3 - Google Groups

Bölüm 3
BÖLÜNEBİLME VE ÇARPANLARA AYIRM A
Tek Doğal Sayılar; Çift Doğal Sayılar
3.1 Bölünebilme Kuralları
2 ile bölünebilen doğal sayılara çift doğal
sayılar, 2 ile bölünemeyen doğal sayılara tek doğal sayılar denir. Çift doğal sayıların kümesi Ç,
tek doğal sayıların kümesi T ile gösterilirse
Bir a doğal sayısı bir b sayma sayısına bölündüğünde bölüm bir doğal sayı v e kalan sıfır ise, “a
doğal sayısı b sayma sayısına bölünebilir.” v eya “b sayısı a sayısını böler.” denir.
Örneğin;
yandaki işleme göre,
143 sayısı 11 ile
bölünebilir.
143
11
33
33
00
Ç = {0, 2, 4, 6, 8, 10, …}
T = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} olur.
Bir tek sayının 2 ile bölümündeki kalan 1’dir.
11
13
3 ile Bölünebilme Kuralı
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
Bir doğal sayının bir sayma sayısına bölünüp
bölünmediğini anlamak için, her zaman bölme işlemini yapmak gerekmez. Doğal sayıların 2, 3, 5,
9,… gibi sayma sayıları ile hangi koşullarda bölünebildiği araştırılarak, bunların kuralları ortaya çıkarılmıştır. Şimdi bu bölünebilme kurallarından
bir kısmını öğreneceğiz.
71  3  213  213 : 3  71
24  3  72  72 : 3  24
34  3  102  102 : 3  34
213, 72, 102 sayıları 3 ile bölünmektedir.
Bu sayıların rakamlarının sayı değerlerinin
toplamlarını ayrı ayrı bulalım:
213  2  1  3  6
72  7  2  9
102  1  0  2  3
2 ile Bölünebilme Kuralı
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
15  2  30
21  2  42
12  2  24
43  2  86
34  2  68





Elde edilen toplamların 3’ün katı olduğuna
dikkat ediniz. Bu, 3 ile bölünebilen bütün doğal sayılar için geçerlidir.
30 : 2  15
42 : 2  21
24 : 2  12
86 : 2  43
68 : 2  34
Buna göre;
Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerlerinin
toplamı 3’ün katı ise, bu sayı 3 ile bölünebilir.
2 ile bölünebilen 30, 42, 24, 86, 68 sayılarının
birler basamakları 0, 2, 4, 6, 8’ dir. Bu, 2 ile bölünebilen bütün doğal sayılar için geçerlidir.
Buna göre;
Örnek – 3.2
426 sayısının rakamlarının toplamı,
42612 3 4 olup bu sayı 3 ile bölünebilir.
Gerçekten, 426 : 3 142 dir.
Bir doğal sayının birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8
rakamlarından biri bulunuyorsa, bu sayı 2 ile bölünebilir.
Örnek – 3.1
Örnek – 3.3
43650, 200012, 37324, 53846, 997238 sayıları 2
ile bölünebilir; 821, 53, 1225, 327, 23879 sayıları
2 ile tam olarak bölünemez.
2814 sayısının rakamlarının toplamı,
2814 15 3 5 olup bu sayı 3 ile bölünebilir.
Gerçekten, 2814 : 3  938 dir.
94
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Örnek – 3.4
Çözüm
145 sayısının rakamlarının toplamı,
1451 03 3  1 olup 3’ün 3 katından 1 fazladır. O halde bu sayı 3 ile bölünemez.
Gerçekten; 145 sayısı
3 ile tam bölünemez;
kalan 1 olur.
a.
Kalan sıfır iken;
7  a  3  4  14  a toplamı 3’ün katı olmalıdır.
14  a toplamını 3’ün katı yapan en küçük a
değeri 1 dir. Buna 3’ün katları eklenerek
a’nın alabileceği değerler 1, 4, 7 olarak bulunur.
b.
Kalan 2 iken;
14  a toplamı 3’ün katlarından 2 fazla olmalıdır. Bunu sağlayan a değerleri 0, 3, 6 ve
9’dur.
145 3
12
48
25
24
01
Bir doğal sayının rakamlarının toplamının 3’ün
katlarından f azlası, bu sayının 3 ile bölümündeki
kalan olur.
Örnek – 3.7
Örnek – 3.5
Dört basamaklı 424a sayısının hem 2, hem de 3
ile bölünebilmesi için a’nın alabileceği değerlerin
kümesi ne olmalıdır?
9867838 sayısının rakamlarının toplamı,
9  8  6  7  8  3  8  49  3  16  1 olup 3’ün
16 katından 1 fazladır.
Çözüm
O halde, bu sayının 3 ile bölümündeki kalan 1’dir.
424a sayısının 3 ile bölünebilmesi için,
4  2  4  a  10  a toplamı 3’ün katı olmalıdır.
a  2, a  5, a  8 değerlerinin, bu toplamı 3’ün
Uyarı
katı yaptığını görünüz. Diğer taraftan, bu sayının 2
ile bölünebilmesi için a değerinin çift olması gerektiğinden, a  {2, 8} olmalıdır.
3 ile bölünüp bölünemeyeceği test edilen sayının
rakamlarının toplamı büyük bir sayı ise, bu sayının
da rakamlarının toplamına bakılır.
Örneğin;
9867838 sayısının rakamlarının toplamı 49;
49 sayısının rakamlarının toplamı 13;
13 sayısının rakamlarının toplamı 4’tür.
4’ün 3 ile bölümündeki kalan 1 olacağından,
9867838 sayısının 3 ile bölümündeki kalan da
1’dir.
5 ile Bölünebilme Kuralı
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
24  5  120  120 : 5  24
39  5  195  195 : 5  39
5 ile bölünen 120 ve 195 sayılarının birler
basamakları 0 ve 5’tir. Bu, bütün doğal sayılar için
geçerlidir.
Örnek – 3.6
Buna göre;
7a34 sayısı 3 ile bölündüğünde,
a.
kalan sıfır oluyorsa a hangi değerleri alabilir?
b.
kalan 2 oluyorsa a hangi değerleri alabilir?
Bir doğal sayının birler basamağında 0 v eya 5
bulunuyorsa bu sayı 5 ile bölünebilir.
95
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam
5’ten büyük ise, bu rakam ile 5 arasındaki fark bu
doğal sayının 5 ile bölümündeki kalanı verir. Birler
basamağındaki rakam 5’ten küçük ise, kalan bu
rakam kadardır.
Örnek – 3.10
4761 sayısının rakamlarının toplamı,
4761189 2 olup bu sayı 9 ile bölünebilir.
4761 : 9 işlemini yaparak sonucu görünüz.
Örneğin;
735, 1870, 97565 sayıları 5 ile bölünebilirler.
643’ün 5 ile bölümündeki kalan 3; 9746’nın 5 ile
bölümündeki kalan 1’dir.
Bir doğal sayının rakamlarının toplamının 9’un
katlarından f azlası, bu sayının 9 ile bölümündeki
kalan olur.
Örnek – 3.8
Örnek – 3.11
897 sayısının rakamlarının toplamı,
89724 2 9 6 olup bu sayının 9 ile bölümündeki kalan 6 olur.
Bölme işlemini yaparak bunu görünüz.
Beş basamaklı 45a3b sayısının 5 ile bölümündeki
kalan 4 olduğuna göre a  b toplamı,
a.
b.
en az kaç olabilir?
en çok kaç olabilir?
Çözüm
Örnek – 3.12
b, 4 ya da 9 olmalıdır. a, herhangi bir rakam olabilir.
Buna göre, a  b ’nin en küçük değeri 0  4  4 ;
en büyük değeri 9  9  18 ’dir.
Dört basamaklı 7a3b sayısının hem 5, hem de 9
ile bölünebilmesi için, a ve b yerine hangi rakamlar yazılmalıdır?
Çözüm
Örnek – 3.9
7a3b sayısının 5 ile bölünebilmesi için b yerine 0
veya 5 konulmalıdır. Bu sayının 9 ile de bölünebilmesi için b  0 iken a  8 ve b  5 iken a  3
olmalıdır.
Dört basamaklı a68b sayısının hem 3 hem de 5 ile
bölünebilmesi için a ve b yerine hangi rakamlar
yazılmalıdır?
Çözüm
Alıştırmalar 3.1
a68b sayısının 5 ile bölünebilmesi için, b yerine 0
veya 5 konulmalıdır.
Bu sayının 3 ile de bölünebilmesi için,
b  0 iken a yerine 1, 4, 7;
b  5 iken a yerine 2, 5, 8 yazılmalıdır.
1.
Aşağıdaki sayıların 2, 3, 5 ve 9 ile bölünüp
bölünemediğini belirtiniz.
a. 736450
d. 234768
9 ile Bölünebilme Kuralı
2.
Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerlerinin
toplamı 9’un katı ise, bu sayı 9 ile bölünebilir.
c. 83764
f. 120123
Aşağıdaki sayıların 2, 3, 5 ve 9 ile ayrı ayrı
bölümlerindeki kalanları bulunuz.
a. 200102
d. 780930
96
b. 486540
e. 74685
b. 314235
e. 354064
c. 81763
f. 93567
3. Bölüm
3.
Aşağıdaki sayıların 3 ile bölünebilmesi için
“” yerine konulması gereken sayıları bulunuz.
a. 3542
4.
b. 46a9b
c. a548b
Bir doğal sayının çarpanlarından her biri aynı
zamanda bu doğal sayının bir bölenidir.
d. 34ab5
Asa l Sayılar
b. 8a3b
c. a743b
Doğal sayı bölenlerinin kümesi iki elemanlı olan
doğal sayılara asal sayılar denir.
d. 63ab4
“0” sayısının bölenlerinin kümesi { }, 1’in bölenlerinin kümesi {1} olduğu için 0 ve 1 asal sayı
değildir.
b. 735
Buna göre, asal sayıların kümesi;
A  {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} olur.
İstenildiği kadar büyük asal sayıları bulmak
için Eratosthenes (Eratosten) Kalburu denilen
yöntem kullanılır. Biz bu yöntemle 100’e kadar
olan asal sayıları bulalım :
c. 358
b. 83a4
c. 7a45
Aşağıdaki sayıların 9 ile bölümündeki kalanların 6 olması için, “” yerine konulması gereken sayıları bulunuz.
a. 574
9.
Bir doğal sayının, iki v eya daha f azla doğal sayının çarpımı biçiminde yazılmasına bu doğal sayının çarpanlara ayrılması denir.
Aşağıdaki sayıların 3 ile bölümündeki kalanların 2 olması için, a yerine konulması gereken sayıları bulunuz.
a. 974a
8.
d. 943
Aşağıdaki sayıların 9 ile bölünebilmesi için,
“” yerine konulması gereken sayıları bulunuz.
a. 534
7.
c. 8064
Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun
rakamlar koyarak, 2 ve 3 ile bölünebilen
dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok
kaç sayı elde edebilirsiniz?
a. 53a7b
6.
b. 764
3.2 Asal Çarpanlara Ayırma
Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun
rakamlar koyarak, 3 ve 5 ile bölünebilen
dörder tane sayı elde ediniz. Böyle en çok
kaç sayı elde edebilirsiniz?
a. 3a7b
5.
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
b. 987
c. 324
27a8b sayısının 5 ile bölümündeki kalan
3’tür. Bu sayı 3 ile bölünebildiğine göre a ve b
yerine gelebilecek sayıları bulunuz.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
Yukarıdaki dizinde 1 asal sayı olmadığından
bunun üstü çizilir. 2 asal sayıdır. 2’nin diğer katları
asal olmadığından bunların üstü çizilir. 2’den sonra üstü çizilmeyen ilk sayı 3 olup bu sayı asaldır.
10. 4a35b sayısının 3 ile bölümündeki kalan
2’dir. Bu sayı 2 ile bölünebildiğine göre, a  b
toplamının en büyük değeri kaçtır?
97
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
3’ün diğer katları asal olmadığından bunların üstü
çizilir. 3’ten sonra üstü çizilmeyen ilk sayı 5 olup
bu sayı asaldır. 5’in diğer katları asal olmadığından bunların üstü çizilir. 5’ten sonra üstü çizilmeyen ilk sayı 7 olup bu sayı asaldır. 7’nin diğer katları asal olmadığından bunların üstü çizilir. Geriye
kalan üstü çizilmemiş olan sayılar asaldır.
Örnek – 3.13
132 sayısını asal çarpanlarına ayıralım :
132
66
33
2
2
3
1322 2  3 11
11 11
1
Asa l Çarpanlara Ayırma
Örnek – 3.14
Bir doğal sayıyı asal çarpanlarına ayırmada
şöyle bir yol izlenebilir :
Doğal sayı önce, hemen görülebilen çarpanlarına ayrılır. Sonra bu çarpanlara da, asal çarpanlara ulaşıncaya kadar aynı işlem uygulanır.
Ancak bu yöntem, sayıların çarpanlarını kolayca
görebilme becerisi ister. Bu beceriyi zamanla kazanacaksınız.
1.
2.
3.
180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım :
Örnekleri inceleyiniz.
12012 10 3 4 2 52 3  3 5 ;
45045 10 5 9 2 52 3 2  52 ;
6486 108 2 3 4 27
Biz bu başlangıç aşamasında, doğal sayıları
asal çarpanlarına şöyle ayıracağız :
Doğal sayıyı, bölünebileceği en küçük asal
sayıdan başlayarak, bölüm 1 olana kadar asal sayılara böleceğiz.
2
3
15
5
1
3
5
1802 2  3 2  5
7223  32  2 2 2 3 3 yazılabilir.
72 sayısı, bu çarpımdaki çarpanların herhangi birine, herhangi ikisinin çarpımına, herhangi
üçünün ya da herhangi dördünün çarpımına bölünebilir. Bu bilgiyi dikkate alarak 72 sayısını bölen
doğal sayıları bulalım.
36
18
2
2
9
3
3
3
1, 2, 3, 4 sayıları 72’yi böler. 5 sayısı 72’nin
çarpanları arasında yoktur; 72’yi bölemez. 6 sayısı 72’nin çarpanları arasında 2 3 biçiminde bulunmaktadır; 72’yi böler. 7 sayısı 72’nin çarpanları
arasında yoktur; 72’yi bölemez.
1
İşlemi, aşağıdaki gibi de gösterebiliriz :
8, 9, 12, 18, 24, 36 sayıları da
722 362 2 18 2 2 2 9
36
90
45
72 sayısının bütün bölenlerinin kümesini yazmaya çalışalım :
72 sayısını bu yöntemle asal çarpanlarına
ayıralım :
72 2
Her satırda soldaki
72 23 32 olur.
2
Bir Doğal Sayının Bütün Bölenlerinin
Kümesi
2 3 2 2  3 3 2 3  3 4
sayı bölünen,
sağdaki sayı bölen,
soldaki sayının altındaki
sayı bölümdür.
180
82 2 2 ;
18
93 3 ;
122 2 3 ;
182 3 3 ; 242 2 2 3 ve 362 2 3 3
olarak 72’nin çarpanları arasında bulunmaktadır.
Bu sayılar da 72’yi bölerler.
2 2 2 3 323  32
9
98
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Buna göre, 72’nin bütün bölenlerinin kümesine K dersek,
4.
K  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72} olur.
1  72  72 ;
2  36  72 ;
Aşağıda çarpım biçiminde verilmiş sayıların
bölenlerinin kümeleri ile asal çarpanlarının
kümelerini yazınız.
a. 2 2  3  7
3  24  72 ;
4  18  72 ;
6  12  72 ;
8  9  72
olduğundan, K kümesi aynı zamanda 72’nin çarpanlarının kümesidir.
5.
b. 3  5  7 2
c. 4  6  5 2
Aşağıdaki sayıların, iki basamaklı en küçük
doğal sayı bölenleri ile iki basamaklı en
büyük doğal sayı bölenlerini bulunuz.
a. 154
b. 286
c. 336
Örnek – 3.15
13222  3 11 olduğuna göre, 132 sayısının bütün
bölenlerinin kümesi,
3.3 En Büyük Ortak Bölen
(e.b.o.b.)
K  {1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132} olur.
24 sayısının doğal sayı bölenlerinin kümesi
A; 36 sayısının doğal sayı bölenlerinin kümesi B
olsun.
Örnek – 3.16
A  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} ve
18022  3 2  5 olduğuna göre 180 sayısının bütün
bölenlerinin kümesi,
B  {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} dir.
K  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36,
45, 60, 90, 180} dir.
180 sayısının asal çarpanlarının kümesi de;
Hem 24’ün hem de 36’nın böleni olan doğal
sayılar, A ve B kümelerinin ortak elemanlarıdır.
Buna göre, 24 ve 36 sayılarının ortak bölenlerinin
kümesi,
A {2, 3, 5} olur.
A  B  {1, 2, 3, 4, 6, 12} olur.
24 ve 36 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü, A  B kümesinin en büyük elemanı olan 12
sayısıdır.
Alıştırmalar 3.2
1.
2.
60 ile 70 arasındaki asal sayıların kümesini
yazınız.
a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni
c ise bu (a; b)ebob c biçiminde gösterilir.
Aşağıdaki sayıları asal çarpanlarına ayırınız.
a. 255
3.
İki v eya daha f azla doğal sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak
böleni (e.b.o.b.) denir.
b. 324
c. 682
Örneğin; (24 ; 36)ebob  12 dir.
d. 1380
İki veya daha f azla doğal sayının ortak bölenlerinin kümesi, bu sayıların e.b.o.b.unun bölenlerinin
kümesine eşittir.
Aşağıdaki sayıların çarpanlarının kümeleri ile
asal çarpanlarının kümelerini yazınız.
a. 35
b. 45
c. 54
d. 92
99
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Örneğin; 24 ve 36 sayılarının ortak bölenlerinin kümesi olan {1, 2, 3, 4, 6, 12} ; bu sayıların
e.b.o.b.u olan 12’nin bölenlerinin de kümesidir.
Örnek – 3.19
36 ve 54 sayılarının ortak bölenlerinin kümesini
yazınız.
İki v eya daha f azla doğal sayının e.b.o.b. unu
bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Bu
asal çarpanlardan ortak olanlarının en küçük üslüleri birbiriyle çarpılır.
Çözüm
İki doğal sayının ortak bölenlerinin kümesi, bunların e.b.o.b. unun bölenlerinin kümesine eşittir.
Bu küme A olsun.
(36; 54)ebob  2  32
Örnek – 3.17
olduğundan
36 ile 54’ün ortak
bölenlerinin kümesi,
A  {1, 2, 3, 6, 9, 18} olur.
48 ve 72 sayılarının e.b.o.b. unu bulalım :
48
2
72
2
24
12
2
2
36
18
2
2
6
3
1
2
3
9
3
1
3
3
72
2
24
12
36
18
2
2
6
3
1
9
9
3
1
2
3
3
54
27
2
2
9
3
1
27
9
3
1
3
3
3
482 4  3
722 3  3 2
Örnek – 3.20
(48;72) ebob 23  324
olur.
54 ile bir A sayısının e.b.o.b. u 18’dir. Bu koşula
uyan üç basamaklı en küçük A sayısı kaçtır?
Bu sayıların e.b.o.b.u kısa yoldan şöyle bulunabilir :
48
36
18
Çözüm
“ “ işareti içine alınan
asal sayılar, bulundukları
satırdaki sayıların ortak
bölenleridir. Bunların
çarpımı e.b.o.b.u verir.
(54, A) ebob  18 olduğundan,
54  18  3 ve A  18  x yazılabilir.
Burada, 3 ile x’in ortak böleni 1’den farklı olmamalıdır. (Böyle olduğu durumda; 54 ile A sayılarının
e.b.o.b. u, 18’den büyük başka bir sayı olur.)
(48;72)ebob 2 2 2 224
olur.
A sayısı üç basamaklı
olacağından, yandaki
işleme göre, x > 5 olmalıdır.
Not
100
90
18
5
10
Bu koşula uyan ve 3 ile ortak böleni 1 olan en
küçük x doğal sayısı 7 olacağından, en küçük A
sayısı da A  18  7  126 olur.
Çizginin sağına, yalnız ortak olan bölenler yazılabilirdi.
Örnek – 3.18
30, 45, 75 sayılarının e.b.o.b. unu bulalım :
30
45
75
2
15
5
45
15
75
25
3
3
5
1
5
1
25
5
1
5
5
3.4 En Küçük Ortak Kat (e.k.o.k.)
(30;45;75) ebob 3 515
8’in katlarının kümesi A; 12’nin katlarının kümesi B olsun.
A  {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...} ve
B  {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...} dir.
100
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Hem 8’in hem de 12’nin katı olan doğal sayılar, A ve B kümelerinin ortak elemanlarıdır.
Buna göre, 8 ile 12 sayılarının ortak katlarının kümesi,
Örnek – 3.22
12, 16, 18 sayılarının e.k.o.k. unu bulalım :
12
6
3
3
3
A  B  {24, 48, 72, 96, ...} olur.
8 ve 12 sayılarının ortak katlarının en küçüğü, A  B kümesinin en küçük elemanı olan 24
sayısıdır.
İki veya daha f azla doğal sayının ortak katlarının
en küçüğüne bu sayıların en küçük ortak katı
(e.k.o.k.) denir.
16
8
4
2
1
18
9
9
9
9
3
1
2
2
2
2
3
3
(12,16,18)ekok24  32 144
olur.
İki doğal sayının e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun
çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir.
a ve b birer doğal sayı ise,
(a, b)ebob  (a, b)ekok  a  b dir.
a ve b doğal sayılarının e.k.o.k. u c ise bu
(a; b)ekok  c biçiminde gösterilir.
Örneğin; 24  2 3  3 ; 30  2  3  5 ;
İki veya daha f azla doğal sayının ortak katlarının
kümesi, bu sayıların e.k.o.k.unun katlarının kümesine eşittir.
(24, 30) ebob  6, (24, 30) ekok  120 olup
6  120  24  30  720  720 ’dir.
Örneğin, 8 ve 12 sayılarının ortak katlarının
kümesi olan {24, 48, 72, 96, ...} ; bu sayıların
e.k.o.k.u olan 24’ün katlarının da kümesidir.
Örnek – 3.23
Biri 60 olan iki doğal sayının e.b.o.b. u 10 ve
e.k.o.k.u 300 ise diğer sayı nedir?
İki veya daha f azla doğal sayının e.k.o.k. unu bulmak için, bu sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Bu
asal çarpanlardan ortak olanlarının en büyük üslüleri ile ortak olmayanlar çarpılır.
Çözüm
I. sayı  60,
(I. sayı, II. sayı) ebob  10,
Örnek – 3.21
(I. sayı, II. sayı) ekok  300 olup
18 ile 60 sayılarının e.k.o.k.unu bulalım :
II. sayı 
18 2
9 3
3 3
1
60
30
15
5
1
2
2
3
182 32
5
(18,60)ekok 22  32  5180
300  10 3000

 50 olur.
60
60
6022  3 5
Aralarında Asal Sayılar
Bu sayıların e.k.o.k. u kısa yoldan şöyle bulunabilir :
1 sayısından başka ortak böleni olmayan doğal
sayılara aralarında asal sayılar denir.
18
9
9
3
1
Örneğin, 422 ve 932 sayılarının 1’den
başka ortak böleni yoktur. Bu sayılar, aralarında
asal sayılardır.
60
30
15
5
5
1
2
2
3
3
5
Çizginin sağındaki asal sayılar,
bulundukları satırdaki sayılardan
en az birinin bölenleridir. Bunla-
Aralarında asal sayıların e.k.o.k. u, bu sayıların
çarpımına eşittir; e.b.o.b. u ise 1’dir.
rın çarpımı e.k.o.k. u verir.
101
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Örnek – 3.24
Buna göre;
1. Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayı
hem 3 hem de 5 ile bölünebilmelidir. (153 5)
6 ve 25 sayılarının e.b.o.b. ve e.k.o.k. larını bulalım :
2. Bir sayının 18 ile bölünebilmesi için, bu sayı
hem 2 hem de 9 ile bölünebilmelidir. (182 9)
1624 ve 2552 olup (16,25) ebob 1 ve
(16,25) ekok 16 25400 olur.
3. Bir sayının 45 ile bölünebilmesi için, bu sayı
hem 5 hem de 9 ile bölünebilmelidir. (455 9)
10, 6, 4, 25 ile Bölünebilme
4 ile Bölünebilme Kuralı
Bir doğal sayının son iki basamağı 00 veya 4’ün
katı olan bir sayı ise, bu sayı 4 ile bölünebilir.
Bir doğal sayının çarpanlarına ayrılması, aralarında asal sayılar ve e.k.o.k. bilgilerinden yararlanılarak yeni bölünebilme kuralları elde edilebilir.
Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu
sayının 4 ile bölümündeki kalan, bu sayının da 4
ile bölümündeki kalan olur.
Örneğin;
10 ile Bölünebilme Kuralı : Bir doğal sayının
10’un kuvvetleri ile bölünmesinde, bu sayının sonundan 10’un kuvveti kadar sıfır atılacağını biliyorsunuz. Öyleyse;
25300; 348; 5720 sayıları 4 ile bölünebilir.
267 sayısının 4 ile bölümündeki kalan 3 olur.
(267264 3)
Birler basamağı sıf ır olan bir doğal sayı 10 ile
bölünebilir.
25 ile Bölünebilme Kuralı
6 ile Bölünebilme Kuralı : 6 ile bölünebilen bir
doğal sayının çarpanlarından biri 6’dır. 62 3
olduğundan, bu sayının çarpanlarından en az biri
2, bir diğeri 3 olur. Öyle ise bu sayı hem 2 hem de
3 ile bölünebilir. Diğer taraftan, 2 ile bölünebilen
bir sayının en az bir çarpanı 2; 3 ile bölünebilen
bir sayının en az bir çarpanı 3’tür. Bu çarpanlardan birer tanesi 2 36 yapacağından, bu sayı 6
ile bölünebilir. O halde;
Bir doğal sayının son iki basamağı 00 v eya 25’in
katı olan bir sayı ise bu sayı 25 ile bölünebilir.
Bir sayının 6 ile bölünebilmesi için, bu sayının
hem 2 hem de 3 ile ayrı ayrı bölünebilmesi gereki r .
12457860 sayısı 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18 sayılarından hangileri ile bölünebilir?
Bir sayının son iki basamağının oluşturduğu
sayının 25 ile bölümündeki kalan, bu sayının 25
ile bölümündeki kalan olur.
Örnek – 3.25
Çözüm
Aynı biçimde düşünerek şu genellemeyi
yapabiliriz :
Sayının birler basamağı sıfırdır; 2, 5 ve 10 ile
bölünebilir.
Aralarında asal olan iki sayıya bölünebilen bir
doğal sayı, bunların çarpımına da bölünebilir.
Sayının rakamlarının toplamı,
1245 786 033’tür. 33 sayısı 3’ün katıdır; 9’un katı değildir.
Bu sonucu daha da genelleştirebiliriz :
İki veya daha f azla doğal sayıya bölünebilen bir
doğal sayı, bu sayıların e.k.o.k. u ile de bölünebilir.
Buna göre, sayı 3 ile bölünebilir; 9 ile bölünemez.
339 36 olduğundan sayının 9 ile bölümündeki
kalan 6 dır.
102
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Verilen sayının son iki basamağını oluşturan
sayı, 60 4 15 olup bu sayı 4 ile bölünebilir.
Örnek – 3.28
4a85b sayısının 15 ile bölünebilmesi için a ve b
yerine hangi rakamlar gelmelidir?
Verilen sayı;
Çözüm
2 ve 3 ile bölünebildiğinden 6 ile;
3 ve 4 ile bölünebildiğinden 12 ile;
3 ve 5 ile bölünebildiğinden 15 ile bölünebilir.
Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için, bu sayının
hem 3 hem de 5 ile bölünebilmesi gerekir.
Sayının 5 ile bölünebilmesi için b yerine 0 veya 5
gelmelidir. Sayının 3 ile de bölünebilmesi için;
b  0 iken a yerine 1, 4, 7 ;
b  5 iken a yerine 2, 5, 8 konulmalıdır.
189 2 olup verilen sayı 9 ile bölünemediği
için 18 ile de bölünemez.
Örnek – 3.29
Örnek – 3.26
328937 sayısının
a. 4 ile b. 25 ile
5a78b sayısının 10 ile bölünebilmesi için a ve b
yerine hangi rakamlar gelmelidir?
bölümündeki kalan kaçtır?
Çözüm
a. 37’nin 4 ile bölümündeki
kalan 1 olduğundan, 328937’nin
4 ile bölümündeki kalan da 1’dir.
Çözüm
b  0 olmalıdır. a yerine istenilen her rakam konulabilir.
b. Yandaki işleme göre,
kalan 12’dir.
37

36
4
9
1
37

25
25
1
12
Örnek – 3.27
Örnek – 3.30
37a6b sayısının 6 ile bölünebilmesi için a ve b
yerine hangi rakamlar gelmelidir?
5a2b dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının;
a. 6 ile;
b. 10 ile; c. 12 ile; d. 18 ile; e. 45
ile bölünebilmesi için a ve b yerine hangi sayılar
konulmalıdır?
Çözüm
Verilen sayı 2 ve 3 ile bölünebilmelidir. Sayının 2
ile bölünebilmesi için b yerine 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biri gelmelidir.
Çözüm
Sayının 3 ile de bölünmesi için, rakamlarının toplamının 3’ün katı olması gerekir.
a. Sayının 6 ile bölünebilmesi için hem 2 ile
hem de 3 ile bölünebilmesi gerekir. 2 ile bölünebilmesi için b çift; 3 ile bölünebilmesi için rakamlarının toplamı 3’ün katı olmalıdır.
Buna göre;
b  0 iken a yerine 2, 5, 8 ;
Buna göre; b yerine 0 konulursa, 5a 2 0
toplamının 3’ün katı olması gerekeceğinden a yerine 2, 5, 8; b yerine 2 konulursa, a yerine 0, 3, 6,
9 konulmalıdır.
b yerine 4, 6, 8 konulduğunda a yerine hangi
sayıların geleceğini siz bulunuz.
b  2 iken a yerine 0, 3, 6, 9 ;
b  4 iken a yerine 1, 4, 7 ;
b  6 iken a yerine 2, 5, 8 ;
b  8 iken a yerine 0, 3, 6, 9 ;
gelmelidir.
103
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
b. b yerine sıfır konulmalıdır. a yerine her rakam konulabilir.
45  9  5  3 2  5
120  12  10  4  3  2  5  2 3  3  5
c. Sayının 12 ile bölünebilmesi için, hem 4 hem
de 3 ile bölünebilmesi gerekir. (Neden 6 ve 2 ile
değil?)
150  15  10  3  5  2  5  2  3  5 2 olup
(45, 120, 159) ebob  3  5  15 bulunur.
15’in bölenlerinin kümesi, {1, 3, 5, 15} olup bu
aynı zamanda sayıların ortak bölenlerinin kümesidir.
Sayının 4 ile bölünebilmesi için, son iki basamağının oluşturacağı sayı 4’ün katı olmalıdır.
Buna göre, b yerine 0, 4, 8 sayıları konulmalıdır.
b  0 iken a yerine 2, 5, 8 ;
Örnek – 3.32
b  4 iken a yerine 1, 4, 7 ;
b  8 iken a yerine 0, 3, 6, 9 gelmelidir.
A  2  32  53 ,
B  33  5  72
olduğuna göre, A ile B’nin 10’dan büyük olan en
küçük ortak böleni kaçtır?
d. Sayının 18 ile bölünebilmesi için, hem 2 hem
de 9 ile (18’in, aralarında asal olan çarpanları) bölünebilmesi gerekir. 2 ile bölünebilmesi için b çift;
9 ile bölünebilmesi için, rakamlarının toplamı 9’un
katı olmalıdır.
Çözüm
(A, B)
Buna göre;
ebob
değerinin bölenlerinin kümesinden, 10
dan büyük olan en küçüğünü seçeceğiz.
b  0 iken, 5a 2 0 toplamının 9’un katı olması gerektiğinden a yerine 2;
(A, B) ebob  32  5  45 olup bunun bölenlerinin kümesi, {1, 3, 5, 9, 15, 45} tir.
b  2 iken a yerine 0 veya 9 konulmalıdır.
Buna göre, 10’dan büyük olan en küçük
ortak bölen 15 olur.
b yerine 4, 6, 8 konulduğunda a yerine gelmesi gereken sayıları siz bulunuz.
e. Sayının 45 ile bölünebilmesi için, hem 5 hem
de 9 ile (45’in, aralarında asal olan çarpanları) bölünebilmesi gerekir.
Örnek – 3.33
Sayının 5 ile bölünebilmesi için b yerine sıfır
veya 5 konulmalıdır.
200’den küçük olan sayma sayıları içinde, 27 ile
bölünebilen kaç sayı vardır?
b  0 iken a yerine 2;
Çözüm
b  5 iken a yerine 6 gelmelidir.
200
189
Örnek – 3.31
11
27
7
olup
27’nin 200’den küçük olan en büyük katı 27.7’dir.
45, 120 ve 150 sayılarının ortak bölenlerinin kümesini yazınız.
Buna göre, 200’den küçük olan ve 27 ile bölünebilen sayma sayılarının kümesi,
Çözüm
27  1,
İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin kümesi, bunların e.b.o.b.unun bölenlerinin kümesine
eşittir. O halde, önce (45, 120, 150)ebob değerini
27  2 , 27  3 , ..., 27  7 olur. Bu kümenin
7 elemanlı olduğunu görüyorsunuz.
O halde, 200’den küçük olan ve 27 ile bölünebilen sayma sayıları 7 tanedir.
bulalım :
104
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Buradan şu genelleme yapılabilir :
Çözüm
15 ve 18 ile bölünebilen bir sayı bunların e.k.o.k.u
ile de bölünebilir.
Verilen bir n sayma sayısından küçük olan v e
verilen bir a sayısına bölünebilen sayıların adedini
bulmak için n sayısı a’ya bölünür.
15  3  5 
 (15,18 ) ekok  2  3 2  5  90 olup A
2

18  2  3 
sayısı 90’ın katlarından herhangi biri olabilir. Buna
göre A sayısı en az 90’dır.
Örnek – 3.34
90’ın bölenlerinin kümesi,
a. 500’den küçük olan sayma sayılarından kaçı 25
ile bölünebilir?
{1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90} olup A sayısının bölenlerinin kümesi en az 12 elemanlıdır.
b. 300’e kadar olan (300 dahil) sayma sayılarından kaçı 25 ile bölünebilir?
c. 300 ile 500 arasında 25 ile bölünebilen kaç
sayma sayısı vardır?
Örnek – 3.36
Çözüm
a. Yandaki bölme işleminde
kalan sıfır olduğundan, bölüm
olarak bulunan 20 sayıdan biri
500’dür.
500
50
75 ve 112 sayıları bir a sayısına bölündüğünde
sırasıyla 3 ve 4 kalanlarını veriyor. Buna göre, iki
basamaklı en küçük a sayısı kaçtır?
25
20
00
Çözüm
Bizim aradığımız sayılar 500’den küçük olduğundan, istenen sayı adedi, 20  1  19 ’dur.
b. Yandaki bölme işleminde
kalan sıfır olduğundan, bölüm
olarak bulunan 12 sayıdan biri
300’ dür.
İstenen sayı adedi 12 olur.
300
25
A sayısı, 75  3  72 ve 112  4  108 sayılarının
bir ortak bölenidir. Ortak bölenler e.b.o.b.un bölenleri olduğuna göre, önce (72, 108)ebob değerini
25
12
bulalım.
50
50
72 108
36 54
18 27
9 27
3
9
1
3
1
00
c. 300 ile 500 arasındaki sayılar içinde, sınır
sayıları olan 300 ve 500 yoktur. Buna göre 500’
den küçük olan ve 25 ile bölünebilen sayı adedinden, 300’e kadar olan ve 25 ile bölünebilen sayı
adedini çıkarırsak, 300 ile 500 arasında bulunan
ve 25 ile bölünebilen sayı adedini bulmuş oluruz.
İstenen sayı adedi, 19  12  7 dir.
2
2
2
3
3
3
(72, 108)ebob  22  32
 36 olur.
36’nın iki basamaklı en küçük böleni 12 olup
a  12’dir.
Örnek – 3.35
Örnek – 3.37
15 ve 18 ile bölünebilen bir A sayma sayısının
bölenlerinin kümesi, en az kaç elemanlıdır?
9 ve 15 ile bölünebilen 3 basamaklı en büyük sayı
kaçtır?
105
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Çözüm
Çözüm
9 ve 15 ile bölünebilen sayılar, bunların belirli
ortak katları ile de bölünebilir. Bütün ortak katlar
e.k.o.k.un katları olduğundan, bu sayıların e.k.o.k.
unu bulalım :
Bu sayıların ortak bölenleri, bunların e.b.o.b.unun
bölenleridir.
9  3 2 ve 15  3  5 olduğundan
(324, 378)ebob  2  3 3
(9, 15)ekok  3 2  5  45 ’tir.
(324, 378)ebob  54
45 ile bölünebilen üç basamaklı en büyük doğal
sayı aranan sayıdır. Bu sayıyı bulmak için, en
küçük dört basamaklı sayı olan 1000’i 45 ile bölelim :
olup 54’ün böleni olan
Yandaki işlemden, 45 ile
bölünebilen üç basamaklı
en büyük doğal sayının
1000
 90
22  45  990 olduğu görülür.

Önce, 324 ile 378’in e.b.o.b.unu bulalım :
iki basamaklı en küçük
sayı 18’dir.
45
22
100
90
10
63
3
21
3
7
7
1
3
7
(12; 18)ekok  36 olduğundan, 12 ve 18 ile bölünebilen sayılar, 36 ile bölünebilirler. 67ab sayıları
6700 ile 6800 arasındaki sayılardır. (6700 dahil).
O hâlde, 6700 ile 6800 arasında 36 ile bölünebilen kaç sayı bulunduğunu araştıracağız.
6700
36
6  2  3 ; 9  3 2 olup
(3, 4, 5, 6, 9)ekok  2 2  3 2  5  180 ’dir.
36
186
310
288
180’in katı ve 15687’den küçük olan en büyük doğal sayıyı bulalım :
1568 7
 1440
1287
 1260
3
Çözüm
3, 4, 5, 6, 9 sayıları ile bölünebilen sayılar, bunların belirli ortak katları ile de bölünebilir. Önce bu
sayıların e.k.o.k.unu bulalım :
Bu sayı 87  180 =15660
olup 15687’nin 27 eksiğidir.
O halde, 15687 sayısından
27 çıkarılırsa, kalan sayı
3, 4, 5, 6, 9 ile kalansız
bölünebilir.
189
A  67ab sayısı, dört basamaklı bir doğal sayıdır.
12 ve 18 ile bölünebilen, kaç değişik A sayısı
yazılabilir.
15687 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan
sayı 3, 4, 5, 6, 9 ile kalansız bölünebilsin?
(1984-FL)
Çözüm
4  22 ; 5  5 ;
2
2
Örnek – 3.40
Örnek – 3.38
3  3;
378
189
180
87
6800
36
36
188
320
288
220
216
320
288
4
32
Verilen koşula uyan,
188  186  2 sayı yazılabilir.
27
Örnek – 3.41
Örnek – 3.38
10203476 sayısının 6 ile bölümündeki kalan kaç-
324 ve 378 sayılarını bölen iki basamaklı en
küçük doğal sayıyı bulunuz.
tır?
106
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Çözüm
7.
Sayının birler basamağındaki 6’nın yerine k koyarak, 1020347k sayısının 6 ile bölünebilmesi için
k’nın kaç olması gerektiğini bulalım:
Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun
rakamlar koyarak, 12 ile bölünebilen dörder
tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı
elde edebilirsiniz?
a. 67a4b
1  2  3  4  7  k  17  k toplamı 3’ün katı olmalıdır. Buna göre k yerine 1, 4, 7 konulabilir.
k’nın çift olması da gerekeceğinden k4 olmalıdır.
10203474 sayısı 6 ile bölünebildiğine göre, bunun
2 fazlası olan 10203476 sayısının 6 ile bölümündeki kalan 2 olur.
8.
Alıştırmalar 3.3
1.
a. 15, 24
c. 28, 56, 84
2.
b. 12, 18, 30
d. 336, 432
3.
a. 6a8b
b. 72, 120
d. 84, 112
y  3 3  5  72
b. x  2 2  5 2  112 ;
y  2 3  5 2  11  13 2
a. 3, 5, 7, 9
c. 72, 108
Aşağıdaki sayılardan hangileri aralarında
asaldır?
a. 3 ; 4
d. 1 ; 42
5.
b. 398640
b. 73ab
c. 8a43b
b. 12, 18, 25
d. 25, 40, 65
b. 112, 140, 196
13. 780 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan
sayı 12, 18, 21 ile bölünebilsin?
c. 16 ; 36
f. 49 ; 64
14. 200 ile 300 arasında hem 16 hem de 18 ile
bölünebilen kaç doğal sayı vardır?
Aşağıdaki sayıların 4, 6, 10, 12, 15, 18 ile
bölünüp bölünemediğini belirtiniz.
a. 278764
6.
b. 12 ; 25
e. 34 ; 51
c. 83ab
12. Aşağıdaki sayıların ortak bölenlerinin kümelerini bulunuz.
a. 108, 144
4.
b. 6a2b
11. Aşağıdaki sayılar ile bölünebilen en küçük
doğal sayıları bulunuz.
Aşağıda çarpım biçiminde verilmiş sayıların
e.b.o.b. ve e.k.o.k. larını yine çarpım biçiminde yazınız.
a. x  2  3 2  5 ;
c. a537b
10. Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun
rakamlar koyarak, 45 ile bölünebilen dörder
tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı
elde edebilirsiniz?
Aşağıdaki sayıların e.k.o.k. larını bulunuz.
a. 12, 15, 18
c. 3, 7, 35, 42
b. 23ab
Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun
rakamlar koyarak, 18 ile bölünebilen dörder
tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı
elde edebilirsiniz?
a. 5a38b
Aşağıdaki sayıların e.b.o.b.larını bulunuz.
c. 835ab
Aşağıdaki sayılarda a ve b yerine uygun
rakamlar koyarak, 15 ile bölünebilen dörder
tane sayı elde ediniz. Böyle en çok kaç sayı
elde edebilirsiniz?
a. 6a8b
9.
b. 3a7b2
15. 700 sayısına kaç eklenmeli ki elde edilen
sayı 15, 16, 24 ile bölünebilsin?
c. 586422
3467a sayısının 6 ile bölünebilmesi için a
yerine kaç gelmelidir?
16. 24 ve 36 sayılarının e.b.o.b. u ile e.k.o.k.
unun çarpımı kaçtır?
107
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
3.5 Problemler
Bu kısımda e.b.o.b. ve e.k.o.k. kavramları
yardımı ile çözülebilen problemlere örnekler vereceğiz.
Örnek – 3.42
Çözüm
Her parçanın uzunluğu, 36, 54 ve 90 sayılarını
bölen en büyük sayı kadar olmalıdır.
54
90
2
18
9
27
27
45
45
2
3
3
1
9
3
1
45
15
5
5
1
3
3
5
96
2
36
18
48
24
2
2
9
9
9
3
1
12
6
3
1
2
2
3
3
(72,96)ebob23  324
Karenin bir kenarı 24 m
olmalıdır.
Buna göre,
arsanın uzunluğu boyunca
96 : 24 4 parsel;
arsanın genişliği boyunca da
72 : 24 3 sıra parsel
bulunacağından 4 312 parsel elde edilir.
Uzunlukları 36 m, 54 m ve 90 m olan üç top
kumaş, birbirine eşit en büyük parçalara ayrılacaktır. Elde kaç parça kumaş olur?
36
72
Örnek – 3.44
(36,54,90)ebob2 32 18
Bir sınıftaki öğrenciler 4’er 4’er, 6’şar 6’şar ve 9’ar
9’ar sayıldığında hep 2 öğrenci artıyor. Buna göre
sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
Bir parçanın boyu 18 m
olmalıdır.
Çözüm
Sınıftaki öğrenci sayısı 4’ün, 6’nın, ve 9’un ortak
katlarından 2 fazla olacaktır. En az öğrenci sayısı
sorulduğuna göre, bu sayı 4, 6, 9 sayılarının
e.k.o.k. unun 2 fazlası olmalıdır.
Buna göre,
I. toptan, 36 : 18 2 parça;
II. toptan, 54 : 18 3 parça;
III. toptan, 90 : 18 5 parça olmak üzere,
23510 parça kumaş elde edilir.
4
2
1
Örnek – 3.43
Boyu 96 m ve eni 72 m olan dikdörtgen biçimindeki arsa, birbirine eşit ve kare biçiminde en büyük parsellere ayrılacaktır. Kaç arsa elde edilir?
6
3
3
1
9
9
2
2
9
3
1
3
3
(4,6,9)ekok2 2  32 36
Sınıftaki öğrenci sayısı en az 36238 dir.
Çözüm
Örnek – 3.45
Arsanın eni ve boyu, bir parselin bir kenar uzunluğunun katı olacaktır. Ayrıca, karenin en büyük
olması da istendiğine göre; karenin bir kenarının
uzunluğu, arsanın eninin ve boyunun en büyük
ortak böleni olmalıdır.
12 ile bölündüğünde 9, 15 ile bölündüğünde 12,
18 ile bölündüğünde 15 kalanını veren en küçük
doğal sayı kaçtır?
108
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Çözüm
3.
Kalanların bölenlerden 3 eksik olduğuna dikkat
ediniz. Buna göre, aranan sayının 3 fazlası 12, 15
ve 18 ile tam olarak bölünür. O halde; 12, 15,
18’in e.k.o.k.unun 3 eksiği aranan sayıdır.
12  2 2  3 ,
15  3  5 ,
8, 10, 12 ile bölündüğünde sırasıyla 5, 7, 9
kalanlarını veren üç basamaklı,
a. en küçük doğal sayı kaçtır?
b. en büyük doğal sayı kaçtır?
18  2  3 2
4.
olup (12, 15, 18)ekok  2 2  3 2  5  180’dir.
6, 9 ve 15 ile bölündüğünde 5 kalanını veren,
a. en küçük doğal sayı kaçtır?
Öyleyse, aranan sayı 180  3  177 ’dir.
b. üç basamaklı en küçük doğal sayı kaçtır?
c. üç basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?
Örnek – 3.46
Bir sepetteki elmalar üçer üçer, dörder dörder,
beşer beşer sayıldığında her seferinde 2 elma
artıyor. Sepette 100’den fazla elma bulunduğu
bilindiğine göre, en az kaç elma vardır?
5.
423 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan
sayı 4, 6 ve 9 ile bölünebilsin?
6.
347 sayısına en az kaç eklenmeli ki, elde
edilen sayı 12, 15 ve 18 ile bölünebilsin?
7.
Kenarları 480 m ve 840 m olan dikdörtgen
şeklindeki arsa, en büyük boyutlu kare şeklinde parsellere ayrılacaktır.
Çözüm
Sepetteki elmaların sayısı 3’ün, 4’ün, 5’in bir ortak
katından 2 fazladır. Bütün ortak katlar e.k.o.k.un
katları olduğundan, önce bu sayıların e.k.o.k.unu
bulalım :
a. Arsaların her birinin bir kenarı kaç m olur?
(3, 4, 5) ekok  3  4  5  60 ’tır.
b. Kaç arsa elde edilir?
Elmaların sayısı 100’den fazla olduğuna göre,
60’ın 100’den büyük olan en küçük katını alırız.
Bu da, 60  2  120 ’dir.
8.
O halde, sepetteki elmaların sayısı en az,
120  2  122 ’ dir.
Kenarları 135 m ve 165 m olan dikdörtgen
şeklindeki bahçenin kenarlarına, köşelere de
birer tane gelecek biçimde en büyük aralıklarla ağaçlar dikilecektir.
a. İki ağaç arası kaç m olur?
b. Kaç ağaç dikilir?
9.
Alıştırmalar 3.4
1.
30, 36 ve 40 ile bölünebilen üç basamaklı,
a. en küçük doğal sayı kaçtır?
b. en büyük doğal sayı kaçtır?
2.
Kenarları 18 cm ve 30 cm olan fayanslarla
oluşturulacak kare şeklindeki döşemenin bir
kenarı en az kaç cm olur? Bu döşemeyi yapmak için kaç fayans gerekir?
10. 156 karanfil ile 108 gülden, bir demette eşit
sayıda en çok çiçek olacak biçimde ayrı ayrı
demetler yapılacaktır.
324 ve 540 sayılarının iki basamaklı,
a. Bir demette kaç çiçek olur?
a. en küçük ortak böleni kaçtır?
b. en büyük ortak böleni kaçtır?
b. Karanfiller kaç demet olur?
109
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
7.
T e s t 3 .1
43a5b sayısı 5 ile bölündüğünde 3 kalanını
veriyor.
Bu sayı 2 ve 3 ile bölünebildiğine göre, a’nın
alabileceği en büyük değer nedir?
1.
53a4b sayısı 2 ile bölünebilmektedir. Buna
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
göre a  b toplamı en çok kaç olabilir?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
8.
2.
245a dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 6
ile bölündüğü bilindiğine göre, a yerine gelebilecek sayıların toplamı kaçtır?
A) 15
B) 12
C) 11
A) 18
2a5b dört basamaklı sayısı 10 ile bölündüğünde 4 kalanını veriyor. Bu sayı 3 ile bölünebildiğine göre a’nın alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 10
4.
B) 4
C) 5
B) 8
C) 9
B) 450
C) 540
D) 10
Beş basamaklı 43a5b sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ve 5 ile bölümünden kalan 3’
tür.
Buna göre iki basamaklı en büyük ab sayısı
kaçtır?
A) 96
B) 91
C) 88
D) 73
10. Bir sayının 10 ile bölümündeki kalan 4’tür. Bu
sayının 4 katının 5 ile bölümündeki kalan kaç
olur?
A) 1
D) 6
B) 2
C) 3
D) 4
11. ab3 ve a4b üçer basamaklı iki sayıdır. ab3
sayısının 3 ile bölümündeki kalan 2 ise a4b
sayısının 3 ile bölümündeki kalan nedir?
D) 10
A) 0
Dört basamaklı 3a5b doğal sayısı 3 ve10 ile
tam bölünebiliyor. Bu koşula uyan sayıların
en büyüğü ile en küçüğünün farkı kaçtır?
A) 390
C) 12
D) 15
a34b dört basamaklı sayısı 5’in katıdır. Bu
sayı 9 ile bölünebildiğine göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı nedir?
A) 7
6.
C) 14
3ab5 sayısı 9 ile bölünebilmektedir. a  b olduğuna göre, a’nın alabileceği değerler kaç
tanedir?
A) 3
5.
B) 12
B) 15
D) 4
9.
3.
3 ve 5 ile ayrı ayrı bölündüğünde 1 kalanını
veren bir tek sayı 3a45b ise a’nın alabileceği
değerlerin toplamı nedir?
B) 1
C) 2
D) 3
12. A  4  3 3  25 ve B  8  3 2  125 olduğuna
göre A ve B sayılarının e.b.o.b. u nedir?
D) 600
A) 9
110
B) 30
C) 90
D) 900
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
13. 33 sayısı bir “a” sayma sayısına bölündüğün-
20. Aralarında asal olan iki sayının çarpımı 48
de kalan 3 olmaktadır.
ise, bu iki sayının e.k.o.k. ve e.b.o.b.larının
toplamı kaçtır?
Buna göre, kaç değişik a sayısı vardır?
A) 2
B) 3
C) 4
A) 20
D) 5
C) 3
D) 49
toplamı en çok kaç olabilir?
ları yazılacaktır. Böyle kaç değişik sayı yazılabilir?
B) 2
C) 37
21. E.k.o.k. u 60 olan birbirinden farklı üç sayının
14. 60 ile bölünebilen dört basamaklı 28ab sayı-
A) 1
B) 27
A) 135
B) 120
C) 110
D) 90
D) 4
22. Umut, bilyelerini üçer üçer saydığında 1, dör15. 3ab sayısı 5 ve 7 ile bölünebilmektedir. Buna
der dörder saydığında 2, beşer beşer saydığında 3 tane artıyor. Bilye sayısı 100’den
fazla olduğuna göre Umut’un en az kaç
bilyesi vardır?
göre a’nın en büyük değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
A) 116
B) 118
C) 120
D) 122
16. 6, 15 ve 20 ile bölünebilen 3 basamaklı kaç
tane doğal sayı vardır?
A) 13
B) 14
C) 15
23. Boyutları 3 cm, 4 cm ve 6 cm olan prizmalar-
D) 16
dan en az kaç tanesi ile bir küp yapılabilir?
A) 24
B) 18
C) 12
D) 36
17. 15 ve 28 ile bölünebilen bir sayı aşağıdakilerden hangisi ile bölünemeyebilir?
A) 24
B) 14
C) 12
24. 36 kg, 48 kg ve 54 kg lık çuvallarda sırasıyla
D) 105
bulgur, pirinç ve fasulye bulunmaktadır. Bunlardan, hiç artmayacak şekilde eşit ağırlıkta
paketler yapılacaktır.
Toplam en az kaç paket olur?
18. 18 ve 28 ile ayrı ayrı bölündüğünde 12 kala-
A) 20
nını veren en küçük sayma sayısının onlar
basamağı nedir?
A) 4
B) 5
C) 6
B) 21
C) 22
D) 23
D) 7
25. Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin eni 24 m
sayı 5, 6, 8 ile tam olarak bölünebilsin?
boyu 40 m’dir. Bu bahçenin kenarlarına, köşelere de birer tane gelecek biçimde, eşit
aralıklarla fidanlar dikilecektir. En az kaç fidan gerekir?
A) 2
A) 14
19. 362 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki kalan
B) 7
C) 5
D) 12
111
B) 16
C) 18
D) 20
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
7.
43a5b sayısının 5 ile bölümündeki kalan 3
olduğuna göre, b  3 veya b  8 olabilir. Sayı 2 ile
bölünebildiğine göre b  8’dir.
4  3  a  5  8 toplamı 3’ün katı olacağından a  {1, 4, 7} olmalıdır. O halde, a’nın en büyük değeri 7 dir.
Yanıt B’dir.
Test 3.1’in çözümleri
1.
53a4b sayısı 2 ile bölünebildiğine göre,
b  {0, 2, 4, 6, 8} olmalıdır. a sayısı, rakam olarak
her değeri alabilir. a  b’nin en büyük olması istendiğine göre a  9 ve b  8 olarak seçilmelidir.
8.
3a45b sayısı, 5 ile bölündüğünde 1 kalanını
veren tek sayı olduğuna göre b  1’dir.
3  a  4  5  1 toplamı 3’ün katlarından 1
fazla olacağına göre, a  {0, 3, 6, 9} olmalıdır. O
halde, a’nın alabileceği değerlerin toplamı
O halde a  b’nin en büyük değeri 9  8  17 olur.
Yanıt C’dir.
2.
Verilenlere göre, 245a sayısında
a  {0, 2, 4, 6, 8} dir. Ayrıca, 2  4  5  a toplamı
3’ün katı olacağından a  {1, 4, 7} olmalıdır.
0  3  6  9  18’dir.
Buna göre, a  {0, 2, 4, 6, 8}  {1, 4, 7} olup
a  4 bulunur.
Yanıt D’dir.
9.
43a5b sayısının 5 ile bölümündeki kalan 3
ise b  3 veya b  8 olabilir.
b  3 iken, 4  3  a  5  3 toplamı 3’ün
katlarından 1 fazla olacağından, a {1, 4, 7} olmalıdır. Bu durumda, en büyük ab sayısı 73 olur.
3.
Verilenlere göre, b  4’tür. 2  a  5  4 toplamı 3’ün katı olacağından a  {1, 4, 7} olur.
1  4  7  12 bulunur.
Yanıt B’dir.
4.
Yanıt A’dır.
b  8 iken, 4  3  a  5  8 toplamı 3’ün
katlarından 1 fazla olacağından, a  {2, 5, 8} olmalıdır. Bu durumda da en büyük ab sayısı 88
olur. Öyleyse, 88 sorunun doğru cevabıdır.
Yanıt C’dir.
3ab5 sayısı 9 ile bölünebildiğine göre,
3  a  b  5 toplamı 9’un katı olmalıdır. Buna göre a  b  1 veya a  b  10 olabilir.
a  b  1 iken, a  b koşuluna göre a  0 ve
b  1 olur. a  b  10 iken, a  b koşuluna göre,
a  {1, 2, 3, 4, 5} olmalıdır.
Buna göre, a rakamı 6 farklı değer alabilir.
Yanıt D’dir.
10. 10 ile bölümündeki kalanı 4 olan sayının birler basamağı 4’tür. Bu sayının 4 katının birler
basamağı 6 olacağından, bunun 5 ile bölümündeki kalan 1 olur.
Yanıt A’dır.
11. ab3 sayısının 3 ile bölümündeki kalan 2 ol5.
a34b sayısı 5’in katı olduğundan, b  0 veya
b  5’tir.
b  0 iken, a  3  4  0 toplamı 9’un katı
olacağından a  2 ; b  5 iken, a  3  4  5 toplamı 9’un katı olacağından a  6 olur.
duğuna göre, bunun 1 fazlası olan ab4 sayısı 3 ile
bölünebilir. ab4 sayısı ile a4b sayısının rakamlarının toplamı aynı olduğuna göre a4b sayısı da 3 ile
bölünebilir. Kalan sıfırdır.
Yanıt A’dır.
Bu a değerlerinin toplamı, 6  2  8 olarak
bulunur.
Yanıt B’dir.
12. A  4  3 3  25  2 2  3 3  5 2 ;
B  8  3 2  125  2 3  3 2  5 3 olup
( A, B)ebob  22  3 2  5 2  900 ‘dür.
6.
Yanıt D’dir.
Verilenlere göre, b  0’dır.
3  a  5  0 toplamı 3’ün katı olacağından
a  {1, 4, 7} olmalıdır. Buna göre 3a5b sayılarının
en büyüğü 3750, en küçüğü 3150 ve bunların farkı
3750  3150  600 olur.
Yanıt D’dir.
13. a sayısı, 33  3  30 sayısının 3’ten büyük
bölenlerinden biri olabilir.
Buna göre, a  {30, 15, 10, 6, 5} olup 5
değişik a sayısı vardır.
Yanıt D’dir.
112
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
14. 28ab sayıları, 2800 ile 2900 arasında bulu-
12, 14, 105 sayıları bu sayının birer böleni
olup 24 sayısı bunun bir böleni olmayabilir. (k çarpanının değerine göre olabilir de; ama kesin değil.)
Yanıt A’dır.
nan ve 60 ile bölünebilen sayılardır.
2900’den küçük olan ve
60 ile bölünebilen sayma
sayılarının adedi 48 ;
2900
240
60
48
500
480
18. İstenen sayı 18 ve 28’in e.k.o.k.unun 12 faz-
20
2800 den küçük olan ve
60 ile bölünebilen sayma
sayılarının adedi 46 olup,
28ab sayıları 48  46  2
tane olur.
2800
240
lasıdır.
18  2  3 2 
2
2
  (18,28) ekok  2  3  7  252
2
28  2  7
60
46
400
360
İstenen sayı, 252  12  264 olup onlar basamağı 6’dır.
Yanıt C’dir.
40
Yanıt B’dir.
19. 5, 6, 8 sayılarının 362’ye en yakın olan ortak
15. 3ab sayıları 5 ve 7’nin 300 ile 400 arasındaki
katını bulmalıyız.
katlarıdır. (5, 7)ekok  35’tir.
55
300
35
Yandaki işleme göre
280
8
35  9  315, 35  10  350,
20
35  11  385 olduğundan,
a  {1, 5, 8} olup a nın en büyük değeri 8’dir.
120  3  360 sayısı 5, 6 ve 8 ile bölünebileceğine göre, 362 sayısından 2 çıkarmalıyız.


6  2  3  (5,6,8 ) ekok  2 3  3  5  120 olur.

8  23 
Yanıt C’dir.
Yanıt A’dır.
16. 6, 15, 20 ile bölünebilen sayılar bunların
20. Aralarında asal olan iki sayının e.k.o.k.u
e.k.o.k.u ile de bölünebilir.
6  23 

15  3  5   (6,15,20) ekok  2 2  3  5  60 ’tır.

20  2 2  5 
1000
60
60
16
60’ın 3 basamaklı katları,
100 ile 1000 arasındaki 60
ile bölünebilen sayılardır.
Bunlar da 16  1  15 tanedir.
bunların çarpımı; e.b.o.b.u ise 1’dir.
Bu iki sayı a ve b ise
(a, b)ekok  (a, b)ebob  48  1  49 olur.
Yanıt D’dir.
21. a, b, c gibi üç sayının e.k.o.k.u 60 ise, a, b, c
400
360
sayıları 60’ın birer böleni olacaktır.
a, b, c’nin en büyük olması istendiğine göre,
bu sayıları 60’ın en büyük üç böleni olarak seçmeliyiz. Bunlar da 60, 30, 20 olup toplamları
40
100
60
35
1
40
60  30  20  110 olur.
Yanıt C’dir.
Yanıt C’dir.
22. Umut’un 2 bilyesi daha olsaydı; üçer üçer,
17. 15 ve 28 ile bölünebilen bir sayı, 15 ile 28’in
dörder dörder, beşer beşer saydığında hiç bilyesi
artmayacaktı.
Bu durumda, bilye sayısı 3, 4 ve 5’in bir ortak
katı olurdu.
bir ortak katıdır.
15  3  5 
2
  (15,28 ) ekok  2  3  5  7
28  2 2  7 
olduğundan bu sayı, 2 2  3  5  7  k gibi bir sayıdır.
(3, 4, 5) ekok  3  4  5  60 ’dır.
113
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
Bilye sayısı 100’den fazla olduğuna göre, 60’
ın 100’den büyük olan en küçük katını almalıyız.
Demek ki, 2 bilyesi daha olsaydı, Umut’un en az
60  2 120 bilyesi olacaktı.
O halde, Umut’un en az 120  2  118 bilyesi
vardır.
Yanıt B’dir.
T e s t 3 .2
1.
78796  153517  253794 toplamının 5 ile
bölümündeki kalan nedir?
A) 1
23. Küpün ayrıtları 3’ün, 4’ün ve 6’nın birer
katı olmalıdır.
Bu ayrıtlar birbirine
eşit olacağına göre
küpün bir ayrıtı 3, 4,
6’nın e.k.o.k.u
olmalıdır.
2.
B) 2
C) 3
D) 4
Aşağıdaki sayı çiftlerinden kaçı aralarında
asaldır?
3 prizma
I. 11 ; 17
II. 21 ; 54
3
A) 1
4 prizma
4
6
III. 8 ; 27
IV. 26 ; 65
B) 4
C) 3
D) 2
2 prizma
3.
Buna göre küpün bir ayrıtı, (3, 4, 6)ebob 12 cm’dir.
12
12
12
 4,
 3 ve
2
3
4
6
prizma bulunacağından, en az 4  3  2  24 prizma ile bir küp yapılabilir.
Yanıt A’dır.
Ayrıtlar boyunca
100’e kadar olan sayma sayılarından kaç tanesi 7 ile bölünebilir?
A) 12
4.
24. Paket sayısının en az olması istendiğine göre bir paketin ağırlığı mümkün olduğu kadar fazla
olmalıdır. Çuvallarda artık kalmayacağına ve paketlerin ağırlıkları da eşit olacağına göre, bir paketin ağırlığı 36, 48, 54 sayılarının e.b.o.b.u kadar
olmalıdır.
36  2 2  3 2 

48  2 4  3   (36,48,54 ) ebob  2  3  6 kg olup

54  2  3 3 

36 48 54


 6  8  9  23 paket olur.
6
6
6
Yanıt D’dir.
D) 15
B) 12
C) 15
D) 18
4abc sayısında a < b < c olup bu sayının 5
ile bölümündeki kalan 2’dir. Bu sayı 9 ile bölünebildiğine göre a’nın en büyük değeri kaçtır?
A) 2
6.
C) 14
5a234 beş basamaklı sayısı 3 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa a’nın alabileceği
değerlerin toplamı nedir?
A) 9
5.
B) 13
B) 3
C) 4
D) 5
ab32 sayısı 3 ile bölünebilmektedir. Buna göre, a  b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 10
B) 13
C) 16
D) 18
25. Art arda gelen iki fidan arası 24 ve 40’ın
7.
e.b.o.b. u kadar olmalıdır.
24  2 3  3 
  (24,40) ebob  8
40  2 3  5
Bahçenin çevresi
(40  24)  2  128 m
olduğundan
4626a sayısının 3 ve 5 ile bölünebilmesi için,
a kaç olmalıdır?
A) 0
8.
24
128
 16 fidan gerekir.
8
40
114
C) 6
D) 9
56a8b beş basamaklı sayısı 5 ve 6 ile bölünebildiğine göre a’nın alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 12
Yanıt B’dir.
B) 5
B) 13
C) 15
D) 16
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
9.
17. 300’den küçük sayma sayılarından kaç ta-
abc sayısının 10 ile bölümündeki kalan 8’dir.
nesi hem 6’ya hem de 9’a bölünebilir?
Bu sayı 3 ile bölünebildiğine göre a  b toplamı en çok kaç olabilir?
A) 15
B) 16
C) 17
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
D) 18
18. 24 ve 15 ile bölündüğünde 5 kalanını veren
en küçük sayma sayısının onlar basamağındaki rakam nedir?
10. 5a3b sayısı 12 ile bölünebildiğine göre a
sayısı en çok kaç olabilir?
A) 6
B) 7
C) 9
A) 2
D) 8
B) 3
C) 4
D) 5
19. 98 ve 123 sayıları bir a sayısına bölündüğün11. 5a34 sayısının 9 ile bölümündeki kalanın en
de sırasıyla 8 ve 6 kalanlarını veriyor. Buna
göre 123 ün a sayısına bölümü nedir?
büyük olması için a kaç olmalıdır?
A) 5
B) 6
C) 7
A) 11
D) 8
C) 2
D) 15
kaç doğal sayı vardır?
bir sayıdır. a5b sayısının 3 ile bölümündeki
kalan kaçtır?
B) 1
C) 14
20. 120 ile 200 arasında, 6 ve 12 ile bölünebilen
12. ab6, 3’e kalansız bölünebilen üç basamaklı
A) 0
B) 13
A) 6
B) 5
C) 8
D) 7
D) 3
21. 853 sayısından en az kaç çıkarılmalı ki, elde
edilen sayı 2, 3, 4, 5, 7 ile bölünebilsin?
13. Bir sayının 7 ile bölümünde bölüm 15 kalan 6
A) 3
dır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisi ile bölünemez?
A) 3
B) 11
C) 37
B) 8
C) 18
D) 13
22. E.k.o.k.u 54 olan birbirinden farklı iki sayının
D) 111
toplamı en çok kaç olabilir?
A) 72
B) 81
C) 84
D) 92
14. 34a sayısının 5 ile bölümündeki kalan 2’dir.
Bu sayının 3 katının 10 ile bölümündeki kalan
en çok kaç olabilir?
A) 6
B) 1
C) 7
23. Can bilyelerini dörder dörder, beşer beşer ve
altışar altışar sayınca hep iki bilyesi artıyor.
Can’ın en az kaç bilyesi vardır?
D) 8
A) 42
15. A  2 2  3 2  5 sayısı, a ve b aralarında asal
C) 53
D) 62
u 60’tır. Bu sayıların toplamı en az kaç olabilir?
A) 23
B) 41
C) 82
24. Aralarında asal olan iki doğal sayının e.k.o.k.
olan 1’den farklı doğal sayılar olmak üzere,
a  b biçiminde yazılacaktır. a  b toplamı en
çok kaç olabilir?
A) 29
B) 60
B) 19
C) 17
D) 16
D) 49
25. Bir odanın döşenmesinde, boyutları 4 cm ve
16. 90 ve 126 ile bölündüğünde 4 kalanını veren
en küçük sayma sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
18 cm olan dikdörtgen biçimindeki parkelerle,
kare desenler yapılmak isteniyor. En az kaç
parke ile bir kare yapılabilir?
A) 1
A) 12
B) 2
C) 3
D) 4
115
B) 18
C) 24
D) 36
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
9.
T e s t 3 .3
1.
2.
Buna göre, abc toplamının en büyük değeri nedir?
A) 28
Aşağıdaki sayılardan hangisi 3, 4, 5 ve 9 ile
bölünebilir?
A) 630
B) 720
C) 780
B) a2
C) a2
B) 25
C) 23
D) 20
10. 7 ile bölünebilen rakamları farklı en büyük üç
D) 840
basamaklı sayıyla, 3 ile bölünebilen en küçük
üç basamaklı sayı arasındaki fark kaçtır?
Bir a sayısının 8 ile bölümündeki kalan 6’dır.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi 8 ile bölünür?
A) a8
3abc sayısının 5 ile bölümündeki kalan 2’dir.
A) 892
D) a6
B) 889
C) 885
D) 882
11. 210 sayısının kaç tane asal sayı böleni vardır?
3.
a357b, beş basamaklı bir sayıdır. Bu sayı 5
ve 9 ile tam bölünebildiğine göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı nedir?
A) 3
4.
C) 7
B) 7
C) 6
B) 3
C) 4
A) 6
7.
B) 2
C) 3
A) 3
B) 4
C) 5
B) 7
C) 8
B) 9
C) 18
D) 27
B) 9
C) 12
D)18
15. 36 ve 45 sayılarına bölünen en küçük sayma
sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
D) 4
A) 90
B) 180
C) 360
D) 540
16. Üç basamaklı bir doğal sayı 8 ve 9 ile bölünebilmektedir. Bu koşula uyan en büyük sayının onlar basamağındaki rakam kaçtır?
D) 6
5a63b sayısının 5 ile bölümündeki kalan 3’
tür. Bu sayı 2 ve 3 ile bölünebildiğine göre a
sayısı en çok kaç olabilir?
A) 5
D) 2
larının üçünü birden bölemez?
D) 5
A) 3
8.
C) 8
14. Aşağıdakilerden hangisi 72, 108 ve 144 sayı-
a34b sayısının 10 ile bölümündeki kalan 7
dir. Bu sayı 9 ile bölünebildiğine göre a kaçtır?
A) 3
B) 4
lersek, bölümler aralarında asal olur?
ab2 ve ab6 üçer basamaklı iki sayıdır. ab2
sayısı 7 ile bölünebildiğine göre, ab6 sayısının 7 ile bölümündeki kalan kaçtır?
A) 1
D) 4
13. 81 ve 270 sayılarını hangi doğal sayı ile bö-
D) 9
A) 8
6.
C) 5
böleni vardır?
973ab sayısı 2, 3 ve 5 ile bölünebilmektedir.
Buna göre, a yerine kaç değişik sayı konulabilir?
A) 2
B) 3
12. 54 ve 72 sayılarının kaç tane ortak doğal sayı
D) 10
5a3b sayısı 9 ile bölünebildiğine göre ab
farkı en çok kaç olabilir?
A) 8
5.
B) 5
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
17. 4 ve 6 ile bölünebilen iki basamaklı sayılar
kaç tanedir?
D) 9
A) 6
116
B) 7
C) 8
D) 9
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
18. Aralarında asal olan 1’den farklı iki sayının
T e s t 3 .4
e.b.o.b. u ile e.k.o.k. unun toplamı 64’tür. Bu
sayıların toplamı kaçtır?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
1.
19. 1213 sayısına en az kaç eklenmeli ki elde
edilen sayı 5, 6, 7, 9 ile bölünebilsin?
A) 17
B) 27
C) 37
A) 5
2.
kalanını veren 3 basamaklı en küçük doğal
sayı kaçtır?
B) 144
C) 142
C) 8
3.
C) 10
4.
D) 15
5.
14
dakikada, B 16 dakikada, C 28 dakikada dönüyor. Aynı noktadan aynı anda harekete
başlayan üç hareketlinin ilk kez aynı noktada
buluşmalarına kadar A kaç tur yapar?
B) 8
C) 7
6.
D) 6
C) 384
C) 320
D) 360
7.
D) 192
B) 11
C) 15
D) 19
B) 15
C) 16
D) 17
Aşağıdakilerden hangisi 6 ve 9 ile bölünemez?
A) 36
bir kenarı 20 cm’den büyük olan bir küp yapılacaktır. Buna göre en az kaç prizma gerekir?
B) 96
B) 210
64a3b sayısı 5 ile bölünebilmektedir. Buna
göre a  b toplamının en büyük değeri kaçtır?
A) 14
24. Boyutları 3 cm, 4 cm ve 6 cm olan kutularla,
A) 144
D) 4
Üç basamaklı a74 sayısı 6 ile bölünebilmektedir. a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 12
23. Bir çembersel pisti, üç hareketliden A
A) 9
C) 3
Aşağıdakilerden hangisi 3, 4, 5 ile bölünebilir?
A) 150
grubu bir otelde kalacaktır. Farklı uluslardan
olanlar farklı odalarda kalacak ve her odadaki
kişi sayısı birbirine eşit olacaktır.
Buna göre, en az kaç oda gerekir?
B) 6
B) 2
D) 6
22. 12 İngiliz ve 18 Alman’dan oluşan bir turist
A) 5
D) 8
D) 140
Bu iki sayının çarpımı 864 ise, ortak bölenlerinin en büyüğü kaçtır?
B) 12
C) 7
Üç basamaklı en küçük asal sayının 9 ile bölümündeki kalan kaçtır?
A) 1
21. İki sayının ortak katlarının en küçüğü 72’dir.
A) 18
B) 6
D) 47
20. 6, 8 ve 9 ile bölündüğünde, sırasıyla 4, 6 ve 7
A) 146
40 ile 60 arasındaki asal sayıların kümesi kaç
elemanlıdır?
B) 138
C) 198
D) 918
763589 sayısının 6 ile bölümündeki kalan
kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
25. Bir duraktan A, B, C semtlerine 20, 25, 30
dakikada bir otobüsler kalkmaktadır. Sabah
saat 6’da birlikte kalkan bu otobüsler, bundan
sonra en erken saat kaçta yine birlikte kalkarlar?
A) 10.00
B) 10.20
C) 11.00
8.
Dört basamaklı 854m sayısının 5 ile bölümündeki kalan 3’tür. Buna göre, m’nin alabileceği değerlerin toplamı kaç olur?
A) 6
D) 11.30
117
B) 8
C) 9
D) 11
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
9.
18. E.k.o.k. u 45 olan farklı iki doğal sayının top-
Beş basamaklı 574m0 sayısı 3 ve 4 ile bölünebildiğine göre, m’nin alabileceği değerlerin
toplamı kaçtır?
A) 7
B) 10
C) 13
lamı en çok kaç olabilir?
A) 90
B) 75
C) 60
D) 45
D) 15
19. 285 sayısına en az kaç eklenmeli ki elde
edilen sayı 9, 12, 15 ile bölünebilsin?
10. 817 3  543 2 çarpımının 5 ile bölümündeki
A) 15
kalan kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
C) 7
D) 75
üç basamaklı en büyük sayının 4 ile bölümündeki kalan kaçtır?
deki kalan 6’dır. Bu sayı 9 ile bölünebildiğine
göre a kaçtır?
B) 6
C) 45
20. 5, 7 ve 9 ile bölündüğünde 3 kalanını veren
11. Üç basamaklı a4b sayısının 10 ile bölümün-
A) 5
B) 35
A) 3
D) 8
B) 2
C) 0
D) 1
21. E.b.o.b.u 18 olan farklı iki sayının toplamı en
az kaç olabilir?
12. 200 ile 400 arasında bulunan ve 10 ile bölü-
A) 24
B) 36
C) 48
D) 54
nebilen sayılardan kaçı 6 ile de bölünebilir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
22. 54 m, 72 m ve 84 m’lik kumaşlar en büyük
uzunlukta eşit parçalara ayrılacaktır.
13. 420 sayısının asal bölenlerinin toplamı kaç-
Kaç parça kumaş elde edilir?
tır?
A) 21
A) 12
B) 15
C) 17
B) 23
C) 33
D) 35
D) 19
23. Birbirini döndüren iki
14. Dört basamaklı abcd sayısının 3 ile bölümün-
dişli çarktan birinin 24
diğerinin 64 dişi vardır.
Karşılıklı gelen iki dişin
deki kalan 2 olup üç basamaklı abc sayısı 3
ile bölünebilmektedir.
Buna göre d’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
A) 7
B) 10
C) 13
yeniden karşılaşmasına kadar, 64 dişli çark
en az kaç dönme yapar?
D) 15
A) 2
15. 15 ve 18 ile bölünebilen bir sayı, aşağıdakiB) 30
C) 20
C) 4
D) 6
24. Boyutları 80 m ve 140 m olan dikdörtgen
lerden hangisine bölünemeyebilir?
A) 45
B) 3
biçimindeki arsa en büyük boyutlu kare
biçiminde parsellere ayrılacaktır. Kaç parsel
elde edilir?
D) 10
16. 40 ile 400 arasındaki doğal sayılardan kaçı
A) 20
B) 24
C) 28
D) 32
hem 9 hem de 15 ile bölünebilir?
A) 8
B) 7
C) 9
D) 10
25. Şükran, birbirinden farklı üç ilacını 6 saatte
bir, 9 saatte bir, 12 saatte bir almaktadır.
3
2
3
4
17. A  2  3  5 ve B  2  3  5 ise (A, B)ebob
Üçünü birlikte aldıktan en az kaç saat sonra
yeniden üçünü birlikte alır?
değeri kaçtır?
A) 30
B) 60
C) 90
D) 120
A) 18
118
B) 24
C) 36
D) 48
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
7.
T e s t 3 .5
1.
a5b üç basamaklı bir sayıdır. Bu sayının 10
ile bölünmesinden kalan 5’tir. Bu sayı 9 ile
bölünebildiğine göre, a’nın değeri nedir?
(1996-ML)
Aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) 3
(1993-FL)
A)
B)
C)
D)
İki asal sayının toplamı bir asal sayıdır.
İki asal sayının çarpımı bir asal sayıdır.
İki asal sayının toplamı bir çift sayıdır.
2’den büyük asal sayılar tek sayıdır.
8.
D) 8
B) 18
C) 21
D) 24
Aşağıda verilen sayı çiftlerinden hangileri
aralarında asaldır?
(1995-DPY)
A) 25 ile 36
C) 26 ile 39
3.
C) 6
Üç basamaklı abc doğal sayısı 3 ve 5 ile tam
bölünebildiğine göre a  b  c toplamı en çok
kaç olabilir?
(1997-EML)
A) 15
2.
B) 5
B) 19 ile 38
D) 45 ile 48
9.
Aşağıdakilerden hangisi 48, 72 ve 108 sayılarından üçünü birden tam olarak bölemez?
491ab beş basamaklı doğal sayısı 35 ile tam
olarak bölünebildiğine göre, a yerine yazılabilecek sayıların toplamı kaçtır?
(1990-EML)
A) 14
B) 11
C) 7
D) 4
(1998-OÖK)
A) 2
B) 6
C) 12
D) 18
10. En büyük ortak böleni 3 ve en küçük ortak
4.
katı 18 olan iki sayının toplamı en fazla kaç
olur?
(1994-AÖL)
Üç ile bölünebilen üç basamaklı doğal sayının rakamlarının toplamı en fazla kaç olur?
A) 55
B) 29
C) 21
D) 15
(1993-AÖL)
A) 27
B) 21
C) 18
D) 9
11. 1 kg sıvı yağ hiç artmayacak şekilde 120 g ve
5.
A) 9
6.
200 g’lık şişelere doldurulacaktır. Bunun için
en fazla kaç tane şişe kullanılır?
8226a sayısının 3 ve 5 ile tam bölünebilmesi
için a kaç olmalıdır?
(1992-KUR)
B) 8
C) 5
(2001-DPY)
D) 0
A) 5
9123abc sayısı 9 ile tam bölünebildiğine göre, a  b  c aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(1995-KUR)
A) 3
B) 9
C) 12
B) 6
C) 7
D) 8
12. 18 ve 21 ile ayrı ayrı bölündüğünde 5 kalanını veren sayı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
(1998-DPY)
A) 126
D) 21
119
B) 131
C) 257
D) 383
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
13. 3 ve 7 ile bölündüğünde 1 kalanını veren iki
20. 24, 30 ve m sayılarının e.k.o.k.u 120’dir. Bu
basamaklı en büyük doğal sayı hangisidir?
koşula uyan iki basamaklı en büyük m doğal
sayısı kaçtır?
(1994-KUR)
(1995-FL)
A) 22
B) 64
C) 85
A) 90
D) 88
B) 80
C) 60
D) 40
14. 1 ile 100 arasında 2 ile bölündüğünde 1 kala-
21. Bir çocuk bilyelerini 8’erli, 10’arlı, 12’şerli
nını veren doğal sayılardan kaç tanesi 8 ile
bölündüğünde 3 kalanını verir?
gruplara ayırdığında her seferinde geriye 2
bilyesi kalıyor.
Buna göre çocuğun en az kaç tane bilyesi
vardır?
(1995-KUR)
(1998-ML)
A) 21
B) 13
C) 10
D) 9
A) 32
B) 62
C) 118
D) 122
15. 1’den 542’ye kadar, 10 ile tam bölünebilen
doğal sayılardan kaç tanesi 7 ile de tam bölünebilir?
(1993-AÖL)
A) 3
B) 5
C) 7
22. 44, 65 ve 86 doğal sayılarını böldüğümüzde
sıra ile 4, 5 ve 6 kalanını veren en büyük doğal sayı kaçtır?
(1990-FL)
D) 8
A) 20
B) 10
C) 8
D) 5
16. 500 ile 1000 arasında olup aynı anda 36 ve
84 sayıları ile bölünebilen sayıların toplamı
kaçtır?
(1995-FL)
A) 1260
B) 1300
C) 1354
23. Ayrıtlarının uzunlukları 4 cm, 8 cm ve 16 cm
olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahtaların en az kaç tanesi ile bir küp yapılabilir?
D) 1410
(2000-ÖO)
A) 12
17. 194 sayısından hangi en küçük doğal sayı
B) 10
C) 8
D) 6
çıkarılmalıdır ki, kalan sayı 3, 4 ve 5’e tam
olarak bölünebilsin?
(1993-EML)
A) 4
B) 14
C) 72
24. Bir babanın 6, 8 ve 12 yaşlarında üç çocuğu
D) 74
vardır. Her çocuk babasının yaşını kendi
yaşına böldüğünde kalanı 5 buluyor. Buna
göre, aşağıdakilerden hangisi babanın yaşı
olabilir?
(2000-ÖO)
18. 125 sayısına en küçük hangi doğal sayı eklenmelidir ki, elde edilen sayı 11 ve 13 ile tam
bölünebilsin?
A) 36
B) 38
C) 41
D) 53
(1992-EML)
A) 18
B) 37
C) 44
D) 67
25. Bir torbadaki cevizleri 12’şer 12’şer saydığımızda 11, 20’şer 20’şer saydığımızda 19, 35’
er 35’er saydığımızda 34 ceviz artıyor. Bu
torbada en az kaç tane ceviz vardır?
19. a, b ve c birer doğal sayı olmak üzere
a  b  48 ve a  c  76 ise, a’nın alabileceği
en büyük değer kaçtır?
(1993-FL)
A) 2
B) 4
C) 6
(1992-FL)
A) 420
D) 12
120
B) 419
C) 320
D) 319
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
8.
T e s t 3 .6
Yandaki toplama işleminde,
toplam 3 ile tam bölünebiliyorsa a  b kaçtır? ((1998-DPY)
1.
A) 10
2.
A) 10
8 ile iki basamaklı 2a sayısı aralarında asal
ise a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
(1990-DPY)
B) 15
C) 20
9.
D) 25
A) 85
B) 86
C) 87
C) 6
D) 4
1 ve 83 arasında hem 4 hem de 6 ile tam
olarak bölünebilen kaç doğal sayı vardır?
(1996-DPY)
A) 3
İki basamaklı en büyük asal sayı ile iki basamaklı en küçük asal sayı arasındaki fark
kaçtır?
(1998-DPY)
B) 8
3a5
+ 638
10b3
B) 4
C) 6
D) 12
10. 1 ile 100 arasında, 2 ile bölündüğünde 1 ka-
D) 89
lanını veren doğal sayılardan kaç tanesi 5 ile
bölündüğünde 3 kalanını verir? (1998-KUR)
3.
29 basamaklı 111...1 sayısının 9 ile bölümündeki kalan kaçtır?
(1991-AÖL)
A) 0
B) 2
C) 5
A) 21
B) 19
C) 9
D) 10
D) 7
11. 504 ve 756’ya bölündüğü zaman 4 kalanını
4.
A) 220
5.
veren en küçük sayının birler basamağında
aşağıdaki sayılardan hangisi bulunur?
(1984-FL)
A) 8
B) 6
C) 4
D) 2
Aşağıdaki sayılardan hangisi 15 ve 18’e kalansız bölünebilir?
(1992-DPY)
B) 280
C) 320
D) 360
523a dört basamaklı sayısı 2 ve 3 ile tam
olarak bölünebildiğine göre, a yerine kaç değişik sayı yazılabilir?
(1992-FL)
A) 2
B) 3
C) 4
12. 5 ve 9 sayılarına bölündüğünde 3 kalanını
veren en küçük iki basamaklı doğal sayı, 4’e
bölündüğünde kaç kalanını verir?
(1993-DPY)
D) 5
A) 3
6.
573ab beş basamaklı bir doğal sayıdır. Bu
sayının 2, 3 ve 5 ile tam bölünebilmesi için a
ile b’nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
C) 1
D) 0
13. 12 ve 16 sayılarına bölündüğünde 7 kalanını
D) 12
veren üç basamaklı en küçük doğal sayının
birler basamağındaki rakam kaçtır?
(2001-DPY)
A) 5
B) 3
C) 2
D) 1
abc üç basamaklı doğal sayısı 2 ve 5 ile tam
bölünebiliyorsa, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
(1994-EML)
14. e.b.o.b. u 9 ve e.k.o.k. u 54 olan iki sayıdan
A) 21
7.
B) 2
A) c > 0
B) 18
B) c > 1
C) 15
C) a > c
biri 27 ise diğeri kaçtır?
A) 3
D) c > b
121
B) 6
(1995-DPY)
C) 9
D)18
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
15. Toplamları 1800 ve e.b.o.b.u 225 olan iki
22. Boyutları 30 cm, 12 cm ve 4 cm olan tuğla-
doğal sayıdan büyük olanı küçük olanına tam
bölünemediğine göre, küçük sayı kaçtır?
(1996-FL)
lardan en küçük boyutlu bir küp yapılmak isteniyor. Bu küp için en fazla kaç tuğla gerekir?
(1995-EML)
A) 225
A) 150
B) 450
C) 675
D) 1125
B) 100
C) 50
D) 200
16. 145 sayısından en az hangi doğal sayı çıka-
23. 45, 30 ve 18 litrelik üç bidon sirke ile doludur.
rılmalıdır ki, kalan sayı 3, 5, 9 ile tam bölünebilsin?
(1998-DPY)
Bidonlardaki sirkeler, birbirine karıştırılmadan
hiç artmayacak şekilde, eşit hacimli şişelere
doldurulacaktır. Buna göre şişelerden biri en
fazla kaç litreliktir?
(1995-FL)
A) 10
B) 7
C) 5
D) 15
A) 1
17. 138 sayısına en küçük hangi doğal sayı eklenmeli ki 12, 16 ve 18 ile tam olarak bölünebilsin?
(1991-FL)
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
C) 122
D) 134
19. Bir çocuk cevizlerini 7’şerli, 8’erli ve 12’şerli
gruplara ayırdığında her defasında 3 ceviz
artıyor. Bu çocuğun en az kaç cevizi vardır?
(1998-ML)
A) 165
B) 168
C) 171
25. Aşağıdaki problemlerden hangilerinin çözümü en küçük ortak kat (e.k.o.k.) bulma işleminden yararlanılarak yapılabilir?
D) 174
I.
Bir fabrikadaki iki zilden biri 30, diğeri
40 dakikada çalmaktadır. Ziller bir defa
birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra tekrar birlikte çalar?
II.
Bir sınıftaki öğrenciler 4’er, 5’er ve 8’er
sayıldığında her seferinde 3 öğrenci artıyor. Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır?
III.
80 cm ve 120 cm uzunluğunda iki çubuk, boyları birbirine eşit parçalara ayrılacaktır. Bir parçanın uzunluğu en fazla
kaç cm olur?
(2000-OÖ)
20. Üç otobüsten birincisi 10 günde, ikincisi 8
günde ve üçüncüsü de 6 günde bir sefere
çıkmaktadır. Aynı anda sefere çıkan bu otobüsler en az kaç gün sonra yine birlikte sefere çıkarlar?
(1994-EML)
A) 120
B) 90
C) 60
D) 150
21. Kenar uzunlukları 192 m ve 248 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına eşit
aralıklarla ağaç dikilmek isteniyor. Bu aralıkların en büyük olması durumunda kaç fidan
gereklidir?
(1998-DPY)
A) 106
B) 110
C) 130
D) 6
20 ve 32 ile bölündüğünde 26 kalanını veren
en küçük doğal sayı kaçtır?”
Bu problemin çözümü yapılırken aşağıdakilerden hangisinin mutlaka bulunması gerekir?
(2000-ÖO)
A)
Kalanların toplamı
B)
Bölenlerin toplamı
C) Kalanların e.k.o.k.u
D) Bölenlerin e.k.o.k.u
kalanını veren üç basamaklı en küçük doğal
sayı kaçtır?
(1999-ÖĞL)
B) 110
C) 3
24. “14 ile bölündüğünde 8, 26 ile bölündüğünde
18. 3, 6 ve 12 sayılarıyla bölündüğünde daima 2
A) 104
B) 2
A) Yalnız I
C) I ve II
D) 260
122
B) Yalnız II
D) II ve III
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
8.
Tekrar testi 2
1.
2.
D) I, II, III
C) II, III, IV
D) I, II, III
A) 17
9.
B) 97068
C) 96068
C) 8271
A) 12
D) 96168
C) 12
C) 3
A) 9
D) 8361
B) 420
C) 630
C) 14
B) 12
C) 15
12. Yandaki işleme göre
D) 15
D) 24
A) 16
B) 17
13. A  {a, b, d, e} ,
D) 18
4ab
+ 3c9
cb4
abc
toplamı kaçtır?
C) 18
A
D) 19
B
B  {b, c, d, f} ve
C  {d, e, f, k}
C
olduğuna göre;
aşağıdaki elemanlardan hangisi, şekildeki taralı bölge ile belirtilen kümede bulunur?
D) 6
Aşağıdakilerden hangisi 14 ve 15 sayılarının
ikisine birden bölünemez?
A) 350
B) 13
büyük ortak katının rakamlarının toplamı
kaçtır?
9 ile bölünebilen, dört basamaklı ve rakamları farklı en büyük doğal sayının, rakamlarından en küçüğü kaçtır?
B) 1
D) 29
11. 40, 48 ve 60 sayılarının üç basamaklı en
Beş basamaklı 537ab sayısı 4 ve 5 ile bölünebildiğine göre, a’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
B) 16
C) 23
ile bölünebilir?
Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 13
olan dört basamaklı sayılardan, en büyüğü
ile en küçüğü arasındaki fark kaçtır?
B) 8262
B) 19
10. 3 basamaklı doğal sayılardan kaçı 18 ve 24
88486 sayısı ile 48688 sayısındaki 8 rakamlarının basamak değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 0
6.
C) II, III
B) I, II, IV
A) 20
5.
II. {a, c}  A
IV. {c}  A
B) I, III
A) I, III, IV
A) 8171
4.
A) I, II
A  44  253  302  49 olduğuna göre, A sayısının asal çarpanlarının toplamı kaçtır?
A) 97168
3.
I. 37  47  37  37  470
II. 63  57  63  43  6300
III. 46  59  23  98  460
A  {a, b, {a, c}, c} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
I. {a, b}  A
III. {a, c}  A
Aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
A) b
B) c
C) e
D) k
D) 1050
14. Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşlarının
7.
  688  588  215 eşitliğinde, “” işaretinin yerine hangi sayı gelmelidir?
toplamının 3 katıdır. 4 yıl sonra yaşlarının
toplamı 68 olacağına göre, babanın bugünkü
yaşı kaçtır?
A) 15
A) 39
B) 115
C) 215
D) 315
123
B) 42
C) 45
D) 48
3. Bölüm
Bölünebilme ve Çarpanlara Ayırma
15. A \ B  {1, 2, 3, 4}
21. Çiftliğinde 240 koyunu bulunan bir çiftçi, ko-
A
ve A \ C  {2, 4, 6, 8}
olduğuna göre;
B
taralı bölgeye karşılık
gelen küme kaç elemanlıdır?
A) 3
B) 4
C) 5
yunların bir kısmını satarak bu parayla sığır
almıştır. 7 koyunun parası ile 2 sığır alınabildiğine ve çiftlikte toplam 180 hayvan kaldığına göre, çiftçi kaç koyun satmıştır?
C
A) 70
D) 6
B) 77
C) 84
D) 91
16. 33 kişilik bir sınıfta 3 kız daha olsaydı, kız-
22. Matematik öğretmenlerini ziyarete giden 12
ların sayısı erkeklerin sayısının 3 katı olacaktı. Bu sınıfta kaç kız vardır?
kişilik bir öğrenci grubunda, herkesin elinde
gül veya karanfil vardır. Hem gülü hem karanfili olanların sayısı yalnız karanfili olanların sayısından 1 fazla, yalnız gülü olanların
sayısından 1 eksiktir.
A) 21
B) 24
C) 26
D) 27
Kaç öğrencide gül vardır?
17. Toplamı 148 olan üç sayıdan I. si II. sinden 5
fazla; III. sü diğer ikisinin toplamından 10
eksiktir. I. sayı kaçtır?
A) 39
B) 40
C) 41
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
D) 42
23. A, B, C kümelerine
18. Bir sınıftaki öğrencilerin kümesinde,
K  {Kız öğrenciler}
E  {Erkek öğrenciler}
M  {Matematikten başarılı öğrenciler}
T  {Türkçeden başarılı öğrenciler}
G  {Gözlüklü öğrenciler} olduğuna göre;
{Matematikten başarılı, Türkçeden başarısız,
gözlük kullanmayan erkek öğrenciler} kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (M  E) \ (G  T)
B) (M  E) \ (G  T)
C) (M  E) \ (G  T)
D) (M  E) \ (G T)
A
B
ait Venn şeması
C
şekilde verilmiştir.
Taralı bölgeye
karşılık gelen küme,
aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilemez?
A) (A  B) \ (B  C)
B) (A \ C)  B
C) (A \ B)  C
D) (B \ C)  A
24. Ayşe, güllerini 6’şar 6’şar ya da 8’er 8’er saydığında 5 gül artmakta; 5’er 5’er saydığında
hiç artmamaktadır.
Ayşe, güllerini 7’şer 7’şer saysa kaç gül
artar?
19. Bir sınıfın 39 öğrencisi, sınıftaki 17 sıraya
ikişer ya da üçer kişi olarak oturmaktadır.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Üçer kişi oturulan sıra sayısı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
25. Bir grup öğrenciye -her birine eşit sayıda
kalem ve defter düşecek şekilde- 189 kalem
ve 135 defter dağıtılmıştır.
20. (a, 24, 36)ebob  6 ve (a, 24, 36) ekok  360
Gruptaki öğrenci sayısı, en az kaçtır?
olduğuna göre, a sayısı kaçtır?
A) 20
B) 30
C) 45
A) 27
D) 60
124
B) 21
C) 17
D) 9