hafta üç - WordPress.com

HAFTALIK M İN İ OL İMP İYAT DENEMELER İ
HAFTA-ÜÇ
www.sbelian.wordpress.com
23 Şubat 2009
Her hafta www.sbelian.wordpress.com adresimizden indirebileceğiniz denemelerin
tamamı Kvant ve Potansia dergilerinde yayınlanmış olan preolimpik deneme sınavlarından oluşmaktadır. Her sınavda 6 soru bulunmaktadır ve süre 90 dakikadır. Kolay
Gelsin.
SORULAR1

 a + b − c = −1,
a2 − b2 + c2 = 1,
1.

−a3 − b3 + c3 = −1
Sisteminin tüm reel çözümlerini bulunuz.
2. x, y, z birer pozitif tamsayı olmak üzere her biri π/2’den küçük ise,
π
+ 2 sin x + cos y + 2 sin y cos z > sin 2x + sin 2y + sin 2z
2
eşitsizliğini gösteriniz.
3. a, b, c sayıları bir üçgenin kenar uzunluklarını tesil etmektedir. Buna göre,
a−b b−c c−a
1
+
+
<
a + b b + c a + c 16
eşitsizliğini gösteriniz.
4. ABC üçgeninin O merkezli içteğet çemberi |AC|’ye M noktasında, |BC|’ye N noktasında
değmektedir. |AO| ve |MN| doğruları P noktasında, |BO| ve |MN| doğruları Q noktasında
kesiştiğine göre,
|MP| · |OA| = |BC| · |OQ|
olduğunu gösteriniz.
5. Pozitif tamsayılar üzerinde tanımlanan f için, f (1) = 1, f (2n + 1) = f (2n) + 1 ve f (2n) =
3 f (n) olarak veriliyor. Bu göre, f (n) = m eşitliğini sağlayan tüm m değerlerinin kümesini
bulunuz.
6. a, b, c pozitif tamsayılar olmak üzere, 2a2 − 3a + 1 = 3b2 + b eşitliğinin çözüm kümesinin
sonsuz elemanlı olduğunu gösteriniz.
1
1989 yılı sınavından alınmıştır.
1