Sevgili Öğrencilerim; Almış olduğunuz bu konu özetli fasikül özellikle matematikle uğraşmayı seven öğrenciler için hazırlanmıştır.Zaten ismininde HOBİ BAHÇESİ olması bundan dolayıdır.Değerli arkadaşlar fasikül üç bölümden oluşmaktadır, 1.bölümde sizleri fazla teorik bilgi ile sıkmayan kısa ve öz konu özeti ile birlikte öğretici – kavratıcı sorular var.Buralara çıkmış sorulardan da ekledim ki karşılaştırma yapılabilsin diye, 2.bölümde konuyu pekiştirmeye yarayacak uygulama testleri ile soru çözüm hızınızı artırabilirsiniz, 3.bölüm ise HOBİ BAHÇESİ olarak adlandırdığım kısım ki macera arayan öğrencilere birebir diye bilirim.Dolayısıyla konuyu tam öğrenmeden oraya sakııııın geçmeyin derim uzman tavsiyesi, Kitabı hazırlarken İstanbul FEM DERSHANELERİ ve Kayseri SERHAT DERSHANELERİ ‘n de uzuuuuun yıllar yapmış olduğum öğretmenliğim sırasında biriktirdiğim ve oluşturduğum soruları kullandım. Öğrencilerimin ısrarları sonucunda böyle bir fasikül oluşturup soruların daha düzenli olması için gayret ettim. HOBİ BAHÇESİ nin hazırlık aşamasında ve tashihinde yardımcı olan değerli arkadaşlarım M.Fatih Yağmur ve Mehmet Gökhan Demirezen’ e teşekkür ederim. Fasikül içerisinde çok orijinal sorular olup bazı soruların çok daha orijinal çözümleri mevcuttur.Yazılılardan önce mutlaka çözmeniz gerekir diye düşünüyorum.Faydalı olur dileğiyle iyi çalışmalar teşekkür ederim. İDRİS AYDIN Ofis ve Danışmanlık Merkezi HOBİ BAHÇESİ İDRİS AYDIN (kayserİ) 0532 237 73 60 için irtibat M.Gökhan demİrezen (İstanbul) 0532 545 15 45 KAYSERİ/// www.facebook/idrisaydın(matematikhobibahcesi) Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının kitabı hazırlayan yazarın izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi veya herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayımlanması ve depolanması yasaktır. BASKI TARİHİ 1. Baskı 2015 MATEMATİK HOBİ BAHÇESİ İNTEGRAL fasİkülü İNTEGRAL ALMA KURALLARI bölüm 1 Zor iş, zamanında yapmamız gerekip de yapmadığımız kolay şeylerin birikmesiyle oluşur. Nice hastalar vardır ki onlara ilaç yerine ümit aşılamak daha hayırlıdır. İnsan yenilince tükenmez, pes edince tükenir. Dostlarınıza bir gün düşmanınız olabileceklermiş gibi, düşmanlarınıza ise bir gün dostunuz olabileceklermiş gibi davranın. Kim kendini sabra zorlarsa, Allah onu sabretmeye muvaffak kılar. Beklemesini becerenin her şey ayağına gelir. Bir araya gelmek başlangıçtır. Bir arada durmak ilerlemedir. Birlikte çalışmak başarıdır. Her bildiğini söyleme, ama her söylediğini daima bil. KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI Örnek... Tanım: d 3 x 2 dx dx Türevi f(x) olan F(x) fonksiyonunu elde etme iş- ifadesinin sonucunu bulunuz. lemine integral denir. cevap: x3 2 f x dx F x c Örnek... f x d x2 1 BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ: olduğuna göre, f(4) değeri kaçtır? 1. Sabit bir çarpan integral dışına çıkabilir. cevap: 8 c f x dx c f x dx Örnek... f x x3 x 3 dx 2. İntegral operatörü dağılma özelliğine sahiptir. f x g x h x dx olduğuna göre, f(1) değeri kaçtır? cevap: 3 f x dx g x dx h x dx Örnek... 3. Belirsiz integralin türevi aşağıdaki şekildedir. f x x2 3x 1 dx ' f(x)dx f x olduğuna göre, f(x) fonksiyonunun x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? d f x dx f x dx cevap: 5 Örnek... 4. Belirsiz integralin diferansiyeli integral sem- x.f x .dx 2x bolü altındaki ifadeye eşittir. d f x dx f x dx 2 3x 2 olduğuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz. cevap: f(x) 4 1 3 x KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI İNTEGRAL ALMA KURALLARI: 2. 1. n x dx xn1 c n 1 f '(x) dx ln f(x) c f(x) Örnek... 1 Örnek... x 3 x dx dx cevap: ln x c x4 c 4 cevap: Örnek... 3 x 1dx Örnek... 3 x2 dx cevap: 3.ln x 1 c 5 3 cevap: x 3 c 5 Örnek... Örnek... x 2x x2 7dx 2 dx cevap: cevap: ln x2 7 c 1 c x Örnek... Örnek... 3x 2 2x 3 x2 3x 7dx 2 dx cevap: cevap: x 2x c ln x2 3x 7 c 3 Örnek... Örnek... dx x4 x 1 x2 2xdx cevap: 1 3x3 cevap: c 2 1 .ln x2 2x c 2 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI a, p, q R+, a 1 olmak üzere, 3. px q a 4.TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ: px q 1 a dx . c p lna sinxdx cosx c cos x dx sin x c 1 px q px q c e dx p .e dx 2 cos2 x 1 tan x dx tan x c dx 2 sin2 x 1 cot x dx cot x c Örnek... 3 x dx cevap: 3x c ln 3 Örnek... sin 3xdx cevap: .cos 3x c 1 3 Örnek... 2x 1 5 dx cevap: Örnek... 52x 1 c 2.ln5 cos 2x 3 dx cevap: 1 .sin(2x 3) c 2 Örnek... x 1 a dx cevap: Örnek... a x 1 c ln a tan 2 x dx cevap: tan x x c Örnek... 2x 3 e dx Örnek... cevap: cot e2x 3 c 2 2 x 4 dx cevap: 3x cot x c 3 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI 5. TERS TRİGONOMETRİK İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ 1. Değişken Değiştirme Yöntemi f(x) fonksiyonunun türevi de integralin içinde varsa bu yöntem uygulanır. dx 1 x2 arcsin x c arccos x c f(x) = u iken f(x) . dx = du olur ve yerine yazılır. dx 1 x2 arctan x c arc cot x c f x .f x .dx u.du u2 f 2 x c c 2 2 Örnek... 3 1 x2 dx Örnek... x cevap: 3.arcsin x c 2 3x . 2x 3 dx 6 integralini hesaplayınız. cevap: (x 2 3x)7 c 7 Örnek… dx 2 2x2 cevap: 1 .arctan x c 2 Örnek... Örnek… 2x 3 4 integralini hesaplayınız. 5 5 5x dx 2 dx cevap: cevap: 5.arcsin x c 4 1 6.(2x 3)3 c KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI Örnek... Örnek... e x 2 .ex dx 3 arcsin x 3 integralini hesaplayınız. 1 x2 dx integralini hesaplayınız. cevap: (e x 2)4 c 4 cevap: Örnek... (arcsin x)4 c 4 Örnek... 3 x2 2 .x dx dx x.sin2 ln x integralini hesaplayınız. integralini hesaplayınız. 2 3x 2 c cevap: 2.ln3 cevap: cot(ln x) c Örnek... e sin x Örnek... .cos x dx sin2x 2 sin2 x dx integralini hesaplayınız. cevap: esin x c integralini hesaplayınız. cevap: Örnek... ln sin2 x 2 c Örnek... cos ln x x dx cos x dx sin2 x 1 integralini hesaplayınız. integralini hesaplayınız. cevap: sin(ln x) c cevap: arctan(sinx) c 5 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI 2. Kesirli Fonksiyonların İntegrali: Örnek... tan x 1 tan x . cos2 x 2 i) dx k ax b dx integralini hesaplayınız. cevap: 1 .ln tan2 x 1 c 2 Bu tür kesirde paydanın türevi pay kısmında varsa logaritmalı formülden yararlanılır. Örnek... 5 3x 2 dx cevap: Örnek... 5 .ln 3x 2 c 3 dx x . ln x 3 Örnek... integralini hesaplayınız. x cevap: 1 2.ln2 x 1 x2 c dx cevap: 1 .ln x2 1 c 2 Örnek... x 1 x2 2x 5 dx cevap: Örnek... 1 .ln x2 2x 5 c 2 Örnek... cos 2 tan x dx 3x . sin3x . dx integralini hesaplayınız. cevap: ln sec x c cevap: cos3 x c 9 Örnek... cot x dx cevap: ln sin x c 6 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI f x ii) P x Q x dx rasyonel ifadesinde payın derecesi paydanın derecesinden büyük veya eşitse pay paydaya bölünür. f x ax2 bx c iii) dx eğer ax2 bx c polinomu çarpanlarına ayrılıyorsa ifade basit kesirlerine ayrılarak integrali alınır. Basit kesirlerine ayrılmıyorsa arctanx formülüne benzetilerek çözülür. P x Rx T x Q x Qx ** 1 2 x 4 şeklinde yazılır ve sonra ayrı ayrı integralleri alınır. 2x 1 ** x3 27 A B x2 x2 A Bx C 2 x 3 x 3x 9 Örnek... x x2 dx Örnek... integralini hesaplayınız. cevap: 3x 1 x2 1 dx x 2.ln x 2 c integralini hesaplayınız. cevap: ln x 1 2.ln x 1 c Örnek... 3x2 2x 3 x2 1 Örnek... dx 3x 1 x2 2x 3 dx integralini hesaplayınız. cevap: 3x ln x2 1 c integralini hesaplayınız. cevap: 2.ln x 3 ln x 1 c 7 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI 3. KÖKLÜ FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ: Örnek... Basit köklü integrallerde değiştirdiğimiz değişen köklü ifadeyi ortadan kaldıracak şekilde olmalıdır. dx x2 9 integralini hesaplayınız. cevap: U x ise t 2 U(x) 1 x .arctan( ) c 3 3 3 U(x) ise t 3 U(x) dönüşümleri yapılır. Örnek... Örnek... 4x 1 4x 4 dx 2x 3 dx integralini hesaplayınız. integralini hesaplayınız. cevap: cevap: arctan(2x2 ) c (2x 3)3 c 3 Örnek... x. x2 7 .dx integralini hesaplayınız. cevap: 3 (x 2 7)2 c 3 Örnek... dx x2 4x 5 integralini hesaplayınız. Örnek... cevap: arctan(x 2) c . x 1 1 .dx x 1 3 integralini hesaplayınız. cevap: 8 66 3 . (x 1)7 .6 (x 1)4 c 7 2 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI 4. SİNÜS VE COSİNÜS İNTEGRALLERİ: Köklü İntegrallerin Trigonometrik Dönüşümleri cos p Eğer integral operatörü altında aşağıdaki şekilde köklü terimler varsa karşılarındaki gibi trigonometrik dönüşümler yapılır. 2 2 şeklindeki integraller ile karşılaştıdığımızda aşağıdaki işlemler yapılır, i) p veya q dan birisi tek sayı olduğunda, için x = r. sin i) r x ii) r 2 x2 için x = r. tan Örnek... cos 5 iii) x.sinq x dx x2 r 2 için x = r. sec x. sin3 x dx integralini hesaplayınız. cevap: cos8 x cos6 x c 8 6 cevap: sin5 x sin7 x c 5 7 Örnek... 9 4x2 dx integralini hesaplayınız. cevap: 9x 9 2x .arcsin( ) c 12 4 3 Örnek... sin 4 x. cos3 x dx integralini hesaplayınız. 9 KONU ÖZETİ İntegral ALMA KURALLARI 5. KISMİ İNTEGRASYON YÖNTEMİ: ii) p ve q çift sayı olduğunda, f x .g x . dx cos2x cos2 x sin2 x Böyle fonksiyonların daha kolayca integrallenebilmesini sağlamak amacıyla parçalı (kısmi) integralleme aşağıdaki gibi yapılır. 2cos2 x 1 1 2sin2 x udv u.v v du formülleri kullanılır. Kısaca u'nun seçimindeki öncelik sırası şöyledir: 1. Logaritmik fonksiyon Örnek... cos 2 2. Ters trigonometrik fonksiyon (arc…) dx 3. Polinom fonksiyon integralini hesaplayınız. cevap: 4. Trigonometrik fonksiyon 1 x .sin 2x c 4 2 5. Üstel fonksiyon Bu sırayı akılda kalması için kısaca "L A P T Ü" sözcüğü ile ifade edebiliriz. Örnek... x . e x dx integralini hesaplayınız. Örnek... cevap: x.ex ex c sin 2 x . cos2 x.dx integralini hesaplayınız. cevap: x sin 4x c 8 32 10