ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ORAY OR EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2006 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI ORAY OR ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Danışman : Öğr.Gör.Dr.Yusuf Karakuş Yıl : 2006, Sayfa:98 Jüri : Öğr.Gör.Dr.Yusuf KARAKUŞ Doç.Dr.Doğan Dönmez Yrd.Doç.Dr.Mehmet KÜÇÜKASLAN Bu çalışmada Yaklaşım Teorisi içinde önemli yeri olan ‘En Küçük Kare Yaklaşımları incelenmiştir. Ayrıca, En Küçük Kare Yaklaşımları ile ‘Gram Matrisleri ve Determinantları’ arasındaki ilişki de incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: İç Çarpım Uzayı , En Küçük Kareler yaklaşımı, Normlu Uzaylar , Polinomlarla yaklaşım, Fourier Serileri. I ABSTRACT MSc THESIS LEAST SQUARES APPROXIMATION ORAY OR DEPARTMENT OF MATHEMATICS INSTUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor : Öğr.Gör.Dr.Yusuf KARAKUŞ Year : 2006, Pages:99 Jury : Öğr.Gör.Dr.Yusuf Karakuş Assoc.Prof.Doğan DÖNMEZ Yrd.Doç.Dr.Mehmet KÜÇÜKASLAN In this thesis, Least Square Approximation, which as got an important part in approximation theory, is studied in details. In addition, the relations between Least Square Approximation and Gram Matrices and Determinants are studied. Key Words : Inner Product Space , Least Squares Approximation, Normed Spaces , Approximation by Polynomials , Fourier Series. II TEŞEKKÜR Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübeleriyle beni aydınlatan, çalışmanın her aşamasında yardımlarını esirgemeyen ve çalışmanın tamamlanmasını sağlayan , saygıdeğer hocam Sayın Öğr. Gör. Dr. Yusuf KARAKUŞ’a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca , yardımlarından dolayı tüm Matematik Bölümü akademik personeline ve manevi desteklerinden dolayı aileme teşekkür ederim. III İÇİNDEKİLER Sayfa No ÖZ............................................................................................................................I ABSTRACT.............................................................................................................II TEŞEKKÜR.............................................................................................................III 1. GİRİŞ.................................................................................................................1 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER.................................................................2 2.1. İç Çarpım Uzayları.....................................................................................2 2.2. İç Çarpım Uzayları İçin Açı Geometri........................................................8 2.3. Ortonormal Sistemler..................................................................................11 2.4. Fourier (Ortogonal) Açılımları....................................................................21 2.5. Fourier Açılımlarının Minimum Özellikleri................................................24 3. EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI.............................................................29 3.1. En Küçük Kareler Yaklaşımı.......................................................................29 3.2. Normal Denklemler.....................................................................................36 3.3. Gram Matrisi ve Determinantı.....................................................................39 3.4. Gram Determinantın Özellikleri..................................................................60 3.5. Kapalılık ve Sonuçları.................................................................................67 3.6. Tam İç Çarpım Uzayının Geometrik Özellikleri.........................................86 KAYNAKLAR.........................................................................................................94 ÖZGEÇMİŞ..............................................................................................................95 1.GİRİŞ Oray OR 1.GİRİŞ Yaklaşım Teorisi genel hatları ile Matematiksel Analiz içinde yer alır. Bu Teori içinde önemli bir yeri olan ‘ En Küçük Kareler Yaklaşımı’ bu tezde incelenmiştir. Tezin birinci bölümünde iç çarpım uzaylarındaki en iyi yaklaşım yani En Küçük Kareler Yaklaşımının yanında , en küçük kareler yaklaşımı ile Gram Matrisi ve Determinantı arasındaki ilişki de incelenmiştir. Tezin ikinci bölümünde çalışmamızın kaynağını oluşturan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. Tezin üçüncü bölümünde ise bazı uzaylarda En Küçük Kareler yaklaşımı, normal denklemler , Gram Matrisi ve Determinantı , kapalılık kavramı ve tam iç çarpım uzayı konularına yer verilmiştir. 1 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2.1 İç Çarpım Uzayları En Küçük Kareler Yaklaşımı’nı tanımlamadan önce iç çarpım uzayları tanımlanarak temel özellikleri verilecektir. Tanım 2.1.1 : X bir reel vektör uzayı olsun. X x X kümesinden R reel sayılar kümesine tanımlanan ve ∀ x, y, z ∈ X için ; a) ( x + y , z ) = ( x, z ) + ( y , z ) b) ( x, y ) = ( y , x ) c) (α x, y ) = α (x, y ) d) ( x, x ) ≥ 0 , ( x, x ) = 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ( Simetri) ⎪ ⎬ ( Homojenlik ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( Pozitiflik ) ⎭ ( Lineerlik ) ⇔ x=0 (2.1.1) özelliklerini sağlayan ( . , . ) fonksiyonuna bir iç çarpım ve X vektör uzayına da bir iç çarpım uzayı denir. Benzer tanım C/ kompleks sayılar kümesi olmak üzere kompleks vektör uzayları için de yapılabilir. Ancak bu durumda ( x, y ) iç çarpımı bir kompleks sayı olur ve 2.1.1(b) eşitliği b') ( x, y ) = ( y , x ) (Hermitiyen Simetri ) b' eşitliği ile yer değiştirir. Burada sağdaki üst çizgi kompleks eşleniği göstermektedir. 2 (2.1.1) 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR Örnek 2.1.1: X = R n , x = ( x1 , x2 , K , xn ) , y = ( y1 , y2 , K , yn ) ve wi , i = 1, K , n pozitif sayıları olsun. R n ’de (x,y) iç çarpımı n ( x, y ) = ∑ wi xi yi i =1 şeklinde tanımlanır. Örnek 2.1.2: X = C/ n kompleks Öklid uzayı , x , y ∈ C/ n ve wi , i = 1, K, n pozitif sayılar olmak üzere , C/ n ’de (x,y) iç çarpımı n ( x, y ) = ∑ wi xi yi i =1 şeklinde tanımlanır. Gerçekten ; n n n i =1 i =1 i =1 ( x + y , z ) = ∑ wi ( xi + yi ) zi = ∑ wi ( xi zi + yi zi ) = ∑ wi ( xi zi ) + ∑ wi ( yi zi ) a) = ( x, z ) + ( y , z ) n n n i =1 i =1 i =1 b) ( x, y ) = ∑ wi ( xi yi ) = ∑ wi ( xi yi ) = ∑ wi ( yi xi ) = ( y, x) n n i =1 i =1 c) (α x, y ) = ∑ wi (α xi ) yi = α ∑ wi xi yi =α ( x, y ) n d) ( x, x) = ∑ wi xi xi = wi ( x1 x1 + ... + xn xn ) = wi ( x1 + ... + xn ) ≥ 0 2 2 (*) i =1 olur. (x,x) = 0 olsun. Bu durumda wi pozitif bir sayı olduğundan ( * ) eşitliğinde her xi = 0 olur.Yani ; x1 = 0, x2 = 0 , K, xn = 0 dır. O halde x = ( x1 , x2 , K , xn ) = 0 olur. 4 özellik sağlanır ve Öklid uzayının bir iç çarpım uzayı olduğu görülür. 3 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR Örnek 2.1.3: X = C[a, b] olmak üzere eğer x = f (t ) ve y = g (t ) ise (x, y ) iç çarpımı b ( x, y ) = ( f , g ) = ∫ f (t ) g (t ) dt a şeklinde tanımlanır. Örnek 2.1.4: X = L2 [a, b] olmak üzere bu uzay üzerindeki iç çarpım; b ( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx a şeklinde tanımlanır. Teorem 2.1.1 ( Schwarz Eşitsizliği) : Bir iç çarpım uzayında ( x, y ) 2 ≤ ( x, x ) ( y , y ) dır. Eşitlik hali ancak ve ancak x ve y lineer bağımlı ise mümkündür. İspat : Eğer y = 0 ise (x,0) = 0 olup ispat açıktır. λ keyfi bir kompleks sayı olsun. (1.1.1)(d) ’ den ( x + λy , x + λ y ) ≥ 0 dır. Bu ifade ( x, x) + λ ( x, y ) + λλ ( y, y ) ≥ 0 şeklinde yazılır. Bu eşitsizlik özellikle λ=− ( x, y ) ( y, y ) sayısı için doğrudur.Böylece ( x, x ) − ( x, y )( y, x) ( x, y )( y, x) ( x, y )( y, x) − + ( y, y ) ≥ 0 ( y, y ) ( y, y ) ( y, y ) 2 dır.O zaman 4 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR ( x, x ) − ( x, y )( y, x) ≥0 ( y, y ) olur. Buradan her iki taraf ( y, y ) ile çarpılırsa ; ( x, x)( y, y ) − ( x, y )( y, x) ≥ 0 ( x, y )( y, x) ≤ ( x, x)( y, y ) olur. Şimdi (2.1.1)(b’) kullanılırsa , ( x, y )( x, y ) ≤ ( x, x)( y, y ) 2 ( x, y ) ≤ ( x, x)( y, y ) bulunur. Farzedelim ki burada 2 ( x, y ) = ( x, x ) ( y , y ) eşitlik hali sağlansın. Eğer y = 0 olursa eşitlik açıktır. O halde y ≠ 0 alalım. Bu durumda λ = − (x,y) ⁄ (y,y) olmak üzere (x+ λy, x+ λy )= 0 olur. Böylece (2.1.1)(d) ’den x + λy = 0 ⇒ x = −λ y ⇒ x = ( x, y ) y ( y, y ) bulunur. Sonuç olarak x = αy ise o zaman; 2 2 ( x, y ) = α ( y, y ) 2 = ( x, x)( y, y ) dır. Teorem 2.1.2: X bir iç çarpım uzay ise x = ( x, x ) eşitliği X ’de bir norm tanımlar ve X bu norm ile bir normlu vektör uzayı olur. 5 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER İspat : niceliği norm şartlarını ; ( x, x ) i) x ≥ 0 i) x =0 ⇔ x=0 iii) α x = α x iv) x + y Oray OR α skaler , ≤ x + y (Üçgen eşitsizliği) sağlamalıdır. İlk 3 şart aşikardır.Üçgen eşitsizliğini sağladığını gösterelim. x+ y 2 = ( x + y, x + y ) = ( x , x ) + ( x, y ) + ( y , x ) + ( y , y ) = 2 x ≤ x ≤ x 2 + 2 R ( x, y ) + y 2 + 2 ( x, y ) + y 2 2 +2 x 2 y + y = ( x + y )2 dır ve böylece x+ y ≤ x + y olur. Teoerem 2.1.3 (Paralelkenar Teoremi): Bir X iç ve . Teorem2.1.2 ’deki gibi tanımlansın.Bu durumda; x+ y 2 + x− y 2 =2 x 2 +2 y 2 dır. İspat: x+ y 2 + x− y 2 = ( x + y, x + y ) + ( x − y, x − y ) = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y , x ) + ( y , y ) + ( x, x ) − − ( x, y ) − ( y , x ) + ( y , y ) 6 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR 2 = 2( x = 2 x 2 + y +2 y 2 ) 2 dir. Bu teorem aynı zamanda X üzerindeki normun bir iç çarpım tarafından üretilip üretilemediğini söyler. 7 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR 2.2. İç Çarpım Uzayları için Açı Geometri Reel iç çarpım uzayındaki sıfırdan farklı iki eleman için 2.1.2 ’den −1 ≤ ( x, y ) x y ≤1 olur. Sonuç olarak ( x, y ) x y cos θ = değerini sağlayan tek bir θ ∈ [0, π ] değeri vardır. Tanım 2.2.1: Reel bir iç çarpım uzayındaki x ve y elemanları arasında kalan θ açısı cos θ = ( x, y ) x y , 0 ≤θ ≤π (2.2.1) şeklinde tanımlanır. Kompleks iç çarpım olması durumunda bu tanım cos θ = ( x, y ) x y (2.2.2) Burada özellikle iki durum dikkate değerdir. A) θ = 0 ise; bu durumda cos θ = 1 ve buradan ⎟(x,y)⎟ = ⎟⎜x⎟⎜⎟⎜y⎟⎜ olur. Teorem 2.1.1’ e göre x ve y elemanları lineer bağımlıdır: α x = y β . Buradan da x ve y ’ nin paralel olduklarını söyleyebiliriz. B) θ = π/2 ise ; x ve y elemanları dik (ortogonal) tir. Çünkü cos θ = 0 olup cos θ = ( x, y ) x y 8 =0 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR olur.Bu da gösterir ki ( x, y ) = 0 dır. Tanım 2.2.2: x ⊥ y ( x, y ) = 0 ancak ve ancak ’ dır. Tanıma dayalı olarak şunları söyleyebiliriz: a) Kendisine ortogonal olan tek eleman 0’ dır. b) x ⊥ y ⇒ y ⊥ x ’ dir. c) y ⊥ x1 , x2 , K , xn ise a1 , K , an ∈ R olmak üzere , y ⊥ a1 x1 + a2 x2 + K + an xn olur. Örnek 2.2.1 (Kosinüs Teoremi): x ve y reel bir iç çarpım uzayının elemanları olmak üzere , x+ y 2 = x 2 + y 2 + 2 x y cos θ dır. Çözüm: 2 x + y = ( x + y , x + y ) = ( x, x ) + ( x, y ) + ( y , x ) + ( y , y ) = x = x 2 2 + 2( x, y ) + y +2 x 2 y cos θ + y 2 olup ispat tamamlanır. x1 x1 − λx2 λx2 x2 Şekil 2.2.1 x1 ve x2 sıfırdan farklı elemanlar olsunlar. λx2 , x1 ’ in izdüşümü olacak şekilde λ skalerini seçelim. O zaman 9 x2 üzerine 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR λx2 ⊥ x1 − λx2 dır.Bunun anlamı (λx2 , x1 − λx2 ) = 0 olmasıdır. O halde λ ( x2 , x1 ) − λ λ ( x2 , x2 ) = 0 ve λ = ( x1 , x2 ) x2 ( x2 , x2 ) dır.Bunun anlamı x2 = 0 olmak üzere; x1 ’in x2 üzerine izdüşümü = ( x1 , x2 ) x2 ( x2 , x 2 ) (2.2.3) dir. Bu eşitlik izdüşümü kısaca tanımlamamıza yardımcı olur. x2 elemanı x2 = ( x2 , x2 ) = 1 uzunluk değerine sahipse o zaman x1 ’ in x2 üzerine izdüşümü = ( x1 , x2 ) x2 dir. 10 (2.2.4) 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR 2.3 Ortonormal Sistemler Tanım 2.3.1: S , X iç çarpım uzayının elemanlarının bir kümesi olsun.Eğer ∀x, y ∈S için ⎧0 ⎪ ( x, y ) = ⎨ ⎪1 ⎩ x≠ y x, y ∈ S (2.3.1) x= y ise , S kümesine ortonormaldir denir. Ancak , eğer x ≠ y için ( x, y ) = 0 ise bu kümeye ortogonaldir denir. n Örnek 2.3.1: R n ’ de ( x, y ) iç çarpımı ( x, y ) = ∑ xi yi olmak üzere i =1 (1,0,0,…,0), (0,1,0,…,0), … , (0,0,…,1) birim vektörleri bir ortonormal küme oluştururlar. Örnek 2.3.2: C[-π,π] veya L2 [-π,π] uzayında ( f , g ) = 1 ∫ f ( x) g ( x)dx −1 çarpımıyla birlikte (2π )−1 2 , (π )−1 2 cos x, (π )−1 2 sin x, (π )−1 2 cos 2 x, (π )−1 2 sin 2 x, K, fonksiyonları ortonormal bir küme oluştururlar. 1 2 Örnek 2.3.3: C[-1,1] veya L [-1,1] ’de ( f , g ) = ∫ 1 − x 2 f ( x) g ( x)dx −1 iç çarpımı ile birlikte , U m ( x) = sin[(m + 1) arccos x] 1 − x2 11 , m = 0,1,. . . , iç 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR fonksiyonları ortogonal bir küme oluşturur. Gerçekten ; 1 ∫ −1 ⎧0 , m ≠ n ⎪ 1 − x 2 U m ( x) U n ( x)dx = ∫ sin( m + 1)θ sin( n + 1)θ dθ = ⎨ 0 ⎪π 2 , m = n ⎩ π 2 dir. O halde π U m (x) fonksiyonları ortogonaldir. Teorem 2.3.1 ( Pisagor Teoremi): Eğer x1 , x2 , K , xn ’ ler ortogonal ise o zaman x1 + x2 + K + xn 2 2 = x1 + x2 2 + K + xn 2 (2.3.2) dir. İspat : xi ’ ler ortogonal olduğundan j ≠k iken ( x j , xk ) = 0 dır. Dolayısıyla n 2 ∑ xj j =1 n n n ⎛ n ⎞ n n = ⎜⎜ ∑ xi , ∑ x j ⎟⎟ = ∑∑ ( xi , x j ) = ∑ ( x j , x j ) = ∑ x j j =1 j =1 j =1 ⎝ i=1 ⎠ i=1 j =1 2 olup 2.3.2 sağlanır. Sonuç 2.3.2 : x ⊥ y ise x+ y İspat : Teorem 2.3.1 ’ de , x+ y 2 = x 2 + y 2 dir. n = 2 için 2 = x 2 + y 2 olur. Dolayısıyla ispat tamamlanmış olur. Teorem 2.3.3: Sıfırdan farklı x1 , x2 , K , xn ortogonal elemanların kümesi lineer bağımsızdır. 12 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR a1 x1 + K + an xn = 0 , ai ≠ 0 olsun. Yani ai ‘lerin İspat : Farz edelim ki hepsi sıfır olmasın. O zaman 0 = (0, xk ) = (a1 x1 + K + an xn , xk ) = ak ( xk , xk ) olur. Bu ise xk 2 = 0 ⇒ xk = 0 olduğunu söyler. Bu ise hipotez ile çelişir. Bu teoremin tersi önemlidir. Yani lineer bağımsız bir küme ortonormalleştirilebilir. Teorem 2.3.4: x1 , x2 ,K , xn ,K sonlu veya sonsuz elemnların bir dizisi öyle ki her bir x1 , x2 ,K , xn lineer bağımsız olsun. O zaman ; * x1 = a11 x1 * x2 = a21 x1 + a22 x2 * x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 M ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (2.3.3) ve ( xi* , x *j ) = δ ij i, j = 1,2, K olacak şekilde aij , 1 ≤ j ≤ i sabitlerini bulabiliriz. İspat: Ardışık olarak , 13 (2.3.4) 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER y1 = x1 * * ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭ * x1 = y1 y1 ve y2 = x2 − ( x2 , x1 ) x1 Oray OR ve * x2 = y 2 y 2 M n yn+1 = xn+1 − ∑ ( xn+1 , xk ) xk * * ve i =1 * xn+1 = yn+1 yn+1 (2.3.5) kuralım. Bu yapının tekrar edilmesinden yn+1 ve böylece xn+1 ’in , x1 , x2 , K, xn+1 ’in bir lineer kombinasyonu olduğu açıktır. Madem ki yi sıfır olamaz , o halde yi ’de sıfır olamaz. Bu işlem yn ’i verir ve daha sonra yn , 1 yn ile çarpılarak normu 1 olan bir vektör elde edilir. yn = 0 olsaydı son satır xn ’ in , {x , x ,K, x } * 1 * 2 * n cümlesinin bir lineer kombinasyonu olduğunu gösterirdi. Dolayısıyla xn , x1 , K , xn−1 ’in bir lineer kombinasyonu olurdu ki bu durum {x1 , x2 , K , xn } ’in lineer bağımsız olmasıyla çelişir. xi* ’lar normaldir: * * ( xi , xi ) = ( yi yi , yi yi ) = Şimdi de xn+1 (veya yn+1 ) ile (y , x ) = 0 dır. 2 * 1 Farzedelim ki i ≤ n , j < i için , * ( yi , x j ) = 0 , olsun. O zaman j ≤ n yi 2 ( yi , yi ) = 1 xn* , xn*−1 , K , x1* ’ın ortogonal olduğunu göstermeliyiz. Basit bir hesapla 1 için , 14 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR n ( yn+1 , x j ) = ( xn+1 − ∑ ( xn+1 , xk ) xk , x j ) * * * * k =1 n = ( xn+1 , x j ) − ∑ ( xn+1 , xk )( xk , x j ) * * * k =1 * * = ( xn+1 , x j ) − ( xn+1 , x j ) =0 dır. Sonuç 2.3.5 : aii başkatsayıları pozitiftir. aii = ( yii ) −1 Sonuç 2.3.6 : * x1 = b11 x1 * * * * x2 = b21 x1 + b22 x2 M * xn = bn1 x1 + bn 2 x2 + K + bnn xn olacak şekilde bii > 0 olmak üzere bij , 1≤ j ≤ i sabitlerini bulabiliriz. x1 = İspat: x2 = 1 * x1 a11 öyle ki b11 = 1 a11 − a21 1 * x1 + x2 a22 a22 =− a21 1 * * x1 + x2 a22 a11 a22 öyle ki dır. Tümevarımla , aii > 0 için ; 15 b22 = 1 a22 dır. 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER bii = Oray OR 1 = yii > 0 aii j = 1,2,... dır. * * * xn ⊥ x1 , xn ⊥ x2 , K , xn ⊥ xn−1 Sonuç 2.3.7 : * * İspat : xk = bk 1 x1 + bk 2 x2 + K + bkk xk dır. * öyle ki k< n olmak üzere n ⎛ ⎞ n ( xn* , xk ) = ⎜ xn* , ∑ bki xi* ⎟ = ∑ bki ( xn* , xi* ) = 0 i =1 ⎝ ⎠ i =1 dır. Eğer x1 , x2 , K , xn ve x1* , x2* , K , xn* (2.3.3) tarafından bağlandırılmış ve sonrakilerin ortonormal olması istenir ve akk > 0 , k= 1,2,...,n ise o zaman aij sabitleri tek olarak belirlenirdi. Gram-Schmidt işlemi bunları belirlemek için yalnızca bir yöntemdir. Diğer taraftan , eğer xk* = α k 1 x1 + α k 2 x2 + K + α kn xn , k = 1,2, K , n, ise , o zaman α ij sabitlerinin seçiminde daha özgür oluruz. Örnek 2.3.4: 1, x, x 2 , x 3 , K kuvvet fonksiyonları C[a,b] uzayında lineer bağımsızdır. Eğer a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n ≡ 0 , ise o zaman ai = 0 , i = 1,2, K , n a≤ x≤b dır. w(x) , [a,b] üzerinde tanımlanmış pozitif integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere , C[a, b] ’de ağırlıklı iç çarpım 16 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR b ( f , g ) = ∫ w( x) f ( x) g ( x)dx a şeklinde tanımlanır. Kuvvet fonksiyonlarının bu iç çarpım ile ortonormalleştirilmesi ile Pn ( x) = k n x n + K n =0,1,2,. . . ve kn> 0 , ortonormal polinomların kümesi elde edilir. b ∫ w( x) P ( x) P ( x) dx = δ * m * n mn , m,n = 0,1, . . . a Örnek 2.3.5: a = −1, b = 1 ve w( x) = 1 olmak üzere Legendre polinomları teorem 2.3.3’teki yöntem ile hesplanır. x1 = 1, x2 = x , x3 = x 2 olsun. y1 = x1 = 1 olur. Buradan; 12 y1 ⎛ +1 ⎞ = ⎜⎜ ∫ dx ⎟⎟ ⎝ −1 ⎠ = 2 olur ve y2 = x2* − ( x2 , x1* ) x1* = x − ( x, x1* = 1 y1 = y1 2 1 1 ) 2 2 Burada ( x, 1 1 )= 2 2 +1 ∫ x.dx = 0 −1 olur. Buradan; 12 y2 = x Böylece x2* = 3 x 2 ve böylece y2 ⎞ ⎛ +1 = ⎜⎜ ∫ x 2 dx ⎟⎟ ⎠ ⎝ −1 olur. y3 = x 2 − 17 1 3 = 2 3 olur. 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER 12 2 ⎛ +1⎛ ⎞ 1⎞ y3 = ⎜ ∫ ⎜ x 2 − ⎟ dx ⎟ ⎜ ⎝ ⎟ 3⎠ ⎝ −1 ⎠ Oray OR ⎛2⎞ = ⎜ ⎟ 10 ⎝ 15 ⎠ * x3 = ve 3 1⎞ ⎛ 10 ⎜ x 2 − ⎟ 4 3⎠ ⎝ olur. Örnek 2.3.6: a = −1 , b = 1 ve w( x) = (1 − x 2 ) −1 2 alarak T0 ( x), T1 ( x), K , 1. tür Chebyschev polinomlarını hesaplayalım. x0 = 1 , x1 = x , x2 = x 2 , x3 = x 3 , K olsun. y0 y0 * y 0 = x0 = 1 , x0 = olur. y0 = [( y0 , y0 )] 12 ⎛ 1 1 .1 ⎞ = ⎜⎜ ∫ dx ⎟⎟ 2 ⎝ −1 1 − x ⎠ 1 2 = π ve 1 * x0 = π = π −1 2 T0 ( x) * dır. Şimdi de x1 ’ı bulalım. ( * ) y1 = x1 − x1 , x0 x0 = x −π −1 1 ∫ −1 * x.1 1 − x2 dx Bu son kısımdaki integrale I dersek; 1 I=∫ −1 x 1 − x2 dx = 0 olur. Burada x = sin t , dx = cos tdt dönüşümü yapılmıştır ve π 2 ve − π 2 sınırları elde edilmiştir. Dolayısıyla buradan ; 18 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR y1 = x − 0 = x elde edilir. ⎞ ⎛1 x.x y1 = ( y1 , y1 ) = ( x, x) = ⎜⎜ ∫ dx ⎟⎟ 2 ⎠ ⎝ −1 1 − x 1 2 ⎞ ⎛ 1 x2 dx ⎟⎟ = ⎜⎜ ∫ 2 ⎠ ⎝ −1 1 − x 1 2 12 ⎛π ⎞ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ olur. Burada yine ; x = sin t , dx = cos tdt ve sin t = −1 ⇒ t = − π 2 , sin t = 1 ⇒ t = π 2 dönüşümleri yapılmıştır. Buradan; ( ) y x x = 1 = = π 12 2 y1 ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ * 1 −1 2 ⎛π ⎞ x= ⎜ ⎟ ⎝2⎠ −1 2 T1 ( x) elde edilir. * * * y2 = x2 − ( x2 , x1 ) x1 − ( x2 , x0 ) x0 ⎛π ⎞ = x −⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2 −1 * 1 ⎞ ⎞ ⎛ 1 x2 x x2.1 −1 ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜∫ ( ) π dx x dx − ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎜ 2 2 ⎠ ⎝ −1 1 − x ⎠ ⎝ −1 1 − x Bu eşitlikteki ilk integrale I1 ve ikinci integrale I 2 dersek ; I2 = π 2 (daha önce gösterildi) 1 I1 = ∫ −1 bulunur. Çünkü burada , x3 1 − x2 x2 x 1 − x2 dx = 0 tek fonksiyondur. Buradan; 19 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR −1 bulunur. Şimdi, ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ y2 = x 2 − ⎜ ⎟ .0 x − (π ) −1 ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 = x2 − 2 1 y2 = ∫ −1 (x 2 −1 2 ) 2 1 − x2 12 1 ⎛π ⎞ dx = ⎜ ⎟ 2⎝ 2⎠ Böylece; 1 −1 2 −1 2 x2 − y 2 = ⎛⎜ π ⎞⎟ 2 x 2 − 1 = ⎛⎜ π ⎞⎟ T ( x) x2* = 2 = 2 12 y2 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 1 ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ 2⎝ 2⎠ ( elde edilir. 20 ) 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR 2.4 Fourier (Ortogonal) Açılımları Tanım 2.4.1 : x1* , x2* , K , ortonormal elemanların sonlu veya sonsuz bir dizisi olsun. y keyfi seçilmiş bir eleman olmak üzere ∑ (y, x ) x ∞ * n n =1 * n ifadesine y için bir Fourier serisi denir. (Eğer dizi sonlu ise sonlu toplam kullanılır.) ( ) Burada ; y, xn* sabitleri y ’ nin Fourier katsayıları olarak adlandırılır.y elemanının Fourier serisi ∞ ( ) y ~ ∑ y, xn* xn* (2.4.1) n =1 şeklinde gösterilir. (2.2.4) göz önünde bulundurularak (2.4.1) ; ∞ y ~ ∑ ( y ’ nin xn* üzerine izdüşümü) (2.4.2) n =1 şeklinde yorumlanabilir ve böylece bir elemanın Fourier serisi yalnız ortonormal elemanların bir sistemi üzerindeki elemanların izdüşümlerinin toplamıdır. Eğer x1 , x2 , K , ≠ 0 ortogonal ise o zaman , xk* = xk xk k = 1,2, K , (2.4.3) şeklinde seçilebilir öyle ki (2.4.1) ∞ ⎛ x y ~ ∑ ⎜⎜ y , k xk n =1 ⎝ ∞ ⎞ xk ( y , xk ) x ⎟ = ∑ k ⎟ x k =1 ( xk , xk ) ⎠ k olur. Yeniden , (2.2.3) ’ ten 21 (2.4.4) 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR ∞ y ~ ∑ ( y ’ nin xn üzerine izdüşümü ) (2.4.5) n =1 anlamı çıkarılabilir. 3 Örnek 2.4.1 : R 3 ’ te ( x, y ) iç çarpımı ( x, y ) = ∑ xi yi olmak üzere , i =1 x1* = (1,0,0) , x2* = (0,1,0) , x3* = (0,0,1) seçelim. Bir y = (a, b, c) ∈ R 3 için ; ( y, x1* ) = a , ( y, x2* ) = b , ( y, x3* ) = c olduğundan ; (a, b, c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) toplamı y ’ nin Fourier açılımıdır. Örnek 2.4.2 : C[−π , π ] veya L2 [−π , π ] uzaylarını , π ( f , g) = ∫ f ( x) g ( x)dx iç çarpımıyla ele alalım. −π Ortonormal sistem : (2π ) −1 2 , (π ) −1 2 sin x , (π ) −1 2 cos x , (π ) −1 2 sin 2 x , K ak = 1 π π ∫ f ( x) cos kx dx bk = ve −π f ( x) ~ 1 π π ∫ f ( x) sin kx dx olmak üzere; −π a0 ∞ + ∑ ak cos kx + bk sin kx 2 k =1 (2.4.6) dır. Buna Fourier Serisi denir. 1 Örnek 2.4.3 : C[−1,1] uzayında, ( f , g) = ∫ f ( x) g ( x) dx −1 1− x2 Ortonormal sistem: (π ) −1 2 ⎛π ⎞ T0 ( x) , ⎜ ⎟ ⎝2⎠ −1 2 ⎛π ⎞ T1 ( x) , ⎜ ⎟ ⎝2⎠ olmak üzere ; 22 −1 2 T2 ( x) , K , olsun. 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER f ( x) ~ Oray OR a0 ∞ + ∑ ak Tk ( x) 2 k =1 ak = , 2 π +1 ∫ −1 f ( x)Tk ( x) dx 1 − x2 (2.4.7) dır. Buna Chebyschev-Fourier serisi adı verilir. Sonlu boyutlu uzaylar olması durumunda, bir eleman ile onun Fourier açılımı çakışıktır. Bunun için aşağıdaki teorem verilebilir. Teorem 2.4.1 : x1 , x2 , K , xn lineer bağımsız ve xi* ’ lar xi ’lerin ortonormalleştirilmişleri olsun. Eğer w = a1 x1 + K + an xn ise , o zaman , n ( ) w = ∑ w, xk* xk* (2.4.8) k =1 dır. İspat : Sonuç 2.3.6 ’ ten , w = a1 (b11 x1* ) + a2 (b21 x1* + b22 x2* ) + K + an (bn1 x1* + K + bnn xn* ) n = c1 x1* + c2 x2* + K + cn xn* = ∑ ck xk* k =1 yazabiliriz. Şimdi , 1 ≤ k ≤ n için ; ( w, xk* ) = (c1 x1* + K + cn xn* , xk* ) = c1 ( x1* , xk* ) + K + ck ( xk* , xk* ) + K + cn ( xn* , xk* ) = ck olur. Buradan ; n n w = ( w, x1* ) x1* + K + ( w, xn* ) xn* = ∑ (w, xk* ) xk* = ∑ ck xk* k =1 (2.4.8) elde edilmiş olur. 23 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR 2.5 Fourier Açılımlarının Minimum Özellikleri Fourier açılımları aşağıdaki minimum özelliğine sahiptir. Teorem 2.5.1 : Bir X iç çarpım uzayında , x1* , x2* , K ortonormal bir sistem ve y keyfi seçilmiş olsun. O zaman a1 , a2 , K , a N sabitlerinin her seçimi için ; N N i =1 i =1 y − ∑ ( y, xi* ) xi* ≤ y − ∑ ai xi* (2.5.1) dır. İspat: N y − ∑a x i =1 * i i 2 N N ⎞ ⎛ = ⎜ y − ∑ ai xi* , y −∑ ai xi* ⎟ i =1 i =1 ⎠ ⎝ ( N ) N ( ) ( N = ( y, y ) − ∑ ai xi* , y − ∑ ai y, xi* + ∑ ai a j xi* , x *j i =1 i =1 ( * i ) + ∑ xi* , y y, xi* − ∑ xi* , y y, xi* ) N ) i , j =1 ( N N = ( y , y ) − ∑ ai x , y − ∑ ai y , x + ∑ ai i =1 N ( )( * i i =1 ) N i =1 ( )( i =1 i =1 N ( = ( y, y ) − ∑ y, x * i i =1 2 ) + ∑ a − (y, x ) N i =1 i * i 2 dır. Son ifadenin ilk iki terimi a ’ lardan bağımsız olduğu için ; N y − ∑ ai xi* i =1 24 2 2 ) 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR ifadesinin yalnız ve yalnız ( ) ai = y, xi* , i = 1,2, K , N (2.5.2) olduğu zaman, yani a ’ lar y ’ nin katsayıları olduğu zaman, minimum değerinin elde edileceği açıktır. Bir başka deyişle , bir iç çarpım uzayının sonlu boyutlu bir alt uzayında, y ’ ye en yakın lineer kombinasyon, y için Fourier serisinin n. kısmi toplamıdır. Nümerik analizin en küçük kare problemi, uygun bir iç çarpım uzayında, , N min y − ∑ ai xi ai ’ nin terimlerini bulmak ile formüle edilebilir. Bir sonraki sonuç i =1 bu tür problemlerin çözümünü verir. Sonuç 2.5.2 : x1 , x2 , K , x N bir iç çarpım uzayında lineer bağımsız N elemanların bir kümesi olsun. y − ∑ ai xi ’e minimize edilmiş x1 , x2 , K , x N ‘nin i =1 lineer kombinasyonunu bulma problemi , ∑ ( y, x ) x N * i i =1 * i tarafından çözülür. xi* ’ lar , x ’ lerin ortonormalleştirilmişleridir ve yukarıdaki problemin çözümü tektir. Bu bize her en küçük kare probleminin , uygun bir Fourier serisi tarafından çözüldüğünü söyler. N Sonuç 2.5.3 : min y − ∑ a x ai i =1 * i i 2 = y 2 N −∑ i =1 25 ( y, x ) * i 2 dır. 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR ( ) İspat : Teorem 2.5.1 ’ in son eşitliğinde ai = y, xi* yazalım . Böylece ifade etmiş olduğumuz eşitlik elde edilir. Sonuç 2.5.4 ( Bessel Eşitsizliği ) : Eğer xi* ’ lar ortonormal ise , o zaman, ∑ (y, x ) N i =1 * i 2 ≤ y 2 (2.5.3) dır. İspat : Sonuç 2.5.3 ’den ; N N ( 0 ≤ min y − ∑ ai xi* = y − ∑ y, xi* ai 2 i =1 ) 2 i =1 dır ve ispat aşikardır.. Sonuç 2.5.5 : Eğer xi* ’ lar ortonormal elemanların sonsuz bir dizisi ise, o zaman , ∑ ( y, x ) ≤ ∞ i =1 * i y 2 (2.5.4) dır. İspat : Sonuç 2.5.4 ’ ten sonlu ortonormal elemanlar için Bessel eşitsizliğinden her N > 0 için ; ∑ (y, x ) ∞ * i i =1 26 2 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR serinin kısmi toplamlar dizisi sınırlıdır ve dolayısıyla yakınsaktır. Böylece (2.5.3) eşitsizliğinin her iki tarafının n → ∞ için limiti alınırsa (2.5.4) elde edilir. Sonuç 2.5.6 : Eğer xi* ’ lar ortonormal elemanların sonsuz bir dizisi ise, o zaman , ( ) lim y, xi* = 0 i →∞ (2.5.5) dır. Yani, y ’nin Fourier katsayıları sıfıra yaklaşır. İspat : (2.5.4) eşitsizliğinin solundaki ifade yakınsak olup genel terimi ( n → ∞ için sıfıra yakınsar. Böylece lim y, xi* i →∞ ) 2 ( ) = 0 olur. Buradan lim y, xi* = 0 i →∞ olur. Sonuç 2.5.7 ( Ortogonal Elemanların Minimum Özelliği ) : x1 , x2 , K , xn lineer bağımsız olsun. x1* , x2* , K , xn* , xk ’ ların Teorem 2.3.3 ’ teki tasarıya göre ortonormalleştirilmişleri olsun. O zaman, a1 , a2 , K , an−1 sabitlerinin tüm seçimleri için ; yn xn* = ann ≤ a1 x1 + a2 x2 + K + an−1 xn−1 + xn dır. İspat : a1 x1 + a2 x2 + K + an−1 xn−1 + xn = xn − (− a1 x1 − a2 x2 − K − an−1 xn−1 ) = xn − (b1 x1 + b2 x2 + K + bn−1 xn−1 ) yazılabilir. Sonuç 2.5.2 ’ den ; min xn − (b1 x1 + K + bn−1 xn−1 ) bi 27 2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER Oray OR probleminin çözümü ∑ (x , x ) x n −1 * k n k =1 * k dır. (2.5.1) ’ den ise ; n −1 ( ) n −1 xn − ∑ xn , xk* xk* ≤ xn − ∑ bk xk* = k =1 k =1 n −1 ∑a x k k =1 * k + xn olur. (2.3.6) ’ dan ; n −1 ( ) yn = xn − ∑ xn , xk* xk* ∑ (x , x ) x n −1 ⇒ k =1 k =1 * k n * k = xn − y n olduğundan ; xn − ( xn − y n ) ≤ yn ≤ n −1 ∑a x k =1 k n −1 ∑a x k =1 k * k + xn * k + xn olur. Sonuç 2.3.4 ve (2.3.6) ’ dan ; x *i = yi yi aii = ve olup, yi = xi* aii dır. Böylece ispat tamamlanmış olur. 28 1 yi 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 3. EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI 3.1. En Küçük Kareler Yaklaşımı Bir y elemanının en küçük kareler yaklaşımı ( yani bir iç çarpım uzayındaki y ’ye en yakın elemanın bulunması problemi ) verilen lineer bağımsız x1 , x2 , K , xn elemanlarının bir kombinasyonu tarafından birkaç yoldan ifade edilebilir : (1) Verilen elemanların a1 x1 + a2 x2 + K + an xn şeklindeki bir lineer kombinasyon olarak , (2) x ’ lerin ortonormalleştirilmişlerinin b1 x1* + b2 x2* + K + bn xn* şeklindeki lineer kombinasyonu olarak. Örnek 3.1.1 : Eğer f ∈ C[−π , π ] , o zaman, π lim n→∞ ∫ π f ( x) sin nx dx = lim n→∞ −π ∫ f ( x) cos nx dx = 0 −π dır. Bu Riemann teoremidir ve Sonuç 2.5.5 ’ in bir sonucudur. Çözüm : Bu uzaylarda Bessel eşitsizliği , an = bn = 1 π 1 π π ∫π f ( x) cos nx dx , n = 0,1,2, K , − π ∫π f ( x) sin nx dx , n = 1,2, K , − olmak üzere , ( ) a0 ∞ 2 + ∑ an + bn2 ≤ f 2 n=1 29 2 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR dır. (2.5.5) ’den ( ) ⇒ lim an2 = 0 lim an2 + bn2 = 0 n→∞ ve n→∞ lim bn2 = 0 n→∞ olur ve böylece çözüm tamamlanır. Örnek 3.1.2 : Pn* ( x) ’ ler Legendre polinomları olsunlar. Eğer f ∈C[−1,1] ise , o zaman , 1 lim ∫ f ( x) Pn* ( x) dx = 0 n→∞ −1 dır. Çözüm : Legendre polinomları C [−1,1] ’ de 1, x , x 2 , K şeklindeki lineer bağımsız elemanların ortonormalleştirilmişleridirler. Yani , C [−1,1] ’ de bir ortonormal sistem belirtirler. O halde Sonuç 2.5.6 ’ dan ; 1 ∫ f ( x) P ( x) dx * n lim n→∞ = 0 −1 dır. Örnek 3.1.3 : Eğer f ∈ L2 [a, b] ise , 2 n ⎛ ⎞ min ∫ ⎜ f ( x) − ∑ ai x i ⎟ dx ai i =0 ⎠ a ⎝ b problemi tek çözüme sahiptir. Çözüm : Sonuç 2.5.3 ’ te y = f (x) ve xi = x i alınırsa ; 2 N min y − ∑ ai x ai i =0 i 2 N ⎛ ⎞ = min ∫ ⎜ f ( x) − ∑ ai x i ⎟ dx ai i =1 ⎠ a⎝ b = f 2 N ( − ∑ f ( x), xi* 2 ) i =0 dır. Sağ taraf pozitif ve sabittir. Ve xi* ortonormal elemanları Gram-Schmidt yöntemiyle tek olarak belirlendiğinden bu tek çözüme sahiptir. 30 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI 1 ( Oray OR Örnek 3.1.4 : min ∫ e − a0 − a1 x − a2 x ai x 2 ) 2 dx problemini çözelim. −1 Çözüm : Burada y = e x olarak alıyoruz. Yani ; ai ∑ (y, x ) x N N min y − ∑ ai xi probleminin çözümü i =1 * i i =1 * i olduğundan ; 2 1 2 ⎛ ⎞ min ∫ ⎜ e x − ∑ ai x i ⎟ dx ai i =0 ⎠ −1 ⎝ probleminin çözümü ∑ ( e , x )x 2 x i =0 * i * i olur. Daha önceki bilgilerimizden 1, x, x 2 , K polinomlar sisteminin ortonormaleştirilmesiyle ( a = 1 , b = −1 , w( x) = 1 olmak üzere ) Legendre polinomları elde edileceğinden xi* ’ lar yerine Legendre polinomlarını kullanabiliriz.Yani; x1* = 1 2 , 3 x , 2 x2* = x3* = 3 1⎞ ⎛ 10 ⎜ x 2 − ⎟ 4 3⎠ ⎝ polinomlarını kullanalım. e x ’ in Fourier katsayıları ; 1 b0 = ∫e −1 1 b1 = ∫ −1 x ( 1 1 dx = e − e −1 2 2 3 x x e dx = 2 31 ) 3 (2 e −1 ) 2 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI 1 b2 = ∫ −1 b1 Oray OR 3 1⎞ 3 10 ⎛ 2e 14e −1 ⎞ ⎛ ⎜ − ⎟ 10 ⎜ x 2 − ⎟ e x dx = 4 3⎠ 4 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ ⎝ ve b2 değerleri hesaplanırken kısmi integrasyon yöntemi kullanılmıştır. Böylece ; P( x) = b1 x1* + b2 x2* + b3 x3* = 1 90 ⎛ 2e − 14e −1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜ x − ⎟ e − e −1 + 3 e −1 x + ⎜⎜ 2 16 ⎝ 3 3⎠ ⎠⎝ = 15 33 3 e − 7e −1 x 2 + 3 e −1 x + e −1 − e 4 4 4 ( ) ( ) ≈ 0,537 x 2 + 1,104 x + 0,996 _.08 e x − p (x) -1 +1 | | _ -.08 Şekil 3.1.1 e x ’e Parabolle En Küçük Kare Yaklaşımındaki Hata 32 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR Örnek 3.1.5 : Tn ( x) = 2 n−1 x n + K Chebyschev polinomları olsun. O zaman , a ’ ların tüm seçimleri için ; 1 2 2 n −2 (Tn ( x) )2 dx = 1 ∫ 1 − x2 −1 π (x 1 2 2 n−1 ∫ ≤ n + a1 x n−1 + K + an 1 − x2 −1 ) dx 2 (3.1.2) dır. Burada n ≥ 1 ’dir. 1 Çözüm : ( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx iç çarpımını ele alalım. 1 − x2 −1 (π )−1 2 T0 , ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝2⎠ −1 2 T1 ⎛π ⎞ , ⎜ ⎟ ⎝2⎠ −1 2 T2 ,K, ortonormal sistem olmak üzere ; −1 2 ⎛ ⎛ π ⎞ −1 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ Tn , ⎛⎜ π ⎞⎟ Tn ⎟ = 1 ⎜⎝ 2 ⎠ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ ⎠ −1 ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ (Tn , Tn ) = 1 ⎝2⎠ (Tn , Tn ) = π 2 olur. Dolayısıyla 1 2 2 n −2 1 ∫ (Tn ( x) )2 dx = −1 1− x 2 1 2 2 n−2 (Tn , Tn ) = 2 1 π 2 n−2 2 = π 2 2 n−1 elde edilir. Bir önceki örnekteki gibi Sonuç 2.5.7 ’den (3.1.2) sağlanır. Örnek 3.1.6 : Eğer a0 ∞ + ∑ ak Tk ( x) sürekli bir f (x) fonksiyonunun 2 k =1 33 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR Chebyschev - Fourier serileri ise, o zaman, 2 +1 n ⎛ ⎞ min ∫ ⎜ f ( x) − ∑ bk x k ⎟ 1 − x 2 bi k =0 ⎠ −1 ⎝ ( −1 2 ) dx minimum bulma problemini n a0 + ∑ ak Tk ( x) 2 k =1 kısmi toplamı çözer. Ancak bu kısmi toplam n min max f ( x) − ∑ bk x k bi −1≤ x≤1 k =0 probleminin çözümüne çok yakındır. Bunun için ; f ( x) = a0 + a1T1 ( x) + K + anTn ( x) + an+1Tn+1 ( x) 2 artı ihmal ettiğimiz bir artan yazdığımızı varsayalım. O zaman ; ⎛a ⎞ f ( x) − ⎜ 0 + a1T1 ( x) + K + anTn ( x) ⎟ = an+1Tn+1 ( x) ⎝ 2 ⎠ dır. an+1Tn+1 ( x) , sıralı bir dizide alterne olarak n + 2 tane eş maxima ve minima ’ ya sahip olduğundan ( DAVIS,P.J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc.,New York (1975) ) Teorem 7.6.4 bize , parantez içinin Pn ’ den f (x) ’e en iyi düzgün yaklaşım olduğunu söyler. Bunun için kısmi Chebyschev – Fourier serileri, bazen en iyi düzgün yaklaşımları tanımlamaktaki başlangıç noktası olarak kullanılır. 34 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR Eğer f bir polinom ise , onun Chebyschev- Fourier açılımları kuvvetlerin , Chebyschev polinomlarının kombinasyonları olarak bulunabilir. Örnek 3.1.7 : [−1, 1] aralığı üzerinde f ( x) = 1 + x x 2 x3 x 4 x5 + + + + 2 3 4 5 6 fonksiyonu için izin verilen hata payı ε = 0.05 dir. Gerçekten ; 1 1 1 1 1 1 1 f ( x) = T0 + T1 + ⋅ (T0 + T1 ) + ⋅ (3T1 + T3 ) + ⋅ (3T0 + 4T2 + T4 ) 2 3 2 4 4 5 8 1 1 + ⋅ (10T1 + 5T3 + T5 ) 6 16 = 149 76 32 11 3 1 T0 + T1 + T2 + T3 + T4 + T5 20 90 120 96 120 96 dır. Tn ( x) = cos (n arc cos x ) ≤ 1 olduğundan son iki terimi silebiliriz ve en fazla 3 1 − < 0.05 120 96 hatasını yakalarız. Böylece 149 76 32 11 T0 + T1 + T2 + T3 20 96 120 96 P3 ’ dedir ve [−1, 1] üzerinde f (x) ’ e 0.05 ’den daha az bir hata ile yaklaşır. 35 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 3.2 Normal Denklemler Teorem 3.2.1 : Bir X iç çarpım uzayında x1 , x2 , K , xn lineer bağımsız elemanlar ve x1* , x2* , K , xn* ortonormal sistem olsun. O zaman , her y ∈ X elemanı için ; n ⎛ y (y, xk* ) xk* ⎞⎟ ⊥ x*j − ⎜ ∑ k =1 ⎠ ⎝ dır. İspat : n n ⎛ * * *⎞ * ( ) ( ) (y, xk* )(xk* , x*j ) − , , = , − y y x x x y x ⎜ ∑ ∑ k k j⎟ j k =1 k =1 ⎝ ⎠ = ( y, x*j ) − ( y, x*j ) =0 olup ispat tamamlanır. Sonuç 3.2.2 : y ile onun , x1 , x2 , K , xn ’ler tarafından oluşturulan lineer kombinasyonların en iyi yaklaşığının farkı her x j ’e ortogonaldir. 36 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR y - en iyi y yaklaşım x1 en iyi yakl. x2 Şekil 3.2.1 Geometrik dilde , a1 x1 + a2 x2 + K + an xn şeklindeki tüm mümkün olan lineer kombinasyonların kümesinin bir lineer manifold olduğunu söyleriz. Bir lineer manifold orjinden geçen bir düzlem kavramının genelleştirilmişidir. Ve bu sonuç sabit bir elemandan, bir lineer manifoldun bir noktasına en kısa uzaklığın , manifolda dik bir elemanının uzunluğu olduğunu ifade eder. Teorem 3.2.3 : a1 x1 + a2 x2 + K + an xn , x1 , x2 , K , xn (lineer bağımsız olduğu farzedilsin) lineer kombinasyonlarının içinden , y ’ ye en iyi yaklaşım olsun. O zaman ai katsayıları aşağıdaki eşitlik sisteminin çözümleridir. a1 ( x1 , x1 ) + a2 ( x2 , x1 ) + K + an ( xn , x1 ) = ( y, x1 ) . . . an ( x1 , xn ) + a2 ( x2 , xn ) + K + an ( xn , xn ) = ( y, xn ) Bu eşitlikler normal denklemler olarak bilinirler. 37 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭ (3.21) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR İspat : Sonuç 3.2.2 ’den n ⎛ ⎞ ⎜ y − ∑ ak xk , x j ⎟ = 0 k =1 ⎝ ⎠ dır. Bu ifade açıldığında ; (y, x ) − a (x , x ) − K − a (x , x ) = 0 j 1 1 j n n j (y, x ) = a (x , x ) + K + a (x , x ) j 1 1 j n elde edilir. Bu ise (2.6.1) sisteminin j. eşitliğidir. 38 n j 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 3.3 Gram Matrisi ve Determinantı Tanım 3.3.1 : x1 , x2 , K , xn , bir iç çarpım uzayında verilen elemanların bir dizisi olsun. n x n matrisi ⎡ ( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) K ( x1 , xn ) ⎤ ⎢ . . ⎥⎥ ⎢ G = ( (xi , x j ) ) = ⎢ . . ⎥ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎢⎣( xn , x1 ) ( xn , x2 ) K ( xn , xn )⎥⎦ (3.3.1) x1 , x2 , K , xn ’ lerin Gram matrisi olarak bilinir. Determinantı ; g = g ( x1 , K , xn ) = (xi , x j ) = (x j , xi ) (3.3.2) elemanların Gram determinantı olarak bilinir. Gram matris , normal eşitliklerin katsayıları matrisinin transpozudur. Bu aynı zamanda (a1 x1 + a2 x2 + K + an xn , b1 x1 + b2 x2 + K + bn xn ) = ∑ ai b j (xi , x j ) n i , j =1 bilineer formun matrisidir. Burada gerçekten ; ⎡ a1 ⎤ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ X = a1 x1 + K + an xn ⇔ X = ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢⎣an ⎥⎦ 39 (3.3.3) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ⎡ b1 ⎤ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ Y = b1 y1 + K + bn yn ⇔ Y = ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢⎣bn ⎥⎦ ve ⎡ ( x1 , x1 ) K ( x1 , xn ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ( (xi , x j ) )n x n A=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣( xn , x1 ) K ( xn , xn )⎥⎦ olmak üzere K n üzerinde bilineer formu f : K n x K n şeklinde bir fonksiyon olup ; f ( X , Y ) = (a1 x1 + K + an xn , b1 x1 + K + bn xn ) = X T . A.Y ⎡ b1 ⎤ ⎢.⎥ ⎢ ⎥ = (a1 , a2 ,K, an ). A . ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢⎣bn ⎥⎦ = ∑ ai b j (xi , x j ) n i , j =1 (3.3.3) elde edilir. Buradaki bilineer formun A matrisi Gram matristir. Burada g ( x1 , x2 , K , xn ) argümentlerinin simetrik fonksiyonudur. Bunun için , g (x1 , x2 , K , xi , K , x j , K , xn ) ’i düşünelim ve xi ve x j ’nin yer değiştirdiğini varsayalım. Yani , g (x1 , K , x j , K , xi , K , xn ) olsun. Bu , son ifadenin determinant açılımında i. ve j. sütunlar yer değiştirdiğini , ilk ifade için ise i. ve j. satırların yer değiştirdiğini gösterir. 40 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI n Lemma 3.3.1 : yi = ∑ aij x j j =1 Oray OR , i = 1,2, K , n olsun. A , (aij ) matrisini ~ göstersin ve A , onun konjuge transpozu ( a ) olsun. O zaman ; ji ~ G ( y1 , y2 , K , yn ) = A G (x1 , x2 , K , xn ) A (3.3.4) g ( y1 , y2 , K , yn ) = det A (3.3.5) ve 2 g ( x1 , x2 , K , xn ) dır. İspat : y1 = a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn y2 = a21 x1 + a22 x2 + K + a2 n xn M yn = an1 x1 + an 2 x2 + K + ann xn olmak üzere, ⎡ ( x1 , y1 ) ( x1 , y 2 ) K ( x1 , y n ) ⎤ ⎡ ( x1 , a11 x1 + K + a1n xn ) K ⎢ . . ⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥=⎢ . ⎢ . ⎢ . ⎥ ⎢ . . ⎢( x , y ) ( x , y ) K ( x , y ) ⎥ ⎢( x , a x + K + a x ) K n 2 n n ⎦ 1n n ⎣ n 1 ⎣ n 11 1 ⎡ ( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) K ( x1 , xn ) ⎤ ⎢ . . ⎥ ⎢ ⎥ . ⎥ =⎢ . ⎢ . . ⎥ ⎢( x , x ) ( x , x ) K ( x , x ) ⎥ n 2 n n ⎦ ⎣ n 1 ~ = G ( x1 , x 2 , K , xn ) A dır. Hatta ; 41 ( x1 , an1 x1 + K + ann xn ) ⎤ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ . ( xn , an1 x1 + K + ann xn )⎥⎦ ⎡ a11 ⎢ . ⎢ ⎢ . ⎢ . ⎢ ⎢⎣a1n a21 K an1 ⎤ . ⎥ ⎥ . ⎥ . ⎥ ⎥ a2 n K ann ⎥⎦ 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ⎡ a11 a12 K a1n ⎤ ⎡ ( x1 , y1 ) ( x1 , y2 ) K ( x1 , yn ) ⎤ ⎢ . . ⎥⎢ . . ⎥ ⎥⎢ ⎥ ~ ⎢ . ⎥⎢ . . ⎥ A. G. A = ⎢ . ⎢ . . ⎥⎢ . . ⎥ ⎢a ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ n1 an 2 K ann ⎦ ⎣( xn , y1 ) ( xn , y2 ) K ( xn , yn )⎦ ⎡ a11 ( x1 , y1 ) + K + a1n ( xn , y1 ) K a11 ( x1 , yn ) + K + a1n ( xn , yn ) ⎤ ⎢ ⎥ . . ⎢ ⎥ =⎢ . . ⎥ ⎢ ⎥ . . ⎢a ( x , y ) + K + a ( x , y ) K a ( x , y ) + K + a ( x , y )⎥ 1 nn n n1 1 n nn n n ⎦ ⎣ n1 1 1 ⎡ (a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn , y1 ) K (a11 x1 + a12 x2 + K + a1n xn , yn ) ⎤ ⎢ ⎥ . . ⎢ ⎥ =⎢ . . ⎥ ⎢ ⎥ . . ⎢( a x + a x + K + a x , y ) K ( a x + a x + K + a x , y ) ⎥ nn n n n1 1 n2 2 nn n n ⎦ ⎣ n1 1 n 2 2 ⎡ ( y1 , y1 ) K ( y1 , yn ) ⎤ ⎢ . . ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ . . ⎥ ⎢ . . ⎥ ⎢( y , y ) K ( y , y ) ⎥ n n ⎦ ⎣ n 1 = G ( y1 , y2 , K , yn ) dir. Bu iki eşitliği birleştirerek lemmanın ilk özdeşliğini elde ederiz. İkinci kısım ~ determinant almaktan gelir ve burada A = A dır. Özel durum olarak; g (σ 1 x1 , σ 2 x2 , K , σ n xn ) = σ 1 σ 2 K σ n g (x1 , x2 , K , xn ) 2 2 dır. 42 2 (3.3.6) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR Teorem 3.3.2 : x1 , x2 , K , xn ≠ 0 olsun. O zaman ; 0 ≤ g ( x1 , x2 , K , xn ) ≤ x1 i) 2 x2 2 K xn 2 (3.3.7) dır. ii) Alt sınır g = 0 hali ancak ve ancak xi ’ler lineer bağımlı ise meydana gelir. Üst sınır ancak ve ancak bu elemanlar ortogonal ise meydana gelir. Eğer elemanlar normalleştirilmişler ise , yani xi = 1 ise, o zaman , 0 ≤ g ≤ 1 (3.3.8) dır. İspat : i) Farzedelim ki x ’ler lineer bağımlı olsun. O zaman a1 x1 + a2 x2 + K + an xn = 0 iken hepsi sıfır olmayan a1 , a2 , K , an sabitlerini bulabiliriz. Farzedelim ki a j ≠ 0 olsun ve y1 = x1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ (3.3.9) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ . . . y j −1 = x j −1 y j = a1 x1 + a2 x2 + K + an xn = 0 y j +1 = x j +1 . . . yn = xn dönüşümlerini düşünelim. (y , y ) = (0, y ) = 0 j i i olduğundan , g ( y1 , y2 , K , yn ) = 0 43 olur. Şimdi ; 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI 1 . Oray OR 0 K 0 K 0 . . . . 0 . determinantı 1 K 0 K . 0 . . A = . . a1 . . a2 K a j K a n . . . . 0 . 1 0 K 0 K j. satırın minörüne göre açılırsa A = 0 + 0 + K + a j .1 + 0 + K + 0 = a j ≠ 0 olur. Lemma 3.3.1 ’den ; g ( x1 , x2 , K , xn ) = 0 olur. Çünkü ; g ( y1 , y2 , K , yn ) = det A g ( x1 , x2 , K , xn ) 1 424 3 2 ≠0 dır. Şimdi de x ’lerin lineer bağımsız olduğunu düşünelim. O zaman Teorem 2.3.3 ’ den ; xk* = ak1 x1 + ak 2 x2 + K + akk xk , akk > 0 olacak şekilde ortonormal olan aij sabitlerini bulabiliriz. Lemmamızdan ; ( ) 1 = δ ij = g x1* , x2* , K , xn* = g ( x1 , x2 , K , xn ) A olup , burada 44 2 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 0 K a22 K a11 a21 . A = . . an1 0 0 . = a11a22 K ann . . K ann an 2 dır. Böylece , g ( x1 , x2 , K , xn ) = 1 A 2 1 1 1 L 2 > 0 2 2 a11 a22 ann = (3.3.10) dır. Böylece x ’ler ancak lineer bağımlı olduğu zaman g = 0 olur. Bundan sonraki adımda 1 akk2 ≤ xk 2 (3.3.11) olduğunu göstereceğiz. (2.3.5) ’dan ; 1 = akk2 yk 2 k −1 ( ) = xk − ∑ xk , x x j =1 * j 2 * j ≤ xk 2 dır. Çünkü teorem (2.5.1) ’den ve ai = 0 olmasından , yani , ai = ( y, xi* ) = ( xk , xi* ) = 0 , i = 1, K , k − 1 olmasından ; k −1 xk − ∑ ai xi ≤ xk i =1 dır. ii) (⇒ ) Eğer xi ’ler ortogonal ise , o zaman G , köşegeni xi diğer her taraf sıfır olan bir matris olur. Yani ; 45 2 olan ve 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ⎡ ( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) K ( x1 , xn ) ⎤ ⎡ ⎢( x , x ) ( x , x ) K ( x , x ) ⎥ ⎢ ⎢ n ⎥ 2 2 2 ⎢ 2 1 . . ⎥=⎢ G = ⎢⎢ ⎢ . . ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ . ⎥ ⎢ ⎢ . ⎢⎣( xn , x1 ) ( xn , x2 ) K ( xn , xn )⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 2 x1 0 0 . x2 2 K K . . 0 0 K 0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 ⎥ xn ⎥⎦ olur. Bu taktirde ; g ( x1 , x2 , K , xn ) = x1 2 2 x2 K xn 2 olur. Böylece elemanların ortogonal olma halinde üst sınırda eşitlik vardır. (⇐) Varsayalım ki , g ( x1 , x2 , K , xn ) = x1 2 x2 2 K xn 2 olsun. (3.3.10) ’dan ; g ( x1 , x2 , K , xn ) = 1 1 1 L 2 2 2 a11 a22 ann dır. Şimdi de , 1 ≤ akk2 xk 2 olduğundan ; yk 2 = 1 akk2 = xk olur. Ancak (2.3.5) ’dan ve Sonuç 2.5.3 ’ten ; 46 2 , k = 1,2, K , n 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI 2 yk Oray OR k −1 ( ) x k − ∑ xk , x x = * j j =1 2 * j k −1 = min xk − ∑ ai xi ai = olur. Böylece , yk 2 2 = xk k i =1 i =1 2 k −1 ( − ∑ xk , xi* ) 2 i =1 olduğundan ; ∑ (x , x ) k −1 xk 2 * i 2 = 0 , k = 1,2, K , n dır. Bu ise x1 , x2 , K , x n vektörlerinin ortogonalliğini gösterir. Sonuç 3.3.3 (Hadamard ’ın Determinant Eşitsizliği) : D = ( aij ) kompleks elemanlı n x n tipinde bir matris olsun. O zaman , D 2 ≤ ∏(a n 2 k1 2 + ak 2 k =1 + K + akn 2 ) (3.3.12) dır. Eğer aij elemanları aij ≤ M , i, j = 1,2, K , n şartını sağlarsa o zaman , D ≤ M n nn 2 (3.3.13) olur. İspat : xi , (ai1 , ai 2 , K, ain ) vektörünü belirtsin. Cn ’de (x , x ) = ∑ a n i j k =1 ik a jk ~ Hermitian iç çarpımını kullanalım. Eğer D = a ji , D ’nin konjuge transpozunu belirtirse o zaman, 47 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI a11 a12 K a1n a21 a 22 K a2 n . . ~ DD = . . . . an1 an 2 K ann D 2 Oray OR a11 a12 . . . a1n a21 K an1 a22 K ann . . . a2 n K ann a11 a11 + K + a1n a1n K a11 an1 + K + a1n ann . . = . . . . an1 a11 + K + ann an1 K an1 an1 + K + ann ann ( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) K ( x1 , xn ) . . = . . . . ( xn , x1 ) ( xn , x2 ) K ( xn , xn ) = (xi , x j ) = g ( x1 , x2 , K, xn ) ≤ x1 2 x2 dır. Şimdi xi dır. Ve ~ D = D 2 n n k =1 k =1 = ( xi , xi ) = ∑ aik aik = ∑ aik ~ olduğundan D D = D olur. Böylece , 48 2 2 2 K xn 2 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI D 2 ≤ ≤ x1 ∑ 2 x2 n k =1 ≤ 2 a1k 2 2 n ∑ a2k K ∑ ank 2 k =1 ∏( a n n 2 k =1 2 2 ) 2 2 ) 2 + a2 k + K + ank 2 + ak 2 + K + akn 1k ∏( a K xn n k =1 ≤ Oray OR k1 k =1 (*) olur. Böylece (3.3.12) elde edilir. Eğer aij ≤ M ise o zaman ; 2 aij ≤M2 dır. Buradan ; 2 ak 1 ≤ M 2 2 ak 2 ≤ M 2 . . . 2 a kn ≤ M 2 eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa , 2 2 2 ak 1 + ak 2 + K + akn ≤ n M 2 elde edilir. Şimdi her iki tarafın n. kuvveti alınırsa ; (a 2 k1 2 + ak 2 + K + akn 2 ) n ≤ n n M 2n olur. ( * ) ’dan ; 2 ( 2 2 D ≤ ak1 + ak 2 + K + akn 2 ) n olduğundan , 49 n ( = ∏ ak 1 + ak 2 + K + akn k =1 2 2 2 ) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 2 D ≤ nn M 2n olur. Buradan , D ≤ M n nn 2 dır. Teorem 3.3.4 : Bir iç çarpım uzayında , x1 , x2 , K , xn lineer bağımsız olsun. Eğer δ = min y − (a1 x1 + a2 x2 + K + an xn ) ai (3.3.14) ise, o zaman , δ2 = g ( x1 , x2 , K , xn , y ) g ( x1 , x2 , K , xn ) (3.3.15) dır. İspat : Minimize edilmiş a1 x1 + K + an xn elemanı s olsun. O zaman , δ2 = y−s 2 = ( y − s , y − s ) = ( y − s , y ) − ( y − s, s ) olup (3.2.1) ’den ( y − s, s ) = 0 ’dır. Buradan ; δ 2 = ( y − s, y ) = ( y, y ) − (s, y ) ve (s, y ) = ( y, y ) − δ 2 (3.3.16) olur. Normal denklemleri aşağıdaki formda yazar ve (3.3.16) ’nın açılmış halini bunlara eklersek , 50 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR a1 ( x1 , x1 ) + a2 ( x2 , x1 ) + K + an ( xn , x1 ) − ( y, x1 ) = 0 . . . a1 ( xn , x1 ) + a2 ( xn , x2 ) + K + an ( xn , xn ) − ( y, xn ) = 0 [ ] a1 ( x1 , y ) + a2 ( x2 , y ) + K + an ( xn , y ) + δ 2 − ( y, y ) = 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (3.3.17) elde edilir. Böylece bu sistem a1 , a2 , K , an , an+1 (= 1) gibi biri belli n+1 bilinmeyen, n+1 denklemden oluşan homojen denklem sistemi olur. (a1 , K , an , an+1 ) n+1 ’lisi (0,0, K ,0) ’dan farklı aşikar olmayan bir çözüme sahip olduğundan katsayılar determinantı sıfır olmak zorundadır. (Aksi taktirde katsayıların hepsi sıfır olurdu.) ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) 0 − ( y, x1 ) . . =0 . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) 0 − ( y, xn ) ( x1 , y ) ( x2 , y ) K ( xn , y ) δ 2 − ( y, y ) ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) 0 ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) − ( y, x1 ) . . . . . . . . + =0 . . . . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) 0 ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) − ( y, xn ) 2 ( x1 , y ) ( x2 , y ) K ( xn , y ) δ ( x1 , y ) K ( xn , y ) − ( y, y ) 51 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) 0 ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y, x1 ) . . . . . . . . + (− 1) =0 . . . . ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) 0 ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) 2 ( x1 , y ) K ( xn , y ) δ ( x1 , y ) K ( xn , y ) ( y, y ) Buradan ; ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) 0 ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y, x1 ) . . . . . . . . = . . . . ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) 0 ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) 2 ( x1 , y ) K ( xn , y ) δ ( x1 , y ) K ( xn , y ) ( y, y ) ve dolayısıyla ; δ 2 g (x1 , x2 , K , xn ) = g (x1 , x2 , K , xn , y ) δ2 = g ( x1 , x2 , K , xn , y ) g ( x1 , x2 , K , xn ) elde edilir. Teorem 3.3.5 : Bir iç çarpım uzayında , x1 , x2 , K , xn lineer bağımsız olsun. min y − (a1 x1 + K + an xn ) ai probleminin çözümü s , ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y, x1 ) . . . . s=− ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) . . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) x1 x2 K xn y 52 (3.3.18) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR dır. y − s hatası , ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y, x1 ) . . . . y−s=− ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) . . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) x1 x2 K xn y (3.3.19) ile verilir. İspat : (3.2.1) normal denklemlerden ve Cramer Kuralı ’ndan, yani ; a1 için ⎡ ( x1 , x1 ) ⎤ ⎢( x , x ) ⎥ ⎢ 1 2 ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ ⎢⎣( x1 , xn )⎥⎦ sütunu yerine ⎡ ( y, x1 ) ⎤ ⎢( y , x ) ⎥ 2 ⎥ ⎢ . ⎢ ⎥ ⎢ . ⎥ yazılarak ; ⎥ ⎢ ⎢ . ⎥ ⎢⎣( y, xn )⎥⎦ ( y, x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y , x2 ) ( x2 , x2 ) K ( xn , x2 ) . . a1 = ÷ g ( x1 , x2 ,K, xn ) . . . . ( y , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) ( x1 , x1 ) ( y, x1 ) K ( xn , x1 ) ( x1 , x2 ) ( y, x2 ) K ( xn , x2 ) . . a2 = ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) . . . . ( x1 , xn ) ( y, xn ) K ( xn , xn ) 53 (3.3.20) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR . . . ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( y, x1 ) ( x1 , x2 ) ( x2 , x2 ) K ( y, x2 ) . . an = ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) . . . . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( y, xn ) olur. Eğer (3.3.18) determinantını son satırın minörüne göre açarsak ; ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) . s=− . . ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) x1 K xn ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) . x1 = ( y, x1 ) . ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) 0 ( y, x1 ) . ( x1 , x1 ) K . . . . ( x2 , x n ) K ( x n , xn ) ( y , x n ) g ( x1 , x2 ,K , xn ) xn + K + = a1 x1 + a2 x2 + K + an xn elde edilir. 54 ( xn−1 , x1 ) . ( y, x1 ) . . . . ( x1 , xn ) K ( xn−1 , xn−1 ) ( y, xn ) g ( x1 , x2 ,K , xn ) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) 0 . . . . y= ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) . . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) 0 x1 x2 K xn y (3.3.21) yazılabilir. Çünkü ; (3.3.21) n. sütuna göre açılırsa ; y . g ( x1 , x2 , K , xn ) ÷ g ( x1 , x2 , K , xn ) = y olur. Şimdi (3.3.21) ’e , (3.3.18) eklenerek ; ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) 0 ( x1 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y, x1 ) . . . . . . . . + . . . . ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) ( x1 , xn ) K ( xn , xn ) 0 0 x1 xn y x1 xn K K y + (− s ) = g ( x1 , x2 , K, xn ) ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) ( y, x1 ) . . = ÷ g ( x1 , x2 , K, xn ) . ( x1 , xn ) ( x2 , xn ) K ( xn , xn ) ( y, xn ) x1 x2 xn y K (3.3.19) elde edilir. Sonuç 3.3.6 : x1 , x2 , K, lineer bağımsız ve x1* , x2* , K ’lar , x1 , x2 , K ’lerin Gram-Schmidt ’e göre ortonormalleştirilmişleri olsunlar. O zaman ; 55 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI xn* = Oray OR ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) . . . . . . ( x1 , xn−1 ) ( x2 , xn−1 ) K ( xn , xn−1 ) x1 x2 K xn 1 g (x1 , K, xn−1 ) g ( x1 , K, xn ) (3.3.22) n >1 , x1 g ( x1 ) x1* = dir. xn* ’daki ann başkatsayısı ann = g ( x1 , K , xn−1 ) g ( x1 , K , xn ) n >1 , (3.3.23) şeklinde verilir. min xn − (a1 x1 + K + an−1 xn−1 ) İspat : ai minimum problemini düşünelim. Sonuç 2.5.7 ’ye uygun olarak bu minimum probleminin çözümü ; xn* = xn − (a1 x1 + K + an−1 xn−1 ) , ann > 0 ann (3.3.24) şeklinde verilir. Yani , a1 x1 + K + an−1 xn−1 kombinasyonu ∑ (x , x ) x n −1 k =1 n * k * k ifadesine eşit olduğu zaman , bu kombinasyon xn ’ye bir en iyi yaklaşıktır. (2.3.6) ’ya göre , n −1 ( ) yn = xn − ∑ xn , xk* xk* ve k =1 56 yn = xn* ann 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR olur. Buradan ; ∑ (x , x ) x n −1 k =1 n * k * k = xn − y n = xn − a1 x1 + K + an−1 xn−1 = xn − xn* ann xn* ann (3.3.24) yazılabilir. (3.3.19) ’a göre , ( x1 , x1 ) K ( xn−1 , x1 ) ( xn , x1 ) . . xn − (a1 x1 + K + an−1 xn−1 ) = ÷ g ( x1 , K , xn−1 ) . ( x1 , xn−1 ) K ( xn−1 , xn−1 ) ( xn , xn−1 ) x1 xn−1 xn K (3.3.25) dır. Sonuç 2.3.5 ’ten ; yn = 1 ann olup , (3.3.24) ’ün her iki tarafın normu ve minimumu alınır ve Sonuç 2.5.7’den ; xn* 1 = = min xn − (a1 x1 + K + an xn ) ai ann ann elde edilir. Teorem 3.3.4 ’ten ; δ2 = g ( x1 ,K , xn , y ) g ( x1 ,K , xn ) olduğundan , bu minimum = olur. Buradan 57 g ( x1 , K , xn ) g ( x1 , K , xn−1 ) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI 1 = ann g ( x1 , K , xn ) g ( x1 , K , xn−1 ) Oray OR ⇒ ann = g ( x1 , K , xn−1 ) g ( x1 , K , xn ) olur ve böylece (3.3.23) elde edilir. Dolayısıyla , ( x1 , x1 ) K ( xn−1 , x1 ) ( xn , x1 ) . * . xn = ÷ g ( x1 , K , xn ) . ann ( x1 , xn−1 ) K ( xn−1 , xn−1 ) ( xn , xn−1 ) x1 xn−1 xn K olur. Burada ann yerine yazılır ve gerekli düzenleme yapılırsa , xn* = 1 g (x1 , K , xn−1 ) g ( x1 , K , xn ) ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) K ( xn , x1 ) . . . . . . ( x1 , xn−1 ) ( x2 , xn−1 ) K ( xn , xn−1 ) x1 x2 K xn (3.3.22) elde edilir. Örnek 3.3.1 : x1 = 1 , x2 = x , x3 = x 2 , K olmak üzere , Legendre polinomları Sonuç 3.3.6 ’dan da elde edilebilir. P0* ( x) = x1 = g ( x1 ) 1 1 1 = = g (1) (1,1) 2 58 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI P1* ( x) = = = Oray OR ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) 1 x1 x2 g ( x1 ) g ( x1 , x2 ) (1,1) ( x,1) 1 ( x , x ) ( x1 , x2 ) 1 x 2 1 1 ( x2 , x1 ) ( x2 , x2 ) 3 x 2 ( x1 , x1 ) ( x2 , x1 ) ( x3 , x1 ) 1 ( x1 , x2 ) ( x2 , x2 ) ( x3 , x2 ) g ( x1 , x2 ) g ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 P2* ( x) = 1 = 4 32 3 135 = 2 0 23 0 23 0 1 x x2 1⎞ 3 ⎛ 10 ⎜ x 2 − ⎟ 4 3⎠ ⎝ M şeklinde devam edilerek Legendre polinomları elde edilir. 59 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 3.4 Gram Determinantın Özellikleri Teorem 3.4.1 : Gram determinantı g ( x1 , x2 , K , xn ) aşağıdaki özelliklere sahiptir. (a) (b) (c ) (d ) ( e) g , arg ümentlerinin simetrik fonksiyonudur. g (x1 , K, σx j , K, xn ) = σ g (x1 , x2 , K, xn ) 2 g (x1 , K, x j + σxk , K, xn ) = g ( x1 , x2 , K, xn ) , j≠k ″ ′ ″ ′ g 1 2 ⎛⎜ x1 + x1 , x2 , K, xn ⎞⎟ ≤ g 1 2 ⎛⎜ x1 , x2 , K, xn ⎞⎟ + g 1 2 ⎛⎜ x1 , x2 , K, xn ⎞⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ g ( x1 , K, xn ) ≤ g (x1 , K, x p ) g (x p+1 , K, xn ) , 1 ≤ p < n ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ (3.4.1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (e) ’deki eşitlik hali ancak ve ancak (x , x ) = 0 i j , 1≤ i ≤ p , p +1 ≤ j ≤ n olması durumunda sağlanır. İspat : (a) ve (b) durumları daha önce gösterildi. (c) ( 3.4.1)(c ) şıkkında verilen eşitsizliğin sol tarafındaki determinanta (1) , sağ tarafındaki determinanta (2) diyelim. ( x1 , x1 ) K ( x1 , xk ) K ( x1 , x j ) K ( x1 , xn ) M (1) g (x1 , K , xk , K , x j , K , xn ) = M ( xk , x1 ) K ( xk , xk ) K ( xk , x j ) K ( xk , xn ) M M ( x j , x1 ) K ( x j , xk ) K ( x j , x j ) K ( x j , xn ) M M ( xn , x1 ) K ( xn , xk ) K ( xn , x j ) K ( xn , xn ) 60 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR (2) ( x1 , x1 ) K ( x1 , x j + σxk ) K ( x1 , xn ) M M g (x1 ,K , xk ,K , x j + σxk ,K , xn ) = ( x j + σxk , x1 ) K ( x j + σxk , x j + σxk ) K ( x j +σxk , xn ) M M ( xn , x1 ) K ( xn , x j + σxk ) K ( xn , xn ) Önce j. sütun elemanları , örneğin ; ( xi , x j + σxk ) = ( xi , x j ) + σ ( xi , xk ) olduğundan , (2) aşağıdaki gibi yazılabilir. ( x1 , x1 ) K ( x1 , xk ) K M ( xk , x1 ) K ( xk , xk ) K M ( x j , x1 ) K ( x j , xk ) M ( xn , x1 ) K ( xn , xk ) K ( x1 , x j + σxk ) K ( x1 , xn ) ( xk , x j + σ x k ) K ( xk , x n ) ( x j + σ xk , x j + σ x k ) K ( x j , xn ) ( xn , x j + σxk ) K ( xn , xn ) dır. j. satır elemanları da , ( x j + σxk , xi ) = ( x j , xi ) + σ ( xk , xi ) olmak üzere , yukarıda j. sütun için yapılanlar j. satır için yapılırsa ve sağ taraf yeniden yazılırsa (1) determinantı elde edilir. Böylece (c) sağlanmış olur. (d) Burada x2 , x3 , K , xn ’in lineer bağımsız olduğunu varsayabiliriz. Aksi taktirde (3.4.1)(d) ’nin elemanları sıfır olur ve hem de eşitsizlik aşikar olur. Şimdi , x2 , x3 , K , xn ’leri ortonormalleştirelim ve x2* , x3* , K , xn* ortonormal vektörleri adını verelim. O zaman Teorem 2.5.1 ve (3.3.15) ’den , n δ = min x1′ + x1″ − (a2 x2 + K + an xn ) = x1′ + x1″ − ∑ ⎛⎜ x1′ + x1″ , xi* ⎞⎟ xi* ai i =1 61 ⎝ ⎠ 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ve ′ ″ g ⎛⎜ x1 , K , xn , x1 + x1 ⎞⎟ ⎠ δ2 = ⎝ g ( x2 , K , xn ) ⇒ ′ ″ g 1 2 ⎛⎜ x1 + x1 , x2 , K , xn ⎞⎟ ⎠ ⎝ δ= g 1 2 ( x2 , K , xn ) olur. Dolayısıyla buradan ; ′ ″ g 1 2 ⎛⎜ x1 + x1 , x2 , K , xn ⎞⎟ ⎝ ⎠ = min x ′ + x ″ − (a x + K + a x ) n n 1 1 2 2 12 ai g ( x 2 , K , xn ) ′ ″ n ′ ″ = x1 + x1 − ∑ ⎛⎜ x1 + x1 , xk* ⎞⎟ xk* ⎠ k =2 ⎝ n ′ ″ n ′ ″ = x1 + x1 − ∑ ⎛⎜ x1 , xk* ⎞⎟ xk* − ∑ ⎛⎜ x1 , xk* ⎞⎟ xk* ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k =2 k =2 ″ n ″ ′ n ′ = x1 − ∑ ⎛⎜ x1 , xk* ⎞⎟ xk* + x1 − ∑ ⎛⎜ x1 , xk* ⎞⎟ xk* ⎠ ⎠ k =2 ⎝ k =2 ⎝ ′ n ′ ′ n ″ ≤ x1 − ∑ ⎛⎜ x1 , xk* ⎞⎟ xk* + x1 − ∑ ⎛⎜ x1 , xk* ⎞⎟ xk* ⎠ ⎠ k =2 ⎝ k =2 ⎝ ′ ″ g 1 2 ⎛⎜ x1 , x2 , K, xn ⎞⎟ g 1 2 ⎛⎜ x1 , x2 , K , xn ⎞⎟ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠ ≤ g 1 2 ( x2 , K , xn ) g 1 2 ( x 2 , K , xn ) olur. Buradan ; ′ ″ ′ ″ g 1 2 ⎛⎜ x1 + x1 , x2 , K , xn ⎞⎟ ≤ g 1 2 ⎛⎜ x1 , x2 , K , xn ⎞⎟ + g 1 2 ⎛⎜ x1 , x2 , K , xn ⎞⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ elde edilir ve böylece (d) sağlanır. (e) k , 1 ≤ k < p şartını sağlasın. O zaman sol tarafta daha fazla terim olduğundan , 62 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR min xk − (ak +1 xk +1 + K + a p x p + an xn ) a1 2 ≤ min xk − (bk +1 xk +1 + K + b p x p ) 2 bj olur. Benzer şekilde , min x p − (c p+1 x p+1 + K + cn xn ) cj 2 ≤ xp 2 olur. Teorem 2.7.4 ’ten , g ( xk , xk +1 , K , xn ) g (xk , xk +1 , K , x p ) ≤ g ( xk +1 , K , xn ) g (xk +1 , K , x p ) ve g (x p , x p+1 , K , xn ) g (x p +1 , K , xn ) ≤ g (x p ) k = 1 , k = 2 , K , k = p −1 olur. Özellikle (2.8.2) ’de g ( x1 , K , xn ) g (x1 , K , x p ) ≤ g ( x2 , K , xn ) g (x2 , K , x p ) g ( x2 , K , xn ) g (x2 , K , x p ) ≤ g ( x3 , K , xn ) g (x3 , K , x p ) . . . g (x p , K , xn ) g (x p +1 , K , xn ) ≤ g (x p ) elde edilir. Bu eşitsizlikleri taraf tarafa çarparsak ; g ( x1 , K , xn ) ≤ g (x1 , K , x p ) g (x p +1 , K , xn ) 63 (3.4.2) (3.4.3) için ; ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ (3.4.4) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI veya Oray OR g ( x1 , K , xn ) ≤ g (x1 , K , x p ) g (x p+1 , K , xn ) (3.4.5) elde edilir. Şimdi ; (3.4.5) ’deki eşitlik hali sağlanabilir ⇔ (3.4.4) ’deki her bir bağıntı sağlanmalıdır. Yani , ancak ve ancak min x p − (c p +1 x p +1 + K + cn xn ) 2 cj = xp 2 (3.4.6) ve min xk − (ak +1 xk +1 + K + an xn ) = min xk − (bk +1 xk +1 + K + b p x p ) aj bj 2 , k = 1,2, K , p − 1 (3.4.7) olmalıdır. Sonuç 2.5.3 ’ten N min y − ∑ ai xi ai 2 N ( = y − ∑ y, xi* 2 i =1 ) 2 i =1 ifadesi ancak ai = ( y, xi* ) ise sağlanırdı. Dolayısıyla , (3.4.6) ancak ve ancak (xp , x j ) = 0 , j = p + 1, K , n ise sağlanır. Çünkü ; Teorem 2.5.3 ’ten; min x p − (c p+1 x p+1 + K + cn xn ) cj dır. Şimdi de k = p − 1 için (3.4.7) 64 2 = xp 2 − ∑ (x n j = p +1 * p, xj ) 2 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR min x p−1 − (a p x p + K + an xn ) 2 aj ( n x p−1 − ∑ x p−1 , xi* 2 ) 2 i= p ∑ (x n i= p (x p −1 p −1 , xi* ) ) + x p−1 , x*p , x*p ∑ (x n i = p +1 p −1 2 , xi* ) 2 2 = min x p−1 − b p x p bp ( 2 = x p−1 − x p −1 , x*p ( 2 ) 2 = x p−1 , x*p ) ( + K + x p−1 , xn* = x p−1 , x*p ) 2 2 ( ) ( ) 2 =0 olur. Buradan ; (x p −1 , xi* ) 2 =0 ⇒ (x p −1 ) (x , xi* = 0 ⇒ p −1 ) , xi* = 0 , j = p + 1, p + 2, K , n olur. Böylece ; x p −1 ⊥ x p+1 , x p + 2 , K , xn olur. k = p − 2, p − 3, K ,1 alınarak benzer sonuçla elde edilir ve ortogonallik durumları sağlanır. Gram determinantı çok dikkat çekici bir geometrik yoruma sahiptir. R n ’de xi = (xi1 , xi 2 , K , xin ) şeklinde n vektör verilsin. Bu vektörler , hacmi V = V ( x1 , x2 , K , xn ) tarafından belirlenmiş olan belirli n boyutlu bir paralelyüzün köşeleridir. V , x11 x21 . V= . . xn1 x12 K x1n x22 K x2 n . . . xn 2 K xnn determinantının açık değeri şeklinde gösterilebilir. 65 (3.4.8) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR x3 x2 x1 Şekil 3.4.1 R 3 ’te paralelyüz (3.4.8) ’deki determinantı transpozu ile çarparsak ; ( x1 , x1 ) ( x1 , x2 ) K ( x1 , xn ) . . = g ( x1 , K , xn ) V2 = . . . . ( xn , x1 ) ( xn , x2 ) K ( xn , xn ) (3.4.9) determinantını elde ederiz. Böylece , V ( x1 , K , xn ) = g ( x1 , K , xn ) olur. 66 (3.4.10) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 3.5 Kapalılık ve Sonuçları Tanım 3.5.1 : X normlu bir vektör uzayı ve X ’de elemanların sonlu veya sonsuz bir sistemi x1 , x2 , K , olsun. Her x ∈ X elemanına xi ’lerin sonlu lineer kombinasyonu ile keyfi olacak şekilde yaklaşabiliyorsa bu sonlu veya sonsuz sisteme kapalıdır denir. Yani, x ∈ X ve ε > 0 için ; x − (a1 x1 + a2 x2 + K + an xn ) ≤ ε (3.5.1) olacak şekilde a1 , a2 , K , an sabitlerini bulabiliriz. Örnek 3.5.1 : R n veya C n ’de n bağımsız vektörün her kümesi kapalıdır. xi ’ler lineer bağımsız olduğundan ; g ( x1 , x2 , K , xn ) > 0 dır. Eğer xi = (xi1 , xi 2 , K , xin ) ise , o zaman , g ( x1 , K , xn ) = dır ve buradan xij ≠ 0 x11 K x1n . . x11 K xn1 . . . . . . xn1 K xnn . . . . x1n K xnn dır. Verilen her y , y = a1 x1 + a2 x2 + K + an xn sistemi ai ’ler için çözülmüştür. 67 > 0 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Örnek 3.5.2 : X = C[a, b] , Oray OR f = max f ( x) a ≤ x ≤b normu ile tanımlanmış olsun. 1, x, x 2 , K , sistemi C[a, b] ’de kapalıdır. Çözüm : f sürekli olduğundan , Weierstrass Teoreminden ( Teorem 6.1.1 DAVIS,P.J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc.,New York (1975) ) ∀ ε > 0 için f ( x) − Pn ( x) = max f ( x) − Pn ( x) ≤ ε a ≤ x ≤b olacak şekilde Pn ( x) = a0 + a1 x + K + an x n vardır. Dolayısıyla {1, x, x ,K, x ,K } 2 n kapalıdır. b Örnek 3.5.3 : X = L[a, b] , f = ∫ f ( x) dx normuyla tanımlanmış a olsun. 1, x, x 2 , K , sistemi X ’de kapalıdır. Lp [a, b] ( mutlak değeri p. dereceden integrallenebilir fonksiyonlar uzayı ) bir vektör uzayı olmak üzere , (DAVIS,P.J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc.,New York (1975) ) Teorem 1.4.0 (e) yani ; Eğer p ≥ 1 olmak üzere f ∈ Lp [a, b] , p ≥ 1 , ise , o zaman , her ε > 0 için b ∫ f ( x) − g ( x) dx ≤ a ε 2 olacak şekilde sürekli bir g (x) fonksiyonu bulabiliriz. g sürekli olduğundan , ∀ ε 2(b − a) için ∃ p polinomu öyle ki ∀ a ≤ x ≤ b için 68 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR g ( x) − p ( x) ≤ ε 2(b − a) dir. Son ifadede her iki tarafın integrali alınırsa , b ∫ a ε b g ( x) − p( x) ≤ ∫ a 2(b − a ) dx = ε 2 dır. Böylece ; integraller için (7.2.17) Minkowski eşitsizliğinden ( DAVIS,P.J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc.,New York (1975) ) ; b ∫ a b f ( x) − p ( x) dx = ∫ f ( x) − g ( x) + g ( x) − p ( x) a ⎞ ⎞ ⎛b ⎛b ≤ ⎜⎜ ∫ f ( x) − g ( x) dx ⎟⎟ + ⎜⎜ ∫ g ( x) − p ( x) dx ⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎝a ⎝a ≤ ε 2 + ε 2 =ε olur. Örnek 3.5.4 : X , z ≤ 1 ’de olan analitik fonksiyonların kümesi olsun. f = max f ( z ) z ≤1 olmak üzere , z , z 2 , z 3 , K , X ’de kapalı değildirler . Eğer kapalı olsalardı , her ε > 0 için ; ( ) max 1 − a1 z + a2 z 2 + K + an z n ≤ ε z ≤1 olacak şekilde a1 , a2 , K , an sabitleri bulunabilirdi. Eşitsizlikte , özellikle z = 0 konulursa 1≤ ε 69 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI olur. Bu ise ε = Oray OR 1 seçilirse bir çelişkidir. 2 Kapanışın anlamına bakmadan önce , bazı genel topolojik kavramları hatırlatmak yararlı olacak. X , d ( x, y ) uzaklık fonksiyonu ile tanımlı bir metrik uzay olsun . Eğer x0 ∈ X ise , d (x, x0 ) < r şartını sağlayan x ∈ X elemanlarının tümünü içeren U ( x, x0 ) kümesine bir açık yuvar adı verilir. S bir metrik uzay ve x ∈ S olsun. Eğer U ( x, r ) ⊆ S olacak şekilde bir r > 0 sayısı varsa , x ∈ S ’ye S ’nin bir iç elemanı denir. Bir metrik uzayda ve dolayısıyla normlu bir vektör uzayında yakınsaklık şu şekilde tanımlanabilir. Tanım 3.5.2 : X bir metrik uzay ve {xn } , X ’de elemanların bir dizisi olsun. Eğer x ∈ X için , lim d ( x, xn ) = 0 (3.5.2) n →∞ ise , {xn } dizisine x elemanına yakınsaktır denir. Normlu bir uzayda (3.5.2) , (3.5. 2′ ) lim x − xn = 0 n →∞ ifadesine eşit olur. Yakınsak bir dizinin limiti tektir. Kabul edelim ki xn dizisinin iki limiti olsun. Yani ; lim d ( x, xn ) = 0 ve n →∞ lim d ( y, xn ) = 0 n→∞ olsun. Metrik uzay olma eşitsizliklerinden olan üçgen eşitsizliğinden ; 0 ≤ d ( x, y ) ≤ d ( x, x n ) + d ( y , x n ) dır. n → ∞ için d (x, y ) = 0 elde ederiz ve böylece 70 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR x= y olur. Sonuç olarak lim x − x n = 0 ise , {xn } dizisinin limiti x ’dir denir ve n →∞ lim xn = x n→∞ (3.5.3) şeklinde gösterilir. (3.5. 2′ ) normda yakınsaklık olarak adlandırılır. Eğer norm bir integral ile tanımlanmış ise yakınsaklık ortalama yakınsaklık olarak adlandırılır. Fonksiyonların normlu vektör uzayları olması halinde , yakınsaklık türleri (noktasal,düzgün) diğer yakınsaklık türlerinden farklıdır. Normlu uzayda fonksiyonların bir dizisi noktasal yakınsak olmadan yakınsak olabilir. Bu nedenle , bu ayırım her zaman yapılmalıdır. X bir metrik uzay ve S ⊆ X olsun. S ile S ’nin kapanışını göstermek üzere S , S ’nin yakınsak dizilerinin bütün limitlerinin kümesi olarak tanımlanır. S ⊆ S olduğu açıktır. ( Çünkü ; s ∈ S olmak üzere sn = s ( sabit ) alırsak lim sn = s ∈ S olup S ⊆ S dir.) n →∞ Eğer S = S ise S ’ye kapalıdır denir. S = X ise S kümesine X ’de yoğundur denir. X sayılabilir yoğun bir alt kümeye sahip ise X ’e ayrılabilirdir denir. Eğer lim xn = x n→∞ ise , o zaman , d ( x m , x n ) ≤ d ( x , x m ) + d ( x, x n ) olduğundan bütün m , n > N (ε ) için d ( xm , xn ) ≤ ε yazabiliriz. Ancak rasyonel sayıların metrik uzayı olarak alındığı taktirde ( d ( x, y ) = x − y ile ) bunun tersi doğru değildir. Önemli olan bunun doğru olduğu uzaylarda tartışmaktır. 71 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR Tanım 3.5.3 : X bir metrik uzay ve {xn } , X ’in elemanlarının bir dizisi olsun. Her ε > 0 ve tüm m, n ≥ N (ε ) için d ( xm , xn ) ≤ ε olacak şekilde bir N (ε ) sayısı varsa {xn } ’e bir Cauchy dizisi denir. Eğer her Cauchy dizisi X ’de bir limite sahipse X uzayına tamdır denir. Eğer X tam normlu bir vektör uzayı ise ve her ε > 0 için , xm − x n ≤ ε , m, n ≥ N (ε ) (3.5.4) olacak şekilde N (ε ) sayısı bulunabiliyorsa o zaman , lim x − xn = 0 (3.5.5) n→∞ olacak şekilde bir x ∈ X vardır. Tam normlu bir vektör uzayı Banach uzayı olarak adlandırılır. Örnek 3.5.5 : X = C[−1,1] uzayı f 2 1 = ∫ ( f ( x)) dx 2 normu ile verislsin. −1 ⎡ n ⎤ f n ( x) = ⎢ 4 2 ⎣1 + n x ⎥⎦ 12 olsun. O zaman , 0 − fn 2 1 = 1 ( ( )) n n 2 ∫−11 + n 4 x 2 dx = −∫11 + n 2 x 2 dx = n Arc tan n x ( ) 72 1 = −1 2 Arc tan n 2 → 0 n 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI dır. Çünkü x ∈ R için Arc tan x ≤ Oray OR π 2 dir. Noktasal yakınsak ise x ∈ [−1,1] için f n ( x) → f ( x) dir. O halde f n (0) → f (0) = 0 olmalıdır. Ancak , f n (0) → ∞ ’dur. Örnek 3.5.6 : C n kompleks Öklid uzayı tamdır ve böylece bir Banach uzayıdır. x = y + iz , C n ’de bir Cauchy dizisi olsun. R ’nin tamlığı bilindiğinden y ve z gerçel sayı dizileri Cauchy dizisidirler ve yakınsaktırlar. y→a ⎫ ⎬ x → a + ib z →b ⎭ dir. Dolayısıyla C n tamdır. Örnek 3.5.7 : C[a, b] uzayı üzerinde f = max f ( x) normu tanımlansın. a ≤ x ≤b Bu uzay tamdır. Eğer ; max f m ( x) − f n ( x) ≤ ε a ≤ x ≤b , m, n > N (ε ) (*) ise , o zaman , f m ( x) dizisi [a, b] üzerinde düzgün yakınsaktır. Herhangi bir t ∈ [a, b] için de , f m (t ) − f n (t ) ≤ ε dır. Bu ise f m (t ) ’nin bir Cauchy dizisi olduğunu gösterir. Hatta ( f1 (t ), f 2 (t ),K ,) dizisi reel terimli bir Cauchy dizisidir. R tam olduğundan bu dizi yakınsaktır. m → ∞ için f m (t ) → f (t ) olur. Bu şekilde her t ∈ [a, b] noktasıyla bir tek reel f ( x) sayısı eşleyebiliriz. Bu ise [a, b] üzerinde bir f ( x) fonksiyonu tanımlar. ( * ) ’da n → ∞ için , max f ( x) − f n ( x) ≤ ε a ≤ x ≤b , a ≤ x ≤ b , n ≥ N ′(ε ) olacak şekilde f ( x) fonksiyonu vardır ve bu f n ’nin f ’e bu normda yakınsadığını gösterir. f n ’lerin sürekli ve yakınsaklığın düzgün olması nedeniyle, 73 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR limit fonksiyonu olan f ( x) ’de [a, b] üzerinde süreklidir. O halde f ( x) ∈ C[a, b] ’dir. O halde C[a, b] tamdır. Örnek 3.5.8 : X = C[a, b] uzayı , 2 f b = ∫ f ( x) dx normu ile 2 a tanımlanmış ise X tam değildir. Bu, X ’de bir elemana yakınsak olmayan bir Cauchy dizisi bularak gösterilebilir. Çözüm : Kolaylaştırmak için a = −1 , b = 1 alalım ve f n ( x) sürekli fonksiyonu ⎧ ⎪− 1 ⎪ ⎪ ⎪⎪ f n ( x) = ⎨nx ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 ⎪⎩ −1 ≤ x ≤ − −1 n 1 1 ≤x≤ n n 1 ≤ x ≤1 n olsun. f ( x) , ⎧− 1 ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪1 ⎩ −1 ≤ x ≤ 0 0 < x ≤1 sürekli olmayan fonksiyon olsun. Şimdi f ( x) − f n ( x) 2 = 0 1n −1 n 0 2 2 ∫ (− 1 − nx ) dx + ∫ (1 − nx ) dx = olur. Bundan dolayı lim f − f n n →∞ 2 =0 olur. f n (normda) f ’e yakınsaktır ve üstelik , 74 2 3n 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR fn − fm = fn − f + f − fm ≤ fn − f + fm − f ≤ olduğundan ε 2 + ε 2 =ε f n bir Cauchy dizisidir . Yakınsadığı f ise bu uzayın bir elemanı olmadığından , X uzayı tam değildir. Teorem 3.5.1 : x1* , x2* , K , ’ler bir X iç çarpım uzayında ortonormal elemanların bir dizisi olsun. Bu dizi yalnızca sonlu sayıda elemanlardan da oluşmuş olabilir. Aşağıdaki yedi ifadeyi göz önüne alalım. (A) xi* ’lar X ’de kapalıdır. (B) Her y ∈ X elemanının Fourier serisi normda y ’ye yakınsar ; yani , n ( ) lim y − ∑ y, xk* xk* = 0 n→∞ (3.5.6) k =1 dır. (C) Parseval özdeşliği sağlanır. Yani , her y ∈ X için , y 2 ∞ = ( y, y ) = ∑ n =1 ( y, x ) * n 2 (3.5.7) ( C ′) Genişletilmiş Parseval özdeşliği sağlanır. Yani , her x, y ∈ X için , (x, y ) = ∑ (x, xn* )(xn* , y ) ∞ n =1 dır. (D) x1* , x2* , K , ’ı içeren daha büyük ortonormal sistem yoktur. 75 (3.5.8) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR (E) x1* , x2* , K , elemanları tamlık özelliğine sahiptir. Yani y ∈ X ve (y, x ) = 0 * k , k = 1,2, K ise y = 0 ’dır. (F) X ’in bir elemanı , onun Fourier katsayıları tarafından tek olarak belirlenir. Yani , ( ) ( eğer w, xk* = y, xk* ) ise , o zaman w = y , k = 1,2, K , dir. O halde A ⇔ B ⇔ C ⇔ C′ ⇒ D ⇔ E ⇔ F (3.5.9) olur. Eğer X tam bir iç çarpım uzayı ise D ⇒ C olur ve böylece tüm bu yedi durum denktirler. Yani , A ⇔ B ⇔ C ⇔ C′ ⇔ D ⇔ E ⇔ F (3.5.10) olur. İspat : A ⇔ B olduğunu gösterelim. (⇒ ) A doğru olsun. (2.5.1) ’den ; n ( ) n y − ∑ y, xk* xk* ≤ y − ∑ ak xk* k =1 k =1 dır. A ’dan dolayı ve (3.5.1) gereğince son ifade n y − ∑ ak xk* ≤ ε k =1 şeklinde yazılabilir. Bu da B ’nin yani (3.5.6) ’nın sağlanması demektir. Çünkü , her ε > 0 ve n ≥ n0 için ( n y − ∑ y, xk* xk* ) ≤ε k =1 olacak şekilde bir n0 ∈ N vardır. O halde n ( ) lim y − ∑ y, xk* xk* = 0 n→∞ k =1 dır. A ⇒ B sağlanır. 76 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR (⇐) B doğru olsun. O halde , bir y elemanına onun Fourier serileriyle yaklaşabiliriz. Böylece B ⇒ A sağlanır. O halde A ⇔ B dir. B ⇒ C ′ olduğunu gösterelim. B sağlansın. Ortogonallikten ; n n n n ⎛ ⎞ ⎜ x − ∑ x, xk* xk* , y − ∑ y, xk* xk* ⎟ = ( x, y ) − ∑ y, xk* x, xk* − ∑ x, xk* xk* , y + k =1 k =1 k =1 k =1 ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( n ( )( )( )( ( )( ) + ∑ x, xk* y, xk* xk* , xk* ( )( ( ) ) ) k =1 n = ( x, y ) − ∑ x, xk* xk* , y ) k =1 Schwarz eşitsizliğinden ; n n n ⎛ ⎞ ⎜ x − ∑ x, xk* xk* , y − ∑ y, xk* xk* ⎟ = (x, y ) − ∑ x, xk* xk* , y k =1 k =1 k =1 ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( n ( )( ) ≤ x − ∑ x, xk* xk* k =1 ) n y − ∑ y, xk* xk* k =1 dır. B sağlandığından sağ tarfataki her iki ifade de n → ∞ için sıfıra yaklaşır. Buradan (x, y ) − ∑ (x, xk* )(xk* , y ) n =0 k =1 olur. Böylece , (x, y ) = ∑ (x, xn* )(xn* , y ) ∞ n =1 77 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI olur. Dolayısıyla Oray OR B ⇒ C ′ dir. Her y ∈ X için sağlandığından , C ′ ’nde x = y seçilerek son ifade ( y, y ) = ∑ (y, xn* )(xn* , y ) ∞ n =1 şeklinde yazılır. Bu ise ( ∞ y = ( y, y ) = ∑ y, xn* ) 2 n =1 demektir. Buradan C ′ ⇒ C sağlanır. Şimdi C ⇒ B olduğunu gösterelim. C sağlansın. Sonuç 2.5.3 ’ten n ( ) 0 ≤ y − ∑ y, x x * k k =1 2 2 = y * k ( n − ∑ y, xk* ) 2 k =1 olup, n → ∞ için her iki tarafın limiti alınırsa ; 0 ≤ lim n→∞ y − ∑ ( y, x )x n * k k =1 2 * k ⎛ = lim ⎜ y n →∞ ⎝ 2 ( n − lim ∑ y, xk* n →∞ ) k =1 olur. (3.5.7) ’den bu n ( ) 0 ≤ lim y − ∑ y, x x n →∞ k =1 * k 2 2 = y * k ∞ k =1 olur. Buradan ; n ( ) lim y − ∑ y, x x n→∞ k =1 * k 2 * k olur. O halde C ⇒ B sağlanır. Böylece A ⇔ B ⇔ C ⇔ C′ sağlanmış olur. Şimdi de A ⇒ D olduğunu gösterelim. A ⇔ B olduğunu biliyoruz. ( (B ⇒ C ′ ) ’deki gibi ) 78 ( − ∑ y, x =0 * k ) 2 =0 2 ⎞ ⎟ ⎠ 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR ⎛ ⎡n ⎤ ⎞⎛ ⎡n ⎤⎞ ⎜⎜ x − ⎢∑ x, xk* xk* + ( x, w)w⎥ ⎟⎟⎜⎜ y − ⎢∑ y, xk* xk* + ( y, w)w⎥ ⎟⎟ ⎣ k =1 ⎦ ⎠⎝ ⎣ k =1 ⎦⎠ ⎝ ( ) ( ) ⎡n ⎤ = ( x, y ) − ⎢∑ x, xk* xk* , y + ( x, w)(w, y )⎥ ⎣ k =1 ⎦ ( )( ) olup , n → ∞ limit alınırsa ( ( B ⇒ C ′ ) ’deki gibi ) (x, y ) = ∑ (x, xk* )(xk* , y ) + (x, w)(w, y ) ∞ k =1 olur. x = y ve y = w alınırsa w 2 ( ∞ = (w, w) = ∑ w, xk* ) 2 + (w, w) 2 (1) k =1 olur. (2.9.8) ’den 2 w ∞ ( = (w, w) = ∑ w, xk* ) 2 (2) k =1 olur. (1) ve (2) den (w, w) olur. =0 ⇒ (w, w) = 0 w = 1 olduğundan bu bir çelişkidir. O halde A ⇒ D sağlanır. Şimdi D ⇔ E olduğunu gösterelim. ( ⇒ ) Burada D ⇒ E yerine ( E ′ ⇒ D′ olduğunu göstereceğiz. ) Varsayalım ki y ∈ X ve y, xk* = 0 olacak şekilde y ≠ 0 var olsun. O halde x1* , x2* , K , y y sistemi , x1* , x2* , K , sisteminden daha geniş bir ortonormal sistem olmuş olur. Bu ise D′ ’ünü verir. O halde E ′ ⇒ D′ olur. Olmayana ergi metodundan D ⇒ E sağlanır. 79 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR (y, x ) = 0 ( ⇐ ) E doğru olsun. Yani y ∈ X ve halde x1* , x2* , K , y y ; x1* , x2* , K , * k ⇒ y = 0 olsun. O ’dan daha geniş bir ortonormal sistem olamaz. Çünkü ; y = 0 ’dır. Dolayısıyla y y şeklinde bir vektör bulamayız. O halde E ⇒ D sağlanır. Böylece D ⇔ E sağlanmış olur. Şimdi de E ⇔ F olduğunu gösterelim. ( ) ( ( ⇒ ) E doğru olsun. Farzedelim ki w, xk* = y, xk* ) , k = 1,2, K , olsun. O zaman (w − y, x ) = 0 , k = 1,2, K , * k olur. E ’den dolayı w− y = 0 ⇒ w= y dir. Böylece E ⇒ F sağlanır. ( ⇐ ) Burada yine olmayana ergi metodunu kullanarak , F ⇒ E yerine E ' ⇒ F ' olduğunu gösterceğiz. E yanlış olsun. Yani , (z, x ) = 0 * k , k = 1,2, K , olacak şekilde bir z ≠ 0 bulabiliriz. Her y için , (y, x ) = (y + z, x ) * k * k 80 , k = 1,2, K , 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI ( ) ( ) ( dır. Çünkü , y, xk* = y, xk* + z , xk* Oray OR ) ( ) olup , kabulden z , xk* = 0 dır. Böylece y ve y + z aynı Fourier katsayılı iki farklı eleman olur. Bu ise F ' ’ünü verir. Dolayısıyla F ⇒ E sağlanmış olur. Böylece (3.5.9) zinciri tamamlanmış olur. Şimdi F ⇒ B olduğunu göstereceğiz ve böylece (3.5.10) ’daki zinciri kurmuş olacağız. Farzedelim ki X tam ve F doğru olsun. w ∈ X olsun ve n ( ) sn = ∑ w, xk* xk* (3.5.11) k =1 elemanlarını düşünelim. n > m için , s n − sm = ∑ (w, x )x n * k k =m +1 * k yazabiliriz öyle ki sn − sm 2 = ∑ (w, x ) n * k k =m +1 2 (3.5.12) dır. Gerçekten ; sn − sm 2 n ⎛ n ⎞ = (sn − sm , sn − sm ) = ⎜ ∑ w, xk* xk* , ∑ w, xk* xk* ⎟ k = m +1 ⎝ k =m+1 ⎠ ( = ( * k * k ∑ (w, x ) n k = m +1 * k 2 dır. (2.5.3) Bessel eşitsizliğinde n → ∞ limit alınırsa ; n ( lim ∑ w, xi* n→∞ i =1 ) 2 ∞ ( ) = ∑ w, xn* ≤ w n =1 81 ) ∑ (w, x )(w, x )(x , x ) n k = m +1 = ) 2 <∞ * k * k 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR olur. Bu serinin kısmi toplamlar dizisi sınırlı ve dolayısıyla yakınsak olacağından ∀ ε > 0 ve ∀ m, n ≥ N (ε ) için , sn − sm 2 = ∑ (w, x ) n * k k =m +1 2 ≤ε olacak şekilde bir N (ε ) bulabiliriz. Böylece {sn } bir Cauchy dizisidir ve X ’in tamlığının varsayımından bir s ∈ X elemanına yakınsar. Yani , lim s − sn = 0 (3.5.13) n→∞ dır. v sabit ve n ≥ v olsun. O zaman , (s − s , x ) = (s, x ) − (s , x ) = (s, x ) − (w, x ) * v n * v n * v * v * v dır. Çünkü ; ( n ) sn = ∑ w, xk* xk* k =1 olduğundan (s , x ) = ∑ (w, x )(x , x ) = (w, x ) n * v n * k k =1 * k * v * k dır. Schwarz eşitsizliğinden , (s − s , x ) = (s, x ) − (w, x ) ≤ n * v * v * v s − sn xv* = s − sn dır. Bu ifadede n → ∞ limit alınır ve (3.5.13) göz önünde bulundurulursa ; ( ) ( ) 0 ≤ s, xv* − w, xv* ≤ lim s − sn = 0 n→∞ olup (s, x ) = (w, x ) * v * v , v = 1,2, K , elde edilir. F ’den bu s = w olduğunu gösterir ve (3.5.13) 82 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR n ( ) lim w − ∑ w, xk* xk* = 0 n→∞ k =1 şeklinde yazılır. Bu ise kesinlikle B ’dir. O halde F ⇒ B sağlanır. Böylece (3.5.10) zinciri tamamlanır. Tanım 3.5.4 : X bir iç çarpım uzayı ve S ⊂ X olsun. Eğer ∀ x ∈ S için ; ( y, x ) = 0 (3.5.14) iken y = 0 ise S ’ye tamdır denir. Gördüğümüz gibi, tam bir iç çarpım uzayında tamlık ve kapalılık denk kavramlardır. b Örnek 3.5.9 : X = C[a, b] , ( f , g ) = ∫ f ( x) g ( x)dx şeklinde tanımlanmış a olsun. Bir f ∈ C[a, b] ve ε > 0 için, f sürekli olduğundan Teorem 6.1.1 Weierstrass Yaklaşım Teoremi ’nden (DAVIS,P.J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc.,New York (1975) ) ; ( ) f ( x) − a0 + a1 x + K + an x n ≤ ε , a≤ x≤b olacak şekilde ak sabitlerini bulabiliriz. Son ifadede her iki tarafın integrali alınırsa ; ∫ ( f ( x) − (a b 0 + a1 x + K + an x n ) ) dx ≤ ε (b − a ) 2 2 a olur. Bu ifade ise , n n ⎞ ⎛ ⎜ f − ∑ ai x i , f − ∑ ai x i ⎟ = f − Pn ≤ ε b − a i =0 i =0 ⎠ ⎝ 83 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI olup , buradan 1, x, x 2 , K , Oray OR X ’de kapalıdır. xk* elemanlarını Legendre polinomları ile değiştirerek tüm Teorem 3.5.1 A-F durumları izlenir. Özellikle , eğer f ∈ C[a, b] ve eğer ( f , x ) = ∫ f ( x) x dx = 0 b n n , n = 0,1, K , a ise , o zaman , Teorem 3.5.1 (E) ’den f ( x) ≡ 0 dır. Teorem 3.5.2 ( Riesz ) : X bir tam iç çarpım uzayı ve {ak }k =1 dizisi ∞ ∞ ∑ ak k =1 koşulunu sağlayan bir dizi ve {x } * ∞ k k =0 (y, x ) = a * k 2 <∞ ortonormal sistem olsun. Bu durumda k , k = 1,2, K , (3.5.15) olacak şekilde bir y ∈ X vardır. n İspat : sn = ∑ ak xk* elemanlarını göz önüne alalım. k =1 s n − sm 2 n n ⎞ ⎛ n = (sn − sm , sn − sm ) = ⎜ ∑ ak xk* , ∑ ak xk* ⎟ = ∑ ak k = m +1 ⎠ k =m+1 ⎝ k =m+1 ∞ dır. ∑ k =1 ak 2 serisi hipotezden yakınsak olduğundan , ve lim y − sn = 0 n→∞ 84 { sn } 2 (x , x ) = ∑ * k * k n k = m +1 ak 2 bir Cauchy dizisidir 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR olacak şekilde bir y vardır. ( Çünkü ; n U n = ∑ ak 2 olan U n kısmi toplamlar dizisi yakınsaktır. Dolayısıyla bir k =1 Cauchy dizisidir. Yani , m, n ≥ N (ε ) için , U n − U m < ε olacak şekilde bir N (ε ) bulunabilir. Buradan , Un −Um = olduğundan { sn } n ∑ k = m +1 2 ak = sn − s m 2 <ε bir Cauchy dizisidir. ) k sabit ve n ≥ k ile Schwarz ’dan ; y − sn = y − sn xk* ( ) ( ) ≥ y − sn , xk* = y, xk* − ak dır. Son ifadede n → ∞ için limit alınırsa lim y − sn = 0 n→∞ olur. Dolayısıyla , (y, x ) − a * k k =0 ⇒ olup (3.5.15) sağlanır. 85 (y, x ) = a * k k 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR 3.6 Tam İç Çarpım Uzaylarının Geometrik Özellikleri Teorem 2.5.1 ’de verilen bir elemandan bir lineer manifolda minimum bir uzaklığın var olduğunu gördük. Bu kısımda bunu daha genel alt kümelere nasıl genişletebileceğimizi inceleyeceğiz. Teorem 3.6.1 bunun için büyük önemde yeterli bir durum sağlar. Teorem 3.6.1 : X tam bir iç çarpım uzayı olsun. M , X ’in kapalı ( topolojik olarak ) , konveks ve boş olmayan bir alt kümesi olsun. y ∈ X ve d = inf y − x (3.6.1) x∈M şeklinde kuralım. O zaman M ’de ; y − x0 = d (3.6.2) olacak şekilde tek bir x0 vardır. M d x0 y Şekil 3.6.1 İspat : (3.6.1) ’den M ’de lim y − xn = d n→∞ 86 (3.6.3) 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR olacak şekilde xn elemanlarının bir dizisini bulabiliriz. Teorem 2.1.3 Paralelkenar teoreminden ; xm − xn 2 = x m − y + y − xn 2 2 = xm − y − ( xn − y ) 2 2 = 2 xm − y + 2 xn − y − 2 y − xm − xn 2 = 2 xm − y + 2 xn − y 2 −4 y− 2 1 ( x m + xn ) 2 1 (xm + xn ) ∈ M ’dir.Böylece 2 olur. M konveks olduğundan y− 1 ( xm + xn ) 2 2 ≥ d2 elde edilir. Çünkü ; d = inf y − x x∈M x ile y arasındaki uzaklığın en küçüğü d ise, herhangi bir eleman için bu uzaklık d ’den büyük veya en fazla eşit olur. Dolayısıyla , xm − xn 2 ≤ 2 y − xm 2 + 2 y − xn 2 − 4d 2 dir. (3.6.3) ile m, n → ∞ için , xm − xn dır. Bunun anlamı { xn } 2 →0 dizisinin bir Cauchy dizisi olmasıdır. X tam olduğundan (her Cauchy dizisi yakınsaktır ) x m − x0 → 0 olacak şekilde x0 ∈ X vardır. M kapalı olduğundan x0 , M ’dedir. Şimdi , 87 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR y − x0 = y − xn + xn − x0 ≤ y − xn + xn − x0 → d + 0 = d (1) dır. Diğer taraftan , (3.6.1) ’den y − x0 ≥ d (2) dir. Öyleyse (1) ve (2) ’den y − x0 = d dir. Şimdi de x0 ’ın tek olduğunu gösterelim. Farzedelim ki , y − x0 = y − x1 = d 1 (x0 + x1 ) , 2 olacak şekilde x0 ve x1 ’ e sahip olalım. M konveks olduğundan M ’dedir. Böylece d ≤ y− ≤ 1 (x0 + x1 ) = 1 y + 1 x0 + 1 y − 1 x1 2 2 2 2 2 d d 1 1 y − x0 + y − x1 = + = d 2 2 2 2 olur. Buradan y− 1 (x0 + x1 ) = d 2 dir. Paralelkenar teoreminden x0 − x1 2 = 2 y − x0 2 + 2 y − x1 2 −4 y− 1 (x0 + x1 ) 2 2 = 2 d 2 + 2d 2 − 4d 2 =0 olur. Öyleyse x0 = x1 dir. Teorem 3.6.2 : X tam bir iç çarpım uzayı ve M , X ’den farklı kapalı bir alt vektör uzayı olsun. Bu durumda sıfırdan farklı bir z ⊥ M elemanı vardır. Yani , y ∈ M için 88 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR (z, y ) = 0 dır. İspat : w ∉ M olsun. d , d = inf w − y y∈M şeklinde tanımlansın. Teorem 3.6.1 ’den , M ’de w − y0 = d olacak şekilde bir y0 ∈ M elemanı vardır . w − y0 = z diyelim. z ≠ 0 ’dır. Aksi taktirde w = y0 ∈ M olup kabulümüzle çelişir. M vektör uzayı olduğundan , tüm y ∈ M ve tüm c ’ler için , y0 + cy ∈ M ’ dir. Böylece d ≤ w − ( y0 + cy ) = w − y0 − cy = z − cy olur. O zaman , z = w − y0 = d 2 ⇒ z = d2 ve z − cy 2 ≥ d2 = z z − cy 2 − z 2 2 ≥0 dır. Bu , z − cy 2 = ( z − cy, z − cy ) = z 2 − ( z , cy ) − (cy, z ) + c = z olduğundan ; 89 2 2 2 y − c( z , y ) − c( y, z ) + c 2 y 2 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI c 2 y Oray OR 2 − c( y, z ) − c( z , y ) ≥ 0 anlamına gelir. Özel olarak , burada σ gerçel sayı olmak üzere c = σ (z, y ) seçilirse, o zaman tüm σ ’lar için , (z, y ) 2 {σ 2 y 2 } − 2σ ≥ 0 dır. Ancak σ > 0 ve yeterince küçükler için , σ2 y negatiftir. Böylece , (z, y ) 2 2 − 2σ negatif olamayacağından , (z, y ) 2 = 0 olur. Dolayısıyla , (z, y ) = 0 dır. Sonuç 3.6.3 : X tam bir iç çarpım uzayı ve M , X ’den farklı kapalı bir alt vektör uzayı olsun. X ’in , M dışındaki bir elemanını M ’nin elemanlarına birleştiren vektörler arasında minimal uzunluğa sahip olan , M ’ye diktir. Teorem 3.6.4 : M , [a, b] üzerinde konveks olan , derecesi ≤ n olan polinomların kümesini belirtsin. f ( x) ∈ L2 [a, b] olsun. O zaman , min f − p p∈M (3.6.4) problemi tek bir çözüme sahiptir. İspat : Teorem 3.2.1 ( DAVIS,P.J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc.,New York (1975) ) ’den ; Bir p( x) polinomu [a, b] üzerinde konvekstir ancak ve ancak [a, b] üzerinde p′′( x) ≥ 0 dır. 90 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR Eğer p ve q , [a, b] üzerinde konveks iseler , o zaman r = t p ( x) + (1 − t )q ( x) r de 0 ≤ t ≤ 1 için [a, b] üzerinde konvekstir. Hatta r ′′ = t p′′ + (1 − t )q′′ ≥ 0 olup buradan r konvekstir. M böylece konvekstir. Şimdi de M ’nin , L2 [a, b] nin kapalı bir alt kümesi olduğunu göstereceğiz. pk ( x ) ∈ M , f ( x) ∈ L2 [a, b] ye yakınsak olsun, yani , b lim ∫ f ( x) − pk ( x) dx = 0 k →∞ 2 a olsun. q( x) , f ( x) ’e Pn ’de en iyi yaklaşan eleman olsun.( Sonuç 2.5.2 ’deki gibi ) O zaman , b b 0 ≤ ∫ f ( x) − q ( x) dx ≤ ∫ f ( x) − pk ( x) dx 2 a a k → ∞ için b ∫ 2 f ( x ) − q ( x) dx = 0 a olur , öyle ki Pn ’de f ( x) = q( x) olur. O halde M ⊂ Pn dir. Şimdi de ; P0* ( x), P1* ( x), K , Pn* ( x) polinomları [a, b] aralığındaki dereceleri ≤ n olacak şekilde ortonormal polinomlar olsun. O zaman , bazı aik sabitleri için 91 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR f ( x) − pk ( x) ≡ a0 k P0* + K + ank Pn* ( x) , k = 1,2, K , yazılabilir ve böylece , b ∫ f ( x) − pk ( x) dx = ( f − pk , f − pk ) 2 a ( = a0 k P0* ( x) + K + ank Pn* , a0 k P0* + K + ank Pn* 2 2 = a0 k + a1k + K + ank n = ∑ aik 2 ) 2 →0 i =0 dır. Böylece ; lim aik = 0 , i = 0,1, K , n k →∞ olur. Şimdi , n f ( z ) − pk ( z ) ≤ ∑ aik pi* ( z ) i =0 dır. Çünkü ; f ( z ) , z ≤ R çemberinde analitik olsun. O zaman n f ( z ) = ∑ ak z k k =0 z ≤ R ’de düzgün olarak yakınsar. Böylece verilen bir ε > 0 için, bu kuvvet serisinin yeterince elemanlarını alabilir ve z ≤ R için f ( z ) − pn ( z ) ≤ ε olacak şekilde 92 3.EN KÜÇÜK KARELER YAKLAŞIMI Oray OR n p n ( z ) = ∑ ak z k k =0 polinomuna varırız. Keyfi bir − R ≤ x ≤ R gerçel aralığı üzerinde f ( x ) − pn ( x ) ≤ ε dir. Ancak analitik olmayan fonksiyonlar için kuvvet serilerinde böyle bir genişleme söz konusu değildir. Böylece kompleks düzlemdeki her sınırlı bölge üzerinde pk ( z ) → f ( z ) düzgün olarak yakınsar. Buradan ; ″ pk ( z ) → f ′′( z ) ″ o bölge üzerinde düzgün olarak yakınsar ve [a, b] üzerinde pk ( x ) ≥ 0 olduğundan o bölge üzerinde f ′′( x ) ≥ 0 olur. Yakınsadığı fonksiyon polinom olduğundan limiti de M içinde olur. O halde M kapalıdır. Böylece , (3.6.1) teoreminden M konveks , kapalı ve L2 [a, b] ’nin boştan farklı bir alt kümesi olduğundan min f − p p∈M probleminin tek bir çözümü vardır. 93 KAYNAKLAR CHENEY,E.W., 1966 . ‘Introduction to Approximation Theory’, McGraw-Hill Book Company, New York. DAVIS,P.J., 1975 . ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc., New York . HAASER,N.B. ; SULLIVAN,J.A., 1971. ‘Real Analysis’ Van Nostrand Reinhold Company , New York . RIVLIN,T.J., 1966. ‘An Introduction to The Approximation of Functions’, Blaisdell Publishing Company,Printed in the U.S.A . ________ , 1974 . ‘The Chebyschev Polynomials’, John Wiley and Sons Inc. , Printed in United States of America . SMARZEWSKI,R., 1987 . ‘On Best Approximation in L p Spaces’, Journal of Approximation Theory ,49: 93-98. UBHAYA,V.A., 1990 . ‘Best Piecewise Monotone Uniform Approximation’,Journal of Approximation Theory, 63:375-383. 94 ÖZGEÇMİŞ 1981 yılında Mersin’de doğdum. Öğrenimimi sırasıyla Cumhuriyet İlkokulu , Mobil Ortaokulu , Hacı Sabancı Lisesi ’nde tamamladım. 1999 yılında Süleyman Demirel Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümüne girdim. 2003 yılında mezun olup Çukurova Üniversitesi FenEdebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde yüksek lisans yapmaya başladım. 95