Modeli 338
ANA
KISIM
3 Vektör Analizi 343
BÖLÜM 11 Vektör Diferensiyel Hesap 345
11.1 11.2 11.3 11.4 Bir Değişkenli Vektör Fonksiyonları 345
Hız ve Eğrilik 349
Vektör Alanları ve Akım Çizgileri 354
Gradiyent Alanı 356
11.4.1 Seviye Yüzeyleri, Teğet Düzlemler ve Normal Çizgileri 359
11.5 Diverjans ve Curl 362
11.5.1 Diverjansın Fiziki Yorumu 364
11.5.2 Curl'un Fiziki Yorumu 365
VIII
İçindekiler
BÖLÜM 12 Vektör İntegral Hesabı 367
12.1 Çizgisel İntegraller 367
12.1.1 Yay Uzunluğuna Göre Çizgisel İntegral 372
12.2 Green Teoremi 374
12.3 Green Teoreminin Bir Genişlemesi 376
12.4 Yoldan Bağımsızlık ve Potansiyel Teori 380
12.5 Yüzey İntegralleri 388
12.5.1 Bir Yüzeye Normal (dik) Vektör 389
12.5.2 Bir Yüzeye Teğet Düzlem 392
12.5.3 Parçalı Düzgün Yüzeyler 392
12.5.4 Yüzey İntegralleri 393
12.6 Yüzey İntegrallerinin Uygulamaları 395
12.6.1 Yüzey Alanı 395
12.6.2 Bir Kabuğun Kütlesi ve Kütle Merkezi 395
12.6.3 Yüzeyden Olan Sıvı Akısı 397
12.7 Green Teoreminin R3 Uzayına Genişletilmesi 399
12.8 Gauss Diverjans Teoremi 402
12.8.1 Arşimed İlkesi 404
12.8.2 Isı Denklemi 405
12.9 Stokes Teoremi 408
12.9.1 3-Boyutlu Uzayda Potansiyel Teori 410
12.9.2 Maxwell Denklemleri 411
12.10 Eğrisel Koordinatlar 414
ANA
KISIM
4 Fourier Analizi, Özel Fonksiyonlar ve Özfonksiyon Açılımları 425
BÖLÜM 13 Fourier Serileri 427
13.1 Neden Fourier Serisi? 427
13.2 Bir Fonksiyonun Fourier Serisi 429
13.2.1 Çift ve Tek Fonksiyonlar 436
13.2.2. Gibbs Olayı 438
13.3 Sinüs ve Kosinüs Serileri 441
13.3.1 Kosinüs Serisi 441
13.3.2 Sinüs Serisi 443
13.4 Fourier Serilerinin İntegrasyonu ve Türetilmesi 445
13.5 Faz Açısı Formu 452
13.6 Kompleks Fourier Serileri 457
13.7 Sinyallerin Filtrelenmesi 461
BÖLÜM 14 Fourier İntegrali ve Dönüşümü 465
14.1 Fourier İntegrali 465
14.2 Fourier Kosinüs ve Sinüs İntegralleri 468
14.3 Fourier Dönüşümü 470
14.3.1 Filtreleme ve Dirac Delta Fonksiyonu 481
İçindekiler
14.3.2 Pencerelenmiş Fourier Dönüşümü 483
14.3.3 Shannon Örnekleme Teoremi 485
14.3.4 Düşük-Geçişli (Low-Pass) ve Bandgeçişli Filtre 487
14.4 Fourier Kosinüs ve Sinüs Dönüşümleri 490
14.5 Ayrık Fourier Dönüşümü 492
14.5.1 DFT’nin Lineerlik ve Periyodikliği 494
14.5.2 N-noktalı Ters DFT 494
14.5.3 Fourier Katsayılarının DFT Yaklaşımı 495
14.6 Örneklemeli Fourier Serileri 498
14.7 Fourier Dönüşümü İçin DFT Yaklaşımı 501
BÖLÜM 15 Özel Fonksiyonlar ve Özfonksiyon Açılımları 505
15.1 Öz Fonksiyon Açılımları 505
15.1.1 Bessel Eşitsizliği ve Parseval Teoremi 515
15.2 Legendre Polinomları 518
15.2.1 Legendre Polinomlarının Üretken (Generating) Fonksiyonu 521
15.2.2 Legendre Polinomları İçin Rekürans Bağıntı 523
15.2.3 Fourier-Legendre Açılımları 525
15.2.4 Legendre Polinomlarının Sıfırları 528
15.2.5 Yüklü Parçacıkların Dağılımı 530
15.2.6 Bazı İlave Sonuçlar 532
15.3 Bessel Fonksiyonları 533
15.3.1 Gamma Fonksiyonu 533
15.3.2 Birinci Nevi Bessel Fonksiyonları 534
15.3.3 İkinci Nevi Bessel Fonksiyonları 538
15.3.4 Asılı Zincirde Yerdeğiştirmeler 540
15.3.5 Bir Çubuğun Kritik Uzunluğu 542
15.3.6 Modifiye Bessel Fonksiyonları 543
15.3.7 Alternatif Akım ve Yüzey Etkisi 546
15.3.8 J n (x) lerin Üretken Fonksiyonu 548
15.3.9 Rekürans Bağıntıları 549
15.3.10 Bessel Fonksiyonlarının Sıfırları 550
15.3.11 Fourier-Bessel Açılımları 552
15.3.12 Bessel İntegralleri ve Kepler Problemi 556
ANA
KISIM
5 Kısmi Diferensiyel Denklemler 563
BÖLÜM 16 Dalga Denklemi 565
16.1 Dalga Denkleminin Çıkarılışı 565
16.2 Bir Aralıkta Dalga Hareketi 567
16.2.1 Sıfır Başlangıç Hızı 568
16.2.2 Sıfır Başlangıç Yerdeğiştirmesi 570
16.2.3 Sıfır Olmayan Başlangıç Yerdeğiştirmesi ve Hızı 572
16.2.4 Sabitlerin ve Başlangıç Şartlarının Etkisi 573
16.2.5 Zorlama Terimi Halinde Dalga Hareketi 575
IX
X
İçindekiler
16.3 Sonsuz Ortamda Dalga Hareketi 579
16.4 Yarı-Sonsuz Ortamda Dalga Hareketi 585
16.4.1 Fourier Sinüs ya da Kosinüs Dönüşümüyle Çözüm 586
16.5 Laplace Dönüşümü Tekniği 587
16.6 Karakteristikler ve d’Alambert Çözümü 594
16.6.1 İleri ve Geri Dalgalar 596
16.6.2 Zorlanmış Dalga Hareketi 599
16.7 Dairesel Membranın Titreşimleri, I 602
16.7.1 Normal Titreşim Modları 604
16.8 Dairesel Membranın Titreşimleri, II 605
16.9 Dikdörtgensel Zarın Titreşimleri 608
BÖLÜM 17 Isı Denklemi 611
17.1 Başlangıç ve Sınır Şartları 611
17.2 [0, L] Üzerinde Isı Denklemi 612
17.2.1 Uçları Sıfır Derecede Tutulan Çubuk 612
17.2.2 Yalıtılmış Uçlar 614
17.2.3 Isı Yayan Uç 615
17.2.4 Problemlerin Dönüşümü 618
17.2.5 Kaynak Terimi İçeren Isı Denklemi 619
17.2.6 Sınır Şartları ile Sabitlerin Etkileri 622
17.3 Sonsuz Bir Ortamdaki Çözümler 626
17.3.1 Reel Eksen Üzerindeki Problemler 626
17.3.2 Fourier Dönüşümü İle Çözüm 627
17.3.3 Yarı-Sonsuz Eksen Üzerindeki Problemler 629
17.3.4 Fourier Sinüs Dönüşümü İle Çözüm 630
17.4 Laplace Dönüşüm Teknikleri 631
17.5 Sonsuz Silindirde Isı İletimi 636
17.6 Dikdörtgensel Plakta Isı İletimi 638
BÖLÜM 18 Potansiyel Denklemi 641
18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 Laplace Denklemi 641
Dikdörtgen İçin Dirichlet Problemi 642
Disk İçin Dirichlet Problemi 645
Poisson İntegral Formülü 648
Sınırsız Bölgeler İçin Dirichlet Problemi 649
18.5.1 Üst Yarı Düzlem 650
18.5.2 Dik Çeyrek Düzlem 652
18.6 Küp İçin Dirichlet Problemi 654
18.7 Küre İçin Kalıcı-Durum Denklemi 655
18.8 Neumann Problemi 659
18.8.1 Dikdörtgen İçin Neumann Problemi 660
18.8.2 Bir Disk İçin Neumann Problemi 662
18.8.3 Üst Yarı-Düzlem İçin Neumann Problemi 664
İçindekiler
ANA
KISIM
6 Kompleks Fonksiyonlar 667
BÖLÜM 19 Kompleks Sayılar ve Fonksiyonlar 669
19.1 Kompleks Sayıların Aritmetik ve Geometrisi 669
19.2 Kompleks Fonksiyonlar 676
19.2.1 Limit, Süreklilik ve Diferensiyellenebilirlik 677
19.2.2 Cauchy-Riemann Denklemleri 680
19.3 Eksponansiyel ve Trigonometrik Fonksiyonlar 684
19.4 Kompleks Logaritma 689
19.5 Kuvvetler 690
BÖLÜM 20 Kompleks İntegrasyon 695
20.1 Bir Kompleks Fonksiyonun İntegrasyonu 695
20.2 Cauchy Teoremi 700
20.3 Cauchy Teoreminin Sonuçları 703
20.3.1 Yoldan Bağımsızlık 703
20.3.2 Şekil Değiştirme Teoremi 704
20.3.3 Cauchy İntegral Formülü 706
20.3.4 Harmonik Fonksiyonların Özellikleri 709
20.3.5 Türevler Üzerinde Sınırlar 710
20.3.6 Genişletilmiş Şekil Değiştirme Teoremi 711
20.3.7 Cauchy İntegral Formülünün Başka Bir Şekli 713
BÖLÜM 21 Fonksiyonların Seri Gösterimleri 715
21.1 Kuvvet Serileri 715
21.2 Laurent Açılımı 725
BÖLÜM 22 Tekillilikler ve Rezidü Teoremi 729
22.1 Tekillilikler 729
22.2 Rezidü Teoremi 733
22.3 Reel İntegrallerin Değerlendirilmesi 740
22.3.1 Rasyonel Fonksiyonlar 740
22.3.2 Kosinüs ya da Sinüs ile Çarpılmış Rasyonel Fonksiyonlar 742
22.3.3 Kosinüs ve Sinüslü Rasyonel Fonksiyonlar 743
22.4 Rezidüler ve Ters Laplace Dönüşümü 746
22.4.1 Bir Silindirdeki Isı İletimi 748
BÖLÜM 23 Konform Tasvir ve Uygulamaları 751
23.1 Konform Tasvir 751
23.2 Konform Tasvirin Oluşturulması 765
23.2.1 Schwarz-Christoffel Dönüşümü 773
XI
XII
İçindekiler
23.3 Dirichlet Probleminin Konform Tasvir Çözümü 776
23.4 Düzlemsel Sıvı Akış Modelleri 779
ANA
KISIM
7 Olasılık ve İstatistik 789
BÖLÜM 24 Olasılık 791
24.1 Olay, Örnek Uzayı ve Olasılık 791
24.2 Dört Sayma İlkesi 794
24.2.1 Çarpım İlkesi 794
24.2.2 Permütasyonlu Sayma 795
24.2.3 n Nesne Arasından Sıralı Olarak r Nesne Seçmek 795
24.2.4 n Nesneden r Nesnesinin Sırasız Seçimi 796
24.3 Tamamlayıcı Olaylar 800
24.4 Şartlı Olasılık 801
24.5 Bağımsız Olaylar 803
24.6 Ağaç Diyagramları 805
24.7 Bayes Teoremi 807
24.8 Beklenen Değer 812
BÖLÜM 25 İstatistik 815
25.1 Merkez ve Varyasyan Ölçümü 815
25.1.1 Merkez Ölçümü 815
25.1.2 Değişken Ölçümü 817
25.2 Random Değişkenler ve Olasılık Dağılımları 819
25.3 Binom ve Poisson Dağılımları 822
25.3.1 Binom Dağılımı 822
25.3.2 Poisson Dağılımı 824
25.4 Normal Dağılımlı Veri ve Çan Eğrileri 826
25.4.1 Standart Çan Eğrisi 835
25.4.2 68, 95, 99.7 Kuralı 835
25.5 Merkezi Limit Teoremi 837
25.6 Güven Aralıkları ve Popülasyon Oranı 843
25.7 Popülasyon Ortalaması ve Öğrenci Dağılımı 847
25.8 Korelasyon ve Regresyon 850
EK A
MAPLE Temelleri 861
Seçilmiş Problemlerin Cevapları 873
Dizin 945