24 Mart 2004 Prof. Dr. Alinur Büyükaksoy Son Teslim Tarihi: 31 Mart

Veriliş Tarihi: 24 Mart 2004
Son Teslim Tarihi: 31 Mart 2004
Prof. Dr. Alinur Büyükaksoy
Araş. Gör. Gökhan Çınar
MAT501
KOMPLEKS DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TEORİSİ
BAHAR 2004
- ÖDEV 3 ÇÖZÜMLERİ-
SORU: Kompleks değişkenli trigonometrik fonksiyonların analizini yapınız.
ÇÖZÜM: Kompleks değişkenli trigonometrik fonksiyonların analizine başlangıç olarak kosinüs fonksiyonunu ele alalım.
f (z) = w = cos z
fonksiyonunda
z = x + iy
ve
w = u + iv
yazılırsa
u + iv = cos (x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y
elde edilir. Buradan doğal olarak
u = cos x cosh y
v = − sin x sinh y
bağıntılarına ulaşılır. Görülüyor ki w’nın değeri x parametresine göre periyodiktir ve periyodu 2π’dir. x
parametresi de elbette tanımı uyarınca z değişkeninin reel kısmıdır. Demek ki, f (z) fonksiyonu Re (z)’ye
göre periyodiktir. Buradan yapılabilecek ilk yorum, tıpkı logaritmik fonksiyonlarda z-düzleminin sanal
ekseni üzerinde olduğu gibi, kosinüs fonksiyonunda da z-düzleminin reel ekseni üzerinde herhangi bir
2π’lik bandın w-düzleminin tamamında görüntü oluşturduğudur. Bir başka deyişle, Re (z)’de her 2π’lik
band tanım bölgesi olarak düşünüldüğünde, bunun w-düzlemindeki görünütüsü olan değer bölgesi tüm
w-düzlemidir.
Dolayısıyla, analizde tanım bölgesinii öncelikle Re (z)’de 2π 0 lik bir banda indirmek mümkündür. İkinci
önemli özellik ise kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasıdır. Yani
cos (−x) = cos x
olmaktadır. Bu durumda, sözgelimi, seçilen band −π < Re (z) < π aralığından ibaretse, bunu kosinüs
fonksiyonunun özelliğinden faydalanarak 0 < Re (z) < π bandına indirmek mümkündür. En son karar
kılınan bandın da w-düzlemindeki görüntüsü tüm düzlem olacaktır.
Bu sonuçlardan faydalanarak z-düzleminde çalışılacak band aşağıdaki gibi 4 bölgeye bölünsün ve bu
bölgeleri sınırlayan doğru parçalarına da aşağıdaki isimler verilsin.
z-düzlemi
Önceki analizlerde olduğu gibi, burada da yapılacak olan, bölgelerin sınırı konumundaki doğru parçalarının
fonksiyon gereği neye dönüştüğü bulmak ve bunları w-düzleminde göstermektir. Bu amaçla doğru
parçaları teker teker incelenecektir.
* A+ için:
Bu doğru parçası üzerinde x = 0’dır. Dolayısıyla
u = cosh y
v = 0
bulunur. y ise 0’dan sonsuza değişmektedir. Dolayısıyla u da 1’den sonsuza değişecektir. v için şu da
eklenmelidir: x = 0+ olduğundan, bir başka deyişle x, 0 değerine pozitif yönden yaklaşmakta olduğundan
v = − sin x sinh y nedeniyle ve y’nin bu değerleri için sinh y > 0 olmasından dolayı v, 0 değerine negatif
yönden yaklaşacaktır. Genel olarak elde edilen sonuç
u : 1→∞
v = 0−
şeklindedir.
* A− için:
Bu doğru parçası üzerinde x = 0’dır. Dolayısıyla
u = cosh y
v = 0
bulunur. y ise −∞dan 0’a değişmektedir. Dolayısıyla u da ∞’dan 1’e değişecektir. v için şu da eklenmelidir: x = 0+ olduğundan, bir başka deyişle x, 0 değerine pozitif yönden yaklaşmakta olduğundan
v = − sin x sinh y nedeniyle ve y’nin bu değerleri için sinh y < 0 olmasından dolayı v, 0 değerine pozitif
yönden yaklaşacaktır. Genel olarak elde edilen sonuç
u : ∞→1
v = 0+
şeklindedir.
* B + için:
Bu doğru parçası üzerinde x = π’dir. Dolayısıyla
u = − cosh y
v = 0
bulunur. y ise 0’dan sonsuza değişmektedir. Dolayısıyla u da −1’den −∞’a değişecektir. v için şu da
eklenmelidir: x = π − olduğundan, bir başka deyişle x, π değerine negatif yönden yaklaşmakta olduğundan
v = − sin x sinh y nedeniyle ve y’nin bu değerleri için sinh y > 0 olmasından dolayı v, 0 değerine negatif
yönden yaklaşacaktır. Genel olarak elde edilen sonuç
u : −1 → −∞
v = 0−
şeklindedir.
* B − için:
Bu doğru parçası üzerinde x = π’dir. Dolayısıyla
u = − cosh y
v = 0
bulunur. y ise −∞’dan 0’a değişmektedir. Dolayısıyla u da −∞’dan −1’e değişecektir. v için şu da
eklenmelidir: x = π − olduğundan, bir başka deyişle x, π değerine negatif yönden yaklaşmakta olduğundan
v = − sin x sinh y nedeniyle ve y’nin bu değerleri için sinh y < 0 olmasından dolayı v, 0 değerine pozitif
yönden yaklaşacaktır. Genel olarak elde edilen sonuç
u : −∞ → −1
v = 0+
şeklindedir.
* D+ için:
Bu doğru parçası üzerinde x = π/2’dir. Dolayısıyla
u = 0
v = − sinh y
bulunur. y ise 0’dan ∞’a değişmektedir. Dolayısıyla v de 0’dan −∞’a değişecektir (negatif imajiner
eksen). Genel olarak elde edilen sonuç
u : 0
v = 0 → −∞
şeklindedir.
* D− için:
Bu doğru parçası üzerinde x = π/2’dir. Dolayısıyla
u = 0
v = − sinh y
bulunur. y ise −∞’dan 0’a değişmektedir. Dolayısıyla v de ∞’dan 0’a değişecektir (pozitif imajiner
eksen). Genel olarak elde edilen sonuç
u : 0
v = ∞→0
şeklindedir.
* C1 için:
Bu doğru parçası üzerinde y = 0’dır. Bu durumda
u = cos x
v = 0
elde edilir. x de 0’dan π/2’ye değiştiğinden u, 1’den 0’a değişecektir. Genel olarak elde edilen sonuç
u : 1→0
v = 0
şeklindedir.
* C2 için:
Bu doğru parçası üzerinde y = 0’dır. Bu durumda
u = cos x
v = 0
elde edilir. x de π/2’den π’ye değiştiğinden u, 0’dan −1’e değişecektir. Genel olarak elde edilen sonuç
u : 0 → −1
v = 0
şeklindedir.
Değerlendirme: Doğru parçalarının görüntüleri birer birer yukarıdaki gibi elde edilmiştir. Şimdi dikkat
edilmesi gereken husus, hem bunların w-düzlemine doğru bir biçimde yerleştirilmesi, hem de bölgelerin
görüntülerinin tespit edilmesidir. Bölgeleri sınırlayan doğru parçalarının görüntüleri, bölgelerin görüntülerini de sınırlayacaktır. Bu durumda aşağıdaki sınırlar gözönüne alındığında
¡
¢
W1 : A− , C1 , D−
¡
¢
W2 : B − , C2 , D−
¡
¢
W3 : B + , C2 , D+
¡
¢
W4 : A+ , C1 , D+
f (z) = w = cos z ile elde edilen w-düzlemi şöyle şekillenir:
w-düzlemi.
Kosinüs fonksiyonunun tersi:
Logaritmik fonksiyonda olduğu gibi burada da sonsuz yapraklı bir Riemann yüzeyi sözkonusudur.
Fakat dallanma noktası bu fonksiyon için z = −1 ve z = 1 ve z = ∞’dur. Bu noktaların etrafından dönüldüğünde başka bir banda geçilmektedir. Etraflarından dönüşü engellemek için bu noktaları
birleştiren bir kesim uygun olur.
Aynı zamanda
h
i
p
arccos w = −i log w + w2 − 1
ilişkisi göz önüne alındığında dallanma noktalarının gerçekten ±1 ve ∞ olduğu görülmektedir.
sinz ve arcsinz fonksiyonuları:
Basit işlemler sonucu aşağıdaki bağıntı elde edilebilir:
arcsin z = arccos z −
π
2
Bu da gösteriyor ki, analitik olarak arccos z fonksiyonu için söylenenler (sonsuz yapraklı bir Riemann
yüzeyi oluşturması ve dallanma noktalarının ±1 ve ∞ olmaları) arcsin z fonksiyonu için de geçerli kalacaktır. Tek bir farkla
³ π πki,´ tanım bölgesini oluşturan düzlemde temel band reel eksenin (0, π) arasında
kalan şerit değil − ,
arasında kalan şerittir.
2 2
Benzer bir yöntemle arcsin z’nin de logaritmik ifadesi elde edilebilir.
i
h
p
arcsin z = −i log i z − z 2 − 1