Boyuna Demet Dinamiği ve Kararlılık Prof.Dr. Abbas Kenan Çiftçi Ankara Üniversitesi Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 1 Özet z z z z z z z z z Hızlandırma yöntemleri Enerji kazancı Küçük hızlandırıcılar (betatron, siklotron, mikrotron) Sinkronize lineer hızlandırıcılar Faz kararlılığı prensibi ve sonuçları Sinkrotron Sinkrotronda dispersiyon etkileri Sinkrotronda enerji-faz denklemleri Sinkrotronda faz kararlılığı Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 2 Bir hızlandırıcının ana karakteristikleri İvmelenme bir hızlandırıcının asıl işidir. z z Hızlandırıcı yüklü parçacıklara kinetik enerji sağlar; dolayısıyla onların momentumunu arttırır. r Bunu yapmak için bir E elektrik alanına ihtiyaç vardır. Bu alanın başlangıç momentumunun yönünde olması tercih edilir. Bükülme parçacığın yörünge düzlemine dik bir mağnetik alan tarafından meydana getirilir. Bükülme yarıçapı ρ bağıntısıyla ifade edilir. Odaklama mağnetik alanın ikinci kullanımıdır. Burada bükme etkisi parçacıkların yörüngesini eksene daha yaklaştırmak ve böylece demet yoğunluğunu arttırmak için kullanılır. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 3 İvmelenme ve eğrilik varsayımıyla Newton-Lorentz kuvveti: olur. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 4 Hızlandırma Yöntemleri 1. Elektrostatik alan: Enerji kazancı: W=n.e (V2-V1) Sınır: VJeneratö Jeneratör=ΣVi 2. Radyo-Frekans alan: Sinkronizm: ï L=vT/2 v=parçacık hızı Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi T=RF periyodu I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 5 Hızlandırma Yöntemleri (2) 3. İndüksiyonla hızlandırma: MAXWELL DENKLEMLERİNDEN Elektrik alan skaler bir φ potansiyeli ile vektör A potansiyelinden türetilir. H mağnetik alanının zaman değişimi E elektrik alanını üretir. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 6 Enerji kazancı Göreli dinamikte enerji ve momentum Bağıntılarını sağlar. Dolayısıyla İvmelenmenin (z ekseni boyunca) birim uzunluğu başına enerji kazanma hızı: z yolu boyunca alandan kazanılan kinetik enerji: Burada V potansiyeldir. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 7 Enerji kazancı (2) RF ivmelenmesi Bu durumda elektrik alan salınmaktadır Potansiyelde salınmaktadır. Enerji kazancı parçacık tarafından hissedilen RF fazına bağlı olacaktır. Aralıktaki geçiş süresi ihmal edilmiştir. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 8 Betatron İndüksiyon yasası: Newton-Lorentz kuvveti: Sabit bir yörüngenin şartı: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi Betatron zamana göre değişen bir mağnetik alan kullanır. Kutup şekli yörüngenin olduğu yerde ortalama mağnetik alana göre daha küçük bir B0 mağnetik alanı sağlar. I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 9 Siklotron Hızlanmış bir parçacığın her bir r yarıçaplı yörüngesine bir v hızı karşılık gelir. Yarım çembere karşılık T/2 dönme periyodunun yarısı karşılık gelir. B sabittir. Karşılık gelen açısal frekans: ï Eğer Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 ise sinkronize 10 Siklotron (2) Her bir aralık geçişindeki enerji kazancı: Zamana göre parçacık RF fazı: Burada θ yörüngenin azimut açısıdır. Zamana göre türev alırsak: Türev için yaklaşıklık kullanırsak: Yarım turda göreli faz değişimi: Yine türev için yaklaşıklık kullanırsak: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 11 Siklotron (3) Düzenleme yaparsak: İntegral alırsak: Burada: E0 = Durgun enerji φ0 = İnjeksiyon fazı ωr0 = Başlangıçtaki dönme frekansı Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 12 Mikrotron ï ifadesi kütle arttıkça frekansın azaldığını gösterir: Sinkronizasyon şartı: Eğer birinci tur sinkronize ise: ∆Tr = Tam sayı ⇒ ∆γ tur TRF elektronlar → 0.511 MeV Tur başına enerji kazancı protonlar → 0.938 GeV !!! Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 = Tam sayı(γ 0 = 1) İhtiyaç duyulan enerji kazancı büyük olduğu için bu kavram temelde elektronlar için geçerlidir. 13 Lineer hızlandırıcı A- Göreli Parçacıklar: “WIDEROE”da ışıyan güç ∂ ωCV Alvarez yapısı Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 Duvarda sıfır sirkülasyon akımı olmasından dolayı duvar kullanışsız hale gelir. 14 Lineer hızlandırıcı (2) B- Ultra göreli parçacıklar v ~ c, β ~ 1 Â L artar ... Bunu aşmak için ω=2πf arttırılmalıdır. Radarlar için klystronların geliştirilmesini takiben 1945’den sonra yüksek frekanslarda (~3000 MHz) yüksek RF güç üretilmesi mümkün olmuştur. ÂDaha sonra ilerleyen dalga kullanarak sürüklenme boşluklarını azaltma fikri ortaya atıldı. Faka sürekli hızlandırmadan faydalanmak için dalganın faz hızı parçacığın hızına (~c) eşit olmak zorundadır. Çözüm yavaş dalga kılavuzlarının kullanımındadırïiris yerleştirilmiş dalga kılavuzları Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 15 Faz kararlılığı prensibi Bir Φs fazı için sinkronizasyon şartının sağlandığı, 2π modunda çalışan ardışık hızlandırıcı aralıklarını göz önüne alınız. 2π modu için elektrik alan verilen herhangi bir zamanda bütün aralıklarda aynıdır. Bir parçacığın bir sonraki aralığa aynı RF fazı ile ulaşması için bir aralıktaki enerji kazancı dır: P1, P2, ... sabit noktalardır. Eğer enerjideki bir artış hızda bir artışa aktarılacaksa, M1 ve N1 P1e doğru (kararlı) hareket edecektir. M2 ve N2 ise P2 den uzaklaşacaktır (kararsız). Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 16 Faz kararlılığının bir sonucu Enine Kararsızlık Boyuna faz kararlılığının anlamı: Dağıtıcı RF kuvveti Maxwell denklemine göre alanın diverjansı sıfırdır: O zaman dış odaklama (selenoid, kuadropol) gereklidir. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 17 İlerleyen dalga durumu Parçacık dalga ile birlikte ilerler ve k dalga ilerleme faktörüdür. Faz hızı Parçacık hızı Eğer sinkronizasyon şartı sağlanmışsa: ve Burada φ0 parçacık tarafından görülen RF fazıdır. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 18 Enerji-faz denklemleri z Sinkronize bir parçacık için enerji kazanç hızı: z ve indirgenmiş değişkenler cinsinden sinkronize olmayan parçacığın enerji kazanç hızı: z Sinkronize parçacığa göre fazın değişim hızı: Dolayısıyla: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 19 Enerji-faz salınımları İki birinci mertebe denklemi bireştirerek ikinci mertebe denklem elde edilir: burada Kararlı harmonik salınım: Dolayısıyla: Ve ivmelenme şartı: Olduğu için, iki şartın birleşiminden: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 ve reel 20 Sinkrotron Her turda enerji kazancının mağnetik alanın arttırılmasıyla karşılandığı sinkronize bir RF fazının varlığından dolayı sinkrotron sinkronize bir hızlandırıcıdır. Bu ise aşağıda ifade edilen işletim koşullarıyla mümkündür: Tur başına enerji kazancı Sinkronize parçacık RF sinkronizasyonu Sabit yörünge Değişken mağnetik alan Eğer v = c ise, ωr dolayısıyla ωRF sabit kalır (ultra göreli elektron). Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 21 Sinkrotron (2) Enerji arttırımı basitce alanının değişimiyle dengelenir: olduğu için z z Kararlı sinkronize parçacıkların sayısı h harmonik sayısına eşittir. Çevre boyunca eşit mesafelerle yerleşmişlerdir. Her bir sinkronize parçacık p = eBρ bağıntısını sağlar. Ortalama enerjiye sahiptirler ve ortalama yörünge takip ederler. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 22 Sinkrotron (3) Enerji arttırımı sırasında dönme frekansının artışıyla birlikte RF frekansıda artar: Dolayısıyla: olduğundan dolayı RF frekansı B mağnetik alanına bağımlı olarak takip eden yasaya göre değişmelidir: . Pratikde B alanı aşağıda ki yasaya göre değişir: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 23 Bir sinkrotronda dispersiyon etkileri Eğer bir parçacığın momentumu hafifce kaymışsa farklı bir yörüngeye sahip olacaktır: Bu bükücü alan tarafından üretilen “momentum compaction”dır. Eğer parçacığın momentumu kaymışsa farklı bir hıza sahip olacaktır. Her iki etkinin sonucunda dönme frekansı da değişir: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 24 Bir sinkrotronda dispersiyon etkileri (2) İki yörünge arasında temel yol farkı: Çevredeki toplam değişim: < >m ortalamanın sadece olduğundan Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi elde ederiz. I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 bükücü mağnetler üzerinden alındığını gösterir 25 Bir sinkrotronda dispersiyon etkileri (3) da geçiş enerjisi Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 26 Sinkrotronda faz kararlılığı η nın tanımından geçişin altında enerjide bir artış daha yüksek bir dönme frekansı (hız artışı baskındır) ile takip edilir. Geçişin üstünde (v ≈ c ve daha uzun yol) ise tersi olur. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 27 Bir sinkrotronda boyuna dinamik Çoğunlukla sinkrotron hareketi olarak da isimlendirilir. RF ivmelenme süreci iki bağlaşımlı değişkeni öne çıkarır: parçacık tarafından kazanılan enerji ve aynı parçacık tarafından hissedilen RF fazı. Her zaman aynı φs fazına ve Es nominal enerjiye sahip olan iyi tanımlanmış bir sinkronize parçacık var olduğu için diğer parçacıkları bu parçacığa göre takip etmek yeterlidir. Dolayısıyla aşağıdaki indirgenmiş değişkenleri tanımlayalım: dönme frekansı : parçacığın fazı : parçacığın momentumu : parçacığın enerjisi : azimut açısı : Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 28 Birinci enerji-faz denklemi burada Referans parçacığa göre ilgilenilen parçacık için: olduğundan dolayı ve elde edilir. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 29 İkinci enerji-faz denklemi Bir parçacığın enerji kazanma hızı: Bu durumda referans parçacığa göre göreli enerji kazanç hızı: Denklemin sol tarafını birinci mertebe seriye açarsak: İkinci enerji-faz denklemi: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 30 Boyuna hareketin denklemleri türetim ve birleşim Bu ikinci mertebe denklem lineer değildir. Buna ek olarak genellikle parantez içindeki parametreler zamana göre yavaşça değişir... Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 31 Küçük genlikli salınım Rs, ps, ωs ve η nin sabit parametreler olduğunu varsayalım: burada Şimdi referans parçacıktan küçük faz farklılaşmalarını göz önüne alınız: ve karşılık gelen lineerleştirilmiş hareket harmonik salınıma indirgenir: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 32 Büyük genlikli salınım Referanstan daha büyük faz (veya enerji) farklılıkları için ikinci mertebe diff. denklem non-lineerdir: ile çarpıp integral almak hareketin bir invaryantını verir: ki bu küçük salınımlar için: Benzer denklemler Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi ikinci değişkeni içinde vardır. I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 33 Büyük genlikli salınım (2) φ π−φs e ulaştığı zaman kuvvet sıfır olur ve bu değerin ötesinde parçacıklar toparlanamazlar. Dolayısıyla π−φs kararlı hareket için bir uç genliktir. Kapalı yörügeler kararlı hareketlere karşılık gelir. Ayıraçın (separatrix) denklemi: Ayıraçın yatay ekseni geçtiği φm ikinci değeri: Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 34 Enerji acceptance Hareket denkleminden görüldüğü gibi olduğu zaman ekstremuma ulaşır. Böylece bu karşılık gelir. Bu değerin ayıraç denklemine eklenmesiyle bir sonucu elde edilir. Bu enerjide kabule edilebilir bir aralığa (acceptance) karşılık gelir: Bu “RF acceptance”ı φs’e kuvvetlice bağımlıdır ve enjeksiyonda elektron yakalanmasında ve depolanmış demet ömründe önemli bir rol oynar. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 35 Sinkronize faza göre enerji acceptance Sinkronize faz 90o ye yaklaşırken kararlı hareket alanı (kapalı yörüngeler) daha küçülür. Bu bölgeler sıklıkla “PAKETCİK” olarak isimlendirilir. Sirkülasyonda ki paketciklerin sayısı “h” ye eşittir. Paketciğin faz genişlemesi φs=180o de (veya 0o) maksimumdur. Bu değerler ivmelenmenin olmadığı değerlerdir. RF acceptance’ı RF voltajı ile artar. Prof. Dr. A. K. Çiftç iftçi I. Ulusal Parç Parçacı acık Hı Hızlandı zlandırıcıları ları Yaz Okulu 4-9 Temmuz 2005 36