1 1.G R Ş Katı cisimlerin hareketlerinin matematikte önemli bir yeri

1.GİRİŞ
Katı cisimlerin hareketlerinin matematikte önemli bir yeri vardır. Hareketler, uzaklığı
koruyan dönüşümlerle verilir. Homotetik hareketler ise açıları koruyan dönüşümlerle
verilir. Hareketler homotetik hareketlerin özel halidir. Ani hareketlerin helis veya spiral
hareketle olması hareketin homotetik olması ile yakından ilgilidir.
Ani hareketler,
hareket Lie grubunun Lie cebiri ile de ilgilidir.
Bu tezde homotetik hareketlerin özel halleri ele alınıp incelenmiştir. Herhangi bir sabit t
anında homotetik hareketin hız vektörünün özel bir lineer vektör alanı olduğu
söylenmiştir. Daha sonra bu hız vektör alanının yörüngesinin bir eksen etrafında dönme,
öteleme, spiral ya da helis hareketi yaptığı incelenmiştir. Ani uzay hareketlerinde bir
noktanın yörüngesinin helis olduğu belirtilmiştir. Ani homotetik hareketlerde ise bir
noktanın yörüngesinin spiral olduğu gösterilmiştir. Bu ilişkiler incelenirken diferansiyel
geometrinin konularından olan Lie grupları ve Lie cebirlerinden de yararlanılmıştır.
Spiral vektör alanları, Karger ve Novak (1985) ele aldığı lineer vektör alanları olarak ele
alınıp bu vektör alanlarının ani hareketlerle ilişkisi incelenmiştir.
Ani homotetik hareketlerde bir noktanın yörüngesinin, spiral vektör alanlarının integral
eğrileri olarak verilebileceği gösterilmiştir. Spiral vektör alanlarına bir matris karşılık
getirilmiş ve bu matrisin rankı yardımıyla yörüngelerin cinsi belirlenmiştir.
Doğru elemanlarının Plücker koordinatlarının bazı temel gerçekleri açıklanmıştır.
Çizgiler Geometrisi ve Öklid Kinematiği arasındaki bağlantılardan bahsedilmiştir.
1
2.TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde tez için gerekli olan bazı temel kavram ve teoremleri vereceğiz.
2.1 n-Boyutlu Öklid Uzayı
Tanım 2.1.1 (Afin Uzay)
A ≠ ∅ bir cümle ve V de ℑ cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer bir
ψ : A× A → V
dönüşümü P, Q ∈ A noktaları için
( P, Q ) → ψ ( P , Q )
şeklinde tanımlanmış ve aşağıdaki iki aksiyomu sağlıyor ise A cümlesine V vektör
uzayı ile birleştirilmiş bir afin uzay denir.
(i) ∀ P, Q, R ∈ A için
ψ ( P, R) = ψ ( P, Q) + ψ (Q, R)
dir.
ur
ur
(ii) ∀ P ∈ A ve ∀ α ∈ V için ψ ( P, Q ) = α olacak şekilde bir tek Q ∈ A noktası vardır
(Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.1.2 (Öklid Uzayı)
n-boyutlu bir reel iç çarpım uzayı
n
olsun.
n
ile birleşen
Öklid uzayı denir ve E n ile gösterilir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.1.3 (Öklid Koordinat Sistemi)
E n de bir nokta p = ( p1 ,..., pn ) olsun. 1 ≤ i ≤ n olmak üzere,
2
n
afin uzayına n-boyutlu
xi : E n →
p → xi ( p) = pi
biçiminde tanımlı xi fonksiyonuna E n nin i -yinci koordinat
fonksiyonu denir. Eğer p noktasının bileşenleri bir dik çatıya göre verilmişse
{ x1 ,..., xn } sistemine
E n nin Öklid koordinat sistemi denir veya dik koordinat sistemi
denir (Hacısalihoğlu 1980).
2.2 E n de Hareketler
Tanım 2.2.1 (İzometri)
E1n ve E2n sırasıyla n-boyutlu V1 ve V2 iç çarpım uzayları ile birleşen birer Öklid uzayı
olsunlar. Bir
f : E1n → E2n
afin dönüşümü ∀α , β ∈ V1 için
ψ (α ),ψ ( β ) = α , β
olacak şekilde bir
ψ : V1 → V2
lineer dönüşümü ile birleşiyorsa f ye bir izometri denir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.2.2 (Dönme)
En in bir f izometrisi için eğer
f (O) = O ,
O ∈ En
olacak şekilde bir O noktası mevcut ise f ye O etrafında bir dönme denir
(Hacısalihoğlu 1980).
3
En de O etrafında dönmelerin cümlesi Ro(n) ile gösterilirse, bu cümle bileşke işlemine
n
göre bir grup olup, I (E ) in bir alt grubudur.
Teorem 2.2.1
En ile eşleşen
n
n-boyutlu standart reel vektör uzayında
n
X , Y = ∑ xi yi , X = ( x1 ,..., xn ) Y = ( y1 ,..., yn )
i =1
Öklid iç çarpımını koruyan ortogonal grup O(n) ile, O = (0,..., 0) noktasını sabit
bırakan dönme grubu eşlenebilir (Hacısalihoğlu 1980).
n
Yani herhangi bir R0 ∈ R0(n) dönmesinin E deki bir X noktasının R0 altındaki
görüntüsü Y olmak üzere
Y = AX ,
A ∈ O(n)
biçiminde ifade edilebilir.
Tanım 2.2.3 (Öteleme)
En in bir f izometrisi için eğer, X = ( x1 ,..., xn ) ∈ E n olmak üzere
f ( X ) = ( x1 + t1 ,..., xn + tn ) , ti ∈ , 1 ≤ i ≤ n
n
ise f ye E de bir öteleme denir (Hacısalihoğlu 1980).
En deki bütün ötelemelerin cümlesi T(n) ile gösterilirse, bu cümle dönüşümlerin bileşke
n
işlemine göre bir değişimli grup olup, I( E ) in bir alt grubudur.
Teorem 2.2.2
En n-boyutlu Öklid uzayının katı hareketlerinden birinin matrisi B olmak üzere
 aij  ∈ O(n)
1≤ i ≤ n
4
(n + 1) × (n + 1) tipinde reel ve regüler bir matristir. Bu cins matrislerin grubu
GL(n + 1, ) nin bir alt grubu olarak ifade edilebilir (Hacısalihoğlu 1980).
n
Teorem 2.2.2 ye göre, B matrisine tekabül eden genel izometri , E
deki bir
X noktasının B altındaki görüntüsü Y olmak üzere, matris formunda
Y = AX + C , A ∈ O(n) , C ∈ T (n)
şeklinde ifade edilir.
Tanım 2.2.4 (Hareket)
n
n-boyutlu bir E n Öklid uzayının izometrilerinden biri f olsun. E deki bir
{ x1 ,..., xn } dik koordinat sistemine göre
ve C ∈
n
1
f nin matrisel ifadesi, A ∈ O(n) ,yani det A = ±1
olmak üzere ,
Y   A C   X 
1  =  0 1   1 
  
 
dir. det A = 1 ise f hareketine direkt hareket, det A = −1 ise f hareketine karşıt
hareket denir (Hacısalihoğlu 1980).
Y = AX + C ile verilen harekette sabit bir X ∈ E n noktasının resmi Y dir. Burada AX
kısmına hareketin dönme kısmı denir. Hareketin parametresi t olmak üzere
Y = AX dönme kısmını ele alalım. Hareketli uzayın sabit X noktasının hız vektörü
•
Y=
•
dY
dA
, A=
dt
dt
olmak üzere
•
•
Y = AX
ile verilir. Böylece
•
•
Y = A AT Y
olur.
5
Tanım 2.2.5 (Darboux Matrisi)
•
Ω = A AT
olmak üzere
•
Y = ΩY
ifadesinde bulunan Ω anti-simetrik matrisine A ya karşılık gelen hareketin Darboux
matrisi denir (Bottema, Roth 1979).
Tanım 2.2.6 ( E n de Eğri)
n-boyutlu Öklid uzayı E n ve
α :I ⊆
nin bir irtibatlı açık alt cümlesi I olmak üzere
→ En
dönüşümü diferensiyellenebilir ise α ( I ) cümlesine E n de bir eğri denir (Hacısalihoğlu
1983).
2.3 Lie Grubu Ve Lie Cebiri
Tanım 2.3.1 (Lie Grubu)
Bir M diferensiyellenebilir manifoldu ve bir G grubu verilmiş olsun.Eğer aşağıdaki
aksiyomlar sağlanırsa (M,G) ikilisine bir Lie Grubu denir.
L1 : M nin noktaları G nin elemanları ile çakışır.
L2 : • : M → M
(a,b) → a • b-1
işlemi her yerde diferensiyellenebilirdir.
M ye Lie Grubunun temel manifoldu ve G ye de temel grubu denir (Hacısalihoğlu
1980).
6
Tanım 2.3.2 (Lie Cebiri)
V bir vektör uzayı olmak üzere
[,] : V × V → V
(x, y ) → [,] (x, y ) = [ x, y ]
işlemi,
1) Bilineer
2) Antisimetrik
3) [ x, y ] , z  + [ y, z ] , x  + [ z , x ] , y  = 0 özelliklerine sahipse (V , [,]) ikilisine bir Lie
cebiri denir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.3.3 (Matris Lie Grubu)
{a 
ij
n× n
aij ∈
}
matris uzayının bir alt manifoldu, matrislerin çarpımı işlemine göre bir grup ise bu
gruba Matris Lie grubu denir (Hacısalihoğlu 1980).
Tanım 2.3.4 3 de ortogonal matrislerin cümlesi
O
3A 33 : A T A AA T I
şeklinde tanımlanır. Bu cümle matris çarpma işlemine göre bir gruptur. Bu gruba
ortogonal grup denir (Karger, Novak 1979).
3 ortogonal grubunun bir alt grubu olan ve
Tanım 2.3.5 O
SO
3AR33 : A T A AA T I, detA 1
şeklinde tanımlanan gruba özel ortogonal grup denir (Karger, Novak 1979).
Tanım 2.3.6 SO (3) Lie grubuna karşılık gelen so(3) Lie cebiri aşağıdaki şekilde
tanımlanır (Karger, Novak 1979).
7
é
ïìï
ïïü
- w3 w2 úù
ê 0
ï
ï
ê
ú
so(3) = ïí wòR 33 : w = ê w3
0
- w1 ú, wT = - w ïı
ïï
ïï
ê
ú
ïï
ïï
ê- w2 w1
ú
0
ïş
îï
ë
û
Tanım 2.3.7 (Vektör Alanı)
Bir diferensiyellenebilir manifold M olsun.
1:1
X : M → U TM ( p )
örten p∈M
p → X P ∈ TM (Y )
biçiminde tanımlı X dönüşümüne M manifoldu üzerinde bir vektör alanı denir
(Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.3.8 (İntegral Eğrisi)
☺, E n de parametrik bir eğri
☺ : I En
t ☺
t
☺1 t, ☺2 t, . . . ☺n t
ve X, E n üzerinde bir vektör alan olmak üzere, " t òI
d☺
dt
için,
X
☺t
ise, ☺ eğrisine X vektör alanının integral eğrisi denir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.3.9 V, n -boyutlu bir vektör uzay, X , V üzerinde bir vektör alanı olsun.Eğer,
A : V V
bir lineer dönüşüm olmak üzere, " v òV
için
X v A
v
ise, X
vektör alanına lineerdir denir (Karger, Novak 1979).
8
Teorem2.3.1 A, E 3 de bir antisimetrik matrisle verilen bir lineer dönüşüm olsun. Bu
durumda A nın matris formu, 0 olmak üzere;
0 0
A
0 0
0
0 0
olacak şekilde bir E 3 ün bir ortonormal baz vardır (Karger, Novak 1979).
Tanım 2.3.10
ìï
ég c ù
ïü
ú, gòR 33, gT g = I 3, còR 3, det g = 1ïı
SE (3) = ïí A : A = ê
ê0 1 ú
ïîï
ïïş
ë
û
cümlesi matris çarpımına göre bir gruptur. (SE (3), · ) grubuna 3 de katı cisimlerin
özel grubu denir (Karger, Novak 1979).
SE (3) grubu topolojik yapısıyla ele alındığında,6-boyutlu bir topolojik manifolddur.Bu
durumda, SE (3) bir matris Lie grubudur.
Tanım 2.3.11 SE (3) Lie grubuna karşılık gelen se(3) Lie cebiri,
ìï
se(3) = ïí
ïîï
éw v ù
ïü
ê
ú : wòR 33 , wT = - w ïı
êë0 0 úû
ïïş
şeklinde tanımlanır (Karger, Novak 1979).
2.4 Çizgiler Geometrisi
Tanım 2.4.1 (Plücker doğru koordinatları)
r uuur
r
Yönlenmiş bir doğru üzerindeki bir X noktasının x = OX yer vektörü ve a yön vektörü
uur
( a 2 = 1 olmak üzere) şeklinde verilebilir. Bu durumda doğrunun parametrik
(parametre= λ ) bir gösterilişi
9
r r
r
y = x + λa
olur. X noktasının imtiyazlı durumundan kurtulmak için
uur r r
a* = x × a
vektörünü teşkil edelim. Bu vektör
r r r r uur
y × a = x × a = a*
uur
r
dan görüleceği üzere, X noktasının seçilişine bağımsızdır. a* vektörü a birim
kuvvetinin, koordinat sisteminin O başlangıç noktasına göre, vektörel momentidir. Bu
r uur
durumda (a, a* ) vektör çifti sayesinde yönlenmiş doğru, tek anlamlı olarak tespit
edilmiş olur. Bu vektörler şu şartları sağlarlar:
uur
r uur
(a 2 = 1) , aa* = 0
uur
r
a ve a* ın dik koordinat sistemindeki altı bileşenine homojen olmayan PLÜCKER
r
DOĞRU KOORDİNATLARI denir. a yön vektörünün normlanmış olmasını göz önüne
uur
uur
*
alırsak yani doğrunun yönünü herhangi bir − ρ > 0 olmak üzere −b = ρ a* ın homojen
r uur
altı koordinatı homojen Plücker doğru koordinatlarını teşkil ederler. Bu durumda b , b*
uur r r
r uur
vektörleri bb* = 0 şartını gerçekler. Burada b* = x × b olur (Müler 1963).
Tanım 2.4.2 (Lineer Işın Kompleksi)
r
A has bir dual vektör olmak üzere
uur r
r uur
a, x* + a* , x = 0
denklemini sağlayan
uur
r r
X = x + ε x* doğrularının cümlesine bir lineer ışın kompleksi
denir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.4.3
r
A has dual vektörünün
ur
uur
A r
U = r = u + ε u*
A
10
eksenine liner ışın kompleksinin ekseni denir (Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.4.4
r
A has dual vektörünün
r uur
a , a*
k= r2
a
adımına lineer ışın kompleksinin adımı denir (Hacısalihoğlu 1983).
Teorem 2.4.1
Lineer bir ışın kompleksine bir helis hareketi, tersine olarak bir helis hareketine, lineer
bir ışın kompleksi bağlıdır. Kompleksin ekseni helisin ekseni ile çakışır, kompleksin ve
helis hareketinin adımları aynıdır. Lineer bir kompleksin (∞3 ) sayıdaki ışınları
3
ün
helis hareketine uyan noktalarındaki yörünge normallerinin bütününden oluşur
(Hacısalihoğlu 1983).
Tanım 2.4.5 (Lineer Doğru Kongrüansı)
r r
A, B has dual vektörleri için
uur r
r uur
F ... a, x* + a* , x = 0
uur
r uur
φ ... b, x* + b* , x = 0
r
D enklemlerini sağlayan X doğrularının cümlesine lineer ışın kongrüansı denir
(Hacısalihoğlu 1980).
r
Bağımsız parametrelere u ve v denirse X birim dual vektörü u ve v reel
uur
r r
parametrelerinin X = x(u , v) + ε x* (u , v) şeklinde bir fonksiyonu olarak yazılabilir.
11
3.HOMOTETİK HAREKETLER
Bu bölümde hareket, 1-parametreli hareket, homotetik hareket, 1-parametreli homotetik
hareket kavramları verilmiştir ve ani homotetik hareketlerin hız vektörleri incelenmiştir.
Daha sonra lineer vektör alanları verilerek spiral vektör alanları tanıtılmıştır.
Arkasından homotetik hareketlerin Lie grubu ve Lie cebiri verilerek Sd (3) üzerinde Lie
çarpımı ve Sd (3) Lie cebirinin yapı sabitleri hesaplanmıştır.
3.1 Hareket
Sabit uzayı R, hareketli uzayı R0 ile gösterirsek o zaman R0 ın R ye göre hareketi R0/R
ile göstereceğiz.
α (t0 )
α (t )
O
Şekil 3.1.1 (Hareket)
R0/R hareketi;
Ψ:En
X
En
şeklindeki Ψ izometrisi ile temsil
Y=AX+C
edilir. Ψ’nin matrisel ifadesi A ∈ O(n), C ∈
Y   A C   X 
 1  =  0 1   1  dir.
  
 
12
n
1
olmak üzere;
Örnek 3.1.1
cos θ
A= 
 sin θ
− sin θ 
ortogonal matris olmak üzere;
cos θ 
 x '   cos θ
 ' 
 y  =  sin θ
 1   0
 
− sin θ
a  x 
b   y  C = (a, b) , Y = ( x ' , y ' ) , X = ( x, y )
1   1 
cos θ
0
Y = ( x cos θ − y sin θ + a, x sin θ + y cos θ + b)
3.2 Bir Parametreli Hareket
f t :En
(t ∈ J ⊂
En
X
, A(t) ∈ SO(n), C(t) ∈
n
1
Y=A(t)X+C(t)
dönüşüme bir parametreli hareket denir. Dönüşümün matrisel ifadesi;
 A(t ) C (t ) 
ft = 
dir.
1 
 0
Örnek 3.2.1
fθ : E2
E2
( x cos θ − y sin θ , x sin θ + y cos θ )
( x, y )
 x '  cos θ
 ' 
 y  =  sin θ
 1   0
 
− sin θ
cos θ
0
0  x 
0   y 
1   1 
13
)
fθ (1,0)=( cos θ ,sin θ )
birim çember,
fθ (1,1)=( cos θ − sin θ , sin θ + cos θ )
çember.
Örnek 3.2.2

1
0

1− t2
A= 0
 1+ t2

2t
0
 1 + t 2

0 

−2t 
bir parametreli dönme matrisi olmak üzere;
1+ t2 

1− t 2 
1 + t 2 
ft : E 3 → E 3
0
1
 x   1− t2
 '  0
2
 y  =  1+ t
 z ' 
2t
  0
2
 1   1+ t
0
0

'
0
−2t
1+ t2
1− t2
1+ t2
0
a
  x
b  
  y
 z
b  
 1 
1 
3.3 Homotetik Hareket
Ψ:En
X
En
ile belirli dönüşüme En de bir homotetik hareket
Y=(hA)X+C
14
Örnek3.3.1
ft : E 3 → E 3
0
3

x 
1− t2
 '  0 3
1+ t2
y  = 
 z ' 
2t
  0 3
1+ t2
1 
0
0

'
0
−2t
1+ t2
1− t 2
3
1+ t2
0
3
a
  x
b  
  y
 z
b  
 1 
1 
3.4 Bir Parametreli Homotetik Hareket
Ψ:En
X
En
ile belirli dönüşüme En de bir parametreli
Y=(h(t)A(t))X+C(t)
homotetik hareket denir. Burada t ∈ J ⊂
, A(t) ∈ SO(n), C(t) ∈
Dönüşümün matrisel ifadesi;
Y   h(t ) A(t ) C (t )   X 
dir.
1  =  0
1   1 
  
Örnek3.4.1
f t : E2
(x,y)
E2
(1+t)( x cos t − y sin t , x sin t + y cos t )
Örnek 3.4.2
f t : E2
(x,y)
E2
et ( cos t ,sin t )
15
n
1
, h(t) ∈
+
dir.
Örnek 3.4.3




E 3 de A = 




− r sin t
r +k
r cos t
2
2
r2 + k2
k
− cos t
− sin t
0
r2 + k2
k sin t 

r + k2 
− k cos t 
 ortogonal matrisi alınabilir.
r2 + k2 

r

r 2 + k 2 
fθ : E 3 → E 3
( x, y, z ) → eθ (
+−r
−k cos θ
k +r
2
− r sin θ
k2 + r2
z,
2
x + − y cos θ +
k
k +r
2
2
x+
r
k + r2
2
k sin θ
k 2 + r2
z,
− r cos θ
k2 + r2
x + − y sin θ
z)
Şimdi homotetik hareket için mutlak hız, sürüklenme hızı ve rölatif hız kavramlarını
verelim.
 h(t ) A(t ) C (t )   X 
Ft ( X ) = 
1   1 
 0
h −1 =
1
h
ifadesinde
h
bir
skalar
olduğundan
hT = h
,
dir. B = hA denirse
B −1 = h −1 A−1 =
1 T
A
h
elde edilir. Bir X ∈ E n için Ft ( X ) noktalarının geometrik yeri E n de bir eğridir. Bu
eğriyi ( Yt ) ile göstereceğiz. Yt = Ft ( X ) dir.
Ft ( X ) = BX + C
eşitliğinden t ye göre türev alınırsa
16
dY dB
dX dC
=
X +B
+
dt
dt
dt
dt
elde edilir.
Tanım 3.4.1 (Mutlak Hız, Sürüklenme Hızı,Rölatif Hız)
Y = BX + C hareketi için ifadesi için
dY dB
dX da
=
X +B
+
dt
dt
dt dt
ifadesindeki
dY
dB
da
dX
ye hareketin mutlak hızı ,
X+
ye sürüklenme hızı , B
ye
dt
dt
dt
dt
de hareketin rölatif hızı denir (Hacısalihoğlu 1971).
Teorem 3.4.1
Y = BX + C bir homotetik hareket ise det(
dB
) ≠ 0 dır (Hacısalihoğlu 1971).
dt
Teorem 3.4.2
n-boyutlu Öklid uzayı
E n in homotetik hareketleri her n için regüler hareketlerdir
(Hacısalihoğlu 1971).
3.5 Homotetik Hareketlerinin Hız Vektörleri
Bu bölümde H.Potmann, I-K.Lee and T.Randrup Reconstruction of Kinematic Surfaces
from Scattered Data ve B.Odeehnal, H.Pottmann, J.Wallner Equiform Kinematics and
The Geometry of Line Elements adlı makaleleri tanıtılmıştır.
Bu bölüm lineer parçası afin dönüşüm olan ortogonal dönüşümden ve homotetik
dönüşümden düzenlenmiş benzerlik hareketini tanımlar.
17
uur
r
R0 ve R 3-boyutlu öklid uzayının elemanları olsun ve x0 ∈ R0 , x ∈ R olsun. R0 hareketli
uzayının x0 ∈ R0 noktasının t anındaki R sabit uzayına göre hareketi;
x(t ) = λ (t ) A(t ) x0 + a(t ) dir (H.Pottman, I-K.Lee 1998).
(3.5.1)
x(t ) = λ (t ) A(t ) x0 + a(t ) ise;
x0 =
A−1 (t )
A−1 (t )
A −1
A −1
x(t ) −
a(t ) dir. Kısaca x0 =
x−
a olarak ele alacağız. Buna
λ (t )
λ (t )
λ
λ
göre;
•
•
•
•
x(t ) = a (t ) + λ (t ) A(t ) x0 + λ (t ) A(t ) x0 dır. Türevde x0 ın değerini yerine yazarsak ,
•
•
•
x = a + λ A(
A−1
λ
•
x−
A−1
λ
•
a ) + λ A(
A−1
λ
x−
A−1
λ
a)
•
λ
λ
λ •
λ •
x = a + AA−1 x − AA−1a + A A−1 x − A A−1a
λ
λ
λ
λ
•
•
•
•
•
•
λ
λ
x = a + x − a + A AT x − A AT a dır. ( AT = A−1 )
λ
λ
•
•
•
•
•
•
λ
λ
x = a − a − A AT a + x + A AT x
λ
λ
•
•
c
γ
C
•
(3.5.2)
x = v ( x ) = c + γ x + C .x
Bu ifade hız vektör alanları için iyi bilinen Öklid durumuna benzer. Bu Lie dönüşüm
_
gruplarından herhangi (c, c, γ ) ∈
7
üçlüsü bir tek benzerlik hareketini tanımlar.
Bu hareket benzerlik hareketinin bir parametreli alt grubudur.
18
•
•


•
•
•
λ
λ
T
 C = A A , γ = , c = a − a − A AT a 


λ
λ


•
C = A AT
AAT = I n
•
C T = ( AT )T ( A)T
•
•
•
C = A ( A)
T
•
A AT + A ( A)T = 0
T
•
T
A( A)T = −
1A
2A
3
−C
⇒ C T = −C olduğundan C antisimetrik bir matristir.Bundan dolayı bir c vektörü
→
→
•
kullanarak C.x yerine c × x
ederiz.Burada
( c, c, γ ) ∈
7
yazabiliriz. Böylece
( A(t ), a(t ), γ (t ) )
→
→
x = v( x) = c + γ x + c × x elde
benzerlik hareketinin bir parametreli alt grubudur ve
bu benzerlik hareketini tek türlü olarak tanımlar.
A(t ) t anındaki dönmeyi,
a (t ) t anındaki ötelemeyi,
γ (t ) benzerlik oranını verir.
(c, c, γ ) yı sabitleyerek sabit katsayılı lineer diferansiyel denklem çözümü;
•
x = D.x + c olarak bulunur. Gerçekten çözümü x(0) = x0 sınır koşulu ile ve üstel
matrisi ile açıkça bulunabilir.
x(t ) = s (t ) + e Dt .x0 ,
s (t ) = e Dt .D −1.c − e Dt .D −1.e− Dt .c
•
x = D.x + c ⇒
Dx = γ x + c × x
Dx = γ x + Cx
Dx = (γ1I2
+3
C)x
⇒ D =γ I +C
D
19
x(t ) = e Dt .D −1.c − e Dt .D −1.e− Dt .c + e Dt .x0
•
x(t ) = De Dt D −1 c − De Dt D −1e− Dt c + e Dt D −1 De − Dt c + De Dt x0
•
x(t ) = D(e Dt D −1 c − e Dt D −1e− Dt + e Dt x0 ) + c
14444
4244444
3
x
•
D =γ I +C
x = D.x + c
Dt = γ (t ) + C (t )
x(t ) = s (t ) + e Dt .x0
e Dt = e
0
0 
γ ( t )

γ ( t ) 0 
 0
 0
0
γ ( t )
 eγ t

e Dt =  0
0

0
eγ t
0
olmak üzere;
.eCt
0

0  . eCt 
eγ t 
e Dt = eγ t .I 3 . eCt 
e Dt = λ (t ). A(t )
⇒ x(t ) = [ λ (t ). A(t ) ] x0 + s(t )
= e Dt x0 + s (t )
Şimdi
( c, c, γ ) ∈
7
için benzerlik hareketinin bir parametreli alt grubunun karşılık
geldiği dönüşümlere bakalım ve homotetik hareketlerin yörüngelerinin çizdiği yüzeyleri
inceleyelim.
20
1.Durum γ = 0 , λ (sabit) ≠ 0 olduğunda üç durum vardır.
a.)
v( x ) = c + γ x + c × x
c = 0, c ≠ 0 ⇒
v( x ) = c
⇒ sadece öteleme var.
Şekil 3.5.1 (Homotetik hareketin yörüngesinin
oluşturduğu silindirel yüzey)
Örnek 3.5.1
 0 
A(t ) = E , a(t ) =  0  , λ (t ) = 1
v(t ) 
3
b.)
c ≠ 0, cc ≠ 0 Öklid geometrisindeki helis elde edilir.
⇒ dönme ve öteleme var.
21
Şekil 3.5.2 (Homotetik hareketin yörüngesinin oluşturduğu helisel yüzey)
Örnek3.5.2
 cos ωt − sin ωt 0 
 0 


A(t ) =  sin ωt cos ωt 0  , a(t ) =  0  , λ (t ) = 1
 0
v(t ) 
0
1 
Şekil 3.5.3 (Helisel hareket)
c.)
c ≠ 0 , c.c = 0
⇒ helisel hareket ötelemesiz.
22
Şekil3.5.4 (Homotetik hareketin oluşturduğu dönelyüzey)
2. Durum γ ≠ 0 ise iki durum vardır.
a.)
c ≠ 0 ise spiral harekettir.
Örnek 3.5.3
cos ωt − sin ωt 0 
A(t ) =  sin ωt cos ωt 0  , a(t ) = 0, λ (t ) = eγ t
 0
0
1 
Şekil 3.5.5 (Homotetik hareketin yörüngesinin oluşturduğu spiral yüzeyi)
Dönme ve benzerlik katı var.
23
z (v( z ) = 0) spiralin merkezi; A , c vektörü yönünde spiral ekseni; σ =
γ
c
spiralin
parametresidir.
x(t ) = a (t ) + λ (t ) A(t ) x0
x(t ) = 0 + eγ t [ A(t )][ x0 ]
Bu hareket bir spiraldir. Bir parametreli alt grubun dönme yörüngeleri spiral
yüzeylerdir. Bu spiral yüzeyler deniz kabuklarında görülen sabit ölçülü yönlendirilmiş
eğilimlere benzer.
b.)
c = 0, z = −
c
γ
,noktaların yörüngeleri z ye doğru çizgilerdir.
Örnek 3.5.4
A(t ) = I 3
λ (t ) = eγ t
a (t ) = 0
Şekil 3.5.6 (Homotetik hareketin yörüngesinin oluşturduğu Konikal yüzey)
24
3.6 Lineer Vektör Alanları
Bu bölümde
•
_
_
x = v ( x ) = c + γ x + C .x = [γ I 3 + C ] x + c
_

 x
γ
I
+
C
c
 
≅ 3
 0
0   1 
vektör alanlarının yörüngelerinin farklı şekilde incelenmesi ele alınmıştır.
3.6.1 E3 de lineer vektör alanları
Teorem 3.6.1.1
X, E3 de bir lineer vektör alanı ve E3 ün bir {O; u1 , u2 , u3 } ortonormal çatısına göre
matrisi
0

 A C  λ
 0 1  = 0



0
−λ
0
0
0
0 a
0 b 
, rank [ AC ] = 3
0 c

0 1
şeklinde yazılabilir.
Bu durumda X lineer vektör alanı ∀p = ( x, y, z ) ∈ E 3 için
 X ( P)   A C   P 
 0  = 0 0  1

 
 
yada
0
 −λ
=
0

0
λ 0 a  x
0 0 b   y 
0 0 c z
 
0 0 0 1 
X ( P) = (λ y + a, −λ x + b, c)
olarak bulunur. Diğer yandan, E 3 de
25
α :I ⊂
→ E3
t → α (t) = (α1 (t ), α 2 (t ), α 3 (t ))
eğrisini ele alalım. α nın X vektör alanının integral eğrisi olabilmesi için
dα
= X (α (t ))
dt
diferensiyel denklemini sağlaması gerekir. Bu diferensiyel denkleminin p = ( x, y, z )
başlangıç şartlı integral eğrisi α (t ) = p , X (p) = (λ y + a, −λ x + b, c) için
dα
= X ( P)
dt
diferensiyel denkleminin çözüm eğrisidir. Yani
dx
= λy+a
dt
dy
= −λ x + b
dt
dz
=c
dt
diferensiyel denklem sistemidir. Bu denklem sistemini basitleştirmek amacıyla
λ = 1 almamız genelliği bozmaz. Bu durumda X in integral eğrisi
α (t ) = ( A sin t − B cos t + b, A cos t + B sin t − a, ct + d )
şeklinde elde edilir.
α (t ) integral eğrileri ∀A, B ∈
için değişen dairesel helis eğrileridir (Abolfazl 1989).
Şimdi rank [ AC ] = 2 durumuna bakalım. Bu durumda c = 0 ve λ ≠ 0 olmalıdır. Yani X
lineer vektör alanı
0 λ
 −λ 0

0 0

0 0
0 a
0 b 
olmalıdır.
0 0

0 0
c = 0 olmak şartı ile
26
dx
=a+ y
dt
dy
=b−x
dt
dz
=0
dt
denklem sistemi elde edilir. Ve bu denklem sisteminin çözümü
α (t ) = ( A sin t − B cos t + b, A cos t + B sin t − a, d )
olarak elde edilir. α (t ) integral eğrileri çemberleri göstermektedir (Abolfazl 1989).
Son olarak rank [ AC ] = 1 olsun. Bu şartın sağlanabilmesi için λ = 0 olmalıdır.Bu
durumda X lineer vektör alanının matrisi
0
0

0

0
0 0 a
0 0 b 
0 0 c

0 0 1
olur. Bu durumda
dx
=a
dt
dy
=b
dt
dz
=c
dt
denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü
α (t ) = (at + d1 , bt + d 2 , ct + d3 )
dır.
Bu α (t ) integral eğrileri paralel doğruları gösterir.
27
3.6.2 E2n+1 de lineer vektör alanı
Teorem 3.6.2.1
X, E2n+1 de bir lineer vektör alanı ve X in bir {u1 ,..., u2 n +1} ortonormal çatısına göre
A C
matrisi 
 olsun. Burada A ∈
0 1
2 n +1
2 n +1
bir antisimetrik matris, C ∈
2 n +1
1
bir kolon
matrisidir.
1. X in integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli, dairesel helis eğrileridir.
2. rank [ AC ] = 2k , 1 ≤ k ≤ n ise X in integral eğrileri, paralel düzlemlere dik olan bir
eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.
3. rank [ AC ] = 1 ise , X in integral eğrileri paralel doğrulardır (Abolfazl 1989).
3.7. E3 Öklid Uzayında Spiral Vektör Alanları
Tanım 3.7.1
: E 3 E 3
x
x t
g
t
x c
t
t
SO3, ct 3 ve
dönüşümüne bir parametreli homotetik hareket denir. Burada g
bu dönüşümün matrisel ifadesi;
y
t
tgt ct
1
0
1
x
1
şeklindedir.
tgt ct
A
t
0
1
formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarpımına
28
göre bir grup oluşurlar. Bu grubu SD (3) ile göstereceğiz. Yani,
SD
3 A : A SD (3)
dir.
g c
, gSO
3
, , c 3
0 1
topolojik yapısıyla ele alındığında 7-boyutlu topolojik manifolddur.Bu
durumda SD (3)
bir matris Lie grubudur. Bu gruba karşılık gelen Lie cebirini de
sd (3) ile gösterelim ve bu sd (3) Lie cebirini bulalm;
1
g 1 t 1tg 1 t
c
t
t
1
A t
0
1
ve
·
·
é·
ù
êl (t )g(t ) + l (t ) g(t ) c(t ) ú
A (t ) = ê
ú
ê
0
1 ú
ë
û
·
olduğundan,
·
·
é·
ùé 1 - 1
êl (t )g(t ) + l (t ) g(t ) c(t ) úêl (t ) g (t ) - 1
A (t )A (t ) = ê
úê
0
ê
0
1 úêë
ë
û
1 g - 1(t )c(t ) ù
l (t )
ú
·
·
él (t ) ·
ê + g(t )g - 1(t ) = êl (t )
ê
0
êë
elde
_
edilir.
·
l (t )
c(t )
l (t )
1
ú
ûú
·
·
ù
- g(t )g- 1(t )c(t ) + c(t ) ú
ú
ú
0
úû
·
l (t )
Burada,
l (t )
·
= g(t ), g(t )g- 1(t ) = C (t )
ve
·
c (t ) = c(t ) - g (t )c(t ) + C (t )c(t ) denirse,
ég(t )I + C (t ) c_ (t ) ù
3
ú=
A (t )A (t ) = êê
ú
0
0 ú
êë
û
·
- 1
_
_
éw
ù
ê c ú = [w, c ]
ê
ú
êë0 0 úû
_
olarak elde ederiz. Burada, C
antisimetrik matris, , 3x3
durumda, SD (3) Lie grubunun sd (3) Lie cebirini
29
tipinde bir matristir.Bu
_
D c
sd
3
_
, C T C, c 3
0 0
olarak elde ederiz.Burada D = γ I 3 + C dir. Lie cebirinin elemanlar ile spiral vektör
alanlar birebir eşlenirler.
Şimdi lineer vektör alanları ile ani homotetik hareketler arasındaki ilişkiyi verelim:
1-parametreli homotetik harekette x noktasının yörüngesi;
y
t t
g
t
x c
t dir. Buradan türev alınırsa;
·
·
·
·
y (t ) = l (t )g(t )x + l (t ) g(t )x + c(t )
·
·
(
)
= (l (t )g(t ) + l (t ) g(t ) )(
·
= l (t )g(t ) + l (t ) g(t ) x + c(t )
·
·
·
l (t )
(y (t )
l (t )
=
= c(t ) -
·
- c(t )) ) + c(t )
·
·
- c(t )) + g(t )g- 1(t )(y (t ) - c(t )) + c(t )
·
·
1 g - 1(t )(y (t )
l (t )
l (t )
c(t )
l (t )
·
·
- 1
- g(t )g c(t ) +
l (t )
y (t )
l (t )
·
+ g(t )g- 1y (t )
_
c t
t
y
tC
t
y
t
·
_
y (t ) = [g (t )I 3 + C (t ) ]y (t ) + c (t )
olarak elde edilir. Burada, g (t ) benzerlik oranını verir ve C
antisimetrik bir matris
olduğundan,
®
®
C .y = c ´ y
olarak yazılabilir. Burada (g(t ), c(t ), g (t ) ) benzerlik hareketinin bir
parametreli alt grubudur. t = 0 anındaki hız vektörü
·
_
y (0) = [g (0)I 3 + C (0) ]y (0) + c (0)
dir. Bu hız vektörünün matris formundaki ifadesi ise;
é y· (0) ù
ê
ú=
ê
ú
êë 0 úû
ég(0)I + C (0) c_ (0) ùéy (0) ù
3
ê
úê
ú
ê
úê 1 ú
0
0 úêë
êë
úû
û
(3.1) dır.
30
3.7.1 E 3 Öklid uzayında spiral vektör alanlarının integral eğrileri
Y
bir lineer vektör alanı olsun. Yani,
é·
ù
êY (M ) ú
ê
ú=
ê 0 ú
ë
û
_
é
ùéM
êg (t )I 3 + C (t ) c (t ) úê
ê
ú
0
0 úêêë 1
ëê
û
şeklinde
olsun.
Şimdi
ù
ú=
ú
úû
_
é
ùéM ù
êD c úê ú
ê
ú
0 0 úêêë 1 úúû
ëê
û
nin
Y
integral
eğrilerini
bulalım.
·
(Y / a (t ) = a (t )), D = g I 3 + C olmak üzere
·
_
0x başlangıç
Y (t ) = Dx + c ,sabit katsayılı matris diferensiyel denkleminin Y
koşulu altındaki çözümü:
t
_
e Dts c ds
Y
te x Dt
0
_
t
Y
te Dt x e Dt ce Ds ds
0
_
Y
te Dt x e Dt c D1 e Dt 1
_
_
Y
te Dt x e Dt c D1 e Dt e Dt c D1
Y
tS
te Dt x
olarak elde edilir.
ég(0)I + C (0) c_ (t ) ù
3
ê
ú lineer vektör alanına karşılık gelen integral eğrisini bulmak
ê
ú
0
0 ú
êë
û
demek, t = 0 anındaki hız vektörü (3.5.1) ile aynı olan ani harekette y (0) noktasının
t ile gösterelim ve y1(0) = y (0)
yörüngesini bulmak demektir. Bu ani hareketi y 1 ani homotetik hareketi bulalım. Bu durumda,
·
_
y1(t ) = D .y1(t ) + c (t )
0y
0x başlangıç şart altında çözersek,
diferensiyel denklemini y 1 31
t
_
e Dts c ds
y1 te Dt y 1 0
0
_
_
y1 te Dt y 1 0e Dt c D1 e Dt e Dt c D1
olarak elde edilir. Bu bir homotetik hareket tanımlar. Eğer g ¹ 0 ve C ¹ 0 ise bu
durumda hareket bir spiral hareket olarak adlandırılır. Bu hareketi
é y· ù éD c_ ùéM ù
ê 1ú ê
úê ú
ê ú= ê
úê 1 ú
0 0 úêë ú
êë 0 ú
û êë
û û
é · ù é
ê y 1 ú = êg I 3 + C
ê ú ê
0
êë 0 ú
û êë
y1
1
_
c úùéy 1 ù
úê ú
0 úêë 1 ú
û û
_
exp t
I 3 C c
0
0
M
1
ég I + C
3
şeklindedir. Burada y1(t ) eğrisi Y = êê
êë 0
_
cù
ú spiral vektör alanının integral
ú
0ú
û
eğrisidir.
Şekil 3.7.1.1 (Ani Homotetik Hareket)
·
Özel olarak
l (t )
l (t )
= g = 0 ise, bu durumda hareket bir katı cisim hareketidir.
éD c_ ù
ê
ú lineer vektör alanının integral eğrisi,
ê
ú
êë0 0 ú
û
_
i )rank êéD, c úù = 3 ise integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli helis eğrileridir.
ë
û
32
_
ii )rank êéD, c úù = 2
ë
û
ise integral eğrileri, paralel düzlemlerde kalan ve merkezleri bu
paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.
_
iii
rank 
D, c 1 ise integral eğrileri, paralel doğrulardır (Karger,Novak).
·
l (t )
l (t )
_
= g ¹ 0, rank éêD, c ùú = 3 ise integral eğrileri spiral eğrilerdir.
ë
û
Örnek 3.7.1.1
0 1 0
C
0
_
1 0 0
, c
0 0 0
¥
n= 0
(tx )n
n!
·
1
ég I + C
3
olmak üzere, X = êê
êë 0
e tx = å
0
= I + tx +
3
é1
ê
_
c ùú êê- 1
ú= ê
0ú ê 0
û ê
ê0
ë
t2 x 2
2!
4
e t , ll ((tt )) =
+
t3 x 3
3!
2
1 0 0ù
ú
1 0 0ú
ú spiral vektör alanın ele alalım.
0 1 1 úú
ú
0 0 0ú
û
+
t4 x 4
4!
den dolayı,
3
1 t 2t3! 4t4! . . . t 2t2! 2t3! . . .
3
e tx 3
t 2t2! 2t3! ...
3
0
0
0
é 12 e t (e - it + e it )
ê
ê 1 t it
- it
ê- 2 ie (e - e )
= ê
ê
0
ê
ê
0
êë
0
4
1 t 2t3! 4t4!
0
1 ie t (e it
2
- e - it )
1
0
0
2
0
3
4
2
3
4
t
t
t
t
t
t
3!
4!
. . . t 2!
3!
4!
...
1 t 2!
0
ù
ú
ú
1 e t (e - it + e it )
0
0 ú
2
ú
0
e t e t - 1 úú
ú
0
0
1 ú
û
0
0
33
1
e t cos t e t sint 0
0
e t sint e t cos t 0
0
0
0
e t e t 1
0
0
0
- sin t
0
é cos t
ê
ê sin t
êêe t
0
ê
ê
ê
0
ë
1
0
ù
ú
0 0 úú
ú
1 et - 1 ú
ú
0 1 ú
û
cos t
0
0
bulunur. e tx ile 1-parametreli homotetik hareket tanımlanabilir. Harekette bir noktanın
yörüngesi spiral eğrisidir.
3.7.2 E n Öklid uzayında spiral vektör alanları
Tanım 3.7.2.1
: E n E n
x
x t
g
t
x c
t
dönüşümüne bir parametreli homotetik hareket denir. Burada g(t )òSO (n ), c(t )òR n ve
bu dönüşümün matrisel ifadesi;
y
t
tgt ct
1
t
şeklindedir. A
0
1
x
1
él (t )g(t ) c(t ) ù
ê
ú formundaki 1-parametreli matrisler, matris
ê 0
ú
1
úû
ëê
çarpımına göre bir
34
él g c ù
ïì
ïü
ú, gòSO (n ), l òR, còR n ïı
G = ïí A : A = êê
ú
ïï
ïï
êë 0 1 úû
î
ş
grubunu oluştururlar. G bir Lie
grubudur. Bu gruba karşılık gelen Lie cebirini de g ile gösterelim. O zaman
ïì éW V ù
ïü
ú; g I n + C = W òR n ,V òR 1n ïı
g = ïí êê
n
ïï 0 0 ú
ïï
îë
û
ş
olarak elde edilir.
Tanım 3.7.2.2
: Rn ® Rn
Y
M Y
MW. M V
şeklinde
tanımlanan
lineer
dönüşüme
spiral
vektör
alan
denir.
Burada
g I n + C = W òR nn ,C antisimetrik ,V òR 1n dir.
Tanım 3.7.2.3
a , E n de parametrik bir eğri
☺ : I En
t ☺
t
☺1 t, ☺2 t, . . . ☺n t
ve X , E n üzerinde bir spiral vektör alan olmak üzere, " t òI
da
dt
için,
= X (a (t ))
ise, a eğrisine X spiral vektör alanının integral eğrisi denir.
1-parametreli homotetik harekette x noktasının yörüngesi
dir. Buradan türev alınırsa;
·
_
y (t ) = [g (t )I 3 + C (t ) ]y (t ) + c (t )
elde edilir. t = 0 anında hız vektörü,
35
y (t ) = l (t )g(t )x + c(t )
·
_
y (0) = [g (0)I 3 + C (0) ]y (0) + c (0)
dir. Şimdi y1(0) = y (0) = M noktasındaki hız
y1(0) = y (0) = M başlangıç şartı altında çözersek,
·
y1(t ) = W y 1(t ) + V (t )
é· ù
êy1 ú =
ê ú
êë1 ú
û
éW V ùéM ù
ê
úê ú
ê 0 0 úê 1 ú
ë
ûëê ú
û
olmak üzere;
y1 t
exp
1
tg 1 t c 1 t
0
0
W V
M
0 0
1
M
1
elde edilir.Burada, g1(t )òSO (n ), c1(t )òR n
dir.Bulunan y1(t )
éW V ù
ú
eğrisi Y = êê
0 0ú
ë
û
spiral vektör alanının integral eğrisidir.
Y; E n de bir spiral vektör alan ve Y
nin {o; u1, u 2 ,...u n } ortonormal çatısına göre
éW V ù
ú olsun. Burada, g I n + C = W òR n , C antisimetrik ,V òR 1n dir.
matrisi êê
n
0 0ú
ë
û
Bu durumda,
rank [W ,V ]= n ,Y nin integral eğrileri spirallerdir.
3.8 Bir Hareketin Türevi
Bu bölümde Homotetik hareketlerin Lie grubu ve Lie cebiri verilecektir. Bunun için
McCarthy’nin An Intoduction to Theoretical Kinematics adlı kitabından matris grupları
ve tanjant operatörleri ele alınmıştır.
36
3.8.1 Matris grupları
n × n tipinden GL(n) ile gösterilen regüler matrislerin cümlesi matrislerde çarpma
işlemine göre bir cebirsel gruptur (McCarthy 1990).
Tanım 3.8.1.1
Sürekli bir manifold aynı zamanda bir cebirsel gruptur ve grup çarpım işlemi sürekli
ise bir Lie grubu olarak adlandırılır. Bu durumda GL(n) bir Lie grubudur (McCarthy
1990).
Tanım 3.8.1.2
GL(n) nin matris çarpımı altında cebirsel grup olan alt cümlelerine alt gruplar denir
(McCarthy 1990).
GL(n) nin iki alt grubu, n × n tipinden dönme matrislerinin cümlesi SO (n) ve n × n
tipinden homojen dönüşümlerinin cümlesi H (n) dir.
SO (n) :  AT A = [ I n ] ve det( A) = 1 şartını sağlayan
[ A]
n × n tipinden matrislerin
cümlesi SO (n) bir Lie grubudur (McCarthy 1990).
Bir katı cismin sürekli hareketi,
[T (t )] :
→ GL(n) olarak belirli dönüşümlerin parametrelendirilmiş bir cümlesidir.
Özellikle düzlemsel hareket [T (t )] :
ve uzay hareketi [T (t )] :
→ H (3) ,Küresel hareket [T (t )] :
→ SO(3)
→ H (4) ile belli olan hareketlerdir.
Genel olarak,
[T (t )] :
→ GL(n)
t → T (t ) = tij (t ) 
dönüşümleri tij (t ) elemanlarının her biri reel değişkenli sürekli bir fonksiyondur.
• 
Ve bu matris fonksiyonunun T (t )  türevi, tij (t ) elemanlarının her birinin türevi


alınarak oluşturulur (McCarthy 1990).
37
3.9 Tanjant Operatörü
[T (t )] :
→ GL(n) fonksiyonunun F de oluşturduğu Y (t ) = [T (t ) ] y noktalarının
cümlesine Y nin yörüngesi denir (McCarthy 1990).
t = t0 da Y (t ) yörüngesine teğet olan doğrultu Y (t ) nin türevidir.
•
•

Y (t0 ) = T (t0 )  y


•
•

Y (t0 ) = T T −1 (t0 )  y (t0 )


dir.Burada
 • −1 
T T 
hesaplar.Ayrıca
•
matrisi, Y (t )
yörüngesi üzerindeki işlemle Y (t ) türevini
 •   • −1 
T (t )  = T T (t )  [T (t ) ]
olduğundan
 • −1 
T T 
matrisi
[T (t )]
matrisinin türevini hesaplar.
Tanım 3.9.1
 • −1 
T T  matrisine GL(n) üzerindeki tanjant operatör denir (McCarthy 1990).
Tanjant operatörler için tanımlanan özel bir işlem Lie çarpımıdır. [T ] ve [ S ] tanjant
operatörler olsunlar. Bu durumda [T ] × [ S ] = [TS − ST ]
dir. Burada TS , T ile S nin
matris çarpımıdır.
3.9.1 SO (n) nin Tanjant operatörleri
Dönme matrislerinin tanjant operatörleri, GL(n) uzayının tanjant operatörleri gibi
tanımlanmıştır. Bununla birlikte, GL(n) nin her tanjant operatörü SO (n) nin tanjant
operatörü değildir. SO (n) nin tanjant operatörlerini belirleyen ayırıcı şart, bütün dönme
matrislerinin sağlamak zorunda olduğudur.
 AAT (t )  = [ I n ] bağıntısından elde edilmiştir. Her iki tarafın türevi alınarak ,
38
T
 •T
 •T
 •T
 •T
 AA  = −  AA  elde edilir.Bu durumda  AA  = −  AA  = [ Ω ] tanjant operatörü








antisimetriktir.
[ Ω]
matrisi , [ A(t )] dönme matrisinin açısal hız matrisi olarak bilinir (McCarthy 1990).
Üç boyutlu manifold olan SO (3) uzay dönmelerinde, bir sabit açısal hız matrisi [ Ω]
verildiğinde ,
• 
 A(t )  = [ Ω ][ A(t ) ]
matris diferensiyel denkleminin
[ A(0)] = [ I ]
başlangıç şartı altında çözümü,
A(t ) = e [
t Ω]
ile dönmelerin bir parametreli grubunu elde ederiz (McCarthy 1990).
3.9.2 H (n) nin Tanjant operatörleri
Homojen dönüşümlerin cümlesi H (n) nin tanjant operatörleri, GL(n) uzayının tanjant
operatörleri gibi tanımlanmıştır. Bununla birlikte GL(n) nin her tanjant operatörü H (n)
nin tanjant operatörü değildir. H (n) nin tanjant operatörleri
•
•
T
 • −1   A d   A

T T  = 
 0 0   0
•
− AT d   A AT
=
1   0
•
− A AT d  = Ω
[ ]
0 
A d
İlişkisini sağlamalıdır. Burada [T ] = [ A, d ] = 
 dir.
0 1
Şimdi H (4) ün
• 
T (t )  = [ S ][T (t ) ] diferensiyel denkleminden elde edilen bir parametreli alt gruplarını
incelersek
[ S ] = [ Ω, v ]
bir sabit matristir. t = 0 anında sabit ve hareketli çatıların
çakıştığını kabul ederek [T (0) ] = [ I ] başlangıç koşuluyla diferensiyel denkleminin
çözümü [T (t )] = exp(t [ S ])
dir (McCarthy 1990).
39
3.9.3 Tanjant operatörüne karşılık gelen vektörler
SO (3) ve H (3) ün 3 × 3 tipinden matrislerle tanımlanan tanjant operatörlerindeki 9 tane
elemandan sadece 3 tanesi bağımsızdır. Benzer şekilde H (4) ün 4 × 4 tipinden
matrislerle tanımlı tanjant operatörlerinin 16 elemandan sadece 6 tanesi bağımsızdır.
[ Ω] , SO(3)
ün bir tanjant operatörü olsun. Vektör formu 3 × 3 tipinden [ Ω ] antisimetrik
matrisinden elde edilen ω vektörüdür. Öyle ki [ Ω ] y = ω × y dir.
0
H (3) için, [ω , y ] = ω
 0
−ω
0
0
v1 
v2  şeklinde verilir. Bu durumda bağımsız bileşenleri
0 
3-boyutlu (ω , v1 , v2 ) vektöründe , H (4) ' ün bir [ S ] = [ Ω, v ] tanjant operatörü 6-boyutlu
S = (ω , v ) vektöründe toplayabiliriz (McCarthy 1990).
Tanım 3.9.3.1
H (4) ün bir
[ S ] = [ Ω, v ]
tanjant operatöründen elde edilen operatörü 6-boyutlu
S = (ω , v ) vektörüne screw denir (McCarthy 1990).
[T ] × [ S ] = [TS − ST ] ile tanımlı Lie çarpımı bu tanjant operatörlerin her birine karşılık
gelen vektörler için bir çarpım işlemi verir.
SO (3) için [C ] ve [Ω] antisimetrik matrislerine karşılık gelen vektörler sırasıyla
c ve ω ise o zaman [C ] × [Ω] = [C Ω − ΩC ] Lie çarpımının elde edilen antisimetrik
matrisine karşılık gelen vektör c × ω dır. Gerçekten,
40
 0 − a3 a2 
[C ] =  a3
0 − a1  ise c = (a1 , a2 , a3 )
 −a2 a1
0 
 0 −z y 
[Ω] =  z
0 − x  ise ω = ( x, y, z )
 − y x
0 
[ C ] × [ Ω ] = [ C Ω − ΩC ]
a2 x − a1 y a3 x − a1 z 
0


a3 y − a2 z 
0
[C ] × [ Ω] =  −a2 x + a1 y
 −a3 x + a1 z −a3 y + a2 z

0
antisimetrik bir matristir. Bu matrise karşılık gelen vektör
(−a3 y + a2 z , a3 x − a1 z , −a2 x + a1 y ) olup bu ise c × ω vektörüdür. H (n) homojen
dönüşümlerinin genel durumu için, [ R ] = [C , r ] ve [ S ] = [Ω, v] tanjant operatörlerinin
Lie çarpımı [ R] × [ S ] = [C Ω − ΩC ,[C ]v − [Ω]r ] dir.
Özel
olarak
H (3) için
 0 −λ
[ R] = λ 0
 0 0
r1 
 0 −ω v1 

r2  ve [S ] = ω 0 v2 
0 
 0 0 0 
0 0 −λ v2 + ω r2 
[ R] × [ S ] = 0 0 λ v1 − ω r1  Lie çarpımına karşılık gelen vektör
0 0

0
(−λ v2 + ω r2 , λ v1 − ω r1 , 0) dir (McCarthy 1990).
41
ise
H (4) için [ R ] = [C , r ]
 0 − a3
a
0
[ R] =  3
 − a2 a1

0
 0
c = (a1 , a2 , a3 )
a2
−a1
0
0
r1 
r2 
,
r3 

0
r = (r1 , r2 , r3 )
 0 − z y v1 
 z
0 − x v2 

[S ] =
− y x
0 v3 


0
0 0
0
ω = ( x, y , z )
v = (v1 , v2 , v3 )
[ R ] × [ S ] Lie çarpımına karşılık gelen vektör,
( c × ω , c × v − ω × r ) dir (McCarthy 1990).
3.10 Sd(3) Üzerinde Lie Çarpımı
 
Sd (3) =  γ I 3 + C
  0
_
 _
c  = ω
0   0
_


_ _
_
c  = ω , c  , C T = −C , c ∈ R 3 



0  

ur
r
_
_
 _ _
= ω , c  = [ S ] , ω = (ω1 , ω2 , ω3 ), c = (c1 , c2 , c3 )


 λ
v
 3
 −v2

 0
−v3
v2
λ
−v1
v1
λ
0
0
a1 
r
r
_
_
a2   _ _ 
=  v, a  = [ R ] , v = (v1 , v2 , v3 ), a = ( a1 , a2 , a3 )
a3   

0
42
[ S ] ×[ R] = [ SR − RS ]
 θ −ω3 ω2 c1   λ −v3 v2 a1   λ −v3 v2 a1   θ −ω3 ω2 c1 
ω
θ −ω1 c2   v3 λ −v1 a2   v3 λ −v1 a2   ω3
θ −ω1 c2 
 3
−
−ω2 ω1
θ c3  −v2 v1 λ a3  −v2 v1 λ a3  −ω2 ω1 θ c3 


 


0
0
0
0 0  0
0
0 0  0
0
0
 0
 0

 λθ − ω3v3 − ω2 v2
 λω + θ v + ω v
3
3
1 2

 −λω2 + ω1v3 − θ v2

0

 λθ − v3ω3 − v2ω2
 θ v + λω + v ω
3
1 2
− 3
 −θ v2 + v1ω3 − λω2

0

−θ v3 − λω3 + ω2 v1
−ω3v3 + λθ − ω1v1
ω2 v3 + λω1 + θ v1
θ v2 + ω3v1 + λω2 a1θ − a2ω3 + a3ω2 
ω3v2 − θ v1 − λω1 a1ω3 + a2θ − a3ω1 
−ω2 v2 − ω1v1 + θλ −a1ω2 + a2ω1 + a3θ 
0
0
−λω3 − θ v3 + v2ω1
−v3ω3 + λθ − v1ω1
v2ω3 + θ v1 + λω1


λω2 + v3ω1 + θ v2 c1λ − c2 v3 + c3v2 
v3ω2 − λω1 − θ v1
c1v3 + c2 λ − c3v1 
−v2ω2 − v1ω1 + θλ −c1v2 + c2 v1 + c3λ 
0
0
ω2 v1 − v2ω1 ω3v1 − v3ω1

ω v − v ω
0
ω3v2 − v3ω2
= 1 2 1 2
ω1v3 − v1ω3 ω2 v3 − v2ω3
0

0
0
0

0
0
0


a1θ − a2ω3 + a3ω2 − c1λ − c2 v3 + c3v2 
a1ω3 + a2θ − a3ω1 − c1v3 + c2 λ − c3v1 
− a1ω2 + a2ω1 + a3θ + c1v2 − c2 v1 − c3λ 

0

.
.
.
↔ (ω2 v3 − v2ω3 , v1ω3 − ω1v3 , ω1v2 − v1ω2 ) = ω1 ω2 ω3 = ω × v
144444424444443
ω ×v
v1 v1 v1
.
.
.
↔ ( a3ω2 − a2ω3 , a1ω3 − a3ω1 , a2ω1 − a1ω2 ) = ω1 ω2 ω3 = ω × a
1444444
424444444
3
ω ×a
a1 a2 a3
43
. . .
↔ ( c2v3 − c3v2 , c3v1 − c1v3 , c1v2 − c2v1 ) = c1 c2 c3 = c × v
144444
42444444
3
c×v
v1 v2 v3
= −v × c
⇒ θ (a1, a2 , a3 ) − λ(c1, c2 , c3 ) + ( a3ω2 − a2ω3 , a1ω3 − a3ω1, a2ω1 − a1ω2 ) + ( c2v3 − c3v2 , c3v1 − c1v3 , c1v2 − c2v1 )
= (ω × v,θ a − λc + ω × a + c × v)
= (ω × v, θ a − λ c + ω × a − v × c)
⇒ [ S ] × [ R ] = [ SR − RS ]
= (ω × v,θ a − λ c + ω × a − v × c)
3.11 Sd(3) Lie Cebirinin Yapı Sabitleri
sd (3) Lie cebirinin standart bazını elde edelim. S ∈ sd (3) olarak alalım. Bu durumda
_
 

_
γ
I
+
C
c
 , C = CT , c ∈
sd (3) =   3
0 
  0

S = ω
 0
_
 θ
 
c  =  ω3
0   −ω2

 0
0
0
S = ω1 
0

0
0
0
+ c1 
0

0
_
−ω3
θ
ω1
3



ω2 c1 
−ω1 c2 
θ c3 
0

0
0
0 0 0
0

0
0 −1 0 
+ ω2 
 −1
1 0 0


0 0 0
0
0 0 1
0

0
0 0 0
+ c2 
0
0 0 0


0 0 0
0
0 1 0
0 −1

1 0
0 0 0
+ ω3 
0 0
0 0 0


0 0 0
0 0
0 0 0
0

0
0 0 1
+ c3 
0
0 0 0


0 0 0
0
44
0 0
0 0 
0 0

0 0
0 0 0
1

0
0 0 0
+θ 
0
0 0 1


0 0 0
0
0 0 0
1 0 0 
0 1 0

0 0 0
S = ω1 L1 + ω2 L2 + ω3 L3 + c1 L4 + c2 L5 + c3 L6 + c4 L7
⇒ sd (3) = Sp { L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , L6 , L7 }
olarak yazılabilir.
Tanım 3.11.1 sd (3) Lie cebirinin baz vektörlerinin bracket çarpımı:
7
 Li , L j  = ∑ Cijk Lk
k =1
Şeklinde tanımlanabilir. Burada ki Cijk katsayılarına, Lie cebirinin yapı sabitleri denir.
Cijk yapı sabitleri arasında Cijk = −C kji bağıntısı vardır. (Sattinger , Weaver 1993)
Şimdi bu yapı sabitlerini elde edelim.
Özel olarak i = 1 ve j = 1 alalım. Bu durumda;
7
[ L1 , L1 ] = ∑ C11k Lk
Bracket çarpımından C11k ları elde ederiz.
k =1
[ L1 , L1 ] = L1 L1 − L1L1
=0
⇒ C111 , C112 , C113 , C114 , C115 , C116 , C117 = 0
Özel olarak i = 3 ve j = 4 alalım. Bu durumda ;
7
[ L3 , L4 ] = ∑ C34k Lk
Bracket çarpımından C34k ları elde ederiz
k =1
[ L3 , L4 ] = L3 L4 − L4 L3
0 −1
1 0
=
0 0

0 0
0
0
=
0

0
0
0
0
0
0  0
0  0
0  0

0  0
0 0 0 0
0 0 1   0
−
0 0 0 0
 
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 0
0   0
−
0 0
 
0 0
0 0 0  0
0 0 0  0
=
0 0 0  0
 
0 0 0  0
0
0
0
0
0
0
0
0
1   0 −1
0  1 0
0  0 0

0  0 0
0 0 0
0 0 1 
= L5
0 0 0

0 0 0
45
0
0
0
0
0
0 
0

0
⇒ C345 = 1,
1
3
C34
, C342 , C34
, C344 , C346 , C347 = 0
Benzer yolla diğer yapı sabitleri de bulunabilir. Bu yapı sabitleri aşağıda
verilmiştir.
C111 = C112 = C113 = C114 = C115 = C116 = C117 = 0
C123 =1 , C121 = C123 = C124 = C125 = C126 = C127 = 0
C132 =−1 , C131 = C133 = C134 = C135 = C136 = C137 = 0
C141 = C142 = C143 = C144 = C145 = C146 = C147 = 0
C156 =1 , C151 =C152 =C153 =C154 =C155 =C157 =0
C165 =−1 , C161 =C162 =C163 =C164 =C166 =C167 =0
C171 = C172 = C173 = C174 = C175 = C176 = C177 = 0
46
C221 = C222 = C223 = C224 = C225 = C226 = C227 = 0
C21 =−C21
C231 =1 , C232 = C233 = C234 = C235 = C236 = C237 = 0
1
C246 =−1 , C24
= C242 = C243 = C244 = C245 = C247 = 0
C251 = C252 = C253 = C254 = C255 = C256 = C257 = 0
1
C264 =1 , C26
= C262 = C263 = C256 = C266 = C267 = 0
C271 = C272 = C273 = C274 = C275 = C276 = C277 = 0
C331 = C332 = C333 = C334 = C335 = C336 = C337 = 0
C31 =−C13
C32 =−C23
C345 =1 , C341 = C342 = C343 = C344 = C346 = C347 = 0
C354 =−1 , C351 = C352 = C353 = C354 =C355 = C357 = 0
C361 = C362 = C363 = C364 = C365 = C366 = C367 = 0
C371 = C372 = C373 = C374 = C375 = C376 = C377 = 0
47
C441 =C442 =C443 =C444 =C445 =C446 =C447 =0
C41 =−C14
C42 =−C24
C43 =−C34
1
C45
= C452 = C453 = C454 = C455 = C456 = C457 = 0
1
C46
= C462 = C463 = C464 = C465 = C466 = C467 = 0
1
C474 =−1 , C47
= C472 = C473 = C475 = C476 = C477 = 0
C551 = C552 = C553 = C554 = C555 = C556 = C557 = 0
C51 =−C15
C52 =−C15
C53 =−C35
C54 =−C45
C561 = C562 = C563 = C564 = C565 = C566 = C567 = 0
C575 =−1 , C571 = C572 = C573 = C574 = C576 = C577 = 0
48
C661 =C662 =C663 =C664 =C665 =C666 =C667 =0
C61 =−C16
C62 =−C26
C63 =−C36
C64 =−C46
C65 =−C56
C676 =−1 , C671 =C672 =C673 =C674 =C675 =C677 =0
C771 = C772 =C773 = C774 =C775 =C776 =C777 =0
C71 =−C17
C72 =−C27
C73 =−C37
C74 =−C47
C75 =−C57
C76 =−C67
49
4. DOĞRU ELEMANLARININ PLÜCKER KOORDİNATLARI
Bu bölümde B.Odehnall, H.Pottmann, J.Wallner in Equiform Kinematics and Line
Elements adlı makalesi tanıtılmıştır.
•
x = v( x) = c + γ x + C.x
_
ifadesinde Lie dönüşüm gruplarından herhangi (c, c, γ ) ∈
7
üçlüsü bir tek benzerlik hareketini tanımlar.Bu hareket, benzerlik hareketinin bir
parametreli alt grubudur. Homotetik hareketlerin devamı olan ani hareketlerde
_
karşılaşılan doğruların (l , l , λ ) ∈
7
doğru elemanlarına modellenmesini ele alacağız.
L 3-boyutlu Öklid uzayında x noktasından geçen bir doğru olsun. ( L, x) ∈
3
doğru
elemanlarının koordinatlarını düzenlemek için Plücker koordinatlarının benzer
tanımlarını veriyoruz.
Tanım 4.1.
_
_
Eğer l ≠ 0 ve l//L , l = x × l ve λ = x, l ise (l , l , λ ) ∈
7
üçlüsüne ( L, x) ∈
3
doğru
_
elemanlarının Plücker koordinatları denir.Burada l , l nin vektörel momenti
7. koordinat olarak λ = x, l
yı x in L üzerindeki yerel noktasını düzenlemek için
_
ekliyoruz. Böylece doğru elemanları (l , l , λ ) ∈
Şekil 4.1. (Doğru elemanları )
50
7
olur.
Açıkça bu koordinatlar homojen koordinatlardır ve aşağıdaki denklemi elde etmek
basittir.
_
(4.1.)
x = p(l , l ) +
λ
l, l
_
p(l , l ) =
l.......( I ),
_
1
l × l ......( II )
l, l
p (l , l ) yi (I) de yerine yazarsak,
x=
_
1
λ
l ×l+
l
l, l
l, l
l yönlendirilmiş (birim paralel ) vektör, l , l = 1
_
x = l × l + λl
elde edilir.
_
Burada
p (l , l ) orijinden
L
üzerine indirilen dikmenin ayağıdır. Eğer doğru
yönlendirilmişse doğru elemanı da yönlendirilmiş olur. Koordinatlarda
 _ 
 _ 
 l , l , λ  ve µ  l , l , λ  yi benzer düşüneceğiz ⇔ µ > 0 ya da l = 1 kısıtlaması varsa.




 _ 
x(t ) = λ (t ) A(t ) x0 + a (t ) Benzerlik dönüşümü  l , l , λ  doğru elemanlarını


x ' = α Ax + a
l ' = Al
_
l ' = x' × l '
denklemleri ile birlikte
λ ' = x' , l '
 ' _' ' 
 l , l , λ  doğru elemanlarına dönüştürür.


Bu dönüşümün blok matris formu;
(4.2.)
 l' 
l 
0 0  
_  A
_
 l '  =  A× A α A 0   l 
 
 '  T
 λ   a A 0T α   λ 
 
 
( A A = a × x)
×
dir.
51
_
l ' = x ' × l ' = (α Ax + a ) × ( Al )
= α ( Ax ) ∧ ( Al ) + a ∧ ( Al )
,l ' = Al
= a ∧ ( Al ) + α ( Ax ) ∧ ( Al )
λ ' = x' , l '
= α Ax + a, Al
= α Ax, Al + a, Al
,A ∈ O(n) (izometri)
= α x, l + aT Al
, Ax, Al = x, l
= αλ + a Al
, a, Al = aT Al
T
dir.
(4.2.) denklemi açıkça yönlendirilmiş doğru elemanını sağlar.
_
4.1 l , l , λ nın Geometrik Yorumu
_
( L, x) = (l , l , λ ) doğru elemanlarının cümlesi l ,λ (sabit) ile birlikte ,l//L olacak şekilde
tanımlanır ve x noktası düzlem içinde λ = x, l denklemi ile içerilir.
( −λ ,l )
 _ 
düzlem için homojen koordinatlardır. Eğer  l , l , λ  yönlendirilmiş olarak


düşünülürse düzlemde yönlendirilmiş kabul edilir.
_
Şimdi farz edelim ki l ≠ 0 ve λ
_


 ( L, x) = (l , l , λ ) 


_
verilsin. Biz doğru elemanlarının cümlesine
_
 _
l ve λ verilmişken bakıyoruz. Plücker koordinatları  l , l  olan
 
_⊥
doğrular, l verilmişken l düzlemi içinde içerilir.
_
p = p (l , l ) pedal noktası ve x noktası aşağıdaki ilişkiyi sağlar.
52
_
l
l =
x− p =
ve
p
λ p
_
l
dir. Gerçekten,
_
x = p(l , l ) +
p =
p =
_
l.......( I ),
l, l
p(l , l ) =
_
1
l × l ....( II )
l, l
_
1
l×l
l, l
_
1
l
p =
λ
2
l l sin 90
_
_
l
l
⇒ l =
l
p
dir.
Ve
x− p =
λ
l, l
l
x− p =
x− p =
⇒
x− p =
λ
l, l
λ
l
=
l
λ p
_
l
λ p
_
l
dir.
53
idi. Buradan,
Tanım 4.1.1 (bundle of lines)
3
Verilen bir doğruya paralel olan doğruların cümlesi yada
ün bir noktasından geçen
doğruların cümlesine doğruların bundle’ ı denir.
Tanım 4.1.2
( L, x ) doğru elemanlarının cümlesi ‘generalized bundle’ olarak adlandırılır eğer
doğruları bir bundledan oluşuyorsa ve koordinatları
7
nin 3-boyutlu lineer alt uzayında
içerilirse.
4.2 Doğru Elemanlarının Lineer Kompleksi
_
(l , l ) plücker koordinatlarının doğrularının cümlesi
_
_
_
l , c + l , c = 0 lineer homojen denklemini sağlar ve (c, c) koordinatlarıyla lineer ışın
kompleksi olarak adlandırılırlar.Biz bu tanımı genelleyeceğiz.
Tanım4.2.1
_
(l , l , λ ) doğru elemanlarının cümlesi
_
(4.2.1.)
_
_
l , c + l , c + γλ = 0
lineer denklemini sağlar ve
(c, c, γ ) koordinatları ile
doğruların lineer kompleksi olarak adlandırılır.
Eğer C kompleksi (4.2.1) ile verilmişse ve γ ≠ 0 ise Öklid uzayındaki bütün
_
L = (l , l ) doğruları için ( L, x ) ∈ C olacak şekilde bir x ∈ L noktası vardır. γ ≠ 0 olduğu
durumda ( L, x ) ∈ C , L doğrusunu tek olarak belirtir ve ( L, x ) ∈ C ⇔ (4.2.1.) denklemini
54
sağlayan L kompleks içinde içerilir.Böylece doğruların cümlesi tanım 4.2.1 den
kompleksin doğru elemanları ile ilişkilendirilir. γ ya bağlı olarak 3 yada 4-boyuta
sahiptirler.
Öklid kinematiğinde, düzgün hareketin normal yolu sabit değişmez bir lineer ışın
kompleksinden oluşur. Öklidyen hareket ve doğru kompleksleri arasındaki bu ilişki
benzerlik hareketi ve doğru elemanlarına genelleştirilir. Biz eğer L ⊥ v ( y ) ise ( L, y ) ye
_
y deki path normal elemanı diyoruz. v( y ) = c + c × x + γ y
(path normal element) ⊥ (düzgün homotetik hareketin hız vektörü)
Teorem 4.2.1
Düzgün bir parametreli benzerlik hareketin herhangi bir andaki v ( y ) hız vektörü (3.5.2)
_
ile birlikte noktaların path normal elemanlarının cümlesi ile (c, c, γ ) koordinatları ile
birlikte doğru elemanlarının lineer kompleksi eştir.
İspat 4.2.1
_
( l , l , λ ) doğru elemanının v ( y ) hız vektörüne ortogonal olması durumunda;
v( y ), l = 0
_
c × y + c + γ y, l = 0
_
c × y, l + c, l + γ y, l = 0 elde edilir.
_
c, y × l + c, l + γλ = 0
_
_
c, l + c, l + γλ = 0
55
Açıkça doğru elemanlarının lineer kompleksi bu yolla meydana gelir.Bu nedenle şu
teorem ifade edilebilir.
Teorem 4.2.2
Lineer bir ışın kompleksine bir spiral hareketi, tersine olarak da bir spiral hareketine
lineer bir ışın kompleksi bağlıdır. Kompleksin ekseni ile spiralin ekseni çakışır.
Kompleksin ve spiralin adımları aynıdır. Lineer bir kompleksin ( ∞ 4 ) sayıdaki ışınları
3
ün spiral hareketine uyan noktalarındaki yörünge normallerinin bütününden oluşur.
Teorem 4.2.3
Benzerlik eşitliğinden doğru elemanlarının lineer kompleksinin homojen koordinatları;
_
(4.2.2.)
(c, c, γ ) = (0, 0,1;0, 0, p; 0), p ∈
_
(4.2.3.)
(c, c, γ ) = (0, 0, 0;0, 0,1;0)
(4.2.4.)
(c, c, γ ) = (0, 0,1;0, 0, 0; p ), p ≠ 0
(4.2.5.)
(c, c, γ ) = (0, 0, 0;0, 0, 0;1)
_
_
dır.
İspat 4.2.3
Daha önce bu dört durum incelenmişti.
_
Doğru elemanlarının
(c, c, γ ) lineer kompleksi c ≠ 0 ve γ ≠ 0 iken spiral harekete
uyar.(bölüm 3.5).Spiral hareketin merkezi koordinat dönüşümünden sonra normal form
_
(0, 0, 0)T koordinatına sahiptir.Açıkça o = −(C × + γ E3 ) −1 c ile verilir.
(4.2.6.)
t=o=
_
_
_
1
(γ c × c − γ 2 c − c, c c)
γµ
56
µ = γ 2 + c, c = γ 2 + c 2
Spiralin ekseni c ye paraleldir.Ve doğru elemanlarının koordinatlarını
(4.2.7) A = (c, o × c, o, c ) = (c,
_
_
_
_
1
1
( c, c c − c, c c + γ c × c), − c, c )
µ
γ
ile verebiliriz.
γ = 0 olduğu durumlarda (4.2.7) eşitliği bilinen plücker koordinatlarda helisin eksenini
oluşturur.
A = ( c , o × c , o, c ) = ( c ,
1
µ
_
_
_
( c, c c − c, c c + γ c × c))
_
_
= (c , c −
c, c
c, c
c)
Şekil 4.2.1(Spiral ekseni)
Şekil 4.2.2.(Helisel eksen)
Teorem 4.2.4
Düzlem içinde bulunan lineer kompleksin doğru elemanları spiral hareket düzleminin
path normal elemanıdır.
57
Şekil 4.2.3(Doğru elemanlarının lineer
Şekil 4.2.4 (spiral hareketin çizdiği nokta
kompleksinin düzlem parçası)
yörüngeleri)
İspat 4.2.3
Genelliği bozmadan sadece
x3 = 0 olduğunu düşünelim. ( L, x ) doğru elemanlarının
_
Plücker koordinatları bu düzlem üzerinde, l = x1l2 − x2l 1 ile
formundadır.
.
l = x × l = x1
l1
_
.
x2
l2
.
0 = (0, 0, x1l2 − x2l1 )
0
_
l = x1l2 − x2l 1
Lineer komplekse ait olan doğru elemanları
_
_
_
_
c1 l1 + c 2 l2 + c3 l 3 + γλ = 0 denklemini sağlar. Gerçekten,
(4.2.8.)
_
l , c + l , c + γλ = 0
dan dolayı;
58
−
(l 1 , l2 , 0; 0, 0, l 3 ; λ )
_
_
_
_
(c1 , c 2 , c3 ), (l1 , l2 , 0) + (c1 , c2 , c3 ), (0, 0, l 3 ) + γλ = 0
_
_
_
c1 l1 + c 2 l2 + c3 l 3 + γλ = 0
dır.
_
_
v ( x) = (c1 , c 2 , 0)T + c3 ( − x2 , x1 , 0)T + γ ( x1 , x2 , 0)T
(4.2.9)
şeklindedir. Gerçekten,
( L, x ) doğru elemanı v( x ) e ortogonal olduğundan,
_
_
v( x), l = ((c1 , c 2 , 0)T + c3 (− x2 , x1 , 0)T + γ ( x1 , x2 , 0)T ), (l 1 , l2 , 0)
_
_
_
_
_
_
_
_
= c1 l 1 + c 2 l2 + c3 ( − x2l1 + x1l2 ) + γ ( x1l1 + x2l2 ) = 0
= c1 l 1 + c 2 l2 + c3 l 3 + γ l , x = 0
= c1 l 1 + c 2 l2 + c3 l 3 + γλ = 0
_
(4.2.10)
_
v( x), l = c1 l 1 + c 2 l2 + c3 ( x1l2 − x2l1 ) + γ ( l , x ) = 0 şeklinde yazılabilir.
Lemma 4.2.1
_
Eğer C=(c, c, γ )
doğruları üzerinde,
doğru elemanlarının bir lineer kompleksi ise γ ≠ 0 ; bütün L
( L, x ) ∈ C
olacak şekilde bir tek x noktası vardır.
_
Eğer γ = 0 ise doğruların lineer kompleksini C ' = (c, c) olarak düşüneceğiz. Eğer
L ∈ C ' ise bütün x ∈ L için ( L, x ) ∈ C dir. Aksi durumda ( L, x ) ∈ C olacak şekilde x
yoktur.
59
İspat 4.2.4
_
_
c, l + c, l + γλ = 0
_
_
L ∈ C ⇔ c, l + c , l = 0
λ=
denklemini çözmeliyiz.
_
−1  _

c, l + c, l 

γ 

dır. Lemma 4.2.1den (4.1) ile birlikte x noktası
(4.2.11)
x=
_
1  _ 1 _
 
 l × l −  c, l + l , c  l 
l, l 
γ
 
şeklinde elde edilir.
_
_
_

λ
1
l , p(l , l ) =
l × l 
 x = p(l , l ) +
l, l
l, l,


x=
_
_
1
1  _

l × l−
c
,
l
+
l
,
c
l


l, l
γ l, l 

x=
_
1  _ 1 _
 
 l × l −  c, l + l , c  l 
l, l 
γ
 
Lemma 4.2.2
_
( L, x ) olacak şekilde x noktalarının cümlesi (c, c ,γ ) kompleksinde içerilir ve L sabit
l ≠ 0 vektörüne paraleldir. Bu noktaların cümlesi bir düzlemdir.
( γ = 0 ve l / / c olduğu durumlar dışında )
60
İspat 4.2.5
Herhangi x noktası için
( L, x )
doğru elemanı l ye paraleldir ve
(l, x × l,
x, l
)
koordinatlaına sahiptir. x noktası kompleks içinde içerilir.
_
c , l + c, x × l + γ x, l = 0
⇔
_
c , l + x, l × c + γ l = 0
γ ≠ 0 yada l × c ≠ 0 ile bu denklem aşikar çözümü olmayan lineer düzlem denklemidir.
_
(l , l ) doğrularının durumundan dolayı, bir q noktası ile rankı 2 olup lineerdir. Böylece,
q ∈ L olacak şekilde verilen kompleksin doğru
lineer denklemi hesaplayarak
elemanlarının generalized bundle oluşturduğunu görürüz (Tanım 4.1.2) den.
Teorem 4.2.5
q∈
3
_
ve C = (c, c, γ ) , (γ ≠ 0) nin doğru elemanlarının lineer kompleksi olduğunu
kabul edelim. Böylece
qq’çapı ile bir küredir.
( L, x ) ∈ C olacak şekilde
x noktalarının cümlesi q ∈ L ve
1
q ' = q − v ( q ) ( 3.5.1.)deki hız vektör şartı altında ifade edilir.
γ
İspat 4.2.6
_
_
Genelliği bozmadan q = 0 alalım. O zaman v( q ) = c olur. ( L, x ) = (l , l , λ ) doğru
_
_
_
elemanı üzerindeki durumundan dolayı l = 0 ( l = q × l , q = 0 ⇒ l = 0) ve
_
(4.2.12.)
c, l + γλ = 0
_
_


c
,
l
+
c
, l + γλ = 0 

{
0


_


 ⇒ c, l + γλ = 0



Ayrıca (4.1) eşitliği
61
denklemleri sağlanır.
_
x=
(4.2.13.)
x=
1
γ l, l
λ
_
x = p(l , l ) +
c, l
l, l
l yi sağlar. Gerçekten,
_
l,
p(l , l ) =
_
1
l×l
l, l,
_
λ
1
l{
×l +
l
l, l 0
l, l
=−
_
1
γ l, l
c, l l
_
⇒x=−
1
c, l
γ l, l
l
olur.Açıkça x noktası L doğrusu üzerindeki
1
1_
q ' = q{ − v{
(q) = − c
γ _
γ
0
noktasının
c
pedal noktasıdır.bu x noktalarının cümlesi çapı qq ' olan Thales küresini gösterir.
Şekil 4.2.5.(pedal noktası)
Şekil 4.2.6.( Thales küresi)
62
Sonuç 4.2.1
Teorem 4.2.5 de C kompleksi ile x noktalarının cümlesi verilen doğrularda içerilen
( L, x ) ∈ C olacak şekilde L ile bir dairedir. Gerçekten,
Problemdeki daire Teorem 4.2.5. deki kürenin doğrunun taşıyıcı düzlemi ile kesiştirerek
oluşturulur.
4.3 Doğru Kongrüansı İle Kompleksin Kesişmesi
Zıt iki A1 , A2 eksenleri ile doğruların lineer hiperbolik kongrüansı, A1 ve A2 yi kesen
doğruları içerir.
Şekil 4.3.1.(Komplekslerin kesişimi)
Teorem 4.3.1
γ ≠ 0 ve C = (c, c, γ ) doğru elemanlarının lineer kompleksi olsun. x ∈ noktalarının
cümlesinin φ olduğunu düşünelim ∋ ( L, x) ∈ C olacak şekildeki L hiperbolik doğru
kongrüansı içinde içerilsin. φ 2-tane bir parametreli dairelerin ailesini taşıyan kübik
yüzeydir.
63
Şekil 4.3.2.(Kübik yüzey)
İspat 4.3.1
Genelliği bozmadan hiperbolik lineer doğru kongrüansının A1 , A2 eksenlerini yaklaşık
olarak
(4.3.1)
A1 (u ) = (2ku , 2u , d ) = u (2k , 2, 0) + (0, 0, d )
A2 (v) = (2kv, −2v, − d ) = v(2k , −2, 0) + (0, 0, −d )
( k , d ≠ 0)
şeklinde parametrelendirdiğimizi farz edelim. Plücker koordinatların kongrüansı
_
L(u , v ) = (l (u , v ), l (u , v )) ile parametrelenir.
64
1
( A2 (v) − A1 (u ))
2
1
= ( (2kv, −2v, − d ) − (2ku, 2u, d ) )
2
= k ( (u − v), (u + v), d )
l (u , v) =
_
1
( ( A2 (v) + A1 (u )) × l (u, v) )
2
= (k (u + v), (u − v), 0) × (k (u − v), (u + v)d )
l (u , v) =
•
•
•
= k (u + v) (u − v) 0
k (u − v) (u + v) d
= (d(u-v),-dk(u+v),k(u+v) 2 -k(u-v)2 )
= (d(u-v),-dk(u+v),4kuv)
x(u, v ) noktalarının cümlesi ∋ C kompleksi içinde içerilen
( L(u, v), x(u, v) )
doğru
elemanları (4.2.1.) ile hesaplanır.
(4.3.2.)
yüzeyden
x=
_
1  _ 1 _
 
 l × l −  c, l + l , c  l  , Lemma 4.1 den x bir tektir. Bu
l, l 
γ
 
kγ ( x12 + x22 + x32 ) x3 + ..., elde
edilir.
Noktalar
alt
sıradaki
terimleri
göstermektedir. k , γ ≠ 0 olduğundan φ 3.derecedendir. ε ⊃ Ai olan herhangi bir düzlem
için, φ ∩ ε kesişimi Ai lerden oluşur ve 2.dereceden Rε eğrisini kapsar. Sonuç 4.2.1. den
dolayı ε da uzanan ( L, u ) doğruları, Rε la tanımlanan x(u, v ) noktalarının dairesini
oluşturur.Sonuç olarak x(u, v ) noktalarının parametrizasyonu φ nin bütününü kapsar.
φ nin denkleminden ve φ nin daireleri taşıdığı gerçeğinden φ nin projektif ve kompleks
uzaması mutlak konikleri içerir.
65
4.4 Komplekslerin Kesişimi
Bu kısa paragrafta doğru elemanlarının iki kompleksinin kesişimini düşüneceğiz.
_
C = (c, c, γ ), γ = 0 olmak üzere yukarıda aşikar olduğu gibi bir kompleks bazı özel
özelliklere sahiptir.
_
C = (ci , c i , γ i ),
(γ 1 , γ 2 ≠ 0)
(i = 1, 2),
olmak üzere farklı komplekslerin lineer
bağımsız koordinat vektörleri olsun.
C : (c, c, γ ) = γ 2C1 − γ 1C2 lineer kombinasyonu

_
_




_

_
γ 2  c1 , l + c1 , l  = γ 1  c2 , l + c2 , l  denklemi ile bir kompleks
(4.4.1)


tanımlar. Gerçekten,
_
_
C : (c1 , c1 , γ 1 )
,
( L, x) ∈ C1 ,
C : (c2 , c 2 , γ 2 )
ise,
( L, x) ∈ C2
_
_
_
c1 , l + c1 , l + γ 1λ = 0
⇒λ =−
_
c1 , l + c1 , l
_
_
_
c2 , l + c 2 , l + γ 2 λ = 0
⇒λ =
.....( I )
γ1
_
c2 , l + c 2 , l
γ2
.....( II )
( I ) ve ( II ) den dolayı
_
λ=
_
_
c2 , l + c 2 , l
γ2
_
c2 , l + c 2 , l
=
γ1
dir. Böylece;
66

_
_




_

_
γ 2  c1 , l + c1 , l  = γ 1  c2 , l + c2 , l 

_
_

_
_
γ 2 c1 , l + γ 2 c1 , l − γ 1 c2 , l − γ 1 c2 , l = 0
_
_
_
_
_
_
l , γ 2 c1 + l , γ 2 c1 + l , γ 1 c2 + l , γ 1c2 = 0
D:
_
l , γ 2 c1 + γ 1 c2 + l , γ 2 c1 + γ 1c2 = 0
_
Lineer kombinasyonu elde edilir.Aslında D lineer komplekstir.Eğer L(l , l ) D de bir
_
_
doğru ise (l , l , λ ) ∈ C1 ∩ C2 olacak şekilde λ vardır. λ = −
_
ci , l + ci , l
γi
( γ i ≠ 0 ).Bu
durumda C1 ∩ C2 kesişimi doğru elemanlarının cümlesinden oluşur ve doğruların lineer
kompleksidir.
67
KAYNAKLAR
Bottema, O. And Roth,B. 1979. Theoretical Kinematics. North Holland Publ.Company
New York
Hacısalihoğlu, H.H. 1983. Diferansiyel Geometri. İnönü Üniversitesi Fen Fakültesi
Yayını.
Hacısalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek Boyutlu Uzaylarda Dönüşümler ve Geometriler.
İnönü Üniversitesi Temel Bilimler Fakültesi Yayınları, Ankara.
Hacısalihoğlu, H.H. 1980. Yüksek Diferansiyel Geometriye Giriş. Fırat Üniversitesi
Fen Fakültesi Yayını.
Hacısalihoğlu, H.H. 1971. On The Rolling of One Curve or Surface Upon Another.
Proceedings of the Royal Irish Academy.71(2),13-16.
Hacısalihoğlu, H.H. 1983. Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi. Gazi
Üniversitesi Fen –Ed. Fakültesi Yayınları, Mat. No. 2,Ankara.
Karger, A. and Novak, J. Space 1985. Kinematics and Lie Groups. Gordon and Breach
Science Publishers.
McCarthy, J.M. , 1990. An Introduction to Theoretical Kinematics, The MIT Pres
Cambridge, Massachusetts London, England.
Müler, H.R.1963. Kinematik Dersleri. Ankara Üniversitesi Basımevi,Ankara.
Acratalishıan, A. 1989. E2n+1 de Lineer Vektör Alanları, Doktora Tezi Gazi
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
68
Odehnal,B., Pottmann, H., Wallner,J. 2000. Equiform Knematic and the Geometry of
Line Elements. Mathematics subject Classification.
Pottmann, H.,Lee, I-K. 1998. Randrup,T., Reconstruction of Kinematic Surfaces from
Scatterd Data. Proceedings of symposium on Geodesy for Geotechnical and
structural Engineering, 483-488.
69
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: Esra Betül KOÇ
Doğum Yeri : Kayseri
Doğum Tarihi : 01.05.1982
Medeni Hali : Bekar
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Kayseri Lisesi (2000)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Matematik Bölümü (2002-2006)
Tezsiz Yüksek Lisans :Sakarya Üniversitesi 0FMA Matematik Bölümü(2006-2007)
Yüksek Lisans
: Ankara Üniversitesi (2007-2009)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Özel Cemal Şaşmaz Fen Lisesi (2006-2008)
e-mail: [email protected]
70