GEREKLİ ÖN BİLGİLER:

DERS:
ÜNİTE:
KONU:
MATEMATİK II
BELİRLİ İNTEGRALLER
MAT II (04)
1. ARALIKLARIN PARÇALANMASI
2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI ve TEMEL ÖZELLİKLERİ
GEREKLİ ÖN BİLGİLER
1.
∑
sembolü ve temel toplam formülleri
2. Limitin temel özellikleri
3. Belirsiz integral
KONU ANLATIMI
1. ARALIKLARIN PARÇALANMASI
Tanım: [a, b] aralığı; a = x0 < x1 < x2 < K < xn −1 < b = xn olmak üzere x1 , x2 ,K, xn −1 noktaları
ile n tane alt aralığa bölünsün.
P = {x0 , x1 , x2 ,K, xn−1 , xn }
kümesine [a, b] aralığının bir parçalanması (veya bölüntüsü) ve
∆xk = xk − xk −1
sayısına [ xk −1 , xk ] aralığının boyu veya ölçüsü denir. Alt aralıkların boylarının en büyüğüne,
P parçalanmasının normu veya maksimal çapı denir ve
P = maks {∆x1 , ∆x2 ,K, ∆xn }
ile gösterilir. Bir parçalanmada, alt aralıkların boyları birbirlerine eşit ise bu parçalanmaya,
düzgün parçalanma denir.
Tanım: f : [a, b] → R sürekli fonksiyonu ve [a, b] aralığının bir P parçalanması için
M k = maks{ f ( x) : xk −1 ≤ x ≤ xk }
mk = min{ f ( x) : xk −1 ≤ x ≤ xk }
olsun. ck , [ xk −1 , xk ] alt aralığında alınan herhangi bir nokta olmak üzere
n
n
n
k =1
k =1
k =1
A( f , P) = ∑ mk ∆xk , U ( f , P) = ∑ M k ∆xk , R( f , P) = ∑ f (ck ) ∆xk
toplamlarına; sırasıyla, f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen alt toplamı, üst
toplamı ve Riemann toplamı denir.
Bu tanımda, her bir k için [ xk −1 , xk ] aralığında f fonksiyonun aldığı en küçük
değerini mk ve en büyük değerini de M k olarak gösteririz. Dolayısıyla; f fonksiyonunun P
parçalanmasına karşılık gelen alt toplam, eğrinin altında kalan dikdörtgenlerin alanlarının
toplamı; yani bir kenarı ∆xk = xk − xk −1 ve diğer kenarı mk olan dikdörtgenlerin alanlarının
toplamı olacaktır. Üst toplamı da benzer düşünce ile hesaplarız.
Örneğin, (bkz Belirli İntegrale Hazırlık, Şekil 3) [1,2] aralığının P = {1, 54 , 64 , 74 ,2}
parçalanması için her bir alt aralığın boyu
1
4
olup, P parçalanması düzgündür. y = x 2 ile
tanımlanan fonksiyon artan olduğundan her bir [ xk −1 , xk ] alt aralığında mk = f ( xk −1 ) ve
M k = f ( xk ) olarak bulunur. A( f , P) alt toplamı; bu dört alt aralık üzerine y = x 2 eğrisinin
altında kalacak biçimde çizilen dikdörtgenlerin alanlarının toplamıdır. Şekil 4 de çizilen
dikdörtgenlerin alanlarının toplamı da U ( f , P) üst toplamını vermektedir. Bu dört alt aralıkta
sırasıyla seçeceğiniz c1 , c2 , c3 , c4 noktaları için çizilen dikdörtgenlerin alanlarının toplamı da
R ( f , P) Riemann toplamını verir. Parçalanma nasıl alınırsa alınsın,
A( f , P) ≤ R( f , P) ≤ U ( f , P)
olduğuna dikkat ediniz.
n = 2, 4, 8, 16 için hazırladığınız tabloda; alt aralık sayısı n arttıkça; buna bağlı olarak
A( f , P) alt toplamların arttığını ve U ( f , P) üst toplamının azaldığını görünüz. P düzgün bir
parçalanma olduğuna göre n → ∞ için A( f , P) ve U ( f , P) toplamlarının limitinin aynı reel
sayıya yakınsadığına özellikle dikkat ediniz. Sizce n → ∞ için R ( f , P) Riemann toplamının
limiti hangi reel sayıya yakınsar?
2
2. BELİRLİ İNTEGRALİN TANIMI VE TEMEL ÖZELLİKLERİ
Tanım: [a, b] üzerinde tanımlı ve sınırlı f fonksiyonu için
lim R( f , P)
P →0
limiti varsa, bu limite f fonksiyonunun a dan b ye kadar integrali denir ve
b
∫ f ( x) dx
a
ile gösterilir. Bu durumda f integrallenebilirdir denir.
Not: P parçalanması düzgün ise P → 0 ve n → ∞ aynı anlamdadırlar.
1
Örnek:
∫x
2
dx integralini yukarıdaki tanımdan hareketle hesaplayınız.
0
Teorem: f fonksiyonu [a, b] aralığı üzerinde sınırlı bir fonksiyon olsun.
a) f sürekli ise integrallenebilirdir.
b) f parçalı sürekli ise integrallenebilirdir.
c) f monoton ise (ya da iki monoton fonksiyonun farkı şeklinde yazılabiliyorsa)
integrallenebilirdir.
Teorem: f , [a, b] aralığı üzerinde integrallenebilen bir fonksiyon olsun. Her x ∈ (a, b) için
F ′( x) = f ( x)
olacak biçimde sürekli bir F : [a, b] → R fonksiyonu varsa,
b
∫ f ( x) dx = F (b) − F (a) .
a
1
Örnek:
∫x
2
dx integralini hesaplayınız.
0
1
Örnek: ∫ (2 x + 1)3 dx integralini hesaplayınız.
0
1
Örnek: ∫ arctan x dx integralini hesaplayınız.
0
3
Özellikler: İntegrallenebilen f : [a, b] → R fonksiyonu için
a
1)
∫ f ( x) dx = 0 .
a
2)
a
b
b
a
∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx .
b
3)
∫
a
b
b
a
a
f ( x) dx = ∫ f (t ) dt = K = ∫ f ( z ) dz .
b
4) c ∈ (a, b) için
∫
a
b
5)
∫
c
b
a
c
f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .
g (b)
f ( g ( x)) g ′( x) dx =
∫ f (u ) du .
g (a)
a
b
b
6) ∫ u ( x) d (v( x) ) = u ( x) v( x) a − ∫ v( x) d (u ( x) ) .
b
a
a
b
7) Her x ∈ [a, b] için f ( x) ≥ 0 ise,
∫ f ( x) dx ≥ 0 .
a
8)
b
b
a
a
∫ f ( x) dx ≤ ∫
f ( x) dx .
9) f : [−a, a ] → R fonksiyonu sürekli olsun.
a
a) f tek fonksiyon ise
∫ f ( x) dx = 0 .
−a
a
b) f çift fonksiyon ise
∫
−a
10)
d
dx
a
f ( x) dx = 2 ∫ f ( x) dx .
0
u ( x)
∫ f (t ) dt = f (u( x)) u′( x) − f (v( x)) v′( x) .
v( x)
π
Örnek:
x 5 cos x
∫ 1 + sin 6 x dx integralini hesaplayınız.
−π
x
Örnek: F ( x) = ∫ et dt olduğuna göre y = F (x) eğrisinin x = 0 apsisli noktasındaki teğetinin
2
0
denklemini bulunuz.
x3
Örnek: F ( x) = ∫ cos( z 3 ) dz olduğuna göre F ′( x) = ?
x2
4
Teorem: f , [a, b] aralığı üzerinde sürekli ise [a, b] aralığında
1
f (x) =
b−a
b
∫ f ( x) dx
a
olacak şekilde en az bir x sayısı vardır.
Örnek: f : [π6 , π3 ] → [−1, 1] , f ( x) = cos x fonksiyonunun ortalama değerini bulunuz.
Örnek: g ( x) = x 3 fonksiyonunun, [0, 4] aralığındaki ortalama değerini bulunuz.
Örnek: P noktası; y = x + 1 (1 ≤ x ≤ 3) eğri parçası üzerinde herhangi bir nokta olmak
üzere, A(1, 1) noktası ile P noktası arasındaki uzaklığın ortalama değerini hesaplayınız.
Örnek: Tabanının yarıçapı 4 cm, yüksekliği 9 cm olan bir dairesel dik koni tepesinden x cm
uzaklıkta, tabanına paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen dairesel kesitin alanının
ortalama değerini hesaplayınız.
3
2
3
−1
−1
−1
Örnek: ∫ | x | dx = ? , ∫ | −2 x + 1 | dx = ? , ∫ | x 2 − 4 | dx = ?
4
2
0
−1
2
Örnek: ∫ [| x |] dx = ? , ∫ [| −2 x |] dx = ? , ∫ [| x |] | x | dx = ?
−1
2
3
−1
0
Örnek: ∫ sgn( x) dx = ? , ∫ sgn( x − 1) dx = ? ,
2
∫ | x | sgn( x − 1) dx = ?
−2
ÖDEVLER
Genel Matematik Cilt I ( Prof. Dr. M. BALCI) kitabından
Sayfa 286-289 Problemler
Sayfa 290-291 Bölüm Problemleri
KAYNAKLAR
M. BALCI, Genel Matematik Cilt I, Balcı Yayınları, Ankara, 2003.
H. HALİLOV, A. HASANOĞLU, M. CAN, Yüksek Matematik, Literatür Yayınları,
İstanbul, 2002.
R.A. SILVERMAN, Calculus ve Analitik Geometri, (çeviren, B. Simav, D. Simav), Alkım
Kitapçılık, 1992.
5