VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS
advertisement
Seventh Edition VECTOR MECHANICS FOR ENGINEERS: STATICS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. Ders Notu: Hayri ACAR İstanbul Teknik Üniveristesi 2. MADDESEL NOKTALARIN STATİĞİ Tel: 285 31 46 / 116 E-mail: [email protected] Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. DÜZLEM KUVVETLER SİSTEMİ • KUVVET VEKTÖREL BİR BÜYÜKLÜKTÜR y BİLİNMESİ GEREKENLER F • UYGULAMA NOKTASI F • ŞİDDETİ θ • YÖNÜ x F2 θ2 F1 θ1 θ3 F3 VEKTÖR ÖZELLİKLERİ NEGATİF VEKTÖR: TOPLAMA: TESİR ÇİZGİSİ AYNI OLAN VEKTÖRLERİN TOPLANMASI: F3 F2 F1 F1 F2 = F4 - F1 + F2 + F3 = F4 F3 F4 AYNI NOKTAYA TESİR EDEN VEKTÖRLERİN TOPLANMASI: y F5 F4 F1 F3 y F2 F3 F1 F2 z x x F5 F1 y y F F4 F3 F2 x r r r r r r F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = F x PARALEL KENAR YASASI: çıkarma toplama α P α γ P Q COSİNÜS TEOREMİ: 180 - α β Q R2 = P2 + Q2 – 2PQCos(180-α) R2 = P2 + Q2 + 2PQCos(α) SİNÜS TEOREMİ: P Q R = = sin γ sin β sin α İKİDEN FAZLA VEKTÖRÜN TOPLANMASI VEKTÖRLERİN TOPLANMASI Örnek Problem 2.1 Şekildeki somuna A noktasından iki kuvvet etkimektedir. Bu kuvvetlerin bileşkesini bulunuz. • Grafik çözüm - paralelkenar yöntemi: R = 98 N α = 35° • Trigonometrik çözüm – cos ve sin teoremleri: R = 98 N α = 35° Örnek Problem 2.2 Şekildeki mavna iki römorkör ile çekilmektedir. Römorkörlerin uyguladığı kuvvetin bileşkesi 5000 N ise α) α = 45o olduğu durumda her iki halattaki kuvveti, b) 2 nolu halattaki kuvvetin minimum olması için α açısını bulunuz. (a) • Grafik çözüm – Paralelkenar yöntemi 5000 N T1 = 3700 N T2 = 2600 N • Trigonometrik çözüm – Sinüs kuralı 5000 N T1 T2 5000 N = = sin 45° sin 30° sin 105° T1 = 3660 N T2 = 2590 N (b) • 2. halattaki minimum kuvvet için üçgen kuralı kullanılarak değişik α açıları için çözüm yapılır: • 2. halattaki minimum kuvvet T1 ve T2 birbirine dik olduğu zaman oluşur: 5000 N 5000 N T2 = (5000 N )sin 30° T2 = 2500 N T1 = (5000 N )cos 30° T1 = 4330 N α = 90° − 30° α = 60° BİR KUVVETİN DİK BİLEŞENLERİNE AYRILMASI y y F F Fy Fy θ Fx F = (Fx, Fy) = Fx i + Fy j θ x Fx Fx = F cos θ Fy = F sin θ F = (Fx2 + Fy2)1/2 x Tan θ = Fy / Fx F2 F2 sin θ2 F2 cos θ2 F1 sin θ1 F3 cos θ3 F3 F1 F1 cos θ1 F3 sin θ3 F1 = F1x i + F1y j F2 = F2x i + F2y j Fn = Fnx i + Fny j R = (ΣFix i)0n+ (ΣFiy j)0n = 0 Rx = (ΣFix) Ry = (ΣFiy) F2 F2 sin θ2 F2 cos θ2 F1 F1 sin θ1 F3 cos θ3 F1 cos θ1 F3 sin θ3 F3 F3 cos θ3 F1 cos θ1 Fx = F1 cosθ1 + F2 cosθ2 + F3 cosθ3 x F2 F2 sin θ2 F1 F1 sin θ1 F2 cos θ2 F3 cos θ3 F1 cos θ1 F3 sin θ3 F3 y F2 sin θ2 Fy = F1 sinθ1 + F2 sinθ2 + F3 sinθ3 2 Fy2 )1/2 F = (Fx + θ = tan -1 (Fy / Fx ) F1 sin θ1 F3 sin θ3 MADDESEL NOKTANIN DENGESİ ΣM = 0 (moment) Σ F = 0 (kuvvet) F1 = F1x i + F1y j F2 = F2x i + F2y j Fn = Fnx i + Fny j R = (ΣFix i)+ (ΣFiy j) = 0 (ΣFix) = 0 (ΣFiy) = 0 Örnek Problem 2.3 Şekildeki somuna A noktasında dört kuvvet etkimektedir. Bileşke kuvveti bulunuz. Her kuvvetin dik bileşenleri hesaplanır: kuvvet şid r F1 150 r F2 80 r F3 110 r F4 100 x − bil y − bil + 129.9 − 27.4 0 + 96.6 + 75.0 + 75.2 − 110.0 − 25.9 R x = +199.1 R y = +14.3 • Bileşkenin şiddeti ve yönü: R = 199.12 + 14.32 14.3 N tan α = 199.1 N R = 199.6 N α = 4.1° Parçacıkların Dengesi • Parçacığa etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise parçacık dengededir. • Newton’un 1. Kanunu: Bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık başlangıçtaki hareketini korur. Dengede ise dengede kalır, belirli bir hızı varsa aynı hızda devam eder. • Parçacığa iki kuvvet etkiyor : - eşit şiddetli - aynı tesir çizgisi - zıt yönlü • Parçacık ikiden fazla kuvvet etkisi altında: - grafik çözüm zorlaşır. - cebirsel çözüm uygundur. r r R = ∑F = 0 ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 Serbest Cisim Diyagramı Uzay Diyagramı: Problemin fiziksel durumunu gösteren resim Serbest Cisim Diyagramı: Seçilen elemana etkiyen kuvvetleri gösteren çizim. Örnek Problem 2.4 Bir gemiye araç yüklemesi sırasında 3500 N’luk bir araba kablolar ile kaldırılmaktadır. AC kablosundaki kuvveti bulunuz. Serbest cisim diyagramı 3500 N TAB TAC 3500 N = = sin 120° sin 2° sin 58° TAB = 3570 N TAC = 144 N 3500 N Örnek Problem 2.6 7m 1.5 m 4m Akış 4m Bir botun sürükleme kuvvetinin hesaplanabilmesi için su kanalı kullanılmaktadır. Bot 3 kablo ile desteklenmiştir. AB kablosunda 40 N, AE kablosunda ise 60 N kuvvet oluştuğu biliniyorsa, botun sürüklem kuvvetini ve AC kablosundaki kuvveti bulunuz. 7m Botun serbest cisim diyagramı: 1.5 m 4m Akış 40 N 4m 60 N 7m = 1.75 4m α = 60.25° tan α = • Denge için kuvvet toplamının sıfıra eşit olması gerekir: r r r r r R = T AB + T AC + T AE + FD = 0 1.5 m tan β = = 0.375 4m β = 20.56° (40 N) (40 N) (60 N) r r r TAB = −(40 N)sin 60.26° i + (40 N) cos60.26° j r r = −(34.73 N) i + (19.84 N) j r r r TAC = TAC sin 20.56° i + TAC cos20.56° j r r = 0.3512TAC i + 0.9363TAC j r r T = −(60 N) j r r FD = FD i r R=0 r = (− 34.73 + 0.3512TAC + FD ) i r + (19.84 + 0.9363TAC − 60) j 19.66 N 42.9 N 60 N 40 N r R=0 19.66 N 42.9 N 60 N 40 N r = (− 34.73 + 0.3512 T AC + FD ) i r + (19.84 + 0.9363 T AC − 60 ) j (∑ Fx = 0) 0 = −34.73 + 0.3512 TAC + FD (∑ Fy = 0) 0 = 19.84 + 0.9363TAC − 60 TAC = +42.9 N FD = +19.66 N Serbest Cisim Diyagramları AA B A C WB RBX A B RAB RBC A RAC WA RBC WC A C RBY RCY RCX Uzayda Dik Bileşenler • Vektör OBAC düzlemindedir. • Düşey ve yatay bileşenleri: Fy = F cosθ y Fh = F sin θ y • Yatay bileşenlerin dik bileşenleri Fx = Fh cos φ = F sin θ y cos φ Fy = Fh sin φ = F sin θ y sin φ • F vektörünün dik eksenlerle yaptığ açı biliniyorsa: λ (Şiddet=1) Fx = F cosθ x Fy = F cosθ y Fz = F cosθ z r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k r r r = F cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k r = Fλ r r r r λ = cosθ x i + cosθ y j + cosθ z k ( ) r • λ tesir çizgisi üzerindeki birim vektördür. cosθ x , cosθ y ve cosθ z : doğrultman cosinüsleri Tesir çizgisi üzerindeki iki nokta ile tanımlanan kuvvetin yönü M ( x1 , y1 , z1 ) ve N ( x2 , y2 , z2 ) Noktalar M ve N noktalarını birleştiren vektör r r r r d = d xi + d y j + d z k d x = x2 − x1 d y = y2 − y1 r r 1 r r λ = d xi + d y j + d z k d r r F = Fλ ( Fd x Fx = d d z = z 2 − z1 ) Fy = Fd y d Fd z Fz = d
