{,, } kümesi üzerinde kurulabilecek tüm topolojileri

Ç ANKI RI KARATEK İN ÜNİVERSİTESİ
20 13-2014 ÖĞRETİM YILI BAHAR DÖNEMİ
TOPOLOJİ 1 DERSİ Ç ALIŞMA SORULARI
1. SORU
= { , , } kümesi üzerinde kurulabilecek tüm topolojileri yazınız.
Boş olmayan bir X kümesi ile bir ∈ elemanı verilsin. Boş küme ile a
elemanını içeren bütün alt kümelerin; yani = { ⊂ : = ∅ ∈ }
ailesinin X üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.
2. SORU
Sonlu bir küme üzerinde tanımlı bir topolojiye göre, tek elemanlı
her küme kapalı bir alt küme oluyorsa, bu topolojinin ayrık olduğunu
gösteriniz.
3. SORU
4. SORU
Her kümenin sınırının kapalı olduğunu gösteriniz.
Bir kümenin hem açık hem de kapalı olması için gerek ve yeter şart
hiçbir sınır noktasının olmamasıdır. Gösteriniz.
5. SORU
Ayrık bir topolojik uzayda hiçbir alt kümenin hiçbir yığılma
noktasının olmadığını gösteriniz. Ayrık olmayan bir uzayda bu özellik
nasıldır?
6. SORU
Bir ∈ elemanının A kümesinin bir ayrık noktası olması için
gerek ve yeter şartın  = { } olacak şekilde açık bir D kümesinin varlığı
olduğunu gösteriniz.
7. SORU
∈ olmak üzere = { , + 1, + 2, … } alt kümeleri ve boş
kümeden oluşan T ailesini ele alınız.
8. SORU
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
9. SORU
i.
ii.
T ailesinin N kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.
6 sayısını içeren tüm açık kümeleri yazınız.
= {4,13,28,37} kümesinin yığılma noktalarını bulunuz.
N kümesinin ~
=
olacak şekilde A alt kümelerini belirleyiniz.
= {7,24,47,85} ve = {3,6,9,12, … } kümelerinin kapanışlarını
bulunuz.
N kümesinin her yerde yoğun alt kümelerini belirleyiniz
( , ) topolojik uzayı ve ⊂
∪
=
~
verilsin. Aşağıdakileri ispatlayınız.
kümesi kapalıdır.
∪
~
dir.
10. SORU ( , ) topolojik uzayı ve ,
⊂
verilsin. Aşağıdakileri
ispatlayınız.
i.
( ∩ ) ⊂
∪
ii.
( ∪ ) =
∪
Yrd.Doç.Dr. Süleyman CENGİZ